12.4数的开方复习2

第12章 数的开方（无理数与实数）一、知识点归纳： 1、实数的意义：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数. 不能开尽根的根号式及∏ （2）无理数与有理数统称为实数. 2、实数的分类：3、数轴:⑴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

⑵实数与数轴上的点是一一对应的。

4、相反数：⑴相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零。

⑵在一个数的前面添上“－”号，就成为这个数的相反数。

即实数 a 的相反数是－a ；在数轴上表示相反数的两点以原点对称。

5、a 、b 互为相反数 <====> a +b =0 6、倒数：⑴倒数：１除以一个不等于零的数的商叫做这个数的倒数。

⑵ a 、b 互为倒数 <====> ab =1 a 、b 互为负倒数 <====> ab =－1 7、绝对值：⑴绝对值：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。

⑵一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。

8、有关实数的非负性：9、科学记数法：把一个数记成na 10⨯ 的形式，其中101 a ≤ n 为整数。

这种记数方法叫做科学记法。

10、近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

这时，从左边第一个非0数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。

二、典型例题：例1、把下列各数填入相应的大括号内⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数零自然数正整数整数有理数实数)(⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数零正无理数正分数正整数正有理数正实数实数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=000a a a a a a 02≥a 0≥a )0(0≥≥a a5， －3， 0， 3.1415 ,722, 3+31- , 38-, 2π, ， 1.121221222122221… （两个1之间依次多个2）(1)无理数集合：{…}；(2)非负数集合：{ …}； (3)整数集合： { …}； (4)分数集合： {…}。

数的开方复习教案教学目标：1. 理解数的开方的概念和性质；2. 掌握数的开方的基本运算法则；3. 能够运用数的开方解决实际问题。

教学内容：一、数的开方的概念和性质1. 引入数的开方概念，解释平方根、立方根等；2. 探讨数的开方的性质，如正数的开方是正数，负数的开方是负数等。

二、数的开方的基本运算法则1. 介绍数的开方的基本运算法则，如同底数幂的除法、乘法等；2. 通过例题讲解和练习，使学生熟练掌握这些法则。

三、数的开方在实际问题中的应用1. 引入实际问题，如计算面积、体积等；2. 演示如何运用数的开方解决这些实际问题；3. 学生练习解决类似问题。

四、数的开方与乘方的关系1. 探讨数的开方与乘方的关系，如平方根与平方的关系等；2. 通过例题和练习，使学生理解并能够运用这种关系。

五、数的开方在各数域中的应用1. 介绍数的开方在实数域中的应用，如物理、化学等；2. 引导学生思考数的开方在复数域中的应用。

1. 采用讲解和练习相结合的方式，让学生掌握数的开方的概念和性质；2. 通过例题和实际问题，引导学生运用数的开方解决实际问题；3. 提供充足的练习机会，帮助学生巩固数的开方的基本运算法则。

教学评估：1. 课堂练习：及时检查学生对数的开方的理解和掌握程度；2. 课后作业：布置相关的习题，巩固学生的学习成果；3. 单元测试：定期进行测试，评估学生对数的开方的掌握情况。

教学资源：1. 教学PPT：展示数的开方的概念、性质和运算法则；2. 练习题库：提供充足的练习题，供学生巩固学习内容；3. 实际问题案例：用于引导学生运用数的开方解决实际问题。

教学时间：1课时（45分钟）教学步骤：1. 引入：通过数轴或实物展示，引导学生回顾数的开方的概念和性质；2. 讲解：讲解数的开方的基本运算法则，并通过例题进行演示；3. 练习：学生练习解决一些数的开方的问题，教师进行指导和解答；4. 应用：引入实际问题，引导学生运用数的开方解决这些问题；扩展活动：1. 组织小组讨论，探讨数的开方在实际问题中的应用；2. 布置研究性学习任务，让学生深入研究数的开方在各数域中的应用。

《数的开方》全章复习与巩固—知识讲解（提高）责编：杜少波【学习目标】1.了解平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；了解开方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；2.理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化；3.能用适当的有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】要点一：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示a±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22aaaaaaaaa333333)(aaaaaa-=-==要点二：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数， 如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点的对应关系数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应，即实数与数轴上的点一一对应. 3.实数的三个非负性及性质在实数范围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（30≥ (0a ≥).非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、平方根和立方根1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（ ） A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个 【答案】B ；【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三：【变式】下列说法其中错误的是（ ）A ．5是25的算术平方根B ．()24-的平方根是－4 C ．()34-的立方根是－4D ．0的平方根与立方根都是0【答案】B ；2、已知M 是满足不等式63<<-a 的所有整数a 的和，N 是满足不等式2237-≤x 的最大整数．求M ＋N 的平方根． 【答案与解析】 解：∵36a -<<的所有整数有－1，0，1，2所有整数的和M ＝－1＋1＋0＋2＝2 ∵2237-≤x ≈2，N 是满足不等式2237-≤x 的最大整数． ∴N ＝2∴M ＋N ＝4，M ＋N 的平方根是±2.【总结升华】先由已知条件确定M 、N 的值，再根据平方根的定义求出M ＋N 的平方根． 类型二、实数的概念与运算3、（2014秋•章丘市校级期末）设x 是的整数部分，y 是的小数部分，化简|x﹣y ﹣3|．【思路点拨】求出的范围，得出x=5，y=﹣5，代入求出即可．【答案与解析】 解：∵＜＜，∴5＜＜6， ∴x=5，y=﹣5， ∴|x ﹣y ﹣3|=|5﹣（﹣5）﹣3|=|7﹣| =7﹣．【总结升华】本题考查了估算无理数的大小和绝对值，解此题的关键是求出x 、y 的大小． 举一反三：【变式】 已知5＋11的小数部分为a ，5－11的小数部分为b ，则a ＋b 的值是 ；a －b 的值是_______.【答案】1;2117a b a b +=-=-；提示：由题意可知113a =-，411b =-.4、已知无理数10在3.1622与3.1623之间，π在3.1415与3.1416之间．求10−π的值．（结果精确到百分位）【思路点拨】先求出10−π的值的区间，再求出近似数． 【答案与解析】解：∵无理数10在3.1622与3.1623之间，π在3.1415与3.1416之间．∴3.1622－3.1416＜10−π＜3.1623－3.1415， 0.0206＜10−π＜0.0208， ∴10−π≈0.02．【总结升华】中间过程应多保留一位小数. 举一反三：【变式】（2015春•北京校级期中）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．小明的方法：∵＜＜，设=3+k （0＜k ＜1）， ∴（）2=（3+k ）2， ∴13=9+6k+k 2，∴13≈9+6k ，解得k ≈， ∴≈3+≈3.67．（上述方法中使用了完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，下面可参考使用）问题： （1）请你依照小明的方法，估算 ≈ （结果保留两位小数）； （2）请结合上述具体实例，m 的公式：已知非负整数a 、b 、m ，若a m ＜a+1，且m=a 2+b m ≈ （用含a 、b 的代数式表示）．【答案】（1）6.08；（2）．解：（1）∵＜＜，设=6+k （0＜k ＜1），∴（）2=（6+k ）2， ∴37=36+12k+k 2， ∴37≈36+12k ，解得k ≈， ∴≈6+≈6.08．故答案为：6.08；（2）若a ＜m ＜a+1，且m=a 2+b ，则m ≈a+．故答案为：．类型三、实数综合应用5、（2016春•南昌期末）已知实数x 、y 满足，求2x ﹣的立方根．【答案与解析】解：由非负数的性质可知：2x ﹣16=0，x ﹣2y +4=0， 解得：x=8，y=6．∴2x ﹣y=2×8﹣×6=8． ∴2x ﹣的立方根是2．【总结升华】本题主要考查的是非负数的性质、立方根的定义，求得x 、y 的值是解题的关键．举一反三：【变式】设a 、b 、c 都是实数，且满足08)2(22=+++++-c c b a a ， 求23a b c --的值.【答案】解：∵08)2(22=+++++-c c b a a∴220080a a b c c -=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，解得248a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴2341280a b c --=-+=.6、如图，数轴上A、B两点，表示的数分别为－1和3，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．【思路点拨】首先结合数轴和利用已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数．【答案与解析】解：∵数轴上A、B两点，表示的数分别为－13∴点B到点A的距离为13则点C到点A的距离也为13，设点C的坐标为x，则点A到点C的距离为－1－x=13∴x=－23【总结升华】此题主要考查了实数与数轴之间的定义关系，其中利用了：当点C为点B关于点A的对称点，则点C到点A的距离等于点B到点A的距离．两点之间的距离为两数差的绝对值．。

数的开方知识点与复习一、平方根1、定义如果一个数的平方等于\（a\），那么这个数叫做\（a\）的平方根。

也就是说，如果\（x^2 ＝ a\），那么\（x\）叫做\（a\）的平方根。

例如，因为\（（＼pm 2)＾2 ＝ 4\），所以\（＼pm 2\）是\（4\）的平方根。

2、表示方法一个正数\（a\）的平方根记为“＼（＼pm\sqrt{a}＼）”，读作“正负根号\（a\）”，其中\（＼sqrt{a}＼）叫做\（a\）的算术平方根。

例如，＼（9\）的平方根表示为\（＼pm\sqrt{9} ＝＼pm 3\），其中\（＼sqrt{9} ＝ 3\）。

3、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。

（2）＼（0\）的平方根是\（0\）。

（3）负数没有平方根。

二、算术平方根1、定义正数\（a\）的正的平方根叫做\（a\）的算术平方根，＼（0\）的算术平方根是\（0\）。

2、性质（1）算术平方根具有非负性，即\（＼sqrt{a} ＼geq 0\）（＼（a ＼geq 0\））。

（2）＼（（＼sqrt{a}）＾2 ＝ a\）（＼（a ＼geq 0\））。

例如，＼（＼sqrt{4} ＝ 2\），＼（（＼sqrt{5}）＾2 ＝ 5\）。

三、立方根1、定义如果一个数的立方等于\（a\），那么这个数叫做\（a\）的立方根。

即如果\（x^3 ＝ a\），那么\（x\）叫做\（a\）的立方根。

例如，因为\（2^3 ＝ 8\），所以\（2\）是\（8\）的立方根。

2、表示方法数\（a\）的立方根记为“＼（＼sqrt3{a}＼）”，读作“三次根号\（a\）”。

例如，＼（8\）的立方根表示为\（＼sqrt3{8} ＝ 2\）。

3、性质（1）正数的立方根是正数。

（2）负数的立方根是负数。

（3）＼（0\）的立方根是\（0\）。

四、开方运算1、开平方运算求一个数的平方根的运算叫做开平方。

例如，求\（16\）的平方根，即\（＼pm\sqrt{16} ＝＼pm 4\）。

数的开方复习课（二）一、教学目标1．通过复习使学生清楚本章所学习的全部内容有哪些。

2．通过复习使学生在头脑中形成本章知识的网络结构。

3．通过复习使学生清楚本章所学内容之间的关系，搞清它们内在的联系与区别。

4．通过复习使学生清楚所学内容应掌握到什么程度，分清主次，明确学习要求。

5．通过复习使学生清楚本章所用到的数学思想。

6．通过复习使学生明确本章的重点内容与难点内容，以及需要特别注意的问题。

7．通过复习使学生清楚本章的基本题型。

二、教学重点和难点1．使学生清楚本章的知识结构，搞清楚各相关内容之间的联系与区别。

2．使学生明克确本章内容的学习要求。

复习时，要让学生先自行对本章内容进行总结，自己总结本章的知识结构，在此基础上教师进行总结。

在复习过程中，由于本章知识的概念性较强，应注意帮助学生搞清楚各相近概念之间的联系和区别。

复习时应通过更多的题目来使学生对所学知识进行巩固，题型变化要灵活，更应注意难易程度的搭配。

三、教学过程例1填空：（1）已知：，。

则；（2）若。

则。

（3）已知：，，。

则：。

=___________。

若，则a=___________。

分析：这几个小题是考查学生查平方根表和立方根表最常见的题型，应让学生牢固掌握。

解这样的题主要是搞清楚被开方数的小数点移动与平方根、立方根的小数点移动的关系。

要注意求平方根时，被开方数的小数点必须两位两位地移动，其相应的平方根应一位一位地移动。

在求立方根时，被开方数的小数点必须三位三位地移动，其相应的立方根应一位一位地移动。

同学们在做题时，一要分清是平方根还是立方根；二要注意移动小数点的位数不能错。

解：（1）；。

（2）。

（3）；；。

对于仅求被开方数的题，学生会感到有些难度，要及时对学生所出现的错误进行纠正。

例2，0.5，，，，0.333…，，，，，0，。

（1）自然数集合：{，，……}（2）整数集合：{，0，，……}（3）无理数集合：{，，，，，……}（4）负数集合：{，，，，，……}此题是在考学生对不同数的概念是否掌握牢固，是否能区别开。

数的开方知识点与复习在数学中，数的开方是一个常见的运算方法。

开方是求一个数的平方根，即找到一个数，使得它的平方等于给定的数。

本文将介绍数的开方的基本概念和方法，并提供相关的复习知识点。

一、开方的概念开方是数学中的一种运算方法，用于求给定数的平方根。

开方运算的结果称为方根。

例如，2的平方根是√2，记作√2 = 2^(1/2)。

二、整数的平方根1. 完全平方数的平方根完全平方数是指可以写成某个整数的平方的数。

例如，4、9、16等都是完全平方数。

完全平方数的平方根一定是一个整数。

例如，√4 = 2，√9 = 3。

2. 非完全平方数的平方根非完全平方数的平方根是无限不循环小数，不能精确表示为一个整数或有限小数。

我们通常使用近似值来表示非完全平方数的平方根。

例如，√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732。

三、分数的平方根分数的平方根是指对一个分数进行开方运算。

分数的平方根可以是一个整数或者一个无限循环小数。

例如，√(1/4) = 1/2，√(1/9) = 1/3。

四、小数的平方根小数的平方根是指对一个小数进行开方运算。

小数的平方根可以是一个无限循环小数，或者是一个不能写成有限小数或无限循环小数的数。

例如，√0.25 = 0.5，√0.8 ≈ 0.894。

五、负数的平方根在实数范围内，负数的平方根是无法表示为一个实数的。

这是因为假设有一个实数x，它的平方等于一个负数，即x^2 = -a，其中a为正数。

根据乘法的性质，两个正数相乘的结果是正数，因此不存在一个实数的平方等于负数。

六、复数的平方根为了解决负数的平方根问题，我们引入了虚数单位i，定义为i = √(-1)。

利用虚数单位i，我们可以定义复数，其中实部和虚部都可以是实数。

例如，√(-4) = 2i，√(-9) = 3i。

复习知识点：1. 完全平方数的特点；2. 完全平方数的平方根是一个整数；3. 如何使用近似值表示非完全平方数的平方根；4. 分数和小数的平方根的计算方法；5. 负数的平方根无法表示为一个实数，需要引入虚数单位i来定义复数；6. 虚数单位i的定义及其应用。