20172018学年高中数学阶段质量检测导数应用北师大版选修11

第三章 §1一、选择题1．函数y ＝f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 等于( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)[答案] D[解析] 写出自变量x 0和x 0＋Δx 对应的函数值f (x 0)和f (x 0＋Δx )，两式相减，就得到了函数值的改变量．2．f (x )＝3x 在x 从1变到3时的平均变化率等于( )A ．12B ．24C ．2D ．－12 [答案] A[解析] Δy ＝f (3)－f (1)＝33－3＝24，∴Δy Δx ＝243－1＝12.故选A. 3．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x中．平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．① [答案] B[解析] ①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.4．已知函数y ＝2x，当x 由2变为1.5时，函数的增量为( ) A ．1B ．2 C.13D.32 [答案] C[解析] Δy ＝21.5－22＝13. 5．若函数f (x )＝2x 2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx等于( ) A ．4 B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2[答案] C [解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝4Δx ＋2Δx 2，∴Δy Δx＝4＋2Δx . 6．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在一段时间[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A ．3Δt ＋6B ．－3Δt ＋6C ．3Δt －6D ．－3Δt －6[答案] D[解析] 平均速度为5－3(1＋Δt )2－(5－3×12)1＋Δt －1＝－3Δt 2－6Δt Δt＝－3Δt －6， 故选D.二、填空题7．y ＝x 2－2x ＋3在x ＝2附近的平均变化率是________．[答案] 2＋Δx[解析] Δy ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )＋3－(22－2×2＋3)＝(Δx )2＋2Δx .∴Δy Δx ＝(Δx )2＋2Δx Δx ＝Δx ＋2. 8．物体的运动方程是s (t )＝4t －0.3t 2，则从t ＝2到t ＝4的平均速度是________．[答案] 2.2[解析] 由题意，可得Δt ＝4－2＝2，Δs ＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，∴平均速度为Δs Δt ＝4.42＝2.2，故填2.2. 9．一个做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的函数关系是s ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为____________．[答案] －1[解析] 因为Δs ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)＝6＋3Δt －4－4Δt －(Δt )2－6＋4＝－Δt －(Δt )2所以Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt ＝－1－Δt ，当Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于－1， 故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到3和从1变到2时的平均变化率．[答案] 5和4[解析] 自变量x 从1变到3时，函数f (x )的平均变化率为f (3)－f (1)3－1＝32＋3－(12＋1)2＝5， 自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f (2)－f (1)2－1＝22＋2－(12＋1)1＝4.一、选择题11．质点运动规律为s ＝2t 2＋5，则在时间(3,3＋Δt )中，相应的平均速度等于( )A ．6＋ΔtB ．12＋Δt ＋9ΔtC ．12＋2ΔtD ．12[答案] C[解析] Δs Δt ＝[2(3＋Δt )2＋5]－(2×32＋5)Δt ＝12＋2Δt .12．一个物体的运动方程是s ＝2t 2＋at ＋1，该物体在t ＝1的瞬时速度为3，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．7 [答案] A[解析] Δs ＝2(1＋Δt )2＋a (1＋Δt )＋1－(2＋a ＋1)＝Δt 2＋(4＋a )Δt ，由条件知lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(Δt ＋4＋a )＝4＋a ＝3， ∴a ＝－1.13．函数y ＝f (x )＝x 2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为k 1，在区间[x 0－Δx ，x 0]上的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定[答案] A[解析] k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ， k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx ＝2x 0－Δx . 由题意知：Δx >0，∴k 1>k 2，选A.14．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx＝( ) A ．3B ．3Δx －(Δx )2C ．3－(Δx )2D ．3－Δx[答案] D[解析] Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－(－2)＝－(Δx )2＋3Δx .∴Δy Δx ＝－(Δx )2＋3Δx Δx ＝－Δx ＋3. 15．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2s 末的瞬时速度为( )A ．－4.8m/sB ．－0.88m/sC ．0.88m/sD ．4.8m/s[答案] A[解析] Δs Δt ＝2[1－(1.2＋Δt )2]－2(1－1.2)2Δt ＝－4.8－2Δt ，当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－4.8，故物体在t ＝1.2s 末的瞬时速度为－4.8m/s. 二、填空题16．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________．[答案] 28π3[解析] ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3， ∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 17．已知s (t )＝12gt 2，则t ＝3s 到t ＝3.1s 的平均速度为________．(g 取10m/s 2) [答案] 30.5m/s[解析] 平均速度为Δs Δt ＝12g (3.12－32)3.1－3＝30.5(m/s)． 三、解答题18．已知质点M 按规律s ＝3t 2＋2做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，求Δs Δt； (2)求质点M 在t ＝2时的瞬时速度．[答案] (1)12.03cm/s (2)12cm/s[解析] Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt＝3(t ＋Δt )2＋2－(3t 2＋2)Δt＝6t ＋3Δt .(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，Δs Δt＝6×2＋3×0.01＝12.03cm/s. (2)当Δt 趋于0时，6t ＋3Δt 趋于6t ，∴质点M 在t ＝2时的瞬时速度为12cm/s.[点评] 本题重点是求质点M 的瞬时速度，瞬时速度是根据一段时间内物体的平均速度的趋近值来定义的，因此只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度．。

第四章 §1 1.1一、选择题1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在(0，1e )上是减函数，在(1e ，6)上是增函数D ．在(0，1e )上是增函数，在(1e ，6)上是减函数[答案] A[解析] ∵0<x <6，∴f ′(x )＝1＋1x >0，∴函数在(0,6)上单调递增．2．设f (x )＝x 2(2－x )，则f (x )的单调增区间是( ) A ．(0，43)B ．(43，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(43，＋∞)[答案] A[解析] f (x )＝x 2(2－x )＝2x 2－x 3，f ′(x )＝4x －3x 2，令f ′(x )>0，得0<x <43，故选A.3．(2014·新课标Ⅱ文，11)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞) [答案] D[解析] 由条件知f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k ≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．4．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的图像最有可能的是( )[答案] C[分析]由导函数f′(x)的图像位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图像，用排除法求解．[解析]由f′(x)的图像知，x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C.5．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有()A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0′，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0[答案] B[解析]由已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∵x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上递增．∴x<0时，f(x)递增，g(x)递减．∴x<0时f′(x)>0，g′(x)<0.6．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为()[答案] D[解析] 函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，则f ′(x )在(－∞，0)上恒大于0，排除A 、C ；函数f (x )在(0，＋∞)上先增加，再减少，最后又增加，则f ′(x )在(0，＋∞)上先为正，再为负，最后又为正，故D 选项符合．二、填空题7．函数f (x )＝x 3－5x 2＋3x ＋6的单调递减区间为________． [答案] (13，3)[解析] f ′(x )＝3x 2－10x ＋3＝(3x －1)(x －3)，令f ′(x )<0，得13<x <3，故函数f (x )的单调递减区间为(13，3)．8．函数f (x )＝x 3－mx 2＋m －2的单调递减区间为(0,3)，则m ＝____________. [答案] 92[解析] 令f ′(x )＝3x 2－2mx ＝0，解得x ＝0或x ＝23m ，所以23m ＝3，m ＝92.9．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，0][解析] ∵f (x )＝x 3－ax 2－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －3， 又因为f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数， f ′(x )＝3x 2－2ax －3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤1，f ′(1)＝3×12－2a －3≥0，解得a ≤0，故答案为(－∞，0]．三、解答题10．(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a 、b ∈R )的图像过点P (1,2)，且在点P 处的切线斜率为8.(1)求a 、b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．[答案] (1)a ＝4，b ＝－3 (2)增区间(－∞，－3)，(13，＋∞)，减区间(－3，13)[解析] (1)∵函数f (x )的图像过点P (1,2)， ∴f (1)＝2. ∴a ＋b ＝1.①又函数图像在点P 处的切线斜率为8， ∴f ′(1)＝8，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∴2a ＋b ＝5.②解由①②组成的方程组，可得a ＝4，b ＝－3. (2)由(1)得f ′(x )＝3x 2＋8x －3， 令f ′(x )>0，可得x <－3或x >13；令f ′(x )<0，可得－3<x <13.∴函数f (x )的单调增区间为(－∞，－3)，(13，＋∞)，单调减区间为(－3，13)．一、选择题11．若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像可能是( )[答案] A[解析] ∵导函数f ′(x )是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A. 12．函数f (x )＝－xe x (a <b <1)，则( )A ．f (a )＝f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )>f (b )D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定 [答案] C[解析] f ′(x )＝(－xe x )′＝(－x )′·e x －(－x )·(e x )′(e x )2＝x －1ex .当x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数， ∵a <b <1，∴f (a )>f (b )．13．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F (x )＝f (x )e x 是定义在R上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2012)>e 2012f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2012)>e 2012f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2012)<e 2012f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2012)<e 2012f (0) [答案] C[解析] ∵函数F (x )＝f (x )ex 的导数F ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x <0，∴函数F (x )＝f (x )ex 是定义在R 上的减函数，∴F (2)<F (0)，即f (2)e 2<f (0)e 0，故有f (2)<e 2f (0)．同理可得f (2012)<e 2012f (0)．故选C.14．函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝f ′(x )的图像可能是( )[答案] D[解析] 由f (x )的图像知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D.二、填空题15．若函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是____________． [答案] a ＜0[解析] 由题知f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝－12a >0，∴a <0. 16．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________．[答案] (－∞，12)[解析] f ′(x )＝a (x ＋2)－ax －1(x ＋2)2＝2a －1(x ＋2)2，由题意得x >－2时，f ′(x )≤0恒成立， ∴2a －1≤0，∴a ≤12.又当a ＝12时，f (x )＝12x ＋1x ＋2＝12，此时，函数f (x )在(－2，＋∞)上不是减函数，∴a ≠12.综上可知，a 的取值范围为(－∞，12)．三、解答题17．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11). (1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．[答案] (1)a ＝1，b ＝－3 (2)增区间(－∞，－1)，(3，＋∞) 减区间(－1,3) [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .因为f (x )的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)． 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3； 又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数； 当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数． 18．已知f (x )＝e x －ax －1.(1)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；(2)是否存在实数a 使f (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．[答案] (1)a ≤0 (2)a ＝1 [解析] (1)∵f (x )＝e x －ax －1， ∴f ′(x )＝e x －a . ∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即a ≤e x ，x ∈R 恒成立． ∵x ∈R 时，e x ∈(0，＋∞)，∴a ≤0. (2)f ′(x )＝e x －a .若f(x)在(－∞，0]上是单调递减函数⇒e x－a≤0在x∈(－∞，0]时恒成立⇒a≥(e x)max. 当x∈(－∞，0]时，e x∈(0,1]，∴a≥1. ①若f(x)在[0，＋∞)上是单调递增函数⇒e x－a≥0在x∈[0，＋∞)时恒成立⇒a≤(e x)min.当x∈[0，＋∞)时，e x∈[1，＋∞)，∴a≤1. ②由①②知a＝1，故存在a＝1满足条件．。

第3章 变化率与导数单元综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列各式正确的是( ) A. (sin a )′＝cos a (a 为常数) B. (cos x )′＝sin x C. (sin x )′＝cos x D. (x －5)′＝－15x －6解析：由导数公式知选项A 中(sin a )′＝0；选项B 中(cos x )′＝－sin x ；选项D 中(x－5)′＝－5x －6，只有C 正确． 答案：C 2．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A. y ＝2x ＋1B. y ＝2x －1C. y ＝－2x －3D. y ＝－2x －2解析：∵y ′＝x x ＋－x x ＋x ＋2＝2x ＋2，∴k ＝y ′| x ＝－1＝2－1＋2＝2.∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：A3. 若f ′(x 0)＝－3，则lim h →0 f x 0＋h －f x 0－3hh等于( )A. －3B. －6C. －9D. －12解析：lim h →0 f x 0＋h －f x 0－3hh＝4lim h →0f x 0＋h －f x 0－3h4h＝4f ′(x 0)＝－12. 答案：D4. 设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 的横坐标的取值范围为( )A. [－1，－12]B. [－1,0]C. [0,1]D. [12，1]解析：设点P 的坐标为(x 0，y 0)． ∵y ＝x 2＋2x ＋3，∴y ′＝2x ＋2.∵曲线在点P (x 0，y 0)处的切线的倾斜角的取值范围是[0，π4]，∴曲线在点P 处的切线的斜率k ∈[0,1]．∴0≤2x 0＋2≤1. ∴－1≤x 0≤－12.答案：A5. 函数y ＝1－ln x1＋ln x 的导数是( )A. －2＋ln x 2B.2x ＋ln x2C. －2x＋ln x2D. －1x＋ln x2解析：y ＝(1－ln x1＋ln x )′＝－ln x＋ln x －－ln x＋ln x＋ln x 2＝－1x＋ln x －－ln x1x＋ln x2＝－2x＋ln x2.答案：C6. 某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2(t 表示时间)，则t ＝2时，汽车的加速度是( )A. 14B. 4C. 10D. 6解析：v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t, ∴a (t )＝v ′(t )＝12t －10. 当t ＝2时，a (2)＝14，即t ＝2时汽车的加速度为14. 答案：A7. 下列结论正确的个数为( ) (1)若f (x )＝sin2x ，则f ′(x )＝2cos2x ；(2)若f (x )＝13x，则f ′(x )＝－133x4；(3)若f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227.A. 0B. 1C. 2D. 3解析：∵(sin2x )′＝(2sin x cos x )′＝(2sin x )′cos x ＋2sin x (cos x )′＝2cos2x ，∴(1)正确；∵(13x )′＝(x －13)′＝－13x －43＝－133x 4，∴(2)正确；∵f ′(x )＝(1x 2)′＝(x －2)′＝－2x －3＝－2x3，∴f ′(3)＝－233＝－227，∴(3)正确．答案：D8. 已知两条曲线y ＝x 2－1与y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，则x 0的值为( ) A. 0 B. －23C. －32D. 0或－23解析：由题意，得两曲线在x ＝x 0处的切线的斜率相等，所以2x 0＝－3x 20，解得x 0＝0或－23.答案：D9. 若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( ) A. h ′(a )<0 B. h ′(a )>0 C. h ′(a )＝0 D. h ′(a )的符号不定解析：根据导数的几何意义，h ′(a )是切线的斜率， ∴h ′(a )＝－2<0. 答案：A10. 若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图像是( )解析：∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴排除选项B ，D. 又∵f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限， ∴－b2>0.∴b <0.故选A.答案：A11. 已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A. 1B. 3C. －4D. －8解析：如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)．∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧42＝2y 1， ①－2＝2y 2， ②∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝8，y 2＝2，∴P (4,8)，Q (－2,2)，又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x ，∴过点P 的切线斜率为y ′| x ＝4＝4，∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′| x ＝－2＝－2， ∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4.∴点A 的纵坐标为－4.答案：C12. 若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( )A. 64B. 32C. 16D. 8解析：∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴切线的斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a－12＝－12a －32(x －a )．令y ＝0，得x ＝3a .令x ＝0，得y ＝32a －12. 由题意，得a >0，∴12·3a ·32a －12＝18，故a ＝64.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)． ∴f ′(1)＝－2.∴f ′(x )＝2x －4.∴f ′(0)＝－4. 答案：－414. 设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)，若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，则ab 的值为________．解析：f ′(x )＝3x 2－3a ，∴f ′(2)＝12－3a . 由题意知12－3a ＝0，∴a ＝4.又切点在直线y ＝8上，∴f (2)＝8－6a ＋b ＝8. ∴b ＝24.∴ab ＝96. 答案：9615. 已知抛物线y ＝f (x )＝ax 2＋bx －7经过点(1,1)，过点(1,1)的抛物线的切线方程为4x －y －3＝0，则a ＝________，b ＝________.解析：∵抛物线y ＝ax 2＋bx －7经过点(1,1)， ∴1＝a ＋b －7，即a ＋b －8＝0.①又过点(1,1)的抛物线的切线方程为4x －y －3＝0， ∴切线的斜率为4.∵y ′＝f ′(x )＝2ax ＋b ， ∴f ′(1)＝2a ＋b ＝4，即2a ＋b －4＝0.② 由①②，解得a ＝－4，b ＝12. 答案：－4 1216. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－10，设切点P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0<0)，则曲线C 在点P 处切线的斜率k ＝3x 20－10＝2，∴x 0＝－2.∴点P 的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. 一运动物体的位移s (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数关系式为s (t )＝t 2，求s ′(2)，并说明它的意义．解：∵s (t )＝t 2，∴s ′(t )＝(t 2)′＝2t . ∴s ′(2)＝2×2＝4.s ′(2)＝4说明此运动物体在2 s 时刻的瞬时速度为4 m/s.18. 求过曲线y ＝f (x )＝cos x 上一点P (π3，12)，且与过这点的切线垂直的直线方程．解：∵y ＝f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x . ∴f ′(π3)＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与过这点的切线垂直的直线的斜率为23.∴所求的直线方程为y －12＝23(x －π3)，即2x －3y －2π3＋32＝0. 19. 求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (2)y ＝x 2sin x； (3)y ＝1－sin x 1＋cos x.解：(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6， ∴y ′＝(6x 3)′－(4x 2)′＋(9x )′－0＝18x 2－8x ＋9，(2)y ′＝(x 2sin x )′＝x 2′sin x －x 2sin x ′sin 2x＝2x sin x －x 2cos xsin 2x . (3)y ′＝(1－sin x1＋cos x )′＝1－sin x ′1＋cos x －1－sin x1＋cos x ′1＋cos x2＝－cos x －cos 2x ＋sin x －sin 2x ＋cos x 2. ＝－1－cos x ＋sin x ＋cos x2. 20. 已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 在点(1,1)处的切线与直线y ＝12x ＋2垂直，求b ，c 的值．解：∵y ′＝2x ＋b ，∴抛物线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝f ′(1)＝2＋b . ∵抛物线的切线与直线y ＝12x ＋2垂直，∴(2＋b )×12＝－1，解得b ＝－4.把点(1,1)代入y ＝x 2－4x ＋c ，解得c ＝4. 故b ＝－4，c ＝4.21. 若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求k 的值． 解：令y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋2x ， ∴y ′＝f ′(x )＝3x 2－6x ＋2. ∴f ′(0)＝2.又直线与曲线都经过原点，则 ①若直线与曲线相切于原点，则k ＝2.②若直线与曲线相切于原点外另一点(x 0，y 0)(x ≠0)，则k ＝y 0x 0. 又点(x 0，y 0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上， ∴y 0＝x 30－3x 20＋2x 0.又∵y 0x 0＝k ，∴k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2. 又∵y ′＝3x 2－6x ＋2，∴k ＝3x 20－6x 0＋2. ∴x 20－3x 0＋2＝3x 20－6x 0＋2. ∴x 0＝0(舍去)或x 0＝32.∴k ＝(32)2－3×32＋2＝－14.综上所述，k ＝2或k ＝－14.22. 设函数f (x )＝|1－1x|，点P (x 0，y 0)(0<x 0<1)在曲线y ＝f (x )上，求曲线在点P 处的切线与x 轴和y 轴的正向所围成的三角形面积的表达式(用x 0表示)．解：当0<x <1时，y ＝f (x )＝|1－1x |＝1x－1，∴f ′(x 0)＝－1x 20，0<x 0<1.∴曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)，即y ＝－x x 20＋2－x 0x 0，∴切线与x 轴，y 轴正向的交点分别为(x 0(2－x 0)，0)和(0，1x 0(2－x 0))， 故所求三角形的面积表达式为12x 0(2－x 0)·1x 0(2－x 0)，即12(2－x 0)2.。

第四章 §2 2.2 第2课时一、选择题1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高为( ) A.33cm B.1033cmC.1633cmD.2033cm[答案] D[解析] 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2，其体积为V ＝13πx (400－x 2) (0＜x ＜20)，V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝2033.当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0，所以当x ＝2033时，V 取最大值．2．将数8拆分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5 D ．以上都不对[答案] B[解析] 设一个数为x ，则另一个数为8－x ，则y ＝x 3＋(8－x )3,0≤x ≤8，y ′＝3x 2－3(8－x )2，令y ′＝0，即3x 2－3(8－x )2＝0，解得x ＝4.当0≤x <4时，y ′<0，函数单调递减；当4<x ≤8时，y ′>0，函数单调递增，所以x ＝4时，y 最小．3．用总长为6m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为，那么容器容积最大时，高为( ) A ．0.5m B ．1m C ．0.8m D ．1.5m [答案] A[解析] 设容器底面相邻两边长分别为3x m 、4x m ，则高为6－12x －16x 4＝⎝⎛⎭⎫32－7x (m)，容积V ＝3x ·4x ·⎝⎛⎭⎫32－7x ＝18x 2－84x 3⎝⎛⎭⎫0<x <314，V ′＝36x －252x 2，由V ′＝0得x ＝17或x ＝0(舍去)．x ∈⎝⎛⎭⎫0，17时，V ′>0，x ∈⎝⎛⎭⎫17，314时，V ′<0，所以在x ＝17处，V 有最大值，此时高为0.5m.4．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C.43R D.34R [答案] C[解析] 设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(R －h )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2， ∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3，V ′＝43πRh －πh 2.令V ′＝0得h ＝43R .当0<h <43R 时，V ′>0；当4R3<h <2R 时，V ′<0.因此当h ＝43R 时，圆锥体积最大．故应选C.5．设圆柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面半径为( ) A.3V B.3V πC.34V D ．23V 2π[答案] D[解析] 设底面圆半径为r ，高为h ，则V ＝πr 2h ，∴h ＝V πr 2.∴S 表＝2S 底＋S 侧＝2πr 2＋2πr ·h ＝2πr 2＋2πr ·V πr 2＝2πr 2＋2V r .∴S 表′＝4πr －2Vr 2，令S 表′＝0得，r ＝3V 2π，又当x ∈(0，3V 2π)时，S 表′<0；当x ∈(3V 2π，V )时，S 表′>0，∴当r ＝3V2π时，表面积最小．6．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1 D ．－8[答案] C[解析] 瞬时变化率即为f ′(x )＝x 2－2x 为二次函数，且f ′(x )＝(x －1)2－1，又x ∈[0,5]，故x ＝1时，f ′(x )min ＝－1. 二、填空题7．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________． [答案] 3[解析] 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R 2，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π27R，∴S ′(R )＝2πR －54πR 2＝0，令S ′＝0得R ＝3，∴当R ＝3时，S 表最小．8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10km/h 时燃料费是每小时6元 ，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为______km/h 航行时，能使行驶每公里的费用总和最小．[答案] 20[解析] 设船速为每小时x (x ＞0)公里，燃料费为Q 元，则Q ＝kx 3， 由已知得：6＝k ·103， ∴k ＝3500，即Q ＝3500x 3.记行驶每公里的费用总和为y 元，则 y ＝(3500x 3＋96)·1x ＝3500x 2＋96xy ′＝3250x －96x 2，令y ′＝0，即3250x －96x 2＝0，解之得：x ＝20.这就是说，该函数在定义域(0，＋∞)内有唯一的极值点，该极值必有所求的最小值，即当船速为每小时20公里时，航行每公里的总费用最小，最小值为7.2元．9.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x 与h 的比为________．[答案][解析] 设窗户面积为S ，周长为L ，则S ＝π2x 2＋2hx ，h ＝S 2x －π4x ，∴窗户周长L ＝πx ＋2x ＋2h＝π2x ＋2x ＋Sx， ∴L ′＝π2＋2－S x 2.由L ′＝0，得x ＝2Sπ＋4，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2S π＋4时，L ′<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2S π＋4，＋∞时，L ′>0，∴当x ＝2S π＋4时，L 取最小值，此时h x ＝2S －πx 24x 2＝2S 4x 2－π4＝π＋44－π4＝1. 三、解答题10．(2014·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝30万元时，y ＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f (x )的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)． [答案] (1)f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x10(x ≥10) (2)24.4万元[解析] (1)由条件可得⎩⎨⎧a ×102＋10150×10－b ln1＝19.2，a ×302＋10150×30－b ln3＝50.5，解得a ＝－1100，b ＝1， 则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x10(x ≥10)．(2)T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x10(x ≥10)，则T ′(x )＝－x 50＋5150－1x ＝－(x －1)(x －50)50x ，令T ′(x )＝0，则x ＝1(舍)或x ＝50，当x ∈(10,50)时，T ′(x )>0，因此T (x )在(10,50)上是增函数； 当x ∈(50，＋∞)时，T ′(x )<0，因此T (x )在(50，＋∞)上是减函数， ∴当x ＝50时，T (x )取最大值．T (50)＝－502100＋5150×50－ln 5010＝24.4(万元)．即该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值为24.4万元.一、选择题11．以长为10的线段AB 为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( ) A ．10 B ．15 C ．25 D ．50[答案] C[解析] 如图，设∠NOB ＝θ，则矩形面积S ＝5sin θ·2·5cos θ＝50sin θ·cos θ＝25sin2θ，故S max ＝25.12．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( ) A ．2πr 2 B ．πr 2 C ．4πr 2 D.12πr 2 [答案] A[解析] 设内接圆柱的底面半径为r 1，高为t ， 则S ＝2πr 1t ＝2πr 12r 2－r 21＝4πr 1r 2－r 21.∴S ＝4πr 2r 21－r 41.令(r 2r 21－r 41)′＝0得r 1＝22r . 此时S ＝4π·22r ·r 2－⎝⎛⎭⎫22r 2＝4π·22r ·22r ＝2πr 2.13．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 39 000＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300[答案] D[解析] 由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000,0≤x ≤390.由P ′(x )＝0，得x ＝300.当0≤x ≤300时，p ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大，故选D.二、填空题14．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，该长方体的最大体积是________．[答案] 3m 3[解析] 设长方体的宽为x ，则长为2x ，高为92－3x (0<x <32)，故体积为V ＝2x 2⎝⎛⎭⎫92－3x ＝－6x 3＋9x 2，V ′＝－18x 2＋18x ，令V ′＝0得，x ＝0或1， ∵0<x <2，∴x ＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m 、1m 、1.5m 时，体积最大，最大体积V max ＝3m 3.15．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________件．[答案] 25[解析] 设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ， 由题知a ＝500x .总利润y ＝500x －275x 3－1200(x >0)，y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，x ∈(0,25)时，y ′>0，x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值．三、解答题16．(2014·三峡名校联盟联考)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)[答案] (1)10 (2)3.3元/套 [解析] (1)因为x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)[10x －2＋4(x －6)2]＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在(0，103)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(103，6)上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．17．(2014·山东省德州市期中)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数为y ＝1128000x 3－380x ＋8(0<x <120)． (1)当x ＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？ (2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？ [答案] (1)11.95升 (2)200千米[解析] (1)当x ＝64千米/小时时，要行驶100千米需要10064＝2516小时，要耗油(1128000×643－380×64＋8)×2516＝11.95(升)．(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a 千米，由题意得， (1128000x 3－380x ＋8)×ax ＝22.5， ∴a ＝22.51128000x 2＋8x －380，设h (x )＝1128000x 2＋8x －380， 则当h (x )最小时，a 取最大值，h ′(x )＝164000x －8x 2＝x 3－80364000x 2，令h ′(x )＝0⇒x ＝80，当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，当x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，故当x ∈(0,80)时，函数h (x )为减函数，当x ∈(80,120)时，函数h (x )为增函数， ∴当x ＝80时，h (x )取得最小值，此时a 取最大值为 ∴a ＝22.51128000×802＋880－380＝200.答：若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．18．设有一个容积V 一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价最小？[答案] 当此铁桶的高与底面半径之比为时，总造价最小．[解析] 设圆柱体的高为h ，底面半径为r ，又设单位面积铁的造价为m ，桶的总造价为y ，则y ＝3m πr 2＋m (πr 2＋2πrh )．由于V ＝πr 2h ，得h ＝V πr 2，所以y ＝4m πr 2＋2mV r (r >0)．所以y ′＝8m πr －2mVr2，令y ′＝0，得r ＝⎝⎛⎭⎫V 4π13 ，此时，h ＝V πr2＝4⎝⎛⎭⎫V 4π13 . 当r ∈⎝⎛⎭⎫0，⎝⎛⎭⎫V 4π13时，y ′<0，当r ∈⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫V 4π13，＋∞时，y ′>0，因此r ＝⎝⎛⎭⎫V 4π13 是函数y ＝4m πr 2＋2mVr(r >0)的极小值点，也是最小值点．故当r ＝⎝⎛⎭⎫V 4π13时，y 有最小值，即h r ＝时，总造价最小．。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“π≥3.14”使用的逻辑联结词的情况是( )A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“非”答案： C2．命题“如果x≥a2＋b2，那么x≥2ab”的逆否命题是( )A．如果x＜a2＋b2，那么x＜2ab B．如果x≥2ab，那么x≥a2＋b2C．如果x＜2ab，那么x＜a2＋b2 D．如果x≥a2＋b2，那么x＜2ab答案： C3．若k可以取任意实数，则方程x2＋ky2＝1所表示的曲线不可能是( )A．直线B．圆C．椭圆或双曲线D．抛物线解析：本题主要考查圆锥曲线的一般形式：Ax2＋By2＝c所表示的圆锥曲线问题，对于k＝0,1及k＞0且k≠1，或k＜0，分别讨论可知：方程x2＋ky2＝1不可能表示抛物线．答案： D4．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标为( ) A．(1,0) B．(2,8)C．(1,0)和(－1，－4) D．(2,8)和(－1，－4)解析：f′(x0)＝3x02＋1＝4∴x0＝±1答案： C5．在下列结论中，正确的结论为( )①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件③“p或q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件④“¬p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件A．①②B．①③C．②④D．③④解析：p且q为真⇒p真且q真⇒p或q为真，故①正确．由¬p为假⇒p为真⇒p或q为真，故③正确．答案： B6．下列结论正确的个数是( )(1)命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题； (2)命题“任意x ∈R ，x 2＋1＜0”是全称命题；(3)若p ：存在x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0，则q ：任意x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0是全称命题． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析： (1)是全称命题，故(1)不正确；(2)是全称命题，正确；(3)既不是全称命题也不是特称命题，不正确．故选B.答案： B7．设a ∈R ，则a ＞1是1a ＜1的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 由a ＞1可以推出1a ＜1，反过来由1a ＜1可以得出a ＜0或a ＞1.答案： A8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率为( )A.54 B.52 C.32D.54解析： 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝32，所以1－b 2a 2＝e 12＝34，即b 2a 2＝14，而在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，设离心率为e 2，则e 22＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，所以e 2＝52.故选B. 答案： B9．函数f(x)＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A ．a ＞0 B ．a ≥0 C ．a ＜0D ．a ≤0解析： 函数有极值，即其导数值可等于0，f ′(x)＝3ax 2＋1＝0，∴x 2＝－13a ，∴a ＜0.又∵a ＝0时，f(x)＝x ＋1无极值，∴a ＜0.答案： C10．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与椭圆的两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为3，则这个椭圆的标准方程为( )A.x 212＋y29＝1 B.x 29＋y212＝1 C.x 212＋y 29＝1或y 212＋x29＝1 D.x 216＋y212＝1 解析： 因为短轴的一个端点与椭圆的两个焦点组成一个正三角形，所以2c ＝a ，又因为a －c ＝3，可知c ＝3，a ＝23，所以b ＝a 2－c 2＝3.所以这个椭圆的标准方程为x212＋y 29＝1或y 212＋x29＝1. 答案： C11．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，如果p 且q 、非q 同时为假，则满足条件的x 为( )A ．{x|x ≤－1或x ≥3，x ∉Z}B ．{x|－1≤x ≤3，x ∉Z}C ．{－1,0,1,2,3}D ．{0,1,2}解析： ∵p 且q 假，非q 为假，∴p 假q 真，排除A ，B ，p 为假，即|x －1|＜2， ∴－1＜x ＜3且x ∈Z.∴x ＝0,1,2. 答案： D12．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为( )A ．1∶2B ．1∶πC ．2∶1D ．2∶π解析： 设圆柱高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π.圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2·x ＝14π(x 3－12x 2＋36x)，0＜x ＜6，V ′＝34π(x －2)(x －6)，当x ＝2时，V 最大．答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．命题“若ab 不为零，则a ，b 都不为零”的逆否命题是______．解析： 将原命题的结论和条件的否定分别作为命题的条件和结论，即为其逆否命题． 答案： 若a ，b 至少有一个为零，则ab 为零14．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)(4,0)，则双曲线的方程为________． 解析： 由题意知c ＝4，e ＝c a ＝2，故a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝12，双曲线的方程为x 24－y212＝1.答案： x 24－y212＝115．函数f(x)＝a ＋ln xx (a ∈R)的导数等于________．答案： f ′(x)＝1－(a ＋ln x )x 216．已知：①命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“所有模相等的向量相等”的否定；③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题； ④命题“若A ∩B ＝A ，则A B ”的逆否命题．其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)． 解析： ①逆命题：若x ，y 互为倒数，则xy ＝1.是真命题． ②的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题． 如，a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)有|a|＝|b|＝2，但a ≠b.③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0”是真命题．这是因为当m ＜0时Δ＝(－2)2－4m ＝4－4m ＞0恒成立．故方程有根．所以其逆否命题也是真命题．④若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题． 答案： ①②③三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知p ：1≤x ≤2，q ：a ≤x ≤a ＋2，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析： ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的充分不必要条件． ∴{x|1≤x ≤2}{x|a ≤x ≤a ＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ＋2≥2，∴0≤a ≤1.18．(12分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x ＝－1时，f(x)的极大值为7；当x ＝3时，f(x)有极小值．求：(1)a ，b ，c 的值； (2)函数f(x)的极小值．解析： (1)∵f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， ∴f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ， 而x ＝－1和x ＝3是极值点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0f ′(3)＝27＋6a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝－9.又f(－1)＝－1＋a －b ＋c ＝－1－3＋9＋c ＝7， 故得c ＝2.(2)由(1)可知f(x)＝x 3－3x 2－9x ＋2，而x ＝3是它的极小值点， 所以函数f(x)的极小值为－25.19．(12分)已知动圆过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，与直线x ＝－p 2相切，其中p ＞0，求动圆圆心的轨迹方程．解析： 如图，设M 为动圆圆心，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0记为点F.过点M 作直线x ＝－p2的垂线，垂足为N ，由题意知|MF|＝|MN|，即动点M 到定点F 与到定直线x ＝－p2的距离相等，由拋物线的定义，知点M 的轨迹为拋物线，其中F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0为其焦点，x ＝－p 2为其准线，所以动圆圆心的轨迹方程为y 2＝2px(p ＞0)．20．(12分)某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数．如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？解析： (1)由题意，每年产销Q 万件，共计成本为(32Q ＋3)万元． 销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x ·50%. ∴年利润y ＝年收入－年成本－年广告费 ＝12(32Q ＋3－x)＝12(32×3x ＋1x ＋1＋3－x) ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)．∴所求的函数关系式为y ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)．当x ＝100时，y<0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损．(2)由y ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)可得101(101－x )2＝34⇒x ≈89.4，但产品个数必须是自然数，因此产品个数应是89或90件．又由于T(89)≈79.11A ，T(90)≈79.09A ，所以每日生产89件将获得最大利润． 21．(12分)设函数f(x)＝x 3－92x 2＋6x －a.(1)对于任意实数x ，f ′(x)≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． 解析： (1)f ′(x)＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x)≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m)≥0恒成立， 所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x ＜1时，f ′(x)＞0；当1＜x ＜2时，f ′(x)＜0； 当x ＞2时，f ′(x)＞0.所以当x ＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a ；当x ＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a ，故当f(2)＞0或f(1)＜0时，f(x)＝0仅有一个实根． 解得a ＜2或a ＞52.22．(14分)某椭圆的中心是原点，它的短轴长为22，一个焦点为F(c,0)(c ＞0)，x轴上有一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0且满足|OF|＝2|FA|，其中a 为长半轴长，过点A 的直线与该椭圆相交于P ，Q 两点．求：(1)该椭圆的方程及离心率； (2)若OP →·OQ →＝0，求直线PQ 的方程．解析： (1)依题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y22＝1(a ＞2)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝2，c ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c ，解得⎩⎨⎧a ＝6，c ＝2.所以椭圆的方程为x 26＋y 22＝1，离心率e ＝63.(2)由(1)可得点A(3,0)，由题意知直线PQ 的斜率存在，设为k ， 则直线PQ 的方程为y ＝k(x －3)， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k (x －3)，得(3k 2＋1)x 2－18k 2x ＋27k 2－6＝0，依题意知，Δ＝12(2－3k 2)＞0，得－63＜k ＜63. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝18k 23k 2＋1，x 1x 2＝27k 2－63k 2＋1，从而得y 1＝k(x 1－3)，y 2＝k(x 2－3)，于是y 1y 2＝k 2(x 1－3)(x 2－3)． 因为OP →·OQ →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0， 解得5k 2＝1，从而k ＝±55∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63， 所以直线PQ 的方程为x －5y －3＝0或x ＋5y －3＝0.。

第三章 §3一、选择题1．设y ＝e 3，则y ′等于( ) A ．3e 2 B ．e 2C ．0D ．以上都不是[答案] C[解析] ∵y ＝e 3是一个常数，∴y ′＝0.2．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有两条． 3．f (x )＝1x 3x 2，则f ′(－1)＝( )A.52 B ．－52C.53 D ．－53[答案] D[解析] ∵f (x )＝x －53 ，∴f ′(x )＝－53x －18 ，∴f ′(－1)＝－53(－1)－83 ＝－53.4．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D.－5[答案] A[解析] f (x )＝x α，f ′(x )＝α·x α－1，所以f ′(－1)＝α·(－1)α－1，当α＝4时，f ′(－1)＝4×(－1)3＝－4，符合题意，另三个选项都不能满足f ′(－1)＝－4，故选A.5．若f (x )＝sin x ，则f ′(2π)和(f (2π))′的值分别为( ) A ．1和0B ．－1和0C ．0和1D ．cos x 和－1[答案] A[解析] (sin x )′＝cos x ，∴f ′(2π)＝cos2π＝1. 又f (2π)＝sin2π＝0，∴(f (2π))′＝0，故选A.6．(2014·合肥一六八高二期中)下列函数中，导函数是奇函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e x C ．y ＝ln x D ．y ＝cos x －12[答案] D[解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －12时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.7．(2014·长春市期末调研)已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( ) A.12 B ．－12C.1e D ．－1e[答案] C[解析] y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1， 又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e .二、填空题8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝32时的速度等于____________． [答案]180[解析] ∵s ′＝(5t )′＝(t 15)′＝15t －45 ，∴质点在t ＝32时的速度为15×32－45＝15×(25)－45＝180. 9．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．[答案] (2,1)[解析] 设P (x 0，y 0)，∵y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 2′＝(4x －2)′＝－8x －3，tan135°＝－1，∴－8x －30＝－1.∴x 0＝2，y 0＝1. 三、解答题10．求证双曲线y ＝1x 上任意一点P 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值．[答案] 定值为2，证明略[解析] 设双曲线上任意一点P (x 0，y 0)， ∵y ′＝－1x2，∴点P 处的切线方程y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝y 0＋1x 0＝2x 0；令y ＝0，得x ＝x 0＋x 20y 0＝2x 0. ∴S △＝12|x |·|y |＝2.∴三角形面积为定值2.一、选择题11．(2014·北京东城区联考)曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4C.π4D.5π4[答案] C[解析] ∵y ＝13x 3，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.12．给出下列结论： ①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②y ＝3x ，则y ′＝133x ；③y ＝log 2x ，则y ′＝1x ；④y ＝cos x ，则y ′＝sin x ；⑤已知f (x )＝3x ，则f ′(2)＝[f (2)]′. 其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] A[解析] y ＝1x 3＝x －3，y ′＝－3x －4＝－3x 4，故①正确；y ＝3x ＝x 13 ，y ′＝13x －23 ＝133x 2，故②不正确；y ＝log 2x ，y ′＝1x ln2；故③不正确；y ＝cos x ，y ′＝－sin x ，故④不正确；∵f (2)为常数，∴[f (2)]′＝0，又f ′(2)＝32ln3，∴⑤错误．13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2015(x )＝( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x[答案] D[解析] f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ， ∴4为最小正周期． ∴f 2015(x )＝f 3(x )＝－cos x .14．正弦曲线y ＝sin x 上切线的斜率等于12的点为( )A ．(π3，32)B ．(－π3，－32)或(π3，32)C ．(2k π＋π3，32)D ．(2k π＋π3，32)或(2k π－π3，－32)[答案] D[解析] 设斜率等于12的切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)，∵y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝12，∴x 0＝2k π＋π3或2k π－π3，∴y 0＝32或－32.二、填空题15．两曲线y ＝1x 与y ＝x 在交点处的两切线的斜率之积为________．[答案] －12[解析] 两曲线y ＝1x 与y ＝x 的交点坐标为(1,1)，∴k 1＝(1x )′|x ＝1＝－1x 2|x ＝1＝－1，k 2＝(x )′|x ＝1＝12x |x ＝1＝12.∴k 1·k 2＝－12.三、解答题16．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？[答案] (1)3x －y －2＝0 (2)其他公共点有(1,1)和(－2，－8) [解析] (1)∵y ′＝3x 2， ∴切线斜率k ＝3，∴切线方程y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0y ＝x3消去y 得，3x －x 3－2＝0， ∴(x －1)2(x ＋2)＝0， ∴x 1＝1，x 2＝－2.∴其他公共点为(1,1)及(－2，－8)．17．已知函数y ＝a sin x ＋b 的图像过点A (0,0)，B (3π2，－1)，试求函数在原点处的切线方程．[答案] y ＝x[解析] ∵y ＝a sin x ＋b 的图像过点A (0,0)，B (3π2，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝a sin0＋b －1＝a sin 3π2＋b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0.∴y＝sin x.又∵y′＝cos x，∴y′|x＝0＝1. ∴切线方程为y＝x.。

第三章 §4一、选择题1．y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( )A.18B.14C.12D ．1 [答案] B[解析] y ′＝2ax ，设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1，∴x 0＝12a ，∴y 0＝12a ，代入y ＝ax 2＋1得，1 2a ＝14a＋1， ∴a ＝14，故选B. 2．(2014·山师附中高二期中)设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)＝( ) A. 2B ．－ 2C ．0 D.22 [答案] A[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ，∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4＝2，故选A. 3．函数y ＝cos x x的导数是( ) A ．－sin x x2 B ．－sin x C ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos x x 2[答案] C[解析] y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′x －cos x ·(x )′x 2＝－x sin x －cos x x 2. 4．(2014·辽宁六校联考)设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数y ＝f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线斜率为32，则切点的横坐标为( ) A.ln22B ．－ln22C ．ln2D ．－ln2 [答案] C[解析] f ′(x )＝e x －a e －x ，由f ′(x )为奇函数，得f ′(x )＝－f ′(－x )，即(a －1)(e x ＋e －x )＝0恒成立，∴a ＝1，∴f (x )＝e x ＋e －x ，设切点的横坐标为x 0，由导数的几何意义有e x 0－e －x 0＝32，解得x 0＝ln2，故选C.5．(2014·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e )( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1 D ．－e [答案] C[解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x， ∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e，故选C. 6．(2014·泸州市一诊)若曲线f (x )＝x －12在点(a ，f (a ))处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8 [答案] A[解析] ∵f ′(x )＝－12x －32 ，∴f ′(a )＝－12a －32 ， ∴切线方程为y －a －12 ＝－12a －32 (x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12 ，令y ＝0得x ＝3a ，由条件知12·32a －12 ·3a ＝18，∴a ＝64.二、填空题7．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. [答案] 3[解析] ∵已知切点在切线上，∴f (1)＝12＋2＝52，又函数在切点处的导数为切线斜率，∴f ′(1)＝12， ∴f (1)＋f ′(1)＝3.8．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.[答案] 212[解析] f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.9．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．[答案] 2x －y ＋1＝0[解析] ∵点(1,3)在曲线y ＝x 3－x ＋3上，y ′＝3x 2－1，∴曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝(3x 2－1)|x ＝1＝2，∴切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.三、解答题10．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图像上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图像在x ＝a 处的切线平行于直线AB .[答案] 23[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)，即3a 2－2a －1＝－1，解得a ＝23.一、选择题11．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角[答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.12．曲线y ＝13x 3＋x 在点(1，43)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.19B.29C.13D.23 [答案] A[解析] 对函数y ＝13x 3＋x 求导得y ′＝x 2＋1，将x ＝1代入得曲线y ＝13x 3＋x 在点(1，43)处的切线斜率为k ＝2，故切线方程是y －43＝2(x －1)，该切线与坐标轴的交点是(13，0)，(0，－23)，故围成的三角形面积为19，故选A. 13．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( ) A ．－12B.12 C ．－22 D.22[答案] B[解析] y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin2x.二、填空题14．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________．[答案] y ＝－3x[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，又f ′(－x )＝f ′(x )，即3x 2－2ax ＋(a －3)＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，对任意x ∈R 都成立， 所以a ＝0，f ′(x )＝3x 2－3，f ′(0)＝－3，曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－3x .三、解答题15．求下列函数的导数．(1)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x； (2)y ＝－sin x 2(1－2sin 2x 4)． [答案] (1)y ′＝4(1－x )2 (2)y ′＝－12cos x [解析] (1)y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2(1＋x )1－x＝41－x－2，所以y ′＝(41－x －2)′＝4(1－x )2. (2)y ＝－sin x 2·cos x 2＝－12sin x ， ∴y ′＝(－12sin x )′＝－12cos x . 16．若两曲线y ＝3x 3＋ax 与y ＝x 2－ax ＋1在x ＝1处的切线互相平行，求a 的值．[答案] －72[解析] 由y ＝3x 3＋ax 得y ′＝9x 2＋a ，∴x ＝1处切线斜率为9＋a ；由y ＝x 2－ax ＋1得y ′＝2x －a ，∴x ＝1处切线斜率为2－a ，由条件知9＋a ＝2－a ，∴a ＝－72. 17．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． [答案] (1)13x －y －32＝0 (2)l ：y ＝13x ；切点(－2，－26) (3)切点为(1，－14)时，切线方程4x －y －18＝0；切点为(－1，－18)时，切线方程4x －y －14＝0[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为13x －y －32＝0.(2)解法一：设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0， 又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1， 解之得，x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y ＝－x 4＋3垂直， ∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－18. ∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14. 即4x －y －18＝0或4x －y －14＝0.。

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数学选修1-1导数测试题【选择题】1．已知定义在R上的函数f(x），其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是( )A．f（b）>f(c）〉f（d) B．f（b)〉f（a)>f(e)C．f(c）〉f(b)〉f(a) D．f(c）〉f（e)>f（d）2．函数f（x)的定义域为R，f(－1)＝2,对任意x∈R，f ′x〉2,则f（x）〉2x＋4的解集为( ）A．（－1，1）B．（－1，＋∞） C．(－∞，－1) D．（－∞，＋∞）3．设函数f(x)＝错误!＋ln x，则（)A．x＝错误!为f(x）的极大值点 B．x＝错误!为f（x）的极小值点C．x＝2为f（x)的极大值点 D．x＝2为f（x）的极小值点4．函数f（x）＝错误!＋x2－3x－4在［0，2]上的最小值是（）A．－错误! B．－错误! C．－4 D．－错误!5．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝（)A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或16．设函数f(x）＝ax2＋bx＋c（a，b,c∈R)．若x＝－1为函数f（x）e x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f（x）的图象是（)7．已知f(x）＝x3－ax在［1，＋∞）上是单调增函数,则a的最大值是( ）A．0 B．1 C．2 D．38．设动直线x＝m与函数f(x)＝x3，g（x）＝ln x的图象分别交于点M，N，则|MN｜的最小值为( ）A。

阶段质量检测(二)变化率与导数[考试时间：90分钟试卷总分：120分]三题号一二总分15 16 17 18得分第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 11．已知函数f(x)＝x2，则f′(2 )＝()1 1A．－B．－C．－8D．－164 82．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－13．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是()A．在点x＝x0处的函数值B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率4．若f(x)＝sin α－cos x，则f′(x)＝()A．sin x B．cos x C．cos α＋sin x D．2sin α＋cos x1 4( 处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为() 5．曲线y＝x＋3x3在点1，3 )1 1A．3 B．2 C. D.3 96．函数f(x)＝x sin x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图像大致为()7．若f(x)＝log3(2x－1)，则f′(3)＝()2 2 2A. B．2ln 3 C. D.3 3ln 3 5ln 318．若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为()3A．0 B．2 C．1 D．－11x2＋a29．函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0＝()xA．a B．±a C．－a D．a2110．若函数f(x)＝－e ax(a>0，b>0)的图像在x＝0处的切线与圆x2＋y2＝1相切，则a＋bb的最大值是()A．4 B．2 2 C．2 D. 2答题栏题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________.112．已知0<x< ，f(x)＝x2，g(x)＝x，则f′(x)与g′(x)的大小关系是____________．4x－113．已知函数f(x)＝＋ln(x＋1)，其中实数a≠－1.若a＝2，则曲线y＝f(x)在点x＋a(0，f(0))处的切线方程为________________．14．曲线y＝f(x)＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求下列函数的导数：1(1)y＝sin x＋；x(2)y＝(x2＋2)(3x－1)；(3)y＝x·e－x；1(4)y＝sin 2x.2216.(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；(2)f(x)是二次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.1 717．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3xf′(a)(其中a∈R)，且f(a)＝，求：3 6(1)f(x)的表达式；(2)曲线y＝f(x)在x＝a处的切线方程．118．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)在点(2，f(2))处的切线方程为x＋by＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积．答案1．选D∵f′(x)＝(x－2)′＝－2x－3，1 1(2 )＝－2×(2 )－3＝－16.∴f′2．选A由f′(x)＝2x＋a，得f′(0)＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1，故选A.3．选C4．选A函数是关于x的函数，因此sin α是一个常数．5．选D y′＝1＋x2，故切线的斜率k＝f′(1)＝2，34 4又切线过点(1，，∴切线方程为y－＝2(x－1)，3 )32即y＝2x－，31 2切线和x轴，y轴交点为( ，0 )，( 3).0，－31 12 1故所求三角形的面积＝××＝，故选D.2 3 3 96．选C∵f(x)＝x sin x，∴f′(x)＝sin x＋x cos x，∴f′(－x)＝－sin x－x cos x＝－f′(x)，∴f′(x)为奇函数，由此可排除A，B，D，故选C.2 27．选D∵f′(x)＝，∴f′(3)＝.2x－1ln 3 5ln 38．选A f′(x)＝x2－2f′(1)x－1，所以f′(1)＝1－2f′(1)－1，则f′(1)＝0.x2＋a2′x－x x2＋a22x2－a2－x2 x2－a2 9．选B因为y′＝＝＝，所以x－a2＝02x2 x2 x20，解得x0＝±a.110．选D函数的导数为f′(x)＝－e ax·a，b1 a所以f′(0)＝－e0·a＝－，b ba即在x＝0处的切线斜率k＝－，b1 1 1又f(0)＝－e0＝－b，所以切点为(0，－b)，b1 a所以切线方程为y＋＝－x，即ax＋by＋1＝0.b b1圆心到直线ax＋bx＋1＝0的距离d＝＝1，a2＋b21即a2＋b2＝1，所以a2＋b2＝1≥2ab，即0<ab≤.2又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1，所以(a＋b)2＝2ab＋1≤1＋1＝2，即a＋b≤2，所以a＋b的最大值是2，选D.11．解析：∵f(x)＝log3(x－1)，1∴f′(x)＝[log3(x－1)]′＝，x－1ln 31∴f′(2)＝.ln 341答案：ln 3112．解析：由题意，得f′(x)＝2x，g′(x)＝.2 x1 1由0<x< ，知0<f′(x)< ，g′(x)>1，4 2故f′(x)<g′(x)．答案：f′(x)<g′(x)x＋a－x－1 1 a＋1 113．解析：f′(x)＝＋＝＋.当a＝2时，f′(0)＝x＋a 2 x＋1 x＋a 2 x＋12＋1 1 7 1 1 ＋＝，而f(0)＝－，因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－ 2 )2 (－0＋2 2 0＋1 47＝(x－0)，即7x－4y－2＝0.4答案：7x－4y－2＝02 214．解析：f′(x)＝，由＝2，得x＝1，又f(1)＝0，所以与直线2x－y＋3＝2x－1 2x－10平行的切线的方程为y＝2(x－1)，则两直线间的距离，即曲线上的点到直线2x－y＋3＝0的|3＋2|最短距离为d＝＝5.5答案：51 115．解：(1)y′＝(sin x)′＋(x)′＝cos x－.x2(2)y′＝(x2＋2)′(3x－1)＋(x2＋2)(3x－1)′＝2x(3x－1)＋3(x2＋2)＝9x2－2x＋6.(3)y′＝x′·e－x＋x·(e－x)′＝e－x－x e－x＝(1－x)e－x.1 1(4)y′＝(sin 2x)′＝×2·cos 2x＝cos 2x.2 216．解：(1)由题意设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由已知Error!解得a＝1，b＝－3，c＝0，d＝3，故f(x)＝x3－3x2＋3.(2)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b. 所以x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，化简得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，此式对任意x都成立，所以Error!5解得 a ＝2，b ＝2，c ＝1，即 f (x )＝2x 2＋2x ＋1. 17．解：(1)f ′(x )＝x 2＋3f ′(a )，于是有a 213a 2 f ′(a )＝a 2＋3f ′(a )⇒f ′(a )＝－ ，∴f (x )＝ x 3－x ， 2327 1 3 7又 f (a )＝ ，即 a 3－ a 3＝ ⇒a ＝－1，6 3 2 6 1 3f (x )＝ x 3－ x ； 3 27(2)由(1)知切点为(6)， －1，1切线的斜率 f ′(a )＝－ ，27 1∴切线方程为 y － ＝－ (x ＋1)，即 3x ＋6y －4＝0.6 2118．解：(1)f ′(x )＝a － ，于是Error!解得Error!或Error!x ＋b21因为 a ，b ∈Z ，故Error!即 f (x )＝x ＋ . x －1 7 (2)由(1)知当 x ＝3时，f (3)＝ ，211 3 f ′(x )＝1－ ，f ′(3)＝1－ ＝ ，x －1 23－1 2 477 3 过点(3，2 )的切线方程为 y － ＝ (x －3)，2 4即 3x －4y ＋5＝0.切线与直线 x ＝1的交点为(1,2)， 切线与直线 y ＝x 的交点为(5,5)， 直线 x ＝1与直线 y ＝x 的交点为(1,1)． 1 从而所围三角形的面积为 ×|5－1|×|2－1|＝2.26。