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《高等数学》导数PPT课件

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《高等数学》课件5第五节 隐函数的求导公式 ppt

《高等数学》课件5第五节 隐函数的求导公式 ppt

① 在点
的某邻域内具有连续偏导数,
② F( x0 , y0 , z0 ) 0,
③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F( x, y, z) 0在点
某一邻域内可唯一确定
一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
并有
z Fx , x Fz
定理证明从略.
它满足条件 y(0) 1, 且
dy Fx x .
dx Fy y y = y (x)
d2 y dx 2
d dx
(
x) y
y
x
y2
y
y
x( y2
x) y
1 y3
,
dy 0,
dx x0
y1
d2 y dx2 x0 1.
y1
II. F( x, y, z) 0
定理2. 若函数 F ( x, y, z) 满足:
zz
zz
fu du fv dv 0
x fu d( z )
fv
d( y ) z
0
f1
(
z
d
x z2
x
dz
)
f2
(
zd
y
z2
y
dz
)
0
x f1 y f2 z2
dz
f1d x f2 d y z
dz z f1 d x z f2 d y
x f1 y f2
x f1 y f
z z F1 , x x F1 y F2
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
有隐函数组
则
GF
对 x 求导
Fx

高等数学导数的计算教学ppt

高等数学导数的计算教学ppt

第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
1 1 1 1 (arcsin x )' 2 2 (sin y )' cos y 1 sin y 1 x
有
dy dx
x x0
f ( u0 ) ( x0 )
即:因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导 ,乘以中间变量对自变量求导.
16
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.且
dy dy du . dx du dx
sin x x 1 cos x
15
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
二.复合函数的导数
定理2. 2. 3 设函数 y = f (u) 与u = (x)可以复合 成函数y=f [(x)] ，如果u = (x)在x0可导，而 y = f (u) 在对应的u0= (x0)可导，则函数y=f [(x)]在 可导，且
( C ) 0
1 ( x ) x
( sin x ) cos x
(cos x ) sin x
( arcsin x )
( a x ) a x ln a
( arccos x )
( e ) e
x
x
( arctan x ) ( arc cot x )
9
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算

高等数学(侯风波)导数与微分课件PPT

高等数学(侯风波)导数与微分课件PPT
第三章 导数与微分
第一节 导数的概念
第二节
第三节
求导法则
微分及其在近似计算中的应用
第一节 导数的概念
一、两个实例
二、导数的概念 三、可导与连续
四、求导举例
第一节 导数的概念
一、两个实例
1 .变速直线运动的瞬时速度
设一物体作变速直线运动，其路程函数为 s=s(t)， 求该物体在 t0 时刻的瞬时速度.设在 t0 时刻物体的位置 为 s( t0 ).当经过 t0 + Δt 时刻获得增量 Δt 时，物体的位 置函数 s 相应地有增量 s s (t0 t ) s (t0 ), （如下图）
y f ( x) 根 设函数 y f ( x) 在点 x 处可导,有 lim x0 x
三、可导与连续
因为 y f (0 x) f (x) x , 所以在 x 0 点的右导数:
x y x f ( 0 ) lim lim lim 1. x 0 x x 0 x x 0 x x y x f ( 0 ) lim lim lim 1 . 而左导数是: x 0 x x 0 x x 0 x
N (t ) lim
Δx 0
N (t Δ t ) N (t ) Δt
关于变化率模型的例子很多，如比热容、角速度、生物 繁殖率等等，在这里就不再一一列举了.
y 据函数的极限与无穷小的关系,可得 f ( x) ( x) . x 其中 (x) 是x 0 的无穷小，两端各乘以 x ,即得 y f ( x ) x α ( x ) x ,由此可见 lim y 0 . x 0
分别叫做函数 f ( x) 在点 x0 处的左导数和右导数， 且分别记为 f ( x0 ) 和 f ( x0 ) .

高数导数与微分PPT课件

高数导数与微分PPT课件
例1、设 y 2x5 sin x, 求 y和 y(0).
解: y 10x4 cos x, y 40x3 sin x,
y 120x2 cos x, y(0) 1
第15页/共36页
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三、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x), v v( x)可导，则
100!
练习2、设 f (x) x 1,用导数的定义求f (2).
解: f (2) lim f ( x) f (2) lim
x2 x 2
x2
lim 1 1 x2 x 1 1 2
x 11 x2
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6、导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x)在点 M ( x0 , f ( x0 ))处切线
（1）(u v) u v,
（2）(cu) cu(c是常数),
（3）(uv) uv uv, [u( x) v( x)] u( x) v( x);
（4）
u v
uv v2
uv
(v
0)
.
u( x)
v(
x
)
u( x) v( x)
.
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dy
则
dy dx
dt dx
(t) ; (t )
dt
d2y dx2
d( dy ) dx
dx
d ( (t)) dt (t)
dx
dt
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例4、设
y
f
(
x
)

高等数学导数应用(三)曲率PPT课件

高等数学导数应用(三)曲率PPT课件
高等数学导数应用 (三)曲率ppt课件
目录
• 曲率定义与计算 • 导数与曲率的关系 • 曲率在实际问题中的应用 • 曲率的应用案例分析 • 总结与展望
01
曲率定义与计算
曲率的定义
曲率是描述曲线在某一点弯曲程 度的量，定义为曲线在该点处切
线的斜率的变化率。
在二维平面上，曲线的曲率等于 其上任一点处切线的斜率的导数。
导数的性质
导数具有连续性、可导性、可积性等 性质，这些性质在研究函数的形态、 单调性、极值等问题中具有重要作用。
导数与曲率的关系
导数与曲率的关系
曲率是描述曲线在某一点弯曲程度的 量，与函数在该点的导数密切相关。 曲率等于函数在该点的导数的绝对值 。
导数与曲率的几何意义
在几何上，导数表示曲线在某一点的 切线斜率，而曲率表示该点附近曲线 的弯曲程度。因此，导数和曲率共同 决定了曲线在该点的形态。
在几何图形中，曲率的应用非常广泛，如圆、椭圆、 抛物线、双曲线等。
曲率决定了图形的形状和性质，如圆的曲率处处相等 且为常数，而抛物线的曲率只在顶点处为0。
在工程和科学研究中，曲率的应用也非常重要，如分 析机械零件的应力分布、研究光的传播路径等。
的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
05
总结与展望
总结高等数学导数应用(三)曲率的主要内容
曲率的概念
曲率是描述曲线弯曲程度的量，对于二维平面上的曲 线，曲率等于切线方向的转动角速度。
导数与曲率的关系
曲率是函数二阶导数的几何意义，即曲率等于函数二 阶导数的值。
曲率的应用
曲率在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用，如 分析机械零件的应力分布、预测股价波动等。

高等数学与工程数学课件第四章导数应用.ppt

高等数学与工程数学课件第四章导数应用.ppt

思考题 1.极值点与驻点的关系是什么? 2.说明极值与最值的区别. 3.极值存在的必要条件是什么?
答案 答案 答案
课堂练习题 1.求y = x2 2x 3的极值.
2.求出y x4 2x2 1的全部驻点.
答案 答案
第三节 函数的最大值和最小值
在工农业生产和科学实验中，常要遇到在一定条件下，怎 样用料最省、效率最高或性能最好等问题，这些问题归纳到 数学上，即为函数最大值或最小值问题.
在x 0处无极值以上三题中都有y'x0 0, y''x0 0,所以说情形(3)失 效,失效时必须用定理2来判定驻点是否为极值点.
例2 求函数f (x)(x2 1)3 1的极值.
解 因为f '(x) 6x(x2 1)2,令f '(x) 0,得驻点x 1,x 0,x 1
所以f ''(x) 6(x2 1)2 6x2(x2 1)2x 6(x2 1)(5x2 1). 又因为f ''(0)60,所以函数f (x)在x 0处取得极小值为f (0)0.
0
0
可导, 如果
(1)当x x0时, f '(x)0;当x x0时; f '(x)0,则函数f (x) 在点x0处取得极大值f (x0);
(2)当x x0时, f '(x)0;当x x0时; f '(x)0,则函数f (x) 在点x0处取得极小值f (x0);
(3)当x从x0时的左侧变化到右侧时, f '(x)不变号,则f (x) 在x0处无极值.
定理 设函数y f (x)在(a,b)内可导,若f '(x)0,x(a,b)则f (x)在 (a,b)上为增函数;若f '(x)0,x(a,b)则f (x)在(a,b)上为减函数.( 一阶导数符号和函数单调性是否为充要条件?)

高数导数公式教学内容.ppt


d4 y dx 4
,
···，dn y
dx n
,
f (x) 称为 f (x) 的一阶导数.
而把
例3 求下列函数的二阶导数
(1) y x cos x (2) y arctan x
解：
(1) y ' cos x x(sin x) cos x xsin x
y" sin x (sin x x cosx) 2sin x x cosx
(2) y ' (x2ex ) ' (x2 ) 'ex x2 (ex ) ' 2xex x2ex (x 2)xex
(3)
y'
x
( 1
x
2
)
'
x '(1
x2 ) x(1 (1 x2 )2
x2 ) '
1
x2 x(2x) (1 x2 )2
1 x2
(1 x2 )2
(4) y ' (2x3) ' (3x sin x) ' (e2 ) ' 2(x3 )'3(x sin x)'0 6x2 3(sin x x cos x)
(5) 把 x 当作中间变量， y ' (2x ) ' 2x ln 2(x) ' 2x ln 2
求导方法小结：
先将要求导的函数分解成基本初等函数,或 常数与基本初等函数的和、差、积、商.
任何初等函数的导数都可以按常数和基本 初等函数的求导公式和上述复合函数的求导 法则求出.
复合函数求导的关键: 正确分解初等函数 的复合结构.
推论 设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均 可导，则复合函数 y = f [ ( (x))] 也可导，

东华大学《高等数学AⅡ》课件 第九章 方向导数与梯度


已知方向导数公式
G
f
,
f
x y
l 0 (cos , cos )
f f cos f cos
l x
y
当l 0与G 方向一致时,
方向导数取最大值
max
f l
|
G
|
G
:
方向：f 模： f
(x, (x,
y) 变化率最大的方向 y)的最大变化率之值
22
定义2 设函数z = f (x, y)在点P(x, y)可偏导, 称向量 G为函数z = f (x, y)在点P(x, y)处的 梯度
解
z沿方向
l
的变化率即为方向导数
z .
因为 z 2 z 4
l
x (1,2)
l
的单位向量
l0
z l
(1,2)
2
1 2
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
(4)
y (1,2)
,
1 2
f l
1 2
P0
2
f x
P0
cos
f y
P0
cos
这说明在(1,2)处沿(1,1)方向海拔高度是下降的, 且
下降坡度大致为 arccos 2 45o.
cos 1 ,
9
cos 4 ,
9
cos 8 ,
9
u 8 , u 2 , u 2
x M 27
y M
27 z M 27
u 16 . l M 243
21
二、一梯个度二概元函念数与在给计定算的点处沿不同方向
的方(g向ra导di数en是t)不一样的.
问题 函数z = f (x, y)沿什么方向的方向导数为最大

高等数学第九章第七节方向导数与梯度课件.ppt


方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
7
二、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量 G
f, x
l x
y
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
grad f
f ,f ,f x y z
• 二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx (x, y) , f y (x, y))
3. 关系
• 可微
方向导数存在
偏导数存在
• f grad f l 0 梯度在方向 l 上的投影. l
思考与练习
1. 设函数
x y
x x2
1
它在点 P 的切向量为 (1, 2x) x2 (1, 4)
cos 1 , cos 4
17
17
yP o 1 2 x
60 17
例3. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
(2) grad (C u) C grad u (4) grad (u v ) u grad v v grad u
例4.
处矢径 r 的模 , 试证
证:
f (r)
x2
x y2
z2
f (r) x r

《高等数学》PPT课件


x
y
y
xy ln y xy ln x
y2 x2
例9
设
y
(x
a1 )a1 ( x
a2求
dy dx
解 两边取对数得
ln y a1 ln( x a1 ) a2 ln( x a2 ) an ln( x an )
两边对 x 求导得
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14
例10
1 y a1 a2 an
例6
设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解 等式两边取对数得
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11
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
dx
解得
dy dx
ex y xey
,
由原方程知 x 0, y 0,
dy dx
x0
ex xe
y
y
x0 y0
1.
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4
例2 设曲线C的方程为 x3 y3 3 xy,求过C上
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点 .
解 方程两边对 x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
§4、隐函数与参变量 函数微分法
完整版课件ppt
1
一、隐函数的导数
定义: 由方程F(x, y)0所确定的函数 y y(x)称为 隐函数.
相应地，y f (x)形式的函数称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:1、 方程F(x, y)0什么时候确定一个隐函数？ 2、隐函数不易显化或不能显化如何求导?
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察物体在 t 0 时刻的瞬时速度。
当时间t0由 变到 t0t时，物体经过的路
ss(t0 t)s(t0)
两端同t除 ，以 得物t体 这在 段时间内的 为
ss(0tt)s(t0)
t
t
当t0时平 ，均速 的 度极限叫作t0物 时体 刻在 的
速度，即
limlim lim t0
t0
t0
s t t0
s
(t0t) s t
(t0)
导数的概念
1、 函数 yf(x)在点 x0处导数的
设函数 yf(x)在点 x0的某邻域内有
当自变 x在量 点 x0处有改x变 (x量 0,x0x 仍在该邻域内 应） 的时 函， 数x0相 值 处在 的
变量yf (x0 x)f(x0)，比值
y f (x0 x)f(x0)
x
x
称为f函 (x)从 数x点 0变化 x0到 x的平均
导数f(x)可分为以下三个步骤：
（1）求函数的增量 yf(x x)f(x)；
（2）算比值
yf(xx)f(x)；
x
x
lim （3）取极限
y
y
x0 x
例题1 求函数y = C(Constant常数)的导数
解：（1）求函数的增量
yc，不x取 论什么 y的 值 值 ， 总 c，
y0；
（2）算比值
y 0； x
即
lim lim f(x ) y f(x x ) f(x )
x 0 x x 0
x
显然y， f(x)函 在x0 数 点 处的 f(x 导 0)就 数
导函 f(x)在 数 xx0处的函数值
在不发生混淆的情况下，导函数也称为导数。
利用导数定义求导数 由导数的定义可 函知 数y， f求 (x)的
2
2
可把 y 改写为
y 2 cos x x x sin x x x 2 cos( x x ) sin x
2
2
2
2
(2) 算比值
y x
2 cos(
x x ) sin 2
x
x 2
cos(
x
x) 2
sin x 2
x
2
(3) 取极限
lim lim y
y
cos(
x x ) sin
2、导函数的定义
若函y数 f(x)在区间 a，b（ )内每一点都
则称函y数f(x)在区（间 a，b)内可导。这y时 f函 (x)数
对每一x 个 (a，b)，都有一个确值 定与 的之 导对 数应
就构成x的 了一个新的函函 数数 ， y叫 f(x做 )对x的导
数，记f作 (x), y, dy或d(fx) dx dx
第二章 导数与微分
（一）学习目标 1、了解导数、微分的几何意义；微分在近似计
算中的应用。 2、理解导数和微分的概念，可导和连续的关系。 3、掌握导数和微分的基本公式与运算法则；掌
握复合函数求导法；隐函数求导法；对数求导法。 （二）学习重点和难点
重点 导数的概念；可导性与连续性的关系；复 合函数求导法；隐函数求导法；对数求导法。
lim lim y y 11
x x 0
x 0
即（ x） 1
例3题求函y数 x2的导数
解：（1） 求函数的增量
f(x ) x 2 ， f(x x ) (x x )2
yf(x x)f(x)(x x)2x2
2x x( x)2
（2） 算比值 y2xx(x)22xx
x
x
limlim (3) 取极限 y y (2x x)2x x 0 x x 0
即
(x2) 2x
类似地，对于y函数 x3，可得
(x3)3x2
一般地，对于幂函数
y x (是常数）有
(x)x1
幂函数的导数公式。——公式2
例如，当 1 时，
2
1
y x 2 x 的导数为
1
(x 2 )
1
1 1
x2
1
1
x2
2
2
即 （ x ) 1 2x
例题 4 求函数 y sin x 的导数
难点 复合函数求导法；隐函数求导法；对数求 导法。
导数（derivative）的概念
变速直线运动的瞬时速度
由物理学知道，物体作等速直线运动时， 它在任意时刻的速度可用公式
（速度）s
t
(路程) (时间)
来计算。只能反映物体在一段时间内的平均 速度，不能反映物体在某一时刻的速度（瞬 时速度）。
设物体作变速直线运动，其运动方程为 s = s (t) ，考
当x0时，如果平均极 变限 化存 率在 的
lim lim y f(x 0 x)f(x 0)
x 0 x x 0
x
存在，则称此函 极数 y限 f值 (x)在 为点 x0
处的导数（亦称变化率），记作 f (x0) 即
lim lim f(x 0 ) x 0 y x x 0f(x 0 x x ) f(x 0 )
（3）取极限
lim lim y y 00
x x 0
x 0
即 （C）＇= 0，常数的导数是零。—公式1
例2 题 求函 y数 x的导数
解：（1）求函数的增量
f( x ) x ， f( x x ) x x
y f( x x ) f( x ) x
（2）算比值
y x 1 x x
（3）取极限
x 2
x 0 x x 0
2 x
2
lim lim
cos(
x 0
x
x) 2
x 0
sin x 2
x
cos x
2
即
（ sin x ) cos x — —公式 3
同理可得，余弦函数的
导数为 （ cos x ) sin x — —公式 4
例题 5 求函数 y log a x (a 0，a 1，x 0) 的导数
并称函 y数 f(x)在点 x0处可导。如 不存在，则y称 f(函 x)在 数点 x0处不可
f(x0)也可记作
y , xx0
dy 或df(x)
dxxx0
dx xx0
如果x令 xx0，当 x0时，x 有 x0，则 函数在 x0处 点的导数还可以表示
lim f(x0) x x0
f(x)f(x0) xx0
解：（ 1）求函数的增量
y
f (x x)
f (x)
log a ( x x) log a x
log
a
1
x ； x
(2) 算比值
y x
log
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 x
x x
1 x
log
a
1
x x
log
a
1
解：（ 1） 求函数的增量
f ( x ) sin x , f ( x x ) sin( x x ),
y f ( x x ) f ( x ) sin( x x ) sin x
应用三角函数中的和差
化积公式：
sinA sin B 2 cos A B sin A B