广东省深圳市2021届高三下学期第二次(4月)调研数学(文)试题

深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}2|20,|2A x x x B x x =-<=<，则（ ）A ．AB =∅I B ．A B A =IC ．A B A =UD ．A B R =U 2. 已知复数z 满足()13i z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =等于（ ） A ．10 B．5 D3. 下列函数中既是偶函数，又在()0,1上单调递增的是（ ）A ．cos y x =B ．12y x = C ．2xy = D ． lg y x =4.若实数,x y 满足约束条件103020x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ． -8B ． -6 C. -2 D ．45.已知平面向量,a b v v，若2a b ==v v ，a v 与b v 的夹角6πθ=，且()a mb a -⊥，则m =（ ） A ．12B ．．2 6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若35154,60a a S +==，则20a = （ ） A ．4 B ．6 C. 10 D ．127.一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x y z 、、，当且仅当,y x y z >>时，称这样的数为“凸数”（如243），现从集合{}1,2,3,4中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（ ） A ．23 B ．13 C. 16 D ．1128.已知三棱锥S ABC -，ABC ∆是直角三角形，其斜边8,AB SC =⊥平面,6ABC SC =，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ． 64πB ．68π C. 72π D ．100π 9. 已知函数()()()22sin 0,,123f x x x ππωϕω⎡⎤=+>∈-⎢⎥⎣⎦的图象如图所示，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则()12f x x +=（ ）A ． 1B ．2 C. 3 D ．210.一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ． 24B ．48 C. 72 D ．9611.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左右顶点分别为12A A 、，M 是双曲线上异于12A A 、的任意一点，直线1MA 和2MA 分别与y 轴交于,P Q 两点，O 为坐标原点，若,,OP OM OQ 依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．)2,+∞ B ．)2,⎡+∞⎣ C. (2 D ．(2⎤⎦，12.若对任意的实数a ，函数()()1ln f x x x ax a b =--++有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．(),0-∞ C. ()0,1 D ．()0,+∞第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.13.以角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终边过点()1,2P ，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 14.已知直线:30l x my +-=与圆22:4C x y +=相切，则m = ．15.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，传本的《孙子算经》共三卷.卷中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚加一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解.如图，是解决这类问题的程序框图，若输入40n =，则输出的结果为 ．16.若数列{}{},n n a b 满足*11111,,32,n n n n n a b b a a a b n N ++===-=+∈，则20172016a a -= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，23sin cos b a B b A =+，4c =. （1）求A ；（2）若D 是BC 的中点，7AD =，求ABC ∆的面积.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，090,ACB E ∠=为11A C 的中点，112CC C E=.（1）证明：CE ⊥平面11AB C ；（2）若016,30AA BAC =∠=，求点E 到平面1AB C 的距离. 19. 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司咪推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店听其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这个x 个分店的年收入之和．x （个）2 3 4 5 6y （百万元） 2.5 3 4 4.5 6（1）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程ˆy bxa =+； （2）假设该公司在A 区获得的总年利润z （单位：百万元）与,x y 之间的关系为20.05 1.4z y x =--，请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？（参考公式：ˆy bxa =+，其中()()()1122211ˆˆ,n ni iiii i nni i i i x y nxy x x y y b a y bxx nxx x====---===---∑∑∑∑） 20.已知圆()221:14C x y -+=，一动圆与直线12x =-相切且与圆C 外切. （1）求动圆圆心P 的轨迹T 的方程；（2）若经过定点()6,0Q 的直线l 与曲线T 交于A B 、两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的平行线与曲线T 相交于点N ，试问是否存在直线l ，使得NA NB ⊥，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由.21.设函数()xf x xe ax =-（,a R a ∈为常数），e 为自然对数的底数.（1）当()0f x >时，求实数x 的取值范围；（2）当2a =时，求使得()0f x k +>成立的最小正整数k .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，点62A B ππ⎫⎫⎪⎪⎭⎭、，曲线 ():2cos 03C πρθρ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系.（1）在直角坐标系中，求点,A B 的直角坐标及曲线C 的参数方程； （2）设点M 为曲线C 上的动点，求22MA MB +的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()212,f x x a x a a R =+-+-∈. （1）若()21f a a ≤-，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()1f x ≤存在实数解，求实数a 的取值范围.参考答案1.B【解析】本题考查集合的基本运算,一元二次不等式.因为集合,,所以.选B.【备注】集合的基本运算为高考常考题型,要求熟练掌握.2.D【解析】本题考查复数的概念与运算.因为,所以,所以.选D.3.C【解析】本题考查函数的单调性和奇偶性.由题意知A,C为偶函数,而A选项在上单调递减,排除A.选C.【备注】偶函数首先要求定义域关于原点对称.的定义域为,的定义域为.4.D【解析】本题考查简单线性规划.画出可行域,如图三角形ABC所示.当过点时,取得最大值.选D.5.B【解析】本题考查平面向量的数量积.由题意知,即,所以,因为,所以,所以.选B.【备注】等价于.6.C【解析】本题考查等差数列的通项与求和.因为为等差数列,所以,所以,因为,所以,所以,即,,所以.选C.【备注】等差数列中;若,等差数列中.7.B【解析】本题考查古典概型,新定义问题.因为从集合中取出三个不相同的数共有个,由题意知,凸数有132,231,143,341,243,342,342,243共8个,所以这个三位数是“凸数”的概率.选B.8.D【解析】本题考查空间几何体的表面积.三棱锥所在长方体的外接球,即三棱锥所在的外接球;所以三棱锥的外接球的直径,即三棱锥的外接球的半径;所以三棱锥的外接球的表面积.选D.9.A【解析】本题考查三角函数的图像与性质.由题意知,函数的周期,所以,解得;当时,,所以,所以；因为,所以；所以.选A.10.B【解析】本题考查三视图,空间几何体的体积.还原出空间几何体,如图所示,该平面将长方体刚好平分,所以该几何体的体积V=48.选B.11.A【解析】本题考查双曲线的标准方程与几何性质,等比数列.由题意得,,而是双曲线上的点,令;求得直线:,:,所以;而依次成等比数列，所以,即①;而②,联立解得,;所以离心率===;经验证,当时,不满足题意,所以双曲线的离心率.即双曲线的离心率的取值范围是.选A.【备注】双曲线,离心率,.12.B【解析】本题考查函数与方程,导数在研究函数中的应用.令,则,可得,在区间上单减,在区间上单增,即在处取得极小值;令,则横过点;而函数有两个不同的零点，所以与有2个不同的交点,所以,解得,即实数的取值范围是.选B.13.-3【解析】本题考查三角函数的定义、和角公式.由题意知,所以.14.【解析】本题考查直线与圆的位置关系.因为圆的圆心为,半径为2, 直线与圆相切,所以,解得.15.121【解析】本题考查流程图.循环一次,,;循环二次,,; 循环三次,,; 循环四次,,; 循环五次,,,此时,,满足题意,结束循环,输出的.16.【解析】本题考查等比数列.因为,所以,;,将代入得:,即,即数列为等比数列,所以;所以.17.(1)由可得，即有，因为，∴，∴，∴.(2)设，则，由，可推出①，因为，所以，由可推出②，联立①②得，故，因此．【解析】本题考查三角恒等变换,诱导公式,正余弦定理,三角形的面积公式.(1)由正弦定理及三角恒等变换得，∴.(2)由余弦定理得,由三角形的面积公式得.【备注】正弦定理:,余弦定理:.三角形的面积公式:.18.(1)证明：∵直三棱柱，∴平面;∵平面，∴;∵，∴，∴;∵，∴平面∵平面，∴，∵为的中点，∴，∴与相似，且有，∵，∴；(2)在矩形中，为的中点，可得，在，由可得，从而可求得，显然有，即，为点到平面的距离，∵平面，由，可得，计算得，，∴，可推出，∴点到平面的距离是.【解析】本题考查空间几何体的体积,线面垂直.(1)证得,,∴平面∴;由与相似得，∴；(2)证得，所以为点到平面的距离，等体积法求得点到平面的距离是.19.(1)由表中数据和参考数据得：，，∴，∴，∴．(2)由题意，可知总收入的预报值与之间的关系为：，设该区每个分店的平均利润为，则，故的预报值与之间的关系为，则当时，取到最大值，故该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大．【解析】本题考查回归直线与回归方程,均值不等式.(1)代入数据得:,，，∴．(2)由题意，，当时，取到最大值.20.(1)设，分析可知：动圆的圆心不能在轴的左侧，故，∵动圆与直线相切，且与圆外切，∴，∴，∴，化简可得；(2)设，由题意可知，当直线与轴垂直时，显然不符合题意，故可设直线的方程为，联立和并消去，可得，显然，由韦达定理可知，①又∵，∴，②∵，∴，③假设存在，使得，由题意可知，∴，④由点在抛物线上可知，即，⑤又，若，则，由①②③④⑤代入上式化简可得，即，∴，故，∴存在直线或，使得【解析】本题考查抛物线的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(1)由题意得，化简可得;(2)设直线为,联立方程,套用根与系数的关系得:存在直线或，使得21.(1)由可知，当时，，由，解得；当时，，由，解得或；当时，，由，解得或；(2)当时，要使恒成立，即恒成立，令，则，当时，，函数在上单调递减；当时，，函数的上单调递增．又因为时，，且，所以，存在唯一的，使得，当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增．所以，当时，取到最小值．，因为，所以，从而使得恒成立的最小正整数的值为1．【解析】本题考查导数在研究函数、不等式中的应用.(1)分类讨论,得不等式的解.(2)构造函数,求导得:使恒成立的最小正整数的值为1．22.(1)由，解得，因为，所以；即，即，所以曲线的参数方程为：，为参数)；(2)不妨设，则=，因为，所以，因此，的取值范围是．【解析】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程.(1)将代入得,可得曲线的参数方程；(2)设，则=．23.(1)因为，所以，即，当时，不等式成立，当时，，则，解之，得，综上所述，实数的取值范围是．(2)若关于的不等式存在实数解，只需，又≥，由，解得；所以实数的取值范围是．【解析】本题考查绝对值不等式.(1)转化为，分类讨论解得．(2)问题转化为,而≥,即，解得．。

保密★启用前2021本试卷共注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹并将条形码正向准确粘贴在答2.选择题每小题选出答案后，3.非选择题必须用0.5毫米黑色如需改动，先划掉原来的答案求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁一、单项选择题：本题共有一项是符合题目要求的。

1.已知A={x∈N|x<7},B={5,6,72.已知复数i(i为虚数A. B.3.五一国际劳动节放假三天，选一天，乙同学在前两天中随率为A.16B.13C.4.函数y=23x·sin(πx)·log25.已知cosx=13,则sin(2x-A.79B.-796.设α,β为两个不同的平面，A. 充分不必要条件B.C. 充分必要条件7.F1、F2分别为双曲线C:x2交于A、B两点，若l⊥F2年深圳市高三年级第二次调研考试数学6页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液整洁，考试结束后，将答题卡交回．8道小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中。

{5,6,7,8},则集合A∪B中的元素个数为C.9D.10为虚数单位），设z是z的共轭复数，则z·z=C.2D.3，甲、乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们12D.23|x|的图象大致为2π)=C.89D.-89，直线l⊂α,则“l//β”是“α//β”的B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件-22y＝1的左、右焦点，过F1的直线l与C的左B,则22F A F B⋅u uu u r u u u u r=试卷类型：A深圳市高三年级第二次调研考试2021.4分钟。

2021年高三毕业班第二次调研测试数学（文）试题纯含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题—24题为选考题，其它题为必考题。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选填涂在答题卡上）.1．设集合，集合，则下列关系中正确的是A．B．C．D．2．设是虚数单位，则等于A．B．C．D．3．已知向量,,,若为实数，，则的值为A．B．C．D．4．已知命题：函数的图象恒过定点；命题：若函数为偶函数，则函数的图像关于直线对称，则下列命题为真命题的是A．B．C．D．5．运行如图所示的程序框图，若输出的是，则①应为A．≤B．≤C．≤D．≤6．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则它们的相关系数的绝对值越接近于；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④对分类变量与的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“与有关系”的把握越大．其中真命题的序号为A．①④B．②④C．①③D．②③7．抛物线到焦点的距离为，则实数的值为A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A．B．C．D．9．设，则A．B．C．D．10．已知函数，则的图象大致为A B C D11．已知直线与双曲线交于，两点(，不在同一支上)，为双曲线的两个焦点，则在A．以，为焦点的双曲线上B．以，为焦点的椭圆上C．以，为直径两端点的圆上D．以上说法均不正确12．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

广东省深圳市2021届高三4月第二次调研考试数学（文科）一、选择题1.i 为虚数单位，复数z ＝1＋i 的模为A. 1B. 2C. 3D. 22.已知集合M ＝{x ｜－2＜x ＜1} ，N ＝{x ｜－1＜x ＜2}，那么M ∩N ＝A 、{x ｜－2＜x ＜2}B 、{x ｜－1＜x ＜2}C 、{x ｜－1＜x ＜1}D 、{x ｜－2＜x ＜1}3、已知函数的值为4、已知命题p ：“学生甲通过了全省美术联考”；q ：“学生乙通过了全省美术联考”，那么表示 A 、甲、乙都通过了 B 、甲、乙都没有通过 C 、甲通过了，而乙没有通过 D 、甲没有通过，而乙通过了五、假设实数a ，b 知足a ＞b ，那么以下不等式成立的是6.两条异面直线在同一个平面上的正投影不．可能是 A.两条相交直线 B.两条平行直线C.两个点D.一条直线和直线外一点7、执行如图1所示的程序框图，那么输出0的概率为八、在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝3AB AC •＝A 、3B 、2C 、－3D 、－2九、过点（0，－1）的直线l 与两曲线y ＝lnx 和x 2＝2py 均相切，那么p 的值为A 、14B 、12C 、2D 、4 10.如图2，咱们明白，圆环也可看做线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积 22)()(22r R r R r R S +⨯⨯-=-=ππ.因此，圆环的面积等于是以线段r R AB -=为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长22r R +⨯π为长的矩形面积.请将上述方式拓展到空间，并解决以下问题： 绕y 轴旋假设将平面区域d)r 0}()(|),{(222<<≤+-=其中r y d x y x M 转一周，那么所形成的旋转体的体积是A. d r 22πB. d r 222πC. 22rd πD. 222rd π二、填空题(一)必做题:1一、数列{n a }知足1二、假设角α的终边过点（1,2），那么sin （πα+）的值为＿＿＿＿13、当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为＿＿＿(二)选做题:14.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系(,)(02)ρθθπ≤<中，点（1,0）关于直线2sin ρθ＝1对称的点的极坐标是 .15.(几何证明选讲选做题)如图3，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，DB ⊥BC ，AH ⊥BD ，垂足为H ，假设DC ＝33，BC ＝3，那么DH ＝＿＿＿＿ .三、解答题:16.(本小题总分值12分)已知函数)6cos(sin )(πωω++=x x x f ,其中R x ∈,ω＞0. (1) 当ω=1时,求)3(πf 的值; (2) 当)(x f 的最小正周期为π,求f （x ）在区间[0,]4π上取得最大值时x 的值.17.( 本小题总分值13分) 某企业通过调查问卷（总分值50分）的形式对本企业900名员土的工作中意度进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女员工，14名男员工）的得分，如下表：（1)依照以上数据，估量该企业得分大于45分的员工人数；（2)现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，假设规定大于平均得分为‘中意’，不然为“不中意”，请完成以下表格：〔3）依照上述表中数据，利用独立性查验的方式判定，可否在犯错误的概率不超过1%的前提下，以为该企业员工“性别”与“工作是不是中意”有关？18.( 本小题总分值13分)如图4，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥平面ABCD.（l ）假设AC ＝6，BD ＝8，PB ＝3，求三棱锥A 一PBC 的体积；（2)假设点E 是DP 的中点，证明：RD ⊥平面ACE ．19.( 本小题总分值14分)设等差数列}{n a 的公差为d ,n S 是}{n a 中从第12-n 项开始的持续12-n 项的和,即 （1）当13,2a d ==时，求4S（2）假设1S ,2S ,3S 成等比数列,问:数列}{n S 是不是成等比数列?请说明你的理由;(1) 若04151>=d a ,证明:*),14121(981111321N n d S S S S n n ∈+-≤++++ . 20.（本小题总分值14分）如图5，椭圆E:22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，F 为右核心，点A 、B 别离为左、 右极点，椭圆E 上的点到F 的最短距离为1（l)求椭圆E 的方程；(2）设t ∈R 且t ≠0，过点M(4, t)的直线MA, MB 与椭圆E 别离交于点P ，Q ．求证：点P ，F,Q 共线．20.( 本小题总分值14分)已知a 为正常数,点A,B 的坐标别离是)0,(),0,(a a -,直线AM,BM 相交于点M,且它们的斜率之积是21a -. (1) 求懂点M 的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线;(2) 当2=a 时,过点)0,1(F 作直线AM l ∥,记l 与(1)中轨迹相交于两点P ,Q,动直线AM 与y 轴交与点N,证明AN AM PQ为定值.21.( 本小题总分值14分) 设f （x ）是概念在［a ，b ］上的函数，假设存在c (,)a b ∈，使得f （x ）在［a ，c ］上单调递减，在［c ，b ］上单调递增，那么称f （x ）为［a ，b ］上单谷函数，c 为谷点。

广东省深圳市2021-2021学年高考数学二模试卷（文科） Word版含解析广东省深圳市2021-2021学年高考数学二模试卷（文科）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i是虚数单位，复数z=1+在复平面内对应的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）平面向量=（1，��2），=（��2，x），若∥，则x等于（） A． 4B．��4xC．��1 D．23．（5分）已知集合={x|1��x＞0}，B={x|2＞1}，则A∩B=（）A． ? B． {x|0＜x＜1} C． {x|x＜0}4．（5分）p：?x0＞0，x0+ A． ?x＞0，x+=2=2，则�Vp为（）C． ?x＞0，x+≥2D．{x|x＞1}B． ?x＞0，x+≠2 D．?x＞0，x+≠25．（5分）已知直线l，平面α，β，γ，则下列能推出α∥β的条件是（）A．l⊥α，l∥β B．l∥α，l∥β C．α⊥γ，γ⊥β D．α∥γ，γ∥β 6．（5分）已知某路口最高限速50km/h，电子监控测得连续6辆汽车的速度如图的茎叶图（单位：km/h）．若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为（）A．7．（5分）将函数对称，则φ的最小正值为（） A．B．C．D．的图象向右平移φ个单位，得到的图象关于原点B．C．D．8．（5分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x+y��4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（） A．9．（5分）如图所示的程序框图的功能是求处应分别填写（）的值，则框图中的①、②两B．C．D．222A． i＜5？， C． i＜5？， D．i≤5？， 10．（5分）定义在[t，+∞）上的函数f（x）、g（x）单调递增，f（t）=g（t）=M，若对任意k＞M存在x1＜x2，使得f（x1）=g（x2）=k成立，则称g（x）是f（x）在[t，+∞）上的“追2逐函数”，已知f（x）=x，给出下列四个函数：①g（x）=x；②g（x）=lnx+1；③g（x）=2��1；④g（x）=2��；其中f（x）在[1，+∞）上的“追逐函数”有（） A． 1个 B． 2个 C． 3个D．4个二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 11．（5分）等差数列{an}中，a4=4，则2a1+a5+a9=．12．（5分）若实数x，y满足，则x+y的最小值为．22xB．i≤5？，13．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为．（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在直角坐标系中，已知直线l：（s为参数）与曲线C：（t为参数）相交于A、B两点，则|AB|=．（几何证明选讲选做题）15．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C．若∠BAC=60°，BC=6，则⊙O的半径为．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）在△ABC中，已知，cos（π��B）=��．（1）求sinA与B的值；（2）若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值． 17．（12分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：时间周一周二周三周四周五车流量x（万辆） 50 51 54 57 58 PM2.5的浓度y（微克/立方米） 69 70 74 78 79 （1）根据表数据，请在下列坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？18．（14分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，AD⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，且EC⊥平面ABC，EC=2．（1）证明：DE∥平面ABC；（2）证明：AD⊥BE．19．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=��2，an+1+3Sn+2=0（n∈N）．（1）求a2、a3的值；（2）求数列{an}的通项公式；2（3）是否存在整数对（m、n），使得等式an��m?an=4m+8成立？若存在，请求出所有满足条件的（m，n）；若不存在，请说明理由．20．（14分）已知平面上的动点P与点N（0，1）连线的斜率为k1，线段PN的中点与原点连线的斜率为k2，k1k2=��（m＞1），动点P的轨迹为C．*（1）求曲线C的方程；（2）恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆：①以曲线C的弦AB为直径；②过点N；③直径|AB|=|．求m的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）=lnx��ax+（a，b∈R），且对任意x＞0，都有（1）求a，b的关系式；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求出a的取值范围并证明（3）在（2）的条件下，判断y=f（x）零点的个数，并说明理由．．；广东省深圳市2021届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i是虚数单位，复数z=1+在复平面内对应的点位于（） A．第一象限B．第二象限 C．第三象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．D．第四象限解答：解：复数z=1+=1=1��i在复平面内对应的点（1，��1）位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．2．（5分）平面向量=（1，��2），=（��2，x），若∥，则x等于（） A． 4 B．��4 C．��1 D．2考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据两向量平行的坐标表示，列出方程组，求出x的值即可．解答：解：∵平面向量=（1，��2），=（��2，x），且∥，∴1?x��（��2）?（��2）=0，解得x=4．故选：A．点评：本题考查了平面向量平行的坐标表示及其应用问题，是基础题目．3．（5分）已知集合={x|1��x＞0}，B={x|2＞1}，则A∩B=（）x感谢您的阅读，祝您生活愉快。

（新高考）2021-2022学年下学期高三4月月考卷数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|20A x x x =+-=，{}|10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 的取值组成的集合是（）A ．{}1-B ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】集合{}{}2|202,1A x x x =+-==-，{}|10B x ax =+=，当B =∅，即0a =时，显然满足条件B A ⊆；当B ≠∅时，1B a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，所以{}2B =-或{}1B =，即12a -=-或11a -=，解得12a =或1a =-，综上，实数a 的取值组成的集合是11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，故选D ．2．i 为虚数单位，复数z 满足2022(2i)i z -=，则下列说法正确的是（）装不封此卷只订密班级姓名准考证号考场号座位号A ．15z =B ．21i55z =--C ．z 的虚部为1i5-D ．z 在复平面内对应的点在第三象限【答案】D【解析】由已知202220002(21i i i )i z =⋅==--，所以()()()2i 121i 2i 2i 2i 55z -+-===----+，5z ==，A 错；21i 55z =-+，B 错；z 的虚部是15-，C 错；z 对应点坐标为21(,)55--，在第三象限，D 正确，故选D ．3．下列有关命题的说法错误的是（）A ．()2lg(23)f x x x =-++的增区间为(1,1)-B ．“1x =”是“2430x x -+=”的充分不必要条件C ．若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则1k =D ．对于命题p ：存在x ∈R ，使得210x x ++<，则:p ⌝任意x ∈R ，均有210x x ++≥【答案】C【解析】A ．令223t x x =-++，由2230x x -++>，解得13x -<<，由二次函数的性质知：t 在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又lg y t =在()0,∞+上递增，由复合函数的单调性知：()2lg(23)f x x x =-++在(1,1)-上递增，故正确；B ．当1x =时，2430x x -+=成立，故充分，当2430x x -+=成立时，解得1x =或3x =，故不必要，故正确；C ．若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程2440kx x ++=有一根，当0k =时，1x =-，当0k ≠时，16160Δk =-=，解得1k =，所以0k =或1k =，故错误；D ．因为命题p ：存在x ∈R ，使得210x x ++<是存在量词命题，则其否定为全称量词命题，即p ⌝任意x ∈R ，均有210x x ++≥，故正确，故选C ．4．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和．若20200S <，20210S >，则下列判断错误的是（）A ．数列{}n a 递增B ．10100a <C ．数列{}n a 前2020项和最小D ．10110a >【答案】C【解析】因为20200S <，20210S >，即()12020202002a a +<，()12021202102a a +>，所以120200a a +<，120210a a +>．因为10101011120200a a a a +=+<，10111202120a a a =+>，所以10100a <，10110a >，所以公差101110100d a a =->，所以数列{}n a 是递增数列，其前1010项和最小，所以C 错误，故选C ．5．若61521log 2,log 5,log 7a b c ===，则（）A ．c b a >>B ．c a b>>C ．a c b>>D ．a b c>>【答案】A【解析】由题意可得333333log 2log 5log 7,,1log 21log 51log 7a b c ===+++，令()1111x f x x x ==-++，0x >，则()f x 在()0,+∞上是单调增函数，又3330log 2log 5log 7<<<，所以()()()333log 2log 5log 7a f b f c f =<=<=，即a b c <<，故选A ．6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为底面ABCD 的中心，111D Q D A λ=，()0,1λ∈，N 为线段AQ 的中点，则下列命题中正确的个数为（）①CN 与QM 共面；②三棱锥A DMN -的体积跟λ的取值无关；③当13λ=时，过A ，Q ，M 三点的平面截正方体所得截面的周长为422133+；④14λ=时，AM QM ⊥．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】在ACQ △中，因为M ，N 为AC ，AQ 的中点，所以//MN CQ ，所以CN 与QM 共面，所以①正确；由A DMN N ADM V V --=，因为N 到平面ABCD 的距离为定值12，且ADM △的面积为定值14，所以三棱锥A DMN -的体积跟λ的取值无关，所以②正确；当13λ=时，取11113D H D C = ，连接HC ，则11//HQ A C ，又11//AC A C ，所以//HQ AC ，所以,,,,A M C H Q 共面，即过A ，Q ，M 三点的正方体的截面为ACHQ ，由413193AQ CH ==+=，则ACHQ 是等腰梯形，且111233QH A C ==，所以平面截正方体所得截面的周长为2442213221393l =++=，所以③正确；当14λ=时，134A Q =，可得212AM =，2221192511616AQ AA A Q =+=+=，取11,AD A D 的中点分别为,N E ，连接,EN EM ，则222114EM MN EN =+=+，在直角三角形MEQ 中，222222112112416QM ME EQ ⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222AM QM AQ +>，所以AM QM ⊥不成立，所以④不正确，所以正确的命题个数是3个，故选C．7．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（）A ．1B ．12C ．22D ．52【答案】C【解析】因为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,M x y ，显然当00y <时，0OM k <；当00y >时，0OM k >，则要想求解直线OM 的斜率的最大值，此时00y >，设(),P m n ，因为2PM MF =，所以2PM MF =，即()00001,2,2x m y n x y ⎛⎫--=--⎪⎝⎭，解得00313m x n y =-⎧⎨=⎩，由于22n m =，所以()2009231y x =-，即2003123y x +=，由于00y >，则00200001313122323OM y y k x y y y ===≤=++，当且仅当003123y y =，即023y =时，等号成立，故直线OM 的斜率的最大值为22，故选C ．8．已知定义域为()0,∞+的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【解析】因定义域为()0,∞+的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则存在唯一正实数t 使得()1f t =，且()ln f x x t -=，即()ln f x t x =+，于是得()ln 1f t t t =+=，而函数ln t t +在(0,)+∞上单调递增，且当1t =时，ln 1t t +=，因此1t =，()1ln f x x =+，方程()222421ln 42ln 43f x x x x x x x x x =-+-⇔+=-+-⇔=-+-，于是得方程()242f x x x =-+-的解的个数是函数ln y x =与243y x x =-+-的图象公共点个数，在同一坐标系内作出函数ln y x =与243y x x =-+-的图象如图，观察图象知，函数ln y x =与243y x x =-+-的图象有3个公共点，所以方程()242f x x x =-+-的解的个数为3，故选A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60）､[60，70）､[70，80）､[80，90）､[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）A ．图中的x 值为0.020B ．这组数据的极差为50C ．得分在80分及以上的人数为400D ．这组数据的平均数的估计值为77【答案】ACD【解析】由(0.0050.0350.0300.010)101x ++++⨯=，可解得0.020x =，故选项A 正确；频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项B 不正确；得分在80分及以上的人数的频率为(0.0300.010)100.4+⨯=，故人数为10000.4400⨯=，故选项C 正确；这组数据的平均数的估计值为：550.05650.2750.35850.3950.177⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故选项D 正确，故选ACD ．10．已知函数()22sin cos f x x x x =+，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是曲线()f x 的一个对称中心C ．12x π=-是曲线()f x 的一条对称轴D ．()f x 在区间5,612ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ACD 【解析】())sin21cos2sin2f x x x x x =+-=-+2sin 23x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，22T ππ==，A 对；6π⎛ ⎝是曲线()f x 的一个对称中心，B 错；232x k πππ-=+，5122k x ππ=+，k ∈Z ，1k =-时，12x π=-，∴12x π=-是()f x 的一条对称轴，C 对；2232x πππ-<-<，5266x ππ-<<，51212x ππ-<<，∴()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，D 对，故选ACD ．11．圆221:20Q x y x +-=和圆222:240Q x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -=B ．P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为212+C ．公共弦AB 的长为22D ．圆1Q30y -=的距离为12【答案】ABD【解析】圆221:20Q x y x +-=的圆心1(1,0)Q ，半径11r =，选项A ：由2220x y x +-=和22240x y x y ++-=两式作差得440x y -=，则公共弦AB 所在直线方程为0x y -=，判断正确；选项B ：圆心1(1,0)Q 到直线AB22=，则圆1Q 上动点P 到直线AB 距离的最大值为212+，判断正确；选项C ：公共弦AB的长AB ==．判断错误；选项D ：圆心1(1,0)Q30y -=12=，又圆221:20Q x y x +-=的半径11r =，则圆1Q 30y -=的距离为12．判断正确，故选ABD ．12．如图，圆О是边长为ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM xBA yBD =+（x ，y ∈R ），则2x y +可以取值为（）A ．16B ．13C ．23D ．1【答案】CD【解析】根据三角形面积公式得到11sin 6022l r S AB AC ⨯⨯==⨯⨯⨯︒周长，可得到内切圆的半径为1；以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y轴，建立坐标系，可得到点的坐标为(B，C ，(0,3)A ，(0,0)D ，(cos ,1sin )M θθ+，(cos sin )BM θθ=++，BA =，BD =，∵BM xBA yBD =+，∴(cos sin ),3)BM x θθ=+=+，∴cos θ=+，sin 31x θ=-，∴1sin 3sin 233x y θθ+⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，sin 4242sin 33333x y θπθ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，1sin 13πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ ，2223x y ∴≤+≤，故选项CD 满足，故选CD ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos csin 0C A +=，c =4b =，则sin A =__________．【答案】2114【解析】cos sin 0C c A +=cos sin sin 0A C C A +=，因为()0,A π∈，所以sin 0A >sin 0C C +=，则tan C =又()0,C π∈，所以2π3C =．由余弦定理2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅，即(2222π424cos3BC BC =+-⨯⋅⋅，解得2BC =或6BC =-（舍去），由正弦定理得sin sin BC AB A C =，即2272πsin sin 3A =，所以21sin 14A =，故答案为2114．14．设2022220220122022(12)x a a x a x a x +=+++⋯+，则31223222a a a -+- 202120222021202222a a +-=______．【答案】1【解析】由题意令0x =，可得01a =，令12x =-，可得20223202120221202320212022(11)22222a a a a a a -=-+-+⋯-+，所以3202120221202320212022122222a a a a a a =-+-⋯+-=，故答案为1．15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有多少种？【答案】120【解析】由题设可得4种颜色必须全用上，1，5，6这三块共有34A 种栽种方法，如果2与5或6同色，则2，3，4共有2214⨯⨯=；如果2与5或6异色，则2，3，4共有1111⨯⨯=；故不同的栽种方法总数为()3441120A +=，故答案为120．16．有五个球编号分别为1~5号，有五个盒子编号分别也为1~5号，现将这五个球放入这五个盒子中，每个盒子放一个球，则恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为_________（用数字作答），记ξ为盒子与球的编号相同的个数，则随机变量ξ的数学期望()E ξ=___________．【答案】45，1【解析】恰有四个盒子的编号与球的编号不同，就是恰有1个编号相同，先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有155C =种情况，不妨设5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为(2，1，4，3)，(2，3，4，1)，(2，4，1，3)，(3，1，4，2)，(3，4，1，2)，(3，4，2，1)，(4，1，2，3)，(4，3，1，2)，(4，3，2，1)共9种，故恰好有一个球的编号与盒子的编号相同的投放方法总数为5945⨯=种；若恰有2个编号相同，先在五个球中任选两个球投放到与球编号相同的盒子内有25C 种，剩下的三个球，不妨设编号为3，4，5，投放3号球的方法数为12C ，则投放4，5号球的方法只有一种，根据分步计数原理共有215220C C =种；若恰有3个编号相同，先在五个盒子中确定3个，使其编号与球的编号相同，有3510C =种情况，剩下有2个盒子放2个球；其编号与球的编号不同，只有1种情况；由分步计数原理可知共有11010⨯=种；若恰有5个编号相同（不可能恰有4个相同），有1种方法，因为这五个球放入这五个盒子中，每个盒子放一个球共有55120A =种方法，所以0个编号相同的方法为120452010144----=种，综上，ξ可取的值为0，1，2，3，5，()()()4445200,1,2120120120P P P ξξξ======，()()1013,5120120P P ξξ====，444520101012351120120120120120E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为45，1．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3tan tan cos B A a B=+．（1）求A ；（2）若D 为BC上一点，且3BC BD ==，3AD =，求ABC △的面积．【答案】（1）23A π=；（2）2734．【解析】（1）在ABC △中，因为3tan tan cos B A a B =+，所以由正弦定理得sin sin sin cos cos cos C B A A B B A =+，即3sin sin cos cos sin sin cos cos cos C B A B A A B B A+=．因为()()sin sin sin C C A B π=-=+，所以31sin cos A A =，即tan A =，因为()0,A π∈，所以23A π=．（2）在ABC △中，因为3BC BD ==，23A π=，所以a =．由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2220b bc c +-=，解得b c =（2b c =-舍去）．因为()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+．所以222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，即222422132cos 9939c cb b π=+⨯+．因为b c =，所以22339c =，解得227c =，所以ABC △的面积11sin 272224ABC S bc A ==⨯⨯=△，即ABC △的面积为2734．18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，60ABC ∠=︒，11222AB PA BC ===，M 为棱PC 上的动点．（1）证明：平面ABM ⊥平面PAC ；（2）若异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为3714，求此时平面ABM 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）133133．【解析】（1）因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，因为在△ABC 中，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，所以由余弦定理得2222cos 12AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=，所以3AC =所以222BC AB AC =+，所以AB AC ⊥．又PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面P AC ．又AB ⊂平面ABM ，所以平面ABM ⊥平面P AC ．（2）由（1）知直线AB ，AC ，AP 两两垂直，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,0,4P，()0,C ，则()2,0,4PB =-，()2,BC =- ，()2,0,0AB =，()0,4PC =- ，设()01PM PC λλ=≤≤，则()0,,4PM λ=- ，所以()0,,44M λ-，()0,,44AM λ=-．设异面直线AM 与BC 所成的角为α，则37cos 14AM BC AM BC α⋅==14=，解得12λ=，所以()2AM =．设平面ABM 的一个法向量为(),,x y z =m ，则00AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即2020z x +==⎪⎩，令y =，得32z =-，所以32⎛⎫=- ⎪⎝⎭m ；设平面PBC 的一个法向量为(),,x y z '''=n ，则00BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即20240x x z '''⎧-+=-='⎪⎨⎪⎩，令1x '=，得33y '=，12z '=，所以311,,32⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n ，所以311334cos ,133-⋅==m nm n m n，所以平面ABM 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为133133．19．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，且121n n a a n +=+-，若2n n n b a =，{}n b 的前n 项和为n S ．（1）求证：{}n a n +为等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求4S ，并求满足不等式242n S >的最小正整数n 的值．【答案】（1）证明见解析，2n n a n =-；（2）4242S =，最小正整数5n =．【解析】（1）()()11211222n n n n n n a n a n n a na na na n++++-+++===+++ ，又112a +=，∴数列{}n a n +是以2为首项，2为公比的等比数列，2n n a n ∴+=，2n n a n ∴=-．（2）由（1）得：()2242n n n n n b n n =-=-⋅，则()()()21231444122232122n n n n S n n -=++⋅⋅⋅+-⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，()()()2234122444122232122n n n n S n n +=++⋅⋅⋅+-⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，两式作差得：()()223144422222n n n n S n +=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+-⋅()()141421221412n n n n +--=+-⋅--()1111144410222123333n n n n n n n +++++=-+--⋅=---，441025633224233S ∴=⨯-⨯-=；()()21211114104102124123333n n n n n n n n S S n n n +++++++-=-⋅--+-+=-+ ()11221n n n ++=--，又()()21121121210n n n n n +++-+----=->，1221222n n +∴--≥-=，10n n S S +∴->，n S ∴单调递增，又4242S =，∴满足不等式242n S >的最小正整数5n =．20．（12分）1G 和2G 时代．我们的听觉得以随时随地的延伸，掏出手机拨通电话，地球那头的声音近在咫尺．到了3G 时代，我们的视觉也开始同步延伸，视频通话随时随地，一个手机像一个小小窗口，面对面轻声闲聊笑靥如花，天涯若比邻．4G 时代，我们的思想和观念得以延伸，随时的灵感随时传上网，随手的视频随手拍和发，全球同步可读可转可评，个人所有的思想和观点能够在全球的信息网络中延伸、保存、碰撞、交流，博客、微博、微信朋友圈、抖音等等这些我们生活中极其常见的社交网络正是延伸与交流之所．现在，5G 的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G 经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在1月份至6月份的5G 经济收入y （单位，百万元）关于月份x 的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图．月份x 123456收入y （百万元）6．68．616．121．633．341．0（1）根据散点图判断，y ax b =+与e dx y c =（a ，b ，c ，d 均为常数）哪一个更适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y 关于x 的回归方程，并预测该公司7月份的5G 经济收入；（结果保留小数点后两位）（3）从前6个月的收入中随机抽取2个，求恰有1个月的收入超过20百万元的概率．参考数据：其中，设ln u y =，()ln 1,2,3,4,5,6i i u y i ==．参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(),i i x v ()1,2,3,,i n = ，其回归直线 ˆv x a β=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ()121((niii nix x v v x x β=--=-∑∑，ˆa v x β=-．【答案】（1）e dx y c =；（2） 1.520.38e e x y =，7月份的5G 经济收入65.35；（3）35．【解析】（1）散点图中的点的分布不是一条直线，相邻两点在y 轴上的差距是增大的趋势．故选用dx y ce =作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程更合适．（2）由e dx y c =，取对数可得ln ln y c dx =+，设ln u y =，所以ln u dx c =+，123456 3.56x +++++==，621()17.50i i x x =-=∑，()61( 6.73i i i x x u u =--=∑，2.85u =，所以()61621( 6.730.3817.5()iii ii x x u u d x x ==--==≈-∑∑，2.850.38 3.5ln c =⨯+，所以ln 2.850.38 3.5 1.52c =-⨯=，ln 0.38 1.52y x =+，即 1.520.38e e x y =，当7x =时， 1.520.387 1.520.387 1.52 2.66e e e e e 4.5714.365.35y ⨯+⨯=⨯==⨯≈⨯≈．（3）由题意可知1，2，3月的收入没有超过20百万，4，5，6月的收入超过20百万．从前6个月的收入中随机抽取2个，共有2615C =种不同的取法，其中恰有1个月的收入超过20百万元共有11339C C =种取法，则从前6个月的收入中随机抽取2个，求恰有1个月的收入超过20百万元的概率93155P ==．21．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，且经过点(2,0)A -，(2,0)B ，过点2(,0)3M -作直线l 与椭圆交于点P ，Q （点P ，Q 异于点A ，B ），连接直线AQ ，PB 交于点N ．（1）求椭圆的方程；（2）当点P 位于第二象限时，求tan PNQ ∠的取值范围．【答案】（1）2214x y +=；（2）10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）由题意知，2a =，又22232c a b c e a =+==，，所以1c b ==，故椭圆的标准方程为2214x y +=．（2）设直线PB 倾斜角为α，斜率为1k ，直线AQ 倾斜角为β，斜率为2k ，直线PQ 的方程为23x my =-，则221432x y x my ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去x ，得22432(4)039m y my +--=，2216324(4)099Δm m =+⨯+>，设()()1122,,P x y Q x y ，，1212224323(4)9(4)m y y y y m m +==-++，，有12128()3my y y y =-+，所以22112221222111121212121128168(2)2(2)333322484(2)(2)33332y y my my y y y y k x y x y k y x y my my y y y y x -----+-=====+-++---，即212k k =，则12111221211112tan tan 1tan tan()11tan tan 112122k k k k k PNQ k k k k k k αβαβαβ-----∠=-=====+⋅++++，因为点P 位于第二象限，则11(,0)2k ∈-，所以1112(,3)k k +∈-∞-，故1111tan (0,)132PNQ k k -∠=∈+．22．（12分）已知函数211()ln 2f x x a x x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，其中0a >．（1）当1a =时，求函数()y f x =在区间(0,e]上的最大值；（2）若10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，证明对任意()12121,,12x x x x ⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，()()12221212f x f x x x -<-恒成立．【答案】（1）21e 2e 12-+；（2）证明见解析．【解析】（1）当1a =时，则函数22111()(1ln 2ln 212f x x x x x x x =-++=-+，其定义域为(0,)+∞，则()22121(1)20x x x f x x x x x-+-'=-+==≥在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在区间(0,e]为单调递增函数，所以当e x =时()f x 有最大值为2max 1()(e)e 2e 12f x f ==-+．（2）由函数211()()ln 2f x x a x x a =-++，则1()()11()()(0)x a x a f x x a x a x x --'=-++=>，令()0f x '=，x a =，1x a =，又1(0,2a ∈，11022a a<<<<，当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内是减函数，因为12x x ≠，不妨设12112x x ≤<≤，则2212x x <，于是122212()()12f x f x x x -<-，等价于22121211()()22f x f x x x ->-，即22112211()()22f x x f x x ->-，令211()()ln ()(0)2g x f x x x a x x a =-=-+>，因11()(g x a x a '=-+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内是减函数，故11()()2()202g x g a a ''≤=-+≤-=，从而()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内是减函数，∴对任意12112x x <<<，有12()()g x g x >，即22112211()()22f x x f x x ->-，∴当1(0,2a ∈时，对任意12121,,1()2x x x x ⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，122212()()12f x f x x x -<-恒成立．。

广东省深圳市2021届高三二模试题文科数学word版绝密★启用前试卷类型：a2021年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）2021.4本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题挑选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，例如须要改动，用橡皮擦整洁后，出马涂抹其它答案，答案无法答在试卷上．不按建议ED79的，答案违宪．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．答题挑选搞题时，恳请先用2b铅笔ED79挑选做题的题号对应的信息点，再金榜题名．漏涂、错涂、多涂的答案违宪．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参照公式：若锥体的底面积为s，低为h，则锥体的体积为v?1sh．3若柱体的底面积为s，高为h，则柱体的体积为v?sh．若球的半径为r，则球的体积为v?一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分后，满分50分后．在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的．1．已知集合a?{2,0}，b?{1,2}，则集合a?b43πr．3(a?b)?第1页/共14页a．?b．{2}c．{0,1}d．{0,1,2}2.i为虚数单位，则复数i?(1?i)的虚部为a．ib．?ic．1d．?13.为了介绍某学校2000名高中男生的身体发育情况，抽检了该校100名高中男生的体重情况.根据税金数据图画出来样本的频率分布直方图，据此估算该校高中男生体重在70～78kg的人数为a．240b．160c．80d．604.在平面直角坐标系中,落在一个圆内的曲线可以是频率组距0.090.070.040.020.0154586266707478重量（kg）第3题图1,x为有理数y)??a．xy?1bd．(x0,x为无理数?c．3x?2y?15.tan2021??a.(0,d．2y?sin3?x3333)b.(,1)c.(?1,?)d.(?,0)333326．若对任一正数x，均存有a?1?x，则实数a的值域范围就是a.??1,1?b.(?1,1)c.??1?x,1?x?d.(?1?x,1?x)7．曲线y?()在x?0点处的切线方程是12x?ln?20?y??10a.x?yln2b.xln2c.x?y?1?0d.x?y?1?08．已知命题p：“对任意a,b?n，都有lg(a?b)?lga?lgb”；命题q：“空间两条直线为异面直线的充要条件就是它们相同在任何一个平面内”．则a.命题“p?q”为真命题b.命题“p?q”为假命题c.命题“(?p)?q”为真命题d.命题“p?(?q)”为真命题9.某零件的也已（主）视图与侧（左）视图均就是如图所示的图形（实线共同组成半径为2cm的半圆，虚线就是等腰三角形的两1cm1cm第2页/共14页2cm2cm第9题图腰），俯视图是一个半径为2cm的圆（包括圆心），则该零件的体积是48πcm3b．πcm333203πcm3c．4πcmd．310.线段ab就是圆c1:x2?y2?2x?6y?0的一条直径，距心率为5的双曲线c2以a,ba．为焦点．若p就是圆c1与双曲线c2的一个公共点，则pa?pb?a.22b.42c.43d.62二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题．11.按照右图的工序流程，从零件至成品最少必须经过______道加工和检验程序，引致废品的产生存有_____种相同的情形．12.已知递增的等比数列?an?中,第11题图a13?.a10??1,0.1313,0.0155,?，13.无穷循环小数可以化成有理数，如0.1999333a2?a8?3,a3?a7?2,则（表示成最简分数请你归纳出0.017m,n,m?n?)．n（二）Suippes题：第14、15为题Suippes题，学生就可以从中选搞一题．14.(坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l:?cos??t（常数t?0)）与曲线c:??2sin?切线，则t?．15．（几何证明选讲选做题）如图，ab是半圆的直径，弦ac和弦bd平行于点p，且ab?3dc，则sin?apd?．dcpa第15题图b三、答疑题：本大题共6小题，满分80分后．答疑须写下文字说明、证明过程和编程语言步骤．16．（本小题满分12分后）在?abc中，角a为锐角,记角a,b,c所对的边分别为a,b,c.设向量第3页/共14页πm?(cosa,sina),n?(cosa,?sina),且m与n的夹角为.3（1）谋m?n的值及角a的大小；（2）若a?7,c?3，求?abc的面积s．17．（本小题满分12分后）设函数f(x)?x2?bx?c，其中b,c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件a“f(1)?5且f(0)?3”出现的概率.(1)若随机数b,c?{1,2,3,4}；(2)已知随机函数rand()产生的随机数的范围为x0?x?1,b,c是算法语句b?4?rand()和c?4?rand()的继续执行结果．(备注:符号“?”则表示“乘号”)18．（本小题满分14分）例如图，四棱柱abcd?a1bc11d1的底面abcd就是平行四边形，e,f分别在棱bb1,dd1上，且af?ec1．（1）求证：ae?fc1；（2）若aa1?平面abcd，四边形aec1f就是边长为6的正方形，且be?1，df?2，求线段cc1的长,并证明：ac?ec1.第4页/共14页19．（本小题满分14分）未知二次函数f?x?的最小值为?4,且关于x的不等式f?x??0的边值问题为x1x3,xr,（1）求函数f?x?的解析式；（2）求函数g(x)?f?x??4lnx的零点个数.x20．（本小题满分14分后）如图，m,n是抛物线c1:x2?4y上的两动点（m,n异于原点o），且?omn的角平分线垂直于y轴，直线mn与x轴，y轴分别相交于a,b.(1)谋实数?,?的值，使ob??om??on；(2）若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆c2经过a,m.求椭圆c2焦距的最大值及此时c2的方程.21．（本小题满分14分）第5页/共14页c1ynbmaoc2x第20题图。

2021年广东省深圳市高三第二次调研考试数学（文）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知i 为虚数单位，在复平面内，复数321ii-+对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．设,A B 是两个集合，则“x A ∈”是“()x AB ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（ ）A ．3y x =B ．y =C ．1y x=D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭4．在等差数列{}n a 中，若前10项的和1060S =，77a =，则4a =( ) A ．4B ．4-C ．5D ．5-5．设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//m l 6．若直线3x π=是函数()()sin 2f x x ϕ=+（其中2πϕ<）的图象的一条对称轴，则ϕ的值为（ ）A ．3π-B ．6π-C ．6πD ．3π 7．在如图所示的流程图中，若输入的,,a b c 的值分别为2，4，5，则输出的x =（ ）A ．1B ．2C ．lg 2D ．108．将一颗骰子掷两次，则第二次出现的点数是第一次出现的点数的3倍的概率为（ ） A ．118B ．112C ．16D ．139．在平面直角坐标系xOy 中，若,x y 满足约束条件240100x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为（ ） A ．73B ．1C ．2D ．410．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43 B ．53 C ．158D ．211．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．203πB ．8πC ．9πD ．193π12．已知函数()g x 的图象与函数()()ln 1f x x a =+-的图象关于原点对称，且两个图象恰好有三个不同的交点，则实数a 的值为（ ） A ．1eB ．1C ．eD ．2e二、填空题13．已知点F 为抛物线2:4E y x =的焦点，点()2,A m 在抛物线E 上，则AF =___________．14．函数()23ln f x x x x =-+在___________处取到极大值．15．《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有恒厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，则m 的值为，问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进―尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也进―尺，以后每天减半，如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞之和，则n S = 尺．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()22:434C x y -+-=，点A B 、在圆C 上，且23AB =，则OA OB +的最小值是___________．三、解答题17．在ABC ∆中，点M 是边BC 上的一点，03,210,45BM AC B ==∠=，310cos BAM ∠=． （1）求线段AM 的长度； （2）求线段MC 的长度．18．2021年全国两会，即中华人民共和国第十二届全国人民代表大会第四次会议和中国人民政治协商会议第十二届全国委员会第四次会议，分别于2016年3月5日和3月3日在北京开幕．为了解哪些人更关注两会，某机构随机抽取了年龄在1575岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示，其分组区间为：[)[)[)[)[]15,25,25,35,35,45,55,65,65,75．把年龄落在区间[)15,35和[]35,75内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”，经统计“青少年人”与“中老年人”的人数之比为9：11．（1）求图中a b 、的值；（2）若“青少年人”中有15人在关注两会，根据已知条件完成下面的22⨯列联表，根据此统计结果能否有99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会？关注 不关注 合计青少年人 15 中老年人 合计5050100附参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：()20P K k ≥ 0.05 0.010 0.00119．如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，四边形ABCD 为菱形，四边形ADEF 为矩形，M N 、分别是EF BC 、的中点，02,60AB AF CBA =∠=．（1）求证：DM ⊥平面MNA ；（2）若三棱锥A DMN -的体积为3A 到平面DMN 的距离． 20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的上顶点P 在圆()22:29C x y ++=上，且（1）求椭圆E 的方程；（2）若过圆C 的圆心的直线l 与椭圆E 交于A B 、两点，且1PA PB =，求直线l 的方程．21．已知()cos x f x e a x =+（e 为自然对数的底数）． （1）若()f x 在0x =处的切线过点P(1,6)，求实数a 的值；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 22．选修4-1：几何证明选讲如图，AB 为圆O 的直径，C 在圆O 上，CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交圆O 于E ，030AEC ∠=．（1）求证：AF FO =；（2）若3CF =AD AE 的值． 23．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为2cos 3x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 过极坐标系内的两点22,4A π⎛⎫⎪⎝⎭和3,2B π⎛⎫⎪⎝⎭． （1）写出曲线C 和直线l 在直角坐标系中的普通方程； （2）若P 是曲线C 上任意一点，求ABP ∆面积的最小值． 24．选修4-5：不等式选讲若关于x 的不等式x a b -≤的解集为{}|13x x -≤≤． （1）求,a b 的值；（2）若()()0y a y b --<，求11z y a b y=+--的最小值．参考答案1．D 【解析】试题分析：()()()()3213215=1112i i i ii i i -⋅---=++⋅-，在第四象限. 考点：复数运算.【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题. 2．B 【解析】 试题分析：()AB A ⊂,所以“x A ∈”是“()x A B ∈”的必要不充分条件.考点：充要条件. 3．C 【解析】 试题分析：1y x=的单调区间是()(),0,0,-∞+∞，单调区间分开，故在定义域上不是单调函数.考点：函数的单调性. 4．C 【解析】 试题分析：()()1101047410560,52a a S a a a ⋅+==+==.考点：等差数列的基本概念. 5．B 【解析】试题分析：B 正确，如果一条直线垂直一个平面，那么平行它的直线也跟这个平面垂直.考点：空间点线面位置关系. 6．B 【解析】 试题分析：2sin 1,336f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 考点：三角函数图象与性质. 7．A 【解析】试题分析：第一个判断框是比较三个数的大小，故判断为否，第二个判断框是比较,b c 的大小，故判断为否，最终lg lg lg lg101x a c ac =+===. 考点：算法. 8．A 【解析】试题分析：基本事件总数有36种，第二次出现的点数是第一次出现的点数的3倍的事件有(1,3),(2,6)两种，故概率为118. 考点：概率. 9．A 【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点52,33A ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最大值为73.考点：线性规划.10．B 【解析】试题分析：设正方形边长为2，以A 为原点建立平面直角坐标系，则()()()2,1,(0,2),2,0,2,2M D B C ,()2,2BD =-，依题意，AC AM BD λμ=+，即22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得415,,333λμλμ==+=. 考点：向量运算. 11．D 【解析】试题分析：由三视图可知，这个几何体是三棱锥.如图所示，O 为球心，F 为等边三角形BCD的外心，由图可知2222211922312R OF CF ⎛⎫⎛⎫=+=+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故外接球面积为193π.考点：三视图.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为x ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为,,a b c 长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 12．C 【解析】试题分析：由选项知0a >，故()f x 图象是有ln 1x -图象向左移a 个单位所得，根据对称性可知两个函数都过原点，()0ln 10,f a a e =-==.考点：函数图象与性质.【思路点晴】由于两个函数图象关于原点对称，且有3个交点，故对称性可知两个函数都过原点，()0ln 10,f a a e =-==.数形结合是解函数问题一个很重要的思想方法. 函数零点(方程的根)的问题，常见的类型有：(1)零点或零点存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)利用零点求参数范围问题.解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解. 13．3 【解析】试题分析：()2,A m 代入抛物线方程，解得22m =±焦点为()1,0，故183AF =+= 考点：抛物线的概念. 14．12【解析】试题分析：()()()()2'1211231230x x x x f x x x x x x ---+=-+==>，故函数在12x =处取得极大值. 考点：导数与极值. 15．11212nn n S -=-+ 【详解】试题分析：由题意知:大老鼠每天打洞的距离是以为首项,以为公比的等比数列,前天打洞之和为,同理,小老鼠每天打洞的距离为,所以,因此,本题正确答案是11212nn ． 考点：等比数列求和． 【思路点晴】解答函数应用题的一般步骤为: 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型；1.建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型；2.求模:求解数学模型,得出数学结论；3.还原:将数学问题还原为实际问题的意义,求最值常用基本不等式或导数． 16．8 【解析】试题分析：由图可知，AB 中点D 在以()4,3为圆心，半径为1的圆上，且2OA OB OD +=.而OD 的最小值为114OO -=，故28OA OB OD +=≥.考点：直线与圆的位置关系.【思路点晴】本题属于秒杀题.由于圆的方程是给定的，我们就先画出这个圆.然后23AB =1，也就意味着AB 中点D 在以()4,3为圆心，半径为1的圆上.根据向量运算的平行四边形法则可知2OA OB OD +=，也就是说，只要求出OD 的最小值即可，最小值就等于圆心到原点的距离减去半径. 17．（1）35AM =；（2）1MC =或5MC =. 【解析】试题分析：（1）先由310cos 10BAM ∠=求10sin 10BAM ∠=，由正弦定理可求得AM =；（2）先求出()cos cos AMC BAM B ∠=∠+∠=，再根据余弦定理解得1MC =或5MC =.试题解析：（1）∵0cos 18010BAM BAM ∠=<∠<，∴sin BAM ∠==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分又∵sin 3BAM BM ∠==， ∴由正弦定理sin sin BM AMBAM B =∠∠2=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分∴AM =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）∵()cos cos 22AMC BAM B ∠=∠+∠=-=．．．．．．．．．．．．．．7分又∵AC =∴由余弦定理得((2222MC MC =+-⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分解得15MC MC ==或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：解三角形.18．（1）0.035a =，0.015b =；（2）列联表见解析，有超过99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会. 【解析】试题分析：（1）依频率分布直方图可知：()()45100.0310055100.0100.0050.005100b a ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯+++=⎪⎩，解之，得0.0350.015a b =⎧⎨=⎩；（2）根据题目所给数据，填写好表格，根据公式计算29.091K ≈，故有超过99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会. 试题解析：（1）依频率分布直方图可知：()()45100.0310055100.0100.0050.005100b a ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯+++=⎪⎩， 解之，得0.0350.015a b =⎧⎨=⎩，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）依题意可知：“青少年人”共有()1000.0150.03045⨯+=人， “中老年人”共有100-45=55人，完成的22⨯列联表如下：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 结合列联表的数据得：()()()()()()222100303520159.0915*******n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分因为()2 6.6350.01,9.091 6.635P K >=>，所以有超过99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1.频率分布直方图；2独立性检验. 19．（1）证明见解析；（2）5. 【解析】试题分析：（1）要证明线面垂直，即是证明线线垂直，也即是证,DM MA DM MN ⊥⊥，这两个都可以利用勾股定理计算证明得到；（2）采用等体积法，先设出边长AF x =，然后根据A DMN V -=计算出边长，再根据A DMN M ADN V V --=求得点A 到平面DMN 的距离. 试题解析：（1）证明：连接AC ，在菱形ABCD 中，060CBA ∠=，且AB BC =， ABC ∆为等边三角形，又 N 为BC 的中点， AN BC ⊥，//BC AD ， AN AD ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分又 平面ABCD ⊥平面ADEF ， AN ⊂平面ADEF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 AN ⊥平面ADEF ， 又DM ⊂平面ADEF ， DM AN ⊥，在矩形ADEF 中，2,AD AF M =为EF 的中点， AMF ∆为等腰直角三角形， 045AMF ∠=， 同理可证： 045DME ∠=， 090DMA ∠=， DM AM ⊥，又 AM AN A ⋂=，且,AM AN ⊂平面MNA ，DM ⊥平面MNA ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）设AF x =，则22AB AF x ==，在Rt ABN ∆中，02,,60AB x BN x ABN ==∠=，AN =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分21·22ADN S x ∆==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 平面ABCD ⊥平面ADEF ，AD 为交线，FA AD ⊥， FA ⊥平面ABCD ，设h 为点M 到平面ADN 的距离，则h AF x ==，2311···3?33M ADN CDF V S h x x -∆===，3M ADN A DMN V V --==， 1x =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 作AH MN ⊥交MN 于H ，DM ⊥平面MNA ， DM AH ⊥，AH ⊥平面DMN ，则AH 即为点A 到平面DMN 的距离．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11分在Rt MNA ∆中，MA AN == AH =，点A 到平面DMN ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1.立体几何证明垂直；2.求点到面的距离.20．（1）2214x y +=；（2）2y =-或2y =-. 【解析】试题分析：（1）上顶点为()0,b ，代入圆的方程，求得1b =，离心率c a =2214x y +=；（2）直线l 经过圆心()0,2C -，①直线l 的斜率不存在时，不合题意；②直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线的方程和椭圆的方程，有234k >，且1212221612,1414k x x x x k k +==++.代入1PA PB =，可解得k =.试题解析：（1）依题意，令0x =时，()22029y ++=，解得15y y ==-或， ∴点P 的坐标为()0,1，即1b =，又∵c e a ==2a =， ∴椭圆的方程为2214x y +=；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）∵直线l 经过圆心()0,2C -，①直线l 的斜率不存在时，不合题意；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 ②直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得：()221416120k x kx +-+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分∵()2225648140k k ∆=-+>，解之，得234k >，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 由韦达定理可得1212221612,1414k x x x x k k +==++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 又∵22112,2y kx y kx =-=-，∴()()()()21212121112124,2224y y k x x y y kx kx k x x k x x +=+-=--=-++，∴()()()1111121212,1,11PA PB x y x y x x y y y y =--=+-++()()()2221212221214813991414k k kx xk x x k k+=+-++=-+++ …………………… 10分 ()22222121489362111414k k k k k+-++===++， 解之，得25k =，即k =0∆>，∴直线l的方程为2y =-或2y =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：直线与圆锥曲线的位置关系.【方法点晴】涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断；（2）弦长、弦中点问题；（3）轨迹问题；（4）定值、最值及参数范围问题；（5）存在性问题．常用思想方法和技巧有：（1）数形结合思想；（2）设而不求；（3）坐标法；（4）根与系数关系. 研究直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往易忽视直线的斜率不存在的情况而导致失解．21．（1）4a =；（2）221,e a ππ⎡⎤⎢⎥∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）()sin xf x e a x =-'，()01f '=，()01f a =+，切线方程为1y x a =++，把点()1,6P 代入 ，解得4a =；（2）由()f x ax ≥可得()cos xe a x x ≥-,令()cos g x x x =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用导数，画出()g x 的图像，根据()g x 的零点对0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦进行分类讨论，由此求得221,e a ππ⎡⎤⎢⎥∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 试题解析：（1） ()sin xf x e a x =-'， ()01f '=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分又 ()01f a =+，()f x 在0x =处的切线方程为1y x a =++．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分把点()1,6P 代入 ，解得4a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （2）由()f x ax ≥可得()cos xe a x x ≥-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．令()cos g x x x =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()1sin 0g x x ='+≥，且()010g =-<，022g ππ⎛⎫=>⎪⎝⎭，存在0,2m π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()1g m =，且当()0,x m ∈时，()0g x <，当,2x m π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x >．．．．．．．．．．．．．．．5分（1）当x m =时，()0,cos 0me g m m m >=-=，此时，对任意a R ∈ 式恒成立；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）当,2x m π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时， ()cos 0g x x x =->，由()cos xe a x x ≥-变形可得cos xe a x x≤-，令()cos xe h x x x=-，下面研究()h x 的最小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分与()cos sin 1t x x x x =---同号．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 且()1sin cos 0t x x x =+->'对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立， 函数()t x 在,2m π⎛⎤⎥⎝⎦上为增函数，而2022t ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭， ,2x m π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0t x <， ()0h x '<， 函数()h x 在,2m π⎛⎤⎥⎝⎦上为减函数，()2min22e h x h πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，22e a ππ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分（3）当[)0,x m ∈时， ()cos 0g x x x =-<，由()cos xe a x x ≥-变形可得cos xe a x x≥-，．．．．．．．．．．由（2）可知函数()()max 01h x h ==-， 1a ≥-，综合（1）（2）（3）可得，221,e a ππ⎡⎤⎢⎥∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：函数导数与不等式.【方法点晴】解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 22．（1）证明见解析；（2）4. 【解析】试题分析：（1）连接,OC AC ，∵030AEC ∠=，∴0260AOC AEC ∠=∠=，又OA OC =，∴AOC ∆为等边三角形，∵CF AB ⊥，∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线，∴AF FO =；（2）连接BE ，证明AEB AFD ∆∆，∴AD AFAB AE=，即414AD AE AB AF ==⨯=. 试题解析： （1）证明 ： 连接,OC AC ，∵030AEC ∠=，∴0260AOC AEC ∠=∠=， 又OA OC =，∴AOC ∆为等边三角形， ∵CF AB ⊥，∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线，∴AF FO =；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）解：连接BE ，∵3CF =，AOC ∆边等边三角形， 可求得1,4AF AB ==，∵AB 为圆O 的直径，∴090AEB ∠=， ∴AEB AFD ∠=∠，又∵BAE DAF ∠=∠，∴AEB AFD ∆∆，∴AD AFAB AE=， 即414AD AE AB AF ==⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：几何证明选讲.23．（1）22143x y +=，260x y +-=；（2）1. 【解析】试题分析：（1）消参可得曲线C 的普通方程为22143x y +=．()()2,2,0,3A B ，可求得直线AB 的方程为260x y +-=；（2）由题意可设()2cos 3P θθ根据点到直线的距离公式2cos 23sin 65d θθ+-=5ABP ∆面积的最小值为15125=．试题解析：（1）曲线C 的普通方程为22143x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∵()()2,2,0,3A B ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分∴直线AB 的方程为260x y +-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由题意可设()2cos P θθ，则 点P 到直线AB的距离d =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分=≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 当sin 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时取到最小值，又AB =，所以，ABP ∆面积的最小值为112=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：坐标系与参数方程.24．（1）1,2a b ==；（2）4.【解析】试题分析：（1）显然0b >，由x a b -≤可得b x a b -≤-≤，即a b x a b -≤≤+，由题意可知：13a b a b -=-⎧⎨+=⎩，解之得1,2a b ==；（2）由题意知12y <<，()()1111121212z y y y y y y ⎛⎫=+=+-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦----⎝⎭ 212241212y y y y y --=++≥+=---. 试题解析：（1）显然0b >，由x a b -≤可得b x a b -≤-≤，即a b x a b -≤≤+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分由题意可知：13a b a b -=-⎧⎨+=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分解之，得1,2a b ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由题意可知12y <<，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分 ()()111121122121212y y z y y y y y y y y⎛⎫--=+=+-+-=++⎡⎤ ⎪⎣⎦------⎝⎭．．．．．．．．．．．．．8分 由12y <<，可得10,20y y ->->， ∴2412z y≥+=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 当且仅当2112y y y y --=--即()31,22y =∈时取到等号， ∴当32y =时，z 取得最小值为4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：不等式选讲.。

2021届广东省普通高中高三下学期4月二模考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|2x>4},集合B={x|x<a},若A∪B=R,则实数a的取值范围为A.(- ∞,4)B.(1,+∞)C.(-∞,2)D.(2,+∞)2.已知复数z=2ii+＋i(i为虚数单位），则|z|=3.2020年12月4日是第七个“国家宪法日”．某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为23，连续答对两道题的概率为12，用事件A表示“甲同学答对第一道题”，事件B表示“甲同学答对第二道题”，则P(B|A)=A. 13B.12C.23D.344. 某一次乒乓球赛的参赛队共有5小组，每小组3队．首先每小组中各队进行单循环比赛（即每两队比赛一次），然后各小组的一名再进行单循环比赛，则先后比赛的总次数为A. 15B.20C.25D.305.函数y=211x xx-+-的大致图象为6.《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿。

大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。

大鼠日自倍，小鼠日自半。

问何日相逢？”题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正对面打洞穿墙。

大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的2倍；小老鼠第一天也打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的一半．若这一堵墙厚16尺，则几日后两鼠相逢A.3B.4C.5D.67.已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为3为A. 32πB. 323πC. 10πD.24π8.已知椭圆C:2222x ya b+＝1(a>b>0)的短轴长为4,焦距为2.过椭圆C的上端点B作圆x2+y2=2的两条切线，与椭圆C分别交于另外两点M,N.则ΔBMN的面积为A.6B. 14425C.125D.152二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。