人教版数学《提公因式法》课件详解

(3)原式=(-2)100 ×(-2+1) =2100 ×(-1)=-2100.
14．(8分)(1)计算：53.6×1.6＋18.4×53.6－20×53.6； 解：原式＝53.6×(1.6＋18.4－20)＝0 (2)(黔南州中考)若ab＝2，a－b＝－1，求代数式a2b－ab2的值． 解：原式＝ab(a－b)＝－2
3.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（ C ）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n
D ．5mn2
4.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，
分是（ D ）
A．x+1 B．2x C．x+2
D．x+3
5．(3分)下列各组多项式没有公因式的是( ) C
A．2x－2y与y－x B．x2－xy与xy－y2 C．3x＋y与x＋3y D．5x＋10y与－2y－x 6．(3分)下列多项式能用提公因式法分解因式的是( )
pa+pb+pc
x2＋x
相同因式p
相同因式x
多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.
pa+ pb +pc = p( a+b+c )
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因 式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形 式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
基础知识检测
15 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． 解：∵a＋b＝7，ab＝4， ∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
方法总结：
含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进 行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子， 然后将a±b，ab的值整体带入即可.

-5ab+9b+a2b
-12ab3c+8a3b2+2ab
12x2y+18xy2 =3xy(4x + 6y)
3x2 - 6xy+x
=x(3x-6y)
- x2+xy-xz
= - x(x+y-z)
(2a+b)(3b-2a)-a(2a+b) =(2a+b)(3b-2a-a) =(2a+b)(3b-3a) =3(2a+b)(b-a)
(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)
总结
• 各项有“公”先提“公” • 首项有“负”常提“负”
（变） • 某项提出莫漏“1” • 括号里面分到“底”（简、
净）
巧妙计算
(1) 13.8×0.125+86.2×1/8
解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125
=0.125×(13.8+86.2)
巩固 4.下列变形属因式分解的是( C) A B C D
互逆关系 等式必须成立
•提公因式法 •公式法
•提公因式法
乘法分配律
ma+mb+mc = m(a+b+c)
8a3b2+12ab3c 的公因式是什么？
公因
式
4
a
最大公约数 相同字母
b2 最低指数
观察
方向 一定系数 二定字母 三定指数
例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式. 解:8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc).
知识要点

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公 因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
【例题】
【例1】把8a3b2 + 12ab3c 分解因式. 分析：找公因式 1.系数的最大公约数 4 2.找相同字母 aｂ 3.相同字母的最低指数 a1b2 公因式为：4ab2 【解析】8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc).
【解析】a（x－y）+b（y－x） =a（x－y）－b（x－y） =（x－y）（a－b）.
2. 6（m－n）3－12（n－m）2
【解析】6（m－n）3－12（n－m）2 =6（m－n）3－12［－（m－n）］2 =6（m－n）3－12（m－n）2 =6（m－n）2（m－n－2）.
1.填空 请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号， 使等式成立:
【解析】 a2－a=a(a-1). 答案：a(a-1) 3.（盐城·中考）因式分解 【解析】用提公因式法因式分解： 答案：2a(a-2)
4.写出下列多项式各项的公因式.
（1）ma+mb m （2）4kx－8ky 4k （3）5y3+20y2 5y2 （4）a2b－2ab2+ab ab
5.把下列各式分解因式 （1）8x－72 =8（x－9） （2）a2b－5ab =ab（a－5） （3）4m3－6m2 =2m2（2m－3） （4）a2b－5ab+9b =b（a2－5a+9） （5）－a2+ab－ac
=15
连接中考
1. 分解因式：a2–5a=_a_(_a_–_5_) ___ ． 2. 若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=4 ．

(3)a2-b2=(a+b)(a-b) √ (4)a2-2a+1=(a-1√)2
分析：(1)是由乘积形式转化为多项式，不属于因式分解. (2)变形后仍为和的形式，不属于因式分解. (3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式， 属于因式分解.
初中数学
探究新知
问题：观察多项式pa＋pb＋pc，有什么特点吗？
初中数学
练习 下列因式分解正确的是（ C）
A. m(a b) n(a b应) 为 ((aa-bb)()mm+nn×) B. m(x y) n( y x) (x y)(m n×)
原式变形为m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n)
C. mn(x y) mn (x y 1)mn√
D. 3(x y)2 2(x y) (x y)(2x 3y 2)×
(x-y)[3(x-y)+2] =(x-y)(3x-3y+2)
初中数学
例 用简便方法计算：
210 29 28
解： 210 29 28 28 (22 21 20 ) 28 (4 2 1)
256
初中数学
整式乘法
初中数学
x2 1
因式分解 整式乘法
(x 1)(x 1)
因式分解：是把一个多项式化为了几个整式乘积的形式. 互为逆运算
整式乘法：是把几个整式乘积的形式化为多项式.
初中数学
练习：下列变形中，属于因式分解变形的是_(3;ac × (2)x3+2x2-3=x2(x+2)-3×
练习 把下列各式分解因式：
(1) a3 a2b (3) 5x2 y 10xy2 15xy
(2) 12ab 6bc (4) 8a3b2 12ab3c ab

小试牛刀
2.先分解因式，再求值.
4a2 (x 7) 3(x 7), 其中a 5, x 3.
解：4a2 (x 7) 3(x 7) (x 7)(4a2 3) 把a 5, x 3代入原式得， 原式 (3 7)[4 (5)2 3] 10 (100 3) 970
小试牛刀
② 24x2y=3x ·8xy ③ x2-1=(x+1)(x-1)
不是；因式分解的对象是多项式 是
④ (2x+1)2=4x2+4x+1 不是；是整式乘法
⑤
1
x2+x=x2(1+ x )
不是；每个因式必须是整式
⑥ 2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 是
合作探究
思考1： 观察下列多项式，它们有什么共同特点？
小试牛刀
1.将下列各式因式分解： (1)ax+ay； (2)3mx-6my； (3)8m2n+2mn; (4)12xyz-9x2y2p; (5)2a(y-z)-3b(z-y); (6)p(a2+b2)-q(a2+b2).
(1)原式＝a(x＋y)； (2)原式＝3m(x-y)； (3)原式＝2mn(m+1); (4)原式＝3xy(4z-3xy); (5)原式＝(y-z)(2a+3b); (6)原式＝(a2+b2)(p-q).
6.分解因式： (1)－7ab－14a2bx＋49ab2y；(2)6x(a－b)＋4y(b－a)． 解：（1）原式＝－7ab(1＋2ax－7by)
（2）原式＝ 6x(a－b) － 4y(a－b) ＝ (a－b)(6x－4y) ＝ 2(a－b)(3+y=5,xy=6,求代数式2x2y+xy2的值.

动笔练一练
分解下列因式
12xyz−9x2y2=
3xy(4z−3xy)
2a(y−z)−3b(z−y)=
(2a+3b)(y−z)
−16x4+32x3−56x2= −8x2(2x2−4x+7)
p(a2+b2)−q(a2+b2)=
(p−q)(a2+b2)
人教版八年级数学上册第十四章14.3. 1 提公因式法 课件
(a−3)(a+3)=a2−9 整式乘法
x3−x=x(x2−1)
错误的因式分解
2πR+2πr=2π(R+r) 正确的因式分解
人教版八年级数学上册第十四章14.3. 1 提公因式法 课件
人教版八年级数学上册第十四章14.3. 1 提公因式法 课件
动笔练一练
C
• 多项式6ab2+18a2b2−12a3b2c的公因式（ ）
相同的字母有 b+c
最小指数是
b+c
公因式既可以 是相同的字母， 也可以是相同
的多项式。
因此公因式就是 3(b+c)
动脑想一想
−27bc+3bc2 的公因式
系数最大公约数是 −3
相同的字母有
bc
最小指数是
bc2
因此公因式就是 −3bc2
多项式首项是 负号，一般先 把负号一并提
入公因式。
动脑想一想
(3) x2-6x+9=__(x_-_3_)_2__
整式乘法
?
2 3 整数乘法6 6 因数分解 2 3
ma b c整式乘法 ma mb mc
整式乘法: 几个整式的乘积 一个多项式
ma mb mc 因式分解 ma b c

想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
因式分解 整式乘法
是方向相反 的变形.
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积.
a2b 2ab2 ab(a 2b)
判断一个式子是不是 因式分解，要看等式的左 边是不是一个多项式，右 边是不是几个整式的积的 形式.
从这两种方法列出的式子中,你发现了什么?
是多
项式的
恒等
变形
,
也就是
分解
因式的
结
18×(29＋72＋13－14)＝2018.
果的积等于多项式; 说出下列多项式各项的公因式：
(2)分解因式的结果必须是整式的积的形式,每个因式必须是整式且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数.
(3)6m2n-15mn2+30m3n ;
(3) (a+b)2 =
(2)分. 解因式的结果必须是整式的积的形式,每个因式必
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形 叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2.提公因式法分解因式
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取 出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解 因式的方法叫做提公因式法.
(6)(m+n)2-2(m+n)=(m+n)(m+n-2).
a-b ;④x2-y2和x2+y2.其中有公因式的是 A.①② B.②③
( B)
C.③④ D.①④
4.用提公因式法分解因式.
(1)4x2- 4xy+8xz ; (2)6x4- 4x3+2x2 ; (3)6m2n-15mn2+30m3n ; (4)(a+b)-(a+b)2 ; (5)x(x-y)+y (y-x) ; (6)(m+n)2-2(m+n) .

探究
把下列多项式写 成乘积的形式
(1) ma+mb+mc=( m )(a+b+c )
(2) x2 -1 =(x+1)( x-1 )
(3) a2 +2ab+b2 =( a+b )2
观察“回忆”与 “探究”，你能 发现它们之间的 联系与区别吗？
都是多项式化 为几个整式的 积的形式
人 教 版 八 年 级数学 上册课 堂课件 - 提 公 因式法
愿大家乘风破浪，在数学的海洋里自 由翱翔!驶向胜利的彼岸!
多做、多练、多思、多问
复习与回顾
计算下列各式:
x(x+1)= (x+1)(x－1)=
:整式的乘法
； .
§14.3.1提取公因式分解因式
复习回顾 教学目标 新课讲解 课堂小结 巩固练习 作业布置
教学目标：
A：知识与技能目标：了解因式分解的意义，会用提公因式 法进行因式分解. B：过程与方法目标：经历探索多项式各项公因式的过程,并 在具体问题中,能确定多项式各项的公因式;会用提公因式法 把多项式分解因式;进一步了解分解因式的意义,并渗透化归 的思想方法 C：情感与价值观目标：培养学生独立思考的习惯，同时又 要培养大家通过观察学会学习与合作交流的学习方法。
人 教 版 八 年 级数学 上册课 堂课件 - 提 公 因式法
课堂小结
• 把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这 就是因式分解。
• 公因式就是系数取各项式的最大公因数，字
母取共有的字母指数取最低次幂（三看）
• 因式分解的方法：提公因式法
人 教 版 八 年 级数学 上册课 堂课件 - 提 公 因式法
诊断
小明解的有误吗？

用“ ”来“留守”，不能为“ ”.
【正解】 − + = ( − +) .
1. 下面的多项式中，能分解因式的是( D )
A. +
B. − +
C. −
2. 下列多项式中，哪个多项式各项的公因式是 ？ ( A )
A. +
化难为易．比如：
简便计算：19＋19 2－20 2．
解：原式＝19×(1＋19)－20 2
＝19×20－20 2＝20×(19－20)＝－20．
3．运用提公因式法分解因式，简便计算：
9×168＋9×723＋9×109．
解：原式＝9×(168＋723＋109)＝9 000．
4．【例1】下列式子变形是因式分解的是( D )
【点拨】先采用提公因式法分解所求式子，从而改变式子的结构，然后整体代入
即可求值.
变式 已知 + = ， = ，求 ( + )( − ) − ( + ) 的值.
解： ∵ + = , = ，
∴ 原式 = ( + )[( − ) − ( + )]
（2） 若分解式子： + + (+) + (+) + (+) ，则需应用上述方法____

(+)
次，结果是__________．
（2） ( − ) − ( − ) .
解：原式 = ( − )( − − ) .
8. 已知 = ， + = ，求 + 的值.
解： ∵ = , + = ( + ) = ，

再提公因式
如何检查因式分 解是否正确？
(b+c)(2a-3)
=2a(b+c)-3(b+c)
点拨： 公因式不一定是单项式，也可以是多项式。
因式分解与整式乘法是互逆 关系，可以用整式的乘法运 算检验因式分解的正确性。
练习
第115页的第2题，先分解因式，再求值：
4a²(x+7)-3(x+7)，其中a=-5,x=3. 解：4a²(x+7)-3(x+7)
2a(y-z)-3b(z-y) 解：原式 =（ 2a-3b）(y-z) 【正解】原式 = 2a(y-z)+3b(y-z)
=(2a+3b)(y-z)
提出负号时括号 里的项没有变号。
【注意】提“负”要记得变号。
例题2
把2a(b+c)-3(b+c)分解因式。
先找公因式 （b+c） 2a(b+c)-3(b+c) =(b+c)(2a-3)
=4ab(2a2b + 3b2c) = 4ab2(2a2 + 3bc)
仍有公因式b， 未分解完！需 要继续分解。
总结：用提公因式法分解因式要分两步题：把下列各式分解因式。
（1）ax+ay （2）3mx-6my （3）8m²n+2mn （4）12xyz-9x²y² （5）2a(y-z)-3b(z-y) （6）p(a²+b²)-q(a²+b²)
（1）ma + mb ______
（2）4kx - 8ky
______
（3）5y2+20y2 ______
（4）a2 b -2ab2+ab ______
探究新知

(3)若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式
是-6ab，那么另一 个因式是（D ）
（A）-1-3x+4y （B）1+3x-4y
（C）-1-3x-4y 2（D）1-3x-4y
(4)若多项式(a+b)x +(a+b)x要分解因式,
则要提的公因式是 (a+b)x .
4.若a=101,b=99,求a2-b2的值.
方法二
（2）把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.
原式=28x—12x2—24x3 =4x (7 —3x —6x2 )
• 把下列各式分解因式:
(1)24x3y-18x2y (2) 7ma+14ma2 (3) -16x4+32x3-56x2 (4) -7ab-14abx+49aby
试一试:(1) 2a(y-z)-3b(y-z) (2) p(a2+b2)-q(a2+b2)
最大公约数 相同字母 最低指数
一看系数 二看字母 三看指数
你知道吗？
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1、定系数：公因式的系数是多项式各项系
数的最大公约数。
2、定字母： 字母取多项式各项中都含有的
相同的字母。
3、定指数： 相同字母的指数取各项中最小
的一个，即相同字 的公因式是什么？
课后练习
1.选择
（1）多项式6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式（C ）
（A）6ab2c （B）ab2 （C）6ab2 （D）6a3b2C （2）分解-4x3+8x2+16x的结果是（ D ）
（A）-x（4x2-8x+16） （B）x（-4x2+8x-16）

例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.
解:2a(b+c) – 3(b+c) =(b+c)(2a-3).
练习一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy (3) (5a－1)2=25a2－10a+ ；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2421:56:4021:56:40August 24, 2021 • 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午9时56分40秒21:56:4021.8.24 • 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月下午9时56分21.8.2421:56August 24, 2021 • 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年8月24日星期二9时56分40秒21:56:4024 August 2021 • 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。下午9时56分40秒下午9时56分21:56:4021.8.24
(3)5y3+20y2 ； 5y2
(4)a2b－2ab2+ab . ab
注意：各项系数都是整数时，因式的 系数应取各项系数的最大公约数；字母取 各项的相同的字母，而且各字母的指数取 次数最低的.
练习:

1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。