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【做一做 2】 已知 A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面 ABC 的一 个法向量. 解 :设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z). 由题意得 ������������ = (−1,1,0), ������������ = (1,0, −1). ������· ������������ = -������ + ������ = 0,
∵n⊥ ������������ , 且n⊥������������ , ∴
������· ������������ = ������-������ = 0. ∴平面 ABC 的一个法向量 n=(1,1,1).
令x=1,得 y=z=1.
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3.垂直与平行的相关定理 (1)线面垂直判定定理 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平 面垂直. (2)面面平行判定定理 若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平 面平行. (3)三垂线定理 若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面内的投 影,则这两条直线垂直.
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2������ , 3
【做一做3-2】 如图,已知矩形ABCD,PA=AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等 于 .
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解析 :建立如图所示的空间直角坐标系,设 |������������ | = ������, 则A(0,0,0),Q(1,b,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,a,0),
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(4)面面垂直判定定理 若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直. 说明:用空间向量解决空间线面关系的步骤: ①建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及 的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; ②通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系及它们之 间的距离和夹角等问题; ③把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.