直角三角形的判定定理“HL”
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hl判定定理
hl判定定理
HL判定定理是证明两个直角三角形全等的定理，通过证明两个直角三角形斜边和直角边对应相等来证明两个三角形全等。
具体表述为：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为HL）是一种特殊判定方法。
其中，H是hypotenuse （斜边）的缩写，L是leg（直角边）的缩写。
需要注意的是，这个定理的前提是一定要是直角三角形。
另外，这个定理可以和SSS（三边全等定理）相互转化。
也就是说，如果两个三角形的三边分别对应相等，那么这两个三角形也一定全等。
hl判断三角形全等的条件
hl判断三角形全等的条件
在平面几何中，判断两个三角形是否全等有很多种方法。
其中一种方法是使用HL定理。
HL定理是指如果两个三角形中有一组边长相等，且这些边所对的角度也相等，那么这两个三角形就全等。
具体来说，如果两个三角形中的一组对应边长相等，例如AB=DE，BC=EF，且这些边所对的角度也相等，即∠BAC=∠EDF，那么这两个三角形就全等。
需要注意的是，HL定理只适用于求解直角三角形之间的全等关系。
因为只有在直角三角形中，斜边与斜边所对的角度相等，才可以使用HL定理。
而在非直角三角形中，可能存在两个不同的三角形，它们的两个边长和所对的角度都相等，但是它们并不全等。
除了HL定理以外，还有SSS定理、SAS定理、ASA定理和AAS定理等方法可以判断三角形的全等关系。
其中SSS定理是指如果两个三角形的三条边分别相等，那么它们全等；SAS定理是指如果两个三角形中某一对边和它们之间的夹角相等，且另一对相邻边分别相等，那么它们全等；ASA定理是指如果两个三角形中某一对角度和它们之间的夹边相等，且另外两条边分别相等，那么它们全等；AAS定理是指如果两个三角形中两对角度和一对边分别相等，那么它们全等。
- 1 -。
《直角三角形全等的判定(HL)》教案
3若AB=DE;BC=EF;则△ABC与△DEF 填“全等”或“不全等”;根据用简写法..4若∠A=∠D;AC=DF则△ABC与△DEF 填“全等”或“不全等”;根据用简写法..归纳：两个直角三角形全等的类型：ASA ;AAS ;SAS ;AAS 一锐角一直角边;一锐角一斜边;两直角边;共四种情形3、探究：一斜边一直角边对应相等;两直角三角形是否全等1情景引入如图;两根长度为12米的绳子;一端系在旗杆上;另一端分别固定在地面两个木桩上;两个木桩离旗杆底部的距离相等吗请说明你的理由..2情景分析∵∠ADB=∠ADC=90°∴转化成：在Rt △ ABD 和Rt△ ACD中已知AB=AC探究：BD=CD如果Rt△ABD≌Rt△ACD;那么BD=CD 全等三角形对应边相等.3画图探究１、任意画出一个Rt△ ABC;使∠Ｃ＝９０°;２、再画一个Rt△ A ′ B ′ C ′;使∠Ｃ′＝９０°;B ′C ′＝ＢＣ; A ′ B ′＝ＡＢ．３、把画好的Rt△ A ′ B ′ C ′剪下来;放到Rt△ ABC上;观察它们全等吗4定理呈现及书写格式略直角三角形全等的判定定理HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等..简写成“斜边、直角边”或“HL”.. 4．例题与课堂练习设计：1练习1：如图;AC=AD;∠C;∠D是直角;将上述条件标注在图中;你能说明BC与BD相等吗CA BD2. 如图;两根长度为12米的绳子;一端系在旗杆上;另一端分别固定在地面两个木桩上;两个木桩离旗杆底部的距离相等吗请说明你的理由..分析与解答—略;教师要利用本例题强调用 HL的解答格式3例:如图;AC⊥BC;BD⊥AD; AC=BD;求证：BC = AD课本14页例4;图及解答—略4练习2：学生自主完成课本１４页的练习１、２;时间允许也可以安排学生上台演板;教师评讲..5．师生小结6．作业7．教学后记：。
直角三角形全等的判定(HL
直角三角形全等的判定 (HL)
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°;
Step2:在射线CM上截取CA=4cm;
Step3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B;
N B
M A
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°;
Step2:在射线CM上截取CA=4cm;
Step3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B; Step4:连结AB;
N B
△ABC即为所要画的三角形
MAΒιβλιοθήκη CB5cm 5cm
B′
A
4cm
C
A′
4cm
C′
B′ C′ Rt△ABC≌ Rt △A′
斜边、直角边公理 (HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B
∵∠C=∠C′=90° ∴在Rt△ABC和Rt△ABC中 A AB=AB
C B′
BC=BC
C′
B′ C′ (HL) A ′ ∴Rt△ABC≌ Rt△A′
学以致用
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑 梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长 度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和 ∠DEF大小有什么关系？
先把它转化为一个纯数学问题:
已知:如
图,BC=EF,AC=DF,AC⊥AB,DE⊥DF. 求证:∠ABC=∠DEF.
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°;
Step2:在射线CM上截取CA=4cm;
Step3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B;
N B
M A
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°;
Step2:在射线CM上截取CA=4cm;
Step3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B; Step4:连结AB;
N B
△ABC即为所要画的三角形
MAΒιβλιοθήκη CB5cm 5cm
B′
A
4cm
C
A′
4cm
C′
B′ C′ Rt△ABC≌ Rt △A′
斜边、直角边公理 (HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B
∵∠C=∠C′=90° ∴在Rt△ABC和Rt△ABC中 A AB=AB
C B′
BC=BC
C′
B′ C′ (HL) A ′ ∴Rt△ABC≌ Rt△A′
学以致用
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑 梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长 度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和 ∠DEF大小有什么关系？
先把它转化为一个纯数学问题:
已知:如
图,BC=EF,AC=DF,AC⊥AB,DE⊥DF. 求证:∠ABC=∠DEF.
沪科版数学八年级上册《直角三角形全等的判定定理(HL)》教学设计1
沪科版数学八年级上册《直角三角形全等的判定定理（HL）》教学设计1一. 教材分析《直角三角形全等的判定定理（HL）》是沪科版数学八年级上册的一章，主要介绍了直角三角形全等的判定方法。
本节内容是在学生已经掌握了三角形全等的性质和判定方法的基础上进行讲解的，通过本节课的学习，使学生能够理解和掌握直角三角形全等的判定方法，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形全等的性质和判定方法，但是对直角三角形全等的判定方法可能还不够熟悉。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法，并能够运用到实际问题中。
三. 教学目标1.理解直角三角形全等的判定方法（HL）。
2.学会运用直角三角形全等的判定方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.直角三角形全等的判定方法（HL）。
2.如何运用直角三角形全等的判定方法解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：讲解直角三角形全等的判定方法（HL）及其应用。
2.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用直角三角形全等的判定方法解决问题。
3.小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教案：准备详细的教学教案，明确教学目标、教学重难点、教学方法等。
2.课件：制作课件，辅助讲解直角三角形全等的判定方法（HL）。
3.案例题库：准备一定数量的直角三角形全等案例，用于课堂练习和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件引入直角三角形全等的判定方法（HL），引导学生回顾三角形全等的性质和判定方法。
2.呈现（10分钟）讲解直角三角形全等的判定方法（HL），并结合实例进行解释，让学生明确判定方法的应用。
3.操练（10分钟）出示一组直角三角形全等的案例，让学生运用所学判定方法进行判断，并及时给予反馈和讲解。
4.巩固（10分钟）出示一组难度较高的直角三角形全等案例，让学生独立判断，并在小组内进行讨论，引导学生总结判定方法的应用。
直角三角形全等的判定定理(HL)
岑溪市昙容中学 教师：李燕妙
海纳百川，有容乃大
一、概念 能够_完__全__重__合__的两个三角形叫做全等三角形. 二、性质 全等三角形的对应边_相__等__,对应角_相__等__.
三、判定定理 1.三边分别_相__等__的两个三角形全等(简写成“边边 边”或“_S_S_S_”). 2.两边和它们的夹角分别_相__等__的两个三角形全等(简 写成“边角边”或“_S_A_S_”). 3.两角和它们的夹边分别_相__等__的两个三角形全等(简 写成“角边角”或“_A_S_A_”). 4.两角和其中一个角的对边分别_相__等__的两个三角形 全等(简写成“角角边”或“_A_A_S_”).
用SAS判定△ABC≌△DEC.
【自主解答】添加条件是:AB=DE.
在△ABC与△DEC中, AC DC， BC EC， AB DE，
∴△ABC≌△DEC.
答案:AB=DE或∠ACB=∠DCE(或∠ACD=∠BCE),答案不唯一
命题角度2:结论的开放与探索 【示范题3】(2017·武汉中考)如图,点C,F,E,B在一条直线 上,∠CFD=∠BEA,CE=BF,DF=AE,写出CD与AB之间的关系,并证明你的结论. 【思路点拨】先根据已知条件判定△AEB≌△DFC,再利用全等三角形的性质得对 应角相等、对应边相等进行判断.
【自主解答】(1)∵AE和BD相交于点O, ∴∠AOD=∠BOE. 在△AOD和△BOE中, ∠A=∠B,∴∠BEO=∠2. 又∵∠1=∠2, ∴∠1=∠BEO, ∴∠AEC=∠BED. 在△AEC和△BED中, A B， AE BE， AEC BED， ∴△AEC≌△BED(ASA).
(2)∵△AEC≌△BED, ∴EC=ED,∠C=∠BDE. 在△EDC中, ∵EC=ED,∠1=42°, ∴∠C=∠EDC=69°, ∴∠BDE=∠C=69°.
海纳百川，有容乃大
一、概念 能够_完__全__重__合__的两个三角形叫做全等三角形. 二、性质 全等三角形的对应边_相__等__,对应角_相__等__.
三、判定定理 1.三边分别_相__等__的两个三角形全等(简写成“边边 边”或“_S_S_S_”). 2.两边和它们的夹角分别_相__等__的两个三角形全等(简 写成“边角边”或“_S_A_S_”). 3.两角和它们的夹边分别_相__等__的两个三角形全等(简 写成“角边角”或“_A_S_A_”). 4.两角和其中一个角的对边分别_相__等__的两个三角形 全等(简写成“角角边”或“_A_A_S_”).
用SAS判定△ABC≌△DEC.
【自主解答】添加条件是:AB=DE.
在△ABC与△DEC中, AC DC， BC EC， AB DE，
∴△ABC≌△DEC.
答案:AB=DE或∠ACB=∠DCE(或∠ACD=∠BCE),答案不唯一
命题角度2:结论的开放与探索 【示范题3】(2017·武汉中考)如图,点C,F,E,B在一条直线 上,∠CFD=∠BEA,CE=BF,DF=AE,写出CD与AB之间的关系,并证明你的结论. 【思路点拨】先根据已知条件判定△AEB≌△DFC,再利用全等三角形的性质得对 应角相等、对应边相等进行判断.
【自主解答】(1)∵AE和BD相交于点O, ∴∠AOD=∠BOE. 在△AOD和△BOE中, ∠A=∠B,∴∠BEO=∠2. 又∵∠1=∠2, ∴∠1=∠BEO, ∴∠AEC=∠BED. 在△AEC和△BED中, A B， AE BE， AEC BED， ∴△AEC≌△BED(ASA).
(2)∵△AEC≌△BED, ∴EC=ED,∠C=∠BDE. 在△EDC中, ∵EC=ED,∠1=42°, ∴∠C=∠EDC=69°, ∴∠BDE=∠C=69°.
直角三角形全等的判定(HL)定理
想一想
１、总共有几种方法可以证明两个直角三 角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有 一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA 、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的 判定方法——“HL”.
例题
1
例 如图，有两个长度相等的滑梯，左边的滑梯
的高度AC与右边的滑梯水平方向的长度DF相等， 两个滑梯的倾斜角∠B与∠F的大小有什么关系？
D
判断： 满足下列条件的两个三角 形是否全等?为什么?
1.一个锐角及这个锐角的对边 对应相等的两个直角三角形.
2.一个锐角及这个锐角相 邻的直角边对应相等的两 个直角三角形.
3.两直角边对应相等的两 个直角三角形.
思考:
如果满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直 角三角形会全等吗？
A A′
B
直角三角形全等的判定方法
已知：如图，在△ABC与△A’B’C’中，∠C=∠C’ =90°，AB=A’B’,AC=A’C’. 求证：△ABC≌△A’B’C’
A A’
定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角 三角形全等。(HL)
C
B C’
B’
A
A’
C
B C’
证明：在△ABC中， ∵∠C=90°， ∴BC² =AB² -AC² ， 同理： BC’²=A’B’²-A’B’² ∵AB=A’B’,AC=A’C’ ∴BC=B’C’. ∴△ABC ≌△A’B’C’.
C
B′
C′
探究8
任意画出一个Rt△ABC ，使∠C=90° B′ C ′，使∠C′=90°Ｂ 再画一个 Rt △A′ ′Ｃ′＝ＢＣ，A′B′=AB.把画好的 Rt △A′ B′ C′ 剪下，放到Rt△ABC 上，它 们全等吗？
直角三角形-的性质判定(HL)
直角三角形的性质、判定（HL ）1、如果一个△ABC 有一个角是直角，则它是直角三角形，记作Rt △ABC 。
直角三角形两锐角互余。
2、直角三角形的判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这个两个直角三角形全等，简称HL 。
3、直角三角形性质定理(一):在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.4、直角三角形性质定理(二):在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;5、直角三角形性质的逆定理（1）:如果一个三角形一边上的中线，等于这条边的一半，则这个三角形式直角三角形.（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.二、知识运用典型例题例1：已知:△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高, ∠A=30°.求证:BD=14AB.例2：已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD=12AC. 则∠A=_____.例3：已知:如图,AD 为△ABC 的高,E 为AC 上的一点,BE 交AD 于F,且有BF=AC,FD=CD, 求证:BE ⊥AC.例4：如图3，AD 是ΔABC 的中线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ， 求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线AD CBAE DC BF 12 A12（2）AB=AC例5：已知如图，AE ⊥ED ，AF ⊥FD ，AF=DE ，EB ⊥AD ，FC ⊥AD ，垂足分别为B 、C.试说明EB=FC.例6：如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．三、知识运用课堂训练1、△ABC 中各角的度数之比如下,能够说明△ABC 是直角三角形的是( ) A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:4:5 D.3:2:52、直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为 .3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .4、如图,CD 为△ABC 的中线,∠ACB=90°,CE ⊥AB 于E, AE=ED,则图中30°的角有 个.ABCD FEABCD E5、如图,AC=BD,AD ⊥AC,BC ⊥BD,求证:AD=BC.6、如图所示，D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，且BF ＝CE 。
直角三角形全等的判定(HL)
(1)AC=A′ C′,∠A= ∠A′;(
(2)AC=A′ C′, BC= B′C′; ( (3)AB=A′B′, ∠B=∠B′;( (4)AC= A′C′,AB= A′B′.( (5)∠A=∠A′, ∠B=∠B′;(
A B A'
) ASA SAS ) AAS ) )HL
) ×
B' C'
C
用一用
例1：如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足 分别为E,F,DE=BF. 求证:(1)AE=CF; (2)AB∥CD. C D
复习回顾
１．三角形全等的判定定理有哪些?
SSS,SAS,AAS,ASA
2．直角三角形全等的判定定理有哪些? SSS,SAS,AAS,ASA
？
讨论
对于两个直角三角形，除了直角相等 的条件，还要满足几个条件，这两个直 角三角形就全等了？ A D
B
C
E
F
直角三角形全等的判定方法：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等. 简写：“斜边、直角边”或 “HL” A' A
F E A B
变式：如图，AB⊥BC，AD⊥DC， AB＝AD。 求证∠1=∠2 。 A
12 B C D
例2：如图，∠ABD=∠ACD=90°， ∠1=∠2，则AD平分∠BAC，请说明理由。
B
1
A
D
2
C
小结
拓展
三角形全等的判定定理: SAS,AAS,ASA,SSS 直角三角形全等的判定条件: SAS,A#39;
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中 A B=A´B´ ∵ A C= A´C´（ 或BC= B´C´） ∴Rt△ABC≌Rt△ A´B´C´(H L)
《直角三角形全等的判定(HL)》教案讲课教案
《直角三角形全等的判定》教学设计中心发言人：DH教学目标:（1）明确两个直角三角形的全等，可以利用“边边边，边角边，角边角，角角边”来证明；但是由于直角相等，所以两个直角三角形全等的判定，只需要增加两个条件即可。
（2）探索和掌握直角三角形全等的特殊判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，并会用“SSS，SAS，ASA，AAS及HL”证明两个直角三角形全等。
教学重点：探索和掌握直角三角形全等的特殊判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，并会用“SSS，SAS，ASA，AAS及HL”证明两个直角三角形全等。
教学难点：（1）满足“边边角”分别对应相等的两个三角形不一定全等，但满足“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形”符合“边边角”的条件，两个直角三角形却是全等的。
（2）要注意用HL直角三角形全等的证明格式集体备教教学过程：1、复习与回顾：（1）判定两个三角形全等的方法是，，，（2）回顾直角三角形的边、角的名称及相关性质。
2、尝试归纳两个直角三角形全等的判定方法：如图，AB⊥BE于B，D E⊥BE于E，（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）。
（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”），个性补教AB CE FD根据（用简写法）。
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）。
（4）若∠A=∠D，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）。
归纳：两个直角三角形全等的类型：ASA ,AAS ,SAS ,AAS (一锐角一直角边，一锐角一斜边，两直角边，共四种情形) 3、探究：一斜边一直角边对应相等，两直角三角形是否全等？（1）情景引入如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
直角三角形全等的判定(HL)定理
直角三角形全等的判定(HL)
A
D
E
B
C
F
回顾与思考
1、识别两个三角形全等方法，SS，S S，AS A，SA 。AAS
2、如图，AB⊥ BE于B，
A
DE⊥BE于E，
F
E
（1）若 ∠ A= ∠ D，AB=DE， B C
则△ABC与△DEF 全等 （填“全等”或
D
“不全等”）
根据 ASA （用简写法）
判断：
想一想
１、总共有几种方法可以证明两个直角三 角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有 一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA 、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的 判定方法——“HL”.
运用新知
例4:如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD。
证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD
∴∠C与∠D都是直角. 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AB=BA,
AC=BD . Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC﹦AD
D A
C B
１.如图，AB=CD，AE⊥BC， DF⊥BC，CE=BF. 求证：AE=DF.
C
D
F E
A
B
２、 如图，AC=AD，∠C，∠D 是直角，将上述条件标注在图中， 你能说明BC与BD相等吗？
任意画出一个Rt△ABC ，使∠C=90° 再画一个 Rt△A′B′C′，使∠C′=90°Ｂ ′Ｃ′＝ＢＣ，A′B′=AB.把画好的 Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC 上，它 们全等吗？
按照下面的步骤做一做：
⑴画∠MC ′N=90°; N
⑵ 在射线C′MB′为圆心,ＡＢ为半径画 弧，交射线C′N于点A′;
A
D
E
B
C
F
回顾与思考
1、识别两个三角形全等方法，SS，S S，AS A，SA 。AAS
2、如图，AB⊥ BE于B，
A
DE⊥BE于E，
F
E
（1）若 ∠ A= ∠ D，AB=DE， B C
则△ABC与△DEF 全等 （填“全等”或
D
“不全等”）
根据 ASA （用简写法）
判断：
想一想
１、总共有几种方法可以证明两个直角三 角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有 一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA 、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的 判定方法——“HL”.
运用新知
例4:如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD。
证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD
∴∠C与∠D都是直角. 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AB=BA,
AC=BD . Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC﹦AD
D A
C B
１.如图，AB=CD，AE⊥BC， DF⊥BC，CE=BF. 求证：AE=DF.
C
D
F E
A
B
２、 如图，AC=AD，∠C，∠D 是直角，将上述条件标注在图中， 你能说明BC与BD相等吗？
任意画出一个Rt△ABC ，使∠C=90° 再画一个 Rt△A′B′C′，使∠C′=90°Ｂ ′Ｃ′＝ＢＣ，A′B′=AB.把画好的 Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC 上，它 们全等吗？
按照下面的步骤做一做：
⑴画∠MC ′N=90°; N
⑵ 在射线C′MB′为圆心,ＡＢ为半径画 弧，交射线C′N于点A′;
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第2课时 直角三角形的判定定理“HL ”
(参考用时:30分钟
)
1. 如图所示,∠C=∠D=90°,添加一个条件,可使用“HL ”判定Rt △ABC 与Rt △ABD 全等.以下给出的条件:
①∠ABC=∠ABD;②AC=AD; ③BC=BD;④∠BAC=∠BAD. 适合的有( B ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 2. 如图,△ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D,CE ⊥AB 于E,BD 和CE 交于O,AO 的延长线交BC 于F,则图中全等的直角三角形有( D ) (A)3对 (B)4对 (C)5对 (D)6对 3. 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AE 是经过A 点的一条直线,且B,C 在AE 的两侧,BD ⊥AE 于D,CE ⊥AE 于E,CE=2,BD=6,则DE 的长为( D )
(A)2 (B)3 (C)5 (D)4 4.已知:如图,AE ⊥BC,DF ⊥BC,垂足分别为
E,F,AE=DF,AB=DC,则△ ABE ≌△ DCF (HL).
第4题图
5.如图,MN ∥PQ,AB ⊥PQ,点A,D,B,C 分别在直线MN 与PQ 上,点E 在AB 上,AD+BC=7, AD=EB,DE=EC,则AB= 7 .
第5题图 6. 如图,在△ABC 和△DCB 中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC 与BD 相交于点
O.
(1)求证:△ABC ≌△DCB;
(2)△OBC 是何种三角形?证明你的结论. (1)证明:在△ABC 和△DCB 中,∠A=∠D=90°,
AC=BD,BC=CB.所以Rt △ABC ≌Rt △DCB(HL). (2)解:△OBC 是等腰三角形.
因为Rt △ABC ≌Rt △DCB,所以∠ACB=∠DBC, 所以OB=OC,所以△OBC 是等腰三角形. 7. 如图,已知Rt △ABC 中,∠
ACB=90°,CA=CB,D 是AC 上一点,E 在BC 的延长线上,且AE=BD,BD 的延长线与AE 交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF 与AE 有何特殊的位置关系,并说明你猜想的正确性
.
解:猜想:BF ⊥AE.
理由:因为∠ACB=90°,所以∠ACE=∠BCD=90°.
又BC=AC,BD=AE,所以△BDC ≌△AEC(HL). 所以∠CBD=∠CAE.
又因为∠CAE+∠E=90°,所以∠EBF+∠E=90°.
所以∠BFE=90°,即BF ⊥AE.
8.(1)如图1,点A,E,F,C 在一条直线
上,AE=CF,过点E,F 分别作DE ⊥AC,BF ⊥AC,若AB=CD,试证明BD 平分线段EF;
(2)若将图1变为图2,其余条件不变时,上述结论是否仍然成立?请说明理由
.
(1)证明:因为DE ⊥AC,BF ⊥AC, 所以∠DEC=∠BFA=90°. 因为AE=CF,
所以
AE+EF=CF+EF,
所以AF=CE.
在Rt △ABF 和Rt △CDE 中, 因为AB=CD,AF=CE,
所以Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL). 所以BF=DE.
在△BFG 和△DEG 中,
因为∠BFG=∠DEG,∠BGF=∠DGE,BF=DE, 所以△BFG ≌△DEG(AAS).
所以FG=EG,即BD 平分线段EF. (2)解:结论仍然成立,理由如下: 因为AE=CF, 所以AF=CE.
因为BF ⊥AC,DE ⊥AC,AB=CD, Rt △ABF ≌Rt △CDE. 所以BF=DE.
易证△BFG ≌△DEG,
所以FG=EG,即结论仍然成立
.
9.(拓展探究题)【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法(即“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL ”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究. 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC 和△DEF 中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,对∠B 进行分类,可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究
.
【深入探究】第一种情况:当∠B 是直角时,△ABC ≌△DEF.
(1)如图①,在△ABC 和△DEF
中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据 ,可以知道 Rt △ABC ≌Rt △DEF.
第二种情况:当∠B 是钝角时,△ABC ≌△DEF.
(2)如图②,在△ABC 和△DEF
中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E 都是钝角.求证:△ABC ≌△DEF.
第三种情况:当∠B 是锐角时,△ABC 和△DEF 不一定全等.
(3)在△ABC 和△DEF 中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E 都是锐角.请你用尺规在图③中作出△DEF,使△DEF 和△ABC 不全等.(不写作法,保留作图痕迹)
(4)∠B 还要满足什么条件,就可以使△ABC ≌△DEF?请直接填写结论:在△ABC 的△DEF 中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E 都是锐角,若 ,则△ABC ≌△DEF. 解:(1)HL.
(2)证明:如图①,分别过点C,F 作对边AB,DE 上的高CG,FH,其中G,H 为垂足. 因为∠ABC,∠DEF 都是钝角,
所以G,H 分别在AB,DE 的延长线上. 因为CG ⊥AG,FH ⊥DH,
所以∠CGA=∠FHD=90°. 因为∠CBG=180°-∠ABC, ∠FEH=∠180°-∠DEF,∠ABC=∠DEF, 所以∠CBG=∠FEH. 在△BCG 和△EFH 中, 因为∠CGB=∠FHE,∠CBG=∠FEH,BC=EF, 所以△BCG ≌△EFH. 所以CG=FH. 又因为AC=DF. 所以Rt △ACG ≌△DFH.
所以∠A=∠D.
在△ABC 和△DEF 中,因为∠ABC=∠DEF, ∠A=∠D,AC=DF, 所以△ABC ≌△
DEF.
(3)如图②,△DEF 就是所求作的三角形,△DEF 和△ABC 不全等.
(4)本题答案不唯一,如∠B ≥∠A.。