2021-4-29 20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积考纲定位重难突破1.记住柱体、锥体、台体的体积的计算公式．2.会利用柱体、锥体、台体的体积公式解决一些简单的实际问题.重点：求简单几何体的体积、球的表面积和体积．难点：空间问题的平面处理方法．疑点：计算问题中对多种情况的讨论易忽略.授课提示：对应学生用书第25页[自主梳理]柱、锥、台的体积公式几何体公式说明柱体V柱体＝ShS为柱体的底面积，h为柱体的高锥体V锥体＝13ShS为锥体的底面积，h为锥体的高台体V台体＝13(S上＋S下＋S上·S下)·hS上，S下分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高[双基自测]1．长方体的三个面的面积分别为2,6和9，则长方体的体积为()A．7B．8C．3 6 D．6 3解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则⎩⎪⎨⎪⎧ab＝2，bc＝6，ac＝9，则V＝abc＝abbcca＝2×6×9＝6 3.答案：D2．圆锥SO的底面半径是1，高为2，则圆锥SO的体积是()A.2π3B．2πC．4πD．6π解析：V＝13Sh＝13π·r2·h＝13π×12×2＝2π3.答案：A3．若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是面积为3的等边三角形，则该圆锥的体积为( )A ．3π B.33π C. 3D.32π 解析：设圆锥底面圆的半径为r ，则圆锥的高为3r ，由题意，得34×(2r )2＝3，得r ＝1，所以该圆锥的体积V ＝13π×12×3＝33π.答案：B4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．解析：该空间几何体是一个底面为梯形的四棱柱，其底面面积是1＋22×2＝3，高为1，故其体积V ＝Sh ＝3×1＝3.答案：35．设正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为10，则它的体积为________． 解析：正六棱锥的高h ＝(10)2－22＝6，∴V ＝13Sh ＝13×34×22×6×6＝6 2.答案：6 2授课提示：对应学生用书第26页探究一 柱体的体积问题[典例1] (1)如图，某简单几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且其体积为π4，则该几何体的俯视图可以是( )(2)如图①是一个正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，D 是棱BC 的中点，正三棱柱的主视图如图②.求正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积．[解析] (1)由该几何体的主视图、左视图可知该几何体一定是柱体，其高为1，体积为π4，因此底面面积为π4，结合选项分析知俯视图应为D.故选D. (2)由三视图可知，在正三棱柱中，AD ＝3，AA 1＝3，从而在底面即等边△ABC 中，AB ＝AD sin 60°＝332＝2，所以正三棱柱的体积V ＝Sh ＝12BC ·AD ·AA 1＝12×2×3×3＝3 3. [答案] (1)D (2)见解析求柱体的体积关键是求其底面面积和高，底面面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形，进而求解．1．将一个圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4，再将它们卷成两个圆锥侧面，求这两个圆锥的体积之比．解析：设圆的半径为r ，则两个圆锥的母线长为r .由已知可得两个圆锥的底面半径分别为2πr ×372π＝37r ，2πr ×472π＝47r ，所以两圆锥的体积之比为 13π×(37r )2× r 2－(37r )213π×(47r )2× r 2－(47r )2＝333088.探究二 锥体的体积问题[典例2] 如图，棱锥的底面ABCD 是一个矩形，AC 与BD 交于点M ，VM 是棱锥的高．若VM ＝4 cm ，AB ＝4 cm ，VC ＝5 cm ，求棱锥的体积．[解析] ∵VM 是棱锥的高，∴VM ⊥MC . 在Rt △VMC 中， MC ＝VC 2－VM 2＝52－42＝3(cm)．∴AC ＝2MC ＝6(cm)． 在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝62－42＝25(cm)．S 底＝AB ·BC ＝4×25＝85(cm 2)， ∴V 锥＝13S 底·h ＝13×85×4＝3253(cm 3)．∴棱锥的体积为3253cm 3.1．锥体的体积公式V ＝13Sh 既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥．2．三棱锥的体积求解具有灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，使得转换后，该三棱锥的底面的面积易求、可求，高易求、可求，这一方法叫作等积法．2．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为15，求这个正三棱锥的体积． 解析：如图所示为正三棱锥S －ABC .设H 为正三角形ABC 的中心，连接SH ，则SH 即为该正三棱锥的高．连接AH 并延长交BC 于E ，则E 为BC 的中点，且AE ⊥BC .∵△ABC 是边长为6的正三角形， ∴AE ＝32×6＝33，∴AH ＝23AE ＝2 3. 在Rt △SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， ∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3.在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝93，∴V S－ABC＝13×93×3＝9，即这个正三棱锥的体积为9.探究三台体体积的问题[典例3]如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．[解析]作轴截面A1ABB1，设上、下底面半径、母线长分别为r，R，l，作A1D⊥AB于点D.∵A1D＝3，∠A1AB＝60°，∴AD＝A1Dtan 60°＝3，∴R－r＝3，BD＝A1D·tan 60°＝33，∴R＋r＝33，∴R＝23，r＝3，h＝3.∴V圆台＝13π(R2＋Rr＋r2)h＝13π×[(23)2＋23×3＋(3)2]×3＝21π.1．求台体的体积，其关键在于求高，一般地棱台把高放在直角梯形中求解，若是圆台把高放在等腰梯形中求解．2．“还台为锥”是求解台体问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．3．已知正四棱台上、下底面的边长分别为4 cm,8 cm，侧棱长为8 cm，求它的体积．解析：如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，O1B1＝22，OB＝4 2.作B1E⊥OB于E，则在Rt△B1EB中，B1B＝8，BE＝42－22＝22，∴B1E＝BB21－BE2＝214，∴O1O＝B1E＝214∴V 四棱台＝13×214×(16＋64＋32)＝224143(cm 3)．几何体体积求解[典例] (本题满分12分)如图，一个高为H 的三棱柱形容器中盛有水，若侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面恰好分别过AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点E ，F ，E 1，F 1.当底面ABC 水平放置时，液面高为多少？[规范解答] 当侧面AA 1B 1B 水平放置时，水的体积V 等于四棱柱ABFE -A 1B 1F 1E 1的体积，①V ＝V 四棱柱＝S 梯形ABFE ·H .……………………4分当底面ABC 水平放置时，设水面高为h ，则水的体积V ＝S △ABC ·h . …………………6分 因为E ，F 分别为AC ，BC 的中点，② 所以S △CEF ＝14S △ABC ，所以S 梯形ABFE ＝34S △ABC . …………………9分由S 梯形ABFE ·H ＝S △ABC ·h ，即34S △ABC ·H ＝S △ABC ·h ，得h ＝34H ，…………………11分 故当底面ABC 水平放置时，液面高为34H .③…………………12分[规范与警示] ①失分点，此处易误认为是棱台导致解错． ②明确相似三角形的面积与对应边的关系，易错点． ③解题步骤要完整，此结论易漏掉．在求几何体的条件时，确定几何体的特征至关重要，尤其是不熟悉的放置位置时，更要准确把握几何体的类型．在研究两个几何体的体积、表面积的关系时，充分利用平面几何中面积或线段的比例，可以大大简化运算，降低出错率．[随堂训练] 对应学生用书第27页1．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1-ACD 的体积是( )A.16 B.13 C.12D ．1解析：由已知得VD 1-ACD ＝13S △ACD ·D 1D ＝13×12×1×1×1＝16.答案：A2．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于( )A.34 B.23 C.12D.13解析：作出长、宽、高分别为2、1、1的长方体．由三视图可在长方体中还原出四棱锥A 1-BEDF ，如图所示， S 四边形BEDF ＝1×1＝1，VA 1-BEDF ＝13×1×1＝13，故选D.答案：D3．正四棱柱底面积为P ，过相对侧棱截面面积为Q ，则它的体积是( )A.2PQB.P 2QC.122PQ D.2P 2Q 解析：设正四棱柱的底面边长、高分别为a ，h ，则P ＝a 2，Q ＝2a ·h ，∴V ＝a 2h ＝a ·ah ＝P ·Q 2＝2P 2Q .答案：D4．已知某个几何体的三视图如图所示(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________cm 3.解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，上面部分是圆柱的一半，其底面半径r ＝4 cm ，高h ＝10 cm ，下面部分是一个长方体，长、宽、高分别为8 cm 、8 cm 、10 cm ，所以上面部分几何体的体积为V 1＝12π×42×10＝80π(cm 3)，下面部分的体积V 2＝8×8×10＝640(cm 3)，该几何体的体积等于V 1＋V 2＝(640＋80π)cm 3.答案：640＋80π结束语同学们，相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念。
1．1.7 柱、锥、台和球的体积学习目标 1.理解祖暅原理的内容.2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导.3.掌握柱、锥、台和球的体积公式．知识点一祖暅原理思考取一摞纸张堆放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从这个事实中你得到什么启发？梳理祖暅原理的含义及应用(1)内容：幂势既同，则积不容异．(2)含义：夹在________________的两个几何体，被平行于这两个平面的________________所截，如果截得的____________________，那么这两个几何体的体积相等．(3)应用：____________的两个柱体或锥体的体积相等．知识点二柱、锥、台、球的体积公式思考已知直四棱柱A1B1C1D1－ABCD，底面ABCD为矩形．AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则四棱柱A1B1C1D1－ABCD与三棱锥A1－ABCD的体积分别为多少？梳理柱、锥、台、球的体积公式名称体积(V)柱体棱柱圆柱锥体棱锥圆锥台体棱台圆台球其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面的半径，R 表示球的半径．类型一柱体、锥体、台体的体积例1 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．2π＋2 3 B．4π＋2 3C．2π＋233D．4π＋233反思与感悟(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．跟踪训练 1 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．类型二球的体积例2 (1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3cm3B.866π3cm3C.1 372π3cm3D.2 048π3cm3(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为________．反思与感悟(1)求球的体积，关键是求球的半径R.(2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等．跟踪训练 2 (1)一平面截一球得到直径为2 5 cm的圆面，球心到这个平面的距离是 2 cm，则该球的体积是( )A．12π cm3B．36π cm3C．646π cm3D．108π cm3(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．πa2 B.73πa2C.113πa2D．5πa2类型三几何体体积的求法命题角度1 等体积法例3 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．反思与感悟(1)利用转换底面以便于找到几何体的高，从而求出几何体的体积．(2)利用等体积法可求点到平面的距离．跟踪训练 3 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.。
