【最新整理版】年中考复习《圆的基本性质》

【初中数学】初中数学圆的性质知识点归纳【—圆的性质归纳】圆是轴对称图形，圆也是中心对称图形。

圆的性质⑴ 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。

90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式: θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。

外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等;②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△÷L(R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长)④两相切圆的连心线过切点(连心线：两个圆心相连的直线)⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

(4)如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。

(5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

(6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

(7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

(8)周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。

在即将到来的期末考试之际，老师为大家送上初中数学圆的性质知识点归纳。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；2.理解并运用圆周角定理及其推论；3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；4.理解并运用圆内接四边形的性质.考点1：圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。

这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。

圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点2：圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。

2）直径长度等于半径长度的2倍。

，读作圆弧弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

以A、B为端点的弧记作ABAB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

考点3：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分考点4：垂径定理的应用考点5：圆心角的概念圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

九年级圆知识点总结在数学中，圆是一个重要的几何概念，也是九年级数学课程中的重点内容之一。

掌握圆的基本性质和相关定理对于学好数学非常重要。

本文将对九年级圆的知识点进行总结和归纳，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握圆。

一、圆的性质1. 定义：圆是由平面内所有离定点相等距离的点组成的集合。

这个定点叫做圆心，相等的距离叫做圆的半径。

2. 圆的要素：圆心、半径、直径、弦、弧、切线、相切等。

3. 圆的基本性质：在同一个圆或等圆中，以下性质成立。

- 圆心角相等：具有相同圆心的弧所对的圆心角相等。

- 弧长比：在同一圆或等圆中，弧长是半径的倍数。

- 弦长比：在同一圆或等圆中，弦长相等的弦所对的两条弧相等。

- 圆内任何一点到圆心的距离相等。

二、圆的重要定理和公式1. 弧度制：弧度是角度的补充单位，它是圆心角所对圆弧长度等于半径的角。

弧度与角度之间的换算关系是：弧度 = 角度× π / 180。

2. 圆周长：圆周长等于直径与π的乘积，即C = πd。

其中d为圆的直径。

3. 扇形面积：扇形面积等于圆心角所对弧所在圆的面积的比例，即S = (θ/360°) × πr²。

其中θ为圆心角的度数。

4. 弧长公式：弧长等于圆心角所对弧的弧度乘以半径，即L = θr。

5. 切线的性质：切线与半径的关系是垂直。

并且半径和切线在切点处相互垂直(T ⊥ R)。

6. 切线长：切线长等于半径与相切点到圆心的距离的乘积，即L = r × d。

三、圆的相关定理1. 内切圆定理：如果一个圆与一个三角形的三条边相切，则这个圆的圆心是这个三角形的内心。

2. 外切圆定理：如果一个圆与一个三角形的每一边都相切，则这个圆的圆心是这个三角形的外心。

3. 正切线定理：如果一条直线与一个圆相切，则这条直线垂直于半径，并且相切点处的切线与直线为垂直关系。

4. 弦弧定理：在同一个圆中，两条相交弦所对的弧相等。

综上所述，九年级圆的知识点包括圆的性质、圆的重要定理和公式，以及圆的相关定理。

中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ； 点P 在圆上⇔d ＝r ； 点P 在圆内⇔d ＜r ． 要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A 、B 的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点． ②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解． ④“R-r ”时，要特别注意，R ＞r ．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题1】1．已知：如图所示，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ．(1)若AB ＝OC ＝1，求CD 的长； (2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长.【思路点拨】如图所示，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ，则AB ＝2R ·sin n °＝2n ·tan n °＝CD ＝R －h ；AD 的长180n Rπ=． 【答案与解析】解：∵半径OD 经过弦AB 的中点C ， ∴半径OD ⊥AB ．(1)∵AB＝AC＝BC∵OC＝1，由勾股定理得OA＝2．∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD＝1.(2)∵OD⊥AB，OA＝OB，∴∠AOD＝∠BOD．∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．∵OC＝OA·cos∠AOC＝OA·cos60°＝12 R，∴1122CD OD OC R R R =-=-=．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)【答案】解：过M、N、B三点作圆，显然A点在圆外，设MA交圆于C，则∠MAN＜∠MCN．而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN．因此在B点射门较好．即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．2．（2015•大庆模拟）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．【思路点拨】（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据OP∥BC；（2）如图2，根据圆心角、弧、弦的关系，以及三角形内角和等推论证来求得∠A的度数.【答案与解析】（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是弧AB的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：如图2，∵P是弧AC的中点，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠PAO=∠PCO，当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∵∠OPA=∠PAO=x，∴∠POD=2x，在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°，当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x，在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，即∠PAO=（）°．综上所述，∠A的度数为36°或（）°．【总结升华】本题考查了圆周角定理及其推论同时考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理．举一反三：【变式】（2015•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），又AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==，根据AD是△ACD外接圆直径，∴△ACD外接圆的半径为：×=．类型二、圆的切线判定与性质的应用3．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．【思路点拨】AC与⊙O有无公共点在已知条件中没有说明，因此只能过点O向AC作垂线段OE，长等于⊙O的半径，则垂足E必在⊙O上，从而AC与⊙O相切．【答案与解析】证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E，连结OA．∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴OE＝OD．∵OD为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的内切圆的半径．【答案】解：设△ABC的内切圆与三边的切点分别为D、E、F，根据切线长定理可得：AE ＝AF ，BF ＝BD ，CD ＝CE ，而AE+CE ＝b ，CD+BD ＝a ，AF+BF ＝c ， 可求2a b cCE +-=． 连接OE 、OD ，易证OE ＝CE ．即直角三角形的内切圆半径2a b cr +-=．4．如图所示，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，∠D ＝30°． (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若AC ＝6，求AD 的长．【思路点拨】（1）连接OA ，根据圆周角定理求出∠O 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD ，根据切线的判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC ，求出OA ，根据勾股定理求出AD 的长即可． 【答案与解析】(1)证明：连接OA ，∵1sin 2B =，∴∠B ＝30°． ∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°． ∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOD ＝90°． ∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝【总结升华】证明直线是圆的切线的方法：①有半径，证垂直；②有垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线交PO于C 点，求证：PC＝CD．【答案】证明：连接OD．∵CE切⊙O于D，∴OD⊥CE．∴∠2+∠3＝90°．∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．∴PC＝CD．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC 的平分线交AC于点D，求∠CDP的度数.【思路点拨】连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【答案与解析】解：连接OC，∵OC=OA，，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【总结升华】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题3】6．如图所示，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF于点D，交AB的延长线于点C．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若DE＝4，sinC＝35，求AE的长．【思路点拨】构造半径、半弦、弦心距的直角三角形．【答案与解析】解：(1)证明：连接OE，BF，交于点G，则BF⊥AF，BF∥CD．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．∴OE∥AF，∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．∴CD为⊙O的切线．(2)解：∵ BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，∴四边形DEGF为矩形．∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE=【总结升华】(1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件sinC＝35，DE＝4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决；(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF＝2，sinC＝35，求AE的长；(3)第(2)问还可以过O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝35加以解决.。

初中数学圆的基本性质知识点总结归纳
初中数学圆的基本性质知识点总结归纳
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，圆心角的运用一直以来是会考或中考中涉及到的知识点，现在同学们对其的了解已经很深了吗。

1.半圆或直径所对的圆周角是直角.
2.任意一个三角形一定有一个外接圆.
3.在同一平面内，到定点的距离等于定长的'点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆.
4.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.
5.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
6.同圆或等圆的半径相等.
7.过三个点一定可以作一个圆.
8.长度相等的两条弧是等弧.
9.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.
10.经过圆心平分弦的直径垂直于弦。

看过初中数学知识点大全之圆的基本性质，相信现在同学们对其的了解已经很深了吧。

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初三数学知识点总结圆的根本性质的复习第七章圆的根本性质的复习初三〔〕班姓名＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿一、主要知识点： 1.点的轨迹是符合某些条件的所有点组成的图形. ．．．．注：分析点的轨迹图形时，先描出几个符合条件的点，再猜测这些点会构成什么图形. ．．．．．．2.垂径定理：过圆心且垂直于弦的直线，平分这条弦，且平分弦所对的弧. 注：用于计算时，一般先连结过弦的一个端点的半径，构造Rt△，再结合勾股定理求解.3.推论：圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同圆或等圆中，以下四个条件中的一个成立，那么它们所对应的其余条件都成立：．．．．．．〔1〕弧相等；〔2〕弦相等；〔3〕圆心角相等；〔4〕弦心距相等.5.圆周角定理：一条弧所对的圆周角＝它所对的圆心角的一半. 或：一条弧所对的周角的度数＝这条弧的度数的一半.6.推论1：同弧〔或等弧〕所对的圆周角相等.逆：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 7.推论2：直径所对的圆周角是直角.逆：90°的圆周角所对的弦是直径. 8.〔1〕圆内接四边形，对角互补；〔2〕圆内接四边形，任一外角等于它的内对角.9.圆中要确定圆周角与圆周角〔或圆周角与圆心角〕的关系通常先观察它们所对的弧. 10.〔1〕要经过两点作圆，圆心在两点连线段的垂直平分线上；．．．．．．〔2〕要作圆经过△的三个顶点，一般先作△两边的垂直平分线，以两线的交点为圆心. ．．．．．．．．．．二、复习练习：1.⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，当OP＝6时，点A在⊙O＿＿＿；当OP＝10时，点A在⊙O＿＿＿；⊙O中有弦AB，弦心距为16cm，那么AB＝＿＿＿＿.3.如图，⊙O中，弦AB与⊙O的半径相等，那么∠AEB＝＿＿＿＿.⊙O内有点A，OA＝4，过点A的最长的弦长为＿＿，最短的弦长为＿＿. 5.⊙O 中， EF 的度数为110°，点A是⊙O上另一点，那么∠EAF＝＿＿＿＿＿＿＿. 6.线段AB，到点B的距离等于1AB的点的轨迹是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.∠∥CD，且两直线的距离为5cm，那么到这两条直线距离相等的点的轨迹是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.9. 如图，⊙O中有直径AB、CD，弦CE∥AB，CE 的度数为70°，那么∠BOC ＝＿＿＿，∠BOD＝＿＿＿.10.如图，正方形ABCD内接于圆，E是 CD 上一点，F是上一点，那么∠BEC ＝＿＿＿，AD∠AFD＝＿＿＿.11.如图，A、B、C、D四点在圆上，延长AB至E，那么图中相等的角有＿＿对，分别为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⊙O，延长AB至E. 假设∠A＝70°，那么∠C＝＿＿＿；假设∠CBE＝130°，那么∠D＝＿＿＿，∠AOD＝＿＿＿.13.△的外心是△两边的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；锐角三角形的外心在三角形＿＿＿， Rt△的外心在＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，钝角三角形的外心在三角形＿＿＿. 14.以下说法正确的选项是〔〕.A. 弦是直径B.两个半圆是等弧C.长度相等的两条弧是等弧D.直径是弦 15.以下正确的选项是〔〕.A.过三点一定可以作一个圆B.一个圆只有一个内接三角形C.△的外心到△各顶点的距离相等D.同弦所对的圆周角相等 16.以下正确的选项是〔〕.A.两个圆心角相等，它们所对的弧相等B.两弧的度数相等，那么两弧相等C.同弧所对的角相等D.同圆中，弦越长弦心距越短⊙O中，有弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么两弦的距离为〔〕. A.17cmB.7cmC.10cmD.7cm或17cm 18.⊙O中， AB 的度数为150°，点C是圆 AB 上一点，那么∠°°°° 19.：点A、B. 求作：〔1〕⊙O，使它过点A、B，且AB不是最长的弦；．．〔2〕等腰△ABC内接于⊙O，且AC＝BC. 〔思考：AB＝AC又怎样？〕AB20.：线段a、b、c.求作：〔1〕△ABC，使BC＝a，AB＝c、AC＝b；〔2〕⊙O，使它过点B、C，且点O在AB上.abc21.圆形破残的轮片还保存一段弧，请作出圆心，把整个圆作出，并写出作法.22.圆弧形桥拱的跨度为30m，拱高为12m. 求桥拱的半径〔精确到0.1米〕.23.在直径为130mm的圆铁片上切去一块弓形铁片〔如图阴影局部〕，弦AB的长为112mm. 求切去的弓形的高AOB24.△ABC内接于圆，且AB＝AC，弦AE交BC于D. 求证：AB?AD?AE. 2ABDEC25.△ABC内接于圆，D是的中点，E是 AC 的中点，DE分别交AB、AC于K、M. AB求证：AK?AM?DK?EM.26. BC是半圆的直径，A是半圆上一点，AD⊥BC于D，，BF交AD于E. AF=AB求证：AE＝BE.DKMAEBCAFBEDOC27.△ABC内接于⊙O，CE是高，CM是直径，据图写出四条线段成比例，并证明你的结论.⊙O的直径，D是弦AC上一点，AB上是否存在一点E，使AD?AC?AE?AB 假设不存在，请说明理由；假设存在，请指出点E在何处，并证明你的结论.29.如图，四边形ABCD内接于圆，连结AC、BD，延长BA至E，假设BD＝CD，那么∠EAD与∠DAC有何关系？证明你的结论.COAMEBDAOCBEDABC30.四边形ABCD内接于圆，DE∥AC，交BA的延长线于E，交圆于F. 求证：AD?CD?AE?BC.⊥CD，弦AF的延长线交CD的延长线于E. 求证：DF?AC?AF?DE.⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F. 在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形，直接观察你所画的图形，写出一个各图形都有的两条线段相等的结论，并选择其中一个图形证明你的结论.。

《圆的基本性质》知识归纳与题型训练（9题型清单）一、圆的认识圆：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆其他基本定义：定点O叫做圆心；线段OP叫做圆的半径；连结圆上任意两点的线段BC叫做弦；经过圆心的弦AB叫做直径；圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；点与圆的位置关系：d表示同一平面内点到圆心的距离d⇔r=rddr⇔点在圆内；点在圆上；＜＞⇔点在圆外；要点诠释：（1）其他基础定义：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧，半径相等的两个圆叫等圆，能够重合的圆弧叫做相等的弧；（2）圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆（3）三角形与圆：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形二、图形的旋转旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度图形旋转的性质：图形旋转所得的图形和原图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度要点诠释：有旋转必有等腰三角形，并且有8字类的相似三、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦要点诠释：垂径定理相关计算常和直角三角形结合，利用勾股定理列方程求弦长、半径、弦心距等四、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两个弦心距中有一对量相等，那么他们所对应的其余各对量都相等；要点诠释：与圆心角有关的定理及应用都有一个前提，即“在同圆或等圆中”，不加这个条件对应结论不成立。

五、圆周角圆周角：顶点在圆上，且角的两边都和圆相交的角做圆周角；圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等；要点诠释：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两个弦心距，两条弦，两个圆周角中有一对量相等，六、圆内接四边形圆的内接四边形：一个四边形的各个顶点在同一圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆；圆的内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补；要点诠释：圆内接四边形的一个外角等于与其相邻内角的对角七、正多边形正多边形：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形圆内接正多边形：我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫作圆内接正多边形。

圆的基本性质【命题趋势】圆的基本性质是中考考查的重点.常以选择题.填空题和解答题考查为主；其中选择题和填空题的难度不会太大.对应用、创新、开放探究型题目.会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题.进一步体现数学来源于生活.又应用于生活。

【中考考查重点】一、运用垂径定理及其推论进行计算二、运用圆周角定理及其推论进行计算三、垂径定理雪与圆周角定理结合考点：圆的有关概念圆的定义：在一个平面内.线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周.另一个端点A所形成的图形叫圆。

这个固定的端点O叫做圆心.线段OA叫做半径。

圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O.读作圆O。

圆的特点：在一个平面内.所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

确定圆的条件：1）圆心；2）半径。

备注：圆心确定圆的位置.半径长度确定圆的大小。

【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同.半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形.经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。

2）直径长度等于半径长度的2倍。

⏜.读弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧.简称弧。

以A、B为端点的弧记作AB作圆弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中.能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧.每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

1．（2021秋•顺义区期末）如图.在⊙O中.如果＝2.则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC【答案】D【解答】解：如图.取弧AB的中点D.连接AD.BD.则＝2＝2.∵＝2.∴＝＝.∴AD＝BD＝AC．在△ABD中.AD+BD＞AB.∴AC+AC＞AB.即AB＜2AC．故选：D．2．（2021秋•平原县期末）下列语句.错误的是（）A．直径是弦B．相等的圆心角所对的弧相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦【答案】B【解答】解：直径是弦.A正确.不符合题意；在同圆或等圆中.相等的圆心角所对的弧相等.B错误.符合题意；弦的垂直平分线一定经过圆心.C正确.不符合题意；平分弧的半径垂直于弧所对的弦.D正确.不符合题意；故选：B．3．（2021秋•玉林期末）如图.从A地到B地有两条路可走.一条路是大半圆.另一条路是4个小半圆．有一天.一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走.它不敢与猫同行（怕被猫吃掉）.就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同.那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地B．老鼠先到达B地C．猫和老鼠同时到达B地D．无法确定【答案】C【解答】解：以AB为直径的半圆的长是：π•AB；设四个小半圆的直径分别是a.b.c.d.则a+b+c+d＝AB．则老鼠行走的路径长是：a+πb+πc+πd＝π（a+b+c+d）＝π•AB．故猫和老鼠行走的路径长相同．故选：C．考点：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦.并且平分弦所对的两条弧。

初三《圆》章节知识点复习专题(总7页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；A3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；图4图5（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

数学九年级圆知识点总结圆是我们学习数学中的重要内容之一，它涉及到诸多的知识点和概念。

在本文中，将对九年级数学中与圆相关的知识点进行总结和归纳，帮助大家更好地理解和掌握这些知识。

1. 圆的定义和基本性质圆是由平面上与一个确定点的距离相等的所有点组成的集合。

圆上的距离被称为半径，用符号r表示。

圆心到任意一点的距离都为半径r。

圆上的线段叫做弦，通过圆心的弦叫做直径，直径的长度是半径的两倍。

圆的周长等于直径的π倍，记作C = 2πr。

圆的面积是πr²，记作A = πr²。

2. 弧长和扇形面积弧长是圆上一段弧的长度，它可以用角度来表示。

圆心角是以圆心为顶点的角，它的大小和圆心上两条边所对应的弧长有关。

扇形是由一条圆弧和两个半径所围成的图形，扇形的面积可以通过圆心角的大小来计算，即扇形面积 = (圆心角 / 360) ×圆的面积。

3. 切线和切点切线是与圆交于一个点且只有这个点在圆上的直线。

切点是切线与圆相交的点。

切线与半径的关系是切线是半径的垂直平分线。

4. 相交弧定理和相切弦定理相交弧定理指出，两条相交的弦所对应的弧的长度之和相等。

即，如果两条弦交于一点，则它们所对应的弧的长度之和相等。

相切弦定理指出，相切弦所对应的弧的长度相等。

即，如果两条弦分别是相切于一个圆的内、外切弦，则它们所对应的弧的长度相等。

5. 同切弦和等弧长弦的性质同切弦是指在同一个圆上，与两个不同点相交的弦。

同切弦的特点是它们所对应的弧的长度相等。

而等弧长弦是指在同一个圆上，与一条弦交于圆上一点的弦。

等弧长弦的特点是它们与切线所围成的弧的长度相等。

6. 弧与角的关系弧是角所对应的一段圆上的弧。

当角的大小为360°时，其所对应的弧为整个圆，当角的大小小于360°时，其所对应的弧为小于整个圆的一段弧。

7. 圆的平行线和垂直线圆的平行线是指与圆相交的直线中与半径垂直的直线。

圆的垂直线是指与圆相交的直线中与半径平行的直线。

第六单元《圆》中考知识点梳理第21讲圆的基本性质知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,∠A=1/2∠O.图a 图b 图c( 2 )推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上ADC=180°. 两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．第22讲与圆有关的位置关系知识点一：与圆有关的位置关系关键点拨及对应举例1.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d.(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.2.直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.图形公共点个数0个1个2个数量关系d＞r d＝r d＜r知识点二：切线的性质与判定3.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.4.切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.*5.切线长（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.知识点四：三角形与圆5.三角形的外接圆图形相关概念圆心的确定内、外心的性质内切圆半径与三角形边的关系：（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.（2）直角三角形的内切圆（如图b）①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形三角形三条垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等6.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形到三角形三条角平分线的交点到三角形的三条边的距离相等第23讲与圆有关的计算知识点一：正多边形与圆关键点拨与对应举例1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOC为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2例：(1) 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是5.(2)半径为6的正四边形的边心距为32，中心角等于90°，面积为72.知识点二：与圆有关的计算公式2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l＝180n rπ；扇形的面积S＝2360n rπ＝12lr例：已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π.3.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：,S侧==πrl在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.例：如图，已知一扇形的半径为3，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积为。

《圆的基本性质》章节复习【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.（3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.点与圆的位置关系判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O外；点P在⊙O上；点P在⊙O内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.4．与圆有关的角圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.5.圆内接四边形圆内接四边形的对角互补.要点二、图形的旋转在平面内，一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.图形经过旋转所得的图形和原图形全等.对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点三、正多边形各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．要点四、弧长及扇形的面积圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识1.如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点,设OP=x，则x的取值范围是（）.A．－1≤x≤1B．≤x≤2C．0≤x≤2D．x＞2【答案】C；【解析】如图，平移过P点的直线到P′，使其与⊙O相切，设切点为Q，连接OQ，由切线的性质，得∠OQP′=90°，∵OA∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°，∴△OQP′为等腰直角三角形，在Rt△OQP′中，OQ=1，OP′=2，∴当过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点时，0≤OP≤，当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果相同．故答案为：0≤OP≤2．【总结升华】本题考查了直线与圆的位置关系问题．关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．举一反三：【变式】如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OB平行的直线于⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是（）.A．-1≤x＜0或0＜x≤1B．0＜x≤1C．-2≤x＜0或0＜x≤2D．x＞1【答案】∵⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，∴过点P′且与OB平行的直线与⊙O相切时，假设切点为D，∴OD=DP′=1，OP′=2，∴0＜OP≤2，类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且 CF CB=，BF交CG于点E，求证：CE＝BE．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC，∵AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，∴ CB GB=．∵CF BC=，∴CF GB=．∴∠C＝∠CBE．∴CE＝BE．证法二：如图(2)，作ON⊥BF，垂足为N，连接OE．∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CG，∴ CB BG=．∵CB CF=，∴CF BC BG==．∴BF＝CG，ON＝OD．∵∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD，∴△ONE≌△ODE，∴NE＝DE．∵12BN BF=，12CD CG=，∴BN＝CD，∴BN-EN＝CD-ED，∴BE＝CE．证法三：如图(3)，连接OC交BF于点N．∵CF BC=，∴OC⊥BF．∵AB是⊙O的直径，CG⊥AB，∵BG BC=，CF BG BC==．∴BF CG=，ON OD=．∵OC＝OB，∴OC-ON＝OB-OD，即CN＝BD．又∠CNE＝∠BDE＝90°，∠CEN＝∠BED，∴△CNE≌△BDE，∴CE＝BE．【总结升华】上述各种证明方法，虽然思路各异，但都用到了垂径定理及其推论．在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为（）A．19B．16C．18D．20【答案】如图，延长AO交BC于点D,过O作OE⊥BC于E.则三角形ABD为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt△ODE中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=12OD=2，BE=BD-DE=10OE垂直平分BC，BC=2BE=20.故选D类型三、图形的旋转3．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°【思路点拨】利用旋转和平移的性质得出，∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，进而得出△A′B′C是等边三角形，即可得出BB′以及∠B′A′C的度数．【答案】B；解：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，∴△A′B′C是等边三角形，∴B′C=4，∠B′A′C=60°，∴BB′=6-4=2，∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°．【总结升华】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△A′B′C是等边三角形是解题关键．类型四、圆中有关的计算4．（2016•绵阳）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于E，DF ⊥AB于F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若OF=4，求AC的长度．【思路点拨】（1）先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出∠DAO=∠DAC，进而根据内错角相等，判定OD∥AE，最后根据DE⊥OD，得出DE与⊙O相切；（2）先连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，根据垂径定理推导可得OH=OF=4，再根据AB是直径，推出OH是△ABC的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．【答案与解析】解：（1）DE与⊙O相切．证明：连接OD、AD，∵点D是的中点，∴=，∴∠DAO=∠DAC，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA，∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．（2）连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，由垂径定理可得：OH⊥BC，==，∴=，∴DG=BC，∴弦心距OH=OF=4，∵AB是直径，∴BC⊥AC，∴OH∥AC，∴OH是△ABC的中位线，∴AC=2OH=8．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．本题也可以根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长．举一反三：【变式】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，+S△OFD=S△AOD=×6×3=9，∴S△ACF即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．如图，△是等边三角形，是⌒上任一点，求证：ABC D BC DB DC DA+=.【答案与解析】延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，BE CDABE ACD AB AC===⎧⎨⎪⎩⎪∠∠∴△AEB≌△ADC∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA.【总结升华】由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A.3πB.6πC.5πD.4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【总结升华】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为().A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为.故选C.。