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近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。
答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。
答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。
答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。
答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。
答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。
答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。
正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。
2. 请解释什么是群的同态和同构。
答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。
群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。
3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。
答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。
如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。
近世代数复习题及答案1. 群的定义是什么？请给出一个例子。
答案：群是一个集合G，配合一个运算*，满足以下四个条件：封闭性、结合律、单位元的存在性、逆元的存在性。
例如，整数集合Z在加法运算下构成一个群。
2. 什么是子群？如何判断一个子集是否为子群？答案：子群是群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下满足群的四个条件。
判断一个子集是否为子群，需要验证它是否在群运算下封闭，是否包含单位元，以及每个元素是否有逆元。
3. 什么是正规子群？请给出一个例子。
答案：正规子群是群G的一个子群N，对于G中任意元素g和N中任意元素n，都有gng^-1属于N。
例如，整数集合Z在加法运算下的子群2Z（所有偶数的集合）是一个正规子群。
4. 什么是群的同态？请给出一个例子。
答案：群的同态是两个群G和H之间的函数φ，使得对于G中任意两个元素a和b，都有φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。
例如，函数φ: Z → Z_2定义为φ(n) = n mod 2，是整数群Z到模2整数群Z_2的一个同态。
5. 什么是群的同构？请给出一个例子。
答案：群的同构是两个群G和H之间的双射同态。
这意味着G和H不仅满足相同的群运算规则，而且它们之间存在一一对应关系。
例如，群Z_3（模3整数群）和群{1, -1}在乘法下构成的群是同构的。
6. 什么是环？请给出一个例子。
答案：环是一个集合R，配合两个运算+和*，满足以下条件：(R, +)是一个交换群，(R, *)满足结合律，且乘法对加法满足分配律。
例如，整数集合Z在通常的加法和乘法运算下构成一个环。
7. 什么是理想？如何判断一个子集是否为理想？答案：理想是环R的一个子集I，满足以下条件：I在加法下封闭，对于R中任意元素r和I中任意元素i，都有ri和ir属于I。
判断一个子集是否为理想，需要验证它是否在加法下封闭，以及是否满足吸收性质。
8. 什么是环的同态？请给出一个例子。
答案：环的同态是两个环R和S之间的函数φ，使得对于R中任意两个元素a和b，都有φ(a+b) = φ(a) + φ(b)和φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。
多所高校近世代数题库一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
（ ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。
（ ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ ）6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。
（ ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。
（ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。
（ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。
（ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。
（ ）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，abba b a +=； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。
近世代数考试试题题库近世代数是一门研究代数结构的数学分支，它主要研究群、环、域等代数结构的性质和它们之间的关系。
以下是一份近世代数考试试题题库的示例内容：一、选择题1. 以下哪个不是群的公理？A. 单位元存在性B. 可逆性C. 交换律D. 结合律2. 一个集合G，配合一个二元运算*，若满足以下条件，则G是一个群：A. 存在单位元B. 每个元素都有逆元C. 运算满足结合律D. 所有上述条件3. 在群G中，若a属于G，a的阶是最小的正整数n，使得a^n等于单位元，那么a的阶是：A. 1B. nC. 0D. G的阶4. 以下哪个是有限群的拉格朗日定理的表述？A. 群的子群的阶总是群的阶的因子B. 群的子群的阶等于群的阶C. 群的子群的阶总是群的阶的倍数D. 群的阶总是其子群的阶的倍数5. 环R中，若存在单位元1，并且对于任意的a, b属于R，都有a*b=b*a，则R是一个：A. 群B. 域C. 交换环D. 模二、填空题6. 群的______性质保证了每个元素都有逆元。
7. 一个有单位元的结合环，如果其每个非零元素都有逆元，则这个环称为一个______。
8. 一个环的加法群是阿贝尔群，如果它的加法运算满足______律。
9. 一个环R中，如果a^2 = a对于所有a属于R，则R被称为______环。
10. 一个域的特征是2，这意味着域中1+1=______。
三、简答题11. 解释什么是子群，并给出一个不是子群的例子。
12. 描述拉格朗日定理，并说明它在群论中的重要性。
13. 什么是环的雅各比恒等式，并解释它在交换环中的意义。
14. 举例说明什么是有限域，并讨论它的性质。
15. 解释什么是主理想环，并讨论它与环的整性之间的关系。
四、证明题16. 证明：如果H是群G的一个子群，那么G/H的阶等于[G:H]。
17. 证明：任何群的子群都是阿贝尔的当且仅当该群本身是阿贝尔的。
18. 证明：如果R是一个有单位元的交换环，并且对于任意的a, b属于R，都有a*b = b*a，则R是一个域。
§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ ）1.2 A ×B = B ×A （ ）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
（ ） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
（ ）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ ）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。
（ ）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。
2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。
2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。
2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。
近世代数试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 群的元素a的阶是指最小的正整数n，使得a^n=e，其中e是群的（）。
A. 单位元B. 零元C. 负元D. 逆元答案：A2. 环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R 是（）。
A. 交换环B. 非交换环C. 整环答案：A3. 向量空间V中，如果存在非零向量α，使得对于V中任意向量β，都有α⊥β，则称α是V的一个（）。
A. 基B. 零向量C. 法向量D. 正交向量答案：C4. 有限域F中，如果存在元素a∈F，使得a^p=a对于所有a∈F 成立，则称F是（）。
A. 素域B. 特征域C. 完全域答案：B5. 群G的一个子群H，如果对于任意的h∈H，g∈G，都有ghg^-1∈H，则称H是G的一个（）。
A. 正规子群B. 非正规子群C. 子群D. 群答案：A6. 环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R是（）。
A. 交换环B. 非交换环C. 整环答案：A7. 向量空间V中，如果存在一组向量α1，α2，…，αn，使得V中任意向量都可以表示为这些向量的线性组合，则称这组向量是V的一个（）。
A. 基B. 零向量C. 法向量D. 正交向量答案：A8. 群G的一个子群H，如果H=G，则称H是G的一个（）。
A. 正规子群B. 非正规子群C. 子群答案：C9. 环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a-b=b-a，则称R 是（）。
A. 交换环B. 非交换环C. 整环D. 除环答案：A10. 向量空间V中，如果存在一组向量α1，α2，…，αn，使得这些向量线性无关，并且V中任意向量都可以表示为这些向量的线性组合，则称这组向量是V的一个（）。
A. 基B. 零向量C. 法向量D. 正交向量答案：A二、填空题（每题4分，共40分）1. 群G中，如果对于任意的a，b∈G，都有ab=ba，则称G是________。
答案：交换群2. 环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=0，则称R是________。
近世代数答案：D 5、设A=R （实数域），B=R+（正实数域）f?:a - 10a??^A 则f是从A 到B 的（）A 、单射B 、满射C 、一一映射D 既非单射也非满射答案：D&有限群中的每一个元素的阶都（）一、单项选择题 1、若 A={1, 2, 3, 5}, B={2, 3, 6, 7}，则 A c B =()A {1 , 2, 3, 4}B 、{2 , 3, 6, 7}C 、{2 , 3}D 、{1 , 2, 3, 5, 6, 7}答案：C2、循环群与交换群关系正确的是（）A 循环群是交换群B 、交换群是循环群C 、循环群不一定是交换群D 以上都不对 答案：A3、下列命题正确的是（）A n 次对换群S n 的阶为n!B 整环一定是域C 、交换环一定是域D 以上都不对答案：A I4、关于陪集的命题中正确的是（）设 H 是G 的子群，那么 对于 V aH'bH,有 aH cbH ，或aH =bHB 、 以上都对A、有限B、无限C 为零D答案：A答案：D8、若S 是半群,则（）A 、任意 abc^S,都有 a(bc)=(ab)cB 、任意 a,^ S,都有ab=ba C 必有单位元D 任何元素必存在逆元答案：A9、在整环Z 中，6的真因子是（）A 、±1,±6B 、±2, ±3C ±1, ±2D ±3, ±6答案：B10、偶数环的单位元个数为（）A 、0个B 、1个C 2个D 无数个答案：A设A 1,A 2,…，A n 和D 都是非空集合，而f 是A^A n 到D 的一个映射，那么（）集合A 1, A 2,…，A n , D 中两两都不相同;AXA2X …XAn 中不同的元对应的象必不相同;一个元（a 1,a 2,…,a n 的象可以不唯一。
7、整环（域） 的特征为（）A 、素数B 、 无限C 、有限D 或素数或无限B 、 A 1,A 2,…，A n 的次序不能调换;答案：B12、指出下列那些运算是二元运算（）A在整数集Z 上, aV =口^abB、在有理数集Q上，&叱=』0耳；C、在正实数集R"上, a0b=alnb ；n > o｝上，a 叱=答案：D13、设。
§ 1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么 A 同 B = {x x = A 且x = B}。
( )1.2 A ×B = B ×A ( )1.3 只要f 是 A 到 A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射 f - 1 。
( )1.4 如果Q 是 A 到 A 的一一映射,则Q [Q (a)]=a 。
( )1.5 集合 A 到 B 的可逆映射一定是 A 到 B 的双射。
( )1.6 设A 、 B 、 D 都是非空集合，则 A 根 B 到D 的每个映射都叫作二元运算。
( )1.7 在整数集 Z 上， 定义“o ”：a o b=ab(a,b∈Z)，则“ o ”是 Z 的一个二元运算。
( )1.8 整数的整除关系是 Z 的一个等价关系。
( )2 填空题：2.1 若 A={0,1} , 则 A A= __________________________________ 。
2.2 设 A = {1， 2}， B = {a ， b}， 则 A×B =_________________ 。
2.3 设={1,2,3} B={a,b}, 则 A 根 B=_______。
2.4 设 A={1,2}, 则 A A=_____________________ 。
2.5 设集合 A = {- 1,0,1}； B = {1,2} ，则有 B 根 A = 。
2.6 如果 f 是A 与 A 间的一一映射， a 是 A 的一个元，则 f - 1 [f(a)] = 。
2.7 设 A = { a 1, a 2 ,…a 8 }， 则 A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设 A 、B 是集合， | A | ＝ | B |＝3， 则共可定义 个从 A 到 B 的映射， 其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设 A 是 n 元集， B 是 m 元集，那么 A 到 B 的映射共有____________个.2.10 设 A={a,b,c}，则 A 到 A 的一一映射共有__________个.2.11 设 A={a,b,c,d,e}，则 A 的一一变换共有______个.2.12 集 合 A 的 元 间 的 关 系~ 叫 做 等 价 关 系， 如 果 ~ 适 合 下 列 三 个 条 件： _____________________________________________ 。
近世代数复习题一、填空题1.设A是有n个元素的集合,则A到自身的所有映射有个,其中满射有个.2.设R表示实数集合,而R+表示正实数集合,写出从R到R+的一个双射;设Q表示有理数集合,写出Q的对于普通加法来说的自同构(x→x除外).3.设A是有n(n≥3)个元的集合.2A表示A的所有子集的集合.在2A上定义等价关系:X∼Y⇔X与Y有相同个数的元素.由此等价关系决定2A的分类共有类,而个数为2的类中共有个元素.4.设M是数域F上的全体n阶矩阵构成的集合.在M上定义等价关系∼:A∼B⇔r(A)=r(B),对任意A,B∈M,这里r(A)表示A的秩.由这个等价关系决定的M的一个分类共有类;设A表示某系全体本科同学的集合,在A上定义关系∼:a∼b⇔a与b在同一个年级.由这个等价关系决定的A的分类共有类. 5.在有理数集合上定义关系:∼:a∼b⇔a−b∈Z,写出由这个等价关系∼决定的等价类的一个代表团;写出模12的剩余类的一个代表团.6.就同构意义上来说,4阶群只有两个,它们是和,且都是群.7.在整数加群Z中,循环群的交(3)∩(5)=;写出一个阶大于10且只有平凡子群的群.8.就同构意义上来说，阶数最小的非交换群是;给出一个5-循环置换π=(32154)，那么π−1=;π4=.9.在对称群S4中,(132)2(1234)−1=;而(3421)的阶是.10.设G是群,a,b∈G且ab=ba,a,b的阶分别是m和n,其中(m,n)=1,则ab的阶是.又设H,K≤G,且|H|=s,|K|=t,(s,t)=1,则H∩K=.11.群Z8的生成元有个;Z p p为素数的生成元有个;无限循环群的生成元只有个.12.设G是实数域R上所有的n阶可逆矩阵关于乘法构成的群,映射f:A→det A是G到(R∗,×)的同态,则ker f=.设R是环,R[x]为R上的多项式环.定义σ:R[x]→R为σ(f(x))=f(0),∀f(x)∈R[x].则kerσ=.13.设R是特征为素数p的交换环,则对任意的a,b∈R,(a+b)p=;只有有限个元且乘法满足消去律的环是一个.14.在Z6[x]中,多项式([3]x3+[5]x−[4])([2]x2+[3]x−[2])=;而方程x2+x=0在Z6中的解是;在Z15中,x2−1=0的根是.15.任何一个群与一个群同构;任一个有限群都同一个群同构;找出模6的剩余类环的所有理想.16.写出Z7的每个非零元的逆元;找出Z8的所有子环.17.若I是有单位元的交换环R的由元素a生成的主理想,则I中的任意元素可以表达为;写出一个有零因子的非交换环.18.若R是一个有单位元的环,I是R的理想，那么R/I的单位元是;整数环Z的商域是.19.4个元的域的特征是.在R中写出Q的一个未定元.20.在环Z[x]中由x,2生成的理想的(x,2)=(用集合表示);这(填”是”或”不是”)Z[x]的极大理想.二、单项选择题1.下列哪个运算是二元运算.................................................()A)在整数集Z上,a◦b=a+bab;B)在正实数集R+上，a◦b=a ln b;C)在有理数集Q上,a◦b=|ab|;D)在Z+∪{0}上,a◦b=|a−b|.2.下列定义的运算中满足结合律的是..........................................()A)非零实数集R∗的普通除法;B)全体整数集合上的普通减法;C)在Z上,a◦b=a+2b;D)在实数集R的普通乘法.3.以下映射中是群同态的是...................................................()A)f:(R,+)→(R,+),f(x)=|x|;f:R∗→R∗,f(x)=x2;C)f:(R,+)→(R,+),f(x)=x2;D)f:G→G,f(A)=A T,其中G表示数域F上全体n阶可逆矩阵关于乘法构成的群,而A T表示A的转置.4.设R∗是一切非零实数关于乘法构成的群,以下映射不是群同态的是...........()A)f(x)=|x|;B)f(x)=x2;C)f(x)=2x;D)f(x)=x−1.5.以下关系不是等价关系的是...............................................()A)整数集合Z中的整除关系B)整数集合上的同余关系.C)R上全体n阶矩阵集合上的矩阵的合同关系;D)R上全体n阶矩阵集合上的矩阵的相似关系;6.以下命题中不不正确的是.....................................................()A)一个群可以与它的真子群同构;B)环与它的子环一定有相同的单位元.C)任意一个群G至少有两个不变子群,就是G和{e};D)群G的指数为2的子群H是G的不变子群;7.设G=(a),|G|=12,则下列哪个不是G的生成元.........................()A)a3B)a5C)a7D)a118.以下关于不变子群的命题不正确的是.....................................()A)设G是群,H G,则对任意a∈G,h∈H,aha−1=h;B)G的指数为2的子群是G的不变子群;C)设A G,B G,则AB G;D)每个非零群至少有两个不变子群.9.以下命题不正确的是.....................................................()A)无限循环群的生成元只有两个;B)4阶群G一定是交换群;C)置换群中k循环的阶是k;D)置换群中不同的循环可以交换.10.以下命题中不不正确的是.....................................................()A)除环和域没有真理想;B)有单位元的环的子环可以没有单位元.C)如果环R对于加法构成循环群,则R是交换环;D)设R是特征为p的环,则对任意的a,b∈R,(a+b)p=a p+b p;11.以下命题中不不正确的是.....................................................()A)设H是群G的不变子群,K是H的不变子群,但K不一定是G的不变子群;B)阶为偶数的群中,阶为2的元素的个数是奇数;C)两个理想的交还是理想.D)无限循环群只有两个生成元;12.以下命题不不正确的是........................................................()A)环R上一切常数项为零的多项式的集合构成R[x]的理想;B)群G的有限子集H构成G的子群的充要条件是∀a,b∈H,ab∈H;C)设H是群G的不变子群,则对任意的g∈G,h∈H,gh=hg;D)设R是偶数环,则(4)是R的极大理想,且R/(4)是域.13.以下命题不不正确的是........................................................()A)若环R满足消去律，那么R必定没有零因子;B)整数集合Z中的整除关系是一个等价关系;C)设f是环R到R的满同态,I是R的理想，则f(I)也是R的理想;D)除环的中心是一个域.14.以下命题不不正确的是........................................................()A)设p是素数,则Z p是一个域;B)4阶群一定是循环群;C)4个元的域的特征是2;D)在环Z中,(3,7)=(1)=Z.15.以下命题不不正确的是........................................................()A)除环和域只有平凡理想;B)阶为素数的群是循环群;C)每个交换环都有未定元;D)R含有Z的未定元16.以下命题不不正确的是........................................................()A)两个子群的交是子群;B)有限群的每个元的阶有限;C)每个域的商域是它自己;D)两个循环可以交换.17.以下命题不不正确的是........................................................()A)如果群G中每个非单位元的阶都是2,则G的交换群;B)任意群的中心是不变子群;C)在特征为p的环R中,对于任意a,b∈R,(a+b)p=a p+b pD)有单位元且无零因子的环的中心是一个整环.三、辨析题.判断以下命题是否正确,正确的给予证明,错误的举出反例.1.群G的每一个元素的阶是有限的,G一定不是无限群.2.设H是G的不变子群,K是H的不变子群,则K也是G的不变子群.3.设M是一个非空集合,2M表示M的所有子集构成的集合,则2M关于集合的并∪构成群.4.设G是阶大于2的非交换群,则一定存在非单位元a,b∈G使得ab=ba.5.偶数阶群G中阶为2的元素的个数一定是奇数个.6.设R是有单位元的环,I是R的理想,J是I的理想,则J也是R的理想.7.设f:R→¯R是环满同态,其中R有零因子,¯R没有零因子.8.整数加群与偶数加群同构,但是整数环与偶数环不同构.9.(x)是Z[x]的极大理想,也是Q[x]的极大理想.10.如果有单位元的环R只有平凡理想,则R是除环.11.设f:R→¯R为环满同态,如果R是非交换的,则¯R也是非交换的.12.Z[i]的自同构只有两个,一个是恒等同态,另一个是共轭.13.设R是环¯R的子环,a∈R,(a)是R的极大理想,但(a)不是¯R的极大理想.14.设R是有零因子的非交换环,f:R→¯R是环满同态,但¯R是没有零因子的交换环.15.R是非交换环,H是R的子环,但不是理想.16.一个没有零因子的环的商环也没有零因子.四、证明题1.设S是任意集合,(G,+)是加群.令A=G S表示S到G的所有映射构成的集合.在A上定义二元运算:∀f,g∈A,x∈G,(f+g)(x)=f(x)+g(x).证明(A,+)是一个群.2.设(G,·)是一个群,u∈G是G中固定元,在G上定义新的二元运算◦如下:a◦b=au−1b,∀a,b∈G.证明(G,◦)是一个群.3.证明实数域R上所有n阶可逆矩阵构成的集合M n(R)关于矩阵的乘法构成一个非交换群.设H={A∈M n(R)||A|=1},证明H是M n(R)的不变子群.4.设φ:G→¯G是群满同态.¯N ¯G,N={g∈G|φ(g)∈¯N}.证明N G,且G/N∼=¯G/¯N.5.设A,B 都是群G 的子群,AB ={ab |a ∈A,b ∈B }.证明AB 是G 的子群的充要条件是AB =BA .6.设G 表示有理数域Q 到Q 的一切形如f a,b (x )=ax +b,a =0,a,b ∈Q的所有变换构成的集合.令H ={f 1,b ∈G |b ∈Q },再令¯G ={a b 01 |a,b ∈Q ,a =0},¯G 关于矩阵的乘法构成一个非交换群.令¯H ={ a 001|0=a ∈Q }.证明:(a)G 关于映射的合成构成一个非交换群,且G ∼=¯G.(b)H G ,且G/H ∼=¯H,因而G/H 是一个交换群.7.6阶群有且仅有一个3阶子群,这个子群是不变子群.8.证明f :x →x −1是群G 的自同构的充要条件是G 为交换群.9.证明R ={m 2n |m ∈Z ,n ∈Z+∪{0}}关于数的加法和乘法构成一个整环.10.证明R ={a +b √2|a,b ∈Z }关于数的加法和乘法构成一个整环.11.证明Q [i ]={a +bi |a,b ∈Q }关于数的加法和乘法构成一个整环.12.设R 是一个有单位元1的非交换环,用GL (R )表示R 的所有群同态的集合.在GL (R )上定义两个二元运算如下:∀f,g ∈GL (R ),x ∈R ,(f +g )(x )=f (x )+g (x ),(f ◦g )(x )=f (g (x )).证明(GL (R ),+,◦)是一个非交换环.13.设A =Z ×Z 是关于以下定义的加法和乘法构成的环:(a,b )+(c,d )=(a +b,c +d );(a,b )(c,d )=(ac,bd ),∀(a,b ),(c,d )∈A.定义φ:A →Z ,(a,b )→a.(1).证明φ是A 到Z 的环满同态.(2).求ker φ;(3).A/ker φ是怎样的环?14.设R ={a +bi |a,b ∈Z ,i 2=−1}.证明R 关于数的加法和乘法构成一个整环.R/(1+i )含有几个元?15.设Z[x]是整数环Z上的多项式环,定义映射φ:Z[x]→Z,φ(f(x))=f(0).证明φ是Z[x]到Z的环满同态.kerφ是怎样的理想?16.设Z[x]是整数环Z上的多项式环.(x2+1)表示由x2+1生成的主理想,证明Z[x]/(x2+1)∼=Z[i].。
近世代数题库(总12页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除群一、填空题1. 设4)(x x f =是复数集到复数集的一个映射, 则)1(1-f ={_______}.2. 设τ=(134),σ=(13)(24), 则τσ=____________________.3. 群G 的元素a 的阶是m ，b 的阶是n ，ba ab =，则≤ab ，如果),(m n = 1，则=ab_____.4. 设<a >是任意一个循环群.若|a |=∞，则<a >与________________同构；若|a |=n ，则<a >与______________同构.5. 设σ=（14）（235），τ=（153）（24），则|σ| = ____，στσ1- =______.6. 设群G 的阶为m ，G a ∈，则=m a .7. 设“～”是集合A 的一个关系，如果“～”满足_________________，则称“～”是A 的元素间的一个等价关系.8. 设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S 5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)， τ是 (奇、偶)置换.9. 设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 .10. 一个群G 的非空子集H 做成一个子群的充分必要条件是 .11. 设G 为群，若对于任意的元G b a ∈,，都有ba ab =，则称群G 为 群.12.n 次对称群n S 的阶是____________.13.设G =<a >是10阶循环群，则G 的全部生成元有 ，G 的子群有 个，分别是 .14.设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha .15.设G =<a >是循环群，则G 与整数加群同构的充要条件是 .16．在3次对称群3S 中，H ＝{(1),(123),(132)}是3S 的一个正规子群，则商群H S 3中的元素(12)H ＝{}.17．如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 .18.设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A .19. 凯莱定理说：任一个群都与一个 同构.20. 设G =<a >是12阶循环群, 则G 的生成元集合为｛ ｝.21. 一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数叫做H 在G 中的 .22. 设G 是一个pq 阶群，其中q p ,是素数，则G 的子群的一切可能的阶数是 ____ .23. 写出S 3的一个非平凡的正规子群_____.24. 已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 .25. 一个有限非可换群至少含有____________个元素.26. 设G 是p 阶群（p 是素数），则G 的生成元有____________个.27. 一个有限群中元素的个数叫做这个群的 .28.设R 是实数集，规定R 的一个代数运算ab b a 2:= ，（右边的乘法是普通乘法），就结合律、交换律而言，“ ”适合如下运算律： .29. 设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=bH aH .30. 写出三次对称群3S 的子群()(){}13,1=H 的一切左陪集 .31. 如果G 是一个含有15个元素的群，那么，G 有 个5阶子群，对于∀∈a G ，则元素a 的阶只可能是___________.32.设G 是一个pq 阶群，其中q p ,都是素数，则G 的真子群的一切可能的阶数是 ，G 的子群的一切可能的阶数是 .33. 已知群G 中的元素a 的阶等于n ，则k a 的阶等于n 的充分必要条件是 .34. 设(G ，·)是一个群，那么对于∀∈b a ,G ，(ab )－1＝___________.k36．若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的方幂，则G 称为 .37．5-循环置换)31425(=π，那么=-1π .38．设G 为群，G N ≤，且对于任意的G a ∈，有 ，则N 叫做G 的正规子群.39. 设G 为乘群，G a ∈，则能够使得e a m =的最小正整数m ，叫做a 的___________.设G 为加群，G a ∈，则能够使得 的最小正整数m ，叫做a 的阶.40．设τ＝(1243)(235)∈5S ，那么1-τ＝___ _.τ是 (奇、偶)置换.41. 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：则a 所在的等价类a ={ ｝.42. 设A ={d c b a ,,,}，则A 到A 的映射共有________个，A 到A 的一一映射共有 ________个，A A ⨯到A 的映射共有________个（A 上可以定义 个代数运算）.43. 设G 是6阶循环群，则G 的生成元有____________个.44. 非零复数乘群*C 中由i -生成的子群是____________.45. )125(=σ，)246(=τ，则στ的阶数等于 .46．素数阶群G 的非平凡子群个数等于____________.47. 设G 是一个n 阶交换群，a 是G 的一个m （n m ≤）阶元，则商群><a G 的阶等于 .48. 设σ是集合A 到集合B 的一个映射,则存在B 到A 的映射τ,使στσ⇔=A 1 为 ;存在B 到A 的映射τ,使σστ⇔=B 1为 .49. 若群G 中的每个元素的阶都有限,则称G 为 群. 若群G 中除了单位元外,其余元素的阶都无限,则称G 为 群.50. n 阶循环群有 个生成元,有且仅有 个子群.51. 若n k ,则n 阶循环群>=<a G 必有k 阶子群,其k 阶子群为 .52. 在同构意义下,4阶群只有两个,一个是4阶循环群,另一个是 .53. 在同构意义下,6阶群只有两个,一个是6阶循环群,另一个是 .54. 非交换群G 的每个子群都是其正规子群,则称G 为 群.55. n 元置换)(21k i i i 的阶为 ，=-12121)])([(m k j j j i i i .二、选择题1. 设R B A == (实数集)，如果A 到B 的映射R x x x ∈∀+→,2:ϕ,则ϕ是从A 到B 的（ ）.A) 满射而非单射; B) 单射而非满射;C) 一一映射; D) 既非单射也非满射.2.3S 中可以与(123)交换的所有元素有（ ）.A) (1),(123),(132); B) (12),(13),(23); C) (1),(123); D)3S 中的所有元素.3.设15Z 是以15为模的剩余类加群，那么15Z 的子群共有（ ）个.A) 2 B) 4 C) 6 D) 8.4. 设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ）.A) 11--a bc B) 11--a c C) 11--bc a D) ca b 1-.5. 设f 是复数集到复数集的一个映射. 如果对任意的复数x ，有4)(x x f =，则))1((1f f -=( ).A) {1，-1}; B) {i ，-i }; C) {1， -1，i ，-i }; D) 空集.6. 设A ={所有实数}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是( ).A) x x 10→ B) x x 2→ C) x x → D) x x -→.7. 设G 是实数集，定义乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数,那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）.A) 1和x -； B) 1和0； C) -k 和k x 2-； D)k -和)2(k x +-.8.下面的集合对于给定的代数运算不能成为群的是( ).A) 全体整数对于普通减法; B) 全体不为零的有理数对于普通乘法;C) 全体整数对于普通加法; D) 1的3次单位根的全体对于普通乘法.9. 设G 是群,c b a ,,是群G 中的任意三个元素, 则下面阶数可能不相等的元素对为( ).A)ba ab , B) bac abc , C) 1,-bab a D) 1,-a a .10. 设R 是实数集合,规定R 的元素间的四个关系如下,( )是R 的等价关系.A)b a aRb ≤⇔; B) 0≥⇔ab aRb ; C) 022≥+⇔b a aRb ; D) ab aRb ⇔<0.11.设G 是一个半群，则下面的哪一个不是做成群的充要条件( ).A) G 中有左单位元，同时G 中的每个元素都有左逆元；B) 对于G 中任意元素a 和b ，G 中恰好有一个元素x 满足a x =b ；同时G 中恰好有一个元素y满足y a =b ；C) G 中有单位元，同时G 中的每个元素都有逆元；D) 在G 中两个消去律成立.12.设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,. 如果子群H 的阶是6，那么G 的阶=G （ ）.A) 6 B) 24 C) 10 D) 1213. 三次对称群3S = {(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，那么下面关于3S 的四个论述中，正确的个数是( ).(1) 3S 是交换群；(2) 3S 的2阶互异子群有三个；(3) 3S 的3阶互异子群有两个；(4) 3S 的元素(123)和(132)生成相同的循环群.A) 1 B ) 2 C) 3 D) 414. 设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（ ）个。
群一、填空题1. 设4)(x x f =是复数集到复数集的一个映射, 则)1(1-f ={_______}.2. 设τ=134,σ=1324, 则τσ=____________________.3. 群G 的元素a 的阶是m ,b 的阶是n ,ba ab =,则≤ab ,如果),(m n = 1,则=ab_____.4. 设<a >是任意一个循环群.若|a |=∞,则<a >与________________同构；若|a |=n,则<a >与______________同构.5. 设σ=14235,τ=15324,则|σ| = ____,στσ1- =______.6. 设群G 的阶为m ,G a ∈,则=m a .7. 设“～”是集合A 的一个关系,如果“～”满足_________________,则称“～”是A 的元素间的一个等价关系.8. 设σ＝2335,τ＝1243235∈S 5,那么στ＝___________表示成若干个没有公共数字的循环置换之积, τ是 奇、偶置换.9. 设群G 中元素a 的阶为m ,如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为 .10. 一个群G 的非空子集H 做成一个子群的充分必要条件是 .11. 设G 为群,若对于任意的元G b a ∈,,都有ba ab =,则称群G 为 群.12.n 次对称群n S 的阶是____________.13.设G =<a >是10阶循环群,则G 的全部生成元有 ,G 的子群有 个,分别是 .14.设H 是群G 的子群,G b a ∈,,则⇔=Hb Ha .15.设G =<a >是循环群,则G 与整数加群同构的充要条件是 .16．在3次对称群3S 中,H ＝{1,123,132}是3S 的一个正规子群,则商群H S 3中的元素12H ＝{}.17．如果f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则()[]=-a f f 1 .18.设集合A 有一个分类,其中i A 与j A 是A 的两个类,如果j i A A ≠,那么=j i A A .19. 凯莱定理说：任一个群都与一个 同构.20. 设G =<a >是12阶循环群, 则G 的生成元集合为｛ ｝.21. 一个群G 的一个子群H 的右陪集或左陪集的个数叫做H 在G 中的 .22. 设G 是一个pq 阶群,其中q p ,是素数,则G 的子群的一切可能的阶数是 ____ .23. 写出S 3的一个非平凡的正规子群_____.24. 已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于 .25. 一个有限非可换群至少含有____________个元素.26. 设G 是p 阶群p 是素数,则G 的生成元有____________个.27. 一个有限群中元素的个数叫做这个群的 .28.设R 是实数集,规定R 的一个代数运算ab b a 2:= ,右边的乘法是普通乘法,就结合律、交换律而言,“ ”适合如下运算律： .29. 设H 是群G 的子群,G b a ∈,,则⇔=bH aH .30. 写出三次对称群3S 的子群()(){}13,1=H 的一切左陪集 .31. 如果G 是一个含有15个元素的群,那么,G 有 个5阶子群,对于∀∈a G ,则元素a 的阶只可能是___________.32.设G 是一个pq 阶群,其中q p ,都是素数,则G 的真子群的一切可能的阶数是 ,G 的子群的一切可能的阶数是 .33. 已知群G 中的元素a 的阶等于n ,则k a 的阶等于n 的充分必要条件是 .34. 设G ,·是一个群,那么对于∀∈b a ,G ,ab －1＝___________.35. 群中元素a 的阶为n 3,k a 的阶为n ,则)3,(n k = .36．若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的方幂,则G 称为 .37．5-循环置换)31425(=π,那么=-1π .38．设G 为群,G N ≤,且对于任意的G a ∈,有 ,则N 叫做G 的正规子群.39. 设G 为乘群,G a ∈,则能够使得e a m =的最小正整数m ,叫做a 的___________.设G 为加群,G a ∈,则能够使得 的最小正整数m ,叫做a 的阶.40．设τ＝1243235∈5S ,那么1-τ＝___ _.τ是 奇、偶置换.41. 设～是集合A 的元间的一个等价关系,它决定A 的一个分类：则a 所在的等价类a ={ ｝.42. 设A ={d c b a ,,,},则A 到A 的映射共有________个,A 到A 的一一映射共有________个,A A ⨯到A 的映射共有________个A 上可以定义 个代数运算.43. 设G 是6阶循环群,则G 的生成元有____________个.44. 非零复数乘群*C 中由i -生成的子群是____________.45. )125(=σ,)246(=τ,则στ的阶数等于 .46．素数阶群G 的非平凡子群个数等于____________.47. 设G 是一个n 阶交换群,a 是G 的一个m n m ≤阶元,则商群><a G 的阶等于 .48. 设σ是集合A 到集合B 的一个映射,则存在B 到A 的映射τ,使στσ⇔=A 1为 ; 存在B 到A 的映射τ,使σστ⇔=B 1为 .49. 若群G 中的每个元素的阶都有限,则称G 为 群. 若群G 中除了单位元外,其余元素的阶都无限,则称G 为 群.50. n 阶循环群有 个生成元,有且仅有 个子群.51. 若n k ,则n 阶循环群>=<a G 必有k 阶子群,其k 阶子群为 .52. 在同构意义下,4阶群只有两个,一个是4阶循环群,另一个是 .53. 在同构意义下,6阶群只有两个,一个是6阶循环群,另一个是 .54. 非交换群G 的每个子群都是其正规子群,则称G 为 群.55. n 元置换)(21k i i i 的阶为 ,=-12121)])([(m k j j j i i i .二、选择题1. 设R B A == 实数集,如果A 到B 的映射R x x x ∈∀+→,2:ϕ,则ϕ是从A 到B的 .A 满射而非单射;B 单射而非满射;C 一一映射;D 既非单射也非满射.2.3S 中可以与123交换的所有元素有 .A 1,123,132;B 12,13,23;C 1,123;D 3S 中的所有元素.3.设15Z 是以15为模的剩余类加群,那么15Z 的子群共有 个.A 2B 4C 6D 8.4. 设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12,那么=x .A 11--a bcB 11--a cC 11--bc aD ca b 1-.5. 设f 是复数集到复数集的一个映射. 如果对任意的复数x ,有4)(x x f =,则))1((1f f -= .A {1,-1};B {i ,-i };C {1, -1,i ,-i };D 空集.6. 设A ={所有实数},A 的代数运算是普通乘法,则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是 .A x x 10→B x x 2→C x x →D x x -→.7. 设G 是实数集,定义乘法k b a b a ++= :,这里k 为G 中固定的常数,那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是 .A 1和x -；B 1和0；C -k 和k x 2-；D k -和)2(k x +-.8.下面的集合对于给定的代数运算不能成为群的是 .A 全体整数对于普通减法;B 全体不为零的有理数对于普通乘法;C 全体整数对于普通加法;D 1的3次单位根的全体对于普通乘法.9. 设G 是群,c b a ,,是群G 中的任意三个元素, 则下面阶数可能不相等的元素对为 .A ba ab ,B bac abc ,C 1,-bab aD 1,-a a .10. 设R 是实数集合,规定R 的元素间的四个关系如下, 是R 的等价关系.A b a aRb ≤⇔;B 0≥⇔ab aRb ;C 022≥+⇔b a aRb ;D ab aRb ⇔<0.11.设G 是一个半群,则下面的哪一个不是做成群的充要条件 .A G 中有左单位元,同时G 中的每个元素都有左逆元；B 对于G 中任意元素a 和b ,G 中恰好有一个元素x 满足a x =b ；同时G 中恰好有一个元素y 满足y a =b ；C G 中有单位元,同时G 中的每个元素都有逆元；D 在G 中两个消去律成立.12.设H 是群G 的子群,且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,. 如果子群H 的阶是6,那么G 的阶=G .A 6B 24C 10D 1213. 三次对称群3S = {1,12,13,23,123,132},那么下面关于3S 的四个论述中,正确的个数是 .1 3S 是交换群；2 3S 的2阶互异子群有三个；3 3S 的3阶互异子群有两个；4 3S 的元素123和132生成相同的循环群.A 1B 2C 3D 414. 设Z 15是以15为模的剩余类加群,那么,Z 15的子群共有 个;A 2B 4C 6D 815.指出下列那些运算是二元运算A 在整数集Z 上,ab b a b a += ；B 在有理数集Q 上,ab b a = ；C 在正实数集+R 上,b a b a ln = ；D 在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -= .16.设 是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax = 即取a 与b 中的最大者,那么 在Z 中 .A 不适合交换律；B 适合结合律；C 存在单位元；D 每个元都有逆元.17. 设21:G G f →是一个群同态映射,那么下列错误的命题是 .A f 的同态核是1G 的不变子群；B 2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；C 1G 的子群的象是2G 的子群；D 1G 的不变子群的象是2G 的不变子群.18. 设G G ,是两个带有乘法的非空集合,且G ～G ,则下列结论不正确的是 .A G 是群时,G 也是一个群；B G 是群时,G 也是一个群；C G 是交换群时,G 也是交换群；D G 的单位元的象是G 的单位元.19. 设A 为实数集,B 位正实数集,如果A 到B 的映射x x 2:→ϕ,∈∀x A ,则ϕ是从A 到B 的 .A 满射而非单射;B 单射而非满射;C 一一映射;D 既非单射也非满射.20. 设G 是实数集,定义乘法1:-+=b a b a ,那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是 .A 1和1x -；B 1和x -2；C 0和x -2；D -1和1-x .21. 设N 是群G 的正规子群,且G 关于N 的商群N G为五阶群. 如果子群N 的阶是6,那么群G 的阶=G .A 6B 36C 30 D25.22. 设集合A 含有n 个元素,那么A 的子集共有 个.A nB 2nC n 2 D2)1(+n n . 23. 下列法则, 是集合A 的代数运算.A A =b a b a N -= ,B A =2,ab b a Z =C A =ba b a Q = , D A =π+=a b a R ,. 24. 设S,则S 关于所给代数运算作成的代数系统中的单位元和可逆元素分别为 . A c ,a 与b B c ,b 与cC b ,c 与dD a ,d 与a . 25. p 素数阶有限群的子群个数为 .A 0B 1C 2D p26. 6元置换231356的阶数为A 2B 4C 5D 827. M 是正有理数集合,下列规定不是M 的关系的是A b a aRb +⇔是整数；B 1<++⇔ca dbcd R a b 4 C 1>-⇔b a aRb 5 D 0<⇔ab aRb28. 设集合A 含有n 个元素,那么A 的代数运算共有 个.A nB 2nC n nD 2n n三、判断题1. 设N 是正整数集,N b a ∈∀,规定b a aRb ⇔,则R 是N 的元间的一个等价关系.2. 如果群G 中的每个元素都满足方程e x =2,则G 必是交换群.3. 一个非交换群至少要有6个元素．4. 群G 的任意个子群的交仍是G 的一个子群.5. 四次交代群中存在6阶子群.6. 设M 是非空集合,则M M ⨯到M 的每个映射都叫作M 上的二元运算.7. f 是A 到A 的单射,则f 有唯一的逆映射1-f .8. 如果循环群>=<a G 中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构.9. 如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群.10. 群G 的子群H 是正规子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,.11. 阶为两个互异素数乘积的交换群一定是循环群．12. 集合A 的一个关系可以决定A 的一个分类．13. 有限群G 的任一元素的阶整除G 的阶．14. 整数集按照普通乘法可以构成一个群.15. 循环群=G ﹤a ﹥中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构．16. 有限群G 的任一子群N 的阶都能整除G 的阶．17. G 是一个群,N 是G 的正规子群,则G a ∈∀与N 中元素相乘可交换．18. 在一个群G 中,消去律不一定成立.19. 任何一个-k 循环置换的阶是k .20. 集合A 的一个分类决定A 的元间的一个等价关系；反之,集合A 的元间的一个等价关系也决定A 的一个分类.21．阶为素数的群一定是循环群,循环群的阶也一定是素数.22．群G 的子群H 在G 中的指数为2,则H 一定是G 的正规子群.23．设φ为集合A 到A 的满射,则：若S 是S 的逆象,S 一定是S 的象;若S 是S 的象,S 也一定是S 的逆象. 24．N 是群G 的正规子群,H 是N 的正规子群,则H 是群G 的正规子群.25．一个群同它的每一个商群同态.26．一个群G 的子群H 的左陪集个数和右陪集个数不一定相同.27．群G 的两个正规子群的交集还是正规子群.28．循环群的子群也一定是循环群.29．全体有理数作成的集合对于普通乘法来说做成一个群.30. 设G 为群,它的两个正规子群的交和乘积还是正规子群.31. 一个循环群一定是一个交换群.32. 一个群的两个不同的子集一定不会生成相同的子群.33. 有理数加群与非零有理数乘群同构.34. 无限循环群可与任何循环群同构.35. 设ϕ是集合X 到集合Y 的任意一个映射,A 为X 的非空子集,则A A =-))((1ϕϕ.36. 设ϕ是集合X 到集合Y 的任意一个映射,B 为Y 的非空子集,则B B =-))((1ϕϕ.37. 设ϕ是集合X 到集合Y 的任意一个映射,A ,B 为X 的两个非空子集,则)()()()2();()()()1(B A B A B A B A ϕϕϕϕϕϕ⋂⊆⋂⋃=⋃.38. G 为一个群,G b G a ∈∈,为有限阶元,ba ab =,则b a ab ≤.39. G 为交换群,且G 中所有元素有最大阶m ,则G x ∈∀有e x m =.40. G 为一个群, G b G a ∈∈,为有限阶元,则ab 为有限阶元.41. 在一个有限群里,阶大于2的元素个数必为偶数.42. 偶数阶群必有2阶元.43. 设C B A ,,是群G 的3个子群,则AC AB C B A ⋃=⋃)(.44. 设C B A ,,是群G 的3个子群,则AC AB C B A ⋂=⋂)(.45. 交换群中所有有限阶元作成一个子群.46. 群G 中所有有限阶元作成一个子群.47. 任何群都不能是两个真子群的并.48. 任何群都不能是三个真子群的并.49. 有限群的元素的阶都有限.50. 无限群至少有一个无限阶元.51. 集合M 的变换群G 含有M 的单射变换,则G 必为双射变换群.52. 集合M 的变换群G 可能既含有M 的双射变换,又含有M 的非双射变换. 53. 2≥M ,集合M 的全体非双射变换关于变换的乘法作成一个变换群.54. 互不同构的n 阶群只有有限个.55. 不相连的置换相乘可交换.97. 置换))((32121i i i i i 的阶为6]3,2[=.56. 当3≥n 时,n 次对称群n S 为无中心群.57.G 为一个群,,...},,{,c b a A G H =≤为G 关于H 的一个左陪集代表系,则A 也是G 关于H 的一个右陪集代表系.58.设G 为一个群,,,G K G H ≤≤):(),:(K G H G 有限,则59.设G 为一个有限群,},{,,e K H G K G H =⋂≤≤则K H HK =.60.G 为n 阶群,n k ,则G 必有k 阶子群.61.pq 阶q p ,为互异素数交换群必为循环群.62.设ϕ为群G 到G 的同态满射,G a ∈与G a ∈)(ϕ有相同的阶.63.设G 与G 各有一个代数运算,且G ～G , G 是群,则G 也是群.64.素数阶群是单群.65.设ϕ是群G 到群G 的一个同态映射,G H ≤,则H H =-))((1ϕϕ.66.设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射,则G 的含ϕker 的子群与G 的子群之间存在一一对应关系.67.任意一个无限集合可以与它的一个真子集之间建立一一对应关系.68.存在有限集合可以与它的一个真子集之间建立一一对应关系.69.两个有限集合之间存在双射的充要条件是它们的元素个数相等.70.设G 为群,它的两个子群的交和乘积还是子群.71.有限群中每个元素的阶都有限,无限群中必有无限阶元.72.一个置换群中要么都是偶置换,要么奇偶置换各半.73.设G G ,是两个群,且G ～G ,如果G 是有限群,则G 必是有限群,而且G 整除G .74. 整数加群和它的任意一个非零子群同构.75.在同构意义下,无限循环群只有一个.76.在同构意义下,n 阶循环群只有一个.环与域复习题一、填空题1. 模12的剩余类环Z 12的特征是_______,它的全部单位为___________.2. 设R 是有单位元的环,a 是R 中任一元素, 则由a 生成的主理想<a > =_____.3. 模8的剩余类环8Z 上的二次多项式12-x 在8Z 内的所有根为____________.4. 设R 是交换环,a 是R 的任意一个元素,则由a 所生成的主理想<a >的元素表达形式为______.5. 设高斯整数环{}Z b a bi a i Z ∈+=,][,其中2i ＝－1,则][i Z 中的所有单位______.6. 设Z 6＝{5,4,3,2,1,0}是模6的剩余类环,则Z 6中的所有零因子是_____.7.若R 是一个有单位元的交换环,I 是R 的一个理想,那么IR 是一个域当且仅当I 是 .8. 设R 是一个无零因子的环,其特征n 是一个有限数,那么n 是______.9. 除环的理想共有____________个.10．一个无零因子的 称为整环.11. 设][x Z 是整系数多项式环,><x 是由多项式x 生成的主理想,则><x ＝_ _.12. 设F 是一含有4个元的域,则F 的特征是 .13. 剩余类环Z 6的子环S ={0, 2, 4}的单位元是____________.14. 一个环R 的一个不等于R 的理想U 叫做一个 ,假如除了R 同U 自己外,没有包含U 的理想.15. 一个交换除环叫做一个 .16. 实数域R 的全部理想是 .17. 一个环R 的非空子集S 做成一个子环的充分必要条件 .18. 剩余类环Z 7的零因子个数等于__ __, Z 12的零因子个数等于____________.19. 当R 是有单位元的交换环时,R a ∈生成的主理想><a = .20．整环R 的一个元ε叫做R 的一个 ,假如ε是一个有逆元的元.21．一个整环I 叫做一个 ,假如I 的每一个理想都是一个主理想.22．设R 为环,R b a ∈,,0,0≠≠b a ,且0=ab ,则a 叫做环R 的 ,b 叫做环R 的___________________.25. 一个无零因子环R 的非零元相同的对于加法阶,叫做环R 的 . .26. 设F 是一个含有2p 个元的域,则F 的特征是 .27. 剩余类环6Z 的子环S ={3,0},则S 的单位元是____________.28. R 是一个特征为p 的环,,a b R ∈,则()p a b +=____________.29. R 是一个单环,则R 有 时,R 是一个域.30. N 是环R 的理想,R N 是单环的充分必要条件是 . 31. R , ,则R 有子环与整数环同构； ,则R 有子环与模p 剩余类环同构;32. R 是一个无零因子环,2R k =,则R 的特征必为____________.二、选择题1. 下列集合关于所给的运算不作成环的是 .A 整系数多项式全体][x Z 关于多项式的加法与乘法;B 有理数域Q 上的n 阶矩阵全体n n Q ⨯关于矩阵的加法与乘法;C 整数集Z 关于数的加法和新给定的乘法“ ”：∀0,,=∈n m Z n m ;D 整数集Z 关于数的加法和新给定的乘法“ ”： ∀1,,=∈n m Z n m .2. 设21:R R f →是环同态满射,b a f =)(,那么下列结论错误的为 .A 若a 是零元,则b 是零元；B 若a 是单位元,则b 是单位元；C 若a 不是零因子,则b 不是零因子；D 若2R 是不交换的,则1R 不交换.3. 整数环Z 中,可逆元的个数是 .A 1个B 2个C 4个D 无限个.4. 设F 是一个四元域, 则域F 的特征为 .A 1B 2C 4D 0.5.下面的四个群中,不是循环群的是 .A 模12的剩余类加群;B 整数加群;C UZ 17;D UZ 8.6. 下面哪一个环必定是域 .A 整数环;B Z 37;C Z 10;D 四元数除环.7. 模10的剩余类环10Z 上二阶全阵环)(102z M 中以下元素可逆的是 ． A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5375； B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7857； C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3327； D ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2325． 8. 以下命题中,正确的是 .A 任意一个环R ,必含有单位元;B 环R 中至多有一个单位元;C 环R 有单位元,则它的子环也有单位元;D 一个环与其子环都有单位元,则两个单位元一定相同.9.下列理想不是偶数环R 的素理想的是A 〈4〉;B 〈6〉;C ｛0｝;D R .10.下列命题正确的个数为A1; B2; C3; D 4.①整数环Z 的非平凡素理想都是极大理想；②整数环Z 上的一元多项式环[]Z x 的非平凡素理想都是极大理想；③数域F 上的一元多项式环[]F x 的主理想〈x 〉是极大理想；④R 是一个有单位元的交换环,N 是R 的理想,R N 是域,则N 是R 的极大理想. 三、判断题1. 除环是单环.2. 有限除环必为域.3. 一般的环R 中以下运算规则成立：R b a b ab a b a ∈∀++=+,,2)(222.4. 域和其子域有相同的单位元.5. 除环R 是无零因子环.6. 如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠.7. 若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子.8．一个环的理想必是一个子环,子环未必是理想.9．一个环没有零因子,则它的同态象也没有零因子．10．一个环R 有单位元,则它的子环也有单位元．11．如果环R 没有右零因子,则在环R 上左消去律成立． 12．N 是环R 的理想,I 是N 的理想,则I 必是环R 的理想． 13．R 是整数环,R 的理想{}R r r ∈4等于由4生成的主理想﹤4﹥．14．如果环R 没有左零因子,则在环R 上右消去律成立．15．一个环R 的两个子环S 都有单位元,则它们的单位元必定一致．16．域{}Q b a bi a i Q ∈+=,）（与域{}Q b a b a Q ∈+=,22）（同构． 17．R 是偶数环,R 的理想{}R r r ∈4等于由4生成的主理想〈4〉.18．设R 是整数环,则<2,x >是[]x R 的一个主理想．19．设R 是有理数环,则<2,x >是[]x R 的一个主理想．20．除环F 的所有非零元集关于F 的乘法构成一个群．21. 设R 为整数环,p 为素数,则><p R 为域. 22. 若无零因子环R 的特征是有限整数n ,则n 一定是素数.23. 除环或域里一定没有零因子.24. 一个除环一定是一个整环.25. 一个环R 中可能没有单位元,但若有单位元,则单位元必是唯一的.26. 若有单位元0≠的交换环R 除了零理想同单位理想以外没有其它的理想,那么R 一定是一个域．27. ><x 是][x Q 的极大理想. 28. ><x 是][x Z 的极大理想.29.R 是有单位元的交换环,则n n R ⨯中方阵A 在n n R ⨯中可逆的充要条件是A 在R 中可逆.30.R 是有单位元的环,1是R 的单位元,则1对加法的阶数就是R 的特征.31. 设R 是一个环,2≥R ,对0,,≠∈∀a R b a ,方程b ax =在R 中有解,则R 为一个除环.32.设R 是有单位元的环,且2≥R ,则R 是单环的充要条件是全阵环n n R ⨯ 是单环.33.R 为偶数环,><4是R 的极大理想,从而><4R 是一个域.34.R 为偶数环,R 的极大理想只有p p ,2><为素数.35.R 为偶数环,R 的素理想只有R ,0和><4.36.整数环的每个理想都是主理想.37.域上的多项式环的每个理想都是主理想.38.整数环上的多项式环的每个理想都是主理想.39.一个环与它的子环都有单位元,则它们的单位元一致.40.一个域和他的子域有相同的单位元.41.一个环的同态象没有零因子,则这个环没有零因子.42.有限环的特征必有限,无限环的特征必无限.43.R 是一个有单位元的交换环,n n R A ⨯∈,当0≠A 时,A 可逆.44. 整数环和它的任意一个非零子环同构.45. 剩余类环6Z 的子环S ={3,0}是有单位元的环.46.在[]16Z x 中, 因为24x -(2)(2)x x =-+, 所以24x -只有两个根2,2-.47.有单位元交换环的极大理想必为素理想.48. 域F 的所有非零元集合关于F 的乘法构成一个交换群．49.环R 的中心必是环R 的理想.50．一个域不一定是一个整环.51．域F 的所有非零元集合关于F 的乘法构成一个交换群．52．除环F 的所有非零元集关于F 的乘法构成一个群．53. 当3≥n 时,n 次交代群n A 是一个2-n 重传递群.54.循环群的同态象必为循环群,循环环的同态象必为循环环.55. 设G G ,是两个群,φ是G 到G 的同态满射,则G 与G 的子群之间可以建立保持包含关系的双射.回答说明题下列题均需给出肯定或否定的回答,并说明理由或给出反例1.设X 、Y 都是有理数集合,法则:b a b aϕ→+是否X 到Y 的映射 2.X 是数域F 上全体n 阶方阵做成的集合,C 为F 上一个取定的可逆n 阶方阵,法则1()A CAC τ-=是否X 的双射变换3.X 是数域F 上全体n ＞1阶方阵做成的集合,法则:A A ϕ→是否X 到Y 的满射4.X 是数域F 上全体n 阶方阵做成的集合,法则A B A B =是否X 的满足结合律的代数运算5.集合M 的变换的乘法是否满足交换律6.设(,),(,)M M 是两个代数系统且M M ,当满足交换律时,是否也满足交换律7.设(,),(,)M M 是两个代数系统且M M ,当满足交换律时,是否也满足交换律8. 设X 是有理数集合,X 的关系aRb a b Z ⇔+∈是否X 的等价关系9. 设X 是实数集合,X 的关系0aRb ab ⇔≥是否X 的等价关系10.ϕ是集合X 到集合Y 的映射,,A B 分别是X 、Y 的非空子集合,1(())A A ϕϕ-=是否一定成立11.ϕ是集合X 到集合Y 的映射,,A B 分别是X 、Y 的非空子集合,1(())B B ϕϕ-=是否一定成立12.,στ分别是集合A 到B 和集合B 到C 的映射,τσ是满射,τ是否一定是满射13.,στ分别是集合A 到B 和集合B 到C 的映射,τσ是单射,σ是否一定是单射 14.G 为一个有限半群且在G 两个消去律成立,G 是不是一个群 15.G 为一个群,它的每个元素都满足方程2x e =,G 是一个交换群吗 16.G 为一个有限群,它的每个元的阶是否都有限17.G 为一个无限群,它是否必有无限阶元18.G 为一个群,G 的中心()C G 是否一定是一个子群19.G 为一个群,,,A B C 是G 的三个子集合,()()()A B C AB AB ⋃=⋃是否成立 20.G 为一个群,,,A B C 是G 的三个子集合,()()()A B C AB AB ⋂=⋂是否成立21.,a b G ∈均为有限阶元,ab 是否为有限阶元22.G 为一个偶数阶群,G 是否一定有一个2阶元23.G 为一个群,它能否表成它的两个真子群的并24.G 为一个群,,H K 是它的两个子群,HK 是否G 的子群25.G 为一个群,,H K 是它的两个正规子群,HK 是否G 的正规子群26.设N 是G 的正规子群,N n G a ∈∈∀,,是否一定有an na =成立27.设G 的阶数为n ,k 为n 的因数,G 是否一定存在k 阶子群 28.G 为集合M 的变换群,如果G 含有M 的单射变换,它是否必为双射变换群 29.G 为集合M 的变换群,如果G 含有M 的满射变换,它是否必为双射变换群30.循环群的子群是否循环群31.循环群的商群是否循环群32.循环群的同态象是否循环群33.{},,,A a b c =是群G 关于子群H 的左陪集代表系,它是否也是群G 关于子群H 的右陪集代表系34.循环置换乘积的阶是否为各因子的阶的最小公倍数35.指数为2的子群是否一定是正规子群36.G 为一个群,H 是它的子群,b aH ∈,是否一定有aH bH =37.设,p q 是两个素数且p q <,pq 阶群最多有一个q 阶子群吗38.设,p q 是两个素数且p q <,pq 阶交换群一定是循环群吗39.在群的同态映射下,一个元素与它的同态象的阶数是否一定相等40.四阶群G 不是循环群,它一定与Klein 四元群同构吗41.正规子群的正规子群还是原群的正规子群吗42.阶为素数的群一定是单群吗 43.,G G 是两个有限群,G G ,G 的阶数是否一定是G 的阶数的因数44.一个环的左单位元一定是单位元吗45.一个环没有单位元,它的子环是否也没有单位元46.一个环的两个子环都有单位元,它们的单位元是否一定相等47.环R 上的n 阶方阵A 的行列式不为零,A 是否一定可逆49.有限无零因子环的特征一定是素数吗50.一个有单位元的环的特征一定等于单位元关于加法的阶数吗51.除环中有零因子吗52.环R 有零因子,它的同态象一定有零因子吗53.环R 没有零因子,它的同态象一定没有零因子吗54.模47的剩余类环47Z 有没有零因子55.域{}(),Q i a bi a b Q =+∈与域{},Q a b Q =+∈是否同构56.整数环与偶数环是否同构57.两个n 阶循环环是否一定同构58.一个环的子环是否一定是它的理想59.理想的理想是否一定是原环的理想60.含有单位的理想一定是单位理想吗61.整数环是主理想环吗62.整数环上的一元多项式环是主理想环吗63.数域上的一元多项式环是主理想环吗64.由素数p 生成的理想是整数环的素理想吗65.由素数p 生成的理想是整数环的极大理想吗66.环R 是一个有单位元的可换环,如果还R 是单环,它一定是一个域吗67.设{}5,4,3,2,1,06=Z 是模6的剩余类环,且[]x Z x g x f 6)(),(∈. 如果)(x f 的次数记作))((x f ∂,))()((x g x f ∂ ))(())((x g x f ∂+∂=是否成立 68.设Z 是整数环,<2>∪<3>是Z 的理想吗69.环R 上的n 次多项式的根的个数不超过n 吗±±吗70.高斯整环[]{}=+∈的单位只有1,iZ i a bi a b Z,。
