《近世代数》习题及答案

一、 选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分) 一、(从下列备选答案中选择正确答案)1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（ ）。

(A) ｛1，－1，i ,－i ｝ (B) ｛1，－1｝ (C) ｛1，－1，i ｝2、设H 是群Ｇ的子群，a ，b ∈Ｇ，则aH = bH 的充要条件是（ ）。

(A) a －1b －1∈H (B) a －1b ∈H (C) ab －1∈H3、在模6的剩余类环Z 6 中，Z 6 的极大理想是( )。

(A) （2），（3） (B) （2） (C)（3）4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。

(A) 6 (B) 3 (C) 25、下列不成立的命题是( )。

(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分） （请将正确答案填入空格内）1、R 为整环，a ，b ∈R ，b |a ，则（b ） （a ）。

2、F 是域，则[](())F x f x 是域当且仅当 。

3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中，规定等价关系~:A ～B ⇔秩(A )=秩(B )，则这个等价关系决定的等价类有________个。

4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。

5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。

三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分） （请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”）1、设G 是群，∅≠H，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H≤G .. （ ）2、群G 中的元,a b ，()2,()7,a b ab ba ===,则()14ab =。

( )3、商环6Z Z 是一个域。

（ ）4、设f 是群G 到群-G 的同态映射，若1()f H G -， 则H G 。

（ ）5、任意群都同构于一个变换群。

（ ）四、计算题（本题共2小题,每小题10分，共20分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、找出6Z 的全部理想，并指出哪些是极大理想。

近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。

答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。

答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。

答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。

答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。

答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。

答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。

正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。

2. 请解释什么是群的同态和同构。

答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。

群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。

3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。

答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。

如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。

近世代数初步石生明课后答案一、选择题部分1. 选出所有正整数 a，b，满足条件 a²– 6ab + b² > 0 的是：选 C：a ≠ b2. 在德国哈雷大学上课的学生人数是 210。

其中男生人数与女生人数之比为 3:1，则女生人数是多少人？选 B：703. 已知函数 f(x) = x²– 2x + 1，g(x) = (x + 1)²– 2，则 f(x) = g(x) 的解为：选 B：04. 已知函数 f(x) = 3x + 1，g(x) = 2x – 1，则 f(g(x)) = g(f(x)) 的解为：选 A：05. 设 P(x) = 2x²– 3ax + 2a²– 2，Q(x) = x²– ax + a²– 1。

则 P(x) – Q(x) =0 的解为：选 C：1 或 4a – 26. 已知不等式（x – 2）² + （y – 1）² > 1，则下列几何图形有哪些？选 AB：圆心为（2，1），半径为 1 的圆的外部面积。

7. 设方程 x²– kx + 2 = 0 有两个不同的根，则 k 的取值范围是：选 B：-4 < k < 48. 设 f(x) = x² + 2x + 1，则 f(f(x)) = 0 的根为：选 C：-19. 对于下列哪一个数 a，都不存在整数 b，使得 a = b²– 3b + 1选 B：a = 710. 已知函数 f(x) = x²– 6x + 13，则下列哪一个函数与 f(x) 完全相同？选 A：g(x) = (x – 3)² + 4二、计算题部分1. 联立方程组：y = 8x – 1y = -2x + 17求解：x = 2, y = 152. 计算 2(x – 2)(x + 3) – (x – 2)² + 5(x + 3) – 5 的值：= x² + 53. 已知函数 f(x) = (x + 3)² + 1，求 f(-2) 的值：= 104. 解方程：x²– 6x + 7 = 0x = 1 或 55. 解方程：(x – 1)(x + 1)(x – 4) = 0x = -1, 1, 或 46. 求函数 f(x) = x²– 4x + 4 在 x = 2 处的导数：= 07. 已知函数 f(x) = x² + 2x – 3，求函数 g(x) = f(x + 1) 的表达式：= (x + 3)²– 78. 已知函数 f(x) = x²– 2ax + a² + 1，求 a 的值，使得 f(x) 的最小值为 0：a = 19. 已知函数 f(x) = x²– 2x + 3，求 f(x) 的图象与 x 轴交点的坐标：(1,0)10. 解下列不等式：(x – 1)(x + 2) > 0x < -2 或 x > 1三、证明题部分1. 证明 x² + 4x + 3 > 0 对所有实数 x 成立。

§1.1 集合1、 设A B ⊆ ,证明：A B A = ,A B B = .证明：由A B ⊆，可知A 的所有元素都属于B ，既A 的所有元素，都是A 和B 的共同元， 则由交集定义可知 A A B ⊆ . 又A B A ⊆ ,所以A B A = .由并集定义知，A B 的所有元素，都属于A 或B ； 又A B ⊆，所以A B 的所有元素都属于B ，即A B B ⊆. 又B A B ⊆,故A B B =2、 设B ,()i A i I ∈ 均为集合Ω 的子集，试证：()1 ()i i i I i I B A B A ∈∈⎛⎫=⎪⎝⎭ ()2 ()i i i I i IBA B A ∈∈⎛⎫=⎪⎝⎭ 证明：()1 由定义i i Ix B A ∈⎛⎫∈⎪⎝⎭当且仅当x B ∈且x 属于某一i A ；当且仅当x 属于某一i B A ；当且仅当()i i Ix B A ∈∈.()2 由定义i i I x BA ∈⎛⎫∈⎪⎝⎭当且仅当x 属于B ，或x 属于任一i A ，i I ∈；当且仅当x 属于任一i B A ，i I ∈；当且仅当()i i Ix B A ∈∈.§1.2 等价关系1、设为整数集，问以下各关系是否为M 的等价关系？1）0aRb ab ⇔≥ 2）4aRb a b ⇔+ 3）aRb a b ⇔= 4）220aRb a b ⇔+≥ 解：1）不是，因为不满足传递性2）不是，不满足反身性和传递性 3）是 4）是2、试指出上题中等价关系所决定的分类.解：3）每个元素是一个类 4）整个整数集作成一个类 3、找出下列证明中的错误：若S 的关系R 有对称性和传递性，则必有反身性.这是因为，对任意的a S ∈ ,由对称性，如果aRb ，则bRa .再由传递性，得aRa ，所以R 有反身性.解：以上证明过程中只考虑了当aRb 成立的情况，但是当对于元素a ，不存在b 使aRb 成立时，aRa 就不能得到.4、在复数集中，规定关系"" ：a b a b ⇔=. （1）证明：是的一个等价关系；（2）试确定相应的商集，并给出每个等价类的一个代表元素.（1）证明：设a ，b ，c ∈ ，则()a 因为aa =，所以a a ，于是 是有反身性；()b 若ab ，则a b =，于是b a =，从而b a ，说明是具有对称性；()c 若ab ，bc ，则a b =，b c =，于是a c =，从而a c ，从而具有传递性.所以是的一个等价关系.（2）解：相应的商集[]{}0r r R r =∈≥且，其中[]{}()[]{}cos sin 0,2r x x r r i θθθπ=∈==+∈对任意的c ∈ ，等价是[]c ：代表元素可取作c .§1.31、{}1,2,,100S = ，找一个A A ⨯到A 的映射.解：设(),a b 表示A A ⨯的任意元素，,a b A ∈ ,则作映射:f A A A ⨯→ ,()(),f a b b = .f 是一个A A ⨯到A 的映射.2、设A ,B 是两个有限集合，则（1）A 到B 的不同映射共有多少？（2）A 到B 的单射共有多少个？解：（1）设A n = , B m =,则A 到B 的映射有n m 个 （2）设A n = , B m =,若n >m ，则A 到B 没有单射； 若n m ≤，则A 到B 有()!!m m n - 个单射. 3、设x 是数域F 上全体n （n >1）阶方阵作成的集合.问：:A A ϕ→是否为x 到F 的一个映射？其中A 为A 的行列式，是否为满射或单射？解：ϕ 是映射，且是满射，但不是单射4、设:f A B →为双射，则f 的逆映射1:f B A -→也是一个双射且()11f f --=.证明：设()() ,f x y x A y B =∈∈ ,则1:f y x -→，即()1f y x -=， 因f 是A B →的双射， 所以1f -是B 到A 的双射， 且1f -的逆映射就是f ，即()11ff --=.5、设:f A B →，:g B C →为两个双射到:g f A C → 也是双射且()111g f f g ---= .证明：()()11111B C g f f g g g ---⋅⋅==，()()111111B A fg gf f f ----==，故g f 也是双射，且()111gf f g ---= .§1.41、设A 是一个有限集合，则A 上不同的二元运算共有多少个？解：设A n = ,则2A A n ⨯= ，故A A ⨯到A 有2n n 个不同的映射. 即A 上有2n n 个不同的二元运算.2、{},,A a b c = ，规定A 的两个不同的代数运算.解：()a 第一个代数运算() , ,R x y a xRy x y A →=∀∈ ()b 第二个代数运算() , ,R x y y xRy x y A →=∀∈3、设M 为整数集，问()22 ,a b a b a b M =+∀∈是否满足结合律和交换律.解：交换律满足，但结合律不满足.例如()1104=，()1102= 4、设M 为实数集，问：23a b a b =+ (),a b M ∀∈是否满足结合律和交换律.解：都不满足.例()1004=，()1002=，故()()100100≠，又102=，013=，故1001≠.5、数域F 上全体非零多项式的集合对于()()()()(),f x g x f x g x =是否满足结合律和交换律？其中()()(),f x g x 表示()f x 与()g x 的首项函数为1的最大公因式.解：显然是代数运算且满足交换律.又结合律也满足，因为根据最大公因式的性质知：())()(()()(),,,,f g h f g h f g h f g h ===§2.11、有限群中每个元素的阶都是有限的。

练习题参考答案一、 判断题1. R 是A 的元间的等价关系.（错 ）见教材第27页习题2（2）2. 则G 是交换群.（正确）见教材第37页习题63、则该群一定为有限群.（错 ）见教材第39页例44、则G 与整数加群同构.（正确）见教材49页定理1（1）5、那么G 也是循环群.（错 ）三次对称群S 3的真子群为循环群，但S 3不为循环群.6、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为1,g G g Hg H -∀∈⊆.（正确）见教材84页定理17、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为，对Hg gH G g =∈∀,.（正确）见教材83页定义18、那么R 必定没有右零因子.（正确）见教材139页推论9、则N G /也是循环群.（正确）见教材95页定理310、那么R 的单位元一定是非零元.（正确）由于|R|≥2，故R 中存在非零元a ,由于a 0=0≠a ，说明零元不是单位元.11、整数环与偶数环同态.（错误）设Z Z 2:→ϕ为同态满射，且k 2)1(=ϕ，则24)1()1()11()1(k ==⨯=ϕϕϕϕ，即 242k k =，所以02=k 或12=k ，后者不可能，因此有02=k ，则0)1(=ϕ，得0)(=n ϕ，与ϕ为满射矛盾.12、剩余类环}5,4,3,2,1,0{6------=Z ,47Z 均是整环.（错误）根据教材149页定理2，6Z 有零因子，不是整环，47Z 是整环.13、素数阶群一定是交换群.（正确）根据教材69页推论1，该群中的元素除了单位元，其余元的阶等于群的阶，再根据教材50页推论1知该群为循环群，从而为交换群.二、单项选择题1、指出下列哪些运算是给定集合上的代数运算（ ④ ）2、设 是正整数集上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），关于运算 ，下列结论不正确的是（ ④ ）3、设G 是实数集,在其上规定运算k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数，那么() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（④ ）4、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （①）5、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分解G HaH bH cH =，如果6=H ，那么G 的阶=G （② ）6、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（③ ）7、设},),{(为实数y x y x M =，对任意实数a ，规定)),((),0,(),(:M y x a x y x a ∈∀+→τ，}{为实数a G a τ=,下列说法错误的是（③ ）三、填空题1、三次对称群3S 关于子群)}12()1{(，=H 的所有左陪集为__H,(13)H,(23)H___.2、Kayley 定理说：任何群都同一个__双射变换________群同构.3、G auss 整环},{][Z b a bi a i Z ∈+=中的所有单位是 __±1，±i _______.4、设)57)(134(),234)(1372(==στ，则||τ=___6__,=-1στσ)241)(3452(.5、设R 是有单位元的环，且理想I =<a >，那么I 中的元素可以表示为x 1ay 1+…+x m ay m ,x i ,y i ∈R ,m 为整数.6、已知---++=253)(3x x x f ，---++=354)(2x x x g 为域6Z 上的多项式，则=+)()(x g x f 544323+++-x x x ，)(x g 在6Z 上的全部根为 3,1. 7、设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha H ba ∈-1.8、设G =><a 是12阶循环群，则G 的生成元有 a ,a 5,a 7,a 11 .9、实数域R 的全部理想是 0, R .10、模8的剩余类环8Z 的全部零因子是6,4,211、阶大于1、有单位元且无零因子的交换 的环称为整环.四、计算与证明题1.解：（2）单位元为,1π414313212111,,,ππππππππ====----；（3）1阶子群：}{1π；2阶子群：},{},,{},,{},,{41313121ππππππππ，4阶子群：},,,{4321ππππ=G .（1）乘法表如下： 4321ππππ43211πππππ34122πππππ21433πππππ12344πππππ4. 设Z 为整数环，证明：（1）利用理想的定义验证，略（2）设有理想K 包含N ，即,R K N ⊆⊆由于Z 为主理想整环，所以K 为主理想，即有整数正k ，使>=<k K ，由于K N ⊂，且,p N ∈故,k p >=<∈K 从而,kn p =由于p 为素数，所以1k =或p k =，若k=p ，则K=N ；若k=1，则K=R ，所以除了Z 和N ，没有其它理想包含N .5.设R 是可交换的有限环,且含有单位元1，证明：R 中的非零元不是可逆元就是零因子.证明：设，},,,{21n a a a R =},,,{021n a a a R a =∈≠∀，且a 不是可逆元，令},,,,{21n aa aa aa S =由乘法封闭性，知 ,R S ⊆又元素a 不是可逆元，所以 n aa aa aa ,,,21 均不等于单位元1，所以S 为R 的真子集，又,n R =从而,1-≤n S 从而一定存在,j i ≠使,j i aa aa =即,0=-）（j i a a a 所以a 为环R 的零因子.6、设环R 含单位元1，证明：首先有N ⊆R ，又R a ∈∀，有1⋅=a a ，由于N 是R 的一个理想且1∈N ，根据理想的吸收性，有N a a ∈⋅=1，所以R ⊆N ，因此N=R.7、设K 是一个有单位元的整环，证明：K=<a >当且仅当a 是K 的可逆元. 证明：必要性 由于K 有单位元且可交换，故<a >={a r |任意r ∈K}，如果K=<a >，则1∈<a >,所以存在r ∈K ，使a r =1，因此a 是K 的可逆元； 充分性 a 是K 的可逆元，则存在r ∈K ，使a r =1，所以1∈<a >，任意s ∈K,由理想的吸收性，可知>∈<⋅=a s s 1,得K ⊆<a >，又显然<a >⊆ K ，所以K=<a >19、设环R 的特征char R=n 为合数，且|R|>1，证明环R 存在零因子.祝大家考试取得好成绩！。

近世代数试题库人教版近世代数一、单项选择题1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则B A ?=（）A 、{1，2，3，4}B 、{2，3，6，7}C 、{2，3}D 、{1，2，3，5，6，7} 答案：C2、循环群与交换群关系正确的是（）A 、循环群是交换群B 、交换群是循环群C 、循环群不一定是交换群D 、以上都不对答案：A3、下列命题正确的是（）A 、n 次对换群n S 的阶为!nB 、整环一定是域C 、交换环一定是域D 、以上都不对答案：A4、关于陪集的命题中正确的是（）设H 是G 的子群，那么 A 、对于,,bH aH ?有φ=?bH aH 或bH aH =B 、H a H aH ∈?=C 、H b a bH aH ∈?=-1D 、以上都对答案：D5、设A=R （实数域）， B=R+（正实数域）f :a →10a a ∈A 则 f 是从A 到B 的（）A 、单射B 、满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射答案：D6、有限群中的每一个元素的阶都（） A 、有限 B 、无限 C 、为零 D 、为1 答案：A7、整环（域）的特征为（）A 、素数B 、无限C 、有限D 、或素数或无限答案：D8、若S 是半群,则( )A 、任意,,,S c b a ∈都有a(bc)=(ab)cB 、任意,,S b a ∈都有ab=baC 、必有单位元D 、任何元素必存在逆元答案：A9、在整环Z 中，6的真因子是（） A 、1,6±± B 、2,3±± C 、1,2±± D 、3,6±± 答案：B10、偶数环的单位元个数为（） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、无数个答案：A11、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A 21到D 的一个映射，那么（）A 、集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；B 、n A A A ,,,21 的次序不能调换；C 、n A A A 21中不同的元对应的象必不相同；D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。

习题1-1(参考解答)1. （1）姊妹关系（2）()(),P S ⊆（3） (),{1},1a b Z a b ∈−≠,.例如(2 ,6 )2,(3 ,6 )3,==但()2,31=.2. 若b 不存在，则上述推理有误.例如{}{~~~~}S a b c R b c c b b b c c =,,,：,,,.3. (1)自反性:,(),,n A M E GL R A EAE ∀∈∃∈=~A A ∴ 对称性:1111,,~,,(),,,,().~.n n A B M A B P Q GL R A PBQ B P AQ P Q GL R B A −−−−∀∈∃∈==∈∴ 传递性:12211221212,,~,~,,,,(),,,,n A BC M A B B C P Q P Q GL R A PBQ B P CQ A PP CQ Q ∀∈∃∈===1212,(),~.n PP Q Q GL R A C ∈∴(2) 自反性:1,(),,~.n A M E GL R A E AE A A −∀∈∃∈=∴ 对称性:()11,,~,(),,,(),~.TT n n A B M ifA B T GL R A T BT B T BT T GL R B A −−∀∈∃∈=∴=∈∴传递性: 121122,,,~,~,,(),,,T T n A B C M ifA B B C T T GL R A T BT B T CT ∀∈∃∈==()12211221,TT T A T T CT T TT CT T ∴==12(),~.n TT GL R A C ∈∴ (3) 自反性:()1,,,~.n n A GL E GL R A E AE A A −∀∈∃∈=∴ 对称性:1,(),~,(),,n n A B GL R ifA B T GL R A T BT −∀∈∃∈= ()11111,(),~n B TAT TAT T GL R B A −−−−−∴==∈∴.传递性:11121122,,(),~,~,,(),,,n n A B C GL R A B B C T T GL R A T BT B T CT −−∀∈∃∈== ()()11112212121,A T T CT T T T C T T −−−∴==21(),~.n T T GL R A C ∈∴ 4. 证明: (1) 反身性:,()(),~a A a a a a φφ∀∈=∴Q(2)对称性: ,,~,()(),()(),.a b A ifa b a b b a b a φφφφ∈=∴==(3) 传递性: ,,,~,~,()(),()(),()(),~.a b c a a b b c a b b c a c a c φφφφφφ∀∈==∴=∴{}[]|()().a x A x a φφ=∈=5. (1)()S P A ∀∈,则S =S~S S ∴，~∴具有反身性（2）设12,()S S P A ∈，若12~S S ，则12S S =，21S S ∴=21~S S ，~∴具有对称性（3）设123,,()S S S P A ∈若12~S S ,23~S S ，则12S S =，23S S =13S S =，13~S S ，~∴具有传递性 ~∴是()P A 上的一个等价关系. []{}{}{}{}{}(),1,1,2,1,2,3,1,2,3,4~P A φ=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]{}φφ={}{}{}{}{}{}11,2,3,4=⎡⎤⎣⎦{}{}{}{}{}{}{}{}1,21,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4=⎡⎤⎣⎦ {}{}{}{}{}{}1,2,31,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4=⎡⎤⎣⎦ {}{}{}1,2,3,41,2,3,4=⎡⎤⎣⎦6. 证明：（1）反身性: ,0,~.a Q a a Z a a ∀∈−=∈∴(2) 对称性: 设,,a b Q ∈若~a b , 即,a b Z −∈则(),b a a b Z −=−−∈ ~b a ∴ (3) 传递性: 设,,,a b c Q ∈若~,~a b b c 即,a b Z b c Z −∈−∈那么()(),a c a b b c Z −=−+−∈~a c ∴∴~是Q 上的一个等价关系. 所有的等价类为: []{}|[0,1).~Qa a Q a =∈∈且7. 证明: (1) 反身性: ~a C a a a a ∀∈=∴Q ，，(2) 对称性: a b C ∀∈，，若~a b ,则由a b =,得~b a b a =∴，.(3) 传递性: a b c C ∀∈，，，若~~a b b c ，，则a b b c a c ==∴=，，，即~.a c 所以~是一个等价关系. 商集为[]{}{0}~Ca a R +=∈U8. 设集合(){},/,,0S a b a b Z b =∈≠,在集合S 中，规定关系“~”：()(),~,a b c d ad bc ⇔=证明：~是一个等价关系.证明: 自反性: (),a b S ∀∈,则ab ba =,所以()(),~,.a b a b 对称性: 若()(),,,a b S c d S ∈∈,且()(),~,a b c d 则ad bc =所以cb da =,即()(),~,c d a b 传递性: 若()(),~,a b c d 且()(),~,c d e f由()(),~,a b c d 有ad bc =,所以adc b= 由()(),~,c d e f 有cf de =,所以adf de b⋅= 所以adf bde =,所以 af be =,即()(),~,a b e f . 所以~是一个等价关系9. 设{},,,A a b c d =试写出集合A 的所有不同的等价关系.解: {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,,,,2,,,,3,,,,4,,,,P a b c d P a b c d P a c b d P a d b c ===={}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}5,,,,6,,,,7,,,,8,,,,P a b c d P a c d b P a b d c P b c d a ==== {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}9,,,,,10,,,11,,,,P a b c d P a c b d P a b c d === {}{}{}{}{}{}{}{}12,,,,13,,,,P c d a b P a b c d == {}{}{}{}{}{}{}{}{}14,,,,15,,,P a c b d P a b c d ==10. 不用公式（1 .1），直接算出集合{}1,2,3,4A =的不同的分类数.解: 1212211211135554254254331()((/)(/))(/)152C C C C P C C P C C C P ++++++=.。

《近世代数》A/B 模拟练习题参考答案一、判断题（每题4分，共60分）1、如果循环群G=(a)中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

（ √ ）2、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（ × ）3、两个子群的交一定还是子群。

（ × ）4、若环R 满足左消定律，那么R 必定没有右零因子。

（ √ ）5、任意置换均可表示为若干个对换的乘积。

（ √ ）6、F （x)中满足条件p(a)=0的多项式叫做元a 在域F 上的极小多项式。

（ × ）7、已知H 是群G 的子群，则H 是群G 的正规子群当且仅当g G ∀∈，都有1gHg H -= （ √ ）8、唯一分解环必是主理想环。

( × )9、已知R 是交换环，I 是R 的理想，则I 是R 的素理想当且仅当是/R I 整环。

（ √ ）10、欧氏环必是主理想环。

（ √ ）11、整环中，不可约元一定是素元。

（ √ ）12、子群的并集必是子群。

（ × ）13、任何群都同构于某个变化群。

( √ )14、交换环中可逆元与幂零元的和是可逆元。

( √ )15、集合,A Z B N ==，::2f A B n n →+ 是从A 到B 的映射。

（ ×）二、证明题（每题20分，共300分）1Q 上的最小多项式。

解：令=u 32==u u .于是3223323315(32-⋅-=+-+=u u u u u u .移项后得32152(3+-=-u u u 两边平方，得到3222(152)(35)5+-=-⋅u u u .这是u 上满足的Q 上6次方程，故[():]6≤Q u Q .又3(2=u ()Q u .由[]2=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，知2|[():]Q u Q .=u (()=Q u Q u .又[]3=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，得3|[():]Q u Q .于是6|[():]Q u Q ，因而[():]6=Q u Q . 由于3222(152)(35)50+---⋅=u u u ，故6次多项式3222(152)5(35)+---x x x 是u 在Q 上的最小多项式.2、求出阶是32的循环群(a )的所有子群，这些子群是否都是不变子群。

最新近世代数期末考试试题和答案解析一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|°3=（ 1324），则。

3=（）A 、二 21B 、二 1匚2C 二 22D 、二 2 15、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 ------- 同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

43、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则a 的阶等于--?4、 a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与——同构。

5、 A ={1.2.3} B={2.5.6}那么 A H B=-----。

&若映射「既是单射又是满射，则称「为-------------- 7、'叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的----- a0,a1,…，an 使得 a 0 - a j 川'二广7$『n =08、 a 是代数系统（A,0）的元素，对任何x ?A 均成立x 二x ，则称a 为 --------- 。

1、 A 、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（）是子群。

“ B 、3, el C 、 ,a 3：＞D 、 ,a,a 312、 A 、下面的代数系统（G ，*）中, G 为整数集合，*为加法）不是群B 、G 为偶数集合，*为加法C 、 G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（A 、 4、设二1、二2、二3是三个置换，其中耳=（12）（ 23）（ 13），貯 2=（ 24）（ 14），9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法圭寸闭；结合律成立、---- 。

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。

4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。

6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。

《近世代数》练习题及参考答案1．设A={a ，b ，c ，d}试写出集合A 的所有不同的等价关系。

2．证明：:实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。

3．证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n 阶正交群.4．设G=。

⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,a R a a a a a 证明：G 关于矩阵的乘法构成群。

5．证明：所有形如n m 32的有理数（m ，n ∈Z ）的集合关于数的乘法构成群。

参考答案1． 设A= 试写出集合A 的所有不同的等价关系。

解2．证明：:实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。

证：（1）显然，Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。

（2）∵矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。

（3）∵矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。

（4）零元是零矩阵。

∀A ∈Mn(R),A+0=0+A=A 。

（5）∀A ∈Mn(R),负元是-A 。

A+(-A)=(-A)+A=0。

∴（Mn(R),+）构成一个Abel 群。

3．证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n 阶正交群.证：（1）由于E ∈On (R),∵On (R)非空。

(2 ) 任意A,B ∈On (R)，有（AB ）T=B T A T =B -1A -1=(AB) -1,∴AB ∈On(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。

(3) ∵矩阵的乘法满足结合律，那么有结合律成立。

（4）对任意A ∈On (R)，有AE=EA=A ．∴E 为On (R)的单位元。

（5）对任意A ∈On (R)，存在A T ∈On (R)，满足AA T =E=AA -1, A T A=E=A -1A ．∴A T 为A 在On (R)中的逆元。

∴On (R)关于矩阵的乘法构成一个群。

{}d c b a ,,,4．设G=。

近世代数一、单项选择题1、6阶有限群的任何一个子群一定不是（ C ）。

A ．2阶 B ．3阶 C ．4阶 D ．6阶2、设G 是群，G 有（ C ）个元素，则不能肯定G 是交换群。

A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3、下面的代数系统(,*)G 中，（ D ）不是群。

A ．G 为整数集合，*为加法B ．G 为偶数集合，*为加法C ．G 为有理数集合，*为加法D ．G 为有理数集合，*为乘法4、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ C ）是子群。

A ．{}aB ．{},a eC ．{}3,e aD ．{}3,,e a a5、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ）A ．*a b a b =−B ．{}*max ,a b a b =C ．*2a b a b =+D ．a b a b +=−二、填空题1、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于（ 25 ）。

2、一个有单位元的无零因子的（ 交换环 ）称为整环。

3、群的单位元是（ 唯一 ）的，每个元素的逆元素是（ 唯一 ）的。

4、一个子群H 的右、左陪集的个数（ 相等 ）。

5、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的（ 特征 ）。

6、设群G 中元素a 的阶为m ，如果na e =，那么m 与n 存在整除关系为（ |m n ）。

7、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则1[()]f f a −=（ a ）。

8、循环群的子群是（ 循环群 ）。

9、若{}2,5A =，{}1,0,2B =−，则A B ×=（ {}(2,1),(2,0),(2,2),(5,1),(5,0),(5,2)−− ）。

10、如果G 是一个含有15个元素的群，那么，对于a G ∀∈，则元素a 的阶只可能是（ 1,3,5,15 ）。

三、问答题 1、什么是集合A 上的等价关系？举例说明。

【答案】设R 是某个集合上的一个二元关系。

近世代数课后习题参考答案第一章 基本概念1 集合1.A B ⊂,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ׃只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明 如下当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ∉,显然矛盾; 若A B ⊂,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A =2.假定B A ⊂,?=B A ,A ∩B=? 解׃ 此时, A ∩B=A,这是因为A ∩B=A 及由B A ⊂得A ⊂A ∩B=A,故A B A = ,B B A ⊃ , 及由B A ⊂得B B A ⊂ ,故B B A = ,2 映射1.A =}{100,3,2,1，⋯⋯,找一个A A ⨯到A 的映射. 解׃ 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ⨯到A 的映射.2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ⨯到A 的一个元的的象? 解׃容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ⨯的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ⨯的象.3 代数运算1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法 是A A ⨯到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ?解׃取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ⨯到D 的代数运算;同时说明这样的D 不只一个.2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解׃a b c aa b ca b cb bc a a a a a c c a b bd a aca a a4 结合律1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:bab a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解׃ 这个代数运算不适合结合律: 212)11(= , 2)21(1= ,从而 )21(12)11( ≠.2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律?解׃ 这个代数运算不适合结合律c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++= )()(c b a c b a ≠ 除非0=c .3.A ={c b a ,,},由表所给的代数运算适合不适合结合律?解׃ 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律.5 交换律1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律?解׃ 一般地a b b a -≠- 除非b a =.2.},,,{d c b a A =,由表a b c d a a b c d b b d a c c c a b d dd c a b所给出代数运算适合不适合交换律?a b c aa b cb bc a cc a b解׃ d d c = , a c d =从而c d d c ≠.故所给的代数运算不适合交换律.6 分配律假定:⊗⊕,是A 的两个代数运算,并且⊕适合结合律,⊕⊗,适合两个分配律.证明)()()()(22122111b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗ )()()()(22211211b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗= 证)()()()(22122111b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗׃ =])[(])[(221121b a a b a a ⊗⊕⊕⊗⊕ =)()(2121b b a a ⊕⊗⊕=)]([)]([212211b b a b b a ⊕⊗⊕⊕⊗)()()()(22211211b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗=7 一 一 映射、变换1.A ={所有0〉的实数},=-A {所有实数}.找一个A 与-A 间的意义映射.证 φ:a a a log =→-因为a 是大于零的实数,所以a log 是实数即 A a ∈,而--∈A a ,而且b a b a log log =⇒=.因此φ是A 到-A 的映射.又给了一个-A 的任意元-a ,一定有一个A 的元a ,满足-=a a log ,因此φ是A 到-A 的满射.a a a log =→-b b b log =→-若 b a ≠, 则 b a log log ≠.即 --≠⇒≠b a b a 因此φ又是A 到-A 的单射.总之,φ是A 到-A 的一一映射.2. A ={所有0≥的实数},=-A {所有实数-a ,10≤≤-a }. 找一个A 到-A 的满射. 证 a a a sin :=→-φ,容易验证φ是A 到-A 的满射.3.假定φ是A 与-A 间的一个一一映射,a 是A 的一个元.?)]([1=-A φφ?)]([1=-a φφ若φ是A 的一个一一变换,这两个问题的回答又该是什么?解׃ a a =-)]([1φφ, a a =-)]([1φφ未必有意义;当φ是A 的一一变换时,.)]([,)]([11a a a a ==--φφφφ8 同态1.A ={所有实数x },A 的代数运算是普通乘法.以下映射是不是A 到A 的一个子集-A 的同态满射?x x a →) x x b 2)→ 2)x x c → x x d -→) 证׃ )a 显然=-A {所有0≥的实数}.又由于 y x xy xy =→ 可知x x →是A 到-A 的同态满射.)b 由于)2)(2(2y x xy xy ≠→ ( 除非0=xy )所以x x 2→不是A 到-A 的同态满射.)c 由于222)()()(y x xy xy =→,易知2x x →是A 到-A 的同态满射.这里-A ={所有0≥的实数}.)d 一般来说,))((y x xy --≠-,:所以x x -→不是A 到-A 的同态满射 .2. 假定A 和-A 对于代数运算ο和-ο来说同态，-A 和=A 对于代数运算-ο和=ο来说同态，证明 A 和=A 对于代数运算ο和=ο来说同态。

§1—3 集合、映射及代数运算思考题1：如何用语言陈述“A B ⊄”？定义4：设A B ⊂，且存在B a A a ∉∈但，那么称B 是A 的真子集，否则称B 不是A 的真子集。

思考题2：若A B ⊂，但B 不是A 的真子集，这意味着什么？定义5：若集合A 和B 含有完全一样的元素，那么称A 与B 相等，记为A =B .结论1：显然，A B B A B A ⊂⊂⇔=且.（4）集合的运算 ①集合的并：{}B x A x x B A ∈∈=或 ②集合的交：{}B x A x x B A ∈∈=且 ③集合的差：{}B x A x x B A ∉∈=-且 ④集合在全集内的补：{}A x E x x A ∉∈=且⑤集合的布尔和（对称差）：{})()()()( B A B A A B B A B A x B x A x x B A -=--=∉∈∈=⊕但或 ⑥集合的卡氏积：{}B b A a b a B A ∈∈=⨯且),(卡氏积的推广：{}m i A a a a a A A A A m A A A i i m m mi i m ,,2,1,),,,( ,,,2121121 =∈=⨯⨯⨯=∏=：成的卡氏积为个集合，那么由它们做是令课堂练习：which of the following rules are algebra operations on the indicated set? 1、.,Q set the on ab b a =2、{}.0,ln >∈=x and R x x set the on b a b a3、.,0222R set the on b a x equation the of root a is b a =-4、.,Z set the on n Subtractio5、{}.0,≥∈n and Z n n set the on n Subtractio6、{}.0,≥∈-=n and Z n n set the on b a b aSolution:1、.221Q b a b and a when ∉=⇒==2、.0ln 12121<=⇒==b a b and a when3、⎩⎨⎧⋅-⋅=⇒==32323,2b a b a when4、.Okay5、.0352<-=⇒==b a b and a when6、.Okay§4—6 结合律、交换律及分配律例1、设,Z A =“ ”是整数中的加法：则)()(,,,t s r t s r Z t s r ++=++∈∀∴“+”在Z 中适合结合律。

《近世代数》练习题及答案1. B u A,但B不是A的真子集，这个情况什么时候才能出现？解只有在A=B时才能出现。

证明如下：当A=B时，即有BA, A(Z B,若有' a e A而a £ B ,显然矛盾；若BuA,但B不是A的真子集，可知凡属于A的兀素不可能不属于B,故A=B2.A=(1, 2, 3, .... , 100｝,找一个AXA 到 A 的映射。

解S(a"2)= 1易证。

102都是AXA到A的映射。

3.在你为习题1所找的映射下，是不是A的每一个元都是AXA的一个元的象？解在0]下，有' A的元不是AX A的任何元的象；容易验证在啊下，A的每个元都是AXA的一个元的象。

4.A=｛所有实数｝。

O (a, b) Ta+b=aOb这个代数运算适合不适合结合律？解这个代数运算不适合结合律。

(aOb) Oc=a+2b+2c, aO (bOc) =a+2b+4c(aOb) Oc#aO (bOc)除c=05.假定巾是A与A间的一个---- 映射，a是A的一个元。

厂[0(a)] = ?,如尸(«)] = ?解厂渺(a)] = a0[户(a)]未必有意义;当巾是A的一个一一变换时(/)-' [©(a)] =。

0[厂(a)] = a.6.假定A和，对于代数运算。

和：来说同态，云和云对于代数运算：和；来说同态, 证明A和云对于代数运算。

和；来说同态。

、〒S '• a — a表示A到屈勺同态满射iiE /Il —— ». _—,©2 ：。

t。

表示A SU A的同态满射容易验证。

是A到葡满射a。

b T ONMa。

b)l =(/)2(a。

b) = a。

b所以6是A到工的关于代数运算：和；来说同态满射。

7.A={所有有理数},找一个A的对于普通加法来说的自同构(映射x<^x除外)证© : x —> 2x对于普通加法来说是A的一个同构，很容易验证。

一、 选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分) (从下列备选答案中选择正确答案)1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（ ）。

(A) ｛1，－1，i ,－i ｝ (B) ｛1，－1｝ (C) ｛1，－1，i ｝2、设H 是群Ｇ的子群，a ，b ∈Ｇ，则aH = bH 的充要条件是（ ）。

(A) a －1b －1∈H (B) a －1b ∈H (C) ab －1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中，Z 6 的极大理想是( )。

(A) （2），（3） (B) （2） (C)（3）4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。

(A) 6 (B) 3 (C) 25、下列不成立的命题是( )。

(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分）（请将正确答案填入空格内）1、R 为整环，a ，b ∈R ，b |a ，则（b ） （a ）。

2、F 是域，则[](())F x f x 是域当且仅当 。

3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中，规定等价关系~:A ～B ⇔秩(A )=秩(B )，则这个等价关系决定的等价类有________个。

4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。

5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。

三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分） （请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”）1、设G 是群，∅≠H ，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H≤G .. （ ）2、群G 中的元,a b ，()2,()7,a b ab ba ===,则()14ab =。

( )3、商环6Z Z 是一个域。

（ ）4、设f 是群G 到群-G 的同态映射，若1()f H G -， 则H G 。

（ ）5、任意群都同构于一个变换群。

（ ）四、计算题（本题共2小题,每小题10分，共20分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、找出6Z 的全部理想，并指出哪些是极大理想。

习题1.4 P34 5. 分别解同余方程：（1）258x≡131(mod348). (2) 56x=88(mod96).解由书中解同余方程的四个步骤求解。

（1）求(a,m)=(258,348)=6,6 不能整除131，所以此同余方程无解。

（2）求(a,m)=(56,96)=8，由于8 能整除88，所以此同余方程有解。

a1=56/8=7, b1=88/8=11, m1=96/8=12.用辗转相除法求p,q 满足p a1+q m1=1，得p=-5。

所以方程的解为x ≡pb1 (mod m1) ≡-5 ×11(mod12) ≡5(mod12)。

或x=5+12k(k 为任意整数)。

6. 解同余方程组：x≡3(mod5)x≡7(mod9)解按解同余方程组的三个步骤：首先，计算M=5×9=45, M1=9, M2=5.其次，解两个一次同余式，由于这两个同余式有其特殊性：右端都是1，且(a,m)=1。

因而，有时可用观察法得到pa+qm=1,从而得到p。

1) 9x≡1(mod5),观察得到-9+2×5=1, p=-1.所以此一次同余式的一个特解为c=-1≡4(mod5).2)5x≡1(mod9),观察得到2×5-9=1, p=2.所以此一次同余式的一个特解为c=2(mod9).最后，将得到的一次同余式的一个特解代入公式，得到同余方程组的解：x=b1c1M1+b2c2M2=3×4×9+2×7×5(mod45)=43(mod45)。

习题2.1 P45习题2.2 P49 3. 找出Z 和Z12 中全部子群。

解Z 中全部子群：Hm={mk|k∈Z}, m=0,1,2,......。

Z12 中全部子群：N0={0}，N1={0，2，...，10}，N2={0，3，6，9}，N3={0，4，8}，N4={0，6}，N5= Z12 。

5. 设G 是群，|G|=2n，则G 中有2 阶元。

P83 习题5.15.1.1 证：设 * 运算有左幺元为e l，∴∀x∈S，e l*x=e l，∵ * 运算可交换，∴ x*e l，∴ e l为右幺元，∴ e l为幺元。

设 * 运算有右幺元为e r，∴∀x∈S，x*e r，∵ * 运算可交换，∴ e r*x=e r，∴ e r为左幺元，∴ e r为幺元。

※5.1.2 解：⑴是。

⑵否。

是。

5.1.3 证：⑴∀x,y∈I x*y=x+y－xy y*x=y+x－yx∵普通的乘法和加法运算均是可交换的，∴ x+y=y+x ，xy=yx ，∴ x+y－xy = y+x－yx∴ x*y=y*x ，∴ *可交换。

⑵∀x,y,z∈I x*(y*z)=x+(y*z)－x(y*z)=x+(y+z－yz)－x(y+z－yz)∵普通的乘法和加法运算均是可结合且可交换的，乘法对加减法是可分配的，∴上式 =x+y+z－yz－xy－xz +xyz = x+y+z－xy－xz－yz+xyz同理 (x*y)*z=(x*y)+z－(x*y)z=(x+y－xy)+z－(x+y－xy)z=x+y+z－xy－xz－yz+xyz∴ x*(y*c)= (x*y)*c ∴ *可结合。

※解：⑶ 0为幺元。

⑷ 0的逆元为0，2的逆元为2，其余无逆。

5.1.4 证：⑴ 2*3=2，3*2=3，二者不等，故不可交换。

⑵∀x,y,z∈N，x*(y*z)=x*y=x，(x*y)*z=x*z=x，二者相等，故结合律成立。

※答：无单位元，故元素无逆元。

5.1.5 证：∵ *可结合，∴∀x∈A，(x*x)*x=x*(x*x)又∵ x*x∈A，根据题中给定的条件，∴ x*x=x。

※P84 习题5.25.2.15.2.2 解：×对+可分配。

+对×不可分配。

例b+(a×b)=b+a=b，(b+a)×(b+b)=b×a=a，二者不等。

上封闭，根据代数系统的定义。

5.2.3 解：⑴ 是。