近世代数练习题题库

群一、填空题1. 设4)(x x f =是复数集到复数集的一个映射, 则)1(1-f ={_______}.2. 设τ=(134),σ=(13)(24), 则τσ=____________________.3. 群G 的元素a 的阶是m ，b 的阶是n ，ba ab =，则≤ab ，如果),(m n = 1，则=ab _____.4. 设<a >是任意一个循环群.若|a |=∞，则<a >与________________同构；若|a |=n ，则<a >与______________同构.5. 设σ=（14）（235），τ=（153）（24），则|σ| = ____，στσ1- =______.6. 设群G 的阶为m ，G a ∈，则=m a .7. 设“～”是集合A 的一个关系，如果“～”满足_________________，则称“～”是A 的元素间的一个等价关系.8. 设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S 5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)， τ是 (奇、偶)置换.9. 设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 .10. 一个群G 的非空子集H 做成一个子群的充分必要条件是 .11. 设G 为群，若对于任意的元G b a ∈,，都有ba ab =，则称群G 为 群.12.n 次对称群n S 的阶是____________.13.设G =<a >是10阶循环群，则G 的全部生成元有 ，G 的子群有 个，分别是 .14.设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha .15.设G =<a >是循环群，则G 与整数加群同构的充要条件是 .16．在3次对称群3S 中，H ＝{(1),(123),(132)}是3S 的一个正规子群，则商群H S 3中的元素(12)H ＝{}.17．如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 .18.设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A .19. 凯莱定理说：任一个群都与一个 同构.20. 设G =<a >是12阶循环群, 则G 的生成元集合为｛ ｝.21. 一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数叫做H 在G 中的 .22. 设G 是一个pq 阶群，其中q p ,是素数，则G 的子群的一切可能的阶数是 ____ .23. 写出S 3的一个非平凡的正规子群_____.24. 已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 .25. 一个有限非可换群至少含有____________个元素.26. 设G 是p 阶群（p 是素数），则G 的生成元有____________个.27. 一个有限群中元素的个数叫做这个群的 .28.设R 是实数集，规定R 的一个代数运算ab b a 2:= ，（右边的乘法是普通乘法），就结合律、交换律而言，“ ”适合如下运算律： .29. 设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=bH aH .30. 写出三次对称群3S 的子群()(){}13,1=H 的一切左陪集 .31. 如果G 是一个含有15个元素的群，那么，G 有 个5阶子群，对于∀∈a G ，则元素a 的阶只可能是___________.32.设G 是一个pq 阶群，其中q p ,都是素数，则G 的真子群的一切可能的阶数是 ，G 的子群的一切可能的阶数是 .33. 已知群G 中的元素a 的阶等于n ，则k a 的阶等于n 的充分必要条件是 .34. 设(G ，·)是一个群，那么对于∀∈b a ,G ，(ab )－1＝___________.35. 群中元素a 的阶为n 3，k a 的阶为n ，则)3,(n k = .36．若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的方幂，则G 称为 .37．5-循环置换)31425(=π，那么=-1π .38．设G 为群，G N ≤，且对于任意的G a ∈，有 ，则N 叫做G 的正规子群.39. 设G 为乘群，G a ∈，则能够使得e a m =的最小正整数m ，叫做a 的___________.设G 为加群，G a ∈，则能够使得 的最小正整数m ，叫做a 的阶.40．设τ＝(1243)(235)∈5S ，那么1-τ＝___ _.τ是 (奇、偶)置换.41. 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：则a 所在的等价类a ={ ｝.42. 设A ={d c b a ,,,}，则A 到A 的映射共有________个，A 到A 的一一映射共有 ________个，A A ⨯到A 的映射共有________个（A 上可以定义 个代数运算）.43. 设G 是6阶循环群，则G 的生成元有____________个.44. 非零复数乘群*C 中由i -生成的子群是____________.45. )125(=σ，)246(=τ，则στ的阶数等于 .46．素数阶群G 的非平凡子群个数等于____________.47. 设G 是一个n 阶交换群，a 是G 的一个m （n m ≤）阶元，则商群>a G 的阶等于 .48. 设σ是集合A 到集合B 的一个映射,则存在B 到A 的映射τ,使στσ⇔=A 1 为 ;存在B 到A 的映射τ,使σστ⇔=B 1为 .49. 若群G 中的每个元素的阶都有限,则称G 为 群. 若群G 中除了单位元外,其余元素的阶都无限,则称G 为 群.50. n 阶循环群有 个生成元,有且仅有 个子群.51. 若n k ,则n 阶循环群>=<a G 必有k 阶子群,其k 阶子群为 .52. ,4阶群只有两个,一个是4阶循环群,另一个是 .53. 在同构意义下,6阶群只有两个,一个是6阶循环群,另一个是 .54. 非交换群G 的每个子群都是其正规子群,则称G 为 群.55. n 元置换)(21k i i i 的阶为 ，=-12121)])([(m k j j j i i i .二、选择题1. 设R B A == (实数集)，如果A 到B 的映射R x x x ∈∀+→,2:ϕ,则ϕ是从A 到B 的（ ）.A) 满射而非单射; B) 单射而非满射;C) 一一映射; D) 既非单射也非满射.2.3S 中可以与(123)交换的所有元素有（ ）.A) (1),(123),(132); B) (12),(13),(23); C) (1),(123); D)3S 中的所有元素.3.设15Z 是以15为模的剩余类加群，那么15Z 的子群共有（ ）个.A) 2 B) 4 C) 6 D) 8.4. 设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ）.A) 11--a bc B) 11--a c C) 11--bc a D) ca b 1-.5. 设f 是复数集到复数集的一个映射. 如果对任意的复数x ，有4)(x x f =，则))1((1f f -=( ).A) {1，-1}; B) {i ，-i }; C) {1， -1，i ，-i }; D) 空集.6. 设A ={所有实数}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是( ).A) x x 10→ B) x x 2→ C) x x → D) x x -→.7. 设G 是实数集，定义乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数,那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）.A) 1和x -； B) 1和0； C) -k 和k x 2-； D)k -和)2(k x +-.8.下面的集合对于给定的代数运算不能成为群的是( ).A) 全体整数对于普通减法; B) 全体不为零的有理数对于普通乘法;C) 全体整数对于普通加法; D) 1的3次单位根的全体对于普通乘法.9. 设G 是群,c b a ,,是群G 中的任意三个元素, 则下面阶数可能不相等的元素对为( ).A)ba ab , B) bac abc , C) 1,-bab a D) 1,-a a .10. 设R 是实数集合,规定R 的元素间的四个关系如下,( )是R 的等价关系.A)b a aRb ≤⇔; B) 0≥⇔ab aRb ; C) 022≥+⇔b a aRb ; D) ab aRb ⇔<0.11.设G 是一个半群，则下面的哪一个不是做成群的充要条件( ).A) G 中有左单位元，同时G 中的每个元素都有左逆元；B) 对于G 中任意元素a 和b ，G 中恰好有一个元素x 满足a x =b ；同时G 中恰好有一个元素y 满足y a =b ；C) G 中有单位元，同时G 中的每个元素都有逆元；D) 在G 中两个消去律成立.12.设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,. 如果子群H 的阶是6，那么G 的阶=G （ ）.A) 6 B) 24 C) 10 D) 1213. 三次对称群3S = {(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，那么下面关于3S 的四个论述中，正确的个数是( ).(1) 3S 是交换群；(2) 3S 的2阶互异子群有三个；(3) 3S 的3阶互异子群有两个；(4) 3S 的元素(123)和(132)生成相同的循环群.A) 1 B ) 2 C) 3 D) 414. 设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（ ）个。

近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。

答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。

答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。

答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。

答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。

答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。

答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。

正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。

2. 请解释什么是群的同态和同构。

答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。

群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。

3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。

答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。

如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。

近世代数考试试题题库近世代数是一门研究代数结构的数学分支，它主要研究群、环、域等代数结构的性质和它们之间的关系。

以下是一份近世代数考试试题题库的示例内容：一、选择题1. 以下哪个不是群的公理？A. 单位元存在性B. 可逆性C. 交换律D. 结合律2. 一个集合G，配合一个二元运算*，若满足以下条件，则G是一个群：A. 存在单位元B. 每个元素都有逆元C. 运算满足结合律D. 所有上述条件3. 在群G中，若a属于G，a的阶是最小的正整数n，使得a^n等于单位元，那么a的阶是：A. 1B. nC. 0D. G的阶4. 以下哪个是有限群的拉格朗日定理的表述？A. 群的子群的阶总是群的阶的因子B. 群的子群的阶等于群的阶C. 群的子群的阶总是群的阶的倍数D. 群的阶总是其子群的阶的倍数5. 环R中，若存在单位元1，并且对于任意的a, b属于R，都有a*b=b*a，则R是一个：A. 群B. 域C. 交换环D. 模二、填空题6. 群的______性质保证了每个元素都有逆元。

7. 一个有单位元的结合环，如果其每个非零元素都有逆元，则这个环称为一个______。

8. 一个环的加法群是阿贝尔群，如果它的加法运算满足______律。

9. 一个环R中，如果a^2 = a对于所有a属于R，则R被称为______环。

10. 一个域的特征是2，这意味着域中1+1=______。

三、简答题11. 解释什么是子群，并给出一个不是子群的例子。

12. 描述拉格朗日定理，并说明它在群论中的重要性。

13. 什么是环的雅各比恒等式，并解释它在交换环中的意义。

14. 举例说明什么是有限域，并讨论它的性质。

15. 解释什么是主理想环，并讨论它与环的整性之间的关系。

四、证明题16. 证明：如果H是群G的一个子群，那么G/H的阶等于[G:H]。

17. 证明：任何群的子群都是阿贝尔的当且仅当该群本身是阿贝尔的。

18. 证明：如果R是一个有单位元的交换环，并且对于任意的a, b属于R，都有a*b = b*a，则R是一个域。

§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（ ）1.2 A ×B = B ×A （ ）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。

（ ） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。

( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。

（ ）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（ ）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。

（ ）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。

( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。

2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。

2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。

2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。

2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。

2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。

2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。

2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。

2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。

近世代数测试试卷（满分100）姓名 学号 分数一、判断题（对的打√，错的打×，共30分,每小题2分）1.设G 是群，则群G 的任意两个子群的并仍是群G 的子群。

（ ）2. 一个群G 同它的每个一个商群G N同态； （ ） 3.一个子群的右陪集的个数和左陪集的个数一定相等； （ ）4.一个有限群G 的任一个元a 的阶都是整除G 的阶； （ ）5.整数加群Z 是个无限循环群； （ ）6.S(M)双射变换群关于变换的乘法作成一个群； （ ）7.仅有集合A 的元间的一个等价关系不一定能确定A 的一个分类； （ ）8.所有一一变换不一定作成一个变换群； （ ）9.设G 为整数群，则G 对运算b a b a ⋅=作成一个群； （ ）10.A R =，A 的代数运算是普通乘法，则映射2x x →为A 的自同构映射； （ ）11.一个集合的所有一一变换可以作成一个变换群； （ ）12.整数加群Z 是个无限循环群； （ ）13.群G 的不变子群N 的不变子群M 必是G 的不变子群； （ ） 14 n 次单位根乘群n U 是一个n 阶循环群； （ ）15.A={所有有理数}，A 对于普通加法来说可以自同构； （ ）二、填空题（共30分,每小题2分）1. 无限循环群一定和 同构；2. n 次对称群n S 的任意子群，都叫做一个n 次 置换群 ；3.设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 ；4. G 是一个群，假定G 和G 对于它们的乘法来说 ，则G 是一个群；5.任何一个群都同一个 同构；6.素数阶有限群G 的子群个数等于 ；7.一个群G 的一个不空有限子集H 作为G 的一个子群的充分而且必要条件是 ；8.一个群G 的一个子群N 的陪集所作成的群叫做 ；9. 设G 是p 阶群，（p 是素数），则G 的生成元有 个；10.一个群G 的一个子群H 的 的个数叫做H 在G 里的指数；11. 含有n 元素的任意集合共有 个双射变换；12.如果群G 可由一个元素a 生成，则称G 为由a 生成的一个 ；13.以集合A 的所有子集为元素的集合为A 的幂集，记为()P A ，若集合A 含有n 个元素，则()P A = ；14.M 为实数集，运算23a b a b =+ （满足或不满足）结合律；15.设群G 中元素a 的阶是n ，则k a n =⇔ ；三、解答题（共40分,每小题8分）1. 设{}{}{}=1,2,A B D ==奇,偶，验证()1,2=12→：奇是一个A B ⨯到D 的代数运算。

世代数模拟试题一一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A=B=R（实数集），如果A至UB的映射中：x-x+2,Vx€R,则中是从A至UB的（c）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AXB中含有（d）个元素。

A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b,a,b6G都有解，这个解是（b）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的（两方程解一样）4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合A“T0」＞；B=42},则有BMA=。

2、若有元素e6R使每a6A,都有ae=ea=a,则e称为环R的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。

4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A的若干个-变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。

6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1,元a的逆元是a-1。

8、设I和S是环R的理想且1=S=R,如果I是R的最大理想，那么。

9、一个除环的中心是一个-域-----。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）［写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

奇1、解：把仃和工写成不相杂轮换的乘积：二三(1653)(247)(8).=(123)(48)(57)(6)可知仃为奇置换，七为偶置换。

世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分。

1、设A＝B＝R（实数集），如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ c ）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素,那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素.A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b， a，b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样）4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、设集合；，则有。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。

4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A的若干个——变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全.6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是a-1。

8、设和是环的理想且，如果是的最大理想,那么———————-—。

9、一个除环的中心是一个-域———--。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.奇1、解:把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换,为偶置换。

《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）循环群的子群是循环子群。

2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。

3. （）存在一个4阶的非交换群。

4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。

5. （）无零因子环的特征不可能是2001。

6. （）无零因子环的同态象无零因子。

7. （）模97的剩余类环Z97是域。

8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。

9. （）域是唯一分解整环。

10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。

一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。

2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。

3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。

4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。

5. 环Z6的全部零因子是。

6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本。

（共3０分）1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝< a>的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。

3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。

四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。

多所高校近世代数题库及部分答案一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（ × ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（× ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。

（√ ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

（√ ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（ × ）6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。

（ √ ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。

（√ ）8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。

（√ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。

（× ）10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。

（ × ）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。

答案选错或未作选择者，该题无分。

每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（② ）①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同；④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。

2、指出下列那些运算是二元运算（ ）①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ；③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。

近世代数模拟试题及答案一、选择题1. 下列哪个集合不是群？A. 自然数集NB. 整数集ZC. 有理数集QD. 实数集R答案：A2. 在群G中，若a, b属于G，且a*b=b*a对所有a, b成立，则称G 为交换群。

以下哪个不是交换群？A. 整数加法群B. 奇数乘法群C. 偶数乘法群D. 所有实数的加法群答案：C二、填空题1. 一个环R，如果满足乘法交换律，则称R为_________。

答案：交换环2. 有限群的阶是指群中元素的个数，设群G的阶为n，则群G的拉格朗日定理表明，G的任何子群的阶都是n的_________。

答案：因数三、简答题1. 解释什么是子群，并给出一个例子。

答案：子群是指一个群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下封闭，并且包含G的单位元。

例如，整数集Z在加法运算下构成自然数集N的一个子群。

2. 描述什么是环的零因子，并给出一个例子。

答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得a*b=0，则称a和b为零因子。

例如，在模6的剩余类环Z6中，元素3和3是零因子，因为3*3=9≡0 (mod 6)。

四、计算题1. 给定群G={1, a, a^2, a^3}，其中a^4=1，求证G是一个群，并找出它的所有子群。

答案：首先验证群的四个基本性质：- 封闭性：对于任意g, h属于G，g*h也属于G。

- 结合律：对于任意g, h, k属于G，(g*h)*k = g*(h*k)。

- 单位元：1是G的单位元，因为对于任意g属于G，1*g = g*1 = g。

- 逆元：对于任意g属于G，存在g的逆元g^(-1)，使得g*g^(-1) = g^(-1)*g = 1。

例如，a的逆元是a^3。

G的子群有：- {1}：平凡子群。

- {1, a^2}：由a^2的幂构成的子群。

- G本身：{1, a, a^2, a^3}。

2. 证明在任何交换环中，如果a和b是可逆元素，则它们的乘积ab也是可逆的。

答案：设a和b是交换环R中的可逆元素，存在a^(-1)和b^(-1)使得a*a^(-1)=1且b*b^(-1)=1。

近世代数（含答案）近世代数一、单项选择题1、6阶有限群的任何一个子群一定不是（ C ）。

A ．2阶 B ．3阶 C ．4阶 D ．6阶2、设G 是群，G 有（ C ）个元素，则不能肯定G 是交换群。

A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3、下面的代数系统(,*)G 中，（ D ）不是群。

A ．G 为整数集合，*为加法B ．G 为偶数集合，*为加法C ．G 为有理数集合，*为加法D ．G 为有理数集合，*为乘法4、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ C ）是子群。

A ．{}aB ．{},a eC ．{}3,e aD ．{}3,,e a a5、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ）A ．*a b a b =?B ．{}*max ,a b a b =C ．*2a b a b =+D ．a b a b +=?二、填空题1、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于（ 25 ）。

2、一个有单位元的无零因子的（交换环）称为整环。

3、群的单位元是（唯一）的，每个元素的逆元素是（唯一）的。

4、一个子群H 的右、左陪集的个数（相等）。

5、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的（特征）。

6、设群G 中元素a 的阶为m ，如果na e =，那么m 与n 存在整除关系为（ |m n ）。

7、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则1[()]ff a ?=（ a ）。

8、循环群的子群是（循环群）。

9、若{}2,5A =，{}1,0,2B =?，则A B ×=（ {}(2,1),(2,0),(2,2),(5,1),(5,0),(5,2)?? ）。

10、如果G 是一个含有15个元素的群，那么，对于a G ?∈，则元素a 的阶只可能是（ 1,3,5,15 ）。

三、问答题 1、什么是集合A 上的等价关系？举例说明。

【答案】设R 是某个集合上的一个二元关系。

近世代数期末考试题库完整近世代数模拟试题⼀⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均⽆分。

1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（）A 、满射⽽⾮单射B 、单射⽽⾮满射C 、⼀⼀映射D 、既⾮单射也⾮满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（）个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中⽅程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（）乘法来说A 、不是唯⼀B 、唯⼀的C 、不⼀定唯⼀的D 、相同的(两⽅程解⼀样)4、当G 为有限群，⼦群H 所含元的个数与任⼀左陪集aH 所含元的个数（）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不⼀定相等。

5、n 阶有限群G 的⼦群H 的阶必须是n 的（）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。

错填、不填均⽆分。

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。

3、环的乘法⼀般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是⼀个------。

4、偶数环是---------的⼦环。

5、⼀个集合A 的若⼲个--变换的乘法作成的群叫做A 的⼀个--------。

6、每⼀个有限群都有与⼀个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成⼀个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最⼤理想，那么---------。

一、 选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分) (从下列备选答案中选择正确答案)1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（ ）。

(A) ｛1，－1，i ,－i ｝ (B) ｛1，－1｝ (C) ｛1，－1，i ｝2、设H 是群Ｇ的子群，a ，b ∈Ｇ，则aH = bH 的充要条件是（ ）。

(A) a －1b －1∈H (B) a －1b ∈H (C) ab －1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中，Z 6 的极大理想是( )。

(A) （2），（3） (B) （2） (C)（3）4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。

(A) 6 (B) 3 (C) 25、下列不成立的命题是( )。

(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分）（请将正确答案填入空格内）1、R 为整环，a ，b ∈R ，b |a ，则（b ） （a ）。

2、F 是域，则[](())F x f x 是域当且仅当 。

3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中，规定等价关系~:A ～B ⇔秩(A )=秩(B )，则这个等价关系决定的等价类有________个。

4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。

5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。

三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分） （请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”）1、设G 是群，∅≠H ，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H≤G .. （ ）2、群G 中的元,a b ，()2,()7,a b ab ba ===,则()14ab =。

( )3、商环6Z Z 是一个域。

（ ）4、设f 是群G 到群-G 的同态映射，若1()f H G -， 则H G 。

（ ）5、任意群都同构于一个变换群。

（ ）四、计算题（本题共2小题,每小题10分，共20分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、找出6Z 的全部理想，并指出哪些是极大理想。

近世代数试题库近世代数一、单项选择题a、{1，2，3，4}b、{2，3，6，7}c、{2，3}d、{1，2，3，5，6，7}答案：c2、循环群与交换群关系正确的是（）1、若a={1，2，3，5}，b={2，3，6，7}，则a?b=（）a、循环群是交换群b、交换群是循环群c、循环群不一定是交换群d、以上都不对答案：a3、以下命题恰当的就是（）a、n次对换群sn的阶为n!b、整环一定是域c、交换环一定是域d、以上都不对答案：a4、关于标架的命题中恰当的就是（）设h就是g的子群，那么a、b、c、d、对于?ah,bh,有ah?bh??或ah?bhah?h?a?hah?bh?a?1b?h以上都对答案：d5、设a=r（实数域），b=r+（正实数域）f:a→10aa?a则f是从a到b的（）a、单射b、单射c、一一映射d、既非单射也非满射答案：d16、有限群中的每一个元素的阶都（）a、有限b、无限c、为零d、为1答案：a7、整环（域）的特征为（）a、素数b、无限c、有限d、或素数或无限答案：d8、若s就是半群,则()a、任意a,b,c?s,都有a(bc)=(ab)cb、任意a,b?s,都有ab=bac、必有单位元d、任何元素必存在逆元答案：a9、在整环z中，6的真因子就是（）a、?1,?6b、?2,?3c、?1,?2d、?3,?6答案：b10、偶数环的单位元个数为（）a、0个b、1个c、2个d、无数个答案：a11、设a1,a2,?,an和d都不为空集合，而f就是a1?a2an至d的一个态射，那么（）a、集合a1,a2,?,an,d中两两都不相同；b、a1,a2,?,an的次序不能调换；c、a1?a2an中相同的元对应的象必不相同；d、一个元?a1,a2,?,an?的象可以不唯一。

2答案：b12、指出下列那些运算是二元运算（）a、在整数集z上，a?b?a?b；abb、在有理数集q上，a?b?ab；c、在也已实数集r?上，a?b?alnb；d、在子集?n?zn?0?上，a?b?a?b。

近世代数模拟试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 群的定义中，下列哪一项不是必要的？A. 封闭性B. 单位元存在性C. 逆元存在性D. 交换律2. 对于一个环，以下哪项是正确的？A. 必须有加法单位元B. 必须有乘法单位元C. 必须满足交换律D. 必须满足分配律3. 以下哪个选项正确描述了域的特征？A. 域中的每个元素都有逆元素B. 域中的每个元素都有加法逆元素C. 域中的乘法是交换的D. 域中的乘法是结合的4. 如果一个群G的所有元素的阶都是有限的，那么G被称为：A. 阿贝尔群B. 循环群C. 有限群D. 正规子群5. 以下哪个选项是群的同态映射？A. 恒等映射B. 逆映射C. 任意映射D. 单位元映射二、填空题（每空1分，共10分）1. 一个群G的拉格朗日定理指出，如果H是G的一个子群，那么|H|整除______。

2. 环R中的元素a被称为______，如果对于R中的每个元素b，都有ab=ba。

3. 一个环R被称为______，如果它的乘法满足交换律。

4. 一个环R的雅可比恒等式是a^2(b+c)=ab^2+ac^2，这表明R是一个______。

5. 一个群G的正规子群N，如果它满足G/N是一个阿贝尔群，那么N 被称为G的______。

三、简答题（每题10分，共20分）1. 解释什么是群的同构，并给出一个例子。

2. 描述环的整环和域的区别。

四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：如果一个群G的阶是素数p，那么G是循环群。

2. 证明：如果一个环R有单位元且每个非零元素都是可逆的，那么R是一个域。

五、应用题（每题15分，共30分）1. 已知群G={1, a, b, c}，其中a^2=b^2=c^2=1，且ab=c，ba=c。

确定G是否为阿贝尔群，并找出所有可能的群结构。

2. 考虑环Z_6，其中Z_6是由模6的整数组成的环。

证明Z_6不是域，并找出它的所有单位元素。

注意：请根据所学知识，认真审题，仔细作答。

近世代数一、单项选择题1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则B A ⋂=（ ）A 、{1，2，3，4}B 、{2，3，6，7}C 、{2，3}D 、{1，2，3，5，6，7}答案：C2、循环群与交换群关系正确的是（ ）A 、循环群是交换群B 、交换群是循环群C 、循环群不一定是交换群D 、以上都不对答案：A3、下列命题正确的是（ ）A 、n 次对换群n S 的阶为!nB 、整环一定是域C 、交换环一定是域D 、以上都不对答案：A 4、关于陪集的命题中正确的是（ ）设H 是G 的子群，那么A 、对于,,bH aH ∀有φ=⋂bH aH 或bH aH = B 、H a H aH ∈⇔= C 、H b a bH aH ∈⇔=-1 D 、 以上都对答案：D5、设A=R （实数域）， B=R+（正实数域） f :a→10a a ∈A 则 f 是从A 到B 的（ ）A 、单射B 、满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射答案：D6、有限群中的每一个元素的阶都（ ）A 、有限B 、无限C 、为零D 、为1答案：A7、整环（域）的特征为（ ）A 、素数B 、无限C 、有限D 、或素数或无限答案：D8、若S 是半群,则( )A 、任意,,,S c b a ∈都有a(bc)=(ab)cB 、任意,,S b a ∈都有ab=baC 、必有单位元D 、任何元素必存在逆元答案：A9、在整环Z 中，6的真因子是（ ）A 、1,6±±B 、2,3±±C 、1,2±±D 、3,6±±答案：B10、偶数环的单位元个数为（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、无数个答案：A11、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（ ）A 、集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；B 、n A A A ,,,21 的次序不能调换；C 、n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同；D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。