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[基础题组练]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )解析：选C.用特殊点代入,比如(0,0),容易判断为C.2．(2019·开封市高三定位考试)已知实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y的最大值是( )A.132 B.116 C ．32D ．64解析：选C.作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,设u ＝x －2y ,由图知,当u ＝x －2y 经过点A (1,3)时取得最小值,即u min ＝1－2×3＝－5,此时z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y取得最大值,即z max ＝⎝⎛⎭⎫12－5＝32,故选C.3．(2018·高考北京卷)设集合A ＝{(x ,y )|x －y ≥1,ax ＋y >4,x －ay ≤2},则( ) A ．对任意实数a ,(2,1)∈A B ．对任意实数a ,(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时,(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时,(2,1)∉A解析：选D.若(2,1)∈A ,则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32,所以当且仅当a ≤32时,(2,1)∉A ,故选D.4．(2019·长春市质量检测(二))已知动点M (x ,y )满足线性条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，5x ＋y －8≤0，定点N (3,1),则直线MN 斜率的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.不等式组表示的平面区域为△ABC 内部及边界,如图所示,数形结合可知,当M 点与B 点重合时,MN 的斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y －8＝0，x ＋y ＝0，得B (2,－2)．MN 斜率的最大值为1＋23－2＝3.5．(2019·陕西省质量检测(一))若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为________．解析：法一：由约束条件可知可行域的边界分别为直线y ＝1,x ＋y ＝0,x －y －2＝0,则边界的交点分别为(－1,1),(3,1),(1,－1),分别代入z ＝x －2y ,得对应的z 分别为－3,1,3,可得z 的最大值为3.法二：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线x －2y ＝0并平移,由图可知,当直线过点(1,－1)时,z 取得最大值,即z max ＝1－2×(－1)＝3. 答案：36．(2019·广东茂名模拟)已知点A (1,2),点P (x ,y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，O 为坐标原点,则z ＝OA →·OP →的最大值为________．解析：由题意知z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ,作出可行域如图阴影部分,作直线l 0：y ＝－12x ,当l 0移到过A (1,2)的l 的位置时,z 取得最大值,即z max ＝1＋2×2＝5.答案：57．(2019·石家庄市质量检测(二))设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，x ＋y ≥3，y －2≤0，则y ＋1x的最大值为________．解析：作出可行域,如图中阴影部分所示,而y ＋1x 表示区域内的动点(x ,y )与定点(0,－1)连线的斜率的取值范围,由图可知,当直线过点C (1,2)时,斜率最大,为2－（－1）1－0＝3.答案：38．若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图中阴影部分所示,可求得A (3,4),B (0,1),C (1,0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0,过A (3,4)时z 取最小值－2,过C (1,0)时z 取最大值1. 所以z 的最大值为1,最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知－1<－a2<2,解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4,2)．[综合题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ,y )∈D ,2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ,y )∈D ,2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②綈p ∨q ③p ∧綈q ④綈p ∧綈q 这四个命题中,所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A.通解 作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示,直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ,不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域,所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域,所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧綈q 正确．故选A.优解 在不等式组表示的平面区域D 内取点(7,0),点(7,0)满足不等式2x ＋y ≥9,所以命题p 正确；点(7,0)不满足不等式2x ＋y ≤12,所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧綈q 正确．故选A.2．(2019·重庆六校联考)已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：选D.画出约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分所示．令z ＝0,画出直线y ＝ax ,a ＝0显然不满足题意．当a <0时,要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则需使直线y ＝ax 与x ＋y －2＝0平行,此时a ＝－1；当a >0时,要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则需使直线y ＝ax 与2x －y ＋2＝0平行,此时a ＝2.综上,a ＝－1或2.3．(2019·安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ,B 两种设备上加工,生产一件甲产品需用A 设备2小时,B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时,B 设备1小时．A ,B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出,则该企业每月利润的最大值为( )A ．320千克B ．360千克C ．400千克D ．440千克解析：选 B.设生产甲产品x 件,生产乙产品y 件,利润z 千元,则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，z ＝2x ＋y ,作出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线2x ＋y ＝0,平移该直线,当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)(满足x ∈N ,y ∈N )时,z 取得最大值,为360.4．(综合型)实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5,其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 坐标为(7,9),显然点B到直线x ＋2y －4＝0的距离最大,此时z max ＝21.答案：21。
第七章第三节不等式组与简单的线性规划第三节不等式组与简单的线性规划第一部分五年高考荟萃2009年高考题、选择题|3x - y - 6 _ 01. （2009山东卷理）设x ，y 满足约束条件 x - y • 2 _ 0答案 A过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by （ a>0， b>0）取得最大12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,而 2+3== 13 + （匕+◎）兰 13+ 2 = 25 故选a b a b 66 a b 6 6 'A.【命题立意】：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题•要求能准确地画出不等式表示的平面区域 拼且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6,求2 3的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.a b积相等的两部分，则k 的值是7343A. B.- C.D.—3 7 3 4答案B■l -x _ 02. （ 2009安徽卷理）若不等式组 x . 3 y 4所表示的平面区域被直线3x y _ 4解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABCx _0,y _0若目标函数 z=ax+by （a>0， b>0）的疋最大值为 12,2 3则 的最小值为（）a b25 8 11A. 一B.—D. 463 3解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线 ax+by= z （ a>0, b>0）AO4y=kx+—D 3由!x +3y =4得 A （ 1，1），又 B （ 0，4），c （ 0，4）3x y =4 3144二 S ^ABC = (4) 1 ，设 y =kx 与 3x y =4 的 23 3、 12 1父点为D ，则由S BCD S=ABC 知X D ， — y D西 2 3 2,5 1 4 7 -- k , k 选 2 2 3 33. (2009安徽卷文)不等式组 A. 3 2目标函数z =5x • 3y作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当x = 3，y = 5时可获得最大利润为 27万元，故选D2x y _4x,y 满足 x-y — -1,则 z = x ' y x - 2y _ 2A.有最小值2,最大值3 C. 有最大值3，无最小值 答案 BB. 有最小值2，无最大值 D.既无最小值，也无最大值解析 画出可行域可知，当,+3『乏4所表示的平面区域的面积等于3x+y<A C.3D.#B.3解析 由 X 3y _4 =0 3x+y —4 =0C1可得 C(1,1)，故 S 阴=AB| x 4c -，选 Co3答案4.（2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料3吨，BA 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5A 原料不超过13吨，万元，每吨乙产品可获得利润 3万元。
该企业在一个生产周期内消耗 B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是A. 12万元 答案 D解析设生产甲产品B. 20万元C. 25万元D. 27万元则有：X 吨，生产乙产品 甲产品x 吨 乙产品y 吨x >0y >0 3x y 汨 3 2x 3y -183Xy5. （2009宁夏海南卷理）设y 吨，则有关系:原学习必备欢迎下载^x y 过点（2，0）时，Z min二2，但无最大值。
选 B.2x y _4,6.（2009宁夏海南卷文） 设x, y 满足<x —y^1,则z = x + yx-2y<2,A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值答案 B解析 画出不等式表示的平面区域，如右图，由 z = x + y ,得y = — x +乙令z = 0,画出y=-x 的图象，当它的平行线经过 A （2,0）时，z 取得最小值，最小值为：z = 2,无最大值，故选.BI x —2v 色0 227.（2009湖南卷理）已知D 是由不等式组 ，所确定的平面区域，则圆 x y =4lx+3y 启0在区域D 内的弧长为答案 B解析 解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率1 1分别是—，--，所以圆心角:即为两直线的所成夹角，所以2 3兀A .—4nB.—[B]1 1 已-（-1）1 tan ：二一231 ,1 11 ：（一 ；）丨2 幷4C.主D.主所以，而圆的半径是 2，所以弧长是，故选B 现。
42|x y _ 3 I 一8.（ 2009天津卷理）设变量 x ，y 满足约束条件：x 「y #:-1.则目标函数z=2x+3y 的最小值2x - y _3为 A.6 B.7C.8D.23答案 B【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。
x y 亠3I解析 画出不等式 x - y _ -1表示的可行域，如右图，2x - y - 3一2 x z让目标函数表示直线 y在可行域上平移，知在点 B 自目标函数取到最小值，解3 3（2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用-4原料2吨；生产每吨乙产品要用 A 原料1吨、B 原料3吨。
销售每吨甲产品可获得利润 5万元，每吨乙产品可获得利润 3万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过13吨,B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元C. 25万元D. 27万元答案D【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。
（同文10）解析 设甲、乙种两种产品各需生产x 、y 吨，可使利润z 最大，故本题即方程组丿x y = 3 得(2,1)，所以 2x - y =3=4 - 3= 7，故选择B 。
f x = -x+3g x = x+1右 2：-3-2 x.qx=3 +7-1 5 -10 -5 10 159. A 原料3吨、Bzmin'3x + y 兰 13 2x +3y 兰 18已知约束条件，求目标函数z=5x 3y 的最大x>0 y-0x = 3值，可求出最优解为』 ，故z max = 15 +12 = 27，故选y = 4择D 。
x y _ 0i 『10. （2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组<x-1E0（ G 为常数）所表ax - y +1 兰 0示的平面区域内的面积等于 2,则a 的值为A. -5B. 1C. 2D. 3答案 D 解析如图可得黄色即为满足x-1乞0与x ，y-1_ 0的可行域，而ax -y T=0的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封3闭区域，当a=1时，面积是1； a=2时，面积是当a=3时，面积恰好为2，故选D.二、填空题x y _2,11.（ 2009浙江理）若实数x, y 满足不等式组《 2x - y 兰4,则2x +3y 的最小值是 ___________x_y ^0,答案 4X y - 2,I y12.（2009浙江卷文）若实数 x,y 满足不等式组 2x-y 乞4,贝V 2x 3y 的最小x-y _0,【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性区域的要解析 通过画出其线性规划，可知直线y 「£x Z 过点2,0时，2x 3y 皿肿43求，也体现了线性目标函数最值求解的要求2解析通过画出其线性规划，可知直线y = ——x+Z过点（2,0 ）时，（2x + 3yh jn =4x y -2 _0,13. （2009北京文）若实数x, y满足*x兰4, 则s=x + y的最大值为___________x兰5,解析本题主要考查线性规划方面的基础知.属于基础知识、基本运算的考查.如图，当x = 4, y = -2时,s = y -'X ~'2 ~4 = -6 为最小值.故应填-6.15.（2009山东卷理）不等式2x—1 - X —2 <0的解集为 __________答案{x | -1 ■- x :: 1}解析原不等式等价于不等式组①2^i x (x 22b ：o 或②21X ：11 或③一 2 不等式组①无解,由②得1:：: x ：：： 1,由③得-1：：：xJ,综2 2 _(2x -1) (x -2) ：：： 0上得-仁:x :: 1 ,所以原不等式的解集为{X| -1 ：：: X :：: 1}.16.(2009山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品，甲种设备每天能生产 A 类 产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产 A 类产品6件和B 类产品20件•已知设备 甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为 300元,现该公司至少要生产 A 类产品50件,B 类产品140件，所需租赁费最少为 __________ 元• 答案 2300解析 设甲种设备需要生产 x 天，乙种设备需要生产 y 天，该公司所需租赁费为 z 元，则_ __ x y=10作出不等式表示的平面区域，当z=200x+300y 对应的直线过两直线 <的交、x + 2y = 14点(4,5)时，目标函数z = 200x300 y 取得最低为2300元•【命题立意】：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关 系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题22 x -1 (x-：：：z =200x • 300y ，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示 产品A 类产品B 类产品 租赁费 设备 (件)(> 50)(件)(> 140)(元) 甲设备 5 10200 乙设备6 20300feel6 5x 6y _ 50x y _ 105则满足的关系为 10x 20y _140即： 7 7 x 2y -14x 2y - 14 x-0，y -。
x_0,y_0y _2xI已知实数x 、y 满足 y —「2x 则目标函数z=x-2y 的最小值是x _311解析 画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：y x —乙画直线yx 及2 2其平行线，当此直线经过点 A 时，—z 的值最大，z 的值最小，A 点坐标为（3,6）,所以，z 的最小值为：3— 2 X 6=— 9。
2005--2008年高考题一、 选择题x 2y -19 一0,1、（2008山东）设二元一次不等式组 <x - y +8兰0,所表示的平面区域为 M 使函数y =2x y -14 乞 0a x （a > 0, a z 1）的图象过区域 M 的a 的取值范围是（）A .[1,3] B.[2,.10C.[2,9]D.[、10,9] 答案C解析本题考查线性规划与指数函数。
