线性代数 第七章

教学基本要求：1.了解线性空间、线性子空间、基、维数、坐标等概念.2.了解基变换和坐标变换，会求过渡矩阵.3.了解线性变换的概念，了解线性变换的矩阵.4.了解内积、欧几里得空间的概念.5.了解规范正交基，会用施密特(Schmidt)正交化法把欧几里得空间中的线性无关向量组规范正交化.第七章线性空间与线性变换(P151)线性空间的理论具有高度的概括性和广泛的应用性，是线性代数的中心内容之一.本章将把在第四章中介绍的R n中的有关概念推广，给出更具一般性的线性空间定义，并讨论线性空间中的“极大线性无关组”与“秩”，介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵.一、线性空间的概念及其性质空间是集合，线性空间则是存在“封闭的”线性运算、符合“八条”的集合.线性空间的线性运算与数域密切相关.1. 数域数域K K是一个数集，且(1)0,1∈K；(2) K关于“+,-,×,÷运算”封闭.大家熟知的数域：有理数域Q，实数域R，复数域C.不熟悉的数域：Q(√2)={a+b√2|a,b∈Q}是数域.任意数域都包含有理数域.数域无穷多.2. 线性空间的定义和例子(P152)数域K上的线性空间V K若在非空集合V和数域K上定义了加法“⊕”和数乘法“⊗”两种线性运算：对∀α,β,γ∈V,∀k,l∈K，有唯一的α⊕β∈V和唯一的k⊗α∈V(即运算封闭)，且满足以下八条规律：“⊕”满足交换律α⊕β=β⊕α,∀α,β∈V；“⊕”满足结合律(α⊕β)⊕γ=α⊕(β⊕γ),∀α,β,γ∈V；“⊗”满足分配律k⊗(α⊕β)=(k⊗α)⊕(k⊗β),(k+l)⊗α=(k⊗α)⊕(l⊗α), (kl)⊗α=k⊗(l⊗α),∀α,β∈V,∀k,l∈K；V中有零元素“ο”α⊕ο=α,∀α∈V；每个元素有负元素∀α∈V,∃β∈V,∂α⊕β=ο，并记β=-α；“1⊗V ”的不变性1⊗α=α,∀α∈V ， 则称V 是数域K 上的一个线性空间，记作V K .线性空间也称为向量空间，其中的元素(不论其含义如何)也称为向量. P 151第四章提到的向量空间R n 、齐次线性方程组的解空间V 和L(α1,α2,…,αm )都是线性空间.大家应该知悉的线性空间：1. 矩阵集合R m×n ={(a ij )m×n |a ij ∈R}关于通常的矩阵加法和数与向量的乘法是数域R 上的线性空间. (例7.1 P 152)2. 次数小于n 的所有一元多项式的集合{}n 1in i01n 1i 0R[x]a xa ,a ,,a R --==∈∑关于通常的函数加法与数与函数的乘法是数域R 上的线性空间. (例7.2 P 152)3. 一元多项式的集合{}ii i i 0R[x]a x a R +∞==∀∈∑关于通常的函数加法和数与函数的乘法是数域R 上的线性空间. P 1524. 区间[a,b]上所有连续函数的集合C[a,b]关于通常的函数加法与数与函数的乘法是数域R 上的线性空间. (例7.3 P 152)5. 区间[a,b]上具有一阶连续导数的函数的集合C 1[a,b]关于通常的函数加法与数与函数的乘法是数域R 上的线性空间.6. 数域R 按照数的加法和乘法构成数域R 上的线性空间R n . (例7.4 P 152)大家不熟悉的线性空间：7.正实数集合R +={a|a ∈R 且a>0}是数域R 上的线性空间.这里加法“⊕”和数量乘法“⊗”分别定义为：a ⊕b=ab,k ⊗a=a k ,∀a,b ∈R +,∀k ∈R . (例7.5 P 153)两种运算的封闭性易见，“⊕”的交换律、结合律，“⊗”的分配律易验证. R +有零元素1，每个元素a 有负元素a -1，“1⊗R +”具有不变性：1⊗a=a.3. 线性空间的基本性质(P 153)性质1线性空间中的零向量是唯一的.性质2线性空间中的每一个向量的负向量是唯一的. 性质3 0⊗α=ο, (-1)⊗α=-α,∀α∈V ；k ⊗ο=ο,∀k ∈K . 性质4 若k ⊗α=ο，则k =0或α=ο.* 定义和性质的直接意义：若某个集合不符合定义或性质中的任何一条，则它必不是线性空间.哪些集合不是线性空间？1. 数域R上的所有一元二次多项式的集合2ii0122i0V a x a,a,a R a0==∈≠⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑且不是线性空间.因为V没有零元素.因为V关于函数的加法运算与数乘法运算均不封闭.2. n元非齐次线性方程组的解集合U={x|A x=β}(A∈R m×n)不是线性空间.因为U没有零元素.因为U没有负元素.因为U关于向量的加法运算与数乘法运算均不封闭.3. n阶实可逆矩阵的集合U={(a ij)n×n|a ij∈R且|(a ij)n×n|≠0}不是线性空间.因为U没有零元素.因为U关于矩阵的加法运算与数乘法运算均不封闭.4. 线性子空间(P154)线性空间V的子空间U若(1)U是V的非空子集；(2)U有与V相同的加法运算和数乘法运算；(3) U是线性空间，则称U是V的一个线性子空间，简称子空间. (定义7.2 P154)线性空间V的两个特殊的子空间：零子空间——只由V中零元素构成的子空间；全空间——V自身.零子空间和全空间称为V的平凡子空间，其他的叫V的非平凡子空间. P154定理7.1设U是线性空间V的非空子集，则U是V的子空间的充分必要条件是U对于V的加法和数乘运算是封闭的. (定理7.1 P154)例如，R n×n中的全体对称矩阵(反对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵)构成R n×n的一个子空间，但n阶可逆矩阵(或不可逆矩阵)的集合不是R n×n的子空间.(例7.6 P154)R[x]n是R[x]m(m≥n)的子空间，R[x]m是R[x]的子空间. P155在区间[a,b]上的函数集合C1[a,b]是C[a,b]的子空间. P155这里直接指出：在第三章中讨论n元数组时用到的线性表示、线性相关、线性无关、极大线性无关组和秩等概念都可以推广到线性空间中，由这些定义出发所得到的结论在线性空间中也都成立.设α1,α2,…,αs∈V K是线性空间V K的一组向量，那么集合L(α1,α2,…,αs)={k1α1+k2α2+…+k sαs|k1,k2,…,k s∈K}是线性空间V K的一个子空间，称为由α1,α2,…,αs生成的子空间. P155二、基维数坐标这里直接指出：在第三章中讨论n元数组时用到的线性表示、线性相关、线性无关、极大线性无关组和秩等概念都可以推广到线性空间中，由这些定义出发所得到的结论在线性空间中也都成立.线性空间要么只有零向量，要么有无穷多个向量.有无穷多个向量的线性空间有“极大线性无关组”、“秩”、“坐标”等概念.1. 基维数线性空间的基、维数、坐标的含义如下：基线性空间的“极大线性无关组”. (定义7.3 P155)维数线性空间的“极大线性无关组”中的向量个数. (定义7.3 P155)规定：仅含零向量的线性空间维数为0.如果线性空间有任意多个线性无关的向量，则称为无限维线性空间，维数为+∞. P155例如，R[x],C[a,b]都是无限维的线性空间.n 维数线性空间记为V n .以下仅讨论有限维的线性空间.例如，n 元齐次线性方程组A x =ο的基础解系是其解空间V={x |A x =ο}的基，维数为n-R(A).1,x,x 2,…,x n-1、1,1+x,1+x+x 2,…,1+x+…+x n-1和1,x-1,(x-1)2,…,(x-1)n-1等都是线性空间R[x]n 的基，R[x]n 的维数为n . (例7.7 P 155)100010001000000,,,,,000000000100010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭000001⎛⎫ ⎪⎝⎭是线性空间R 2×3的一组基，100110,,000000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111111111,,,000100110111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是R 2×3的另一组基， R 2×3的维数为6. (例7.8 P 156)一般地，R m×n 是m×n 维线性空间.向量组α1,α2,…,αs 的一个“极大线性无关组”是生成空间L(α1,α2,…,αs )的一组基，R(α1,α2,…,αs )是该生成空间的维数.关于基、维数有以下结论：定理7.2设V n 是n 维线性空间，如果V n 中的向量组α1,α2,…,αm 线性无关，那么在V n 中必有n-m 个向量αm+1,αm+2,…,αn ，使得α1,α2,…,αm ,αm+1,αm+2,…,αn 是V n 的一组基. (定理7.2 P 156)定理7.2既说明基的存在性，同时给出得到基的一种方法.推论1 含有非零向量的线性空间存在基. (倒数第12行 P 156) 推论2 非空的欧氏空间存在规范正交基. (正数第11行 P 167)推论3 如果线性空间U 是线性空间V 的子空间，那么R(U)≤R(V).且若R(U)=R(V)，则必有U=V. (推论 P 156)2.坐标坐标 向量由基线性表示的一组有序数. (定义7.4 P 156)同一个向量会随基的不同而有不同的坐标.例如，1,x,x 2是线性空间R[x]3的一组基，f(x)=-5x 2+3x-2在基1,x,x 2下的坐标为(-2,3,-5)T .而g(x)=2(x+1)2-3(x-4)-2=2x 2+x+12在基1,x,x 2下的坐标是(12,1,2)T ，在另一个基1,x-4,(x+1)2下的坐标则是(-2,-3,2)T . P 157向量111111⎛⎫⎪⎝⎭在R 2×3中基100020,,000000-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭001000000,,,000400020⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭0000010⎛⎫ ⎪⎝⎭下的坐标为(-1,1/2,1,1/4,-1/2,1/10)T ，即11110002000111110000000002000000000111 .40002000104210-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭如果向量ξ在基α1,α2,…,αn 下的坐标为(x 1,x 2,…,x n )T ，仿照矩阵乘法，可以“形式地”记为1212n n x x (,,,)x =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξααα.3.线性空间的同构(P 157)坐标的引入，使得n 维抽象空间V n 中的元素与n 元有序数组(即通常意义上的向量)一一对应起来，且元素之间的线性运算也保持对应，这称为同构现象.线性空间U 与V 同构线性空间U 与V 的元素之间存在一一对应关系，且元素之间的线性运算也保持对应. (定义7.5 P 157)设U(11,⊕⊗)与V(22,⊕⊗)同构，且α1,α2∈U, β1,β2∈V,k ∈R ，则11221112221122, k k ↔↔⊕↔⊕⊗↔⊗αβαβαβαβαα线性空间的同构关系具有反身性、对称性、传递性. P 157可见，同一数域上的同维线性空间都同构. 同构的线性空间有相同的线性运算性质. P 158例如，R 2×3与R 6同构，有111211121313212223212223a a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫↔ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 111112121111121213131313212122222323212122222323111211121313212223212223a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫↔⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫↔⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎝⎭，.⎪⎪由此可见，R 2×3中向量的线性相关性与在R 6中所对应的向量的线性相关性一致，R 2×3的基与R 6的基对应.三、基变换和坐标变换如果线性空间有非零向量，那么它就有无穷多元素，从而有不同的基，一个元素也会有不同的坐标，由此就有了以下概念.1.基变换(P 158)设α1,α2,…,αn 和β1,β2,…,βn 是线性空间V n 的两组基.基变换基之间的“线性表示”.即(β1,β2,…,βn )=(α1,α2,…,αn )C ， P 144该式称为基变换公式.过渡矩阵构成基变换的矩阵.上式中的C 称为由基α1,α2,…,αn 到基β1,β2,…,βn 的过渡矩阵. (定义7.6 P 159)过渡矩阵是可逆矩阵，因为n=R(β1,β2,…,βn )≤min{R(α1,α2,…,αn ),R(C)}=R(C)≤n.例7.1(例7.9 P 159) 在线性空间R[x]3中，由基1,x,x 2到基1,1+2x,1+2x+3x 2的过渡为(1,1+2x,1+2x+3x 2)=(1,x,x 2)111022003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 111022003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即是由基1,x,x 2到基1,1+2x,1+2x+3x 2的过渡矩阵.例7.2 在线性空间R 2×2中，由基11121001E =,E ,0000=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21220000E ,E 1001==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到基121011B ,B ,0000==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭341111B ,B 1011==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的过渡为 (B 1,B 2,B 3,B 4)=(E 11,E 12,E 21,E 22)1111011100110001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，1111011100110001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭即是由基E 11,E 12,E 21,E 22到基B 1,B 2,B 3,B 4的过渡矩阵.2.坐标变换(P 159)坐标变换同一个向量在两组基下的坐标之间的变换.定理7.3 如果向量ξ在基α1,α2,…,αn 与基β1,β2,…,βn 下的坐标分别为x 和y ，那么x =C y ，其中C 是由基α1,α2,…,αn 到基β1,β2,…,βn 的过渡矩阵. (定理7.3 P 159)证 12n 12n 1212n(,,,)(,,,)Cn 1212n n y y (,,,)y x x(,,,)x βββαααβββξααα=⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭=⇒⎨⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩x =C y .例7.3 向量(1,2,1)T 在基e 1=(1,0,0)T ,e 2=(0,1,0)T ,e 3=(0,0,1)T 下的坐标为1,2,1，而基e 1,e 2,e 3到基η1=(1,1,1)T ,η2=(1,1,-1)T ,η3=(1,-1,-1)T 的过渡矩阵为111C 111111=---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 即(η1,η2,η3)=(e 1,e 2,e 3)C ，于是(1,2,1)T 在基η1,η2,η3下的坐标(x 1,x 2,x 3)T 满足(1,2,1)T =C(x 1,x 2,x 3)T .所以(x 1,x 2,x 3)T =C -1(1,2,1)T =(1,1/2,-1/2)T ，其中11011C 0112110-=--⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭.也可以直接求向量(1,2,1)T 在基η1,η2,η3下的坐标.设(1,2,1)T =(η1,η2,η3)(x 1,x 2,x 3)T ，得 (x 1,x 2,x 3)T =(η1,η2,η3)-1(1,2,1)T111111111212111112-=-=---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例7.4(例7.10 P 159) 设121011B ,B ,0000==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭341111B ,B 1011==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是线性空间R 2×2中的一组基，求向量12A 34=⎛⎫⎪⎝⎭在基下的坐标.解 方法一 向量A 在R 2×2中基11121001E =,E ,0000=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21220000E ,E 1001==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下的坐标为(1,2,3,4)T，及基B 1,B 2,B 3,B 4由1112212210010000E =,E ,E ,E 00001001===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭过渡的过渡矩阵为11110111C 00110001=⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，所以向量A 在基B 1,B 2,B 3,B 4下的坐标(y 1,y 2,y 3,y 4)T =C -1(1,2,3,4)T =(-1,-1,-1,4)T ，即A=-B 1-B 2-B 3+4B 4.方法二 设A=y 1B 1+y 2B 2+y 3B 3+y 4B 4，则1234y 11111y 20111y 30011y 40001=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11234y 111111y 011121y 001131y 000144---==-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故向量A 在基B 1,B 2,B 3,B 4下的坐标为(-1,-1,-1,4)T .四、线性变换及其矩阵表示线性空间V 到自身的映射称为V 的变换，能够保持线性运算关系的变换是线性变换，它反映线性空间的向量之间重要的、最基本的联系.1.线性变换线性空间V K 的线性变换T 满足线性运算的映射T: V K →V K ：T(α⊕β)=T(α)⊕T(β), T(k ⊗α)=k ⊗T(α),∀α,β∈V K ,∀k ∈K.(定义7.7 P 160)例7.5(例7.11 P 160) 线性空间R n×n 中的映射：T(A)=A T , A ∈R n×n ，是R n×n 中的一个线性变换.例7.6(例7.12 P161) 设A∈R n×n，线性空间R n中的映射：T(α)=Aα, α∈R n是R n中的一个线性变换.例7.7(例7.13 P161) 线性空间R[x]n中的微商运算：D(f(x))=f’(x), f(x)∈R[x]n是R[x]n中的一个线性变换.微商运算不是线性空间C1[a,b]的线性变换.例7.8(例7.14 P161) 设λ∈R，线性空间V n中的映射：T(α)=λα, α∈V n是V n中的一个线性变换. 当λ=1，称T是恒等变换；当λ=0，称T是零变换.线性变换的性质：P161(1)T(ο)=ο；(2)T(-α)=-T(α)；(3)T(k1α1+k2α2+…+k sαs)=k1T(α1)+k2T(α2)+…+k s T(αs).* T(α)=ο推不出α=ο.2.线性变换的矩阵线性变换的像线性空间的元素经线性变换映射的结果.T(α)是元素α经线性变换T : α→T(α)的像.线性变换在基下的矩阵以基表示基的像的矩阵(下式中的A称为线性变换T在基α1,α2,…,αn下的矩阵). (定义7.8 P162)(T(α1),T(α2),…,T(αn))=(α1,α2,…,αn)A.记(T(α1),T(α2),…,T(αn))T(α1,α2,…,αn)，那么 T(α1,α2,…,αn )=(α1,α2,…,αn )A .像在基下的坐标设α=x 1α1+x 2α2+…+x n αn ，并记x =(x 1,x 2,…,x n )T ，则T(α)=T(x 1α1+x 2α2+…+x n αn )=x 1T(α1)+x 2T(α2)+…+x n T(αn )=(T(α1),T(α2),…,T(αn ))x =(α1,α2,…,αn )A x ，所以像T(α)在基下的坐标为A x .例7.9(例7.15 P 162) 在线性空间R[x]n 中，求微商变换D 在基1,x,x 2,…,x n-1下的矩阵. 解 由D(1)=0, D(x)=1,D(x 2)=2x,…,D(x n-1)=(n-1)x n-2，有(D(1),D(x),D(x 2),…,D(x n-1))=(0,1,2x,…,(n-1)x n-2)=(1,x,x 2,…,x n-1)01000020000n 1000-⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 故微商变换D 在基1,x,x 2,…,x n-1下的矩阵为01000020000n 1000-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.类似地可得微商变换D 在基1,x,x 2/2!,…,x n-1/(n-1)!下的矩阵为10000100001000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.例7.10(例7.16 P 163) 求线性空间R 2×2中的线性变换：T(X)=X T , X ∈R 2×2在基111221100100E =,E ,E ,000010==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2200E 01=⎛⎫⎪⎝⎭下的矩阵. 解 由T(E 11)=E 11, T(E 12)=E 21, T(E 21)=E 12, T(E 22)=E 22，得 T(E 11,E 12,E 21,E 22)=(E 11,E 21,E 12,E 22)=(E 11,E 12,E 21,E 22)100000101000001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭.100000101000001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭即为线性变换T 在基E 11,E 12,E 21,E 22下的矩阵.例7.11(例7.17 P 163)定理7.4(同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系) 设T 是线性空间V n 的线性变换，A,B 分别是T 在基α1,α2,…,αn 和β1,β2,…,βn 下的矩阵，那么B=C -1AC ，其中C 是由基α1,α2,…,αn 到基β1,β2,…,βn 的过渡矩阵. (定理7.4 P 164)证 由 T(α1,α2,…,αn )=(α1,α2,…,αn )A ，T(β1,β2,…,βn )=(β1,β2,…,βn )B ， (β1,β2,…,βn )=(α1,α2,…,αn )C ，得T(β1,β2,…,βn )=T((α1,α2,…,αn )C)=T(α1,α2,…,αn )C=(α1,α2,…,αn )AC =(β1,β2,…,βn )C -1AC.由于线性变换在基下的矩阵唯一，所以B=C -1AC.定理7.4表明，一个线性变换在不同的基下的矩阵相似.例7.12(例7.18 P 165) 设线性空间V 2中的线性变换T 在基α1,α2下的矩阵为12A 05=⎛⎫⎪⎝⎭，求线性变换T 在基β1=α1+2α2,β2=2α1+5α2下的矩阵.解 方法一 因为(β1,β2)=(α1,α2)1225⎛⎫⎪⎝⎭, T(α1,α2)=(α1,α2)A ，所以T 在基β1,β2下的矩阵为 112121251025052501B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.方法二因为(β1,β2)=(α1,α2)1225⎛⎫⎪⎝⎭, T(α1,α2)=(α1,α2)A，所以T(β1,β2)=T(α1,α2)1225⎛⎫⎪⎝⎭=(α1,α2)A1225⎛⎫⎪⎝⎭=(β1,β2)-1121212250525⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=(β1,β2)51001⎛⎫⎪⎝⎭，所以T在基β1,β2下的矩阵为51001⎛⎫ ⎪⎝⎭.五、欧氏空间具有度量性质的实线性空间——EuclidV空间(欧氏空间).1.定义和例子首先给出线性空间上的度量定义——内积.内积设V是实数域R上的一个线性空间，在V上定义一个二元函数，记作[α,β]，如果它满足：对∀α,β,γ∈V,∀k∈R，有(1) [α,β]=[β,α](对称性)；(2) [α+β,γ]=[α,γ]+[β,γ], [kα,β]=k[α,β](线性性)；(3) [α,α]≥0.且仅当α=ο时，[α,α]=0(正定性)，则称这个二元函数[α,β]是V上的内积. (定义7.9 P165)Euclid空间定义了内积的实线性空间. (定义7.9 P165)例如，向量空间R n中的内积，除了在第三章已定义的形式：[α,β]=a1b1+a2b2+…+a n b n，(这是常用形式)还可以定义为[α,β]=a1b1+2a2b2+…+na n b n.对应不同内积的欧氏空间被认为是不同的欧氏空间. P166例7.13(例7.19 P166) 在线性空间R[x]n中，定义[f(x),g(x)]=∫-11 f(x)g(x)dx, f(x),g(x)∈R[x]n.[f(x),g(x)]是R[x]n 中的内积，因此R[x]n 是欧氏空间.例7.14 在线性空间R m×n 中，定义mnij ij i 1j 1[A,B]a b ===∑∑, A=(a ij )n ,B=(b ij )n ∈R m×n .[A,B]是R m×n 中的内积，因此R m×n 是欧氏空间. P 166有了内积，在欧氏空间中就可以引入向量长度、向量的夹角等度量性的概念，而且有与R n 中的对应概念完全类似的性质.向量的长(或范数) |α. (定义7.10 P 166)|k α|=k|α|,∀α∈V n ,∀k ∈R .单位向量|α|=1.若α∈V n 且α≠ο，则α/|α|是单位向量. (规范性)向量的夹角<α,β>=arcos([α,β]/|α|·|β|), 0≤<α,β>≤π, α≠ο,β≠ο.(定义7.11 P 166) 易见，<α,β>=π/2 ⇔[α,β]=0, α≠ο,β≠ο.向量正交[α,β]=0. (定义7.12 P 166) 零向量与任意向量正交. 2.规范正交基在Euclid 空间中还有以下概念及结论： 规范向量组 向量长度皆为1的向量组.正交向量组/规范正交向量组向量均非零且互相正交(/既规范又正交)的向量组. (定义7.13 P 167)定理7.5 正交向量组必线性无关. (定理7.5 P 167)正交基/规范正交基 由正交(/规范正交)向量组成的基. (定义7.14 P 167)定理7.6 在欧氏空间中，如果向量组α1,α2,…,αm 线性无关，则有规范正交向量组ε1,ε2,…,εm 与之等价. (定理7.6 P 167)定理7.6表明：任意非零欧氏空间都存在规范正交基.得到规范正交基的方法——Schmidt 正交化法.在欧氏空间中，规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵.例7.15(例7.20 P 167) 在线性空间R[x]3中，按例7.13定义内积，求R[x]3的一个规范正交基. 解 取R[x]3中的一个基：α1=1,α2=x,α3=x 2，令 β1=α1=1，β2=α2-([α2,β1]/[β1,β1])β1=x ，β3=α3-([α2,β1]/[β1,β1])β1-([α2,β2]/[β2,β2])β2=x 2-1/3. 再规范化，得规范正交基：ε1=√2/2,ε2=√6x/2,ε3=3√10(x 2-1/3)/4.六、应用实例[实例7-1]线性变换在二维计算机图形学中的应用 1. 旋转变换x cos sin x y sin cos y 'θ-θ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'θθ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即coc sin 0x x sin coc 0y y 00111'θ-θ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'=θθ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 表示点(x,y)绕原点逆时针旋转θ角得到点(x ,,y ,)，换句话说，坐标系绕原点顺时针旋转θ角，点(x,y)在新坐标系下即为点(x ,,y ,).旋转变换是正交变换.2.伸缩变换x c x y c y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即c0x x c 0y y 111'⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3.平移变换00x x x y y y '+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪'+⎝⎭⎝⎭， 即00001x x x x x 1y y y y y 111 1'+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪'==+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.线性变换的复合是线性变换.[实例7-2]调味品配制问题七、习题(P 173) 选择题： 1. A提示：线性空间必有零元素，所以R n 的子空间必包含原点. 2. A提示：(α1+α2,α2+α3,α3+α1)=(α1,α2/2,α3/3)101220033⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.3. A提示：T(α1,α2,…,αn )=(α1,α2,…,αn )A.4.C (注意：当n>2，B 选项也不正确.)5.D (参见例7.20) 填空题：1. a=6提示：α1,α2线性无关，且121012101210110211021102211a 330a 000a 6---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭2. 3提示：3阶反对称矩阵1213122313230a a a 0a a a 0⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭中不同的数有3个. 3.-6,1,1提示：f(x)=x 2+2x-3=(x 2+x+2)+(x+1)-64.2312⎛⎫⎪--⎝⎭提示：(β1,β2)=(α1,α2)C ，即1111C 1201⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.5.012122111⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭提示：T(α1,α2,α3)=(000111,,010101--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭) =(101111,,000001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭)012122111⎛⎫ ⎪--- ⎪⎪⎝⎭解答题：1.(1)V={P(x)|P(x)=ax 2+bx+cx,a,b,c ∈R,a≠0}不是线性空间.因为若P(x)∈V ，则-P(x) ∈V ，但P(x)+(-P(x))=0∉V ，即V 关于多项式的加法运算不封闭. 因为P(x)∈V,0∈R ，但0·P(x)=0∉V ，即V 关于数与多项式的乘法运算不封闭. 因为V 没有零元素：P(x),-P(x)∈V ，但P(x)+(-P(x))=0∉V.(2)V={x |A x =β,β≠ο}不是线性空间.因为x ,y ∈V ，但x +y ∉V ，即V 关于向量的加法运算不封闭.因为x ∈V,0∈R ，但0x =ο∉V ，即V 关于数与向量的乘法运算不封闭. 因为V 没有负元素：x ∈V ，但-x ∉V. 因为V 没有零元素：A ο≠β，故ο∉V.(3)V={A|A ∈R n×n 且|A |≠0}不是线性空间.因为若A ∈V ，则-A ∈V ，但A +(-A)=O ∉V ，即V 关于矩阵的加法运算不封闭. 因为A ∈V,0∈R ，但0A=O ∉V ，即V 关于数与矩阵的乘法运算不封闭. 因为V 没有零元素：A ∈V ，则-A ∈V ，但A +(-A)=O ∉V .(4)V 1={A|A ∈R 3×3且A=A T }是线性空间. 因为V 1⊂R 3×3，R 3×3是线性空间，且A,B ∈V 1, k ∈R ⇒ A+B ∈V 1, kA ∈V 1，所以V 1是R 3×3的子空间.因此V 1是线性空间.V 2={A|A ∈R 3×3且A=-A T }是线性空间. 因为V 2⊂R 3×3，R 3×3是线性空间，且A,B ∈V 2, k ∈R ⇒ A+B ∈V 2, kA ∈V 2，所以V 2是R 3×3的子空间.因此V 2是线性空间.(5) V={X|XA=AX, A=1002⎛⎫⎪⎝⎭, X ∈R 2×2}是线性空间. 设X=a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭，则由XA=AX ⇒X=a d ⎛⎫⎪⎝⎭.由于R 2×2是线性空间，且A,B ∈V, k ∈R ⇒ A+B ∈V, kA ∈V ，所以V 是R 2×2的子空间. 因此V 是线性空间.2. (4)V 1的一组基为100000000000,010,000,000000001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 010*********,001,000000010100⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， R(V 1)=6.V 2的一组基为010*********,001000000010100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，R(V 2)=3.(5)V 的一组基为10,01⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，R(V)=2.3. 提示：即求α1,α2,α3,α4的“极大线性无关组”及其“秩”.4. (1) V1是R n的子空间.因为V1⊂R n，且∀x=(0,x2,…,x n)T,y=(0,y2,…,y n)T∈V1, k∈R，有x+y=(0,x2+y2,…,x n+y n)T∈V1,k x=(0,kx2,…,kx n)T∈V1.(2)V2不是R n的子空间.因为x=(1,x2,…,x n)T,y=(1,y2,…,y n)T∈V2，但x+y=(2,x2+y2,…,x n+y n)T∉V2.因为x∈V2, k∈R，但0x=(0,0,…,0)T∉V2.因为V2没有零元素：(0,0,…,0)T∉V2.因为V2没有负元素：x=(1,x2,…,x n)T∈V2，但-x=(-1,-x2,…,-x n)T∉V2.(3)V3是R n的子空间.因为V3⊂R n，且∀x=(x1,x2,…,x n)T,y=(y1,y2,…,y n)T∈V3, k∈R，有x+y=(x1+y1,x2+y2,…,x n+y n)T,k x=(kx1,kx2,…,kx n)T,其中x1+y1+x2+y2+…+x n+y n=0, kx1+kx2+…+kx n=0，所以kx1,kx2,…,kx n∈V3, k x∈V3.(4)V4不是R n的子空间.因为x=(1,0,…,0)T, y=(0,1,…,0)T∈V4，但x+y=(1,1,…,0)T∉V4.因为x∈V4, k∈R，但0x=(0,0,…,0)T∉V4.因为V4没有负元素：例如x=(1,0,…,0)T∈V4，但-x=(-1,0,…,0)T∉V4.(5)V5是R n的子空间.因为V5⊂R n，且∀x=(x,2x,…,nx)T, y=(y,2y,…,ny)T∈V5, k∈R，有x+y=(x+y,2(x+y),…,n(x+y))T∈V5,k x=(kx,2kx,…,nkx)T∈V5.(6)V6是R n的子空间.因为V6⊂R n，且∀x=(x1,y1,…,y1)T, y=(x2,y2,…,y2)T∈V6, k∈R，有x+y=(x1+x2,y1+y2,…,y1+y2)T∈V6,k x=(kx1,ky1,…,ky1)T∈V6.5. (1) V1是n-1维线性空间.e2,e3,…,e n是V1的一组基.因为x=(0,x2,…,x n)T=x2e2+ x3e3+…+x n e n.(3)V3是n-1维线性空间.(1,0,…,0,-1)T, (0,1,…,0,-1)T,…, (0,0,…,1,-1)T是V3的一组基.因为x=(x1,x2,…,x n)T∈V3，总有(x1,x2,…,x n)T=x1(1,0,…,0,-1)T+x2(0,1,…,0,-1)T+…+x n-1(0,0,…,1,-1)T.(5)V5是1维线性空间，x=(1,2,…,n)T是V5的一组基.因为x=(x,2x,…,nx)T=x(1,2,…,n)T.(6) V6是2维线性空间，(1,0,…,0,0)T, (0,1,…,1,1)T是V6的一组基.因为x=(x,y,…,y)T=x(1,0,…,0,0)T+y(0,1,…,1,1)T.6. 提示：(1)由于α1,α2,α3,α4∈R4，且(α1,α2,α3,α4)11111111212101411110020101110111----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111110111011100230023007400013----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪→→⎪ ⎪---- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以R(α1,α2,α3,α4)=4，故α1,α2,α3,α4是线性空间R4的一组基.(2)设β=(α1,α2,α3,α4)x.由于(α1,α2,α3,α4,β)10001010020010100013⎛⎫⎪⎪→⎪-⎪⎝⎭行变换，所以β在基α1,α2,α3,α4下的坐标为(1,2,-1,3)T.7. 提示：1,(x-a),(x-a)2,…,(x-a)n-1∈R[x]n.令k1+k2(x-a)+…+k n(x-a)n-1=0，显然有k1,k2,…,k n=0，故1,(x-a),(x-a)2,…,(x-a)n-1线性无关.设∀f(x)=a0+a1x+…+a n-1x n-1∈R[x]n，则f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+…+f(n-1)(a)(x-a)(n-1)/n!.因此，1,(x-a),(x-a)2,…,(x-a)n-1是线性空间R[x]n的一组基，且f(x)=1+x+…+x n-1在此基下的坐标为(1+a+…+a n-1, 1+2a+…+(n-1)a n-2,…,1)T.8. 提示：(1)设(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C，则过渡矩阵C=(α1,α2,α3)-1(β1,β2,β3)=…(2)设α=(α1,α2,α3)x，则α在基α1,α2,α3下的坐标为x=(α1,α2,α3)-1α=…设α=(β1,β2,β3)y，则α在基β1,β2,β3下的坐标为y=(β1,β2,β3)-1α=……或y=(β1,β2,β3)-1α=C-1(α1,α2,α3)-1α=C-1x=……9. 提示：(1)(α1,α2,α3)=(1,1+x,1+x+x2)=(1,x,x2)111 011 001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⇒过渡矩阵C=111011001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.(2)因为3+2x+x 2=(1,x,x 2)321⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(α1,α2,α3)1111310112100111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以向量3+2x+x 在基α1,α2,α3下的坐标为(1,1,1)T .10. 提示：(1)、(3)、(4)是；(2)不是.(注：当n≠2时，(4)不是.)(2)因为T(A+B)=A+B+1101⎛⎫ ⎪⎝⎭=T(A)+T(B)-1101⎛⎫⎪⎝⎭≠T(A)+T(B).因为T(kA)=kA+1101⎛⎫ ⎪⎝⎭≠k A+k 1101⎛⎫ ⎪⎝⎭=kT(A) (当k≠1).(4)设A=11122122a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,B=11122122b b b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则A *=22122111a a a a -⎛⎫⎪-⎝⎭,B *= 22122111b b b b -⎛⎫ ⎪-⎝⎭,(A+B)*=2222121221211111a b (a b )(a b )a b +-+⎛⎫ ⎪-++⎝⎭，且T(A+B)=(A+B)*=A *+B *,T(kA)=(kA)*=kT(A).11. 提示：首先求基在线性变换T 下的像：T(E 11),T(E 12),T(E 21),T(E 22)，然后将其表示为T(E 11,E 12,E 21,E 22)=(E 11,E 12,E 21,E 22)C ，那么C 即为所求矩阵.(1)T(E 11,E 12,E 21,E 22)=(1111⎛⎫ ⎪--⎝⎭,0101⎛⎫ ⎪-⎝⎭,1111⎛⎫ ⎪⎝⎭,0101⎛⎫⎪⎝⎭)=(E 11,E 12,E 21,E 22)1010111110101111---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭， 所以线性变换T 在该基下的矩阵为1010111110101111---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭.(3) T(E 11,E 12,E 21,E 22)=(2000⎛⎫ ⎪⎝⎭,0110⎛⎫ ⎪⎝⎭,0110⎛⎫ ⎪⎝⎭,0002⎛⎫⎪⎝⎭)=(E 11,E 12,E 21,E 22)2000011001100002⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭. 所以线性变换T 在该基下的矩阵为2000011001100002⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭.(4)T(E 11,E 12,E 21,E 22)=(0001⎛⎫⎪⎝⎭,0100-⎛⎫ ⎪⎝⎭,0010⎛⎫ ⎪-⎝⎭,1000⎛⎫⎪⎝⎭) =(E 11,E 12,E 21,E 22)000010000101000⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭１. 所以线性变换T 在该基下的矩阵为000010000101000⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪-⎝⎭１.12. 提示：T(ε1)=(1,1,1)T , T(ε2)=(2,-1,1)T , T(ε3)=(0,0,1)T ，T(ε1,ε2,ε3)=( (1,1,1)T , (2,-1,1)T , (0,0,1)T )=(ε1,ε2,ε3)120110111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.则120110111⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭即为所求矩阵.13. 提示：(1)因为T(ε1,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)120111011-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以线性变换T 在基ε1,ε2,ε3下的矩阵为120111011-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.(2)因为(η1,η2,η3)=(ε1+ε2+ε3,ε1+ε2,ε1)=(ε1,ε2,ε3)111110100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，所以T(η1,η2,η3)=T(ε1,ε2,ε3)111 110 100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,ε2,ε3)120111011-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭111110100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=(η1,η2,η3)1111110100-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭120111011-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭111110100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=010 111 012⎛⎫ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭，所以线性变换T在基η1,η2,η3下的矩阵为010 111 012⎛⎫ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭.14. 提示：依题意有T(ε1,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)111213212223313233a a aa a aa a a⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(1)因为(ε3,ε2,ε1)=(ε1,ε2,ε3)001010100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，所以T(ε3,ε2,ε1)=T(ε1,ε2,ε3)001 010 100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,ε2,ε3)111213212223313233a a aa a aa a a⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭001010100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=(ε3,ε2,ε1)1111213212223313233001a a a001 010a a a010 100a a a100-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=(ε3,ε2,ε1)111213212223313233001a a a 001010a a a 010100a a a 100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=(ε3,ε2,ε1)333231232221131211a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭333231232221131211a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭即为所求矩阵. (2)因为(ε1,k ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)1000k 0001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，所以T(ε1,k ε2,ε3)=T(ε1,ε2,ε3)1000k 0001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,ε2,ε3)111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000k 0001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,k ε2,ε3)11000k 0001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000k 0001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,k ε2,ε3)10001k 0001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000k 0001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,k ε2,ε3)111213212223313233a ka a a k a a k a ka a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以111213212223313233a ka a a k a a k a ka a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭即为所求矩阵. (3)因为(ε1+ε2,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)100110001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，所以T(ε1+ε2,ε2,ε3)=T(ε1,ε2,ε3)100110001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,ε2,ε3)111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100110001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1+ε2,ε2,ε3)1100110001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1+ε2,ε2,ε3)100110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100110001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1+ε2,ε2,ε3)11121213211122122212231331323233a a a a a a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎪-+--- ⎪ ⎪+⎝⎭， 所以11121213211122122212231331323233a a a a a a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎪-+--- ⎪ ⎪+⎝⎭即为所求矩阵.15.提示：T(x 2e x ,2xe x ,e x )=((x 2+2x)e x ,(x+1)e x ,e x )=(x 2e x ,xe x ,e x )100210011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，100210011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即为所求矩阵.16.提示：(α1,α2,α3,α4)=2141r r r 2r 11101110102101110111011123110111--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()3242123r r r r r r r 11110121011101110000000000000000++-⨯-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪---- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 故由α1,α2,α3,α4生成的子空间V 的一组基为(1,1,0,2)T ,(1,0,1,3)T .正交化：(1,0,1,3)T -7(1,1,0,2)T /6=(-1,-7,6,4)T /6 // (-1,-7,6,4)T 单位化：√6(1,1,0,2)T /6,√102(-1,-7,6,4)T /102.故空间V 的一组规范正交基为√6(1,1,0,2)T /6, √102(-1,-7,6,4)T /102.17. 提示：先求出一个基础解系，然后正交化、规范化.18. 证明 []T A A ,A (A )A α=αα=ααT T T (A A)=αα=αα=α.19. 提示：(1)关于y 轴对称；(2)投影到x 轴； (3)关于直线y=x 对称； (4)逆时针旋转900.20. 提示：由T(A,B,C,D)=(A ’,B ’,C ’,D ’)，有T((x,y)T )=A(x,y)T .(1)T((x,y)T )=(-x,y)T =10x 01y -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)T((x,y)T )=(x,2y)T =10x 02y ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (3)T((x,y)T )=(2x+2y,-x+y)T =22x 11y ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭.21. 参见P 171页上的例7.21.八、计算实践实践指导：(1)理解线性空间、线性子空间、基、维数和坐标等概念，会求线性空间的基、维数和坐标；(2)了解基变换和坐标变换，会求基的过渡矩阵； (3)了解线性变换的概念，会求线性变换的矩阵；(4)了解内积、Euclid 空间的概念，会用施密特（Schmidt ）方法将线性无关的向量组正交标准化； (5)了解标准正交基、正交矩阵的概念及它们的性质，会求标准正交基.例7.1 设A,B 都是n 阶正交矩阵，证明： (1) A T 是正交矩阵；(2)A -1是正交矩阵； (3)AB 是正交矩阵；(4)A O O B ⎛⎫ ⎪⎝⎭是正交矩阵.提示：(1)A 是正交矩阵 ⇒A T A=E ⇒A T (A T )T =E ⇒A T 是正交矩阵. (2)A 是正交矩阵⇒A -1(A T )-1=A -1(A -1)T =E ⇒A -1是正交矩阵. (3) AB 是正交矩阵⇒AB(AB)T =ABB T A T =E ⇒AB 是正交矩阵.(4) AB 是正交矩阵⇒TT T A O A O A O A O E O B O B O B OB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒A O O B ⎛⎫⎪⎝⎭是正交矩阵.例7.2 设A=(a ij )n 为正交矩阵，证明： (1)det(A)=1或det(A)=-1；(2)当det(A)=1时，a ij =A ij ；当det(A)=-1时，a ij =-A ij ，其中A ij (i, j=1,2,…,n )是元素a ij 的代数余子式. 提示：A 是正交矩阵 ⇔A T A=E ⇒det 2(A)=1⇒det(A)=±1. 另一方面，由A *A=det(A)E ，得A *=det(A)A -1=det(A)A T ，故ij ij ijij A a , A 1,A a ,A 1.⎧==⎪⎨=-=-⎪⎩当当例7.3 设A,B 都是n 阶正交矩阵，且det(A)+det(B)=0，证明：det(A+B)=0. 提示：det(A)+det(B)=0 ⇒det(A)·det(B)=-1. 再由 B T (A+B)A T =B T +A T =(A+B)T⇒det(B)·det (A+B)·det(A)=det (A+B) ⇒-det (A+B)=det (A+B) ⇒det (A+B)=0。

习题七（P274－276）1．设3,R αβ∈，以下哪些函数(,)αβ定义了3R 的一个内积？ （1）1122332332(,)22a b a b a b a b a b αβ=+++-， 否 （2）1122332332(,)a b a b a b a b a b αβ=++-- ， 是（3）222222112233(,)a b a b a b αβ=++ ， 否（4）1133(,)a b a b αβ=+ ， 否 2.以下哪些函数定义了[1,1]C -上的一个内积.（1）1221(,)()()f g f x g x dx -=⎰ （⨯） （2）11(,)()()f g xf x g x dx -=⎰ （⨯） （3）121(,)()()f g x f x g x dx -=⎰（√）（4）11(,)()()f g xf x g x dx -=-⎰（⨯）（5）11(,)()()x f g e f x g x dx --=⎰（√）3．设A 是正定矩阵，在nR 中对任两个向量12(,,,)T n x x x α= ，12(,,,)T n y y y β= ，定义(,)T A αβαβ=，证明：在这个定义下nR 构成欧氏空间，并写出这个空间的柯西——施瓦兹不等式. 证明：（1）(,)()(,)T T T A A βαβααβαβ=== （2）(,)()()(,)T T k k A k A k αβαβαβαβ===（3）设：,(,)()(,)(,)n T T T R A A A γαβγαβγαγβγαγβγ∈+=+=+=+（4）由A 的正定性知(,)0T A αααα=≥，当且仅当0α=时，0TA αα=，即(,)0αα=，从而n R 在(,)T A αβαβ=定义下构成欧氏空间。

又(,)TA αβαβαββ=.柯西——施瓦兹不等式为()T A αβ≤4． 在4R 中，求,αβ之间的夹角,αβ（内积按对应分量乘积之和）.（1）(2,1,3,2)(1,2,2,1)αβ==-（2）(1,1,1,2)(3,1,1,0)αβ==-解：（1）(,)0.,2παβαβ=∴=（2）(,)(,) 3.cos ,αβαβαβαβαβ=====⋅，从而,arc αβ=5．在4R 中求一单位向量与()()()1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,3---正交. 解：设所求向量为1234(,,,)x x x x α=，应有：12341234123400230x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩ 解之得：411423433,0,x x x x x =-==-， 又 222212341x x x x +++=，得：4x =，(,0,,α∴= 6． 把向量组标准正交化（内积为对应分量乘积之和）：1(1,1,0,0)α=,2(1,0,1,0)α=,3(1,0,0,1)α=-。

第七章 线性变换(小结)本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系.线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用.本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换与逆变换; 线性变换的值域与核，秩与零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式.2. 基本结论(1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换.(3) 线性变换的基本运算规律(略).(4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间.(5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }.ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}.(c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n .(d)A 是双射⇔A 是单射⇔ Ker(A )={0}⇔A 是满射.(e)像空间的一组基的原像与核空间的一组基合并就是线性空间V 的一组基:取Im A 的一组基r βββ ,,21,存在,,...,21r ααα使得A i i βα=,i=1,2,…,r. 再取ker A 的基,,...1n r αα+则,,...,21r ααα,,...1n r αα+就是V 的一组基. 二、线性变换与矩阵1.基本概念:(1)线性变换在基下的矩阵:设A ∈L(V),取定n 维线性空间V 的一组基n ααα,...,,21,则A α1, A α2,… ,A αn 可由α1,α2,…,αn 线性表示, 即(A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,矩阵A 称为线性变换A 在此基下的矩阵.(2) 一个线性变换在不同基下的矩阵相似:设n ααα,...,,21,n βββ,...,,21是线性空间V 的两组基,(n βββ,...,,21)=(n ααα,...,,21)P, (A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,则(A β1, A β2,… ,A β n )=(n βββ,...,,21)AP P 1-.2.基本结论(1) 若n ααα,,,21 是线性空间V 的一个基, V n ∈∀βββ,,,21 ,则存在唯一A )(V L ∈,使得A n i i i ,,2,1,)( ==βα.(2) 在取定n 维线性空间V 的一个基之后,将V 的每一线性变换与它在这个基下的矩阵相对应,则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。

第七章 λ矩阵§1 λ-矩阵的概念前面我们介绍的矩阵，它的元素都是一个数，这种矩阵也可称作数字矩阵，下面给出λ-矩阵的定义.定义1 设()(1,2,,;1,2,,)ij a i m j n λ== 均为λ的多项式，那么以()ij a λ为元素的m ×n 矩阵111212122212()()()()()()()()()()n n m m mn a a a a a a a a a λλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A (7.1) 称为λ矩阵或多项式矩阵.显然，数字矩阵是特殊的λ矩阵.λ矩阵的加法、数乘和乘法与数字矩阵的运算相同，并且具有相同的运算规律，这些不再重复叙述和证明.由于λ矩阵的每一个元素都是λ的多项式，所以任何λ-矩阵（7.1)可以惟一地表成以数字矩阵为系数的λ的多项式1110()l l l l λλλλ--=++++A A A A A其中01,,,i A A A 均为m ×n 数字矩阵.例1 设22212(),2231λλλλλλλλ⎡⎤++-+=⎢⎥--⎣⎦A 则A （λ）可以写成2111112().022301λλλ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A 定义2 如果λ矩阵A （λ）中有一个r （r ≥1）阶子式不为零，而所有r +1阶子式（假若有的话）全为零，则称A （λ）的秩为r .零矩阵的秩规定为0.例如，数字矩阵A =（a ij ）n ×n 的特征矩阵λE -A 的秩是n ，因为|λE -A |≠0. 定义3 对于n 阶λ矩阵A （λ），如果有一个n 阶λ矩阵B （λ），使得A (λ)B (λ)=B (λ)A (λ)=E n , （7.2）则称A (λ)是可逆的，此时B (λ)就称为A (λ)的逆矩阵，记为A -1(λ).关于λ矩阵可逆的条件有定理1n 阶λ矩阵A (λ)可逆的充分必要条件为它的行列式|A (λ)|是一个非零的常数.证明 先证必要性.设A (λ)可逆，则在（7.2）式两边取行列式得|A （λ）|·|B （λ）|=1.因为|A （λ）|与|B （λ）|都是λ的多项式，并且它们的乘积等于1，所以它们都是零次多项式，此即|A （λ）|是一个非零的数.再证充分性.设d =|A （λ）|是一个非零常数，A *（λ）是A （λ）的伴随矩阵，它也是一个n 阶λ矩阵，有**11()()()(),2n d λλλλ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A E 故A （λ）可逆，且A -1（λ）=1dA *(λ). 例2 λ矩阵 222213(),35413(),3254λλλλλλλλλλλλλλ++⎡⎤=⎢⎥+++⎣⎦++⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦A B 中，A (λ)是可逆的，但B （λ）不可逆.这是因为|A （λ）|=4,|B （λ）|=-2(λ+1).§2 λ-矩阵的标准型定义4 下列三种变换称为λ-矩阵的初等变换：(1) 互换矩阵的某两行（列）.(2) 用非零的数c 乘矩阵的某一行（列）.(3) 把矩阵中某一行（列）的φ(λ)倍加到另一行（列）上，其中φ(λ)是一个λ的多项式.由单位矩阵E n 经过一次上述初等变换得到的λ矩阵称为初等矩阵.与数字矩阵的讨论相类似，用E （i,j ）,E (i (c )),E (i +j (φ))分别表示由单位矩阵E n 互换i,j 两行（列）；第i 行（列）乘以非零常数c ；第j 行（i 列）的φ(λ)倍加到第i 行（j 列）上所得到的初等矩阵.我们有结论：（A ） 初等矩阵都是可逆的，并且E （i,j ）-1=E (i,j ),E (i (c ))-1=E (i (c -1)),E (i +j (φ)) -1=E (i +j (-φ)).(B) 对一个λ矩阵A （λ）作一次初等行（列）变换，相当于A （λ）左（右）乘一个相应的初等矩阵.定义5 如果λ矩阵A （λ）经过有限次初等变换而化为B （λ)，则称A （λ）与B （λ）等价，记为A （λ）≅B （λ）.定理2 两个λ矩阵A （λ）与B （λ）等价的充分必要条件是存在可逆矩阵P （λ）和Q （λ），使得B （λ）=P （λ）A （λ）Q （λ）.证明 由定义5及（B ）知,A （λ）与B （λ）等价的充分必要条件是存在一系列初等矩阵P 1，P 2，…，P s 与Q 1，Q 2，…，Q t ，使得B （λ）=P s P 2…P 1A （λ）Q 1Q 2…Q t令P （λ）= P s P 2…P 1，Q （λ）= Q 1Q 2…Q t ，因为初等矩阵都是可逆的，它们的乘积还是可逆的，所以P （λ）和Q （λ）均为可逆的，故定理得证.由（A ），（B ），容易证明，λ矩阵的等价关系具有下列性质：(1) 自反性每一个λ矩阵与自己等价.(2) 对称性若A （λ）≅B （λ），则B （λ）≅A （λ）.(3) 传递性若A （λ）≅B （λ），且B （λ）≅C （λ），则A （λ）≅C （λ）.λ矩阵具有多种形式的标准型，在这里我们只介绍其中最基本的一种，即施密斯标准型.为此先证明一个引理.引理 若λ矩阵A （λ）=（a ij (λ)）m ×n 的左上角元素a 11（λ）≠0，并且A （λ）中至少有一个元素不能被a 11（λ）整除，则必存在一个与A （λ）等价的矩阵B （λ），它的左上角元素B 11（λ）也不为零，且b 11（λ）的次数小于a 11（λ）的次数.证明 根据A （λ）中不能被a 11（λ）整除的元素所处位置，分三种情况讨论.（1） 若A (λ)的第一列有一个元素a i 1(λ)不能被a 11（λ）整除，则用a 11（λ）去除a i 1（λ）可得a i 1（λ）=q （λ）a 11（λ）+r （λ），这里r （λ）(≠0)的次数小于a 11（λ）的次数.此时[]111(())(1,)11()()()()()()r i q r i a r r a λλλλλλλ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B 上面右端矩阵B （λ）即为所求.（2） 若A (λ)的第一行有一个元素a 1j (λ)不能被a 11(λ)整除，则这种情况的证法与情况（1）类似.（3） 若A (λ)中第一行与第一列的元素都能被a 11 (λ)整除，但A (λ)中另有元素a ij (λ)(i >1,j >1)不能被a 11 (λ)整除.此时可设a i 1 (λ)= a 11 (λ)φ(λ)，则有[][]1111()111111()()()0()()()()()()(1())()0()()()j r i ij j ij j r i ij j a a a a a a a a a ϕλλλλλϕλλλλϕλλλλϕλ-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A M 上面右端矩阵M (λ)中第一行有一个元素a ij (λ)+a 1j (λ)(1-φ(λ))=f (λ)不能被a 11(λ)整除，这就化到了已经证明的情况（2）.定理3 任一非零的m ×n 的λ-矩阵A (λ)都等价于一个如下形式的矩阵：12()()()()00r m nd d d λλλλ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦J (7.3)其中r ≥1,d i (λ)(i =1,2,…,r )均为首项系数为1的多项式，且1()();1,2,, 1.i i d d i r λλ+=-证明 不妨设a 11(λ)≠0，否则总可以经过适当的行、列交换，使得A (λ)的左上角元素不为零.如果a 11(λ)不能整除A (λ)的所有元素，由引理，可以找到与A (λ)等价的矩阵B 1(λ)，它的左上角元素b 1(λ)≠0，且b 1(λ)的次数小于a 11(λ)的次数.如果b 1(λ)还不能整除B 1(λ)的所有元素，再由引理，可以找到与B 1(λ)等价的矩阵B 2(λ)，它的左上角元素b 2(λ)≠0，且b 2(λ)的次数小于b 1(λ)的次数.如此作下去，将会得到一系列彼此等价的λ-矩阵A (λ),B 1(λ),B 2(λ),….这些矩阵的左上角元素均不为零，而且次数越来越低.由于非零多项式的次数总是非负整数，因此在有限步后，必将得到一个λ矩阵B s (λ)，它的左上角元素b s (λ)≠0，且b s (λ)能整除B s (λ)的所有元素.可设b ij (λ)= b s (λ)q ij (λ)，此时，对B s (λ)作一些适当的初等变换，可使得除左上角元素外它的第一行与第一列的其他元素全为零，即1()000()()0s i b λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≅⎢⎥⎢⎥⎣⎦B A显然，A 1(λ)的元素都是B s (λ)中元素的组合，而b s (λ)能整除B s (λ)的所有元素，所以b s (λ)也能整除A 1 (λ)的所有元素.如果A 1 (λ)≠0，则对于A 1 (λ)重复上述过程，进而可把矩阵化为121()000()0()00d d λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中d 1(λ), d 2 (λ)都是首项系数为1的多项式，且d 1 (λ)| d 2 (λ)(因d 1 (λ)= b s (λ)能整除A 1 (λ)的所有元素)，d 2 (λ)能整除A 2 (λ)的所有元素.如此一直做下去，最后终将A （λ）化为所要求的形式.（7.3）式中的J （λ）称为A （λ）的施密斯标准型.例3 求λ-矩阵2222121()11λλλλλλλλλλλ-+-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥++--⎣⎦A的施密斯标准型.解 对A (λ)作初等变换：[][][][][][][]2213312222,,21(2131()3(1)2223222232()223121121()0011010100000010000λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+---------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-----⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−−→−−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----++⎣⎦⎣⎦−−−−→-++A []32(1)31000000λλλλ+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦上式最后一个矩阵就是所求的施密斯标准型.§3 λ-矩阵的不变因子定义6 设λ矩阵A (λ)的秩为r ≥1,k 是不大于r 的正整数，那么A (λ)中所有k 阶子式的首项系数为1的最大公因式D k (λ)称为A (λ)的k 阶行列式因子.由定义6知，一个秩为r （≥1）的λ矩阵有且仅有r 个行列式因子.关于行列式因子有下面重要结论.定理4 等价的λ矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子.证明 我们只需证明，经过一次初等变换后λ矩阵的秩和行列式因子是不变的.设λ矩阵A (λ)经过一次初等变换变成B （λ），f (λ)与g (λ)分别是A (λ)与B （λ）的k 阶行列式因子.下面分三种情况证明f (λ)=g (λ).（1） A (λ)[,]i j −−−→ B （λ）.这时B （λ）的任一k 阶子式或者等于A (λ)的某一个k 阶子式，或者与A (λ)的某一个k 阶子式反号，因此f (λ)是g (λ)的因式，即f (λ)|g (λ). （2） A (λ)[()]i c −−−→ B （λ）(c ≠0).这时B （λ）的任一k 阶子式或者等于A (λ)的某一个k 阶子式,或者等于A (λ)的某一个k 阶子式的c 倍，因此f (λ)是g (λ)的因式，即f (λ)|g (λ). （3） A (λ)[()]i j ϕ+−−−−→ B （λ）.这时B （λ）中那些包含i 行与j 行的k 阶子式和不包含i 行的k 阶子式都等于A (λ)中对应的k 阶子式，而B （λ）中那些包含i 行但不包含j 行的k 阶子式，恰好等于A (λ)中对应的k 阶子式与另一个k 阶子式的φ(λ)倍之和，因此f (λ)是g (λ)的因式，即f (λ)|g (λ).对于列变换可以完全一样地讨论.于是经过一次初等变换将A (λ)变成B （λ），总有f (λ)|g (λ).由于初等变换具有可逆性，所以B （λ）也可以经过一次初等变换变成A (λ)，同样也有g (λ)|f (λ)，故f (λ)=g (λ).根据上述讨论和秩的定义可知，A (λ)与B （λ）既有相同的各阶行列式因子，又有相同的秩.设A (λ)的Smith 标准型为(7.3),则A (λ)≅ J （λ）.由定理4得A (λ)的各阶行列式因子为1121212()(),()()(),,()()()(),r r d d d d d d λλλλλλλλλ===D D D （7.4）于是有112211()(),()(),,()()(),()r r r d d d d λλλλλλλλ-=== D D D D （7.5） 这表明任一λ矩阵的施密斯标准型是惟一的.定义7 在A (λ)的施密斯标准型（7.3)中，多项式d 1(λ),d 2(λ),…,d r (λ)称为A (λ)的不变因子.关系式(7.4)或(7.5)给出了A (λ)的不变因子与行列式因子的关系，其不变因子完全由行列式因子所惟一确定，它们都是在初等变换下A (λ)的不变量.于是得到定理5 A (λ)≅B （λ）的充分必要条件是A (λ)与B (λ)有相同的行列式因子，或者说有相同的不变因子.例4 在例3中，A (λ)的不变因子为d 1(λ)=1, d 2 (λ)=λ, d 3 (λ)=λ(λ2+1).A (λ)的行列式因子为D 1（λ）=1,D 2(λ)=λ,D 3(λ)=λ2(λ2+1).§4 矩阵的若当标准型本节在复数范围内介绍n 阶矩阵的若当标准型.设A 是一个n 阶复矩阵，A (λ)=λE -A 是A 的特征矩阵，则A (λ)必有n 个非零的不变因子，把每一个次数大于零的不变因子都分解为互不相同的一次因式的方幂之积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为A (λ)的初级因子.由于特征矩阵A (λ)=λE -A 完全由矩阵A 所确定，因此这里A (λ)的不变因子及初级因子也常常称之为A 的不变因子及初级因子.例5 求矩阵1212⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦A 的全部不变因子和初级因子.解 因为A 的特征矩阵为1212λλλλλ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-=⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦E A 所以λE -A 的行列式因子为D 4（λ）=|λE -A |=（λ2-1）（λ2-4），D 3（λ）=D 2（λ）=D 1（λ）=1；A 的不变因子为123443()()()1,()()(1)(1)(2)(2)()d d d d λλλλλλλλλλ=====-+-+D D 而次数大于零的不变因子只有d 4(λ)，因此A 的全部初级因子为λ-1,λ+1,λ-2,λ+2.定义8 形如1(,)1s sa a a s a ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ J （7.6） 的矩阵称为若当（Jordan ）块，其中a 是复数.由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵.比如0310,,11310110i i i ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 都是若当块，而111521212i i i ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦ 是一个若当形矩阵.不难算出若当块J (a,s )的初级因子是（λ-a ）s .事实上，因为J （a,s ）的特征矩阵为1(,),1a a a s a λλλλ-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦E J显然它的行列式为(λ-a )s ，且它的左下角那一个s -1阶子式为（-1）s -1，所以J （a,s ）的行列式因子为D 1(λ)=…=D s -1(λ)=1,D s (λ)=(λ-a )s ，因此它的不变因子为d 1(λ)=…=d s -1(λ)=1,d s (λ)=(λ-a )s ,由此即得J （a,s ）的初级因子是（λ-a ）s .下面我们叙述矩阵相似的判别定理.定理6 两个n 阶矩阵A 与B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵λE -A 与λE -B 等价，或者说A 与B 有相同的不变因子，或者说A 与B 有相同的初级因子.证明 （略）.有了以上的一些概念和结论，现在来介绍矩阵的若当标准型.设n 阶复矩阵A 的全部初级因子为（λ-λ1）k 1,（λ-λ2）k 2,…,（λ-λt ）kt ,每一个初级因子（λ-λi ）k i 对应一个k i 阶若当块1,1i i i i λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J 由所有这些若当块构成的准对角矩阵12i ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J J J J 称为矩阵A 的若当形矩阵，或A 的若当标准型.不难证明，矩阵A 与它的若当标准型具有相同的初级因子.于是我们得到定理7 任一n 阶复矩阵A 都与它的若当标准型J 相似，即存在可逆矩阵P ，使P -1AP =J ，并且除了其中若当块的排列次序外，这个若当标准型是由A 惟一确定的.由于|λE -A |=|λE -J |=(λ-λ1)k 1(λ-λ2)k 2…(λ-λt )kt所以若当形矩阵J 的主对角线上的元素λ1,λ2,…,λs （可能有些相同）全为A 的特征值.因为对角矩阵是特殊的若当形矩阵，即它是由n 个一阶若当块构成的若当形矩阵，因此我们有推论 n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是它的初级因子全为一次的. 例6 求矩阵126103114--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 的若当标准型.解 先求λE -A 的初级因子：222126013213011114114100100,01101001210021λλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-⎡⎤--+⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=→----+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→→--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦⎣⎦E A 所以A 的全部初级因子为λ-1,(λ-1)2，因此A 的若当标准型是100.010011⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J习 题 七1. 求下列λ矩阵的Smith 标准型.2322222212(1);(2);531(1)000(1)0(3);(4).000100(1)002λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤-⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎢⎥+-⎣⎦++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦.2. 求下列λ矩阵的不变因子.1020001(1);(2).1200001200a b b a a b b a λλλλλλλ+⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+⎢⎥--⎢⎥⎣⎦-+⎣⎦3. 证明12211000010000000001n n n a a a a a λλλλλ---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦的不变因子为d 1(λ)=…=d n -1(λ)=1,d n (λ)=λn +a 1λn -1+…+a n -1λ+a n .4. 证明000000000100010a a λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦与（a 为任一非零实数）相似.5. 求下列复矩阵的若当标准型. 120131616(1);(2).020576221687⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦。

第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。