线性代数第7章

第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

第7章在科技及工程中的应用实例 (1)7.1 由拉压杆组成的桁架结构 (1)7.2 格型梯形滤波器系统函数的推导 (1)7.3 计算频谱用的DFT矩阵 (2)7.4 显示器色彩制式转换问题 (4)7.5 人员流动问题 (5)7.6 二氧化碳分子结构的振动频率 (5)7.7 二自由度机械振动 (6)7.8 FIR数字滤波器最优化设计[12] (8)7.9 弹性梁的柔度矩阵 (9)7.10 用二次样条函数插值5个点 (11)7.11 飞行器三维空间运动的矩阵描述 (12)7.12 金融公司支付基金的流动 (14)7.13 质谱图实验结果分析 (15)7.14 用特征方程解Fibonacci数列问题 (16)7.15 简单线性规划问题 (18)第7章 在科技及工程中的应用实例7.1 由拉压杆组成的桁架结构由13根拉压杆件组成的桁架结构，如图7-1所示，13个平衡方程已给出，它们来自6个中间节点，每个节点有x,y 两个方向的平衡方程，还有一个整体结构的y 方向平衡方程。

现求其各杆所受的力。

解：按照题给方程组改写成矩阵形式，令112211cos 14/16^214^20.6585cos 16/16^216^20.7071sin 16/16^214^20.7526k k k θθθ==+===+===+=列方程时假设各杆的受力均为拉力，其相应的方程组及化为矩阵后的形式为： 22122634152121335718438910156935211721112123813211F +k F =0 k 100000000000-F +F =0 0-F =2000F +k F -k F =0k F +F +k F =-1000F +k F -F =0 k F +F = -500F -k F -F =0 F +k F = 4000k F -F =0, k F +F =-500F +k F = 2000F +k F =0⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭2123131322321000100000000010000000000-k 001k 00000000k 0 10k 00000000000-1001k 000000000000k 100000000-k -100010000000k 00010000000000-1000k 000000000000k 100000000k 000100000000000k 01⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎦12345678910111213F 0F 0F 2000F 0F -1000F 0F -500(7.1.1)0F 4000F 0F -500F 2000F 0F ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥=⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎣⎦⎣⎦ 将它看作A*F=B ，编成的程序为pla701，核心语句为给A,B 赋值，再求F=A\B ，结果为： F=[ -7236; 5117; 2000; -6969; 2812; 5117; -4883; -3167; 1883; 6969; -6906; 4383; 4883 ] 其中负号表示杆受的是压力。

第七章 欧几里得空间I. 单项选择题1. 欧式空间V 内的s 个非零向量12,,,s ααα，如果两两正交，则（ ）⑴线性相关 ⑵线性无关 ⑶互相可以线性表示 ⑷两两夹角为零2. 给定两个向量1123a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，23241α-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且内积12,1αα=-，则a 为（ ） ⑴2- ⑵34- ⑶14- ⑷123. n 维欧式空间V 的线性变换σ是可逆的对称变换当且仅当σ关于V 的任意一组标准正交基的矩阵是（ ）⑴可逆变换 ⑵对称变换 ⑶正交变换 ⑷可逆的对称变换 4. 正交变换在标准正交基下的矩阵是（ ）⑴初等矩阵 ⑵正定矩阵 ⑶正交矩阵 ⑷实对称矩阵 5. 设A 为n 阶对称矩阵，若1A -存在，则1A -是（ ）⑴正交矩阵 ⑵正定矩阵 ⑶对称矩阵 ⑷反对称矩阵 6. 下列有关正交变换的命题中，正确的是（ ） ⑴保持任意向量长度不变的线性变换是正交变换⑵保持任意两个非零向量夹角不变的线性变换是正交变换 ⑶正交变换是对称变换⑷正交变换在任意一组基下的矩阵是正交矩阵7. 在欧式空间V 中，两组标准正交基间的过渡矩阵是（ ）⑴正定矩阵 ⑵对称矩阵 ⑶正交矩阵 ⑷转置矩阵 8. 实上三角矩阵为正交矩阵时，必为对角矩阵，其对角线上的元素为（ ） ⑴1 ⑵-1 ⑶0 ⑷±1 9. 欧式空间中线性变换σ是正交变换的充要条件是（ ）⑴σ为对称变换 ⑵σ保持向量的长度不变 ⑶σ保持向量间的夹角不变 ⑷保持向量间的正交关系不变10. n 阶实矩阵T 是正交矩阵当且仅当T 的行向量组是（ ）⑴正交组 ⑵标准正交组 ⑶线性无关组 ⑷单位向量组 11. 正交矩阵的实特征值只能是（ ）⑴正实数 ⑵负实数 ⑶1或-1 ⑷零12. 矩阵11211211213121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭是（ ） ⑴正交矩阵 ⑵非正交矩阵 ⑶正定矩阵 ⑷实反对称矩阵13. 设1111A ⎛⎫=⎪⎝⎭，P 为二阶正交阵，且'0002P AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则P =（ ）⑴12121212⎛⎫⎪-⎝⎭⑵⎛ -⎝⑶⎛-⎪⎝⎭ ⑷12121212-⎛⎫⎪⎝⎭14. 设()12,a a α=，()12,b b β=为二维实空间2R 中任意两个向量，2R 对以下规定的哪个内积作成欧式空间（ ） ⑴1221,a b a b αβ=+ ⑵1122,a b a b αβ=-⑶1122,1a b a b αβ=++ ⑷()()121122,2a a b a a b αβ=+++II. 填空题 1. 设12,,,s ααα是欧式空间V 中的s 个向量，如果12,,,s ααα两两正交，则它们______.2. 欧式空间V 内任意两个向量,αβ有,αβαβ≤，等号成立的充要条件是_________.3. 欧式空间中，正交向量组必__________.4. 在欧式空间V 中，设(),,.L V R V σλς∈∈∈如果(),σςλς=且ς________，则称λ为________，ς为________.5.如果向量组()12,,,2s s ααα≥中任一向量都不能被其余向量线性表示，则此向量组________.6. 如果对称矩阵A 为非奇异矩阵，则1A -也是________.7. 正交变换σ保持向量的内积不变，因而它保持向量的________和________不变. 8. 设实数域R 上的一个n 阶方阵T 满足'',T T TT E ==即________，则称T 为________. 9. 设σ为n 维欧式空间V 的一个线性变换，若σ对一组基12,,,n ααα中的向量有()()1111,,,1,2,,i n ασααα==，则σ________正交变换.10. 设()A ij a =是数域K 上的一个n 阶方阵，如果________，则称A 是一个对称矩阵，如果________，则称A 是一个反对称矩阵.11. 正交矩阵A 的行列式A =________或________.12. 设σ是欧式空间V 内的一个对称变换，则σ的对应于不同特征值的特征向量________.13. 欧式空间中的正交变换之积________正交变换. 14. 对称变换在标准正交基下的矩阵是________矩阵.15. 设A 是一个n 阶实对称矩阵，则存在n 阶______，使1'T AT T AT D -==为对角形矩阵. 16. 设V 是一个n 维欧式空间，令()0n 表示V 中全体正交变换所成的集合，则()0n 具有性质⑴_______________；⑵_______________；⑶_______________.17. 设σ是欧式空间V 内的一个线性变换，若对V 中任意向量,αβ都有()(),,ασβαβ=，则称σ为____________.18. 设σ是n 维欧式空间V 内的一个线性变换，如果对任意,V αβ∈，有()(),,αβασβ=，则称σ为一个____________.19. 欧式空间V 中的线性变换σ称为反对称的，如果对V 中任意向量,αβ，都有_________.20. 设(1α=，(2α=-，(3α=-，则123,,ααα是3R 的一个标准正交基，因为____________，____________.III. 判断题1. 设,αβ是欧式空间V 中的任意两个向量，则,αβαβ≤.2. 设()12,a a α=，()12,b b β=为二维实空间2R 中任意两个向量，规定内积：()()1212,a a b b αβ=++，则,0β≥，当且仅当0α=时，,0αα=.3. 令2R 为实数域上全体二维向量所组成的线性空间，()12,a a α=，()12,b b β=为其中任意两个向量，规定：()12122,a a b a b αβ=++，则,,αββα=.4. 实对称矩阵的特征值必为实数.5. 在某一组基下的矩阵是实对称矩阵的线性变换是对称矩阵.6. 对称变换的特征值都是实数.7. 对称变换在任意一组基下的矩阵都是实对称矩阵.8. 保持任意两个非零向量夹角不变的线性变换一定是正交变换.9. 设()12,a a α=，()12,b b β=为二维实空间2R 中任意两个向量，2R 对以下所规定的内积作成欧式空间，1221,a b a b αβ=+.10. 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.11， 在4R 中，向量()1,2,2,3α=，()3,1,5,1β=的夹角为4π.12. 正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵.IV. 简答（或计算）题1. 求与()1,2,1,1α=-，()2,3,1,1β=，()1,1,2,2γ=---都是正交的向量.2. 在欧式空间4R 中，求()1,2,2,3α=，()3,1,5,1β=的夹角.3. 在欧式空间4R 中，求()2,1,3,2α=，()1,2,2,1β=-的夹角.4. 设()()()1231,0,2,0,0,2,0,3,2,6,4,9ααα===，试将()123,,L ααα的基扩充成欧式空间4R 的一组基.5. 求线性方程组123452111311101032112x x x x x ⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭的解空间的标准正交基.6. 设220212020A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，求正交矩阵T ，使'T AT 成对角形.7. 求下列矩阵123213336A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值和特征向量，并将特征向量标准正交化.8. 用正交变换化二次型222123121323222f x x x x x x x x x =+++++为标准形.9. 用正交变换化二次型123444f x x x x =+为标准形.10. 设0111101111011110A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，求正交矩阵U ，使'U AU 成对角形. 11. 设12345,,,,εεεεε是五维欧式空间V 的一组标准正交基，()1123,,V L ααα=，其中11521243123,,2αεεαεεεαεεε=+=-+=++，求1V 的一组标准正交基.12. 在[]4R x中定义内积为：()()11,f g f x g x dx -=⎰，求[]4R x 的一组标准正交基（对基231,,,x x x 正交单位化）13. 求一个正交变换，把二次型()222123123121323,,44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-化为标准形.14. 已知二次型()22212312323,,2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>，通过正交变换化成标准形：22212325f y y y =++，求参数a 及所用的正交变换矩阵.*15. 设n 阶方阵A 有n 个特征值0,1,2,n 1-，且方阵B 与A 相似. 求B E +，这里E 为n 阶单位矩阵.*16. 设二次型222123122313222f x x x ax x bx x x x =+++++，经正交变换X UY =化成22232f y y =+，其中()'123,,X x x x =和()'123,,Y y y y =是三维列向量，U 是三阶正交矩阵.试求,a b .*17. 欧式空间4R 中，若基()()()()12341,1,0,0,1,2,0,0,0,1,2,11,0,1,1αααα=-=-==的度量矩阵为：23013601001391197A -⎛⎫⎪--⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. ⑴求基()()()()12341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1εεεε====的度量矩阵； ⑵求向量γ，它与以下向量都正交，()()()1231,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,3ςςς=-=--=. *18. 在2R 中，已知基()()121,0,0,1αα==的度量矩阵1112A ⎛⎫=⎪⎝⎭. 求2R 的一个标准正交基，并验证该基的度量矩阵是1001E ⎛⎫=⎪⎝⎭. *19. 设12345,,,,εεεεε是五维欧式空间的一个标准正交基，()1123,,V L ααα=，其中11521243123,,2αεεαεεεαεεε=+=-+=++，求1V 的一个标准正交基.*20. 设M 是欧式空间3R 的二维子空间，取其基()()121,1,2,2,2,3αα==. 求M ⊥.*21. 设V 为四维欧式空间，1234,,,εεεε为V 的一个标准正交基，子空间()12,M L αα=，其中1122123,αεεαεεε=+=+-. 求M ⊥.*22. 设4R 中的子空间M 是齐次线性方程组123412412342303220390x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+-=⎨⎪++-=⎩的解空间，试分别求M ，M ⊥的基. 并写出以M ⊥为解空间的齐次线性方程组.*23. 已知'100030007Q AQ ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中0Q ⎛⎫- =- ⎪⎝⎭，302032225A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭.求A 的特征值与特征向量.*24. 已知6,3,3是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，()'11,1,1ς=是属于特征值6的一个特征向量.V. 证明题1. 证明：对欧式空间中任意向量,αβ，下列等式成立：222222αβαβαβ++-=+.2. 在欧式空间中，若向量α与β正交. 求证：220αβαβ+--=.3. 设123,,,n αααα是欧式空间V 的一组基. 证明：若1,0(1,2,,)i n βα==，则0β=.4. 设α与β为n 维欧式空间V 中两个不同的向量，且1αβ==. 证明：,1βα≠.5. 设设123,,,n αααα是欧式空间V 的一组基. 证明：如果V γ∈，使1,0(1,2,,)i n γα==，则0r =.6. 设V 为 n 欧式空间，12,V γγ∈，如果对V 中任意向量α均有12,,γαγα=，则12γγ=.7. 设β与123,,,n αααα都正交. 证明：β与123,,,n αααα的任意线性组合都正交.8. 设123,,,n αααα是欧式空间V 内的n 个非零向量且它们两两正交. 证明：123,,,n αααα线性无关.9. 设A 为实对称矩阵. 证明：0A =充要条件是20A =. 10.设12,,,mααα是欧式空间V内的一个向量组，令111212122212,,,,,,,,,m m m m m mααααααααααααααα⎛⎫⎪⎪∆= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 证明：当且仅当0∆≠时，12,,,m ααα线性无关.11. 设,στ是n 维欧式空间V 的两个线性变换. 证明：στ也是V 的正交变换. 12. 证明：实对称矩阵A 正定的充要条件是'A B B =，其中'B 为可逆矩阵. 13. 设,A B 都是正交矩阵，且A B =-. 证明：0A B +=. 14. 证明：对称的正交矩阵的特征值必为1+或1-.15. 设σ是欧式空间V 中对称变换. 证明：σ对应于不同特征值1,2λλ的特征向量12,ςς彼此正交.16. 设,A B 均为n 阶对称矩阵. 证明：AB 为对称矩阵的充要条件是AB BA =.17. 设A 为实对称矩阵，B 为反对称矩阵，且AB BA =，A B -是非奇异矩阵. 证明：()()1A B A B -+-是正交矩阵.18. 设A 为n 阶反对称矩阵，若A 为非奇异方阵. 证明：1A -也是反对称方阵.19. 设可逆矩阵A 的伴随矩阵A *为反对称矩阵. 证明：A 的转置矩阵'A 也是反对称矩阵. 20. 设,ατ均为欧式空间V 的两个对称变换. 证明：σττσ+也是V 的对称变换.21. 设α是n 维欧式空间V 中的一个非零向量. 证明：{},0M V ξξα=∈=是V 的子空间.22. 证明：第二类正交变换一定有特征值-1. 23. 设A 为正交矩阵. 证明：A *也是正交矩阵. 24. 证明：在欧式空间中，对任意向量,ξη均有22,1414ηξηξη=+--.25. 设12,,,n ααα是n 维欧式空间V 的一个基. 证明：12,,,n ααα是标准正交基的充要条件是对V 中任意1122n n x x x αααα=+++，1122n n y y y βααα=+++，1122,n n x y x y x y αβ=+++.*26. 设12,,,n εεε是n 维欧式空间的的一个基. 证明：12,,,n εεε是标准正交基的充要条件是任意向量α的坐标可由内积表出：1122,,,n n αεεαεεαεε=+++.*27. 设12,,,n εεε是n 维欧式空间V 的一个标准正交基，n 阶实矩阵()ij A a =是此基到基12,,n ηηη的过渡矩阵. 证明：12,,n ηηη是标准正交基的充要条件是A 为正交矩阵.*28. 证明：有限维欧式空间存在标准正交基. *29. 设12,,,m ααα是n 维欧式空间V 的一个标准正交基. 证明：对任意V ξ∈，以下不等式成立：2211,mi αξ=≤∑.*30. 证明：n 阶实对称矩阵A 是正定的，当且仅当存在n R 一个基，使A 为其度量矩阵. *31. 设,A B 是两个n 阶正交矩阵. 证明：1AB -的行向量构成欧式空间nR 的一个标准正交基.*32. 证明：两个有限维欧式空间同构的充要条件是它们的维数相同.*33. 证明：n 维欧式空间V 与'V 同构的充要条件是，存在双射f ：'V V →，并且对V 中任意向量,ξη，有,(),()f f ηξη=.*34. 设f 是欧式空间V 到'V 的一个同构映射. 证明：1f -是'V 到V 的同构映射.*35. 设()12,,,,1,2,,i i i in a a a i n α==是n 维欧式空间n R 的向量组. 证明：110,1,2,,;,0nnij ji j j i j a xi n αα=====∑∑的解空间同构.*36. 证明：实系数线性方程组1,1,2,,nij jj j a xb i n ===∑⑴有解的充要条件是向量()12,,,nn b b b R β=∈与齐次方程组10,1,2,,nij j j a x i n ===∑⑵的解空间正交.*37. 设A 是n 阶正定矩阵，E 是n 阶单位矩阵. 证明：A E +的行列式大于1.。