复变函数的幂级数展开lixh

复变函数的幂级数展开
• 一、重点与难点 • 二、典型例题 • 三、小结
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一、重点与难点
重点： 重点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数 难点： 难点：函数展开成洛朗级数
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1.复数列 1.复数列
设 {α n } ( n = 1,2,L) 为一复数列, 其中
α n = an + ibn , 又设 α = a + ib 为一确定的复数 ,
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∞
三、典型例题
判别级数的敛散性. 例1 判别级数的敛散性 ∞ 1 ( 4) ∑ . n n =1 ( 2 + 3 i ) 1 , 设 αn = 解 n ( 2 + 3i )
αn 1 1 因为 lim = lim < 1, = n →∞ α n →∞ 2 + 3i 13 n +1
(7 ) (1 + z ) = 1 + αz + L+
α
α (α − 1)
2! n!
z +
2
α (α − 1)(α − 2)
3! z n + L,
z3 +
α (α − 1)L(α − n + 1)
( z < 1)
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6. 洛朗级数
1) 定理 设 f ( z) 在圆环域R1 < z − z0 < R2 内处处解
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n =1
∑ fn ( z ) = n =1
∞
f1 ( z ) + f 2 ( z ) + L + f n ( z ) + L
∞
sn ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + L + f n ( z )
4. 幂级数
1) 在复变函数项级数中 形如 在复变函数项级数中,
∞
cn ( z − a)n = c0 + c1 ( z − a) + c2 ( z − a)2 + L ∑
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z2 z4 z 2n (5) cos z = 1 − + − L + ( −1)n + L, 2! 4! ( 2n)!
( z < ∞)
z2 z3 z n+1 (6) ln(1 + z ) = z − + − L + ( −1)n + L, 2 3 n+1 ∞ z n +1 = ∑ ( −1)n ( z < 1) n+1 n=0
∞ 1 2 n n n n (3) = 1 − z + z − L+ (−1) z + L = ∑(−1) z , 1+ z n=0 ( z < 1) z3 z5 z 2 n+1 (4) sin z = z − + − L + ( −1)n + L, 3! 5! ( 2n + 1)! ( z < ∞)
n=0
+ cn ( z − a)n + L
的级数称为幂级数 的级数称为幂级数. 幂级数
当 a = 0 时,
cn z n = c0 + c1 z + c2 z 2 + L + cn z n + L . ∑
n=1
∞
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2)收敛定理 2)收敛定理 ----阿贝尔 阿贝尔Abel定理 阿贝尔 定理
cn z n 在 z = z0 ( ≠ 0) 收敛 那末对 收敛, 如果级数 ∑
1) 定义 设{α n } = {an + bn } ( n = 1,2,L)为一复数列 , 表达式
∑α n = α1 + α 2 + L + α n + L n =1
∞
称为复数项无穷级数. 称为复数项无穷级数 部分和 其最前面 n 项的和 sn = α 1 + α 2 + L + α n 称为级数的部分和. 称为级数的部分和
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y
收敛圆 收敛半径
o
α
R.
.
β
x
注意 在收敛圆周上是收敛还是发散 不能作出 在收敛圆周上是收敛还是发散, 一般的结论, 要对具体级数进行具体分析. 一般的结论 要对具体级数进行具体分析
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4)收敛半径的求法 4)收敛半径的求法 方法1 方法1: 比值法
1 cn +1 如果 lim = λ ≠ 0, 那末收敛半径 R = . n →∞ c λ n
判别级数的敛散性. 例1 判别级数的敛散性
1 + 5i ; ( 2) ∑ 2 n =1
n
∞
26 1 + 5i 解 因为 , = 2 2
n
n
26 lim ≠ 0, n→ ∞ 2
n
1 + 5i 所以 ∑ 发散. 2 n=1
绝对收敛 条件收敛
∞
∞
∞
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3.复变函数项级数 复变函数项级数
设 { f n ( z )} ( n = 1,2,L) 为一复变函数序列 ,
内有定义. 其中各项在区域 D内有定义.表达式 内有定义 称为复变函数项级数, 称为复变函数项级数 记作 ∑ f n ( z ) . 级数最前面 n 项的和 称为这级数的部分和. 称为这级数的部分和. 部分和
如果任意给定 ε > 0, 相应地都能找到一个正 数
N (ε ), 使 α n − α < ε 在 n > N 时成立 ,
那末 α 称为复数列 {α n } 当 n → ∞ 时的极限 ,
记作
lim α n = α .
n→ ∞
此时也称复数列 {α n } 收敛于 α .
3
2.复数项级数 2.复数项级数
方法2: 根值法 方法
如果 lim cn = λ ≠ 0, 那末收敛半径 R =
n n→ ∞
1
即
1 λ , 0 < λ < +∞; λ = 0; R = + ∞, 0, λ = +∞ .
λ
.
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5)幂级数的运算与性质 5)幂级数的运算与性质
(1)设 f ( z ) = ∑ an z n , R = r1 ,
= = ∞ = =
∞
∞
∞
n =1
5
3)复级数的绝对收敛与条件收敛 复级数的绝对收敛与条件收敛 收敛, 如果 ∑ α n 收敛 那末称级数
n =1 ∞
绝对收敛. ∑α n为绝对收敛 n =1
∞
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数. 条件收敛级数
∑α n绝对收敛 ⇔ ∑ an与∑ bn绝对收敛 . n =1 n =1 n =1
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2) 复级数的收敛与发散
如果部分和数列 { sn } 收敛, 那末级数 ∑ α n收敛 ,
n=1
∞
并且极限 lim sn = s 称为级数的和 .
n→ ∞
如果部分和数列 { sn } 不收敛 , 那末级数 ∑ α n发散 .
∞
充要条件 必要条件
∑αn收敛⇔ ∑an与∑bn都收敛 n=1 n=1 n=1 ∑αn收敛⇒limαn = 0 n→∞ n=1
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f (z) =
n= −∞
cn ( z − z0 ) n ∑
∞
f (z )在圆环域内的洛朗 在圆环域内的洛朗 洛朗(Laurent)级数 级数. 级数
在圆环域内的洛朗展开式 函数 f (z ) 在圆环域内的洛朗展开式 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负 幂项的级数是唯一的, 的洛朗级数. 幂项的级数是唯一的 这就是 f (z) 的洛朗级数
n= 0
∞
g ( z ) = ∑ bn z n , R = r2 .
n= 0
∞
f ( z ) ± g ( z ) = ∑ an z n ± ∑ bn z n = ∑ (an ± bn ) z n ,
n= 0 n= 0 n= 0
∞
∞
∞
f ( z ) ⋅ g( z ) = (∑ an z ) ⋅ (∑ bn z ),
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2)将函数展为洛朗级数的方法 将函数展为洛朗级数的方法
1 f (ζ ) 根据洛朗定理求出系数 cn = ∫ (ζ − z0 )n+1 dζ , 2π i C ∞
(1) 直接展开法
然后写出 f ( z ) =
(2) 间接展开法
n = −∞
cn ( z − z 0 ) n . ∑
根据正、负幂项组成的的级数的唯一性 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可 用代数运算、代换、 用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .
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三、典型例题
判别级数的敛散性. 例1 判别级数的敛散性
(1)
1 i ∑ n + 2n ; n =1
∞
∞
1 解 因为 ∑ 发散， 发散， n=1 n
∞
1 收敛， ∑ 2n 收敛， n =1
∞
1 i 所以 ∑ + n 发散. 2 n=1 n
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三、典型例题
n=0 ∞
泰勒级数
1 (n) 其中 cn = f ( z0 ), n = 0, 1, 2,LL n!
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2)常见函数的泰勒展开式 常见函数的泰勒展开式 2 n n ∞ z z z z (1) e = 1 + z + + L + + L = ∑ , ( z < ∞ ) 2! n! n= 0 n! ∞ 1 ( 2) = 1 + z + z 2 + L + z n + L = ∑ z n , ( z < 1) 1− z n= 0