第13讲-计算分析-1

本讲主要学习生活中的两个常见问题（1）钟表问题： 在这节课中我们将在学生会认识钟表的基础上，引导学生进一步学习时间的计算问题.使学生会计算从某一个时段，到另一个时段所经过的时间，会根据经过的时间来计算最后的时刻.通过本节课的学习更好的来认识时刻，初步掌握时刻和时间的区别.（2）乘车问题在生活中，我们经常要遇到一个人外出乘车，一天中要乘几次车；乘船去游玩，怎样安排座位等问题.这些问题我们要考虑到人数和船（车）的数量，然后合理安排.在本节课中我们就要研究怎样在乘车坐船过程中进行统筹规划.在学习的过程中，可培养学生有序的思考问题的能力，另外可借助画表来进行分析.（1）钟表问题 研究时间问题，小朋友们首先要注意，从钟面上能直接读出来的是“时刻”.也就是我们通常所说的“几点”；从一个时刻到另一个时刻的间隔是“时间”，也就是我们通常所说的“几小时”.只有区分了“时刻”和“时间”，我们才能更快的解决时间问题.（2）乘车问题在日常生活中，人们要外出学习、工作或活动，就要乘车或坐船.在城市里，一个人外出乘车，有的一天中要乘几次车.在乘车、坐船活动中，怎样来合理安排座位，我们常常会遇到一系列这样的问题.解决这一类实际问题，关键是要从生活实际出发，弄清题意，从条件或问题入手，进行合乎情理的分析推理，从而找到解决问题的方法.最后求出的结果，要检查是否符合实际.模块一、钟表问题【例 1】 一家商店的门口挂了一块牌子，上面写了上午开门的时间和下午关门的时间.你能算出这家商店一天营业几小时吗?例题精讲知识精讲教学目标第十三讲：时间与乘车问题【解析】上午8：00就是8时，而下午7：00，时针已从12 时走过，于是我们分两段来计算：从早晨8：00到中午12：OO，经过了4个小时，从中午12：OO到下午7：00，经过了7小时，4+7=11小时．列式计算为：(12-8)+7=4+7=11(小时)．也可以用24小时记时，晚上7点就是19点，所以过了19-8=11（小时）【巩固】早上，卖牛奶的阿姨每隔半小时会经过晶晶家一次，晶晶6时57分出去买牛奶时，隔壁的奶奶告诉她卖牛奶的阿姨在6时50分经过了她家，那么晶晶几时几分钟后出来就能买到牛奶了？【解析】卖牛奶的阿姨6时50分经过了晶晶家，那么她下次再经过就应该是半小时即30分钟以后，即7时20分.从6时57分到7时20分，要经过23分钟.【例2】小丽家的钟停了，电台广播下午2时时，妈妈跟电台对表，不小心把时针与分针颠倒了，小丽放学回家见钟才2时整，大吃一惊．问：小丽回家时，正确的时间是几时几分?正确时间颠倒后【解析】电台广播下午2时时，妈妈把时针和分针颠倒了，此时钟面上的时间为12时10分，小丽放学回家见钟是2时整，则钟走了1时50分，所以，这时正确的时间是3时50分．【例3】下面是反射在镜子中的钟面时针和分针的位置，原来钟面的时刻是几时几分?【解析】小朋友只要用镜子实验一下，就会发现，任何物体经过镜面反射，它的位置会发生变化，右边的在镜子里就成了左边.左边的在镜子里就成了右边.根据这一规律，不难看出时针应该指在7时多的位置，分针应该指在4的位置上.原来钟面的时刻是7时20分.【巩固】下面是反射在镜子中的钟面时针和分针的位置，原来钟面的时刻是几时几分?【解析】第一个钟面上原来的时刻是1时半，第二个钟面上原来的时刻是3时40分.【巩固】星期日，小龙在家要写一篇作文．开始时，他从镜子里看了一下钟，写完后又从镜子里看了一下钟，见下图．你知道写这篇作文他用了多少时间吗?【解析】图上钟表显示的时间是镜子里面的时间，不难看出图(1)表示的正确时刻是8时20分，图(2)表示的正确时刻是9时30分，经过的时间是1小时10分．小龙写这篇作文用了1小时10分．【例4】蜗牛从12厘米深的杯底往上爬，每爬3厘米要用3分钟，然后停2分钟，问蜗牛从杯底爬到杯口时要用多少时间?【解析】蜗牛爬3厘米要3分钟，再停2分钟，一共用去3+2=5(分钟)；爬6厘米要用5×2=10(分钟)，爬9厘米要用5×3=15(分钟)，当爬到12厘米时就到了杯口，不需要再停2分钟了．所以一共要用15+3=18(分钟)，蜗牛从杯底爬到杯口时要用去18分钟．【巩固】树袋熊贝贝在爬一棵8米的树，每爬10分钟就要休息2分钟，在这10分钟里它能向上爬2米.那么贝贝要多长时间才能爬上树顶?【解析】10分钟能爬2米，那么要爬上8米的树，总共要爬8÷2=4(个)这样的10分钟，要花10×4=40(分).在这期间，它要休息3次，需要2×3=6(分).因此贝贝要爬上这棵树，总共要花40+6=46(分).【例5】明明家的台钟，一时打1下，二时打2下……十二时打12下，每半时也打1下.有一次，明明听到台钟先打了一下，没多久又响了1下，后来又响了1下，你知道最后一响是几时吗?【解析】明明听了三次钟声都只响了1下，可以推出第一次和第三次只能为半时，第二次为整时刻.由第二次响了1下，可以得出，第二次响时是1时，所以最后一响应该是1时30分.【巩固】亮亮家客厅里有只大钟，每到整时就会敲钟，到几时就敲几下，亮亮从3时开始敲钟时数敲钟的次数，到几时共敲了18下？【解析】共敲了18下，从3时开始，依次减去整时敲钟的次数：18-3=15，15-4=11，11-5=6，6-6=0.所以共敲了18下时，应该到6时.【例6】早上小红离开家时，家里的时钟正好指着7时55分．她到学校时，校园的时钟指着8时10分．小红想起有本书留在家里，于是回家去取（小红从家到学校和从学校到家走路速度相同），到家时，她家时钟指着8时15分．你知道小红家的时钟和学校的时钟谁快谁慢吗?两个钟表相差多少呢?【解析】小红从家到学校，再从学校到家的两段路程是一样的．时间从7时55分到8时15分．经过了20小红从家到学校只用了20分的一半，所以是l0分钟，也就是当小红到学校时，家里的时钟应指向8时5分．即：7时55分+10分=7时65分=8时5分．而学校的时钟已经指向了8时10分．所以学校的时钟比家里的时钟快5分钟．即：8时10分-8时5分=5分．【例7】妈妈上午8时半上班，中午12时休息吃午饭；下午1时上班，5时半下班.请你算一算，妈妈一天工作几个小时?【解析】上午从8时半到ll时半经过了3个小时，再到12时又经过半小时，上午总共工作3小时30分；下午从1时到5时半，总共工作4小时30分.计算一天总的工作时间，要将上午和下午的工作时间加起来，3+4=7(小时)，上午剩下的半小时和下午剩下的半小时加起来是1小时，总共是7+l=8(小时).【例8】小明下午3时lO分放学，在这一天里，他上午上了4节课，下午上了3节课，每节课45分钟，每两节课之间有10分钟的课间休息，中午有1小时的午餐休息，那么，小明早上几时上学?【解析】上午4节课，总共45×4=180(分)；在这4节课之间有3个课间休息，总共10×3=30(分)；中午有1小时的午餐时间，为60分；下午有3节课，总共45×3=135(分)；在这3节课之间有2个课间休息，为10×2=20(分).所以，在这一天里，小明在校总时间为180+30+60+135+20=425(分)=7小时5分钟.下午3点10分就是15时lO分，向前数7小时5分钟，应该是8时5分上学.【巩固】大华小学上午8：00上第一节课，上午上四节课，每节课40分钟，课间休息15分钟，第四节下课就排队放学，学生在校的时间是几小时几分钟?【解析】一节课是40分钟，四节课多少分钟?课间休息15分钟，四节课课间休息有几次，一共有多少分钟(1小时=60分钟).先算出学生在校的时间一共是多少分钟，然后再计算这些时间为多少小时?余多少分钟?40+40+40+40=160分15+15+15=45(分)160+45=205分=3小时25分因此，学生上午在校时间是3小时25分.【例9】钟面有12个数．你能在钟面上画一条线，把钟面分成两部分，使两部分的数字之和相等吗?【解析】钟面上12个数的和是l+2+3+4+5+…+11+12=78，根据题意，把钟面分成两部分，两部分的数字和要相等，那么每一部分的数字和应该是39．经过试算，不难得出结论．将钟面按下图那样分，能使两部分的数字之和相等．【例10】佳佳家住在七楼，(底楼没有车库)她从一楼走到二楼要用1分钟.那么她从底楼走到七楼要用几分钟?【解析】从底楼到二楼有1层楼梯，从底楼到七楼就有6层楼梯：7-1=6(层).走一层楼梯用1分钟，那么走6层楼梯就用6分钟.7-1=6(层)1×6=6(分)答：她从底楼走到7楼要用6分钟.【例11】马老师每天早上7时和电台对手表，7时半准时看表从家出发，步行到校时总是8时整，但是有一天他的表摔了一下，走慢了．可是他没注意，照常是7时和电台对表，7时半准时看表从家出发，按平时的速度步行去学校．那一天马老师到学校比平时早还是晚?【解析】马老师摔坏表的那天，他7时和电台对表是没有问题的，以同样的速度步行上班也没有问题，只有从7时到7时半这段时间，他比平时在家呆的时间长了，因为表走慢了．当马老师的表走到7时半时，别人的表肯定比7时半多了．所以马老师这一天到学校肯定比平时晚．【例12】爸爸要到广州出差，如果去时坐飞机，回来时坐火车，共需要29小时；如果来回都坐飞机，只需要6小时.那么，如果来回都坐火车，共需要多少小时?’【解析】来回都坐飞机需要6小时，那么，单程需要6÷2=3(小时).去时坐飞机回来时坐火车共需29小时，所以单程坐火车需要29-3=26(小时).所以，如果来回都坐火车，共需要26×2=52(小时)【例13】你会合理安排时间吗?小红早晨起床后要做5件事：穿衣叠被用5分钟，刷牙洗脸用4分钟，烧开水用10分钟，吃早饭用8分钟，整理书包用2分钟．你能用比较短的时间完成好全部事情吗?【解析】所谓“合理安排时间”实际上就是能在比较短的时间里完成好各项工作，也就是提高工作效率．①将要完成的事先进行分类：一类：做一件事时，可以同时做其他事．如：烧开水．另一类：做这件事时不能做其他事．如：穿衣叠被，刷牙洗脸，吃早饭，整理书包．②其次要考虑做事的顺序：如：不可能先去吃早饭，因为还没有刷牙洗脸呢．所以，按照穿衣叠被—刷牙洗脸—烧开水(同时吃早饭、整理书包)．即：5+4+10=19(分)．这样能完成好全部事情．模块二、乘车问题【例14】19名战士要过一条河，河边只有一条船，船主说：“我每次只能运4名战士过河.”算一算，至少需要多少次才能使全部战士过河?【解析】要把19名战士全部运过河，每次只能运4名战士过河，把每4名战士分成一组过河，共分4组，分4次过河，但还余下3名战士，虽然3名战士上船坐不满，但必须再运一次，不然剩下的战士就过不了河.所以一共需要运5次才能把这些战士送过河.19÷4=4……34+1=5(次)，至少需要运5次，才能使全部战士过河.【巩固】刘老师带着二(1)班45名学生一起去划船，每条船最多只能坐7人，最少需要多少条船?【解析】（45+1）÷7=6……4，6+1=7（条），最少需要7条船.【例15】有19个人要过一条河，河边只有一条小船，船上每一次只能坐4个人，小船至少要渡几次，才能使19人全部过河？【解析】这道题看似跟例1一样，但是却有着关键的不同，例1中有船夫划船，但是这道题船上没有船夫，那就需要自己划船.虽然小船每次能坐4人，但在船返回时，必须有一个人把船划回来.因此，前面几次每次只能有4-1=3（人）上岸，最后一次不必返回，因此全部可以上岸.前面的15人必须渡5次，加上最后一次，小船一共要渡6次.3×5=15（人），15+4=19（人）列式：（19-1）÷（4-1）=18÷3=6（次）【巩固】有26人要到河对岸去办事，河边有一条船，需要自己划船过河，而且每次只能坐6人.这26人【解析】26人每次过河6人，但必须有1人划船回来，故前面几次每次只运了5人.先运4次，一共运了(6-1)×4=20(人)，最后一次恰好6人.即5次全部渡过.列式：（26-1）÷（6-1）=5（次），至少要分5次运，才能全部过河.【巩固】(2008年第六届小学“希望杯"全国数学邀请赛初赛)长征时期，一支红军部队的76位指战员要坐船过河，渡口处只有一条可载16人的木船(无船工)，那么要将这支部队全部送到河对岸，则用这条木船渡河至少__________次.【详解】先从队伍中选出一名船工,则可列式(761)(161)5-÷-= (次) ,这5次指5个来回 ,而不用往回送船,则故有: 5219⨯-=(次)【例16】登山队同学在郊外游玩，在途中遇到一条河，河边只有一条小船.班长说：“我们自己划过去吧！”已知这条船不包括划船的每次能运7人，运了3次，同学们就全部过河，登山队一共有多少名同学？【解析】这条船每次运7人，运了3次，一共就运了7×3=21（人），但是还要加上划船的一个同学，这样登山队一共有22人.列式：7×3+1=22（人）【例17】旅行社组织一个团去三峡旅游，共包了两种不同型号的轮船，大轮船共2艘，每艘可乘坐30人，快艇共5艘，每艘可乘坐7人.最后大轮船和快艇还剩7个座位未坐满.这个旅行团一共有多少人？【解析】大轮船一共可以坐多少人？列式：30×2=60（人）；快艇一共可以坐多少人？列式：7×5=35（人）；这个旅行团一共有多少人？列式：60+35-7=88（人）.【巩固】二年级全体同学乘车去郊游，共有面包车4辆，大巴车3辆，每辆面包车可以坐15人，每辆大巴车可以坐40人，车上所有座位全坐满，算一算，二年级一共有多少同学？【解析】面包车一共载了多少同学？列式：15×4=60（人）；大巴车一共载了多少同学？列式：40×3=120（人）；二年级一共有多少同学？列式：60+120=180（人）.答：二年级一共有180人去郊游.【巩固】二(1)班和二(2)班的同学坐两辆大巴汽车去参观科技博物馆，每车各坐了52人.两班男同学共有50人，带队老师每车有1名.那么两班女同学共多少人?【解析】每车坐52人，两车共坐了52+52=104(人).每车坐了1名带队老师，共1+1=2人.从总人数里减去男生50人与老师2人，剩下的就是两班女生的总人数. 列式：52+52=104(人)，1+1=2（人），104-50-2=52(人)，答：两班女同学共52人.【例18】岸上有40名战士准备乘船过河去巡逻.河边有一批小船，每只小船载人数相等，战士正好一次能全部过河.已知船数是单数，每只小船乘坐人数是双数，岸边有多少条小船?每只小船坐几人?【解析】因为船数是单数，每只小船乘坐人数是双数，所以只有两种情况：40=1×40，40=5×8，船可能是1只或是5只.又因为题目已经说明河边有一批小船，所以船不可能只有1只，只能是5只，那么每只船坐8人.【例19】有25人要去展览馆参观，配备有两种车子，一种是面包车，每辆车可乘8人，另一种是小轿车，每辆可乘3人.如果要使这些人一次都到展览馆，并且车上座位全部坐满，那么怎样派车最合理?【解析】我们可以只派面包车，或者只派小轿车，也可以两种车同时派.面包车可以派4辆、3辆、2辆、1辆、0辆.故一共有5种派车办法：比较以上5种方案，第3种方案没有空座.可采用第3方案.派2辆面包车，坐16人；派3辆小轿车，可坐9人，恰好是25人，没有空座，这样派车最合理.【巩固】一家宾馆住着一个旅游团，这个旅游团共有62人.现在有两种车，面包车每辆最多坐10人，小轿车每辆最多坐3人.问应派几辆面包车几辆小轿车能一次把他们送到火车站，用车最少而且车上座位全部坐满?【解析】5×10+4×3=62（人），因此应派5辆面包车4辆小轿车能一次把他们送到火车站.【例20】二(1)班45名学生去秋游，湖边有两种船，大船每次坐6人，租金是每小时每船8元；小船每次坐4人，租金是每小时每船6元.问怎样租船最省钱?【解析】大船较小船便宜，应尽量多租大船.如果只租大船，由45÷6=7……3，需要7+1=8(只)大船，用钱为8×8=64(元).但因最后一船只有3人，可改租小船.由45÷6=7……3，先派7只大船，剩下的3人坐1只小船，共花钱：7×8+6=62(元).答：租7只大船、1只小船最省钱.【巩固】现有16吨货物.要租用汽车运走.汽车公司有两种货车，大货车可以装5吨货物，运一次要500元，小货车可以装3吨，运一次要400元.怎么租车最合算？【解析】16÷5=3……l，可以租用4辆大货车.也可以租用3辆大货车，1辆小货车.还可以租用2辆大货车，2辆小货车.还可以租用1辆大货车，4辆小货车.还可以租用6辆小货车.列出下表比较各种方案：经比较，方案3的费用最少，只需要1800元.【巩固】一个学生旅行团一行27人晚上来到一家旅社，旅社有下面三种房间：三人间，每间135元；二人间，每间100元；四人间，每间120元．这个团男生15人，女生12人，要求男、女生必须分开住，他们怎样租房更合理，更省钱，共多少钱?【解析】既然要求男、女生分开住，我们便可以分男、女生分别讨论：(1)女生租房情况：先看每间房平均到每人应付多少钱：三人间每间135元，每人应付135÷3=45(元)，二人间每间100元，每人应付100÷2=50(元)，四人间每间120元，每人应付120÷4=30(元)，看来四人间四人租的话每个人付钱最少，而女生12人恰好可以每四人租一间，共花12÷4×120=360(元)．(2)男生租房情况：男生15人虽然可以租5个三人间正好全住满，但这样要花15÷3×135=675(元)，所以尽可能地租四人间，如果租4个4人间．15÷4=3(间)…3(人)，则需花：120×4=480(元)．如果租3个4人间，1个3人间，120×3+135=360+135=495(元)．看来，男生应租4个四人间，虽然有一张床是空的，但也比其他方式省钱，故这27人共花：360+480=840(元)．所以，女生租3个四人间，男生租4个四人间最省钱，共花840元．【巩固】 一个旅行社组织一个团去泰国旅游，加上导游一行共25人．大车每辆租金80元，每车可以坐8人，小车每辆租金40元，每车可以坐3人，你认为怎样派车比较合理，要花多少钱? （可放在例10后面做为巩固练习.）【解析】 方法一：租3辆大车和1辆小车.总费用是：3×80+40=280（元）方法二：租2辆大车和3辆小车.总费用是：2×80+3×40=280（元）【例 21】 丁丁到外公家来回乘车只需要18分钟.如果去时乘车，回时走路就需要36分钟.如果来回都走路需要用多少分钟?【解析】 乘车快，走路慢，一个来回是指走这段路程走了2趟.所以根据这一特点，可以算出来或去一趟乘车需要18÷2=9(分钟).又由于去时乘车、回时走路共用36分钟，其中乘车一趟用9分钟，则走路一趟要用36-9=27(分)，来回两趟就需要2个27分钟.36-18÷2=27（分钟），27+27=54(分钟)，答：来回都走路需要54分钟.【例 22】 一辆卡车每小时行30千米，一辆小车每小时的速度是卡车的2倍.小车每小时行多少千米?从张庄到李庄，卡车要用1小时.一辆小车从张庄到李庄需用几小时?【解析】 汽车1小时走的路程，我们叫速度.由于小车速度是卡车的2倍，跑同样的路程，小车就只用卡车所用时间的一半，1小时的一半是半小时.30×2=60，小车用时为卡车用时的一半，而1小时的一半是半小时.答：小车每小时行60千米，需用半小时到达李庄.【例 23】 黑猫警长派出8辆车去抓小偷.白猫卫士说：“你派哪些车去?”黑猫警长说：“我派三种车：轿车、吉普车和中巴车.这8辆中你选任何3辆，都至少有一辆吉普车”.白猫卫士说：“那么这三种车你各派了几辆呢?”黑猫警长说：你猜猜看!”小朋友你知道三种车各派了几辆?【解析】轿车有1辆，中巴车有1辆，吉普车有6辆，一共是8辆.8辆中你选任何3辆，都至少有一辆吉普车.练习1. 有36个人要到河的对岸去，河边只有一条船，船上每次只能坐8个人，小船至少要载几次，才能全部过河？（无船夫）【解析】 （36-1）÷（8-1）=5（次），小船至少要载5次，才能全部过河.练习2. 妞妞到外婆家来回走路需60分钟，如果去时走路，回时坐车共需39分钟，她来回都乘车需要多少分钟?【解析】 60÷2=30（分），（39-30）×2=18（分），她来回都乘车需要18分钟.课后练习练习3. 技工学校34名学生包车去实习，面包车每辆最多坐10人，租金每辆80元，的士每辆最多坐4人，租金每辆40元.怎样租车最省钱?练习4. 做一个零件，从上午7：40开始做，上午9：20完成．做这个零件用了多少时间?【解析】 9时20分-7时40分=1时40分，做这个零件用了1时40分.练习5. 小王骑自行车去A 地，上午8时出发，在途中因有事停留了15分钟，到中午12时才到达A 地．小王骑自行车行了多长时间?【解析】 12时-8时=4时，4小时里有15分钟停留，那么小王骑自行车行了3小时45分.练习6. 小红放学回家做家庭作业，看了看钟，这时是4时30分，他先做语文作业，用了30分钟，又接着做数学作业，用了20分钟，最后，他又写了一篇作文，用了40分钟.作业全部做完了，他看了看钟，这时应该是几时几分呢?【解析】 30分+20分+40分=90分=1时30分，4时30分+1时30分=6时，作业做完的时间是6时.测试1、有50个人准备包车去长城游玩，每辆车只能载9名乘客，最少需要包几辆车才能一次全部到达长城？【解析】 50÷9=5……5，5+1=6（次），最少需要包6辆车才能全部到达长城.测试2、--(2)班和二(3)班两个班同学坐两辆汽车到人民公园秋游，每辆车坐68人，两班男生共有60人，两班女生共有多少人?【解析】 68×2-60=76（人），两个班女生共有76人.测试3、60人的考察团准备去机场，有两种车子供选择，面包车每辆可坐9人，小轿车每辆可坐4人，怎样派车是最佳方案? (最佳方案指没有空座又省油)【解析】 4×6+9×4=60（人），所以最佳方案是派4辆面包车和6辆小轿车.测试4、一节课是40分钟，从8时30分上课应该到几时几分下课?【解析】 8时30分+40分=8时70分=9时10分，从8时30分上课应该到9时10分下课.测试5、找出下图钟面上时刻的规律，填空．月测备选【解析】第四个钟面上的时刻是：2时.测试6、小红家的台钟，一点钟打1下，两点钟打2下……十二点打12下，每半点也打1下.有一次，小红在家玩儿，看到爸爸拿着书去书房，正好听到台钟打了3下，爸爸从书房出来时，台钟正好打5下.你知道小红一共听到钟打了多少下吗?【解析】爸爸拿着书去书房的时间是3时，从书房出来的时间是5时，台钟一共敲了：3+1+4+1+5=14（下）.。

一元一次方程的认识和解法一、重难点知识归纳及讲解1、有关方程的概念用等号“ =”来表示相等关系的式子，叫做等式.含有未知数的等式叫做方程.只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1的方程，叫做一元一次方程.使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根.求得方程的解的过程，叫做解方程.2、等式的基本性质性质 1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式，即：若 a=b，则a＋m=b＋m，a－m=b－m.性质 2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式，即：若 a=b，则am=bm，.此外等式还有两条性质.性质 3：若a=b，则b=a（等式的对称性）.性质 4：若a=b，b=c，则a=c（等式的传递性）.3、移项法则方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，这个法则叫做移项法则。

所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在这方程的一边变换两项的位置。

移项时要变号，不变号不能移项。

4、解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的基本思路是通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边，最终把方程转化到 x=a的形式。

解一元一次方程的一般步骤是：（1）去分母：根据等式基本性质2，在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；（2）去括号：利用去括号法则、分配律，先去小括号，再去中括号，最后去大括号；（3）移项：根据等式基本性质1，利用移项法则，把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；（4）合并同类项：利用合并同类项法则，把方程化成ax=b的形式；(a≠0).（5）系数化为1：根据等式基本性质2，在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=ba 在解方程时，根据具体情况，有些步骤可能用不上，有些步骤可以前后顺序颠倒，有些步骤可以省略，有些步骤可以合并简化.5、方程的检验检验某数是不是原方程的解，应将该数分别代入原方程的左边和右边，看两边的值是否相等.如果相等，说明该数是原方程的解，否则就不是.检验时应代入原方程的左边和右边，而不是变形后的方程的左边和右边.6、列简易方程解应用题解应用题时，关键是列出简易方程，解应用题时列方程的一般步骤是：（1）设未知数，一般是求什么就设什么为x；（2）分析已知量和未知量的关系，找出相等关系；（3）把相等关系的左、右两边的量用含x的代数式表示出来，即得方程.二、典型例题剖析例 1、判断下列各式哪些是方程，哪些是一元一次方程.=3（7）2x=1 （8）（1）x－1=1－x （2）x3=2x（3）xy－x=0 （4）6x－x－1（5）5－2=3 （6）- 8xx2＋1>2x分析：判断一个式子是不是方程，只需看两点：①是等式；②含有未知数，二者缺一不可；判断一个方程是不是一元一次方程，也有两个条件：①只含一个未知数；②未知数的次数是 1，两个条件缺一不可。

第13讲植树问题【探究必备】我们一般把以植树为内容，研究植树的棵数、树与树之间的距离（棵距）和需要植树的总长度（总长）等数量间关系的问题，称为植树问题。

植树问题的基本数量关系是：棵距×间隔数=总距离。

植树问题一般有两种情况：1. 在直线上植树，有三种情况：（1）在一端距离中，两端都植树，数量关系式：棵数=间隔数+1（开始一棵）（2）在一端距离中，两端都不植树，数量关系式：棵数=间隔数-1（末尾一棵）（3）在一端距离中，一端不植一端植，数量关系式：棵数=间隔数2. 在封闭曲线上植树，数量关系式：棵数=间隔数（相当于一端植一端不植）3. 有时也有在楼间植树，数量关系式：距离÷间隔-1=棵数（相当于两端都不植），对在一段距离中双边都植树时，可先算出一边，然后再乘以2。

【王牌例题】例1、在一条公路的一侧从头到尾每隔25米栽一棵树苗，共栽了41棵。

这条公路长多少米？分析与解答：根据数量关系“公路长=棵数×间隔数” ，要求这条公路的长度，首先要求出间隔数，由于是从头到尾的植树，共植了41棵，因此间隔数是41-1=40（个），所以这条公路长是25×40=100（米）。

例2、抗洪抢险英雄来我校做宣讲报告，学校组织鼓号队员在50米长的道路两旁列队欢迎，每隔2米站一位队员，需要多少个队员？分析与解答：解决这道题的关键是先求出间隔数，即50÷2=25（个），因为是鼓号队，所以两端都站，则人数为25+1=26（人），由于是道路两旁列队欢迎，所以总人数是26×2=52（人）。

例3、有一正方形的草坪，草坪的每边栽了10棵松树（每个顶点上都栽一棵），共栽了多少棵树？若每两棵松树间隔5米，沿着这个正方形的草坪走一圈要走多少米？分析与解答：由于草坪是正方形的，每边都栽10棵树，所以栽了10×4=40（棵），由于4个顶点上都栽一棵，而这4棵被计算了2次，因此应从总数中减去一次，故共栽了40-4=36（棵）；沿着这个正方形的草坪走一圈要走多少米，这是求这个正方形的周长，应该先算出正方形每边的长度，因为每边的两端都栽有数，所以间隔数为10-1=9（个），又因为每两棵松树间隔5米，所以它的边长为5×9=45（米），那么正方形的周长是45×4=180（米），即沿着这个正方形的草坪走一圈要走180米。

第13讲 巧算周长例1：如右图，图中有三个半圆，已知最大的圆的半径是10厘米，求阴影部分的周长.分析与解 图形的周长就是图所有边的长度和.这里阴影部分的周长就是这三个半圆的弧长之和，可以设这两个小半圆的直径分别是a 、b ，那么这两个半圆弧的长度分别是21πa 、21πb ，而21πa+21πb=21π×（a+b ）；大半圆的弧长是21π×10，从图中可以看出，a+b=10，也就是两个小半圆的弧长的和正好是最大半圆的弧长.所以这里阴影部分的周长正好等于一个直径为10厘米的圆的周长.3.14×10=31.4（厘米）答：阴影部分的周长是31.4厘米.方法点评 求图形的周长，首先需要弄清图形的周长包含哪些线的长度，然后分别求出这些线的长度，再求和.随堂练习一：求右图中阴影部分的周长.（单位：厘米）（大半圆直径8厘米）例2：把三根底面半径为4厘米的圆柱形钢管用铁丝捆紧，捆一圈至少要用多少厘米铁丝？（接头处不算）分析与解 要把这三根钢管捆紧，只能把它们捆成“品”字形（如右图）.我们注意到，捆这三根钢管的一圈铁丝中，有的部分是直的，有的部分是曲的.计算时，应该把它们进行分类，曲线部分一类，线段一类，可以在图中作出辅助线帮助解决，如右图：现在我们可以看出，图中曲线部分共有三段，正好和成一个正圆周长；线段也有三条，每条线段的长度等于一个圆的直径.所以：3.14×4×2+4×2×3=49.12（厘米）答：捆一圈至少要用铁丝49.12厘米.方法点评 在计算周长时，必要时，我们可以把组成周长的线先进行分类，再计算就比较方便了.随堂练习二：把两根底面半径为4厘米的圆柱形钢管用铁丝紧紧捆在一起，捆一圈至少要用多少厘米的铁丝？例3：如右图，大长方形是由5个周长为60厘米的完全一样的小长方形组成的，求大长方形的周长？分析与解要求长方形的周长，通常需要先找出长方形的长和宽.从图中可以看出，2个小长方形的长等于3个小长方形的宽，再根据每个小长方形的周长是60厘米，可以求出小长方形的长与宽.因为2个小长方形的长等于3个小长方形的宽，所以小长方形的长于宽的比为3︰2，于是可以运用比的知识来解决 .60÷2÷（3+2）=6（厘米）6×3=18（厘米）……小长方形的长6×2=12（厘米）……小长方形的宽大长方形的周长就是：（18×2+18+12）×2=132（厘米）答：大长方形的周长是132厘米.随堂练习三：右图是由7个完全相同的小长方形拼成的图形，已知每个小长方形的周长为70厘米，求大长方形的周长？拓展训练1、求右图中阴影部分的周长.（单位：厘米）2、如右图，在正三角形中有3个半径相等的扇形，求阴影部分的周长.3、将4个大小一样的啤酒瓶如右图用绳子捆起来.已知啤酒瓶的底面直径为8厘米，捆两圈至少需要多少厘米长的绳子？（接头不计）4、下图是由1个正方形和8个大小相同的长方形平拼成的大正方形.已知小正方形的边长是40厘米，大正方形的面积是6400平方厘米.那么每个小长方形的周长是多少厘米？5、如图，将一个半径为1厘米的硬币沿着正方形桌面的边缘滚动一周，桌面的彼岸尝试80厘米.当硬币滚回原来的位置时，硬币的圆心经过的路程是多少厘米？。

第13讲数据的分析⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩平均数中位数和众数数据的分析统计图的选择数据的离散程度知识点1 平均数1.平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；2.加权平均数：在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数．【随堂练习】1．（2018春•荷塘区期末）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．前5名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折和成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）（1）现得知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比；（2）求出其余四名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定前两名人选．【解答】解：（1）设笔试成绩和面试成绩各占的百分比是x，y，根据题意得：，解得：，笔试成绩和面试成绩各占的百分比是40%，60%；（2）2号选手的综合成绩是92×0.4+88×0.6=89.6（分），3号选手的综合成绩是84×0.4+86×0.6=85.2（分），4号选手的综合成绩是90×0.4+90×0.6=90（分），5号选手的综合成绩是84×0.4+80×0.6=81.6（分），则综合成绩排序前两名人选是4号和2号．知识点2 中位数与众数中位数：将一组数据按照大小顺序排列，若数据的个数是奇数，则处于最中间位置的那个数据就是该组数据的中位数；若数据的个数是偶数，则处于最中间位置的两个数据的平均数就是该组数据的中位数。

一组数据的中位数是唯一的。

众数：一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

【典例】1.一组数据：1，2，1，0，2，a，若它们的众数为1，则这组数据的平均数为_________【答案】7 6【解析】本题考查众数、平均数的概念.根据众数为1，求出a的值，然后根据平均数的概念求解.∵众数为1，∴a=1.∴平均数为1+2+1+0+2+17=662.在“爱满扬州”慈善一日捐款活动中，学校团总支为了了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计，并绘制成下面的统计图.第11题图（1）这50名同学捐款的众数为_____元，中位数为_______元；（2）求这50名同学捐款的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请估计该校学生的捐款总数【答案】【解析】（1）解：15，15；（4分）（2）.解：x=150×(5×8+10×14+15×20+20×6+25×2)=13；（3）解：600×13=7800（元）；答：估计该校学生的捐款总数为7800元【方法总结】1.中位数也是反映一组数据的集中趋势的量，有时我们更关注的是该组数据的中位数，因为中位数不受极端值的影响。

第13讲小数的加法和减法知识盘点1. 主要内容小数加、减法的口算、笔算。

小数加、减混合运算一级小数加、减法的简单计算。

2. 主要目标（1）理解小数加、减法的意义，掌握计算法则，能够比较熟练地进行小数加、减法笔算和简单的口算。

（2）理解整数加法运算定律对于小数同样适用，并会运用这些定律进行一些小数的简便计算。

3. 知识要点（1）笔算小数加、减法时小数点要对齐。

（2）整数的运算方法对小数同样适用。

（3）整数的运算定律对小数也同样适用。

例题解析【例1】水果市场运进西瓜39.594吨，运进苹果25.342吨。

水果市场一共运进多少吨水果？【分析】小数加减法的算理算法与整数加减法基本相同，都是把相同数位上的数对应相加，特别注意要把小数点对齐。

【解答】 39.594+25.342=64.93639.594+ 25.34264.936答：水果市场共运进64.934吨水果。

【评注】小数加法笔算时要把小数点对齐。

【备选例题】红星厂计划全年生产童鞋22.12万双，实际生产了31.45万双，超过计划多少万吨？【例2】计算：35.5-(6.24+9.36)【分析】小数加减混合运算的顺序与整数加减混合运算的顺序相同，先乘除后加减，有小括号的先算小括号里面的，再算括号外面的。

同级运算从左往右一次进行计算。

【解答】 35.5-(6.24+9.36)=35.5-15.6=19.9【评注】运用整数的运算顺序进行计算。

【备选例题】计算：2.8-(3.1-0.3)【例3】计算：4.36+8.865+5.64+1.135【分析】运用加法交换律，把4.36和5.64先相加，得10；再把8.865和1.135相加，得10,10加10得20.【解答】 4.36+8.865+5.64+1.135=（4.36+5.64）+（8.865+1.135）=10+10=20【评注】加法交换律在小数加法中同样适用。

【备选例题】计算：6.327+2.584+7.416+3.673【例4】计算：18.587-5.52-6.48【分析】因为5.52+6.48得12，根据减法的运算性质，先把5.52和6.48相加，再从18.587减去12得6.587。

第13讲多位数与小数内容概述求解含有小数的四则运算问题，除了运用已学的各种整数计算方法外，还可以移动小数点来化简计算。

求解带有省略号的多位数的四则运算问题，一般采用从简单情况出发找规律、通过算式的变形进行凑整、直接列竖式等方法。

典型例题兴趣篇1．李老师在黑板上写了四个算式：①7469÷0.7；②7.469÷0.007;③0.7469÷0.07;④746.9÷7．请把它们的商按照从小到大的顺序排列起来．答案：0. 7469÷0.07< 746.9÷7<7. 469÷0.007<7469÷0.7解析：将四个算式依次变形如下：①7469÷0.7=74 690÷7：②7. 469÷0.007=7469÷7：③0. 7469÷0.07=74. 69÷7:④746.9÷7．四个算式的除数都为7，只需要看被除数的大小．显然有74. 69<746.9<7469<74690，又被除数越大，商也越大，所以0. 7469÷0.07<746.9÷7<7. 469÷0.007<7469÷0.7.2.计算 : 5795.5795÷5.795×579.5。

答案：579557. 95解析：原式=5795. 5795×579.5÷5.795=5795. 5795×(579.5÷5.795)=5795. 5795×100=579557. 953.计算 : 24×(0.123+0.127)×O.125 ×(2.52+1.48).答案：3解析：原式=24×0.25×0,125×4=(24×0.125)×(4×0.25)=(24÷8)×(4÷4)= 3×1=34.计算 : (3.74-1-3.76+3.78+3.8+3.82) ×0.04÷24×60. 答案：1. 89解析：原式=3. 78×5×0.04÷24×60=18.9×0.04÷24×50=18.9×(0. 04×60÷24)=18.9×0.1=1.895.计算 : 1.25×3.14+125×0.0257+1250×0.00229.答案：10解析：原式=1. 25×3.14+1. 25×2.57+1. 25×2.29=1.25x(3.14+2.57+2.29)=1. 25×8= 106.计算: 1919919991999+++⋯+10个9答案：1022229个⋯解析： 原式= (20-1)+(200-1)+(2000-1)+…+（1-0002010个⋯）=20+200+2000+…+100002个⋯-10=0222210个⋯-10=1022229个⋯7．求和式103333333333++++个计算结果的万位数字．答案：0 解析：方法一：原式=9÷3+99÷3+999÷3+…+910999个⋯÷3 =(9+99+999+…+910999个⋯)÷3 =[(10-1)+(100-1)+(1000 -1)+…+（100001个⋯ -1）]÷3 =(0111110个⋯-10)÷3 =0011119个⋯÷3 =3703703700 所以万位数字是0．方法二：这10个数相加时，个位共有10个3相加，和等于30，和式的个位数字为0，且向十位进位3．十位共有9个3相加，和为27，加上进位的3等于30，所以和式的十位数字为0．且向百位进位3．百位共有8个3相加，和为24，加上进位的3等于27，所以和式的百位数字为7，且向千位进位2．千位共有7个3相加，和为21，加上迸位的2等于23，所以和式的千位数字为3，且向万位进位2．万位共有6个3相加，和为18，加上进位的2等于20，所以和式的万位数字为0．用算式表示，实际上是计算了3+33+333+3333 +33333×6的万位数字． 8.计算 :121212×4-242424×2.答案：0解析：原式=12×10101×4-24×10101×2=12×4×10101-24×2×10101=48×10101 - 48×101011=09．计算：10999912345⨯个．答案：123449999987655 解析： 原式=(100001个⋯-1)×12345 =1234510000个⋯-12345 =12344999998765510．计算：103933333333334⨯个个.答案： 110111个⋯210222个⋯ 解析：方法一：由3×4=12, 33×34=1122,333×334=111222,…， 根据规律，有 310333个⋯×433339 个⋯= 110111个⋯210222个⋯ 方法二：原式=）（个个13333333333310310+⋯⋯⨯⋯⋯= 31033333个⋯⋯× 31033333个⋯⋯+31033333个⋯⋯ = 91099999个⋯⋯÷3× 31033333个⋯⋯+31033333个⋯⋯ = 91099999个⋯⋯× 11011111个⋯⋯+31033333个⋯⋯ =）（个1-000001010 ⋯⋯× 11011111个⋯⋯+31033333个⋯⋯=11001011011111-0000011111个个个⋯⋯⋯⋯⋯⋯+ 31033333个⋯⋯ =210010110222220000011111个个个⋯⋯+⋯⋯⋯⋯ = 110111个⋯210222个⋯拓展篇1.计算 :13.64×O.25÷1.1.答案：3.1解析： 原式=13.64÷4÷1.1 =3.41-1.1 =3.12.计算：(1)[4.2×5-(1÷0.25+9.1÷0.7)]÷0.004 (2)4.5×4.8÷0.25÷15÷0.24答案：(1) 1000 (2) 24解析：(1)原式=[21-(4+13)]÷0.004 =4÷0.004=1000 (2)原式=(4.5÷15)×(4.8÷0.24)÷0.25 =0.3×20×4=243．在下面算式的两个口中填入相同的数，使得等式成立．所填的数应该是多少？22.5-(口×3.2-2.4×口)÷3.2=10答案：50解析：由题意知，22.5 -（□×3.2-2.4×□）÷3.2=10.于是（□×3.2-2.4×□）÷3.2=22.5-10=12.5．进一步有□×3.2-2.4×□=12.5×3.2，即12.5×3.2=12.5×(8×0.4)=(12.5×8)×0.4=40.这时算式两边都有□，由乘法分配律，得□×(3.2 2.4)=40，因此□=40÷0.8=50.4.计算 : (1)299.9×19.98-199.8×29.97;(2) 3.51×49+35.1×5.1+99×51.答案：(1) 3.996 (2) 5400解析：(1)原式=29.99×199.8-199.8×29.97 =199.8×(29.99-29.97)=199.8×0.02=3.996(2)原式=351×0.49 +351×0.51十99×51=351×(0.49+0.51)+99×51=351+99×51=300+1×51+99×51=300+(1+99)×51=300+5100=54005.计算：3.14+64.8×0.537×25+5.37X6.48×75-8×64.8×0.125×53.7. 答案：3.14解析：原式=3.14 +6.48×5.37×25+5.37×6.48×75-8×6.48×12.5×5.37 =3.14 +6.48×5.37×(25+75-8×12.5)=3.14+6.48×5.37×(100-100)=3.14+6.48×5.37×O=3.146．计算：97.8×28.7-27.7×28.8．答案：0.1解析：原式= 27.8×28.7-27.7×(28.7+0.1)=27.8×28.7 - 27.7×28.7 - 27.7×0.1=(27.8-27.7)×28.7-27.7×0.1=2.87-2.77=0.17.计算：24.25×7.19+0.23×281+1.25×0.81.答案：240解析：原式=(23+1.25)×7.19+23×2.81+1.25×0.81=23×7.19+1.25×7.19+23×2.81+1.25×0.81=23×(7.19+2.81)+1.25×(7.19+0.81)=23×10 +1.25×8=230+10=2408.计算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+…+0.99.答案：27.25解析：方法一：发现0.1,0.3，0.5，0.7，0.9是一个公差为0.2的等差数列，而0.11，0.13，0.15，…，0. 99是一个公差为0.02的等差数列，所以算式中，公差为0.2的数列有5项，公差为0. 02的数列有(0. 99-0.11)÷0.02+1=45(项), 利用等差数列的求和公式，得 原式=(0.1+0.3+0.5+0.7+0.9）+(0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+……+0. 99)=(0.1+0.9)×5÷2+(0.11+0.99)×45÷2 =2.5+1.1×45÷2=27. 25方法二：十分位上有50个数字，平均数是0.5，因此十分位上的数字和是0.5×50=25;百分位上有45个数字，平均数是0.05，因此百分5位上的数字和是0.05×45=2.25;整个算式的结果是25+2.25=27. 25.9.计算：(1) 100028208200820008++++个; (2) 10998998 99989998++++个.答案：(1)3028222298 个⋯⋯ (2)0900111198个⋯⋯ 解析：(1)原式=(20+8) +(200+8)+(2000+8)+…+(1010002个⋯⋯+8) = (20+200+2000+……+1010002个⋯⋯)+8×101= 02222101 个⋯⋯+808=3028222298个⋯⋯ (2)原式= (100-2)+ (1000-2)+ (10000-2)+…+(1010001个⋯⋯-2) =(100+l000+10000+…+1010001个⋯⋯)-2×100 =001111100 个⋯⋯-2×100=0900111198个⋯⋯10．计算：5033333333333333+++++个．答案：2037037037037016 个⋯解析：原式=(9+99+999+9999+…+950999个⋯)÷3 =[(10-1)+ (100-1)+(1000-1)+(10000-1)+…+(500001个⋯-1)]÷3 =(10 +100+1000+10000+…+500001个⋯-50)÷3 =(0111150 个⋯-50)÷3=060111148个⋯÷3 =2037037037037016 个⋯11.计算：999999×222222+333333×333334.答案：333333000000解析：方法一：原式=（10000000-1）×222222+111111×3×333334 =222222000000-222222 +111111×1000002 =222222000000-222222+111111222222=222222000000+111111000000=333333000000方法二:原式= 333333×3×222222+333333×333334=333333×(3×222222 +333334)=333333×1000000=33333300000012.计算：1981×198319831983-1989×198119811981.答案：198119811981解析： 原式=1981×1983×l00010001-1982×1981×100010031=1981×100010001×(1983-1982)=1981×100010001=19811981198113．计算：(1) 1009100910099999991999⨯+个个个； (2) 203206333666⨯个个.答案：(1) 02000001个⋯(2)87771222719219个个⋯⋯ 解析：(1)方法一：原式=( 01000001个⋯-1)× 9100999个⋯+ 91009991个⋯91009991个⋯ =01009100000999个个⋯⋯- 9100999个⋯+ 91009991个⋯ =01009100000999个个⋯⋯+( 91009991个⋯- 9100999个⋯)=01009100000999个个⋯⋯+ 01000001个⋯= 02000001个⋯ 方法二：原式= 9100999个⋯× 9100999个⋯+( 9100999个⋯+1000001个⋯) =( 9100999个⋯× 9100999个⋯+ 9100999个⋯)+1000001个⋯ = 9100999个⋯×( 9100999个⋯+1)+1000001个⋯ = 9100999个⋯× 01000001个⋯+1000001个⋯ =( 9100999个⋯+1)× 01000001个⋯=2000001个⋯ (2)原式=( 920999个⋯÷3)×(920222个⋯×3) = 920999个⋯×920222个⋯ =( 0200001个⋯-1)×920222个⋯ = 920222个⋯ 020000个⋯-920222个⋯ =87771222719219个个⋯⋯14.求算式200092000820006999888666⨯÷个个个的计算结果的各位数字之和。

第13讲 基本不等式【知识点总结】1. 几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥ (当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2(,a ba a ab a b a>+≥+≥同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：()222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2. 均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则22x y xy P +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.【典型例题】例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b >>+ D ．0,0)2a b a b +>>【答案】D 【详解】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +≤a b =时取等号． 故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习（文））若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的取值范围是（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎛ ⎝⎭C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎛ ⎝⎭【答案】A 【详解】解：2221()1x y xy xy x y ++=⇔=+-， 又2()2x y xy +， 22()1()2x y x y +∴+-，令x y t +=， 则2244t t -，233t ，即233x y +，当且仅当x y =时，取等号，x y ∴+的取值范围是[． 故选：A ．例3．（2022·全国·高三专题练习）已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b )，则a ＋b ＋c 的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D 【详解】由a ，b ，c 均为正数，abc ＝4(a ＋b )，得c ＝44a b+，代入得a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋44a b +＝4()a a +＋4()b b +8，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立， 所以a ＋b ＋c 的最小值为8. 故选：D例4．（2022·全国·高三专题练习）若x ，R y ∈，221x y +=，则x y +的取值范围是（ ） A ．(-∞，2]- B ．(0,1) C ．(-∞，0] D ．(1,)+∞【答案】A 【详解】因为122222x y x y =+⋅ 所以124x y+， 即2x y +-，当且仅当1222x y==，即1x y ==-时取“=”， 所以x y +的取值范围是(-∞，2]-. 故选：A.例5．（2021·山西大同·高三阶段练习（理））已知点(),P a b 在直线23x y +=上，则24a b+的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．4【答案】C 【详解】∵点(),P a b 在直线23x y +=上， ∴23a b +=，所以24a b +≥当且仅当2a b =时，等号成立 故选：C.例6．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））已知0x >，0y >，且420x y xy +-=，则2x y +的最小值为（ ）A．16 B ．8+C ．12D ．6+【答案】A 【详解】由题可知241x y +=，乘“1”得24822(2)8816x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当82x y y x=时，取等号，则2x y +的最小值为16. 故选：A例7．（2021·贵州遵义·高三阶段练习（文））已知a ，b 为正实数，且满足326a b +=，则23a b+的最小值为（ ）A．2 B ．C ．4D ．【答案】C 【详解】由326a b +=，可得123a b+=，2323232242332a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2332b aa b =且326a b +=，即31,2a b ==时等号成立． 故选：C ．例8．（2021·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知097x y x y xy >++=，，，则3xy 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【详解】解：因为097x y x y xy >++=，，，所以79xy x y -=+≥即70xy +≤，则1)0≤，所以71-≤，又,0x y >，所以01xy <≤，所以3xy 最大为3. 故选：C.例9．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知a 、()0,b ∈+∞，若14a b a bλ+≥+恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．[)5,+∞B ．[)9,+∞C ．(],5-∞D ．(],9-∞【答案】D 【详解】因为a 、()0,b ∈+∞，由已知可得()14a b a b λ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，因为()144559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2b a =时等号成立，故实数λ的取值范围为(],9-∞， 故选：D ．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a 等于（ ）A ．6B ．8C ．16D ．36【答案】D 【分析】利用基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可 【详解】因为()4(0,0)a f x x x a x =+>>，故4a x x +≥=当且仅当4a x x =，即x =3,36a == 故选：D 【点睛】均值不等式a b +≥一正：0,0a b >>，二定：ab 为定值，三相等：当且仅当a b =时等号成立2．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三阶段练习（文））三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（ ）A ．如果,a b b c >>，那么a c >；B ．如果0a b >>，那么22a b >；C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立；D ．如果a b >，0c >，那么ac bc >． 【答案】C 【分析】设图中直角三角形的直角边长分别为,a b 积以及外围正方形的面积，由图可得结果.【详解】设图中全等的直角三角形的直角边长分别为,a b 图中四个直角三角形的面积和为1422a b ab ⨯⨯⨯=，外围正方形的面积为222a b =+.由图可知，四个直角三角形的面积之和不超过外围正方形的面积，所以222ab a b ≤+，当且仅当a b =时，等号成立.故选：C.3．（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（ ） A ．21lg lg 4x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭ (0)x >B ．1sin 2sin x x+≥ (,)x k k Z π≠∈ C ．212x x +≥ ()x R ∈D ．2111x ≥+ ()x R ∈ 【答案】C 【分析】应用特殊值法，即可判断A 、B 、D 的正误，作差法有2212(||1)0x x x +-=-≥，即可确定C 的正误.【详解】 A ：当12x =时，有21lg lg 4x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故不等式不一定成立；B ：当sin 1x =-，即()322x k k Z ππ=+∈时，有1sin 22sin x x +=-<，故不等式不一定成立；C ：2212(||1)0x x x +-=-≥恒成立；D ：当1x =时，有211112x =<+，故不等式不一定成立； 故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-1【答案】D 【分析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案；【详解】2233(1)(1)111x x x x y x x ++++++==++ 1[(1)]1(1)x x =--+++-+11≤-=-， 当且仅当1111x x +==-+,即2x =-等号成立. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件. 5．（2022·全国·高三专题练习）若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（ ）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D 【分析】构造基本不等式()1()33f x x x =-+-即可得结果. 【详解】 ∵72x ≥，∴30x ->，∴()()22316101()=32333x x x f x x x x x -+-+==-+≥=---， 当且仅当133x x -=-，即4x =时，等号成立，即()f x 有最小值2. 故选：D. 【点睛】本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题.6．（2022·浙江·高三专题练习）已知x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，若不等式21x y+≥m 2+7m恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．﹣8≤m ≤1B ．m ≤﹣8或m ≥1C ．﹣1≤m ≤8D ．m ≤﹣1或m ≥8【答案】A 【分析】由题意可得21x y +=（x +2y ）（21x y +）4y x x y =++=8，不等式21x y +≥m 2+7m 成立⇔m 2+7m ＜（21x y+）min ，即可求得实数m 的取值范围．【详解】解：∵x ＞0，y ＞0，x +2y ＝1，∴21x y +=（x +2y ）（21x y+）4y x x y =++=8．（当4y x x y =，即x ＝2y 12=时取等号），∵不等式21x y+≥m 2+7m 成立，∴m 2+7m ≤8， 求得﹣8≤m ≤1． 故选：A ．7．（2022·全国·高三专题练习）已知非负数,x y 满足1x y +=，则1912x y +++的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．10D ．16【答案】B 【分析】根据基本不等式，结合“1”的妙用即可得解. 【详解】由1x y +=，可得124x y +++=，19119()(12)12412129(1)1(19)(1044124x y x y x y y x x y +=++++++++++=+++≥+=++当且仅当(21)3y x +=+取等号， 故选：B8．（2022·全国·高三专题练习）设,x y 均为正实数，且33122x y+=++，则x y +的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．9D ．6【答案】A 【分析】根据题中条件，将所求式子化为()()3322422x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=+++⋅+- ⎪⎣⎦++⎝⎭，展开后，再利用基本不等式，即可得出结果.【详解】因为,x y 均为正实数33122x y+=++， 所以()()3322422422x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=+++-=+++⋅+- ⎪⎣⎦++⎝⎭22324324124822y x x y ⎛⎛⎫++=++-≥+-=-= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当2222y x x y ++=++，即4x y ==时取等号.因此x y +的最小值为8. 故选：A. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.9．（2022·全国·高三专题练习）若正数,x y 满足220x y xy +-=，则2x y +的最小值为（ ） A ．9 B ．8C ．5D ．4【答案】D 【分析】将已知条件化简得到1112y x+=，然后将2x y +变换成()112)2y x y x +⋅+（，然后化简整理结合均值不等式求解即可.【详解】由220x y xy +-=，有22x y xy +=，所以1112y x+=，则()()112212)22422x y x y x y y x y x +⋅=+⋅+=++≥+（，当且仅当22220x yy x x y xy ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，即12y x =⎧⎨=⎩时，等号成立.故选：D.10．（2022·全国·高三专题练习）若对满足8a b ab +=的任意正数a b ，及任意x ∈R ，不等式22218a b x x m +≥-++-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)6,-+∞B ．(],6-∞-C ．(],1-∞D ．[)1,+∞【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得2+a b 的最小值，即可转化为二次不等式恒成立问题，利用判别式求得实数m 的取值范围即可.【详解】∵正数a b ，满足8a b ab +=，∴811b a +=，()812822171725b a a b a b b a a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当28b aa b=，即2b a =，510a b ==，时，等号成立， ∴225218x x m ≥-++-，即2270x x m -++≥对任意实数x 恒成立， ∴()4470m ∆=-+≤，解得6m ≥-． 故选：A ． 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．11．（2022·全国·高三专题练习）设m ，n 为正数，且2m n +=，则1112m n +++的最小值为（ ）A ．32B ．53C ．74D ．45【答案】D 【分析】由2m n +=得125m n +++=，再利用基本等式“1”的代换进行求解. 【详解】由2m n +=得125m n +++=，11111121()(12)(2)12512512n m m n m n m n m n +++=⋅+⋅+++=⋅++++++++14[255≥+=， 当且仅当2112n m m n ++=++，即31,22m n ==时取等号， 故选：D.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．二、多选题 12．（2022·江苏·高三专题练习）已知0a >，0b >，且222a b +=，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．1ab ≤B ．112a b+≤C ．lg lg 1a b +≤D ．2a b +≤【答案】ACD 【分析】利用基本不等式逐一判断四个选项的正误即可得正确答案. 【详解】对于选项A ：2222a b ab +=≥，所以1ab ≤，当且仅当1a b ==时等号成立，故选项A 正确；对于选项B ：11a ba b ab ++=≥1ab ≤1≥，所以112a b +≥≥，当且仅当1a b ==时等号成立，故选项B 不正确； 对于选项C ：lg lg lg lg10a b ab +=≤=，故选项C 正确；对于选项D ：因为12a b +≤，所以2a b +≤，，当且仅当1a b ==时等号成立，故选项D 正确；故选：ACD三、填空题 13．（2022·浙江·高三专题练习）若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是________（填序号）.①114ab ≤；②111a b+≤；④a 2＋b 2≥8. 【答案】④ 【分析】结合基本不等式进行逐个判定，①③直接利用基本不等式可判定正误，②④通过变形可得正误.【详解】因为4=+≥a b a ＝b 时，等号成立），，ab ≤4，114ab ≥，故①③不成立； 1141a b a b ab ab ++==≥，故②不成立； 222()21628,a b a b ab ab +=+-=-≥故④成立.故答案为：④.14．（2022·全国·高三专题练习）若102a <<，则()12a a -的最大值是 _______ 【答案】1 8【分析】()()()()22121112212222a a a a a a ⎛⎫+--=-≤⋅ ⎪⎝⎭即可求得最值.【详解】102a <<，故120a ->，则()()()()2212111122122228a a a a a a ⎛⎫+--=-≤⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当2=12a a -即14a =时取“=”， 故答案为：1 8.15．（2022·全国·高三专题练习）若正数,x y 满足2249330x y xy ++=，则xy 的最大值是________．【答案】2 【分析】利用基本不等式进行转化即可得解. 【详解】由0,0x y >>，得()()224932233x y xy x y xy ++⋅⋅+≥ ，当且仅当23x y =时等号成立，∴ 12330xy xy +≤，即2xy ≤， ∴ xy 的最大值为2． 故答案为：216．（2022·全国·高三专题练习）函数31x y a -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中0m >，0n >，则mn 的最大值为___________.【答案】124【分析】根据指数函数的图像性质求出A 点坐标，代入直线方程，利用均值不等式即可求解. 【详解】解：函数31x y a -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ， ()3,2A ∴，点A 在直线10mx ny +-=上，321m n ∴+=， 又0m >，0n >，132m n ∴=+≥，124mn ∴≤，当且仅当32321m n m n =⎧⎨+=⎩，即11,64m n ==时等号成立，所以mn 的最大值为124， 故答案为：124. 17．（2022·全国·高三专题练习）当1x >时，41x x +-的最小值为______． 【答案】5 【分析】将所求代数式变形为441111x x x x +=-++--，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为1x >，所以10x ->，所以44111511x x x x +=-++≥=--， 当且仅当411x x -=-即3x =时等号成立，所以41x x +-的最小值为5，故答案为：5.18．（2022·全国·高三专题练习）已知x ，0y >，且满足2x y +=，则14x y x y+++的最小值为_________【答案】132【分析】将()1414114222x y x y x y x y x y ⎛⎫+++=++=+++ ⎪⎝⎭展开利用基本不等式即可求解. 【详解】 因为2x y +=，所以()1414114222x y x y x y x y x y ⎛⎫+++=++=+++ ⎪⎝⎭()141113252525222222x x y y ⎛⎛⎫=+++≥++=+⨯+⨯= ⎪ ⎝⎭⎝， 当且仅当24x y y x x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩即2343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，所以14x y x y +++的最小值为132.故答案为：132. 19．（2022·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为______．【答案】18 【分析】等式280x y xy +-=变形为281y x +=，则28()()x y x y y x +=++根据基本不等式即可得到答案．【详解】解：已知0x >，0y >，且280x y xy +-=．28x y xy +=，即：281y x+=．则282828()()101018x y x yx y x y yxy xy x+=++=++⋅=，当且仅当28x y y x=，212x y ==时取等号， 所以x y +的最小值为18． 故答案为：18．20．（2022·全国·高三专题练习）已知,a b ∈R ，且210a b -+=，则124ab+的最小值为___________.【分析】首先根据题意得到21a b -=-，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由210a b -+=得21a b -=-，所以212224aa b b -+=+≥ 当且仅当222a b -=，即12a =-，14b =时取等号.21．（2022·上海·高三专题练习）若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________．【答案】【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】0 , 0a b >>，212a b b a b b b ∴++≥=+≥当且仅当21a a b =且2b b=，即a b ==所以21ab ab ++的最小值为故答案为：22．（2022·全国·高三专题练习）已知()()23601x x f x x x ++=>+，则()f x 的最小值是________．【答案】5 【分析】将函数()y f x =的解析式变形为()()4111f x x x =++++，然后利用基本不等式可求得该函数的最小值.【详解】当0x >时，11x +>，()()()232444211111x x f x x x x x x +++==++=++++++15≥=， 当且仅当411x x +=+，即当1x =时，等号成立， 因此，函数()()0y f x x =>的最小值为5. 故答案为：5. 【点睛】本题考查利用基本不等式求解函数的最小值，解答的关键就是对函数解析式进行化简变形，考查计算能力，属于基础题.23．（2022·全国·高三专题练习）设x ，y ，z 为正实数，满足20x y z -+=，则2yxz的最小值是__________．【答案】8 【详解】解：由题意可得：2y x z =+ ，则：()2224448x z y x z xz xz z x +==++≥= ， 当且仅当2x z = 时等号成立，即：2y xz的最小值是8.点睛：应用基本不等式要有两个防范意识：一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式a ＋b 22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.24．（2022·全国·高三专题练习）函数2221x x y x ++=+的值域是_______．【答案】(][),22,-∞-+∞ 【分析】将函数2221x x y x ++=+进行化简，得到()()2111111x y x x x ++==++++，分别对10x +>和10x +<，利用基本不等式，得到答案.【详解】 函数2221x x y x ++=+ ()()2111111x x x x ++==++++，当10x +>，由基本不等式得()1112y x x =+++≥， 当且仅当111x x +=+，即0x =时，等号成立， 当10x +<时，由基本不等式得()1112y x x ≤-=+++， 当且仅当111x x +=+，即2x =-时，等号成立， 所以函数的值域为(][),22,-∞-+∞， 故答案为(][),22,-∞-+∞. 【点睛】本题考查求具体函数的值域，属于简单题.25．（2021·四川·成都七中一模（文））已知实数,x y 满足2241x y xy ++=，则2x y +的最大值为___________.【分析】利用基本不等式，即可求解. 【详解】 解：()()()()22222233251422222228x y x y xy x y xy x y x y +⎛⎫=++=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即2x y +(当且仅当2x y =，即x y ==)26．（2020·辽宁·开原市第二高级中学三模）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.【答案】4 48【分析】设BM x =，则123AN x =+，则()124843324AMPN S x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式即可得解.【详解】解：设BM x =，则34x x AN =+，则123AN x=+， 则()12484843324232448AMPN S x x x x x x ⎛⎫=++=++⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当483x x=，即4x =时等号成立，故矩形花坛的AMPN 面积最小值为48． 即当4BM =时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为48. 故答案为：4；48.。