第一讲 简便运算与分数巧算1

第一讲:分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有1a b⨯a b <1111(a b b a a b=-⨯-(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：，形式的，我们有：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+1111[(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） （2）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

一、知识站点：1．分数的基本运算；2．分数四则混合运算；3．分数与小数的混合运算；4．连锁约分与整体约分；5．简单的繁分数化简。

二、知识讲解与相关例题：1．分数的基本运算：①分数的加减法：关键词：最小公倍数，通分。

②分数的乘除法：关键词：最大公约数，约分，倒数。

【例题】请计算下列各题：⑴31=72＋⑵51=83－⑶135×=2526⑷711÷=9182．分数的四则混合运算：⑴分数四则混合运算的法则与整数相同；⑵分数满足整数的基本运算律；⑶要熟练掌握带分数与假分数的互换。

【例题】(2006年香港圣公会小学生数学奥林匹克竞赛)计算：3251 12= 4362⨯÷（－）（－）3．分数与小数的混合运算：⑴熟练掌握分数与小数的互换；⑵可根据具体题目全部化为分数或小数来运算。

【例题】(1996年全国小学数学奥林匹克竞赛)计算：791.831=1510＋－计算入门之分数的速算与巧算4．连锁约分与整体约分：⑴对式子进行化简，仔细观察；⑵当发现很多分数连乘，并且相邻分数的分子与分母对应相等时，用连锁约分；当发现分数相乘时，乘数的分子和分母对应有整体重叠时，可以整体约分。

【例题】(1997年我爱数学少年数学夏令营)计算：1111 2001111234100⨯⨯⨯⨯⨯（－）（－）（－）（－）计算：()3234912a ba b⨯⨯－－5．简单的繁分数化简：繁分数：分母上含有分数的分数。

化简关键：明确主分数线，从下到上逐层化简。

【例题】计算：1=12112－＋[本讲小结]1．分数的基本运算；2．分数四则混合运算；3．分数与小数的混合运算；4．连锁约分与整体约分；5．简单的繁分数化简。

分数运算简便方法分数运算是数学中的一种重要运算方式，简便方法可以帮助我们更快速、准确地进行分数运算。

下面我将介绍几种常用的分数运算简便方法。

一、分数的相加与相减1.找到两个分数的公共分母，如果两个分数的分母相同，则直接将分子相加或相减即可；2.如果两个分数的分母不同，则需要通过找到最小公倍数将两个分数的分母转化为相同的数，然后将分子相加或相减；3.如果两个分数的分子相同，则直接将分母相加或相减。

二、分数的相乘与相除1.分数相乘时，将两个分数的分子相乘得到新的分子，分母也相乘得到新的分母；2.分数相除时，将除数的分子乘于被除数的分母得到新的分子，除数的分母乘于被除数的分子得到新的分母；3.注意化简分数，将结果一般化简为最简分数形式。

三、分数的比较与排序1.比较分数大小时，可以将两个分数的分子相乘得到新的分子，分母也相乘得到新的分母，然后比较两个新的分数大小。

例如，分数1/2与2/3比较时，可以计算1×3=3与2×2=4，因为3<4，所以1/2<2/3；2.排序分数时，可以将分数化为相同的分母，然后按照分子大小进行排序。

四、分数的运算规律1.分数的分子与分母乘以相同的数，分数的值不变。

例如，分数1/2乘以2/2得到2/4，其值依然为1/2；2.分数的分子与分母同时除以相同的数，分数的值不变。

例如，分数2/4除以2/2得到1/2，其值依然为1/2；3.对于分数的加减乘除运算，先将分数化为最简分数，然后按照整数的运算规律进行计算，最后化简结果。

五、分数的应用1.在日常生活中，分数可以用来表示比例关系，比如：1/4表示四分之一，1/2表示一半；2.在商业计算中，分数可以用来表示价格折扣、比例利润等；3.在科学研究中，分数可以用来表示几何比例、物质比例等。

总结：分数运算虽然看似复杂，但是掌握了分数运算的简便方法，我们可以更加轻松、准确地进行分数的加减乘除运算。

通过寻找公共分母、化简分数、化为最简分数等技巧，可以帮助我们在分数运算中节省时间、减少错误。

带你了解分数的简便计算方法分数是数学中常见的一种表示形式，可以用来表示部分与整体之间的比例关系。

然而，对于一些人来说，分数计算可能会感到困惑和复杂。

本文将引导你了解一些简便的分数计算方法，帮助你更轻松地处理分数问题。

一、分数的基本概念在学习分数计算之前，首先需要了解几个基本概念。

分数由分子和分母组成，分子表示部分的数量，分母表示整体的数量。

例如，对于分数1/2，1是分子，2是分母。

二、分数的加法分数的加法是我们常见的计算方法之一。

当我们需要将两个分数相加时，首先要确保分母相同。

如果分母不同，需要找到它们的最小公倍数，然后将分子同时乘以相应的倍数，使得两个分数的分母相同。

接下来，我们只需要将分子相加，分母保持不变即可。

例如，计算1/3 + 1/4，找到它们的最小公倍数为12，分别乘以3和4得到3/12和4/12，于是我们得到3/12 + 4/12 = 7/12。

三、分数的减法分数的减法与加法类似，也需要确保分母相同。

如果分母不同，需要做同样的处理，将分数的分母调整为相同的值。

接下来，我们只需要将分子相减，分母保持不变即可。

例如，计算3/4 - 1/2，找到它们的最小公倍数为4，分别乘以2和2得到6/8和4/8，于是我们得到6/8 - 4/8 = 2/8，进一步简化为1/4。

四、分数的乘法分数的乘法是通过将两个分数的分子和分母相乘来实现的。

例如，计算2/3 * 4/5，我们将它们的分子2和4相乘得到8，将分母3和5相乘得到15，于是我们得到8/15。

五、分数的除法分数的除法是通过将一个分数的分子和另一个分数的分母相乘，同时将除数的分子和被除数的分母相乘来实现的。

例如，计算2/3 ÷ 1/4，我们将2/3的分子2和1/4的分母4相乘得到8，将2/3的分母3和1/4的分子1相乘得到3，于是我们得到8/3，进一步可以转化为2 2/3。

六、分数的化简有时候，我们需要将分数化简为最简形式。

一个分数被认为是最简的，当且仅当分子和分母没有共同的因数。

第一讲 分数求和的技巧方法总结分数求和的题目在近年的小升初考题和竞赛题中出现较为频繁，题型难度不一。

对初学的同学来说容易产生畏惧心理，但是只要了解此类题型的特点及解题思路，再结合一定量的练习，是可以轻而易举地解决此类问题的。

如果你能在各种各样的分数求和计算题中准确的识别出各种不同题型，就可以又快又准地计算出一个非常复杂的分数求和的结果。

一、 拆分（裂项）公式 （基本）ba aba b 11-=-11111+-=+n n n n ）（ dn n d n n d+-=+11）（dd n n d n n 1)11(1+-=+）（典型题目 1、11013012011216121++++++2、1101093029201912116521++++++3、2017117143141131183853523⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯4、1003211321121111+++++++++++5、设符号□、○代表不同的自然数，问算式61=+○=？6、ED C B A 1111121++++=二、 倒序求和法：典型题目 1、⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++1091021014342413231212、求分母不超过20的所有真分数之和。

3、求分母不超过100的所有真分数之和。

这三道题也可以用分组求和法。

三、 错项相减法： 典型题目1、+++2221……19902+2、+++1862……1032⨯+3、21+41+ 81+161+321四、 倒数转化法 典型题目（35×46×57）÷（24×35×46＋35×46×57＋46×57×68）五、 按特点与要求分拆 典型题目=++++++++883842977537241633756293678371六、 整体考虑换元法（代数法） 典型题目1、2、=+⨯+++-++⨯++)975753357579()531135975753357579135531()531135975753357579()975753357579135531(七、 提取公因数约分法典型题目 1、2、2005200520002005200520052005200520052005200020002000200020002000个个++++八、 凑整法典型题目与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整十数、整百数……从而使运算得到简化。

第一讲简便运算与分数巧算一、简便运算1．运算定律加法交换律：a＋b = b＋a加法结合律：（a＋b）＋c = a＋（b＋c）乘法交换律：a×b = b×a乘法结合律：（a×b）×c = a×（b×c）乘法分配律：（a＋b）×c = a×c＋b×c（a－b）×c = a×c－b×c2．其它性质a－b－c = a－c－b 可以变化顺序a－b－c = a－（b＋c）可以加起来一起减a－（b－c）= a－b＋c括号前是减号，去掉后变符号a＋（b－c）= a＋b－c括号前是减号，去掉后不变符号a÷b÷c = a÷c÷b可以变化顺可以a÷b÷c = a÷（b×c）可以乘起来一起除a－b＋c = a＋c－b 可以变化顺序a÷b×c = a×c÷b可以变化顺序3.基本题型156-49-51 156+74-56 18＋298＋3998＋49998537－（543－163）－57 43×11＋43×36＋43×52＋439999＋999＋99＋9 （2005＋2006＋2007＋2008＋2009＋2010＋2011）÷200856-38+44 153+（47+168）25×125×4×8 16×4+4×436÷2÷3 100×4÷2576×99 25×1625×125×32 303×293125×(17×8)二、相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，1.等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：1、1+2+3+4+5+6+7+8+92、1+3+5+7+92.等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半。

第1课速算与巧算例1:简便运算（1）26+38+74 （2）121+357+379+143<分析与解答>（1） 26+38+74 （2） 121+357+379+143=（26+74）+38 =（121+379）+（357+143）=100+38 =500+500=138 =10001A、（1）37+96+63 （2）198+136+102 （3）528+434+172 （4）1234+626+766（5）829+435+171 (6) 237+184+763+816 1B、（1）172+(348+328)+152 （2）(223+334+477)+566 （3）（58+43）+57+42 （4）272+187+(359+328)+413(5)（372+149）+（628+351）+396例2:简便运算（1）996+548 （2）763+802<分析与解答>（1） 996+548 （2） 763+802=996+4+544 =763+800+2=1000+544 =1563+2=1544 =15652A、（1）97+85 （2）996+788（3）892+501 （4）1898+303（5）997+4882B、（1）1999+4567 （2）997+998 （3）3998+4996 （4）2874+1872+1129(5) 3196+1306+999例3:简便运算（1）346-72-28 （2）1994-124-225-651<分析与解答>（1） 346-72-28 （2） 1994-124-225-651=346-（72+28） =1994-（124+225+651）=346-100 =1994–1000=246 =9943A、（1）786–32–68 （2）443–125–175 （3）329–137–63 （4）1298–133–673B、（1）392–73–57–70 （2）887–123–227–150 （3）1892–544–456–500 （4）2367–106–113–148(5) 9392–1288–1101–1003例4:简便运算（1）1796–89–796 （2）（738+357+404） -257 <分析与解答>（1） 1796–89–796 （2）（738+357+404） -257=1796–796–89 =738+（357–257）+404=1000–89 =738+100+404=911 =838+404=12424A、（1）396–175–196 （2）247–99–147 （3）3588–892-588 （4）1744–256–244(5) 9898–1357–8984B、（1）4325+（496+673）-496 （2）（5328+176）+24–328 （3）4962+872–962+128 （4）414+（509–114）+91(5) 782+374–282+126例5:简便运算（1）3876-（876+49） (2)3876–(876–49)<分析与解答>（1） 3876-（876+49）（2） 3876-（876–49）=3876–876–49 =3876–876+49=3000–49 =3000+49=2951 =30495A、（1）537-（184+137）（2）1292-（292+188）（3）1337-（492+337）（4）1964-（464+298）（5）8878-（1072+878）5B、（1）4392-（1392–189）（2）3578-（2578–939）（3）7659-（1659–3838）（4）3027-（27–1103）(5) 9453-（5453–1808）例6:简便运算（1）1176–782+582 （2）612-（437–388）<分析与解答>（1） 1176–782+582 （2） 612-（437-388）=1176-（1176–582） =612–437+388=1176–200 =612+388–437=976 =1000–437=5636A、（1）4237–938+638 （2）1723–597+397 （3）9292–8317+317 （4）1878–936+536(5) 4325–5126+11266B、（1）432-（799–568）（2）2376-（1854–624）（3）3249-（1764–951）（4）8762-（543–238）(5) 1111-（234–889）例7:简便运算（1）3689–2003 （2）1754–899<分析与解答>（1） 3689–2003 （2） 1754 –899=3689–2000–3 =1754–900+1=1689–3 =854+1=1686 =8557A、（1）1369–210 （2）1482–908 （3）7276–5004 （4）3212–807(5) 4403–19057B、（1）487–298 （2）3191–2999 （3）1935–999 （4）4987–2996(5) 5939–2998例8:巧算51+53+50+48+53+46+54+56+49+52<分析与解答>为了计算方便，本题可选用50作为基准数：原式=50×10 +（1+3+0+3+4+6+2） -（2+4+1）=500+19-7=5128A、(1)82+76+84+80+78+83+81+80+73+85（2）102+101+103+99+97+100+105+103+94+99(3)117+123+122+118+124+117+126+121+119+1238B、（1）204+201+196+195+202+203+199+207+197+196(2)132+131+129+127+135+128+130+126+133+129(3)（95+98+107+104+106+99+93+99+108+101）÷5=例9:巧算（1）1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 （2）1+2+3+4+……+15<分析与解答>(1) 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+10+10+ 9+ 8+ 7+ 6+ 5+ 4+ 3+ 2+ 111+11+11+11+11+11+11+11+11+11 有10个11这样就将本题相加了两次，这个总和是本题和的2倍，因此本题的和是：11×10÷2=110÷2=55,其中11=1+10=2+9=3+8……，为便于计算，通常就取两头的两个数，所以此题计算方法是：（1+10）×10÷2=11×10÷2=55.（2）按上题的计算方法:原式=（1+15）×15÷2=16×15÷2=8×15=1209A、（1）1+2+3+4+5+ (12)（2）1+2+3+4+5+ (20)（3）1+2+3+4+5+ (100)9B、（1）5+6+7+8+ (20)（2）11+12+13+ (50)（3）41+42+43+ (100)例10:巧算1+3+5+7+9+11+……+17+19<分析与解答>(1)连续两个自然数中，一个是奇数，一个是偶数，所以1--20有10个奇数，10个偶数，此题是10个连续奇数相加：（1+19）×10÷2=20×10÷2=100.(2)此题是自1起的10个连续奇数相加,可用:总和=个数×个数来进行计算。

五年级下册数学教案：分数简便计算的秘诀与技巧分数是数学中非常重要的一个概念，也是我们日常生活中经常会用到的一个数字类型。

当我们遇到分数的计算时，通常都会感到有些麻烦和困难。

但是其实，只要我们掌握了一些简便计算的秘诀和技巧，就可以让分数计算变得更加轻松和简单。

下面就让我们来看看五年级下册数学教案中的分数简便计算的秘诀与技巧。

一、分数化简化简分数是指让分数的分子与分母同时除以一个相同的数，使得分数的约分后的结果更简洁。

化简分数的秘诀如下：1.将分数约分到最简分数。

2.小数和分数的互化。

3.通分与分数的加减。

4.分数的乘除。

例如，计算 $\frac{12}{36}$ 的最简分数，需要找到它们的最大公约数，即 12。

将分子和分母同时除以 12，得到 $\frac{1}{3}$，即化简后的最简分数。

二、分数的加减通分是分数加减的前提条件，只有分母相同才能进行加减运算。

为了方便计算，我们可以将分数化成相同分母的形式，将分子相加或相减。

具体计算方法如下：1.找到两个分数的最小公倍数，确定相同的分母。

2.将两个分数的分子相加或相减。

3.化简结果。

例如，计算 $\frac{1}{4}+\frac{3}{8}$，需要确定两个分数的最小公倍数，即 8。

将 $\frac{1}{4}$ 和 $\frac{3}{8}$ 化成同分母的形式，得到 $\frac{2}{8}+\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$，即最终计算结果。

三、分数的乘除分数的乘除运算也是常见的分数计算方法。

乘法和除法的计算方法如下：1.分数乘除时，保留原分数的分子和分母。

2.分子与分子相乘，分母与分母相乘。

3.若结果是分数，则化简为最简分数。

例如，计算 $\frac{2}{5}\times \frac{3}{8}$，将两个分数的分子和分母分别相乘，得到 $\frac{6}{40}$。

将分数化简为最简分数，得到 $\frac{3}{20}$，即最终计算结果。