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课题巧算加减法在千姿百态的数学计算中，巧算是其最为艳丽的一朵奇葩，要想算得又快又准，关键在于掌握运算技巧，了解题目的特点，善于运用运用运算定律和性质（包括正用、逆用、连用）。
实际计算时要敏于观察、善于思考，选用合理、灵活的计算方法，使计算简便易行，即巧算。
教学目标1、熟练掌握加减法运算法定律及性质2、善于运用运算定律和性质（包括正用、逆用、连用）。
教学重难点重点：加法运算律难点：把加法运算律沿用到加减法混合运算中，尤其在含有括号的题目中。
教学过程一、高斯计数的典故高斯出生在一个贫穷的家庭。
他八岁时进入乡村小学读书。
教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小用。
而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣。
这一天正是数学教师情绪低落的一天。
同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天抓这些学生处罚了。
“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。
谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。
”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了。
教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算。
有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来。
还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去。
“老师，答案是不是这样？”老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算！错了。
”他想不可能这么快就会有答案了。
可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案是对的。
”数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数的方法。
四年级下册数学奥数练习：第一讲巧算全国通用（含答案）第一讲巧算[同步巩固演练]1、简算下列各题（1）1308—（308—159）（2）1999+999×999（3）54×102（4）75×27+19×25（5）0—1+2—3+4—5+6—7+………—99+100（6）1440×976÷488（7）5÷（7÷11）÷（11÷16）÷（16÷35）（8）9999×7778+3333×6666（9）199999+19999+1999+199+19（10）2003×2005—2002×20062、简算下面各题（1）3600000÷125÷32÷25（2）5×96×125×25（3）3456×998（4）1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷（5÷6）÷（6÷7）÷（7÷8）（5）22222×222223、简算下面各题（1）43÷23+3÷23（2）765×123÷27+765×327÷274、简算下面各题（1）19961997×19971996—19961996×19971997（2）123456789×987654321—123456788×987654322[能力拓展平台]1、计算下面各题（1）7+17+127+1237+12347+123457+1234567（2）1212—1111+1010—909+808—707+606（3）7×17+8×18+9×19+10×20+71×7+81×8+91×9+20×10（4）99×43+98×42+97×41（5）44327+22345+17252+49414+23212+43454+36987+29679 （6）1392+2859+3646+4873+5237+6464+7251+8718（7）（1419+14319+143319+1433319+14333319）÷43（8）2001×2002×2003—1999×2000×2001（9）3+33+333+……+3333333333（10）40404+5050+60606+7070+80808+9090+101010+11111+1212 12+13131 [全讲综合训练]计算下面各题1、1234×9009142、123455+234566+345677+456788+5678993、376+385+391+380+377+389+383+374+366+3784、8642—7531+6420—5317+4208—3175+2084—17535、6472—（4476—2480）+5319—（3323—1327）+9354—（7358—5362）+6839—（4843—2847）6、567×142+426×811+8520×507、2375×3987+9207×6013+3987×68328、123456789×8109、99+99×99+99×99×9910、（123456+234561+345612+456123+561234+612345）÷7第一讲巧算[同步巩固演练]1、（1）1159原式=1308-308+159=1000+59=1159（2）1000000原式=1000+999+999×999=1000+999×（999+1）=1000+999×1000=1000000 （3）5508原式=54×（100+2）=5400+108=5508（4）2500原式=25×3×27+19×25=25×81+19×25=25×（81+19）=25×100=2500（5）50原式=（100-99）+（98-97）+…+（4-3）+（2-1）=1×100÷2=50（6）2880原式=1440×（976÷488）=1440×2=2880（7）25原式=5÷7×11÷11×16÷16×35=（35÷7）×（11÷11）×（16÷16）×5=5×1×1×5=25（8）99990000原式=9999×7778+3333×3×2222=9999×7778+9999×2222=9999×（7778+2222）=9999×10000=99990000（9）222215原式=（199999+1）+（19999+1）+（1999+1）+（199+1）+（19+1）-5=200000+20000+2000+200+20-5=222220-5=222215（10）3原式=（2002+1）×2005-2002×（2005+1）=2002×2005+2005-2002×2005-2002=2005-2002=32、（1）36原式=3600000÷（125×8×4×25）=3600000÷（1000×100）=3600000÷100000=36（2）1500000原式=5×4×8×3×125×25=（125×8）×（25×4）×5×3=1000×100×15=1500000（3）3449088原式=3456×（1000-2）=3456000-6912=3449088（4）4原式=1÷2×3÷3×4÷4×5÷5×6÷6×7÷7×8=8÷2=4（5）493817284原式=2×2×11111×11111=4×123454321=4938172843、（1）2原式=（43+3）÷23=46÷23=2（2）12750原式=765×（123+327）÷27=765×450÷9÷3=（765÷3）×（450÷9）=255×50=127504、（1）10000原式=（19961996+1）×19971996-19961996×（19971996+1）=19961996×19971996+19971996-19961996×19971996-19961996=19971996-19961996=10000（2）864197533原式=（123456788+1）×987654321-123456788×（987654321+1）=123456788×987654321+987654321-123456788×987654321-123456788 =987654321-123456788 =864197533[能力拓展平台]1、（1）1371759原式=7×7+（1+2+3+4+5+6）×10+（1+2+3+4+5）×100+（1+2+3+4）×1000+（1+2+3）×10000+（1+2）×100000+1000000=49+210+1500+10000+60000+300000+1000000=1371759（2）909原式=101+101+101+101×6=101×（1+1+1+6）=101×9=909（3）2798原式=7×（17+71）+8×（18+81）+9×（19+91）+10×（20+20）=7×88+8×99+9×110+10×40=11×（56+72+90）+400=2798（4）12350原式=（100-1）×43+（100-2）×42+（100-3）×41=100×（43+42+41）-（43+2×42+3×41）=12350（5）266670原式=6+（44321+22345）+（17252+49414）+（23212+43454）+（36987+29679）=6+6666×4=266670（6）40440原式=（1392+8718）+（2859+7251）+（3646+6464）+（4873+5237）=10110+10110+10110+10110=10110×4=40440（7）370365原式=1419÷43+14319÷43+143319÷4343+1433319÷43+14333319÷4343=33+333+3333+33333+333333=370365（8）24024006原式=2001×[（2000+3）×2002-1999×2000]=2001×[2000×3+2002×3]=2001×3×4002=240 24006（9）3703703700原式=3×1+3×11+3×111+...+3×1111111111=3×（1+11+111+ (1111111111)=3×1234567900=3703703700（10）449492原式=10101×（4+6+8+10+12）+1010×（5+7+9+11）+1+13131=10101×40+1010×32+13132=404040+32320+13131=449492[全讲综合训练]（1）、1111727876原式=1234×（900000+900+14）=1234×900000+1234×900+1234×14=1110600000+1110600+17276=1111727876（2）1728385原式=345677×5=345677×10÷2=3456770÷2=1728385（3）3799原式=380×10+（5-4+11-3+9+3-6-14-2）=3800-1=3799（4）3578原式=（8642-7531）+（6420-5317）+（4208-3175）+（2084-1753）=1111+1103+1033+331=3578（5）20000原式=6472+5319+9354+6839-1996×4=27984-7984=20000（6）0原式=567×142+142×（3×811）-142×60×50=142×（567+2433-3000）=0（7）92070000原式=3987×（2375+6832）+9207×6013 =3987×9207+9207×6013=9207×（3987+6013）=9207×10000=92070000（8）9999999990原式=123456789×（900-90）=123456789×900-123456789×90=11111111100-1111111110=9999999990（9）98019原式=99+99×99×（99+1）=99+99×99×100=99×（1+9900）=（100-1）×9901=990100-9901=980199（10）333333原式=(1＋2＋3＋4＋5＋6)×111111÷7 =21÷7×111111 =333333。
四年级奥数：简便运算之乘除法巧算
我们平时把运算说成有一级运算和二级运算，一级运算指加法和减法运算，二级运算指乘法和除法运算。
本次课程我们主要讲解如何运用乘法、除法解决复杂而灵活的计算题：
（1）乘法简算：如果几个乘法算式中都有一个相同的因数，我们可以运用乘法的分配律简便计算；如果不能直接找到相同的因数，则需要我们把其中的一些因数转化成几个数的和、差、积、商的形式，然后再运用乘法的分配律计算。
（2）除法简算：如果除数相同，就把所有的被除数先加起来，然后再除以除数；如果除数不相同，可以通过交换位置的方法先计算有倍数关系的数或者对被除数、除数进行适当的分析。
下面就通过一些具体的例子来给大家说明，
例题1
当算式中没有相同的部分时，可以先拆出一个相同的因数或拆出一个相同的因式，再利用合并倍数法。
例题2
如果一个算式中某一个因数是由几个相同的数重复构成，则可以把这个数写成重复出现的数与另一个数的乘积。
例题3
在乘除法计算中，首先观察式子中的数有没有倍数关系，如果有则可以先抵消再计算。
四年级思维数学第一讲用简便方法计算学习目标思维目标：学会用正确的方法来解答一些较复杂的题目，正确进行简便运算。
数学目标：对四年级已经学过的方程和四则混合运算进行复习与巩固。
知识梳理思维：根据数与数的特点，在乘除运算中灵活法则、运算定律进行巧算。
数学：根据乘法分配率、结合律、加法分配率结合律、减法性质、除法性质来进行合理巧算。
精讲精练【例1】 100＋99－98－97＋96＋95－94－93＋…＋8＋7－6－5＋4＋3－2－1金钥匙：仔细观察发现，一共有100项，可以组成50组。
这题可以像这样解答：100＋99－98－97＋96＋95－94－93＋…＋8＋7－6－5＋4＋3－2－1= （100－98）+（99－97）＋（96－94）+（95－93）＋…＋（8－6）+（7－5）＋（4－2）+（3－1）= 2×50= 100试金石：1、2009－2008+2007－2006+……+3－2+12、1－2－3+4+5－67+8+9－……+2004+2005－2006－2007+2008+2009【例2】 998×1001金钥匙：做这题时，我们可以根据乘法分配来完成。
998×1001= 998×（1000+1）= 998×1000+998×1= 998000+998= 998998试金石：1、 234×10012、736×1001001 3． 45×1010101【例3】计算：911911×910－911×910910金钥匙：仔细观察其中的奥秘：911911=911×1001，那么这题可以这样解：911911×910－911×910910= 911×1001×910－911×910×1001= 0试金石：1、2011×20092009－2009×201120102、2003×200220022002－2002×200320032003。
小学奥数讲义四年级目录第一讲、巧算加减法第二讲、巧算乘除法第一讲、巧算加减法在千姿百态的数学计算百花园中,巧算是其最为艳丽的一朵奇葩,要想算得又快又准,关键在于掌握运算技巧,了解题目的特点,善于运用运算定律与性质包括正用、反用、连用等,实际计算时,要敏于观察,善于思考,选用合理、灵活的计算方法,使计算简便易行,即巧算;【例1】计算12014+92-14=2014-14+92=2000+92=20922823-92+177=823+177-92=1000-92=908说明1运用了性质：a+b-c=a-c+b; 2运用了性质：a-b+c=a+c-b;【例2】计算1999+999×99929+99+999+9999分析1题可逆用乘法对加法的分配律；2题可采用“添1凑整”的方法;解1999+999×999=999×1+999×999=999×1+999=999×1000=99900029+99+999+9999=10-1+100-1+1000-1+10000-1=10+100+1000+10000-4=11110-4=11106说明1题运用了性质:axb+axc=axb+c随堂练习11937+115-37+85；2999+99+9+3 第十届“走进美妙数学花园”初赛A卷第一题【例3】计算1528-196+32821308-308-49分析加减法简便运算的基本思路是“凑整”,即将能通过加减运算后得到整十、整百、整千……的数,先运用性质计算它们的结果;解 1528-196+328=528-196-328=528-328-196=200-196=421308-308-49=1308-308+49=1000+49=1049说明1运用了性质：a-b+c=a-b-c=a-c-b2 运用了性质：a-b-c=a-b+c【例4】计算14256+125+875-2562847-578+398-222解14256+125+875-256=4256-256+125+875=4000+1000=5000；2847-578+398-222=847-578+398-222=847+400-2-578+222=1245-800=445说明这两道题综合性很强,运用了加、减法的交换律和结合律,还用整十、整百、整千……来代替很接近的数,从而给计算带来方便;随堂练习2计算下列各题：1354+646-198；23842-.【例5】计算1701+697+703+704+696272+66+75+63+69分析1这几个数都接近700,选择700作为基数,计算的时候,找出每个数与700的差,大于700的部分作为加数,小于700的部分作为减数;用700与项数的积再加、减这些“相差数”就是所求胡结果;2选取这几个数的中间数69为基准数,先用69乘以项数,再口算出各数与69的差,通过加减相抵,就能很快求出和;解 1701+697+703+704+696=700×5+1+3+4-3+4=3500+8-7=3501；272+66+75+63+69=69×5+3-3+6-6+0=69×5=345说明若干个比较接近的数相加,可以从这些数中选择一个数作为计算胡基础,这个数叫做“基准数”；2中的“基准数”若选为70,求和更简便;【例6】计算：100+99-98-97+96+95-94-93+…+8+7-6-5+4+3-2-1分析这是一道多个数进行加、减运算的综合题,加、减项数共有100项;若要简化计算,可通过前后次序的交换,把两个数结合为一组,共可结合成50组,每组值均为2.解原式=100-98+99-97+96-94+95-93+…+8-6+7-5+4-2+3-1=2×50=100说明也可以依次把四个数结合为一组,得到100+99-98-97=96+95-94-93=…=4+3-2-1=4即可将原式组合成25组,每组值均为4,结果等于4x25=100随堂练习3计算下列各题：1+++++2100-99+98-97+96-95+…+4-3+2-1练习题1、69+18+31+822、53、713-513-2294、2356-356+1995、19+299+3999+499996、200-198+196-194+…+8-6+4-27、560-557+554-551 +…+500-4978、2000+7+1996+3+…+8+7-6-5+4+3-2-1第二讲、巧算乘除法四则运算中巧算的方法很多,我们可以根据已学过的知识,通过一些运算定律、性质和一些技巧性方法,达到计算正确而快捷的目的.实际进行乘法、除法以及混合运算时可利用以下性质进行巧算：①乘法交换律：a×b=b×a②乘法结合律：a×b×c=a×b×c③乘法分配律：a+b×c= a×c+b×c由此可推出：a×b+a×c=a×b+c,a-b×c=a×c-b×c④除法的性质：a÷b÷c=a÷c÷b=a÷b×c利用乘法、除法的这些性质,先凑整得10、100、1000,…会使计算更简便、更快捷、更准确;【1】计算125×5×64×125256×165÷7÷11分析1在计算乘除法时,我们通常可以运用2×5、4×25、8×125来进行巧妙胡计算;2运用除法的性质,带着符号“搬家”;解125×5×64×125=25×5×2×4×8×125=25×4×5×2×8×125=100×10×1000=1000000256×165÷7÷11=56÷7×165÷11=8×15=120随堂练习1计算：125×96×125277777×99999÷11111÷11111【2】计算14000÷125÷829999×2222+3333×3334分析1题运用性质a÷b÷c= a÷b×c,可简化计算：2题将9999分解成3333×3就与3333×3334出现了相同的因数,可逆用乘法分配律简化计算;解14000÷125÷8=4000÷125×8=4000÷1000=429999×2222+3333×3334= 3333×3×2222+3333×3334= 3333×6666+3334=3333×10000随堂练习2计算下列各题：160000÷125÷2÷5÷8299999×7+11111×37【3】计算:218×730+7820×73分析本题可以运用“积不变的规律”,即“一个因数扩大几倍,另一个因数缩小相同的倍数,积不变”的规律求解;解法一218×730+7820×73=218×730+7820×73=218+7820×73=10000×73=730000解法二218×730+7820×73=218×730+7820×73=218+782×730=1000×730=730000说明本题运用乘法中积不变胡规律,就可以为运用乘法分配律进行巧算创造条件;这种解题方法叫做扩缩法;随堂练习3 计算5×480—2750×482102×100+101×99—101×100—102×99【4】不用计算结果,请你指出下面哪道题得数大;452×458 453×457分析注意到453=452+1,458=457+1,可运用乘法分配律加以判别;解452×458=452×457+1=452×457+452453×457=452+1×457=452×457+457显然452×458 < 453×457随堂练习4不用计算结果,比较下面两个积的大小;A=54321×12345 B=54322×123练习题1、75×162、981+5×9810+49×9813、25×77+55×14+15×774、3333×2222÷66665、8÷7+9÷7+11÷76、5445÷557、1440×976÷4888、5÷7÷11÷11÷16÷16÷359、2014×2016-2013×2017。
第一讲速算巧算(简便计算）内容简析一、什么叫做简便计算?就是利用加法运算定律、减法的性质、乘法的意义及定律、除法中商不变的性质及性质，把能够凑成整十、整百、整千……的数通过变形重新整合在一起，从而达到提高计算速度和准确性的计算过程,叫做简便计算。
二、简便计算中应注意的问题：1、注意把原题中的运算顺序进行改变.2、注意有减法和除法的简便计算中运算符号的改变。
3、注意口算时的准确性。
三、教学指导：第一类：加法的运算定律例1、简便计算375+1087+125 89+368+111 362+678+322+138小结：加法交换律a+b=b+a加法结合律（a+b）+b=a+(b+c)第二类：减法的性质例2、1078—147—53 289—（123+89）685—(485—399）小结：减法的性质a—（b+c）=a—b-c a—（b—c）=a-b+c第三类：乘法的意义及定律例三、325+325+323+327+325 125×87×8 125×32×2567×23+67×77 134×87—86×134—134小结；乘法的意义a+a+a+a+×…+a+a+a（b个a）=a×b乘法交换律a×b=b×a乘法结合律（a×b）×c=a×(b×c）乘法分配律（a±b)×c=a×c±b×c第四类:除法的性质例四、12300÷25 8700÷25÷4 8÷7+11÷7+20÷7小结：商不变的性质a÷b（b≠0）=（a÷c）÷(b÷c）=（a×c)÷(b×c）（c≠0）连除 a÷b÷c= a÷（b×c）几个数同时除以一个相同的数 a÷e+b÷e+c÷e=（a+b+c）÷e学生作业：1、625÷252、58500÷9003、75×164、25×64×1255、（350+165）÷56、（702—213—414)÷37、1248÷96×248、1000÷（125÷4）9、999+999×999 10、6237÷63 11、90000÷125÷2÷5÷8 12、176-98—22 13、60×25×4 14、175+99+101+125 15、14×42 16、53×99×25能力提高题:1、7272720÷9÷82、125×312×4×8×253、1111×99994、9999×9999+99995、8÷7+9÷7+11÷76、871×364÷1827、（10000-1000—100—10)÷108、864×37×279、146×31÷73×75 10、454500÷(25×45) 11、9600÷2512、125×792 13、5498—1928—387—1072—161314、5723—（723—189)+576—（276-211）15、99999×88888÷1111116、9999×2222+3333×3334第二讲平均数问题内容简析一、应用范围比较班级之间、同学之间成绩的高低,就是要求出各科成绩的平均分,还有平常生活和工作中，求平均身高、平均气温等。
沪教版四年级奥数第一讲：巧算1 •五个基本运算定律(1)加法交换律b —b^r(2)加法结合律+ +c = a + 3 十c).(3)乘法交换律:aXb^bXa.(4)乘法结合律：(a X 6) X c = aX (bX c)t(5)乘法分配律：(<2 ±W Xc = aXc±6Xc,2 •五个运算性质(D除法分配性质：(a i 6) H- c = a c ± b -T- c・(2)商不变性质：[a b = (a X c) -r (6 X c) = (a -r c) -r (6 -r c) t 7^ 0)*(3)加减法的运算性质：a b —c = a—c +a —6 —c = a ——c ——b —a — (^ +c )・⑷乘除法的运算性质：aXb-i- c = a 4^ c X ^»(c 0)»a -rb -rc = a -7- c -T'b = a -r (b X c) f(b f c护O)t(5)去插号：a-I- (b —c)= ◎ + b 一门a — (b — c) = a — b +a X Cb + c) — aXb-\-aXcia X (b c) = a X 6 4- (c 7^ 0) ja 十(b X c) = a~r 6 -r cta -r (& 4- c) = a -rb X C r(b tc 0).例 1 8X74-8X7 = ________ ・笫8屈(2010年)四年级笫1试分析•解在乘除混合运算中，如果算式中没有括号，计算时可以根据运算定律和性质调换因数或除数的位址.原式=848X7X7=1X7X7=49.例 2 123 + 456 + 789 + 987 + 654 + 321 = ______ •…「第9届(2011年)四年级培训题分析・解显然可以用加法结合律來计算，体现了凑整思想・原式=(123 + 987) + (456 + 654) + (789 + 321)= 1110 + 1110 + 1110=3330.■例 3 12 X 45 + 15 X 28 + 30 X 26 + 60 X 11 = ________ ・第7届(2009年)四年级培训题分析・解45,30,60分别是15的3倍、2倍、4倍，所以可逆用乘法分配律.原式=12X5X9 + 15X4X7 + 30X2X13 + 60X11 、= 60 X 9 + 60 X 7 + 60 X13 + 60X11 ••=60 X (9 + 7 + 13 +11) •、. •• '■ ■=2400. •、例 4 44 X 555 + 55 X 666 = __" • •第8届(2010年)四年级培训題分析•解44和55含有相同的因数11,555和666含有相同的因数1H ,由此可用乘法结合律及分配律. ■•• ••原式=4X11X5X111 + 5X11X6X111=11 X 111 X (20 + 30)-=1221 X 50 = 61050,:例 5 (70 一4 + 90 4-4) 一4 = .・•••第9届(2011年)四年级笫2试分析•解括号内的两个除法算式中的除数都是4,所以实质上是除法分配性质的逆运用.•….原式=[(70+ 90)-4]+ 4 -=160 + 4 + 4=40 -r 4 =10, ■ •例6用简便方法计算：-(1) 864 X 27 一54；(2) 25 X 720 + (18 — 4).第6活（2008年）四年级培训题分析•解算式（1）中的54是27的2倍,所以可用商不变的性质将除数和被除数同除以27•算式（2）很容易出错,要注意a+（6 — c） =G +6X C,这里,去括号是关键.♦•(1)(2) 原式=864 X (27 4-27) 4-2 = 864 4-2 = 432.原式= 2.5 X 720 + 18X4=(25 X 4) X (720 + 18) -:=10Q X 40=4000. 1・例7 1 + 11 + 21 + …+ 1991 十2001 -I- 2011 =分析•解笫9用（2011年）四年级的1试观察发现1,11,21,-/1991,2001,2011^202个数从第2个数删,加个数与它前而一个数的差都是10.若一列数皿2皿3，…山”，…，从第2个数遛徘一个数与它的而一•个数的遊都筲于厶则称这列数为綽星数列•前n个数的和珈由如下1因为S n = a\十心 + 心 + s =并(ai+a尺)十2 =nai -|- ?i(n — 1) • d 十 2.a2— a\ — d>«3 — ^2 = dy © —血=cl 9•••S — %2 = d >a n— a M-i = a»W±iTu(«一1)个武子左右网边分別柏加，鮒(a2 +^3 4*°4 -卜•••— («i ・卜^2 + ••• ■卜a财・2 =(并—l)d9即于是从而a n— a x = (n — l)d, a n = ai + (n —Del.如=如a2 =如a3 =如+ 2d,a4 = a\ + 3d 9■■■a^\ — a{■卜(n — 2)〃, = Qi + S—】)〃•所以S n = a\ + a2 + a3-卜a4■卜••• T- a—十a K=Qi + (ai + /) + (ai + 2d) + (ai + 3H) + …+[a】+ (九一2)刃 + [_a\ + (n — l)d]=Mi +[H + 2〃 + 3〃+ …+ (n — 2) J + (n — 1)刃,即Si,=血1 + [1 + 2 + 3 + ••• + （介一2） + （死一1）]Z这样，问题便转化为求1 + 2 + 3 +・・・+ a — 2）十G — 1）的和.联想到高斯求和所用的倒序相加的方法,这里同样适用•・1：+2t+ (w-l)H- (n-2)；+3 :+ ••••i：+(w-3) :+ …+ (滋一2)+ 2：+(n-l):：4- i in\+ n1；+ n :+ •••+ n:+ 死: =n(n— 1)1 I即 1 + 2 + 3 + …+(7i — 2〉+ (n — 1) = yn(n — 1).所以S” = ns +(九一1)么解法1 原式=1 X 202 + (10 + 20 + 30 + ・・・ + 2D10)=202 + (10 + 2010) X 201 一2 = 202 + 203010=203212・解法2 原式=(1 + 2011) X 202 2 = 203212・例8 100 — 98+ 96 — 94+ 92 -90+ ・；・+4 — 2 =• ________ ・第8届(2010年)四年级培训题分析・解算式中有加号也有减号,且相邻两数的差均是2,不妨考虑将这些数重新组合一下，或将加法运算与减法运算分开，同样可解决问题.解法1 原式=(100 — 98) + (96 — 94) + ・・・ + (4—2)=2 + 2 + ・・・ + 2 = 2 X 25 = 50・J _ 一一丿Y25个2解法2 原式=(100 + 96 + 92 + ・・・+4) - (98 + 94 + 90 + …+ 2)=25 X (100 + 4) + 2 — 25 X (98 + 2) ♦ 2= 25 X(104- 100)-7-2.- ..=25 X 4 十2 = 50.例9 (569 4- 672 X 428) 4- (429 X 672 一103) = _______ .算6届(2008年)四年级培训题分析•解初看此题，无捷径可走•若按部就班运算,则运算量很大，但若注意到428 = 429 — 1,且672 — 103 = 569,于是简捷的解题方法便出现了：• 原式=(569 + 672 X 428) + [(428 + 1) X 672 一103]=(569 + 672 X 428) 4- (428 X 672 + 672 - 103)=(569 + 672 X 428) 4- (428 X 672 + 569)= (569 + 672 X 428)*(569 + 672 X 428) ;=1. . • 例10 100减25,加22,又减25,又加22……这样算下去，宜到结果为0,这时，共减了__________ 个25,加了______ 个22,第6届(2008年)四年级培训趣分析•解本題婴求在珈解题恋的斟III上列小算式.100 一25 -I- 22 - 25 -|- 22一…=« 0.100是他数,25是奇数,22足俶数，嬰•便故后纟时果为0,须便减広的25的个数为仙数,且比加22的个数多1.而每次减25 Will 22后的结果减少3.于她上式变为: 100 一25 + (22 一25) + (22一25) + …+ (22 — 25) =0,HII100 — 25 = 3 X 25.于足共减了 26个25,加了25个22.例11 数20092009 X 2008 与数20082008 X 2009 相證________ •第6届（2008年）四年饭笫2试分析・解八位数乘以皿位数，其纳采很大,不宜去锁算，可以拆分成;容易比较的数.20092009与20082008相淤10001,且都是形如丽丽间的数丽abcdabcd =abed X 10001，所以2009200? X 2008 一20082008 X 2009 .=2009 X 10001 X 2008 一2008 X 10001 X 2009=2008 X 2009 X 10001 一2008 X 2009 X 10001 =0.注ab X 101 = a5a6 >abc X 1001 = abcaUc >abed X 10001 = abedabed例12 7 十97 + 997 + 9997 + 99997 = ________ .第9届（2011年）四年级培训題分析•解观察发现式中每个加数的末位数字都是7,非末位数字都是9,考煤枢等变形，可化繁为易.7 + 97 + 997 + 9997 + 99997=（10 一3） + （100 一3） + （1000 一3） + （10000 一3） + （100000 一3）=（10 + 100 + 1000 + 10000 + 100000）-3 X5=111110-15=111000+（110- 15）=111095・例13 如果A = 3X3X3X-X3X3,^1"1• v ,30个3B = 5 X 5 X 5 X — X 5 X 5,I ——20个57 20个5那么A _______ B t (填怜W.或“. 第3届(2005年)四年级培训題分析-解比较A,E的大小并不一定要知道A用的具体数值,可将它们分别分解，将问题转化为比较乘数的大小…A = 3X3X3X (X3X3)' : Y 5 !" 30 牛3=(3 X 3 X 3) X (3 X 3 X 3) X …X (3 X 3 X 3)、_____ _ ___ ______ _ J. 104-<3X3X3)；■= 27 X 27 X切X …X 27, '、\ _____ 一_ ________ /5Y1。
第一讲 速算与巧算一、 知识点：1. 要认真观察算式中数的特点，算式中运算符号的特点。
2. 掌握基本的运算定律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
3. 掌握速算与巧算的方法：如等差数列求知、凑整、拆数等等。
二、典例剖析：例（1） 19199199919999199999++++分析：运用凑整法来解十分方便，也不容易出错误。
解：原式()()()() =(201)+2001+20001+200001+2000001 -----=20+200+2000+20000+2000005 =2222205 =222215--练一练：898998999899998999998+++++=答案：1111098例（2）10099989796321+-+-++-+分析：暂不看头尾两个数，就会发现中间都是先加后减，并且加数与减数相差1，所以就算这题可以先把中间部分分组凑成若干个1，再与其余部分进行计算。
解：原式100(9998)(9796)(32)1=+-+-++-+ 100491=++150=练一练：989796959493929190894321+--++--++---++答案：99例（3） 1111111111⨯分析：111,1111121,11111112321⨯=⨯=⨯= 解：1111111111123454321⨯=练一练：2222222222⨯答案：493817284例（4） 1234314243212413+++分析：数字1、2、3、4，在个位、十位、百位、千位上均各出现一次。
解：原式1111222233334444=+++ 1111(1234)=⨯+++ 111110=⨯ 11110=练一练：5678967895789568956795678++++答案：388885例（5） 339340341342343344345++++++分析：这七个数均差1，且个数为7个，所以中间数就是七个数的中位数。
