小学数学几何中的割补法和分割法

第五讲割补法巧算面积在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）「分析」这是一个不规则图形，我们能不能把它切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）我们可以看到，在没有格点的情况下，割补的方法仍然可以使用．我们将来做几何面积计算时，就要视情况灵活运用割补法．例题2如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积．「分析」所求长方形的长、宽都是未知且不可求的，但是正方形面积以及周围四个直角三角形面积都是可以计算出来的，那么长方形面积怎么计算呢？1 2234 5 3 2 4 3412 4 9 DG如图所示，在正方形ABCD 内部有三角形CEF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AF 都等于2厘米．求三角形CEF 的面积．例题3如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？「分析」阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形嗯？练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中阴影部分的面积是多少平方分米？「分析」图1和图2中最小正三角形的面积是不一样的，但两个大正三角形面积却是一样的，你能求出大正三角形的面积吗？D图2如图，把两个同样大小的正方形分别分成55⨯和33⨯的方格表．图1阴影部分的面积是162，请问图2中阴影部分的面积是多少？例题4中的阴影部分都是同样形状的花图形，我们不能直接看出花图形和大正三角形的面积之间有什么倍数关系，但是借助一块块小正三角形，我们把花图形和大正三角形之间联系起来，看看它们各自占了多少个小正三角形．找到面积之间的联系，是解决类似问题的钥匙．有些图形看起来没有分割成一些相同的小图形，实际上不过是将分割线隐藏起来或者只出现了其中的一部分，需要我们自己进行分割．例题5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B 的面积是多少平方厘米？「分析」乍一看上去和例题2有些相似，我们能不能求出大等腰直角三角形的面积呢？它的面积和正方形A 、B 之间有什么关系呢？例题6如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）「分析」这个四边形并不规则，直接求面积似乎有些困难．我们已经知道了其中的三个角，其中有直角也有45°角．你能从这两种“特殊角”发现图形的特点吗？图1课堂内外毕式定理据说毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不仅仅是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和．他很好奇……于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和．至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和．那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面．这就是著名的毕式定理：在任何一个直角三角形中（等腰直角三角形也算在内），两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的这个故事都是后人辗转传播的．可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，更普遍地则称为勾股定理．中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦．作业1. 下图中的数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？2. 如下图所示，在正方形ABCD 内部有梯形EHGF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 、BF 、DG 都等于2厘米．则梯形EHGF 的面积是多少平方厘米？3. 如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是多少？4. 下图中空白部分的面积是100，那么阴影正方形的面积是多少？5. 如图所示，正六边形ABCDEF 的面积是36．阴影正六边形的面积是多少？ D G 32 434 12 423 3 3 3。

求组合图形面积的方法
计算组合图形面积的几种方法
一、分割法。

就是把一个组合图形根据它的特征和已知条件分割成几个简单的规则图形，分别算出各个图形的面积，最后求出它们的面积的和。

二、割补法。

就是把图形的某一部分割下来补到另一部分上，使它变成一个我们已学过的几何图形，然后再进行计算。

三、挖空法。

就是把多边形看成是一个完整的规则图形，计算它的面积以后，再减去空缺部分的面积。

四、折叠法。

就是把组合图形折成几个完全相同的图形。

先求出一个图形的面积，再求几个图形的面积之和。

五、旋转法。

就是把原图形进行一次或多次旋转，使它变成我们所熟悉的新图形，然后再进行计算。

计算一个组合图形的面积，有时可以有多种方法，我们要根据图形的特征、已知条件，以及整体与部分的关系，选择最佳解法。

我们知道长方形、正方形的面积计算公式为:长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长但是这两组计算公式只适用于求解相应的规则图形的面积,如果遇到更为复杂的、不规则的直线形多边形(指多边形的边是直线段)的面积求解问题时,它们就无法直接用于求解了。

那么,如何来解决这一难题呢?实际上,尽管它们无法直接用于求解,但我们可以在适当地转化图形后再求助于它们,也就是它们能够间接地帮助我们,这里所说的“转化”是指对直多边形进行适当的分割与添补,使之转化为标准的长方形或正方形,这种方法我们称之为割补法。

掌握这方法的关键在于根据待求图形的特征,采用适当的割补使之变为长方形或正方形,为保持面积不变,应将多补上的部分的面积减去,未补上的部分的面积应加上。

[例1】有一形如图la的板(图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度,单位:厘米),求它的面积等于多少平方厘米?解答☆解法一将图1a分割成长方形,可以有两种较简单的方法(见图1b、lc),图形都被分割成三个长方形。

以第一种分割法为例(图1b),利用长方形的面积公式可计算出图形的面积(我们可以记之为S)。

S=(1+2+3)×(3+4+5)-1×4-(1+2)×5=72-4-15=53(平方厘米)答:所求的面积为53平方厘米。

[例2】有一个长方形,如果宽减少2米,面积就减少24平方米。

如果长增长3米,面积就增加27平方米。

求这个长方形的面积。

思路剖析根据题意,可以画出如下直观图(图3):观察图3a,从宽减少2米面积就减少24平方米这个条件,我们可以求出这个长方形的长是24÷2=12(米)。

=(1+2+3)×3+(2+3)×4+5×3=18+20+15=53(平方厘米)☆解法二上面的方法是将图形分割成若干个长方形,然后求图形的面积,也就是使用了分割法。

实际上,我们还可以将图形添补成一个大的长方形(见图2),然后利用大长方形面积与两个小长方形面积之差,求出图形的面积,亦即采用添补法。

01易错知识点1线、角1 .直线没有端点，没有长度，可以无限延伸。

2. 射线只有一个端点，没有长度，射线可以无限延伸，并且射线有方向。

3. 在一条直线上的一个点可以引出两条射线。

4. 线段有两个端点，可以测量长度。

圆的半径、直径都是线段。

5 .角的两边是射线，角的大小与射线的长度没有关系，而是跟角的两边叉开的大小有关，叉得越大角就越大。

6 .几个易错的角边关系：（1）平角的两边是射线，平角不是直线。

（2）三角形、四边形中的角的两边是线段。

（3）圆心角的两边是线段。

7 .两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直。

其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

8. 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度叫做点到直线的距离。

9. 在同一个平面上不相交的两条直线叫做平行线。

2 三角形1. 任何三角形内角和都是180度。

2 .三角形具有稳定的特性，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边。

3. 任何三角形都有三条高。

4. 直角三角形两个锐角的和是90度。

5. 两个三角形等底等高，则它们面积相等。

6 .面积相等的两个三角形，形状不一定相同。

3正方形面积1 .正方形面积：边长×边长2 .正方形面积：两条对角线长度的积÷24三角形、四边形的关系1. 两个完全一样的三角形能组成一个平行四边形。

2. 两个完全一样的直角三角形能组成一个长方形。

3. 两个完全一样的等腰直角三角形能组成一个正方形。

4. 两个完全一样的梯形能组成一个平行四边形。

5 圆把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。

则长方形的面积等于圆的面积，长方形的周长比圆的周长增加r×2。

半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。

半圆的周长公式：Ｃ＝pd¸２＋d或Ｃ＝pr＋２r 在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。

而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。

几何第14讲_格点图形割补法格点面积计算方法1．数格子法：格点图形为规则图形，像长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形等可以按照面积公式直接计算，也可以通过格点公式计算．2．分割法：直接将格点图中的不规则图形分成若干个可求面积的规则图形，然后通过计算规则图形的面积来求原图形的面积．3．扩展法：将原图形扩展成可直接计算面积的规则图形，同时扩展部分的图形面积也是可以直接计算的，那么原图形的面积就等于规则图形面积减去扩展部分的面积即可！4．格点公式法：直接数出内点和边点数量，然后通过格点公式计算即可．5．格点公式的逆用：通过格点数构造格点图形面积的大小．重难点：分割与填补法求格点面积．注意最小三角形或正方形的面积是否为1．题模一：分割法例1.1.1图中相邻格点围成的最小三角形的面积均为1平方厘米，下列图形的面积分别为多少？例1.1.2图中相邻两格点间的距离均为1厘米，下图图形的面积是多少？例1.1.3右图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？例1.1.4如下图，每一个最小正方形的面积都是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？例1.1.5如图所示,网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米.小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成,小线段的端点在格子点上或在格线上）,则这个剪影的面积为多少平方厘米？题模二：填补法例1.2.1右图是一个1010 的正方形，求正方形内的四边形ABCD的面积．例1.2.2图中相邻两格点间的距离均为1例1.2.3在图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC 的面积．BCA例1.2.4右图中最小正方形的面积为4平方厘米，那么阴影图形的面积是_______平方厘米．随练1.1图中相邻格点围成的最小三角形的面积均为1平方厘米，下列图形的面积分别为多少？随练1.2图中相邻两格点间的距离均为1随练1.3右图是一棵黄金树，其面积是26平方米，那么图中最小正方形面积是_______平方米．随练1.4下图由16个面积为1平方厘米的小正方形组成（1）写出A 、B 、C 三点的坐标（2）求三角形ABC 的面积随练1.5图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积是多少平方厘米？作业1如右图，已知每个小正方形格的面积是1平方厘米，则不规则图形的面积是多少？作业2图中相邻格点围成的最小正方形的面积均为1平方厘米，下列图形的面积分别为多少？作业3图中相邻格点围成的最小正方形的面积均为1平方厘米，下列图形的面积分别为多少？作业4图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么图中阴影图形的面积是多少平方厘米？作业5图中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为1平方厘米．这三个多边形的面积分别是多少平方厘米？作业6如图，在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中，三角形ABC的面积是多少平方厘米？ABC。

五年级几何奥数专题之第三讲割补法（含答案）一、知识点1、割补法分割法是将几何体分割成若干部分，利用整体与部分的关系来解决所求问题。

2、分割成规则图形在组合图形中，除了多边形外，还有圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

二、学习目标1、我能够了解割补法。

2、我能够应用割补法解决图形面积问题。

三、典型例题例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积（单位：厘米）。

练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积（单位：厘米）。

如图所示，在正方形ABDC内部有一个长方形EFGH，已知正方形ABDC的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米，求长方形EFGH的面积。

练习2（1）如图所示，在正方形ABCD内部有三角形CEF，已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AF都等于2厘米，求三角形CEF的面积。

（2）如图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长6厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

如图所示，大正方形的边长为10厘米，连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米。

连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点。

已知左图中阴影部分的面积是48平方分米，请问：右图中阴影部分的面积是多少平方分米？如图，把两个同样大小的正方形分别分成5×5和3×3的方格表，左图阴影部分的面积是162，请问右图中阴影部分的面积是多少？选讲题※求下图中四边形ABCD的面积（单位：厘米）。