(完整版)用割补法求面积

第五讲割补法巧算面积在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）「分析」这是一个不规则图形，我们能不能把它切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）我们可以看到，在没有格点的情况下，割补的方法仍然可以使用．我们将来做几何面积计算时，就要视情况灵活运用割补法．例题2如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积．「分析」所求长方形的长、宽都是未知且不可求的，但是正方形面积以及周围四个直角三角形面积都是可以计算出来的，那么长方形面积怎么计算呢？1 2234 5 3 2 4 3412 4 9 DG如图所示，在正方形ABCD 内部有三角形CEF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AF 都等于2厘米．求三角形CEF 的面积．例题3如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？「分析」阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形嗯？练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中阴影部分的面积是多少平方分米？「分析」图1和图2中最小正三角形的面积是不一样的，但两个大正三角形面积却是一样的，你能求出大正三角形的面积吗？D图2如图，把两个同样大小的正方形分别分成55⨯和33⨯的方格表．图1阴影部分的面积是162，请问图2中阴影部分的面积是多少？例题4中的阴影部分都是同样形状的花图形，我们不能直接看出花图形和大正三角形的面积之间有什么倍数关系，但是借助一块块小正三角形，我们把花图形和大正三角形之间联系起来，看看它们各自占了多少个小正三角形．找到面积之间的联系，是解决类似问题的钥匙．有些图形看起来没有分割成一些相同的小图形，实际上不过是将分割线隐藏起来或者只出现了其中的一部分，需要我们自己进行分割．例题5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B 的面积是多少平方厘米？「分析」乍一看上去和例题2有些相似，我们能不能求出大等腰直角三角形的面积呢？它的面积和正方形A 、B 之间有什么关系呢？例题6如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）「分析」这个四边形并不规则，直接求面积似乎有些困难．我们已经知道了其中的三个角，其中有直角也有45°角．你能从这两种“特殊角”发现图形的特点吗？图1课堂内外毕式定理据说毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不仅仅是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和．他很好奇……于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和．至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和．那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面．这就是著名的毕式定理：在任何一个直角三角形中（等腰直角三角形也算在内），两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的这个故事都是后人辗转传播的．可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，更普遍地则称为勾股定理．中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦．作业1. 下图中的数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？2. 如下图所示，在正方形ABCD 内部有梯形EHGF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 、BF 、DG 都等于2厘米．则梯形EHGF 的面积是多少平方厘米？3. 如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是多少？4. 下图中空白部分的面积是100，那么阴影正方形的面积是多少？5. 如图所示，正六边形ABCDEF 的面积是36．阴影正六边形的面积是多少？ D G 32 434 12 423 3 3 3。

巧用割补法求解二次函数中的面积问题二次函数中的面积问题是初中数学中的热点.本文以二次函数223y x x =--+为背景，以四边形、斜三角形为载体，介绍如何引导学生用割补法求解二次函数中的面积问题.【例题】 如图1，已知二次函数223y x x =--+，其图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，二次函数的顶点为D ，连结,AD CD ，求四边形AOCD 的面积.引导 问题在平面直角坐标系中求四边形AOCD 的面积，四边形的这四个顶点是二次函数中最重要的四个点，如何求出坐标轴上的点，以及二次函数的顶点D ?有了点的坐标以后，如何利用这些坐标求四边形面积?在求一般四边形AOCD 的面积遇到困难时，运用什么方法去解决?请学生提出自己的观点并尝试解决，然后分享学生的解题思路.评析 本次建模从二次函数中四个重要点构成的四边形面积如手.四边形两边在坐标轴上，学生容易想到割补思想.给学生充足的时间，分享交流如图2、3、4三种不同的割补方法，明确两种基本方法:割——用与原点的连线或与坐标轴平行的线段;补——用与坐标轴平行的线段.指出割补的目标是求图形面积的和或差，并为引出三角形的割补方法做好铺垫.变式1如图5，点P 是位于抛物线223y x x =--+上的一个动点，当点P 的横坐标为2时，则ACP ∆的面积为 .引导 问题求ACP ∆的面积，在例题中已求解,A C 两点，关键求出什么?三角形的三个顶点都求出后，三角形面积能直接求出吗?若不能，能否运用例题中的割补方法求面积?哪些方法适合本题，尝试探究解决.设计意图 学生通过四边形的割补，在三角形无法直接求解面积时会考虑割补法，三角形没有边是在坐标轴上，学生会发现与原点的连线无法解决，思考用平行于坐标轴的线段割补三角形，如图6，7，8，从而利用坐标求出线段长度，达到求解面积的目的.变式2 如图9，点P 是位于抛物线第二象限图象上的一个动点，连结,,PA PC AC .设ACP ∆的面积为S ，求S 的取值范围，并求S 的最大值.引导 问题从变式1到变式2，都是求面积问题，有何不同?为何会有不同?二次函数最值问题如何求解?如何建立ACP ∆面积关于点P 坐标的函数关系式?建模中的割补思想对解题有何帮助?解题思路 过点P 作//PQ y 轴，交AC 于点口.设Q 为2(,23)a a a --+，求出直线AC 解析式，求出Q 为(,3)a a +，32ACP APQ CPQ S S S ∆∆∆=+=，化归为PQ 的最值问题.变式3 如图10，若点P 为抛物线上位于第一象限上的一动点，连结,PA PC .设ACP ∆的面积为S ，求S 的取值范围.引导 问题变式3与变式2有区别与联系吗?这两题的主要不同点在哪里?能不能用相同的办法求解?请你尝试探究解决.评析 变式3中的点P 变化到第一象限，学生在解决问题时想到的基本都是作与x 轴平行的线段对三角形进行分割.考虑到学生很难作出同变式2中平行于y 轴的辅助线，这条辅助线添加到图形外面，虽然与变式2的思路是一致的，但添加图形外的辅助线对学生来说是个难点，两三角形的面积和变为面积差，难度增大，拓展了思维.解法1 如图11，过点P 作//PQ x 轴，交AC 于点口，设Q 为2(,23)a a a --+.∵直线AC ：4y x =+，故设Q 为22(2,23)a a a a ----+，∵22(2)3PQ a a a a a =---=+，∵ACP APQ CPQ S S S ∆∆∆=+ 2133(3)22PQ a a =⨯⨯=+ 23327()228a =+-. ∵01a <<，∵S 随a 的增大而增大，∵06S <<.解法2 如图12，过点P 作//PQ y 轴，交AC 延长线于点Q ，设P 为2(,23)a a a --+.∵直线AC ：4y x =+，∵(,3)Q a a +，∵2(3)(23)PQ a a a =+---+23a a =+， ∵PAC APQ CPQ S S S ∆∆∆=-2133(3)22PQ a a =⨯⨯=+23327()228a =+-. ∵01a <<，∵S 随a 的增大而增大，∵06S <<.。

在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。

可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。

可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。

我们用三种方法解答。

（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。

将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。

所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。

也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。

小学奥数解析十三用割补法求面积在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。

可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。

可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。

我们用三种方法解答。

（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。

将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。

所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。

也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。

割补法求三角形面积
割补法是计算三角形面积的一种常用方法。

根据割补法，给定一个三角形，我们可以在三角形内部或外部构造一些辅助线段，将三角形分割成更简单的几何形状，以便计算其面积。

以下是使用割补法计算三角形面积的一般步骤：
1. 画出给定的三角形ABC，并确保已知三个顶点A、B、C。

2. 选择一个合适的点D，使得线段AD与线段BC平行。

3. 测量线段AD的长度，记为h。

4. 计算线段AD与线段BC的长度比值k。

这可以通过测量线段AD和线段AB的长度，并计算k = AD / AB来实现。

5. 计算三角形ABD的面积：SABD = (1/2) * AB * h。

6. 计算三角形ABC的面积：SABC = k^2 * SABD。

7. 得到三角形ABC的面积SABC。

请注意，割补法只是一种计算三角形面积的方法之一，具体的步骤可能会因情况而异。

对于不规则三角形或无法使用割补法的情况，可以尝试其他计算面积的方法，如海伦公式或向量法。

小学奥数解析十三用割补法求面积在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：(1)如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。

可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

(2)在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。

可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5X 5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段 (见右图)，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。

我们用三种方法解答。

(1)割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。

将这两个直角三角nX 4X 4-4-4X 4- 2=4.56。

形拼成一个长方形〔见下图）°显然，阴影部分正好是长方形的2,所以将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

显然，图中阴影面积占平行四边形面积的苓根据商不变性质.将阴影面积和平行四边行面积同时除以2,商不变。

所以原题阴影部分占整个图形面积的！（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，所以阴影部分占整个圈形面积的I注意，后两种方法对任意三角形都适用。

也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

小升初几何之---用割补法求面积在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。

可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。

可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。

我们用三种方法解答。

（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。

将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。

所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。

也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。

用割补法求面积
专题分析：
在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1、求下列各图中空白部分的面积：
例2、在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

例3、如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

例4、在左下图的直角三角形中有一个长方形，求长方形的面积。

例5、下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。

求乙正方形的面积。

练习：
1、求下图中阴影部分的面积：
2、在下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。

已知梯形的面积为36平方厘米，上底为3厘米，求下底和高。

3、在下图中，长方形AEFD的面积是18平方厘米，BE长3厘米，求CD的长。

4、下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45平方厘米。

求甲、乙的面积之和。

5、求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。

奥数小测验。

五年级奥数专题二十二:用割补法求面积关键词：三角正方图中面积题图奥数正方形三角形阴影图形在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。

可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。

可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。

我们用三种方法解答。

（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。

将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。

所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。

也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

圆与扇形———割补法课前预习彩虹的传说一个圆的故事（又名：彩虹的传说）从前，有一个非常完美的圆，没有任何缺口和毛刺，甚至连一点点划痕在它身上都找不到。

圆长得非常可爱，胖鼓隆冬的，从小就特别招人喜欢，时间久了，就自然觉得自己是世界上最完美的。

圆有很多好朋友：三角（快速灵活）、方块（稳重平和）、平行四边形（勇敢自信）、五角星（理性谦卑）、六边形（经验丰富）、心形（牺牲成全）。

它们每天在一起玩儿得很开心。

有一天，圆遇上了月亮姐姐，它对月亮姐姐说：“姐姐、姐姐，你挂在天空上可真漂亮啊！不过，为什么一定要有时圆有时缺呢？嘿嘿！如果我能像你一样挂在天空上，也放出光芒那该多好啊！”月亮姐姐淡淡地笑了，对圆说：“我告诉你一个地方，到了那里你就找到了智慧。

”圆迟疑地问道：“智慧是什么？我为什么要找它？”月亮姐姐说：“因为只有找到了智慧才能够回答你提出的这些问题，帮你实现愿望啊！”圆似懂非懂地点了点头，把这个消息告诉了它的好朋友们。

突然，三角大声地号召：“不如我们一起去月亮姐姐说的那个地方吧，人多力量大，我们这么多人一定能找到那个叫智慧的东西。

”于是大家都纷纷响应，收拾起行囊浩浩荡荡地上路了。

它们经历了千辛万苦，淌过了虚荣河，越过了贪婪海，走过了嗔恨桥，翻过了愚痴山。

有一天，终于来到了智慧门前。

这是一扇看起来很普通的门，长方形的门框没有任何修饰。

不同的是，这道门很矮小，也很窄。

几个小伙伴只能调整好最佳的位置，否则很难钻进去。

圆有些失望地对大家说：“我们经历了这么多坎坷，就是为了进这么一个门啊！”三角、方块、平行四边形、五角星、六边形、心形纷纷点头，觉得不可思议。

三角总是最有主意，行动最快的一个。

它放下所有行李跟大家说：“无论如何，我们费了这么大劲儿才找到这扇门，我的身体最小，我先进去。

”话音刚落，它哧溜一下，钻进了门里。

方块的为人正像它的体形，正直稳重。

它沉着冷静地紧跟其后，也顺利进入门内。

平行四边形的棱角比较尖锐，它自信地说了一句：“不成功就成仁！”，稍微一侧身，勇敢地冲进门里。

小学奥数解析十三用割补法求面积在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。

可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。

可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。

我们用三种方法解答。

（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。

将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。

所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。

也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。

《二次函数之面积问题》预习指南一、填写下列有关一次函数之面积问题的内容1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用_____________的线，通常有以下三种思路：①__________________（规则图形）；②__________________（分割求和、补形作差）； ③__________________（例：同底等高）．2. 坐标系中面积问题的处理方法举例① 割补求面积（铅垂法)：1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△ 在图形附近标注出来，这两个面积公式是如何推导的。

②转化求面积：l 1l 2如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上． 二、借助上面填写的内容，做下面的小题如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A (-1，3）,B (3,-2),则△AOB的面积为___________．（铅垂法）做完题目后思考回答下列问题：① 用补形作差的方法表达斜放置的△AOB 的面积，跟铅垂法对比工作量之间的差别,哪个更简单?② 铅垂法的本质是割补法求面积,对于这种三定点的题目,除了用竖直的线分割之外，还可以用水平的线分割，在图中标上字母，列出计算式子．三、以下内容是我们已经学过的，检测一下．1．已知二次函数与x轴的交点坐标,求函数解析式，设_________式最简便．2．坐标系中表达横平竖直的线段长的口诀是______________,_______________．3．函数特征与几何特征互转的两种手段:由几何特征表达_______，代入__________求解．由函数表达式设出_______点坐标，借助_________求解．四、建议按照下面三个要求去做：①预习时用铅笔，将计算、演草都保留在讲义上;②预习时间控制在一个小时，每题10—15分钟；③每天预习时，看知识点睛→做题，思路受阻时（某个点做了2—3分钟)→再看知识点睛，再做题（再做2—3分钟），如果还不行就放弃，课堂重点听讲.五、小结二次函数之面积问题（讲义）一、知识点睛1.二次函数之面积问题的处理思路①分析目标图形的点、线、图形特征;②依据特征、原则对图形进行割补、转化；③设计方案，求解、验证．面积问题的处理思路：公式、割补、转化．坐标系背景下问题处理原则：________________________，__________________________．2.二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积—-铅垂法：B1()2APB B AS PM x x=⋅⋅-△1()2APB B AS PM x x=⋅⋅-△②转化法——借助平行线转化：若S△ABP=S△ABQ，若S△ABP=S△ABQ，当P，Q在AB同侧时，当P,Q在AB异侧时，PQ∥AB．AB平分PQ．二、精讲精练1.如图，抛物线经过A(—1，0），B(3，0)，C(0，3）三点．(1)求抛物线的解析式．（2）点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴交线段BC于点N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长．（3)在（2)的条件下，连接MB ，MC ，是否存在点M ，使四边形OBMC 的面积最大?若存在，求出点M 的坐标及四边形OBMC 的最大面积；若不存在，请说明理由．2. 如图，抛物线322++-=x x y 与直线1+=x y 交于A ，C 两点，其中C 点坐标为(2，t ）．(1)若P 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△APC 面积的最大值．（2）在直线AC 下方的抛物线上，是否存在点G ，使得6AGC S =△？如果存在,求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．3. 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A ，B 两点,与直线y x p =-+交于点A 和点C (2，-3)。

割补法求圆面积今天咱们来聊聊一个特别有意思的数学话题——割补法求圆面积。

这个方法啊，听起来就像是变魔术一样，能让你把复杂的圆面积问题变得简单明了，就像是把一块大蛋糕切成小块，再重新拼起来，结果嘿，面积还是一样，但计算过程却简单多了。

想象一下，你手里有一个圆滚滚的大饼，看着就让人流口水。

但是呢，你要算出这个大饼的面积，这可咋整？直接量边长？圆可没有边啊！这时候，割补法就派上用场了。

首先，咱们得把这个大饼想象成是由无数个超级小的小三角形组成的。

这些小三角形就像是大饼上的芝麻，密密麻麻，数不清。

咱们的任务就是把这些小三角形“割”下来，然后再重新“补”成一个咱们熟悉的形状，比如长方形或者正方形。

这样一来，计算面积就变得简单多了。

你可能会说：“哎呀，这怎么可能呢？圆怎么能变成长方形呢？”别急，听我慢慢道来。

咱们可以把这个大饼切成好多好多等份，每一份都像是一个小扇形。

这些小扇形就像是大饼上的小花瓣，既漂亮又均匀。

当你把这些小扇形一个个排列好的时候，你会发现它们竟然可以拼成一个近似的长方形！这个长方形的长，就是原来圆的周长的一半，咱们可以叫它“半周长”。

而长方形的宽呢，就是圆的半径。

这样一来，咱们只需要计算长方形的面积，也就是“半周长乘以半径”，就能得到原来圆的面积了！你可能会觉得这个方法有点“神乎其神”，但实际上，它可是经过无数数学家验证过的哦！咱们中国的祖冲之，就是那个算出圆周率π的大数学家，他也用过类似的方法来估算圆的面积呢！当然啦，割补法不仅仅能用来求圆的面积，它还能解决很多其他的问题。

比如，你想知道一个不规则图形的面积，就可以试着把它“割”成几个规则的小图形，然后再“补”成一个规则的大图形，这样一来，计算面积就变得简单多了！所以啊，数学并不是一门枯燥无味的学科，它里面充满了趣味和奥秘。

就像割补法求圆面积一样，只要你用心去发现、去探索，你就能发现数学的美妙之处！下次当你再看到圆滚滚的大饼或者不规则的小图形时，不妨试着用割补法的思路去想一想、去算一算吧！说不定你会有意想不到的收获哦！。