割补法和分割法培训资料

割补法巧算面积知识精讲：分割法：把不规则的的大图形化为规则的小图形添补法：把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积. （单位：厘米）8 2练习1如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度（单位：米）•这个图形的面积等于多少平例题2如图，在正方形ABCD内部有一个长方形. EFGH .已知正方形ABCD的边长是6厘米, 图中线段AE、AH都等于2厘米.求长方形EFGH的面积.练习2正方形ABCD的边长是8厘米，它的内部有一个三角形AEF （如图），线段DF=3.6厘米, BE=2.8厘米，那么三角形AEF的面积等于_______________ 平方厘米.B例题3如图中，大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等份，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？练习3.21如图所示，正方形ABCD的边长acm,则图中阴影部分的面积为______________________ cm •A D例题4.如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点.已知图1中阴影部分的面积是294平方分米.请问：图2中的阴影部分的面积是多少平方分米？练习47.如图所示，将三个相同的长方形从上到下排列，依次进行两等分、三等分、四等分，各取出其中的一份画上阴影，则阴影部分的面积占全部面积的几分之几？例6.选做题例5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？A的面积是36已知一个四边形 ABCD 的两条边的长度和三个角（如下图所示），求四边形ABCD 的面积是多少？ 作业：1•如图所示，平行四边形的面积是 12,把一条对角线四等分， 将四等分点与平行四边形另外 两个顶点相连•图中阴影部分的面积总和是多少？2. . （2013秋？诸暨市校级期中）如图，已知一个四边形的四条边 分别是3, 4, 13和12,其中/ B=90。

图形割补活动材料班级 姓名如图1，在ABC △和DEF △中，90A D ==∠∠，3AB DE ==，24AC DF ==．（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？（2）能否分别过A D ，在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC △分割成的两个三角形与DEF △分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．1、已知，如图甲Rt ΔABC 的两条直角边长分别为2，4，如图乙正方形DEFG 的边长为4，请设计两种不同的分法，将图甲、图乙分别分割成三个小三角形，使得图甲、图乙中的三个小三角形分别对应相似（画图工具不限，不要求写出画法，只需标上字母，并写出对应的相似三角形）图甲 图乙2、下列三角形纸片，能沿直线剪一刀得到等腰梯形的是（ ）50 70A ．50 80B ．50100C ．50 D ．图1 E F3、例1、如图，把一个正方形割去四分之一，将如下的部分分成3个相同的部分（图甲）；将如下的部分分成4个相同的部分（图乙）。

仿照示例，请你将一个正三角形割去四分之一后余下的部分，（1）分成3个相同的部分（在图1中画出示意图）；（2）分成4个相同的部分（在图2中画出示意图）。

你还能利用所得的4个相同的部分拼成一个平行四边形吗？若能，画出大致的示意图。

(图甲)(图乙)图 1图 2练习：1、如图，在△ABC中，∠A=110°，∠B=35°，请你应用变换的方法得到一个三角形使它与△ABC全等，且要求得到的三角形与原△ABC组成一个四边形。

(1)要求用两种变换方法解决上述问题；（写出变换名称，画出图形即可）(2)指出四边形是什么图形？（不要求证明）说明：如用两种平移变换方法解决此题算一种变换；两种变换是指平移，旋转等不同变换。

系中，直线y＝233kx＋m（－12≤k≤12）12、在平面直角坐标经过点A（23，4），且与y轴相交于点C．点B在y轴上，O为坐标原点，且OB＝OA ＋7－2 7．记△ABC的面积为S．（1）求m的取值范围；（2）求S关于m的函数关系式；（3）设点B在y轴的正半轴上，当S取得最大值时，将△ABC沿AC折叠得到△AB′C，求点B′的坐标．30、（本小题满分8分）已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1. 将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次，使顶点．．P．第一次回到原来的起始位置.（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k=1，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点．．P．第一次回到原来的起始位置.A BCDPE14．一个大长方体是由四个完全一样的小长方体拼成的，如果每个小长方体的长、宽、高分别是3、1、1，那么这个大长方体的表面积可能有 种不同的值，其中最小值为 .（2）若k =2，则n = 时，顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置；若k =3，则 n = 时，顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置. （3）请你猜测：使顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置的n 值与k 之间的关系（请用含k 的代数式表示n ）.23.（10分）直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形。

第十一、十二讲格点与割补本讲知识点1．分割法1）正所谓“大事化小”，把不规则的大图形化为规则的小图形，来进行计算.2）在对格点图形的分割计算时，不一定要分到最小的基本单位。

一般来说分为中等大小的，可以计算的规则形状比较方便。

2．割补法1）是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算.2）此外，在图形中进行适当的分割拼补，把不规则的形状拼成规则形状，也是常见的方法.3．格点面积公式1）在最小的正方形面积为1的图形中：正方形格点多边形面积=边界格点数÷2＋内部格点数-1.2）在最小正三角形面积为1的图形中：三角形格点多边形面积=边界格点数+内部格点数×2-1.3）在使用公式法计算格点多边形面积时，要注意公式的适用条件.4）在多个格点图形相关的问题中，要注重利用它们之间的共同点来帮助计算.5）对于很多非格点图形的面积计算，分割和添补的方法依然适用.6）特别的，在图形中恰当的添加格线进行分制，能更好的体现围形的结构，以及整体和部分的数量关系，而在添补中，看见某些特殊角度，如45°、60°、120°等时，可以联想到一些特殊的图形，如，等腰直角三角形，正三角形等等.精选例题例题1．如图，分别在如下三种情况中，求出图中格点图形的面积：（1）相邻格点距离为1；（2）相邻格点距离为2；（3）最小正方形面积为2.例题2．如图，下图的正方形格点，单位正方形面积为1，分别求出两个图形的面积.例题3．如图，下图的正方形格点中，单位正方形面积为3，求出图形面积.练习1．如图，分别在如下两种情况中，求出图中格点图形的面积：（1）最小正三角形面积为1；（2）最小正三角形形面积为2.例题4．如图，下图的三角形格点，单位正三角形面积为1，分别求出两个图形的面积.例题5．如图，下图的正三角形格点中，单位正三角形面积为5，求出图形面积.例题6．下图点阵间隔为1，请利用方形格点公式，填出下表：练习2．下图三角形点阵所能连出的最小三角形面积为1，请利用三角形格点公式，填出下表：例题7．如图，单位正方形面积为1，利用格点公式计算下面阴影图形的面积，并再用一种其他方法计算检查.例题8．（1）在图1的正方形格点中，左图面积是45，那么右图的面积是多少？（2）图2的左右两个大三角形相同，左图的单位正三角形面积为100，右图的单位正三角形面积是多少？例题9．把同一个三角形的三条边分别四等分、六等分，适当连接这些分点，便得到了若干个面积相等的小三角形，已知图1中副影部分的面积是63平方厘米，那么图2中的阴影部分的面积是多少平方厘米？例题10．如图，对下列图形进行适当的格线划分，使得能恰当的体现出阴影部分与总面积的关系，并进行相应计算：（1）大正方形面积为90，连结各边中点得到阴影正方形，求阴影面积.（2）大正三角形面积为90．每边取三等分点，连结得到阴影正六边形，求阴影面积.（3）大正六边形面积为90，连结其中3个顶点得到阴影正三角形，求阴影面积.（4）大等腰直角三角形面积为90，如图放入一个阴影正方形，求阴影面积.例题11．在面积为72平方厘米的正六边形中，按图中不同方式切割（切割点均为等分），形成的阴影部分面积分别是多少？例题12．如图，大正方形和小正方形的边长分别为6厘米和2厘米，G、N、M分别为AF、AB、ED边上的中点，求四边形GNME的面积.例题13．如图，在长方形ABCD中，O是长方形的中心，BC长20厘米，AB长12厘米，=，3DE AE4=，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？CF DEBE=，三角形AEF的面积是37，那么长例题14．如图，在长方形ABCD中，3DF＝，11方形ABCD的面积是多少？例题15．甲乙两个六边形的内角都是120°，其边长如图所示，那么甲，乙面积分别是边长为1的正三角形面积的多少倍？例题16．求阴影部分面积：例题17．两个等腰直角三角形直角边分别长10厘米和6厘米，那么三角形DGE面积是多少平方厘米？思考创新思考1．下图为一个等边三角格点阵，可连出的最小的三角形面积是1，请在图中以给出点为顶点面一个面积为13的三角形.思考2．如图，平面上有16个点，每个点都钉上钉子，形成间隔为1厘米的4行4列的正方形钉阵，现在有许多皮筋，可以套出几种面积的三角形？请各举一例.思考3．正方形格点如图，原有格点的单位正方形面积为68，利用原有格点在图中划分新的格线，分别划出两种新的情况，那么这两种新格线的单位小正方形的面积分别是多少？思考4．如图，把长方形纸片ABCD的一角折起，使点D恰好与AB的中点F重合，若三角形EDC的面积是10．那么长方形ABCD的面积是多少？思考5．如下图，在一平行四边形纸片上割去了①，②两个直角三角形，已知三角形①两条直角边分别为2厘米和5厘米，三角形②两条直角边分别为5厘米和8厘米，求图中阴影部分的面积.第十一讲格点割补（一）思维冲浪1．如图所示，每一个小方格的面积都是1，那么用祖线围成的图形的面积是________.2．已知图中相邻两格点的距离均为2厘米，那么图中连出多边形的面积是______平方厘米.3．如图所示，图中最小的“□”面积是2，那么阴影部分面积分别为________.4．如图，如果每个小三角形的面积都是1cm2，那么连接A，B，C三点的三角形的面积是________cm2.5．如图，如果每一个小三角形的面积是2平方厘米，那么四边形ABCD的面积是________平方厘米.6．如图所示，图中最小的“Δ”面积是2，那么阴影部分面积分别为_______.7．如图所示，每个小方格格的边长为1．那么阴影部分的面积是多少？8．图中相邻三点所形成的等边三角形的面积为1，求五边形的面积.9．如图，大正六边形的面积为108，求阴影部分的面积为多少？10．图中水平，竖直方向相邻两个格点的距离都是1，请你求出图中“8”、“0”，“9”的面积各是多少.第十二讲格点割补（二）思维冲浪1．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，连接这账分点，便得到了若干个面积相等的小三角形，左图中阴影部分的面积是294平方分米，那么右图中阴影部分的面积是________平方分米.2．下图是一个面积为24的正六边形，阴影部分的面积是__________.3．如图所示，ABCD是长方形，长AD等于7.2厘米，宽AB等于5厘米，CDEF是平行四边形，如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是________平方厘米.4．在下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，那么阴影部分的面积是________平方厘米.5．如图，大正方形和小正方形的边长分别为6厘米和2厘米，G、N分别为AF、AB边上的中点，那么四边形GNCE的面积是__________平方厘米.6．如图所示，三个长方形APHM、BNHP、CQHN的面积分别是7、4、6、则阴影部分的面积是__________.7．如图所示，为一个等边三角格点阵，可连出的最小的三角形面积是1，请在图中以给出点为顶点画一个面积为7的三角形.8．如图所示，为一个边长为2的正方形，其中阴影部分的面积为多少？9．图中大正方形边长为8，小正方形边长为4，求阴影部分面积.10．如图，一个正方形，与4个等腰直角三角形，恰好拼成了一个长方形，如果正方形的面积是16，那么，长方形的面积是________.。

割补法和分割法【1】
什么叫做割补法和分割法？
割补法和分割法都是计算平面几何图形面积的推导方法，也是一种思考方法。

在面积和体积教学中，都有着广泛的应用。

割补法是指：把一个图形的某一部分割下来，填补在图形的另一部分，在原来面积不变的情况下，使其转化为已经掌握的旧的图形，以利于计算公式的推导。

平行四边形通过割补可转化为长方形（或正方形），梯形通过割补可转化为平行四边形，圆通过割补可转化为近似长方形等。

（1）平行四边形割补后转化为长方形：
（2）梯形割补后转化为平行四边形：
分割法是指：对一些不规则图形的面积，不能使用割补法，可以利用不规则图形的凹凸特点，将其分割成若干个可以计算的规则图形（如：长方形、三角形、梯形、……），先将各个规则图形的面积计算出来，然后再把这些规则图形的面积加在一起，总面积就是不规则图形的面积。

这种计算不规则图形的方法，叫做分割法。

下面两个图形就采用了分割法。

（1）
（2）
左图ABDE是一个不规则图形，用分割法可分成一个平行四边形ABDE，一个三角形BCD，把平行四边形和三角形的面积分别求出来，再把所得的结果加在一起，就是这个不规则图形的面积。

2022年3月23日；第1页共1页。

五年级几何奥数专题之第三讲割补法（含答案）一、知识点1、割补法分割法是将几何体分割成若干部分，利用整体与部分的关系来解决所求问题。

2、分割成规则图形在组合图形中，除了多边形外，还有圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

二、学习目标1、我能够了解割补法。

2、我能够应用割补法解决图形面积问题。

三、典型例题例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积（单位：厘米）。

练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积（单位：厘米）。

如图所示，在正方形ABDC内部有一个长方形EFGH，已知正方形ABDC的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米，求长方形EFGH的面积。

练习2（1）如图所示，在正方形ABCD内部有三角形CEF，已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AF都等于2厘米，求三角形CEF的面积。

（2）如图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长6厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

如图所示，大正方形的边长为10厘米，连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米。

连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点。

已知左图中阴影部分的面积是48平方分米，请问：右图中阴影部分的面积是多少平方分米？如图，把两个同样大小的正方形分别分成5×5和3×3的方格表，左图阴影部分的面积是162，请问右图中阴影部分的面积是多少？选讲题※求下图中四边形ABCD的面积（单位：厘米）。

割补法巧算面积知识精讲：分割法：把不规则的的大图形化为规则的小图形添补法：把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）练习1如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度（单位：米）．这个图形的面积等于多少平方米？例题2如图，在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH的面积．练习2正方形ABCD的边长是8厘米，它的内部有一个三角形AEF（如图），线段DF=3.6厘米，BE=2.8厘米，那么三角形AEF的面积等于平方厘米．例题3如图中，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等份，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？练习3.1．如图所示，正方形ABCD的边长acm，则图中阴影部分的面积为cm2．例题4. 如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点．已知图1中阴影部分的面积是294平方分米．请问：图2中的阴影部分的面积是多少平方分米？练习47．如图所示，将三个相同的长方形从上到下排列，依次进行两等分、三等分、四等分，各取出其中的一份画上阴影，则阴影部分的面积占全部面积的几分之几？选做题例5 如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？例6.已知一个四边形ABCD的两条边的长度和三个角（如下图所示），求四边形ABCD的面积是多少？作业：1.如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连. 图中阴影部分的面积总和是多少？2. ．（2013秋•诸暨市校级期中）如图，已知一个四边形的四条边AB，BC，CD和DA的长分别是3，4，13和12，其中∠B=90°，求这个四边形的面积3. 求阴影部分面积．4．求阴影部分面积．5. 求阴影部分面积：6.求阴影部分面积．7. 求阴影部分面积．8.（2011秋•宁波期中）求阴影部分的面积．9. 求阴影部分的面积．10. 求阴影部分的面积．11.求阴影部分的面积．12．求阴影部分的面积．。

我们知道长方形、正方形的面积计算公式为：长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长但是这两组计算公式只适用于求解相应的规则图形的面积,如果遇到更为复杂的、不规则的直线形多边形(指多边形的边是直线段)的面积求解问题时,它们就无法直接用于求解了。

那么,如何来解决这一难题呢?实际上,尽管它们无法直接用于求解,但我们可以在适当地转化图形后再求助于它们,也就是它们能够间接地帮助我们,这里所说的“转化”是指对直多边形进行适当的分割与添补,使之转化为标准的长方形或正方形,这种方法我们称之为割补法。

掌握这方法的关键在于根据待求图形的特征,采用适当的割补使之变为长方形或正方形,为保持面积不变,应将多补上的部分的面积减去,未补上的部分的面积应加上。

[例1】有一形如图la的板(图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度,单位：厘米),求它的面积等于多少平方厘米?解答☆解法一将图1a分割成长方形,可以有两种较简单的方法(见图1b、lc),图形都被分割成三个长方形。

以第一种分割法为例(图1b),利用长方形的面积公式可计算出图形的面积(我们可以记之为S)。

S=(1+2+3)×(3+4+5)-1×4-(1+2)×5=72-4-15=53(平方厘米)答：所求的面积为53平方厘米。

[例2】有一个长方形,如果宽减少2米,面积就减少24平方米。

如果长增长3米,面积就增加27平方米。

求这个长方形的面积。

思路剖析根据题意,可以画出如下直观图(图3)：观察图3a,从宽减少2米面积就减少24平方米这个条件,我们可以求出这个长方形的长是24÷2=12(米)。

=(1+2+3)×3+(2+3)×4+5×3=18+20+15=53(平方厘米)☆解法二上面的方法是将图形分割成若干个长方形,然后求图形的面积,也就是使用了分割法。

实际上,我们还可以将图形添补成一个大的长方形(见图2),然后利用大长方形面积与两个小长方形面积之差,求出图形的面积,亦即采用添补法。