2018年可锐考研数学模拟卷试题1

2018考研数学冲刺模拟卷（数学一）答案与解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数210(),0x f x axb x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） (A)14ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =【答案】A.【解析】222001114lim lim ,()4x x xf x ax ax a++→→==在0x =处连续11.44b ab a ∴=⇒=选A.（2）设函数()f x 可导，且2'()()0f x f x >，则（ ）（A ）(1)(1)f f >- （B ）(1)(1)f f <- （C ）(1)(1)f f >- （D ）(1)(1)f f <- 【答案】A.【解析】3332()(1)(1)()()0,(1)(1)333f x f f f x f x f f '⎛⎫-'=>>⇒>- ⎪⎝⎭，所以选A 。

（3）设函数22(,,)f x y z x y z =+，单位向量1{1,2,2}3n =，则(1,2,0)f n∂=∂________.（A ）12（B ）6（C ）4（D ）2【答案】D. 【解析】(1,2,0)(1,2,0)122{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.333f gradfgradf n n∂=⇒=⋅=⋅=∂选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙超过上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）（A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >【答案】D.【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要超过甲，则210(t)v (t)10t v dt ->⎰，当025t >时满足，故选D.（5）设A 为m n 阶矩阵，且r Am n ，则下列结论正确的是（A ）A 的任意m 阶子式都不等于零 （B ）A 的任意m 个列向量线性无关 （C ）方程组AX b 一定有无穷多解 （D ）矩阵A 经过初等行变换可化为m E O【答案】C.【解析】对于选项C ，=min ,m r Ar A m n m r A m n 所以选项C 正确,对于选项A 和B ，r(A)=m ，由秩的定义可得，存在一个m 阶行列式不为零，从而m 阶行列式所在的列向量组线性无关，所以选项A 和B 不正确对于选项D ，矩阵A 经过初等行变换和列变换才可化为m E O ，所以选项D 不正确 （6）设1122331,0,2,,0,2,1,,1,2,3,TTTc c c ，41,0,1,0T,其中1,2,3i c i为任意实数，则（A ）1234,,,必线性相关 （B ）1234,,,必线性无关（C ）123,,必线性相关（D ）234,,必线性无关【答案】D.【解析】1234312101101100000001c cc 经初等行变换所以12344r，从而选项A 和B 均不正确1233r，从而选项C 不正确利用排除法可得正确答案为D对于选项D ，23411001100100经初等行变换，从而可得2343r向量的个数，所以234,,必线性无关（7）设二维随机变量,X Y 的联合分布函数为,F x y ，边缘分布函数分别为X F x 和Y F y ，则,P Xx Y y（A ） 1X Y F x F y （B ） 11X Y F x F y（C ）2,X Y F x F y F x y （D ） 1,X Y F x F yF x y【答案】D. 【解析】设,AX x B Y y ，则,,X Y F xP X x F y P Yy ,,F x y P X x Y y所以, 1 1 1,X Y P X x YyP ABP A B P A B P A P B P AB F xF yF x y所以正确答案为D（8）设总体X 服从正态分布2(0,)N ，1X ，…，n X 是取自总体X 的简单随机样本，其均值、方差分别为X ，2S ．则（A ）)11(22-n F S X，～ （B ）)11()1(22--n F S X n ，～（C ）)11(22-n F S X n ，～ （D ）)11()1(22-+n F SXn ，～ 【答案】C.【解析】2222200,0,11X n XX N N nnn XnX～～～而22211n S n ～，且X 与2S 相互独立所以2222222221111,111nXn S nXn F n n SSn ～～所以正确答案为C.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 函数()ln(12)f x x =-的麦克劳林公式中nx 项的系数为__________【答案】2(1)!!n n n --.【解析】因为()()2(1)!()(0)2(1)!(12)n n n n nn fx f n x -=-⇒=---，故n x 项的系数为2(1)!!n n n --。

2018年考研数学一试题与答案解析（完整版)1.下列函数中不可导的是（）。

A.()sin()f x x x =B.()f x x =C.()cos f x x=D.()f x =【答案】D 【解析】【解析】A 可导：()()()()-0000sin sin sin sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x x x x xf f x x x x--+++→→→→⋅⋅''=====B 可导：()()-000sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x f f x x--+++→→→→-⋅⋅''=====C 可导：()()22-000011cos -1cos -1220lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x f f x x--+++→→→→--''=====D 不可导：()()()()()-000-11-11220lim lim 0lim lim -2200x x x x x x f f x x f f --+++→→→→+--''====''≠2.过点(1,0,0)与(0,1,0)且与22z x y =+相切的平面方程为A.0z =与1x y z +-= B.0z =与222x y z +-=一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.C.y x =与1x y z +-=D.y x =与222x y z +-=【答案】B【解析】因为平面过点(1,0,0)与(0,1,0)，故C 、D 排除，22(2,2,1),(1,0,0)2(1)20(0,1,0)z x y x y x X yY Z x y=+--+-==曲面的法向量为因为平面过，则平面方程为，又因为平面过，故由此，取特殊值；令x=1,则法向量为(2,2,1)-，故B 选项正确。

2018考研数学一
2018年考研数学一真题及答案详解如下：
1. 首先，使用定义法计算出一条正规法线，对曲面进行求导，即得到切平面法线，然后代入一点进行计算。

2. 进行幂级数的展开。

3. 比较定积分的大小。

4. 考察相似的必要条件：两个矩阵的特征向量个数必须相同。

5. 若C=AB，则C的列向量可由A的列向量线性表示，即R(A,C) = R （A），即R(A,AB)=R(A)。

6. 考察自然对数的计算，这是送分题。

7. 分部积分与导数的几何意义相结合，这也是送分题。

8. 考察轮换对称性，例如计算表达式 xy+yz+xz / 3. （x+y+z）^2-
(x^2+y^2+z^2) 的值。

9. 考察行列式的计算，例如给定两个特征向量是1和-1，求行列式的值。

10. 考察条件概率的计算，代入具体数值进行计算。

11. 考察条件极值的计算，注意运算顺序和边界条件的考虑。

12. 常规题目，画图并使用高斯公式进行计算。

13. 应用拉格朗日中值定理解决数列极限问题。

14. 求二次型等于0的解，让各项都等于0，列出齐次方程组求解，并对a
进行分情况讨论。

以上就是2018年考研数学一的部分真题及解析，如需获取更多真题及解析，建议到相关学习网站查询或请教专业老师。

考研数学一模拟题2018年(60)(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1.______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D[解析] 作积分变量代换u=x-t，而则原极限2.设f(x)在区间[0，1]上连续，且0≤f(x)≤1，又设，则级数______ SSS_SINGLE_SELA 发散．B 条件收敛．C 绝对收敛．D 敛散性与具体的f(x)有关．分值: 4答案:B[解析] 由于0≤f(x)≤1且f(x)连续，所以且所以发散，并且由莱布尼茨判别法知，交错级数收敛，所以条件收敛．3.设g(x)在(-∞，+∞)内存在二阶导数，且g"(x)＜0．令f(x)=g(x)+g(-x)，则当x≠0时______SSS_SINGLE_SELA f"(x)＞0．B f"(x)＜0．C f"(x)与x同号．D f"(x)与x反号．分值: 4答案:D[解析] 由f(x)=g(x)+g(-x)，有f"(x)=g"(x)-g"(-x)，f"(x)=g"(x)+g"(-x)＜0，f"(0)=0．再由拉格朗日中值定理有f"(x)=f"(0)+xf"(ξ)=xf"(ξ)，所以f"(x)与x反号，选D．4.设f(x)连续且f(x)≠0，，则F"(x)+F(x)=______SSS_SINGLE_SELA f(x)sinx．B f(x)cosx．C f(x)(sinx+cosx)．D f(x)．分值: 4答案:D[解析] 作积分变量变换x-t=u，再用三角公式，有所以F"(x)+F(x)=f(x)．5.设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是______ •**=0；A2x=0．•**=0；A3x=0．•**=0；A4x=0．**=0；A5x=0．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D[解析] 法一显然，若A i x=0，两边左乘A，得A i+1 x=0，i=1，2，3，4．反之，若A i+1 x=0，是否有A i x=0呢?取则取ξ1=(0，0，0，1) T，有A 4 x=0，但A 3x≠0．C不成立．取ξ2=(0，0，1，0) T，有A 3 x=0，但A 2x≠0．B不成立．取ξ3=(0，1，0，0) T，有A 2 x=0，但Ax≠0．A不成立．由排除法，应选(D)．法二证明D成立．由法一易知，现证用反证法．设A 5 x=0，但A 4x≠0．因x，Ax，A 2 x，A 3 x，A 4 x，5个4维向量必线性相关，故存在不全为零的数k0，k1，k2，k3，k4，使得k0 x+k1Ax+k2A 2 x+k3A 3 x+k4A 4 x=0．(*)(*)式两边左乘A 4，得因A 4x≠0，则k0 =0．将k=0代入(*)式，得k1Ax+k2A 2 x+k3A 3x+k4A 4 x=0．(**)同理可证得k1 =0，k2=0，k3=0，k4=0．这和已知5个4维向量线性相关矛盾．故A 5 x=0 A 4 x=0．故D是同解方程组，应选D．6.设是2阶实矩阵，则下列条件不是A相似于对角阵的充分条件的是______ SSS_SINGLE_SELA ad-bc＜0．B b，c同号．C b=c．D b，c异号．分值: 4答案:D[解析] 对C，当b=c时，A是实对称矩阵，故C是充分条件．由A的特征值，看什么条件下A相似于对角矩阵．对A，当ad-bc＜0时，由(*)式可知，(a+d) 2 -4(ad-bc)＞0．A有两个不同的特征值故A是充分条件．对B，当b，c同正或同负时，由(**)式可知，(a-d) 2 +4bc＞0．A有两个不同的特征值故B是充分条件．对D，当b，c异号时，由(**)式知，因bc＜0，当(a-d) 2 +4bc=0时，会有二重特征值．例：，异号，有λ1=λ2=0，但r(0E-A)=1，线性无关的特征向量只有一个，，故D不是充分条件，故应选D．7.设随机变量X与Y相互独立，且，若P{X＞Y}＜，则______ SSS_SINGLE_SELA μ1＜μ2．B μ1＞μ2．C σ1＜σ2．D σ1＞σ2．分值: 4答案:A[解析] 由于，故．于是可知，由于单调不减，则8.设随机变量X1，X2，X3相互独立，且X1，X2均服从N(0，1)，P{X3=-1}= ，则Y=X1 +X2X3的密度函数fY(y)为______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B[解析] 因为X1，X2相互独立，且均服从N(0，1)，则X1-X2，X1+X2均服从N(0，2)，故二、填空题1.设是f(x)的以2π为周期的傅里叶级数，则a100=______．SSS_FILL分值: 40 [解析]所以a100=0．2.微分方程满足初始条件y|x=2=1的特解是______．SSS_FILL分值: 4x=y 2 +y [解析] 将x看成未知函数，写成，即此为x对y的一阶线性微分方程，又因y|x=2=1＞0，由公式得将x=2，y=1代入，得C=1．故得解x=y 2 +y．3.设，则______．SSS_FILL分值: 4[解析] 取对数化为n项之和．所以4.函数f(x，y)=3+9x-6y+4x 2 -5y 2 +2xy+x 3 +2xy 2 -y 3在点(1，-1)展开至n=2的泰勒公式为f(x，y)=______+R2，其中余项R2=______．SSS_FILL 分值: 4[解析] x0 =1，y=-1，则所以f(x，y)在点(1，-1)处的2阶泰勒公式为2阶泰勒公式的余项5.设A，B是3阶矩阵，满足AB=A-B，其中，则|A+E|=______．SSS_FILL分值: 4[解析] 由题设，AB=A-B，(A+E)B=A+E-E，(A+E)(E-B)=E，则6.设随机事件A，B满足，则P(AB|A∪B)=______．SSS_FILL分值: 4[解析] 由，可得P(A)=P(B)．又由可得A，B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=[P(A)] 2 =[P(B)] 2．因此，得同理，故三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.设D为曲线y=x 3与直线y=x围成的两块区域，求二重积分SSS_TEXT_QUSTI分值: 10解区域D如图所示，第一象限部分记为D1，第三象限部分记为D2，于是令x=-t，则第2个积分与第1个积分可合并，第3个积分与第6个积分相抵消，第4个积分与第5个积分相抵消．于是2.将函数展开成(x-2)的幂级数，并求出此展开式成立的范围．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10解展开成(x-2)的幂级数，所以令x-2=u，即x=u+2来考虑较方便．于是变换为将φ"(u)展开成u的幂级数两边从u=0到u=u作定积分，得于是得到φ(u)的展开式当u=-1时右边级数收敛，有于是将(*)式两边令u→-1 +取极限，得而左边所以成立，即(*)式成立范围可大到-1≤u设微分方程xy"+2y=2(e x -1)．SSS_TEXT_QUSTI3.(x))，以及求上述微分方程的通解，并求存在的那个解(将该解记为y极限值；分值: 5解当x≠0时，原方程化为由一阶线性微分方程的通解公式，得通解其中C为任意常数．由上述表达式可知，并不是对于任何常数C，都存在，存在的必要条件是，即C=2．当C=2时，对应的y(x)记为SSS_TEXT_QUSTI4.补充定义使y0 (x)在x=0处连续，求y"(x)，并请证明无论x≠0还是x=0，y"0 (x)均连续，并请写出y"(x)的表达式．分值: 5解令而当x≠0时，所以y"0 (x)在x=0处连续．又显然，y"(x)在x≠0处也连续，故无论x≠0还是x=0，均连续．5.设x＞0,证明：，且仅在x=1处等号成立．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10证先证明当0＜x＜1时，．令，有F(1)=0．记，有，所以当0＜x＜1时，φ"(x)＜0．从而知，当0＜x＜1时，φ(x)＜0，即有F"(x)＜0．因F"(1)=0，所以当0＜x＜1时，F"(x)＞0．又因F(1)=0，所以当0＜x＜1时，F(x)＜0，从而知当0＜x＜1时，上式中令，故知当1＜u＜+∞时，又当x=1时，，所以当0＜x＜+∞时，有，当且仅当x=1时等号才成立．6.设点M(ξ，η，ζ)是椭球面上第一卦限中的点，S是该椭球面在点M处的切平面被三个坐标面所截得的三角形的上侧．求点(ξ，η，ζ)使曲面积分为最小，并求此最小值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10解曲面上点M(ξ，η，ζ)处的法向量为，切平面方程是化简即得该切平面被三坐标面截得的三角形在xOy平面上的投影区域为从而所以求I的最小值等价于求ω=ξηζ，0＜ξ＜a，0＜η＜b，0＜ζ＜c的最大值，约束条件是由拉格朗日乘数法得显然，当ξ=a或ξ=0时，ω最小，故当时，ω最大，I的最小值为7.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，已知Em+AB可逆．(Ⅰ)验证En +BA可逆，且(En+BA) -1 =En-B(Em+AB) -1 A；(Ⅱ)设，其中a1 b1+a2b2+a3b3=0．证明：W可逆，并求W -1．SSS_TEXT_QUSTI分值: 11证在不存在歧义的情况下，简化记号，省略E的下标m，n．(Ⅰ)因(E+BA)[E-B(E+AB) -1 A]=E+BA-B(E+AB) -1 A-BAB(E+AB) -1 A=E+BA-B(E+AB)(E+AB) -1 A=E+BA-BA=E，故E+BA可逆，且(E+BA) -1 =E-B(E+AB) -1 A．(Ⅱ)由(Ⅰ)知E+AB可逆，则E+BA可逆，且(E+BA) -1 =E-B(E+AB) -1 A，反之若E+BA可逆，则E+AB可逆，且(E+AB) -1 =E-A(E+AB) -1 B．因为E+BA=E+(b1，b2，b3)(a1，a2，a3) T =E+a1b1+a2b2+a3b3]=E+0=E，故E+BA可逆，(E+BA) -1 =E．故W=E+AB可逆，且W -1 =E-A(E+BA) -1 B=E-(a1，a2，a3) T·E·(b1，b2，b3)SSS_TEXT_QUSTI8.设，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵；分值: 5.5解将f(x1，x2，x3)用配方法化为标准形，得令即得f的标准形为所作的可逆线性变换为X=Cy，其中A对应的二次型的规范形为，正惯性指数P=3=r(A)，故知A是正定矩阵(也可用定义证明，或用顺序主子式全部大于零证明A是正定矩阵)．SSS_TEXT_QUSTI9.设，求可逆矩阵D，使A=D T D．分值: 5.5解由上一小题知，是f(x1，x2，x3)的对应矩阵，即f(x1，x2，x3)=x T Ax．令x=Cy，其中，得f=x T Ax=y T C T ACy=y T Ey，故C T AC=E，A=(C -1 ) T C -1 =D T D，其中D=C -1．由故设X和Y的联合密度函数为SSS_TEXT_QUSTI10.求Z=Y-X的密度函数；分值: 5.5解法一分布函数法．当z＜0时，f(x，y)的非零区域与{(x，y)|y-x≤z}的交集为图(a)中的阴影部分，当z≥0时，f(x，y)的非零区域与{(x，y)|y-x≤z}的交集为图(b)中的阴影部分，故法二密度函数法．，如图(c)所示，当z当z≥0时，故SSS_TEXT_QUSTI11.求数学期望E(X+Y)．分值: 5.5解设总体X的概率分布为X 0 1 2 3P θ 2 2θ(1-θ) θ 2 1-2θSSS_TEXT_QUSTI12.试利用总体X的简单随机样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值；分值: 5.5解令则θ的矩估计量为样本均值所以θ的矩估计值SSS_TEXT_QUSTI13.设X1，X2，…，Xn是来自X(其未知参数为上一小题中确定的)的简单随机样本，当n充分大时，取值为2的样本个数N满足，求a，b．分值: 5.5解由题设知，由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得，所以1。

18年考研数学真题（一）、19考研全程复习规划指南【扫码免费上课】2018年研究生入学统一考试数学（一）真题一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.下列函数中，在0x =处不可导的是()().||sin ||A f x x x =().||sin ||B f x x x =().cos ||C f x x =().cos ||D f x x =2.过点()()1,0,0,0,1,0,且与曲面22z x y =+相切的平面为：.0A z =与1x y z +-=.0B z =与222x y z +-=.C x y =与1x y z +-=.D x y =与222x y z +-=3.()()023121!n n n n ∞=+-=+∑.sin1cos1..2sin1cos1..2sin12cos1..2sin13cos1.A B C D ++++4..设(),=,(cos .x x x M dx N dx K =x dx x e ππππππ---++=++⎰⎰⎰222221111则()A..M N K >> B..M K N >>C..K M N >> D..K N M >>5.下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的为()111101.011011001001111101010010001001A B C D --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.设,A B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，()X Y 表示分块矩阵，则()()()()()()()(){}()()...max ,.T T A r A AB r A B r B BA r A C r A B r A r B D r A B r A B ====7.设随机变量X 的概率密度()f x 满足()()11,f x f x +=-且()200.6,f x dx =⎰则{}0P X <=.0.2.0.3.0.4.0.5A B C D 8.设总体X 服从正态分布()2123,.,,,,n N X X X X μσ 是来自总体X 的简单随机样本，据此样本检验假设：0010:,:.H H μμμμ=≠则：.A 如果在检验水平0.05α=下拒绝0H ，那么在检验水平0.01α=下必拒绝0H ..B 如果在检验水平0.05α=下拒绝0H ，那么在检验水平0.01α=下必接受0H ..C 如果在检验水平0.05α=下接受0H ，那么在检验水平0.01α=下必拒绝0H ..D 如果在检验水平0.05α=下接受0H ，那么在检验水平0.01α=下必接受0H .二、填空题：914 小题，每小题4分，共24分.9.若101tan lim ,1tan x x e x →-⎛⎫= ⎪+⎝⎭则______.k =10.设函数()f x 具有2阶连续导数，若曲线()y f x =过点()0,0且与曲线2x y =在点(1,2)处相切，则()______.x f x dx ''=⎰1011.设(,,),x y z xy yz xz =-+F i j k 求(1,1,0)______.rot =F 12.设L 为球面x y z ++=2221与平面x y z ++=0的交线，则______.L xyds =⎰ 13.设二阶矩阵A 有两个不同特征值，,αα12是A 的线性无关的特征向量，且满足(),______.A A αααα+=+=21212则14.设随机事件A 与B 相互独立，A 与C 相互独立，.BC ≠∅若11()(),(|)24P A P B P AC AB C === ,则()______.P C =三、简单题：1523 小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）求不定积分x x e arc e dx -⎰2116.（本题满分10分）将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.17.设∑是曲面x y z =--22133的前侧，计算曲面积分3(2).I xdydz y dxdz z dxdy ∑=+++⎰⎰318.（本题满分10分）已知微分方程()y y f x '+=，其中()f x 是R 上的连续函数.（1）若()f x x =，求方程的通解。

考研数学三模拟题2018年(1)(总分100, 做题时间90分钟)填空题1.设3阶方阵A，B满足关系式A -1 BA=6A+BA，且则B=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2diag(3，2，1) [解析] 由A -1 BA=6A+BA得B=6A(E-A) -1 =diag(3，2，1)，其中，λ1，λ2，…，λn全不为零．2.设α=[-1，2，3]，A=α Tβ，则An=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 23 n-1 A [解析]A n=(α Tβ) n=(α Tβ)(α Tβ)…(α Tβ)=α T(βα) T(βα) T…(βα T)β=3 n-1 A．3.设n≥2为正整数，则A n -2A n-1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2O[解析]4.设则A -1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2[解析] 方法一用初等变换求．方法二5.已知A 2 -2A+E=O，则(A+E) -1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2[解析] A 2 -2A+E=O，(A+E)(A-3E)=-4E，6.设A是n阶矩阵，|A|=5，则|(2A) * |=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 22 n2-n·5 n-1 [解析] (2A)(2A) * =|2A|E，(2A) * =|2A|(2A) -1，7.设则(A * ) -1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2[解析]8.设B=(E+A) -1 (E-A)，则(E+B) -1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2[解析] E+B=E+(E+A) -1 (E-A)=(E+A) -1 (E+A+E-A)=(E+A) -1 2E，故9.，将B 已知A，B均是3阶矩阵，将A中第3行的-2倍加到第2行得矩阵A1中第1列和第2列对换得到B，又则AB=______．1SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2[解析]10.设则B -1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2 [解析]故11.设A，B为3阶相似矩阵，且|2E+A|=0，λ1 =1，λ2=-1为B的两个特征值，则行列式|A+2AB|=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2.518 [解析] 由|2E+A|=|A-(-2E)|=0知λ=-2为A的一个特征值．由A～B知A和B有相同特征值，因此λ1 =1，λ2=-1也是A的特征值．故A，B的特征值均为λ1 =1，λ2=-1．λ3=-2．则有E+2B的特征值为1+2×1=3，1+2×(-1)=-1，1+2×(-2)=-3，从而|E+2B|=3×(1)×(-3)=9，|A|=λ1λ2λ3=2．故|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|·|E+2B|=2×9=18．12.设A=E+αβ T，其中α，β均为n维列向量，α Tβ=3，则|A+2E|=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2.52·3 n [解析] 由于α Tβ=3，可知tr(αβ T )=3．αβ T的秩为1，故0至少为αβ T的n-1重特征值。

考研数学一模拟题2018年(49)(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题下列各题给出的四个选项中。

只有一个选项符合试题要求．1.设函数f(x)为连续函数，并设x→0时F(x)～Ax k，则(A，k)为______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C[解析]∴又取k=3，，选C．本题亦可用特例法．取f(x)=2x，∴ k=3．2.若两直线：x+1-y=1=z相交，则k等于______SSS_SINGLE_SELA 1．B 2．C 3．D 4．分值: 4答案:B[解析] 两条直线相交，则两条直线共面．s2 ={1，1，1}，M1=(1，-1，1)，M2=(-1，1，0)，故三个向量s1，s2，共面，于是得k=2．选B．3.设又设f(x)展开的正弦级数为则S(7)=______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B[解析] 由狄利克雷收敛定理，s(x)是周期为4的奇函数，选B．4.设Ω={(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2≤1，z≥0}，Ω1={(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2≤1，x≥0，y≥0，z≥0}．下列诸式其中正确的是SSS_SINGLE_SELA ①和②．B ②和③．C ③和④．D ④和①．分值: 4答案:B[解析] 由于Ω关于x=0(yOz平面)对称，三重积分对x的函数，偶倍奇零．故故①错．由于Ω关于x=0对称，又关于y=0对称，∴再由轮换对称性，故②正确，③正确，选B．至于④，区域Ω1没有对称性，再由轮换对称性，只能得出得不出事实上，经计算排除④．5.设其中a，b，c，d为互异的实数，则下述结论必成立的是______•**=0只有零解．•**=0有非零解．•**=0有非零解．**=0有非零解．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C[解析] ∵A中的3阶子式为范德蒙行列式≠0，R(A)=3，还要注意到R(A)=R(A T )=R(AA T )=R(A T A)=3，即可得出本题结论．Ax=0的解空间中含有一个线性无关的解向量，排除A．A T x=0仅有零解，排除B．AA T x=0仅有零解．排除D．A T Ax=0的解空间中有一个线性无关的解向量，选C．6.实二次型正定的充分必要条件为______A．a＜1．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D[解析] 二次型的矩阵得A的特征值：λ1=λ2=…=λn-1=1-α，λn=1+(n-1)a．由二次型正定的充要条件，λ1=λ2=…=λn-1=1-a＞0，λn=1+(n-1)a＞0，从而选D．7.已知，则下列正确的是______A．B．C．D．P(A∪B)=1．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C[解析]于是A与独立，从而A与B独立，与B独立，与独立．排除A；排除B；选C；排除D．8.设X1，X2，X3，X4是来自总体N(0，1)的简单随机样本．已知服从χ 2 (n)分布，则n+a=______SSS_SINGLE_SELA 2．B 3．C 4．D 5．分值: 4答案:B[解析]∴n+a=3，选B．二、填空题1.设x≠0，微分方程xy"-2y"=1的通解是______．SSS_FILL分值: 4[解析] 方法1 xy"-2y"=1(缺y)，为可降阶的微分方程．令y"=p，原方程化为(一阶线性微分方程)方法2 方程xy"-2y"=1，即为x 2 y"-2xy"=x(欧拉方程)．解得，即2.函数u=xy 2 z 3在点(1，2，-1)处沿曲面x 2 +y 2 =5的外法线方向的方向导数为______．SSS_FILL分值: 4[解析] 已知F=x 2 +y 2 -5，则=2{1，2，0}，n=2{x，y，0}，n|(1，2，-1)故曲面在点(1，2，-1)的外法线方向的方向余弦为又3.设且区域D为-∞＜x＜+∞，-∞＜y＜+∞，则SSS_FILL分值: 4[解析]故在区域D1={(x，y)|-y≤x≤1-y，0≤y≤1}上f(y)=y，f(x+y)=x+y，在D1的外部f(y)=0，f(x+y)=0．于是如下图4.设曲面∑为球面x 2 +y 2 +z 2 =1在第一卦限部分的下侧，SSS_FILL分值: 4[解析]5.设n(n＞1)阶行列式D=|aij |n=2，且D中各列元素之和均为2，记aij的代数余子式为Aij，则SSS_FILL分值: 4 n． [解析] 由题设得∴A11 +A12+…+A1n=1．请注意，上述的A11，A12，…，A1n就是行列式D中的A11，A12，…，A1n．重复上述做法，把D中各行加至第2行，然后按第2行展开，即有∴A21 +A22+…+A2n=1．类似地，可推出Ak1 +Ak2+…+Akn=1，(k=3，4，…，n)，故6.设两个相互独立的随机变量X和Y均服从正态分布则E(|X-Y|)=______．SSS_FILL分值: 4[解析] X和Y相互独立，且均服从正态分布，则Z=X-Y～N(0，1)．三、解答题共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.设f(x)连续，且当x＞-1时有求f(x)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[解] 令则φ(0)=1，φ"(x)=f(x)，于是两边积分得，由φ(0)=1，得C=0，两边求导，得2.设f(x)在[a，b]上连续，证明存在ξ∈[a，b]，使得若f(x)＞0，则上述ξ是唯一的．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[证]欲证即证若即有F(a)=F(b)=0，取ξ=a或ξ=b均可．若则F(a)F(b)＜0，由零点定理，存在ξ∈(a，b)，使得F(ξ)=0．总之，存在ξ∈[a，b]，使得若f(x)＞0，则F"(x)=f(x)+f(x)＞0，F(x)↑，故F(x)的零点至多有一个，于是上述ξ唯一．3.设f(x)在[1，+∞)上二阶可导，f(1)=0，f"(1)=1，函数z=(x 2 +y 2 )f(x 2 +y 2 )满足，求f(x)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[解] z=uf(u)，由z=(x 2 +y 2 )f(x 2 +y 2 )中x与y的对称性，得①+②，得③为欧拉方程．令u=e t，则代入③，得(此为二阶常系数齐次线性微分方程)解得，由于f(1)=0，f"(1)=1，得C1 =0，C2=1，于是设f(x)连续可导，f(1)=1，G为不包含原点的单连通区域，任取M，N∈G，在G内曲线积分与路径无关．SSS_TEXT_QUSTI4.求f(x)；分值: 5[解] 记因为在G内曲线积分与路径无关，所以(x，y)∈G，总有即由此推得yf"(y)=2f(y)，解此可分离变量的微分方程，得f(y)=Cy 2，又f(1)=1，所以f(y)=y 2，于是f(x)=x 2．SSS_TEXT_QUSTI5.求取正向．分值: 5由于曲线Γ与被积表达式中的P，Q不配套，曲线积分很难计算，于是想到另找与P，Q配套的曲线．如下图，取小椭圆Γε=2x 2 +y 2=ε 2，取正向，ε为充分小的正数，使得Γε在Γ的内部．设Γ与Γε所保围的区域为D．在D上，P和Q的一阶偏导数连续，且6.求幂级数的收敛域与和函数．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[解] 先求收敛域．再求和函数．已知三维列向量α1，α2线性无关，β1，β2线性无关．SSS_TEXT_QUSTI 7.证明存在非零向量ξ既可由α1，α2线性表示，也可以由β1，β2线性表示；分值: 5.5[解] (Ⅰ)因4个3维向量必线相关，故存在一组不全为零的数k1，k2，k3，k4，使得k1α1+k2α2+k3β1+k4β2=0，其中k1，k2不全为零，反证即可．事实上，若k1=k2=0，则有k3β1+k4β2=0，而β1，β2线性无关，从而k3=k4=0，与题设k1，k2，k3，k4不全为零矛盾，于是k1α1+k2α2=-k3β1-k4β2=ξ．由于k1，k2不全为零，同理k3，k4不全为零，又α1，α2线性无关，β1，β2线性无关，于是k1α1+k2α2=-k3β1-k4β2=ξ≠0．SSS_TEXT_QUSTI8.设α1 =(-1，2，3) T，α2=(1，-2，-4) T，β1=(-2，a，7) T，β2=(-1，2，5) T，求(Ⅰ)中的ξ．分值: 5.5解齐次线性方程组k1α1+k2α2+k3β1+k4β2=0，即①的通解为c为任意非零常数．①的通解为 c1，c2为不同时为零的任意常数．已知二次型，若矩阵A的特征值有重根．SSS_TEXT_QUSTI9.求a的值；分值: 3.XX667[解] 二次型矩阵由∴A的特征值为：1-a，a-1，a+2．由于A的特征值有重根，所以，或a=1，由于a＞0，所以a=1．SSS_TEXT_QUSTI10.用正交变换x=Py化二次型为标准形，并写出所用的正交变换；分值: 3.XX667A的特征值为0，0，3．当λ=0时，由(A-0·E)x=0，得特征向量为当λ=3时，由(A-3E)x=0，得特征向量为把α1，α2正交化．取β1=α1，把单位化，得取令x=Py，SSS_TEXT_QUSTI 11.f(x1，x2，x3)=x T Ax=1表示什么曲面．分值: 3.XX667当f(x1，x2，x3)=x T Ax=1，即表示两个平行的平面．设X与Y的联合概率密度函数为SSS_TEXT_QUSTI12.试求Z=X-Y的密度函数；分值: 5.5方法1 分布函数法．①z≤0，F(z)=0，(如图2)②z≥1，F(z)=1，(如图3)③0＜z＜1，(如图4)方法2 密度函数法．上式中，0＜x＜1，0＜y=x-z＜x，即有区域：0＜x＜1，0＜z＜x，在此区域内：f(x，x-z)=3x．图1图2图3图4图5图6图7SSS_TEXT_QUSTI13.求Z的数学期望E(Z)．分值: 5.5设总体X的密度函数为其中θ＞0是未知参数，X1，X2，…，Xn是X的简单随机样本．SSS_TEXT_QUSTI 14.求θ的最大似然估计量；分值: 5.5[解] (Ⅰ)由似然函数SSS_TEXT_QUSTI 15.证明是θ的无偏估计量．分值: 5.5∴ 是θ的无偏估计．1。

2018年考研数学一真题及答案解析选择题(斗分)1.T^L^数中在忑=0处不可导的星()A./(z) = |z|am |z|乩f(x) = \x\siny/\^C、f(x) —cos |刎D、f(x)- cos y/\x\【答案】D2.过点(1』,0)T (O:l,0) T且与曲面二=分+诃相切的平面为()A、務=0与£十抄一二=1B、z = 0-^2^ + 2# —左=2JC= y 与JT+ y — w = 1D、迟=眇与2® -\-2y - z —2【答案】BA.sin 1 + coslB. 2 sm 1 -H cos 1C.2sliil + 2<OM1D* 2sinl 十3 cos 1【菩案】B,0'J()A, M>N>K 艮M>K>NC、K>M>ND、K>N > M【答案】C1105 •下列矩阵中f与矩阵0 1 1相似的为()0 0 1111A.011.001K-10-1B.0110■0111-1U010乂0110-1A010.001【答案】A6•设扎助胡介矩阵,记叫X)为矩阵屋的秩「(X,F)表示分块矩阵,311()A、r(A, AB) = r(A)氐r(A,BA) = r(A)J r(X,B) = max{r(4)T r(2；)}D、r(A,B)= r(A T, B T)【答案】A 了.设随机变量X的概率密席子⑵满足和+ x) = /(I -x)t且盘f (工伽=0+6 ,则P{X< 0}=()A、0.2B.03U 0.4D、0.5【答棄】A8.设总体爼駅正态分布N(比a2)「疋,星,…，耳是来自总体筍单随机样本「据此样本检验假设：臥：此=唏圧：“*如」!I ()A.如果在检验水平a = 0.05T拒绝局(那么在检验水平《= 0.01T必拒绝凤匕如果在检验水电-005下垣绝巧.那么在检验水平“ -0.01下必按旻U 如果在检验水平a = 03下接豆顷,那么在检验水平o = 03下必拒绝风D.如果苻椅嘟水平a = 0.05下捋誓比「那么7F检骗水辰=0.0L下必挎爭尿【無】D二頃空题(4分)虫叭⑷(冶拎)血=s贝壮= _____________【答案】k = -2m设函数托工)具有2阶连续导数t若曲线妙=几工)过点© 0)且与曲线® =旷在昌⑴2) 处相切，则人‘工严佃)必- ____________【答案】2(h2-l)11,设F@ 曲z) = xyl - yzj十zxk t则戸(1,1, (I) =__________【答秦】i-k12.1SL为球面护+ j/2+ z2 = 1与平面工十# + 了= 0的交统,则比xyds匸________ 【答案】-£"•设2阶矩阵A有两个不同特征值f a u a2是占的红性无关的特征向量,且:鬲足+ d?) = di + a3,则|且—____________【答案】-114■设随机事件卫与石相互独立‘ &与幅互独立,BC = 0 ,若F(A) = P(B)= 4 ,P(AC\ 4BuC) = ] f则P(C) = ______________【答棄】1三"聲答题(10分)15.求不走积分J 宀arctaiL y/e1—ldx【答案】令疔F = * ,则雷=In(庐+ 1),血二磊也「由第二换元去和分部积分公式可得原式=/ (Q + 1)" - arc tan t -丄令血=J 2t(i2+ 1) ■ arctan tdtR-jHt=+ J arctan + l)2] = *(产十l)X arctani —壬丁 (产 + l)dt=号(产+ 1) ' arctan t —+土' —t + (J=^e22arctan (e1- lp - 1(^ - 1)5 -F C止.将长为2m 的铁丝分成三段「依次围成區、正方形与正三角形’三个图形的面积之«] 是否存在最小值?若荐在「求岀最小值.【答案】设分成的三段分别为x^z, JW 有⑦+甘+芯=2及, IB 的面积为 ® 「正方形的面积为鸟=岂/ ,正三角形09面积为扬=鲁宀总S®S = 士护十善护十生以』则问题转化为在条件雷+y + z = 2,x,y,z ＞。

考研数学一模拟题2018年(55)(总分100, 做题时间90分钟)解答题1.SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]由于函数表示法与用什么字母表示无关，所以，于是因为所以2.SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解][另解]3.SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]故原极限=0．4.已知求SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]先证{xn}为单增数列，由于设当n=k时，xk ＞xk-1，则有a+xk ＞a+xk-1，即xk+1＞xk，由数学归纳法知{xn}为单增数列．再证{xn}有界，显然设n=k时，则当n=k+1时，可知{xn }有界，因此{xn}当n→∞时，极限存在．设则故5.SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]令则即因为xn≥2，所以l≥2，故以下证存在．对任意的ε＞0，由极限定义故求下列极限：SSS_TEXT_QUSTI6.分值: 1[解]SSS_TEXT_QUSTI 7.分值: 1[解]SSS_TEXT_QUSTI 8.分值: 1[解]SSS_TEXT_QUSTI 9.分值: 1[解]SSS_TEXT_QUSTI 10.分值: 1[解]SSS_TEXT_QUSTI 11.分值: 1[解]求下列极限：SSS_TEXT_QUSTI 12.当|x|＜1时，分值: 1.5[解]因为当|x|＜1时，所以SSS_TEXT_QUSTI 13.当x≠0时，分值: 1.5[解]SSS_TEXT_QUSTI 14.分值: 1.5[解]SSS_TEXT_QUSTI 15.分值: 1.5[解]16.确定正数a和b，使SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]因为x→0时，极限式的分子x 2→0，整个极限存在，所以必有于是，b=1．于是，a=1．17.设为连续函数，求a，b．SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]因为f(x)连续，所以f- (-1)=f+(-1)=f(-1)．同样，f- (1)=f+(1)=f(1)，由②，③式得，b=0，a=1．18.已知当x→0时，与cosx-1是等价无穷小，求常数α．SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]由题设有因为所以19.已知C≠0．求常数a与b，使得当x→0时，函数f(x)～ax b．SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]因为所以故当x→0时，有即所以，当x→0时，f(x)～2Cx 3，因此，a=2C，b=3．20.求常数a，使极限存在，并求此极限值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]因为所以因为极限存在，所以cosa=3cosa．即cosa=0，n为整数，且极限为0．21.设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且f(0)≠0，f"(0)≠0，f"(0)≠0．证明：存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h 2高阶的无穷小．SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[证一]只需证明存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使由题设和洛必达法则得所以λ1+4λ2+9λ3=0．因此，λ1，λ2，λ3应满足方程组因为系数行列式所以方程组存在唯一解，即存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小．[证二]由麦克劳林公式得故有λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)=(λ1+λ2+λ3-1)f(0)+(λ1+2λ2+3λ3)-f"(0)h+ (λ1+4λ2+9λ3)f"(0)h 2 +o(h 2 )．所以λ1，λ2，λ3应满足方程组以下同证法一．求下列函数的不连续点且判别类型：SSS_TEXT_QUSTI22.分值: 2[解] 的间断点为：使tanx=0的点x=kπ，(k=0，±1，±2，…)，以及使tanx无定义的点因为所以x=0及为第Ⅰ类间断点(可去间断点)．因为所以x=kπ，(k=±1，±2，…)为第Ⅱ类间断点．SSS_TEXT_QUSTI23.分值: 2[解]显然x=0为间断点，因为所以x=0为第一类间断点(跳跃间断点)．SSS_TEXT_QUSTI24.分值: 2[解]因为所以x=1为f(x)的连续点．因为所以x=-1为f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．研究下列复合函数的连续性：SSS_TEXT_QUSTI25.设研究f[g(x)]的连续性．分值: 2[解]令则用图示法求解f[g(x)](见下图)：先作出的图形，再在xOu平面上画出u=1的图形．由图可见，当x≤1时，u=x，当x＞1时，u=x+4，于是，因为所以x=1为f[g(x)]的第Ⅰ类间断点(跳跃间断点)．SSS_TEXT_QUSTI26.研究f[g(x)]的连续性．分值: 2[解]同样可用图示法得出可见x=1为其间断点(可去间断点)．27.SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]x1 =10，可知x1＞x2．设xk ＞xk+1，则于是由数学归纳法可知对一切自然数n，有xn ＞xn+1，即{xn}单调减少．又由题设可知xn ＞0，n=1，2，…，即{xn}有下界．由单调减少有下界数列必有极限，可知存在．令在两边取n→∞时的极限，得解之得l=3，l=-2(舍去)．故SSS_TEXT_QUSTI28.分值: 1.5[解]SSS_TEXT_QUSTI29.分值: 1.5[解]令Sn可看做f(x)=cosx在上的积分和式于是计算下列极限：SSS_TEXT_QUSTI30.分值: 1.5[解] 故I=e -3．SSS_TEXT_QUSTI 31.分值: 1.5[解]SSS_TEXT_QUSTI 32.分值: 1.5[解] 故I=e a-b．SSS_TEXT_QUSTI 33.分值: 1.5[解]34.SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]35.SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]36.设函数f(x)在x=0的某邻域内有一阶连续导数，且f(0)≠0，f"(0)≠0，若试确定a，b的值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]由已知有而得即af(0)+bf(0)-f(0)=0，由于f(0)≠0，于是a+b-1=0．①又由洛必达法则得由于f"(0)≠0，于是a+2b=0，②所以，由①②得a=2，b=-1．37.设试确定a，b，c的值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]因为c≠0，所以而当x→0时，所以b=0．又而所以a=-1，故a=-1，b=0，38.设f(x)是多项式，且求f(x)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]由可设f(x)=8x 8 +8x 2 +ax+b，又则则故f(x)=8x 8 +8x 2 +8x．求下列极限：SSS_TEXT_QUSTI39.分值: 2[解]SSS_TEXT_QUSTI40.分值: 2[解]41.设f(x)在(-∞，+∞)内可导，又试确定c的值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]由于f(x)在(-∞，+∞)内可导，则根据拉格朗日中值定理知，使f(x)-f(x-1)=f"(ξ)当x→∞时，ξ→∞，所以即所以42.求函数-1≤x≤1．SSS_TEXT_QUSTI分值: 3(1)显然有f(0)=0，(2)当0＜x＜1时，1+sin(πx)＞1，有所以，f(x)=x．(3)当-1＜x＜0时，0＜1+sin(πx)＜1，有所以f(x)=sin(πx)．所以，[解析] 当x取不同值时，极限的取值不同，所以，应对x的取值进行讨论．求下列极限：SSS_TEXT_QUSTI43.设求分值: 2[解]因为且所以所以所以SSS_TEXT_QUSTI44.设f(x)是三次多项式，且有分值: 2[解]因为所以f(2a)=f(4a)=0(否则极限为∞)．可知x-2a，x-4a均为f(x)的因式，又因为f(x)为三次多项式，因此令f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-B)，其中A，B为待定常数，于是解以上联立方程组得故45.已知f(x)在x=a处可导，且f(x)＞0，n为自然数．求SSS_TEXT_QUSTI分值: 3[解]1。