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1.4 全称量词与存在量词1. 全称量词、全称命题定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示。
（常见的全称量词还有“一切” “每一个” “任给” “所有的”等。
）含有全称量词的命题，叫做全称命题。
如：全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：简记为读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
2. 存在量词、特称命题定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。
(常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等。
)含有存在量词的命题，叫做特称命题。
特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。
3. 同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：4. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
关键词否定词关键词否定词关键词否定词关键词否定词都是不都是至少一个一个都没有至多一个至少两个属于不属于1．全称量词和全称命题(1)短语“______________”“____________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示，常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”“所有的”等．∀(),x M p x∀∈，00(),x M p x∃∈，(2)含有______________的命题，叫做全称命题．(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为____________．2．存在量词和特称命题(1)短语“______________”“________________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．(2)含有______________的命题，叫做特称命题．(3)特称命题：“存在M中的一个x0，有p(x0)成立”，可用符号简记为 ____________．3．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：____________；(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：____________.4．命题的否定与否命题命题的否定只否定________，否命题既否定______，又否定________．一、选择题1．下列语句不是全称命题的是( )A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小2．下列命题是特称命题的是( )A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于33．下列是全称命题且是真命题的是( )A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈QC．∃x0∈Z，x20>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>04．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( )A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x0，使x20>0C．任一无理数的平方必是无理数D．存在一个负数x0，使1x0>25．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则( )A．綈p：∃x0∈R，sin x0≥1B．綈p：∀x∈R，sin x≥1C．綈p：∃x0∈R，sin x0>1D．綈p：∀x∈R，sin x>16．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋2 011”的否定是( )A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2 011B．存在整数m0，n0，使得m20≠n20＋2 011C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2 011D．以上都不对二、填空题7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为________________．8．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：________________________________________________________________________.9．下列四个命题：①∀x∈R，x2＋2x＋3>0；②若命题“p∧q”为真命题，则命题p、q都是真命题；③若p是綈q的充分而不必要条件，则綈p是q的必要而不充分条件．其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上)三、解答题10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a x>0.(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2.(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.(4)∃x0∈R，使x20＋1<0.11．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)有些质数是奇数；(2)所有二次函数的图象都开口向上；(3)∃x0∈Q，x20＝5；(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．能力提升12．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是____________________________．13．给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．同步提升1、下列全称命题中真命题的个数是（）①末位是0的整数，可以被2整除②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等③正四面体中两侧面的夹角相等A 1B 2C 3D 42、 下列特称命题中假命题的个数是（ ）① 有的实数是无限不循环小数②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形 A 0 B 1 C 2 D 33、 下列特称命题中真命题的个数是（ ）①0x R,x ≤∈∃②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数③是无理数是无理数｝，│｛2x x x x ∈∃A 0B 1C 2D 34、 下列全称命题中假命题的个数是（ ）① 2x+1是整数（x ∈R ）②对所有的x ∈R ，x>3③对任意一个x ∈z ，2x 2+1为奇数 A 0 B 1 C 2 D 35、 下列命题为特称命题的是（ ）A 偶函数的图象关于y 轴对称B 正四棱柱都是平行六面体C 不相交的两条直线是平行直线D 存在实数大于等于36、命题“原函数与反函数的图象关于y=x 对称”的否定是（ ） A 原函数与反函数的图象关于y=-x 对称 B 原函数不与反函数的图象关于y=x 对称C 存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x 对称D 存在原函数与反函数的图象关于y=x 对称7、命题“03x -x R,x 2>+∈∀”的否定是______________ 8、命题“01x R,x 2<+∈∃”的否定是______________ 9、命题“23x x N,x >∈∀”的否定是______________10、命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是___________________ 11、把下列命题改成含有量词的命题： （1）余弦定理 （2）正弦定理12、用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题 （1）实数的平方大于等于0（2）存在一对实数，使2x ＋3y ＋3>0成立 （3）勾股定理13、写出下列命题的否定： （1）所有自然数的平方是正数（2）任何实数x 都是方程5x-12＝0的根（3）对于任意实数x ，存在实数y ，使x ＋y>0（4）有些质数是奇数14、写出下列命题的否定 （1）若2x>4，则x>2（2）若m 0,则x 2＋x －m ＝0有实数根（3）可以被5整除的整数，末位是0（4）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等15、已知f(x)=ax 2+bx+c 的图象过原点（－1，0），是否存在常数a 、b 、c ，使不等式x ≤f(x)≤2x 12＋对一切实数x 均成立？16、写出下列命题的否定，并判断其真假 （1）3＝2（2）5>4（3）对任意实数x ，x>0（4）每个正方形是平行四边形1.4 全称量词与存在量词参考答案当堂训练知识梳理1．(1)对所有的 对任意一个 ∀ (2)全称量词 (3)∀x ∈M ，p (x ) 2．(1)存在一个 至少有一个 ∃ (2)存在量词 (3)∃x 0∈M ，p (x 0) 3．(1)∃x 0∈M ，綈p (x 0) (2)∀x ∈M ，綈p (x ) 4．结论 结论 条件 作业设计1．C [“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]2．D [“存在”是存在量词．]3．B [A 、B 、D 中命题均为全称命题，但A 、D 中命题是假命题．] 4．B5．C [全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．] 6．C [特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．] 7．∃x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>08．存在实数m ，关于x 的方程x 2＋x ＋m ＝0没有实根 9．①②③10．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x>0 (a >0，a ≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期， ∴命题(3)是真命题．(4)对任意x 0∈R ，x 20＋1>0， ∴命题(4)是假命题．11．解 (1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．(3)“∃x 0∈Q ，x 20＝5”是特称命题，其否定为“∀x ∈Q ，x 2≠5”，真命题．(4)“不论m 取何实数，方程x 2＋2x －m ＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m ，使得方程x 2＋2x －m ＝0没有实数根”，真命题．12．存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3解析 全称命题的否定是特称命题，全称量词“任何”改为存在量词“存在”，并把结论否定．13．解 甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即a >13或a <－1.乙命题为真时，2a 2－a >1，即a >1或a <－12.(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，∴a 的取值范围是{a |a <－12或a >13}．(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，13<a ≤1，甲假乙真时，－1≤a <－12，∴甲、乙中有且只有一个真命题时a 的取值范围为{a|13<a≤1或－1≤a<－12}．同步提升答案： C A D C D C 7、03x -x R,x 2≤+∈∃ 8、01x R,x 2≥+∈∀ 9、23x x N,x ≤∈∃10、任意一个三角形都有外接圆11、任意一个三角形的三边和三角，2abc b a cosC 222-+=12、（1）0x R,x 2≥∈∀13、（1）有些自然数的平方不是正数 14、（1）存在实数x 0，虽然满足2 x 0>4，但x 0≤2。
§1.4.1 全称量词与存在量词【学情分析】：1、 本节内容主要是通过丰富的实例,使学生了解生活和数学中经常使用的两类量词(全称量词和存在量词)的含义, 会判断含有一个量词的全称或特称命题的真假，会正确写出他们的否定形式，为我们从量的形式和范围上认识和解决问题提供了新的思路和方法；2.全称量词 ：日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，记作x ∀、y ∀等；3.存在量词：日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作x ∃，y ∃等；4．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题； 全称命题的格式：“对M 中的所有x ，p(x)”的命题，记为:,()x M p x ∀∈存在性命题的格式：“存在集合M 中的元素x 0，q(x 0)”的命题，记为: ∃x 0∈M ，p （ x 0）5.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义，能识别全称命题与特称命题.6．培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力。
【教学目标】：（1）知识目标：通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义； （2）过程与方法目标：能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容； （3）情感与能力目标：培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力.【教学重点】：理解全称量词与存在量词的意义；【教学难点】：全称命题和特称命题真假的判定.课后练习1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）A ．所有奇数都是质数B ．2,11x R x ∀∈+≥ C ．对每个无理数x ，则x 2也是无理数 D ．每个函数都有反函数 2．将“x 2+y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）A ．,x y R ∀∈，都有222x y xy +≥ B ．,x y R ∃∈，都有222x y xy +≥ C ．0,0x y ∀>>，都有222x y xy +≥ D ．0,0x y ∃<<，都有222x y xy +≤ 3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是A ．2,10x R x ∀∈+= B ．2,10x R x ∃∈+= C ．,sin tan x R x x ∀∈< D ．,sin tan x R x x ∃∈<4．下列命题中的假命题是（ ）A ．存在实数α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin βC ．对任意α和β，使cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cos αcos β－sin αsin β 5．下列全称命题中真命题的个数是（ ） ①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ③正四面体中两侧面的夹角相等；A ．1B ．2C ．3D ．4 6．下列存在性命题中假命题的个数是（ ）①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形；A ．0B ．1C ．2D ．3 参考答案：1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A§1.4.2 全称量词与存在量词【学情分析】：（1）通过探究数学中的一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；（2）在探究的过程中，应引导学生根据全称量词和存在量词的含义，用简洁自然的语言表述含有一个量词的命题进行否定；（3）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定。
