高一数学必修一典型题例

高一数学必修一函数练习题函数是高中数学中非常重要的概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。

下面为高一学生准备了一系列函数练习题，以帮助学生更好地理解和掌握函数的基本概念和性质。

练习题一：函数的定义域与值域1. 给定函数 \( f(x) = \frac{1}{x - 2} \)，求其定义域。

2. 对于函数 \( g(x) = x^2 - 4x + 3 \)，找出其值域。

练习题二：函数的单调性1. 判断函数 \( h(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x \in (-\infty,\infty) \) 上的单调性。

2. 若函数 \( k(x) = 2x - 1 \) 在 \( x \in [0, 2] \) 上单调递增，求 \( k(x) \) 在 \( x \in [2, 4] \) 上的单调性。

练习题三：函数的奇偶性1. 判断函数 \( f(x) = |x| \) 是否为奇函数或偶函数。

2. 若函数 \( g(x) = x^2 + 1 \) 是偶函数，求证。

练习题四：复合函数1. 已知 \( f(x) = x^2 \) 和 \( g(x) = x + 3 \)，求复合函数\( (f \circ g)(x) \)。

2. 若 \( h(x) = \sqrt{x} \) 和 \( k(x) = x - 1 \)，求 \( (h \circ k)(x) \)。

练习题五：反函数1. 若 \( f(x) = 2x + 1 \)，求其反函数 \( f^{-1}(x) \)。

2. 对于函数 \( g(x) = x^2 \)，讨论其反函数的存在性。

练习题六：函数的图像与性质1. 画出函数 \( y = |x - 1| \) 的图像，并标出其顶点坐标。

2. 对于函数 \( y = x^3 \)，描述其在 \( x = 0 \) 附近的图像变化趋势。

练习题七：函数的实际应用1. 某工厂生产的产品数量与时间的关系为 \( P(t) = 100t - 5t^2 \)，求出生产量达到最大时的时间。

1.1集合的概念专项练习解析版一、单选题1．若1∈{x ，x 2}，则x =( )A ．1B ．1-C ．0或1D ．0或1或1- 【答案】B【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果【详解】根据题意，若1∈{x ，x 2}，则必有x =1或x 2=1，进而分类讨论：∈、当x =1时，x 2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去，∈、当x 2=1，解可得x =-1或x =1(舍)，当x =-1时，x 2=1，符合题意，综合可得，x =-1，故选B ．【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.2．已知集合A ＝{a ，|a |，a －2}，若2∈A ，则实数a 的值为( )A ．－2B ．2C ．4D ．2或4 【答案】A【分析】根据元素和集合的关系以及集合元素的互异性确定正确选项.【详解】依题意2A ∈，若2a =，则2=a ，不满足集合元素的互异性，所以2a ≠； 若2=a ，则2a =-或2a =(舍去)，此时{}2,2,4A =--，符合题意；若22a -=，则4a =，而4a =，不满足集合元素的互异性，所以4a ≠.综上所述，a 的值为2-.故选：A【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合元素的互异性，属于基础题.3．下列关系中，正确的有( ) ∈1R 2；5Q ；∈3N ；∈2Q ∈.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据元素与集合之间的关系判断可得答案.【详解】12|3|3-=是非负整数，2是有理数.因此，∈∈∈∈正确，故选：D .4．考查下列每组对象，能组成一个集合的是( )∈一中高一年级聪明的学生；∈直角坐标系中横、纵坐标相等的点；∈不小于3的正整数；值．A ．∈∈B ．∈∈C ．∈∈D ．∈∈ 【答案】C【分析】利用集合中的元素满足确定性判断可得出结论.【详解】∈“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；∈“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定，能构成集合；∈“不小于3的正整数”的标准确定，能构成集合；”的标准不确定，不能构成集合．故选：C.5．下列各组对象不能构成集合的是( )A ．参加运动会的学生B 的正整数C ．2022年高考数学试卷上的难题D ．所有有理数【答案】C【分析】根据集合的基本概念辨析即可.【详解】解：对于A 选项，参加运动会的学生，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；对于B 对于C 选项，2022年高考数学试卷上的难题，多难的题才算是难题，有一定的不确定性，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合；对于D 选项，所有有理数，所研究的有理数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；故选：C.6．已知集合{}21,2,22A a a a =---，若1A -∈，则实数a 的值为( ) A ．1B ．1或12-C ．12-D ．1-或12-【分析】由题可知21a -=-或2221a a --=-，即求.【详解】∈1A -∈，∈21a -=-或2221a a --=-，∈1a =或12a =-， 经检验得12a =-.故选：C.7．已知集合A ＝{x |ax 2﹣3x +2＝0}只有一个元素，则实数a 的值为( )A ．98B ．0C ．98或0D ．1【答案】C 【分析】根据a 是否为0分类讨论．【详解】0a =时，2{|320}{}3A x x =-+==，满足题意； 0a ≠时，980a ∆=-=，98a =，此时294|320}83A x x x ⎧⎧⎫=-+==⎨⎨⎬⎩⎭⎩，满足题意． 所以0a =或98．故选：C二、多选题8．已知{}21|A y y x ==+，(){}21|,B x y y x ==+ ，下列关系正确的是( )A ．=A BB ．()1,2A ∈C ．1B ∉D ．2A ∈【答案】CD 【分析】根据集合A 、B 的特征，结合元素与集合的关系进行判断．【详解】∈{}2|1{|1}A y y x y y ==+=是数集；{}2(,)|1B x y y x ==+为点集，∈2A ∈，2B ∉，1B ∉，故A 错误，C 、D 正确；由21y x =+知，=1x 时=2y ，∈(1,2)B ∈,(1,2)A ∉，故B 错误．故选：CD ．9．下列选项正确的有( )A ．()R Q π∈B ．13Q ∈C ．0*N ∈D 4Z【答案】ABD【分析】根据常见集合的意义和元素的性质可判断各选项中的属于关系是否成立，从而可得正确的选项.【详解】因为π为无理数，故()R Q π∈，故A 正确. 因为13为有理数，故13Q ∈，故B 正确. 因为*N 为正整数集，但*0N ∉，故C 不正确.2=Z ，故D 成立.故选：ABD.【点睛】考查常见集合的表示，注意正确区分各字母表示的常见集合，不要混淆，本题属于基础题.10．下列各组中M 、P 表示不同．．集合的是( ) A ．{3,1}M =-，{13}P =-，B ．{}{(31)},(1,3)M P ==， C ．{}21,R M y y x x ==+∈，{}t t 1P =≥D ．{}21,R M y y x x ==-∈，2{(,)|1,R}P x y y x x ==-∈【答案】BD【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案.【详解】选项A 中，根据集合的无序性可知M P =；选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M ≠P ；选项C 中，M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}=[)1,+∞，{}t t 1P =≥=[)1,+∞，故M =P ；选项D 中，M 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 的所有y 组成的集合，而集合P 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 图象上所有点组成的集合，故M P ≠．故选：BD ．11．下列四个命题：其中不正确的命题为( )A ．{}0是空集B ．若N a ∈，则N a -∉；C ．集合{}2R 210x x x ∈-+=有一个元素 D ．集合6Q N x x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集. 【答案】ABD【分析】根据空集的定义可判断A ；根据元素与集合的关系可判断B ；解方程求出集合中的元素可判断C ；x 为正整数的倒数时，都有6N x∈可判断D ，进而可得正确选项. 【详解】对于A ：{}0含有一个元素0，所以{}0不是空集，故选项A 不正确；对于B ：当0a =时，N a ∈，则N a -∈，故选项B 不正确；对于C ：{}(){}{}22R 210R 101x x x x x ∈-+==∈-==只有一个元素，故选项C 正确； 对于D ：Q 表示有理数，包括整数和分数，比如x 为正整数的倒数时，都有6N x∈，所以集合6Q N x x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是无限集，故选项D 不正确；故选：ABD.三、填空题12．已知集合{}1,2,A m =，{}13,B n =,，若A B =，则m n +=_______． 【答案】5【分析】由集合的性质，即元素的无序性和互异性可得3,2m n ==，得5m n +=.【详解】根据集合的元素具有无序性和互异性可得，3,2m n ==，所以5m n +=.故答案为：5.【点睛】(1)集合A B =的充要条件是A B ⊆，且A B ⊇；(2)集合由三个性质：确定性，互异性和无序性.13．若{}221,,2a a ∈-，则=a ______．【答案】2-【分析】结合集合的互异性来求得a .【详解】若2a =，则222a -=，不满足互异性，所以2a ≠.若222,2a a -==-或2a =(舍去)，所以2a =-.故答案为：2-四、解答题14．已知集合{}222,1,A a a a =+-，{}20,7,5B a a =--，且5A ∈，求集合B ．【答案】{}0,7,1B =【分析】根据题意，结合集合中元素的确定性与互异性，分类讨论即可求解.意；若2a =-，则26a a -=，此时{}2,5,6A =，{}0,7,1B =.而当25a a -=时，集合B 中250a a --=，根据互异性可知，不满足题意.综上，{}0,7,1B =.15．已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈， (1)若A 只有一个元素，试求a 的值，并求出这个元素；(2)若A 是空集，求a 的取值范围；(3)用列举法表示集合A .【答案】(1)见解析(2)1a >(3)见解析【分析】(1)分为0a =和0a ≠两种情形即可；(2)根据方程无解时，440a ∆=-<即可得结果；(3)根据(1)(2)的结果结合求根公式即可得结果.【详解】(1)∈0a =时，12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意； ∈0a ≠时，要使A 只有一个元素，则需：440a ∆=-=，即1a =，此时{}1A =-.综上：0a =时，12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭；1a =时，{}1A =-. (2)∈A =∅，0a =显然不合题意，∈440a ∆=-<，即1a >∈1a >时，A =∅.(3)由(2)得，当1a >时，方程2210ax x ++=无解，即A =∅，由(1)得0a =时，方程210x +=的解为12x =-，即12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭； 当1a =时，方程2210x x ++=的解为=1x -，即{}1A =-.当1a <时，由求根公式得2210ax x ++=的解为1x =2x =，即A =⎪⎪⎩⎭综上可得：当1a >时，A =∅；当0a =时，12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，当1a =时，{}1A =-；当1a <时，A =⎪⎪⎩⎭. 【点睛】考查了用描述法表示集合，含有参数一元二次方程的解，分类讨论思想的应用，属于中档题。

第一章集合与函数的概念1．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是()A．{x|x是小于18的正奇数}B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k＜5}C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}D．{x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}解析：选D.A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15；B中k取负数，多了若干元素；C中t＝0时多了－3这个元素，只有D是正确的．2．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，S＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，a∈P，b∈M，设c＝a＋b，则有()A．c∈P B．c∈MC．c∈S D．以上都不对解析：选B.∈a∈P，b∈M，c＝a＋b，设a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2＋1，k2∈Z，∈c＝2k1＋2k2＋1＝2(k1＋k2)＋1，又k1＋k2∈Z，∈c∈M.3．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为()A．0 B．2C．3 D．6解析：选D.∈z＝xy，x∈A，y∈B，∈z的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，故A*B＝{0,2,4}，∈集合A*B的所有元素之和为：0＋2＋4＝6.4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则用列举法表示集合C＝____________.解析：∈C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，∈满足条件的点为：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)．答案：{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}1．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合 答案：D2．设集合M ＝{x ∈R |x ≤33}，a ＝26，则( ) A ．a ∈M B ．a ∈M C ．{a }∈M D ．{a |a ＝26}∈M 解析：选B.(26)2－(33)2＝24－27<0， 故26<3 3.所以a ∈M .3．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y ＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－4，该方程组有一组解(5，－4)，解集为{(5，－4)}．4．下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； (3)1，32，64，|－12|,0.5这些数组成的集合有5个元素；(4)集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：选A.(1)错的原因是元素不确定；(2)前者是数集，而后者是点集，种类不同；(3)32＝64，|－12|＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；(4)本集合还包括坐标轴． 5．下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A ．{0} B ．{y |y 2＝0} C ．{x |x ＝0} D ．{x ＝0}解析：选D.A 是列举法，C 是描述法，对于B 要注意集合的代表元素是y ，故与A ，C 相同，而D 表示该集合含有一个元素，即“x ＝0”．6．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．19D ．20解析：选C.易得P *Q 中元素的个数为4×5－1＝19.故选C 项．7．由实数x ，－x ，x 2，－3x 3所组成的集合里面元素最多有________个． 解析：x 2＝|x |，而－3x 3＝－x ，故集合里面元素最多有2个． 答案：28．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |4x －3∈Z ，试用列举法表示集合A ＝________. 解析：要使4x －3∈Z ，必须x －3是4的约数．而4的约数有－4，－2，－1,1,2,4六个，则x ＝－1,1,2,4,5,7，要注意到元素x 应为自然数，故A ＝{1,2,4,5,7}答案：{1,2,4,5,7}9．集合{x |x 2－2x ＋m ＝0}含有两个元素，则实数m 满足的条件为________． 解析：该集合是关于x 的一元二次方程的解集，则Δ＝4－4m >0，所以m <1. 答案：m <110. 用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数；(2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)； (3)满足方程x ＝|x |，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B .解：(1){x |x ＝3n ，n ∈Z }；(2){(x ，y )|－1≤x ≤2，－12≤y ≤1，且xy ≥0}；(3)B ＝{x |x ＝|x |，x ∈Z }．11．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .解：∈1是集合A 中的一个元素，∈1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根， ∈a ·12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3. 方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13，∈集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，1.12．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A 中元素至多只有一个，求实数a 的取值范围． 解：∈a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，x ＝23，符合题意．∈a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程． 由Δ＝9－8a ≤0，得a ≥98.∈当a ≥98时，方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．综合∈∈，知a ＝0或a ≥98.1．下列各组对象中不能构成集合的是( ) A ．水浒书业的全体员工 B ．《优化方案》的所有书刊 C ．2010年考入清华大学的全体学生 D ．美国NBA 的篮球明星解析：选D.A 、B 、C 中的元素：员工、书刊、学生都有明确的对象，而D 中对象不确定，“明星”没有具体明确的标准．2．(2011年上海高一检测)下列所给关系正确的个数是( ) ∈π∈R ；∈3∈Q ；∈0∈N *；∈|－4|∈N *. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B.∈∈正确，∈∈错误．3．集合A ＝{一条边长为1，一个角为40°的等腰三角形}中有元素( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个解析：选C.(1)当腰长为1时，底角为40°或顶角为40°.(2)当底边长为1时，底角为40°或顶角为40°，所以共有4个三角形．4．以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的解为元素的集合中共有________个元素． 解析：由x 2－5x ＋6＝0，解得x ＝2或x ＝3.由x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1.答案：31．若以正实数x，y，z，w四个元素构成集合A，以A中四个元素为边长构成的四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形答案：A2．设集合A只含一个元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A B．a∈AC．a∈A D．a＝A答案：C3．给出以下四个对象，其中能构成集合的有()∈教2011届高一的年轻教师；∈你所在班中身高超过1.70米的同学；∈2010年广州亚运会的比赛项目；∈1,3,5.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.因为未规定年轻的标准，所以∈不能构成集合；由于∈∈∈中的对象具备确定性、互异性，所以∈∈∈能构成集合．4．若集合M＝{a，b，c}，M中元素是∈ABC的三边长，则∈ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选D.根据元素的互异性可知，a≠b，a≠c，b≠c.5．下列各组集合，表示相等集合的是()∈M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；∈M＝{3,2}，N＝{2,3}；∈M＝{(1,2)}，N＝{1,2}．A．∈ B．∈C．∈ D．以上都不对解析：选B.∈中M中表示点(3,2)，N中表示点(2,3)，∈中由元素的无序性知是相等集合，∈中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2.6．若所有形如a ＋2b (a ∈Q 、b ∈Q )的数组成集合M ，对于x ＝13－52，y ＝3＋2π，则有( )A ．x ∈M ，y ∈MB ．x ∈M ，y ∈MC ．x ∈M ，y ∈MD ．x ∈M ，y ∈M 解析：选B.∈x ＝13－52＝－341－5412，y ＝3＋2π中π是无理数，而集合M 中，b ∈Q ，得x ∈M ，y ∈M .7．已知∈5∈R ；∈13∈Q ；∈0＝{0}；∈0∈N ；∈π∈Q ；∈－3∈Z .其中正确的个数为________．解析：∈错误，0是元素，{0}是一个集合；∈0∈N ；∈π∈Q ，∈∈∈正确． 答案：38．对于集合A ＝{2,4,6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的取值是________． 解析：当a ＝2时，6－a ＝4∈A ； 当a ＝4时，6－a ＝2∈A ； 当a ＝6时，6－a ＝0∈A ， 所以a ＝2或a ＝4. 答案：2或49．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b ＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b ＝0；当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2.所以集合中的元素为2,0，－2.即元素的个数为3. 答案：310．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值． 解：∈－3∈A ，∈－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0，此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.11．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试判断12－3是不是集合A 中的元素？解：∈12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ，∈2＋3∈A ，即12－3∈A .12．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，试求a 与b 的值． 解：根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b2b ＝2a， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12.1．下列六个关系式，其中正确的有( )∈{a ，b }＝{b ，a }；∈{a ，b }∈{b ，a }；∈∈＝{∈}；∈{0}＝∈；∈∈{0}；∈0∈{0}．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个及3个以下 解析：选C.∈∈∈∈正确．2．已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是( ) A ．对任意的a ∈A ，都有a ∈B B ．对任意的b ∈B ，都有b ∈A C ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∈B D ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∈B解析：选C.A 不是B 的子集，也就是说A 中存在不是B 中的元素，显然正是C 选项要表达的．对于A 和B 选项，取A ＝{1,2}，B ＝{2,3}可否定，对于D 选项，取A ＝{1}，B ＝{2,3}可否定．3．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是()A．a≥2 B．a≤1C．a≥1 D．a≤2解析：选A.A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，要使A B，则应有a≥2.4．集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为________．解析：∈Δ＝9－4(2－a2)＝1＋4a2＞0，∈M恒有2个元素，所以子集有4个．答案：41．如果A＝{x|x>－1}，那么()A．0∈A B．{0}∈AC．∈∈A D．{0}∈A解析：选D.A、B、C的关系符号是错误的．2．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>B B．A BC．B A D．A∈B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x∈B∈x∈A，但x∈A∈x∈B不成立．3．定义A－B＝{x|x∈A且x∈B}，若A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,3,5}，则A－B等于() A．A B．BC．{2} D．{1,7,9}解析：选D.从定义可看出，元素在A中但是不能在B中，所以只能是D.4．以下共有6组集合．(1)A＝{(－5,3)}，B＝{－5,3}；(2)M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；(3)M＝∈，N＝{0}；(4)M＝{π}，N＝{3.1415}；(5)M＝{x|x是小数}，N＝{x|x是实数}；(6)M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．其中表示相等的集合有()A．2组B．3组C．4组D．5组解析：选A.(5)，(6)表示相等的集合，注意小数是实数，而实数也是小数．5．定义集合间的一种运算“*”满足：A*B＝{ω|ω＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．若集合A＝{0,1}，B ＝{2,3}，则A *B 的子集的个数是( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选B.在集合A 和B 中分别取出元素进行*的运算，有0·2·(0＋2)＝0·3·(0＋3)＝0,1·2·(1＋2)＝6,1·3·(1＋3)＝12，因此可知A *B ＝{0,6,12}，因此其子集个数为23＝8，选B.6．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ∈B }，则A 与B 的关系是( ) A ．A ∈B B ．B ∈A C ．A ∈B D ．B ∈A解析：选D.∈B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∈， ∈A ＝{x |x ∈B }＝{{1}，{2}，{1,2}，∈}，∈B ∈A .7．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|yx ＝1}，则A 、B 间的关系为________．解析：在A 中，(0,0)∈A ，而(0,0)∈B ，故B A .答案：BA8．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ∈B ，则a 的值为________． 解析：A ∈B ，则a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a ，解得a ＝2或a ＝－1或a ＝1，结合集合元素的互异性，可确定a ＝－1或a ＝2.答案：－1或29．已知A ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，B ＝{x |a ≤x ＜a ＋4}，若A B ，则实数a 的取值范围是________．解析：作出数轴可得，要使A B ，则必须a ＋4≤－1或a ＞5，解之得{a |a ＞5或a ≤－5}．答案：{a |a ＞5或a ≤－5}10．已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 的值．解：∈若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac a ＋2b ＝ac2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0， 即a (c 2－2c ＋1)＝0.当a ＝0时，集合B 中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性， 故a ≠0，c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1； 当c ＝1时，集合B 中的三个元素也相同， ∈c ＝1舍去，即此时无解．∈若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac 2a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0，即a (2c 2－c －1)＝0.∈a ≠0，∈2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0. 又∈c ≠1，∈c ＝－12.11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若AB ，求a 的取值范围；(2)若B ∈A ，求a 的取值范围． 解：(1)若AB ，由图可知，a >2.(2)若B ∈A ，由图可知，1≤a ≤2.12．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B A ，求实数m 的值．解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}． ∈BA ，∈mx ＋1＝0的解为－3或2或无解．当mx ＋1＝0的解为－3时， 由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13；当mx ＋1＝0的解为2时， 由m ·2＋1＝0，得m ＝－12；当mx ＋1＝0无解时，m ＝0. 综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.1．(2010年高考广东卷)若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则集合A ∩B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2＜x ＜2} D ．{x |0＜x ＜1}解析：选D.因为A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}． 2．(2010年高考湖南卷)已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}则( ) A ．M ∈N B ．N ∈M C ．M ∩N ＝{2,3} D ．M ∈N ＝{1,4}解析：选C.∈M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}．∈选项A、B显然不对．M∈N＝{1,2,3,4}，∈选项D错误．又M∩N＝{2,3}，故选C.3．已知集合M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x＝y2}，则M∩N＝()A．{(0,0)，(1,1)} B．{0,1}C．{y|y≥0} D．{y|0≤y≤1}解析：选C.M＝{y|y≥0}，N＝R，∈M∩N＝M＝{y|y≥0}．4．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∈B＝A，则实数m的取值范围是________．解析：A∈B＝A，即B∈A，∈m≥2.答案：m≥21．下列关系Q∩R＝R∩Q；Z∈N＝N；Q∈R＝R∈Q；Q∩N＝N中，正确的个数是() A．1B．2C．3 D．4解析：选C.只有Z∈N＝N是错误的，应是Z∈N＝Z.2．(2010年高考四川卷)设集合A＝{3,5,6,8}，集合B＝{4,5,7,8}，则A∩B等于() A．{3,4,5,6,7,8} B．{3,6}C．{4,7} D．{5,8}解析：选D.∈A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，∈A∩B＝{5,8}．3．(2009年高考山东卷)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∈B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0 B．1C．2 D．4解析：选D.根据元素特性，a≠0，a≠2，a≠1.∈a＝4.4．已知集合P＝{x∈N|1≤x≤10}，集合Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则P∩Q等于() A．{2} B．{1,2}C．{2,3} D．{1,2,3}解析：选A.Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∈P∩Q＝{2}．5．(2010年高考福建卷)若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，则A∩B等于()A．{x|2＜x≤3} B．{x|x≥1}C．{x|2≤x＜3} D．{x|x＞2}解析：选A.∈A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，∈A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．6．设集合S ＝{x |x ＞5或x ＜－1}，T ＝{x |a ＜x ＜a ＋8}，S ∈T ＝R ，则a 的取值范围是( )A ．－3＜a ＜－1B ．－3≤a ≤－1C ．a ≤－3或a ≥－1D ．a ＜－3或a ＞－1 解析：选A.S ∈T ＝R ，∈⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8＞5，a ＜－1.∈－3＜a ＜－1. 7．(2010年高考湖南卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2，m,4}，A ∩B ＝{2,3}，则m ＝________. 解析：∈A ∩B ＝{2,3}，∈3∈B ，∈m ＝3. 答案：38．满足条件{1,3}∈M ＝{1,3,5}的集合M 的个数是________． 解析：∈{1,3}∈M ＝{1,3,5}，∈M 中必须含有5， ∈M 可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个． 答案：49．若集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x ≥a }，且满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝________. 解析：当a ＞2时，A ∩B ＝∈； 当a ＜2时，A ∩B ＝{x |a ≤x ≤2}； 当a ＝2时，A ∩B ＝{2}．综上：a ＝2. 答案：210．已知A ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，B ＝{x |x 2＋cx ＋15＝0}，A ∈B ＝{3,5}，A ∩B ＝{3}，求实数a ，b ，c 的值．解：∈A ∩B ＝{3}，∈由9＋3c ＋15＝0，解得c ＝－8.由x 2－8x ＋15＝0，解得B ＝{3,5}，故A ＝{3}． 又a 2－4b ＝0，解得a ＝－6，b ＝9. 综上知，a ＝－6，b ＝9，c ＝－8.11．已知集合A ＝{x |x －2＞3}，B ＝{x |2x －3＞3x －a }，求A ∈B . 解：A ＝{x |x －2＞3}＝{x |x ＞5}， B ＝{x |2x －3＞3x －a }＝{x |x ＜a －3}． 借助数轴如图：∈当a －3≤5，即a ≤8时，A ∈B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}． ∈当a －3＞5，即a ＞8时，A ∈B ＝{x |x ＞5}∈{x |x ＜a －3}＝{x |x ∈R }＝R . 综上可知当a ≤8时，A ∈B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}； 当a ＞8时，A ∈B ＝R .12．设集合A ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝1，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|a 2x ＋2y ＝a ，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∈，求a 的值．解：集合A 、B 的元素都是点，A ∩B 的元素是两直线的公共点．A ∩B ＝∈，则两直线无交点，即方程组无解．列方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1a 2x ＋2y ＝a ，解得(4－a 2)x ＝2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2＝02－a ≠0，即a ＝－2.1．(2010年高考辽宁卷)已知集合U ＝{1,3,5,7,9}，A ＝{1,5,7}，则∈U A ＝( ) A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9} D ．{3,9} 解析：选D.∈U A ＝{3,9}，故选D.2．(2010年高考陕西卷)集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩(∈R B )＝( ) A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1＜x ≤2} D ．{x |1≤x ≤2}解析：选D.∈B ＝{x |x ＜1}，∈∈R B ＝{x |x ≥1}， ∈A ∩∈R B ＝{x |1≤x ≤2}．3. 已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选A.依题意知A＝{0,1}，(∈U A)∩B表示全集U中不在集合A中，但在集合B中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}．选A.4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∈U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.解析：∈A∈∈U A＝U，∈A＝{x|1≤x＜2}．∈a＝2.答案：21．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，且A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，则A∩(∈U B)等于()A．{2} B．{5}C．{3,4} D．{2,3,4,5}解析：选C.∈U B＝{3,4,5}，∈A∩(∈U B)＝{3,4}．2．已知全集U＝{0,1,2}，且∈U A＝{2}，则A＝()A．{0} B．{1}C．∈ D．{0,1}解析：选D.∈∈U A＝{2}，∈2∈A，又U＝{0,1,2}，∈A＝{0,1}．3．(2009年高考全国卷∈)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4，7,8,9}，全集U＝A∈B，则集合∈U(A∩B)中的元素共有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选A.U＝A∈B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∈∈U(A∩B)＝{3,5,8}．4．已知集合U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则()A．M∩N＝{4,6} B．M∈N＝UC．(∈U N)∈M＝U D．(∈U M)∩N＝N解析：选B.由U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，得M∩N＝{4,5}，(∈U N)∈M ＝{3,4,5,7}，(∈U M)∩N＝{2,6}，M∈N＝{2,3,4,5,6,7}＝U，选B.5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∈U(A∈B)中元素个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.∈A＝{1,2}，∈B＝{2,4}，∈A∈B＝{1,2,4}，∈∈U(A∈B)＝{3,5}．6．已知全集U ＝A ∈B 中有m 个元素，(∈U A )∈(∈U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D.U ＝A ∈B 中有m 个元素，∈(∈U A )∈(∈U B )＝∈U (A ∩B )中有n 个元素， ∈A ∩B 中有m －n 个元素，故选D.7．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{2,4}，B ＝{3,4,5}，C ＝{3,4}，则(A ∈B )∩(∈U C )＝________. 解析：∈A ∈B ＝{2,3,4,5}，∈U C ＝{1,2,5}， ∈(A ∈B )∩(∈U C )＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}． 答案：{2,5}8．已知全集U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，若∈U A ＝{1}，则实数a 的值是________． 解析：∈U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，∈U A ＝{1}， ∈a 2－a －1＝1，即a 2－a －2＝0， 解得a ＝－1或a ＝2. 答案：－1或29．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∈U A )∩B ＝∈，求实数m 的取值范围为________．解析：由已知A ＝{x |x ≥－m }， ∈∈U A ＝{x |x ＜－m }，∈B ＝{x |－2＜x ＜4}，(∈U A )∩B ＝∈， ∈－m ≤－2，即m ≥2， ∈m 的取值范围是m ≥2. 答案：{m |m ≥2}10．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，求A ∩B ，(∈U B )∈P ，(A ∩B )∩(∈U P )．解：将集合A 、B 、P 表示在数轴上，如图．∈A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，∈A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}． ∈∈U B ＝{x |x ≤－1或x ＞3}， ∈(∈U B )∈P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，(A ∩B )∩(∈U P )＝{x |－1＜x ＜2}∩{x |0＜x ＜52}＝{x |0＜x ＜2}．11．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足B ∩(∈U A )＝{2}，A ∩(∈U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．解：∈B ∩(∈U A )＝{2}， ∈2∈B ，但2∈A .∈A ∩(∈U B )＝{4}，∈4∈A ，但4∈B .∈⎩⎪⎨⎪⎧42＋4a ＋12b ＝022－2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝87b ＝127.∈a ，b 的值为87，－127.12．已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∈R B ，求实数a 的取值范围．解：∈R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}≠∈， ∈A∈R B ，∈分A ＝∈和A ≠∈两种情况讨论． ∈若A ＝∈，此时有2a －2≥a ， ∈a ≥2.∈若A ≠∈，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2<a a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a 2a －2≥2.∈a ≤1.综上所述，a ≤1或a ≥2.第二章 基本初等函数1．下列说法中正确的为( ) A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数 B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数 C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同．2．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3解析：选B.A 、C 、D 的定义域均不同． 3．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0} D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤1.4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a ＞1或a ＜－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)1．函数y ＝1x 的定义域是( )A ．RB ．{0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}D ．{x |x ≠1}解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．2．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y解析：选A.一个x 对应的y 值不唯一． 3．下列说法正确的是( )A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域可以是空集C ．函数的定义域和值域一定是数集D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了解析：选C.根据从集合A 到集合B 函数的定义可知，强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性，所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素，从而选项A 错误；同样由函数定义可知，A 、B 集合都是非空数集，故选项B 错误；选项C 正确；对于选项D ，可以举例说明，如定义域、值域均为A ＝{0,1}的函数，对应关系可以是x →x ，x ∈A ，可以是x →x ，x ∈A ，还可以是x →x 2，x ∈A .4．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值解析：选A.按照函数定义，选项B 中集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C 中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A 中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D 中，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与其对应，也不符合函数定义，只有选项A 符合函数定义．5．下列各组函数表示相等函数的是( ) A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 解析：选C.A 、B 与D 对应法则都不同．6．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 一定是( ) A ．∈ B ．∈或{1} C ．{1} D ．∈或{2}解析：选B.由f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ＝{－1,1，－2，2}或A ＝{－1,1，－2}或A ＝{－1,1，2}或A ＝{－1，2，－2}或A ＝{1，－2，2}或A ＝{－1，－2}或A ＝{－1，2}或A ＝{1，2}或A ＝{1，－2}．所以A ∩B ＝∈或{1}．7．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． 解析：由题意3a －1＞a ，则a ＞12.答案：(12，＋∞)8．函数y ＝x ＋103－2x的定义域是________．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠03－2x ＞0，即x ＜32且x ≠－1.答案：(－∞，－1)∈(－1，32)9．函数y ＝x 2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________． 解析：当x 取－1,0,1,2时， y ＝－1，－2，－1,2， 故函数值域为{－1，－2,2}． 答案：{－1，－2,2} 10．求下列函数的定义域： (1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋83x －2.解：(1)要使y ＝－x 2x 2－3x －2有意义，则必须⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12， 故所求函数的定义域为{x |x ≤0，且x ≠－12}．(2)要使y ＝34x ＋83x －2有意义，则必须3x －2＞0，即x ＞23， 故所求函数的定义域为{x |x ＞23}． 11．已知f (x )＝11＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (2))的值． 解：(1)∈f (x )＝11＋x ，∈f (2)＝11＋2＝13， 又∈g (x )＝x 2＋2， ∈g (2)＝22＋2＝6. (2)由(1)知g (2)＝6， ∈f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17. 12．已知函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．解：函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)． ∈ax ＋1≥0，a ＜0，∈x ≤－1a ，即函数的定义域为(－∞，－1a ]．∈函数在区间(－∞，1]上有意义， ∈(－∞，1]∈(－∞，－1a ]，∈－1a ≥1，而a ＜0，∈－1≤a ＜0.即a 的取值范围是[－1,0)．1．下列各图中，不能是函数f (x )图象的是( )解析：选C.结合函数的定义知，对A 、B 、D ，定义域中每一个x 都有唯一函数值与之对应；而对C ，对大于0的x 而言，有两个不同值与之对应，不符合函数定义，故选C.2．若f (1x )＝11＋x ，则f (x )等于( )A.11＋x(x ≠－1) B.1＋x x (x ≠0)C.x1＋x(x ≠0且x ≠－1) D ．1＋x (x ≠－1) 解析：选C.f (1x )＝11＋x＝1x1＋1x(x ≠0)， ∈f (t )＝t1＋t (t ≠0且t ≠－1)，∈f (x )＝x1＋x(x ≠0且x ≠－1)． 3．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3解析：选B.设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∈2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∈⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5k ＋b ＝1，∈⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∈f (x )＝3x －2. 4．已知f (2x )＝x 2－x －1，则f (x )＝________. 解析：令2x ＝t ，则x ＝t 2，∈f (t )＝⎝⎛⎭⎫t 22－t 2－1，即f (x )＝x 24－x2－1. 答案：x 24－x 2－11．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.x非负数非正数y1 －1B.x 奇数 0 偶数 y1－1C.x 有理数 无理数 y1－1D.x 自然数 整数 有理数 y1－1解析：选C.A 中，当x ＝0时，y ＝±1；B 中0是偶数，当x ＝0时，y ＝0或y ＝－1；D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x ＝1∈N(Z ，Q)，故y 的值不唯一，故A 、B 、D 均不正确．2．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f (12)等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：选C.法一：令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)，∈f (t )＝4t －12－1，∈f (12)＝16－1＝15. 法二：令1－2x ＝12，得x ＝14，∈f (12)＝16－1＝15. 3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7解析：选B.∈g (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∈g (x )＝2x －1.4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合此学生走法的是( )解析：选D.由于纵轴表示离学校的距离，所以距离应该越来越小，排除A 、C ，又一开始跑步，速度快，所以D 符合．5．如果二次函数的二次项系数为1且图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝－(x －1)2＋1C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1解析：选D.设f (x )＝(x －1)2＋c ， 由于点(0,0)在函数图象上， ∈f (0)＝(0－1)2＋c ＝0， ∈c ＝－1，∈f (x )＝(x －1)2－1.6．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的函数解析式为( ) A ．y ＝12x (x >0) B ．y ＝24x (x >0)C ．y ＝28x (x >0) D ．y ＝216x (x >0) 解析：选C.设正方形的边长为a ，则4a ＝x ，a ＝x4，其外接圆的直径刚好为正方形的一条对角线长．故2a ＝2y ，所以y ＝22a ＝22×x 4＝28x . 7．已知f (x )＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于________． 解析：2m ＋3＝6，m ＝32.答案：328. 如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [1f 3]的值等于________．解析：由题意，f (3)＝1， ∈f [1f 3]＝f (1)＝2. 答案：29．将函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得函数y ＝x 2的图象，则函数f (x )的解析式为__________________．解析：将函数y ＝x 2的图象向下平移2个单位，得函数y ＝x 2－2的图象，再将函数y ＝x 2－2的图象向右平移1个单位，得函数y ＝(x －1)2－2的图象，即函数y ＝f (x )的图象，故f (x )＝x 2－2x －1.答案：f (x )＝x 2－2x －110．已知f (0)＝1，f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，求f (x )． 解：令a ＝0，则f (－b )＝f (0)－b (－b ＋1) ＝1＋b (b －1)＝b 2－b ＋1. 再令－b ＝x ，即得f (x )＝x 2＋x ＋1. 11．已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＋1x ，求f (x )．解：∈x ＋1x ＝1＋1x ，x 2＋1x 2＝1＋1x 2，且x ＋1x ≠1，∈f (x ＋1x )＝f (1＋1x )＝1＋1x 2＋1x＝(1＋1x )2－(1＋1x )＋1.∈f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．12．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，对于x ∈R 恒成立，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．解：∈f (2＋x )＝f (2－x )，∈f (x )的图象关于直线x ＝2对称． 于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ， ∈f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3. ∈ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10， ∈10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－6a ， ∈a ＝1.∈f (x )＝x 2－4x ＋3.1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，下列对应不是A 到B 的映射的是( )解析：选C.A 、B 、D 均满足映射的定义，C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应，且A 中元素b 在B 中无元素与之对应．2．(2011年葫芦岛高一检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3 x ＞10f f x ＋5 x ≤10，则f (5)的值是( )A ．24B ．21C ．18D ．16解析：选A.f (5)＝f (f (10))， f (10)＝f (f (15))＝f (18)＝21， f (5)＝f (21)＝24.3．函数y ＝x ＋|x |x的图象为( )解析：选C.y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x >0x －1 x <0，再作函数图象．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x ＜11x ， x ＞1的值域是________．解析：当x ＜1时，x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34；当x ＞1时，0＜1x ＜1，则所求值域为(0，＋∞)，故填(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)1．设f ：A →B 是集合A 到B 的映射，其中A ＝{x |x ＞0}，B ＝R ，且f ：x →x 2－2x －1，则A 中元素1＋2的像和B 中元素－1的原像分别为( )A.2，0或2 B ．0,2 C ．0,0或2D ．0,0或2答案：C2．某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3 km(含3 km)，以后每1 km 为1.6元(不足1 km ，按1 km 计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为( )解析：选C.由题意，当0＜x ≤3时，y ＝10；当3＜x ≤4时，y ＝11.6； 当4＜x ≤5时，y ＝13.2； …当n －1＜x ≤n 时，y ＝10＋(n －3)×1.6，故选C.3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 20≤x ≤3x 2＋6x－2≤x ≤0的值域是( )A ．RB ．[－9，＋∞)C ．[－8,1]D ．[－9,1]解析：选C.画出图象，也可以分段求出部分值域，再合并，即求并集． 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ≤－1，x 2－1＜x ＜22x x ≥2，若f (x )＝3，则x 的值是( ) A ．1B ．1或32C ．1，32或± 3D.3解析：选D.该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)， ∈f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1＜x ＜2，∈x ＝ 3.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x 为有理数，0， x 为无理数，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， x 为有理数，1， x 为无理数，当x ∈R 时，f (g (x ))，g (f (x ))的值分别为( )A ．0,1B ．0,0C ．1,1D ．1,0解析：选D.g (x )∈Q ，f (x )∈Q ，f (g (x ))＝1，g (f (x ))＝0.6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12 x ≤－1，2x ＋1 －1<x <1，1x －1 x ≥1，已知f (a )>1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∈⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－12，12 C ．(－∞，－2)∈⎝⎛⎭⎫－12，1D.⎝⎛⎭⎫－12，12∈(1，＋∞) 解析：选C.f (a )>1∈⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1a ＋12>1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <12a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥11a －1>1∈⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1a <－2或a >0或⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1a >－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥10<a <12∈a <－2或－12<a <1.即所求a 的取值范围是(－∞，－2)∈⎝⎛⎭⎫－12，1. 7．设A ＝B ＝{a ，b ，c ，d ，…，x ，y ，z }(元素为26个英文字母)，作映射f ：A →B 为A 中每一个字母与B 中下一个字母对应，即：a →b ，b →c ，c →d ，…，z →a ，并称A 中的字母组成的文字为明文，B 中相应的字母为密文，试破译密文“nbuj ”：________.解析：由题意可知m →n ，a →b ，t →u ，i →j ， 所以密文“nbuj ”破译后为“mati ”． 答案：mati8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，f x －2， x ＞0，则f (4)＝________.解析：f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 答案：09．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，则不等式x ＋(x ＋2)·f (x ＋2)≤5的解集是________．解析：原不等式可化为下面两个不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0x ＋x ＋2·1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＜0x ＋x ＋2·－1≤5，解得－2≤x ≤32或x ＜－2，即x ≤32.答案：(－∞，32]10．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2 －1≤x ≤11 x ＞1或x ＜－1，(1)画出f (x )的图象；(2)求f (x )的定义域和值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示． (2)由条件知， 函数f (x )的定义域为R. 由图象知，当－1≤x ≤1时， f (x )＝x 2的值域为[0,1]， 当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．11．某汽车以52千米/小时的速度从A 地到260千米远的B 地，在B 地停留112小时后，再以65千米/小时的速度返回A 地．试将汽车离开A 地后行驶的路程s (千米)表示为时间t (小时)的函数．解：∈260÷52＝5(小时)，260÷65＝4(小时)，∈s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t 0≤t ≤5，260 ⎝⎛⎭⎫5＜t ≤612，260＋65⎝⎛⎭⎫t －612 ⎝⎛⎭⎫612＜t ≤1012.12. 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式，并画出大致图象．解：过点A ，D 分别作AG ∈BC ，DH ∈BC ，垂足分别是G ，H . 因为ABCD 是等腰梯形， 底角为45°，AB ＝2 2 cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm. 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. ∈当点F 在BG 上时， 即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；∈当点F 在GH 上时， 即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2； ∈当点F 在HC 上时，即x ∈(5,7]时， y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt∈CEF＝12(7＋3)×2－12(7－x )2 ＝－12(x －7)2＋10.综合∈∈∈，得函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2x ∈[0，2]2x －2 x ∈2，5].－12x －72＋10 x ∈5，7]函数图象如图所示．1．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于( )A ．－4B ．－8C ．8D ．无法确定解析：选B.二次函数在对称轴的两侧的单调性相反．由题意得函数的对称轴为x ＝－2，则m4＝－2，所以m ＝－8. 2．函数f (x )在R 上是增函数，若a ＋b ≤0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b ) B ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b ) C ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )解析：选C.应用增函数的性质判断． ∈a ＋b ≤0，∈a ≤－b ，b ≤－a . 又∈函数f (x )在R 上是增函数， ∈f (a )≤f (－b )，f (b )≤f (－a )． ∈f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )．3．下列四个函数：∈y ＝x x －1；∈y ＝x 2＋x ；∈y ＝－(x ＋1)2；∈y ＝x1－x ＋2.其中在(－∞，0)上为减函数的是( )A ．∈B ．∈C ．∈∈D ．∈∈∈解析：选A.∈y ＝x x －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1.其减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．∈y ＝x 2＋x ＝(x ＋12)2－14，减区间为(－∞，－12)．∈y ＝－(x ＋1)2，其减区间为(－1，＋∞)， ∈与∈相比，可知为增函数．4．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是________． 解析：对称轴x ＝k 8，则k 8≤5，或k8≥8，得k ≤40，或k ≥64，即对称轴不能处于区间内．答案：(－∞，40]∈[64，＋∞)1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞) 解析：选A.根据y ＝－x 2的图象可得．2．若函数f (x )定义在[－1,3]上，且满足f (0)<f (1)，则函数f (x )在区间[－1,3]上的单调性是( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先减后增D ．无法判断解析：选D.函数单调性强调x 1，x 2∈[－1,3]，且x 1，x 2具有任意性，虽然f (0)<f (1)，但不能保证其他值也能满足这样的不等关系．3．已知函数y ＝f (x )，x ∈A ，若对任意a ，b ∈A ，当a <b 时，都有f (a )<f (b )，则方程f (x )＝0的根( )A ．有且只有一个B ．可能有两个C ．至多有一个D ．有两个以上解析：选C.由题意知f (x )在A 上是增函数．若y ＝f (x )与x 轴有交点，则有且只有一个交点，故方程f (x )＝0至多有一个根．4．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )＞f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a )C ．f (a 2＋a )＜f (a )D ．f (a 2＋1)＜f (a ) 解析：选D.∈a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34＞0，∈a 2＋1＞a ，∈f (a 2＋1)＜f (a )，故选D.5．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( ) ∈y ＝|x |；∈y ＝|x |x ；∈y ＝－x 2|x |；∈y ＝x ＋x|x |.A ．∈∈B ．∈∈C ．∈∈D ．∈∈解析：选C.∈y ＝|x |＝－x (x ＜0)在(－∞，0)上为减函数； ∈y ＝|x |x ＝－1(x ＜0)在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；∈y ＝－x 2|x |＝x (x ＜0)在(－∞，0)上是增函数；∈y ＝x ＋x|x |＝x －1(x ＜0)在(－∞，0)上也是增函数，故选C.6．下列说法中正确的有( )∈若x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ∈函数y ＝x 2在R 上是增函数； ∈函数y ＝－1x在定义域上是增函数；∈y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∈(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选A.函数单调性的定义是指定义在区间I 上的任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而∈不对；∈y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x ≤0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；∈y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数．如－3＜5，而f (－3)＞f (5)；∈y ＝1x 的单调递减区间不是(－∞，0)∈(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．7．若函数y ＝－bx 在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．解析：设0＜x 1＜x 2，由题意知 f (x 1)－f (x 2)＝－b x 1＋b x 2＝bx 1－x 2x 1·x 2＞0，∈0＜x 1＜x 2，∈x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0. ∈b ＜0.答案：(－∞，0)8．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34 )的大小关系为________．解析：∈a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34，∈f (a 2－a ＋1)≤f (34)．答案：f (a 2－a ＋1)≤f (34)9．y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． 解析： y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x x ＞0x 2－3x x ≤0，作出其图象如图，观察图象知递增区间为[0，32]．答案：[0，32]10．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数． 解：(1)∈f (1)＝0，f (3)＝0，∈⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得b ＝－4，c ＝3. (2)证明：∈f (x )＝x 2－4x ＋3， ∈设x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1＋3)－(x 22－4x 2＋3) ＝(x 21－x 22)－4(x 1－x 2) ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)， ∈x 1－x 2＜0，x 1＞2，x 2＞2， ∈x 1＋x 2－4＞0.∈f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∈函数f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －1)＜f (1－3x )，求x 的取值范围．解：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －1≤1－1≤1－3x ≤1，x －1＜1－3x即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤x ≤23，x ＜12∈0≤x ＜12.12．设函数y ＝f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．解：设任意的x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1＜x 2， ∈f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2 ＝ax 1＋1x 2＋2－ax 2＋1x 1＋2x 1＋2x 2＋2＝x 1－x 22a －1x 1＋2x 2＋2.∈f (x )在(－2，＋∞)上单调递增， ∈f (x 1)－f (x 2)＜0. ∈x 1－x 22a －1x 1＋2x 2＋2＜0，∈x 1－x 2＜0，x 1＋2＞0，x 2＋2＞0， ∈2a －1＞0，∈a ＞12.1．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a ) C ．9－aD ．9－a 2解析：选A.x ∈[0,3]时f (x )为减函数，f (x )max ＝f (0)＝9. 2．函数y ＝x ＋1－x －1的值域为( ) A ．(－∞， 2 ] B ．(0， 2 ] C ．[2，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选B.y ＝x ＋1－x －1，∈⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x －1≥0，∈x ≥1.∈y ＝2x ＋1＋x －1为[1，＋∞)上的减函数，∈f (x )max ＝f (1)＝2且y ＞0.3．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2在[0，a ]上取得最大值3，最小值2，则实数a 为( ) A ．0或1 B ．1C ．2D ．以上都不对解析：选B.因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2＝(x －a )2－a 2＋a ＋2, 对称轴为x ＝a ，开口方向向上，所以f (x )在[0，a ]上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，即f (x )max ＝f (0)＝a ＋2＝3，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋a ＋2＝2.故a ＝1.4．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1.则xy 的最大值为________．解析：y 4＝1－x 3，∈0＜1－x3＜1,0＜x ＜3.而xy ＝x ·4(1－x 3)＝－43(x －32)2＋3.当x ＝32，y ＝2时，xy 最大值为3.答案：31．函数f (x )＝x 2在[0,1]上的最小值是( ) A ．1 B ．0 C.14D ．不存在解析：选B.由函数f (x )＝x 2在[0,1]上的图象(图略)知， f (x )＝x 2在[0,1]上单调递增，故最小值为f (0)＝0.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对解析：选A.f (x )在x ∈[－1,2]上为增函数，f (x )max ＝f (2)＝10，f (x )min ＝f (－1)＝6. 3．函数y ＝－x 2＋2x 在[1,2]上的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．不存在解析：选A.因为函数y ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1.对称轴为x ＝1，开口向下，故在[1,2]上为单调递减函数，所以y max ＝－1＋2＝1.。

高一数学必修1习题及答案5篇习题1：已知∠ABC=60°，AB=4，BC=6，求AC的长度。

解答：通过画图可知，△ABC为一个等边三角形，因此AC=AB=4。

习题2：已知一条直线l1:x-2y+3=0，求平行于l1且过点P(1,2)的直线l2的方程式。

解答：l1的斜率为2，因此l2的斜率也为2。

同时，由于l2过点P(1,2)，因此可得l2的方程式为y-2=2(x-1)，即y=2x。

习题3：已知函数f(x)=2x-1，求f(3)的值和f(-2)的值。

解答：将3代入f(x)=2x-1，可得f(3)=2(3)-1=5。

将-2代入f(x)=2x-1，可得f(-2)=2(-2)-1=-5。

习题4：已知弧AB所对的圆心角为60°，AB的弧长为π，求该圆的半径。

解答：圆心角60°所对的弧长为圆的1/6，即π/6。

因此可知该圆的周长为2π，因此半径为1。

习题5：已知平面直角坐标系中两点A(2，5)和B(-3，-4)，求线段AB的长度。

解答：通过勾股定理可知，线段AB的长度为√(2-(-3))^2+(5-(-4))^2=√25+81=√106。

以上是数学必修1的5道典型习题及解答，这些题目涵盖了数学必修1的不同知识点，包括三角函数、直线方程、函数、圆和勾股定理等。

对于高一学生来说，这些内容都是必须掌握的基础知识。

在学习数学时，不仅要了解知识点本身的定义和公式，还要学会思考如何运用所学知识解决问题。

因此，在学习习题时，除了知晓解答方法和答案外，还需深入思考，理解其背后的思维过程和逻辑。

在解答习题时，需要注意的是细节问题。

比如在第三道题中，如果没有注意到f(x)的定义式中有-1这一项，就会出现计算错误。

因此，在解答问题时，不仅需要整体考虑，还需要对计算细节进行仔细检查。

在学习数学时，还需要注重实践操作和分类整理。

对于复杂的习题和知识点，可以多练习相关问题，通过不断反复联系和思考，形成自己的解题思路和方法。

第一章 集合与函数的概念1．某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与产量x 的关系，则可选用( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数 解析：选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意； 二次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢． 2．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：x 1 2 3 … y 1 3 8 …则下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －1 D ．y ＝1.5x 2－2.5x ＋2解析：选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选D.3．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km 的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时； ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者． 其中正确信息的序号是( ) A ．①②③ B ．①③ C ．②③ D ．①②解析：选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，正确．4．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，且宽减少x2时面积最大，此时x ＝________，面积S ＝________.解析：依题意得：S ＝(4＋x )(3－x 2)＝－12x 2＋x ＋12＝－12(x －1)2＋1212，∴当x ＝1时，S max ＝1212.答案：1 12121x 1 2 3 4 5 y 3 5 6.99 9.01 11( )A ．指数函数B ．反比例函数C ．一次函数D ．二次函数解析：选C.画出散点图，结合图象(图略)可知各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示．2．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( ) A ．14400亩 B ．172800亩 C ．17280亩 D ．20736亩 解析：选C.y ＝10000×(1＋20%)3＝17280.3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是( )A ．增加7.84%B ．减少7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减 解析：选B.设该商品原价为a ，四年后价格为a (1＋0.2)2·(1－0.2)2＝0.9216a . 所以(1－0.9216)a ＝0.0784a ＝7.84%a ， 即比原来减少了7.84%.4．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( )A ．y ＝0.3x ＋800(0≤x ≤2000)B ．y ＝0.3x ＋1600(0≤x ≤2000)C ．y ＝－0.3x ＋800(0≤x ≤2000)D ．y ＝－0.3x ＋1600(0≤x ≤2000)解析：选D.由题意知，变速车存车数为(2000－x )辆次， 则总收入y ＝0.5x ＋(2000－x )×0.8＝0.5x ＋1600－0.8x ＝－0.3x ＋1600(0≤x ≤2000)．5．如图，△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y ＝f (x )的图象大致为四个选项中的( )解析：选C.设AB ＝a ，则y ＝12a 2－12x 2＝－12x 2＋12a 2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方．故选C.6．小蜥蜴体长15 cm ，体重15 g ，问：当小蜥蜴长到体长为20 cm 时，它的体重大约是( )A ．20 gB ．25 gC ．35 gD ．40 g解析：选C.假设小蜥蜴从15 cm 长到20 cm ，体形是相似的．这时蜥蜴的体重正比于它的体积，而体积与体长的立方成正比．记体长为20 cm 的蜥蜴的体重为W 20，因此有W 20＝W 15·203153≈35.6(g)，合理的答案为35 g ．故选C.7．现测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1；乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．解析：图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好．答案：甲8．一根弹簧，挂重100 N 的重物时，伸长20 cm ，当挂重150 N 的重物时，弹簧伸长________．解析：由10020＝150x，得x ＝30.答案：30 cm9．某工厂8年来某产品年产量y 与时间t 年的函数关系如图，则： ①前3年总产量增长速度越来越快； ②前3年中总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变． 以上说法中正确的是________．解析：观察图中单位时间内产品产量y 变化量快慢可知①④. 答案：①④10.某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系可近似看作一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，函数图象如图所示．(1)根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S 元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？解：(1)由图象知，当x ＝600时，y ＝400；当x ＝700时，y ＝300，代入y ＝kx ＋b (k ≠0)中，得⎩⎪⎨⎪⎧ 400＝600k ＋b ，300＝700k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1000. 所以，y ＝－x ＋1000(500≤x ≤800)． (2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy ， 成本总价＝成本单价×销售量＝500y ， 代入求毛利润的公式，得S ＝xy －500y ＝x (－x ＋1000)－500(－x ＋1000) ＝－x 2＋1500x －500000＝－(x －750)2＋62500(500≤x ≤800)．所以，当销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件． 11．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·(12)th ，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到35 ℃时，需要多长时间？解：由题意知40－24＝(88－24)·(12)20h ，即14＝(12)20h . 解之，得h ＝10.故T －24＝(88－24)·(12)t10.当T ＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·(12)t10，即(12)t 10＝1164. 两边取对数，用计算器求得t ≈25. 因此，约需要25 min ，可降温到35 ℃.12．某地区为响应上级号召，在2011年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x 年后，该地区的廉价住房为y 万平方米，求y ＝f (x )的表达式，并求此函数的定义域．(2)作出函数y ＝f (x )的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？解：(1)经过1年后，廉价住房面积为 200＋200×5%＝200(1＋5%)； 经过2年后为200(1＋5%)2； …经过x 年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x ， ∴y ＝200(1＋5%)x (x ∈N *)．(2)作函数y ＝f (x )＝200(1＋5%)x (x ≥0)的图象，如图所示．作直线y ＝300，与函数y ＝200(1＋5%)x的图象交于A 点，则A (x 0,300)，A 点的横坐标x 0的值就是函数值y ＝300时所经过的时间x 的值．因为8<x 0<9，则取x 0＝9，即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米．1．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是( ) A ．{x |x 是小于18的正奇数} B ．{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k ＜5} C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5} D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤5}解析：选D.A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15；B 中k 取负数，多了若干元素；C 中t ＝0时多了－3这个元素，只有D 是正确的．2．集合P ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，S ＝{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z }，a ∈P ，b ∈M ，设c ＝a ＋b ，则有( )A ．c ∈PB ．c ∈MC ．c ∈SD ．以上都不对解析：选B.∵a ∈P ，b ∈M ，c ＝a ＋b ， 设a ＝2k 1，k 1∈Z ，b ＝2k 2＋1，k 2∈Z ， ∴c ＝2k 1＋2k 2＋1＝2(k 1＋k 2)＋1， 又k 1＋k 2∈Z ，∴c ∈M .3．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A *B 的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．6解析：选D.∵z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B ，∴z 的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4， 故A *B ＝{0,2,4}，∴集合A *B 的所有元素之和为：0＋2＋4＝6.4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，则用列举法表示集合C ＝____________.解析：∵C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }， ∴满足条件的点为：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)．答案：{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}1．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合 答案：D2．设集合M ＝{x ∈R |x ≤33}，a ＝26，则( ) A ．a ∉M B ．a ∈MC ．{a }∈MD ．{a |a ＝26}∈M 解析：选B.(26)2－(33)2＝24－27<0， 故26<3 3.所以a ∈M .3．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y ＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－4，该方程组有一组解(5，－4)，解集为{(5，－4)}．4．下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合；(3)1，32，64，|－12|,0.5这些数组成的集合有5个元素；(4)集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：选A.(1)错的原因是元素不确定；(2)前者是数集，而后者是点集，种类不同；(3)32＝64，|－12|＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；(4)本集合还包括坐标轴． 5．下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A ．{0} B ．{y |y 2＝0} C ．{x |x ＝0} D ．{x ＝0}解析：选D.A 是列举法，C 是描述法，对于B 要注意集合的代表元素是y ，故与A ，C 相同，而D 表示该集合含有一个元素，即“x ＝0”．6．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．19D ．20解析：选C.易得P *Q 中元素的个数为4×5－1＝19.故选C 项．7．由实数x ，－x ，x 2，－3x 3所组成的集合里面元素最多有________个．解析：x 2＝|x |，而－3x 3＝－x ，故集合里面元素最多有2个． 答案：28．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |4x －3∈Z ，试用列举法表示集合A ＝________.解析：要使4x －3∈Z ，必须x －3是4的约数．而4的约数有－4，－2，－1,1,2,4六个，则x ＝－1,1,2,4,5,7，要注意到元素x 应为自然数，故A ＝{1,2,4,5,7}答案：{1,2,4,5,7}9．集合{x |x 2－2x ＋m ＝0}含有两个元素，则实数m 满足的条件为________． 解析：该集合是关于x 的一元二次方程的解集，则Δ＝4－4m >0，所以m <1. 答案：m <110. 用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数；(2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)； (3)满足方程x ＝|x |，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B .解：(1){x |x ＝3n ，n ∈Z }；(2){(x ，y )|－1≤x ≤2，－12≤y ≤1，且xy ≥0}；(3)B ＝{x |x ＝|x |，x ∈Z }．11．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .解：∵1是集合A 中的一个元素，∴1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根， ∴a ·12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3. 方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13，∴集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，1.12．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A 中元素至多只有一个，求实数a 的取值范围．解：①a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，x ＝23，符合题意．②a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程．由Δ＝9－8a ≤0，得a ≥98.∴当a ≥98时，方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．综合①②，知a ＝0或a ≥98.1．下列各组对象中不能构成集合的是( ) A ．水浒书业的全体员工 B ．《优化方案》的所有书刊C ．2010年考入清华大学的全体学生D ．美国NBA 的篮球明星解析：选D.A 、B 、C 中的元素：员工、书刊、学生都有明确的对象，而D 中对象不确定，“明星”没有具体明确的标准．2．(2011年上海高一检测)下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ；②3∉Q ；③0∈N *；④|－4|∉N *. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B.①②正确，③④错误．3．集合A ＝{一条边长为1，一个角为40°的等腰三角形}中有元素( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个解析：选C.(1)当腰长为1时，底角为40°或顶角为40°.(2)当底边长为1时，底角为40°或顶角为40°，所以共有4个三角形．4．以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的解为元素的集合中共有________个元素． 解析：由x 2－5x ＋6＝0，解得x ＝2或x ＝3. 由x 2－x －2＝0，解得x ＝2或x ＝－1. 答案：31．若以正实数x ，y ，z ，w 四个元素构成集合A ，以A 中四个元素为边长构成的四边形可能是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形 答案：A2．设集合A 只含一个元素a ，则下列各式正确的是( ) A ．0∈A B ．a ∉A C ．a ∈A D ．a ＝A 答案：C3．给出以下四个对象，其中能构成集合的有( ) ①教2011届高一的年轻教师；②你所在班中身高超过1.70米的同学； ③2010年广州亚运会的比赛项目； ④1,3,5.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：选C.因为未规定年轻的标准，所以①不能构成集合；由于②③④中的对象具备确定性、互异性，所以②③④能构成集合．4．若集合M ＝{a ，b ，c }，M 中元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：选D.根据元素的互异性可知，a ≠b ，a ≠c ，b ≠c . 5．下列各组集合，表示相等集合的是( ) ①M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}； ②M ＝{3,2}，N ＝{2,3}； ③M ＝{(1,2)}，N ＝{1,2}． A ．① B ．②C ．③D ．以上都不对解析：选B.①中M 中表示点(3,2)，N 中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M 表示一个元素：点(1,2)，N 中表示两个元素分别为1,2.6．若所有形如a ＋2b (a ∈Q 、b ∈Q )的数组成集合M ，对于x ＝13－52，y ＝3＋2π，则有( )A ．x ∈M ，y ∈MB ．x ∈M ，y ∉MC ．x ∉M ，y ∈MD ．x ∉M ，y ∉M解析：选B.∅x ＝13－52＝－341－5412，y ＝3＋2π中π是无理数，而集合M 中，b ∈Q ，得x ∈M ，y ∉M .7．已知①5∈R ；②13∈Q ；③0＝{0}；④0∉N ；⑤π∈Q ；⑥－3∈Z .其中正确的个数为________．解析：③错误，0是元素，{0}是一个集合；④0∈N ；⑤π∉Q ，①②⑥正确． 答案：38．对于集合A ＝{2,4,6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的取值是________． 解析：当a ＝2时，6－a ＝4∈A ； 当a ＝4时，6－a ＝2∈A ； 当a ＝6时，6－a ＝0∉A ， 所以a ＝2或a ＝4. 答案：2或49．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b＝0；当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2.所以集合中的元素为2,0，－2.即元素的个数为3. 答案：310．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值． 解：∵－3∈A ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0，此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.11．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试判断12－3是不是集合A 中的元素？解：∵12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ，∴2＋3∈A ，即12－3∈A .12．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，试求a 与b 的值． 解：根据集合中元素的互异性，有 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2b ＝2a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12.1．下列六个关系式，其中正确的有( )①{a ，b }＝{b ，a }；②{a ，b }⊆{b ，a }；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}． A ．6个 B ．5个C ．4个D ．3个及3个以下 解析：选C.①②⑤⑥正确．2．已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是( ) A ．对任意的a ∈A ，都有a ∉B B ．对任意的b ∈B ，都有b ∈A C ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∉B D ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∈B解析：选C.A 不是B 的子集，也就是说A 中存在不是B 中的元素，显然正是C 选项要表达的．对于A 和B 选项，取A ＝{1,2}，B ＝{2,3}可否定，对于D 选项，取A ＝{1}，B ＝{2,3}可否定．3．设A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜a }，若A B ，则a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≤1C ．a ≥1D ．a ≤2解析：选A.A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，要使A B ，则应有a ≥2. 4．集合M ＝{x |x 2－3x －a 2＋2＝0，a ∈R }的子集的个数为________．解析：∵Δ＝9－4(2－a 2)＝1＋4a 2＞0，∴M 恒有2个元素，所以子集有4个． 答案：41．如果A ＝{x |x >－1}，那么( ) A ．0⊆A B ．{0}∈AC ．∅∈AD ．{0}⊆A解析：选D.A 、B 、C 的关系符号是错误的．2．已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <1}，则( ) A ．A >B B ．ABC ．B AD ．A ⊆B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x ∈B ⇒x ∈A ，但x ∈A ⇒x ∈B 不成立．3．定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{2,3,5}，则A －B 等于( ) A ．A B ．BC ．{2}D ．{1,7,9}解析：选D.从定义可看出，元素在A 中但是不能在B 中，所以只能是D. 4．以下共有6组集合．(1)A ＝{(－5,3)}，B ＝{－5,3}； (2)M ＝{1，－3}，N ＝{3，－1}； (3)M ＝∅，N ＝{0}；(4)M ＝{π}，N ＝{3.1415}；(5)M ＝{x |x 是小数}，N ＝{x |x 是实数}；(6)M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，N ＝{y |y 2－3y ＋2＝0}． 其中表示相等的集合有( ) A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组解析：选A.(5)，(6)表示相等的集合，注意小数是实数，而实数也是小数．5．定义集合间的一种运算“*”满足：A *B ＝{ω|ω＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }．若集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则A *B 的子集的个数是( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选B.在集合A 和B 中分别取出元素进行*的运算，有0·2·(0＋2)＝0·3·(0＋3)＝0,1·2·(1＋2)＝6,1·3·(1＋3)＝12，因此可知A *B ＝{0,6,12}，因此其子集个数为23＝8，选B.6．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( ) A ．A ⊆B B ．B ⊆A C ．A ∈B D ．B ∈A解析：选D.∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅， ∴A ＝{x |x ⊆B }＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，∴B ∈A .7．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|yx＝1}，则A 、B 间的关系为________．解析：在A 中，(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ，故BA .答案：B A8．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，则a 的值为________．解析：A ⊇B ，则a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a ，解得a ＝2或a ＝－1或a ＝1，结合集合元素的互异性，可确定a ＝－1或a ＝2.答案：－1或29．已知A ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，B ＝{x |a ≤x ＜a ＋4}，若A B ，则实数a 的取值范围是________．解析：作出数轴可得，要使A B ，则必须a ＋4≤－1或a ＞5，解之得{a |a ＞5或a ≤－5}．答案：{a |a ＞5或a ≤－5}10．已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 的值．解：①若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝aca ＋2b ＝ac 2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0， 即a (c 2－2c ＋1)＝0.当a ＝0时，集合B 中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，故a ≠0，c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1；当c ＝1时，集合B 中的三个元素也相同， ∴c ＝1舍去，即此时无解．②若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac2a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0，即a (2c 2－c －1)＝0.∵a ≠0，∴2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0.又∵c ≠1，∴c ＝－12.11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求a 的取值范围． 解：(1)若AB ，由图可知，a >2.(2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.12．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B A ，求实数m 的值．解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}．∵B A ，∴mx ＋1＝0的解为－3或2或无解． 当mx ＋1＝0的解为－3时，由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13；当mx ＋1＝0的解为2时，由m ·2＋1＝0，得m ＝－12；当mx ＋1＝0无解时，m ＝0.综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.1．(2010年高考广东卷)若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则集合A ∩B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2＜x ＜2} D ．{x |0＜x ＜1}解析：选D.因为A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}． 2．(2010年高考湖南卷)已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}则( ) A ．M ⊆N B ．N ⊆MC ．M ∩N ＝{2,3}D ．M ∪N ＝{1,4} 解析：选C.∵M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}． ∴选项A 、B 显然不对．M ∪N ＝{1,2,3,4}， ∴选项D 错误．又M ∩N ＝{2,3}，故选C.3．已知集合M ＝{y |y ＝x 2}，N ＝{y |x ＝y 2}，则M ∩N ＝( ) A ．{(0,0)，(1,1)} B ．{0,1} C ．{y |y ≥0} D ．{y |0≤y ≤1}解析：选C.M ＝{y |y ≥0}，N ＝R ，∴M ∩N ＝M ＝{y |y ≥0}． 4．已知集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x ≥m }，且A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ∪B ＝A ，即B ⊆A ，∴m ≥2. 答案：m ≥21．下列关系Q ∩R ＝R ∩Q ；Z ∪N ＝N ；Q ∪R ＝R ∪Q ；Q ∩N ＝N 中，正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.只有Z ∪N ＝N 是错误的，应是Z ∪N ＝Z .2．(2010年高考四川卷)设集合A ＝{3,5,6,8}，集合B ＝{4,5,7,8}，则A ∩B 等于( ) A ．{3,4,5,6,7,8} B ．{3,6} C ．{4,7} D ．{5,8}解析：选D.∵A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，∴A ∩B ＝{5,8}．3．(2009年高考山东卷)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D.根据元素特性，a ≠0，a ≠2，a ≠1. ∴a ＝4.4．已知集合P ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，集合Q ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，则P ∩Q 等于( ) A ．{2} B ．{1,2} C ．{2,3} D ．{1,2,3}解析：选A.Q ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}． ∴P ∩Q ＝{2}．5．(2010年高考福建卷)若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞2}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |2＜x ≤3} B ．{x |x ≥1} C ．{x |2≤x ＜3} D ．{x |x ＞2}解析：选A.∵A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞2}， ∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．6．设集合S ＝{x |x ＞5或x ＜－1}，T ＝{x |a ＜x ＜a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( )A ．－3＜a ＜－1B ．－3≤a ≤－1C ．a ≤－3或a ≥－1D ．a ＜－3或a ＞－1 解析：选A.S ∪T ＝R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8＞5，a ＜－1.∴－3＜a ＜－1. 7．(2010年高考湖南卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2，m,4}，A ∩B ＝{2,3}，则m ＝________. 解析：∵A ∩B ＝{2,3}，∴3∈B ，∴m ＝3. 答案：38．满足条件{1,3}∪M ＝{1,3,5}的集合M 的个数是________． 解析：∵{1,3}∪M ＝{1,3,5}，∴M 中必须含有5， ∴M 可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个． 答案：49．若集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x ≥a }，且满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝________. 解析：当a ＞2时，A ∩B ＝∅； 当a ＜2时，A ∩B ＝{x |a ≤x ≤2}； 当a ＝2时，A ∩B ＝{2}．综上：a ＝2. 答案：210．已知A ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，B ＝{x |x 2＋cx ＋15＝0}，A ∪B ＝{3,5}，A ∩B ＝{3}，求实数a ，b ，c 的值．解：∵A ∩B ＝{3}，∴由9＋3c ＋15＝0，解得c ＝－8.由x 2－8x ＋15＝0，解得B ＝{3,5}，故A ＝{3}． 又a 2－4b ＝0，解得a ＝－6，b ＝9. 综上知，a ＝－6，b ＝9，c ＝－8.11．已知集合A ＝{x |x －2＞3}，B ＝{x |2x －3＞3x －a }，求A ∪B . 解：A ＝{x |x －2＞3}＝{x |x ＞5}， B ＝{x |2x －3＞3x －a }＝{x |x ＜a －3}． 借助数轴如图：①当a －3≤5，即a ≤8时， A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}． ②当a －3＞5，即a ＞8时，A ∪B ＝{x |x ＞5}∪{x |x ＜a －3}＝{x |x ∈R }＝R .综上可知当a ≤8时，A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}； 当a ＞8时，A ∪B ＝R .12．设集合A ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝1，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|a 2x ＋2y ＝a ，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，求a 的值．解：集合A 、B 的元素都是点，A ∩B 的元素是两直线的公共点．A ∩B ＝∅，则两直线无交点，即方程组无解．列方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1a 2x ＋2y ＝a ，解得(4－a 2)x ＝2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2＝02－a ≠0，即a ＝－2.1．(2010年高考辽宁卷)已知集合U ＝{1,3,5,7,9}，A ＝{1,5,7}，则∁U A ＝( ) A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9} D ．{3,9} 解析：选D.∁U A ＝{3,9}，故选D.2．(2010年高考陕西卷)集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1＜x ≤2} D ．{x |1≤x ≤2}解析：选D.∵B ＝{x |x ＜1}，∴∁R B ＝{x |x ≥1}， ∴A ∩∁R B ＝{x |1≤x ≤2}．3. 已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选A.依题意知A ＝{0,1}，(∁U A )∩B 表示全集U 中不在集合A 中，但在集合B 中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}．选A.4．已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________.解析：∵A∪∁U A＝U，∴A＝{x|1≤x＜2}．∴a＝2.答案：21．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，且A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)等于()A．{2} B．{5}C．{3,4} D．{2,3,4,5}解析：选C.∁U B＝{3,4,5}，∴A∩(∁U B)＝{3,4}．2．已知全集U＝{0,1,2}，且∁U A＝{2}，则A＝()A．{0} B．{1}C．∅D．{0,1}解析：选D.∵∁U A＝{2}，∴2∉A，又U＝{0,1,2}，∴A＝{0,1}．3．(2009年高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4，7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选A.U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}．4．已知集合U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则()A．M∩N＝{4,6} B．M∪N＝UC．(∁U N)∪M＝U D．(∁U M)∩N＝N解析：选B.由U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，得M∩N＝{4,5}，(∁U N)∪M＝{3,4,5,7}，(∁U M)∩N＝{2,6}，M∪N＝{2,3,4,5,6,7}＝U，选B.5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，∴∁U(A∪B)＝{3,5}．6．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n解析：选D.U＝A∪B中有m个元素，∵(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素，故选D.7．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝________.解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁U C＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(∁U C)＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}．答案：{2,5}8．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.答案：－1或29．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，求实数m 的取值范围为________．解析：由已知A ＝{x |x ≥－m }， ∴∁U A ＝{x |x ＜－m }，∵B ＝{x |－2＜x ＜4}，(∁U A )∩B ＝∅， ∴－m ≤－2，即m ≥2， ∴m 的取值范围是m ≥2. 答案：{m |m ≥2}10．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．解：将集合A 、B 、P 表示在数轴上，如图．∵A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}， ∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}． ∵∁U B ＝{x |x ≤－1或x ＞3}，∴(∁U B )∪P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1＜x ＜2}∩{x |0＜x ＜52}＝{x |0＜x ＜2}．11．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足B ∩(∁U A )＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．解：∵B ∩(∁U A )＝{2}， ∴2∈B ，但2∉A .∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A ，但4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42＋4a ＋12b ＝022－2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝87b ＝127.∴a ，b 的值为87，－127.12．已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∁R B ，求实数a 的取值范围． 解：∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}≠∅， ∵A ∁R B ，∴分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论． ①若A ＝∅，此时有2a －2≥a ， ∴a ≥2.②若A ≠∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2<a a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a 2a －2≥2. ∴a ≤1.综上所述，a ≤1或a ≥2.第二章 基本初等函数1．下列说法中正确的为( )A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同．2．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3解析：选B.A 、C 、D 的定义域均不同． 3．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0} D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤1.4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a ＞1或a ＜－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)1．函数y ＝1x的定义域是( )A ．RB ．{0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}D ．{x |x ≠1}解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．2．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y解析：选A.一个x 对应的y 值不唯一． 3．下列说法正确的是( )A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域可以是空集C ．函数的定义域和值域一定是数集D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了解析：选C.根据从集合A 到集合B 函数的定义可知，强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性，所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素，从而选项A 错误；同样由函数定义可知，A 、B 集合都是非空数集，故选项B 错误；选项C 正确；对于选项D ，可以举例说明，如定义域、值域均为A ＝{0,1}的函数，对应关系可以是x →x ，x ∈A ，可以是x →x ，x ∈A ，还可以是x →x 2，x ∈A .4．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值解析：选A.按照函数定义，选项B 中集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C 中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A 中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D 中，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与其对应，也不符合函数定义，只有选项A 符合函数定义．5．下列各组函数表示相等函数的是( )A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 解析：选C.A 、B 与D 对应法则都不同．6．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 一定是( ) A ．∅ B ．∅或{1} C ．{1} D ．∅或{2}解析：选B.由f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ＝{－1,1，－2，2}或A ＝{－1,1，－2}或A ＝{－1,1，2}或A ＝{－1，2，－2}或A ＝{1，－2，2}或A ＝{－1，－2}或A ＝{－1，2}或A ＝{1，2}或A ＝{1，－2}．所以A ∩B ＝∅或{1}．7．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析：由题意3a －1＞a ，则a ＞12.答案：(12，＋∞)8．函数y ＝(x ＋1)03－2x的定义域是________．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠03－2x ＞0，即x ＜32且x ≠－1.答案：(－∞，－1)∪(－1，32)9．函数y ＝x 2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________． 解析：当x 取－1,0,1,2时， y ＝－1，－2，－1,2，故函数值域为{－1，－2,2}． 答案：{－1，－2,2}10．求下列函数的定义域： (1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋83x －2.解：(1)要使y ＝－x 2x 2－3x －2有意义，则必须⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12， 故所求函数的定义域为{x |x ≤0，且x ≠－12}．(2)要使y ＝34x ＋83x －2有意义，则必须3x －2＞0，即x ＞23， 故所求函数的定义域为{x |x ＞23}． 11．已知f (x )＝11＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (2))的值．解：(1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13，又∵g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)由(1)知g (2)＝6，∴f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17.12．已知函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．解：函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)．∵ax ＋1≥0，a ＜0，∴x ≤－1a ，即函数的定义域为(－∞，－1a]．∵函数在区间(－∞，1]上有意义，∴(－∞，1]⊆(－∞，－1a]，∴－1a≥1，而a ＜0，∴－1≤a ＜0.即a 的取值范围是[－1,0)．1．下列各图中，不能是函数f (x )图象的是( )解析：选C.结合函数的定义知，对A 、B 、D ，定义域中每一个x 都有唯一函数值与之对应；而对C ，对大于0的x 而言，有两个不同值与之对应，不符合函数定义，故选C.2．若f (1x )＝11＋x，则f (x )等于( )A.11＋x(x ≠－1) B.1＋x x (x ≠0)C.x 1＋x(x ≠0且x ≠－1) D ．1＋x (x ≠－1) 解析：选C.f (1x )＝11＋x ＝1x 1＋1x(x ≠0)，∴f (t )＝t1＋t (t ≠0且t ≠－1)，∴f (x )＝x1＋x(x ≠0且x ≠－1)．3．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3解析：选B.设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∴f (x )＝3x －2. 4．已知f (2x )＝x 2－x －1，则f (x )＝________.解析：令2x ＝t ，则x ＝t2，∴f (t )＝⎝⎛⎭⎫t 22－t 2－1，即f (x )＝x 24－x 2－1.答案：x 24－x 2－11．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.x 非负数 非正数 y 1 －1B.x 奇数 0 偶数y 1 0－1 C.x 有理数 无理数 y 1 －1D.x 自然数 整数 有理数y 1 0 －1解析：选C.A 中，当x ＝0时，y ＝±1；B 中0是偶数，当x ＝0时，y ＝0或y ＝－1；D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x ＝1∈N(Z ，Q)，故y 的值不唯一，故A 、B 、D 均不正确．2．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f (12)等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：选C.法一：令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)，∴f (t )＝4(t －1)2－1，∴f (12)＝16－1＝15. 法二：令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f (12)＝16－1＝15.3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7解析：选B.∵g (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∴g (x )＝2x －1.4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合此学生走法的是( )解析：选D.由于纵轴表示离学校的距离，所以距离应该越来越小，排除A 、C ，又一开始跑步，速度快，所以D 符合．5．如果二次函数的二次项系数为1且图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝－(x －1)2＋1C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1 解析：选D.设f (x )＝(x －1)2＋c ， 由于点(0,0)在函数图象上， ∴f (0)＝(0－1)2＋c ＝0，∴c ＝－1，∴f (x )＝(x －1)2－1.6．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的函数解析式为( )A ．y ＝12x (x >0)B ．y ＝24x (x >0)C ．y ＝28x (x >0)D ．y ＝216x (x >0)解析：选C.设正方形的边长为a ，则4a ＝x ，a ＝x4，其外接圆的直径刚好为正方形的一条对角线长．故2a ＝2y ，所以y ＝22a ＝22×x 4＝28x .7．已知f (x )＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于________．解析：2m ＋3＝6，m ＝32.答案：328. 如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [1f (3)]的值等于________．解析：由题意，f (3)＝1，∴f [1f (3)]＝f (1)＝2.答案：2 9．将函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得函数y ＝x 2的图象，则函数f (x )的解析式为__________________．解析：将函数y ＝x 2的图象向下平移2个单位，得函数y ＝x 2－2的图象，再将函数y ＝x 2－2的图象向右平移1个单位，得函数y ＝(x －1)2－2的图象，即函数y ＝f (x )的图象，故f (x )＝x 2－2x －1.答案：f (x )＝x 2－2x －110．已知f (0)＝1，f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，求f (x )． 解：令a ＝0，则f (－b )＝f (0)－b (－b ＋1) ＝1＋b (b －1)＝b 2－b ＋1.再令－b ＝x ，即得f (x )＝x 2＋x ＋1.11．已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＋1x，求f (x )．解：∵x ＋1x ＝1＋1x ，x 2＋1x 2＝1＋1x 2，且x ＋1x ≠1，∴f (x ＋1x )＝f (1＋1x )＝1＋1x 2＋1x＝(1＋1x )2－(1＋1x)＋1.∴f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．12．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，对于x ∈R 恒成立，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．解：∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称． 于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ，∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3.∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10，∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－6a， ∴a ＝1.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，下列对应不是A 到B 的映射的是( )解析：选C.A 、B 、D 均满足映射的定义，C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应，且A 中元素b 在B 中无元素与之对应．2．(2011年葫芦岛高一检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3 (x ＞10)f (f (x ＋5)) (x ≤10)，则f (5)的值是( ) A ．24 B ．21 C ．18 D ．16 解析：选A.f (5)＝f (f (10))， f (10)＝f (f (15))＝f (18)＝21， f (5)＝f (21)＝24.3．函数y ＝x ＋|x |x的图象为( )解析：选C.y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x >0)x －1 (x <0)，再作函数图象．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x ＜11x， x ＞1的值域是________．解析：当x ＜1时，x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34；当x ＞1时，0＜1x＜1，则所求值域为(0，＋∞)，故填(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)1．设f ：A →B 是集合A 到B 的映射，其中A ＝{x |x ＞0}，B ＝R ，且f ：x →x 2－2x －1，则A 中元素1＋2的像和B 中元素－1的原像分别为( )A.2，0或2 B ．0,2 C ．0,0或2 D ．0,0或2 答案：C2．某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3 km(含3 km)，以后每1 km 为1.6元(不足1 km ，按1 km 计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为( )解析：选C.由题意，当0＜x ≤3时，y ＝10； 当3＜x ≤4时，y ＝11.6； 当4＜x ≤5时，y ＝13.2； …当n －1＜x ≤n 时，y ＝10＋(n －3)×1.6，故选C.3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2(0≤x ≤3)x 2＋6x (－2≤x ≤0)的值域是( )A ．RB ．[－9，＋∞)C ．[－8,1]D ．[－9,1]解析：选C.画出图象，也可以分段求出部分值域，再合并，即求并集．4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤－1)，x 2(－1＜x ＜2)2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值是( ) A ．1B ．1或32C ．1，32或± 3 D.3解析：选D.该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)， ∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1＜x ＜2，∴x ＝ 3.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x 为有理数，0， x 为无理数，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， x 为有理数，1， x 为无理数，当x ∈R 时，f (g (x ))，g (f (x ))的值分别为( )A ．0,1B ．0,0C ．1,1D ．1,0解析：选D.g (x )∈Q ，f (x )∈Q ，f (g (x ))＝1，g (f (x ))＝0.6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2 (x ≤－1)，2(x ＋1) (－1<x <1)，1x －1 (x ≥1)，已知f (a )>1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－12，12 C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，1 D.⎝⎛⎭⎫－12，12∪(1，＋∞) 解析：选C.f (a )>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1(a ＋1)2>1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <12(a ＋1)>1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥11a－1>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1a <－2或a >0或⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1a >－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥10<a <12⇔a <－2或－12<a <1.即所求a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，1. 7．设A ＝B ＝{a ，b ，c ，d ，…，x ，y ，z }(元素为26个英文字母)，作映射f ：A →B 为A中每一个字母与B 中下一个字母对应，即：a →b ，b →c ，c →d ，…，z →a ，并称A 中的字母组成的文字为明文，B 中相应的字母为密文，试破译密文“nbuj ”：________.解析：由题意可知m →n ，a →b ，t →u ，i →j ， 所以密文“nbuj ”破译后为“mati ”． 答案：mati8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，f (x －2)， x ＞0，则f (4)＝________.解析：f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.答案：09．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，则不等式x ＋(x ＋2)·f (x ＋2)≤5的解集是________．解析：原不等式可化为下面两个不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0x ＋(x ＋2)·1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＜0x ＋(x ＋2)·(－1)≤5， 解得－2≤x ≤32或x ＜－2，即x ≤32.答案：(－∞，32]10．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2 (－1≤x ≤1)1 (x ＞1或x ＜－1)，(1)画出f (x )的图象；(2)求f (x )的定义域和值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示． (2)由条件知，函数f (x )的定义域为R.由图象知，当－1≤x ≤1时， f (x )＝x 2的值域为[0,1]， 当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．11．某汽车以52千米/小时的速度从A 地到260千米远的B 地，在B 地停留112小时后，再以65千米/小时的速度返回A 地．试将汽车离开A 地后行驶的路程s (千米)表示为时间t (小时)的函数．解：∵260÷52＝5(小时)，260÷65＝4(小时)，∴s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t (0≤t ≤5)，260 ⎝⎛⎭⎫5＜t ≤612，260＋65⎝⎛⎭⎫t －612 ⎝⎛⎭⎫612＜t ≤1012.12. 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式，并画出大致图象．解：过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H . 因为ABCD 是等腰梯形， 底角为45°，AB ＝2 2 cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm. 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. ①当点F 在BG 上时，。

高一数学必修一经典习题1.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x ∈R)，其中正确命题的个数是A.1B.2C.3D.42.判断下列各函数的奇偶性：（1）1()(1xf x x x+=--（2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（3）22(0)()(0)x x x f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩3.已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f4.（1）已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，3()(1)f x x x =+，则()f x 的解析式为？（2） （《高考A 计划》考点3“智能训练第4题”）已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则 （ ）A 12()()f x f x ->-B 12()()f x f x -<-C 12()()f x f x ->-D 12()()f x f x -<-5.设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈（1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求 ()f x 的最小值1.函数f(x)=x 2/(x 2+bx+1)是偶函数，则b=2.已知函数f(x)=x 2+lg(x+12+x ),若f(a)=M,则f(-a)等于 （ ）(A)2a 2-M (B)M -2a 2 (C)2M -a 2 (D)a 2-2M3.已知f(x) 是奇函数，且当x ∈(0,1)时，f(x)=ln(1/(1+x)),那么当x ∈(-1,0)时，f(x)= ？4.试将函数y=2x 表示为一个奇函数与一个偶函数之和5.已知f(x),g(x)都是奇函数，f(x)>0的解集是(a 2,b),g(x)>0的解集是(a 2/2,b/2),则f(x)g(x)>0的解集是6.定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0,+∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)其中正确不等式的序号是========= １合{} ,16,9,4,1=P，若P a ∈，P b ∈，则P b a ∈⊕，则运算⊕可能是（）(A)加法 (B)减法 (C) 除法 (D)乘法２已知集合{1,2,3}A =，{1,0,1}B =-，则满足条件(3)(1)(2)f f f =+的映射:f A B →的个数是 ( )（A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）7３某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了下面大致能上反映出小鹏这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是 ( )(A) (B) (C) (D)４定义两种运算：a b ⊕=22a b -2()a b a b ⊗-2()(2)2xf x x ⊕=⊗-为（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）奇函数且为偶函数 （D ）非奇函数且非偶函数 ５偶函数()log ||a f x x b =-在(,0)-∞上单调递增，则(1)f a +与(2)f b +的大小关系是 ( )（A ）(1)(2)f a f b +≥+ （B ）(1)(2)f a f b +<+（C ）(1)(2)f a f b +≤+（D ）(1)(2)f a f b +>+6如图，指出函数①y=a x;②y=b x;③y=c x;④y=d x的图象，则a,b,c,d 的大小关系是 A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c7若log x 3>log y 3>0,则下列不等式恒成立的是 ( ) A.3/1-x <y –1/3 B.y x -)31(<3x –yC.x -1)31(<31–y D.x -1)31(>31–y 8已知函数f(x)=lg(a x –b x )(a,b 为常数，a>1>b>0),若x ∈ (1,+∞)时，f(x)>0恒成立，则( )A.a –b ≥1B.a –b>1C.a –b ≤1D.a=b+1 9如图是对数函数y=log a x 的图象，已知a 取值3,4/3,3/5,1/10,则相应于①,②, ③, ④的a 值依次是10已知y=log a (2–ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 11已知函数,),(D x x f y ∈=+∈R y ，且正数C 为常数对于任意的D x ∈1，存在一个D x ∈2，使()()C x f x f =21，则称函数)(x f y =在D 上的均值为C. 试依据上述定义，写出一个均值为９的函数的例子：_____12设函数f(x)=lg3421xx a •++,其中a ∈R,如果当x ∈(–∞,1)时，f(x)有意义，求a 的取值范围13 a 为何值时，关于x 的方程2lgx –lg(x –1)=lga 无解？有一解？有两解？14 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶请你给该商店设计一个方案：每月的进货量当月销售完，销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？ 15已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足： （1）对于任意x ∈[0，1]，总有f(x)≥0；（2）f(1)=1 （3）若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则有)()()(2121x f x f x x f +≥+（Ⅰ）试求f(0)的值；（Ⅱ）试求函数f(x)的最大值；（Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x ，都有f(x)≤2x 16 设a 、b 为常数，F x b x a x f x f M};sin cos )(|)({+==：把平面上任意一点（a ，b ）映射为函数.sin cos x b x a + （1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；（2）证明：当M x f ∈)(0时，M t x f x f ∈+=)()(01，这里t 为常数； （3）对于属于M 的一个固定值)(0x f ，得}),({01R t t x f M ∈+=，在映射F 的作用下，M 1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？高一数学必修一试卷及答案一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入答题卡中）1.已知全集{}{}{}()====N M C ，N M U U 则3,2,2.1,0,4,3,2,1,0 A. {}2 B. {}3 C. {}432，，D. {}43210，，，。

第一章集合与函数的概念1．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是()A．{x|x是小于18的正奇数}B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k＜5}C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}D．{x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}解析：选D.A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15；B中k取负数，多了若干元素；C中t＝0时多了－3这个元素，只有D是正确的．2．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，S＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，a∈P，b∈M，设c＝a＋b，则有()A．c∈P B．c∈MC．c∈S D．以上都不对解析：选B.∵a∈P，b∈M，c＝a＋b，设a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2＋1，k2∈Z，∴c＝2k1＋2k2＋1＝2(k1＋k2)＋1，又k1＋k2∈Z，∴c∈M.3．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为()A．0B．2C．3D．6解析：选D.∵z＝xy，x∈A，y∈B，∴z的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，故A*B＝{0,2,4}，∴集合A*B的所有元素之和为：0＋2＋4＝6.4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则用列举法表示集合C ＝____________.解析：∵C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，∴满足条件的点为：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)．答案：{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}1．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示()A ．方程y ＝2x －1B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合答案：D2．设集合M ＝{x ∈R |x ≤33}，a ＝26，则()A ．a ∉MB ．a ∈MC ．{a }∈MD ．{a |a ＝26}∈M解析：选B.(26)2－(33)2＝24－27<0，故26<3 3.所以a ∈M .3＋y ＝1－y ＝9的解集是()A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}解析：选D.＋y ＝1－y ＝9＝5＝－4，该方程组有一组解(5，－4)，解集为{(5，－4)}．4．下列命题正确的有()(1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合；(3)1，32，64，|－12|,0.5这些数组成的集合有5个元素；(4)集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选A.(1)错的原因是元素不确定；(2)前者是数集，而后者是点集，种类不同；(3)32＝64，|－12|＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；(4)本集合还包括坐标轴．5．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A ．{0}B ．{y |y 2＝0}C ．{x |x ＝0}D ．{x ＝0}解析：选D.A 是列举法，C 是描述法，对于B 要注意集合的代表元素是y ，故与A ，C 相同，而D 表示该集合含有一个元素，即“x ＝0”．6．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为()A ．4B ．5C ．19D ．20解析：选C.易得P *Q 中元素的个数为4×5－1＝19.故选C 项．7．由实数x ，－x ，x 2，－3x 3所组成的集合里面元素最多有________个．解析：x 2＝|x |，而－3x 3＝－x ，故集合里面元素最多有2个．答案：28．已知集合A ∈N |4x －3∈A ＝________.解析：要使4x －3∈Z ，必须x －3是4的约数．而4的约数有－4，－2，－1,1,2,4六个，则x ＝－1,1,2,4,5,7，要注意到元素x 应为自然数，故A ＝{1,2,4,5,7}答案：{1,2,4,5,7}9．集合{x |x 2－2x ＋m ＝0}含有两个元素，则实数m 满足的条件为________．解析：该集合是关于x 的一元二次方程的解集，则Δ＝4－4m >0，所以m <1.答案：m <110.用适当的方法表示下列集合：(1)所有被3整除的整数；(2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)；(3)满足方程x ＝|x |，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B .解：(1){x |x ＝3n ，n ∈Z }；(2){(x ，y )|－1≤x ≤2，－12≤y ≤1，且xy ≥0}；(3)B ＝{x |x ＝|x |，x ∈Z }．11．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .解：∵1是集合A 中的一个元素，∴1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根，∴a ·12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3.方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13，∴集合A －1312．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A 中元素至多只有一个，求实数a 的取值范围．解：①a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，x ＝23，符合题意．②a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程．由Δ＝9－8a ≤0，得a ≥98.∴当a ≥98时，方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．综合①②，知a ＝0或a ≥98.1．下列各组对象中不能构成集合的是()A ．水浒书业的全体员工B ．《优化方案》的所有书刊C ．2010年考入清华大学的全体学生D ．美国NBA 的篮球明星解析：选D.A 、B 、C 中的元素：员工、书刊、学生都有明确的对象，而D 中对象不确定，“明星”没有具体明确的标准．2．(2011年上海高一检测)下列所给关系正确的个数是()①π∈R ；②3∉Q ；③0∈N *；④|－4|∉N *.A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.①②正确，③④错误．3．集合A ＝{一条边长为1，一个角为40°的等腰三角形}中有元素()A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个解析：选C.(1)当腰长为1时，底角为40°或顶角为40°.(2)当底边长为1时，底角为40°或顶角为40°，所以共有4个三角形．4．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．解析：由x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.由x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1.答案：31．若以正实数x，y，z，w四个元素构成集合A，以A中四个元素为边长构成的四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形答案：A2．设集合A只含一个元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A答案：C3．给出以下四个对象，其中能构成集合的有()①教2011届高一的年轻教师；②你所在班中身高超过1.70米的同学；③2010年广州亚运会的比赛项目；④1,3,5.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.因为未规定年轻的标准，所以①不能构成集合；由于②③④中的对象具备确定性、互异性，所以②③④能构成集合．4．若集合M＝{a，b，c}，M中元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选D.根据元素的互异性可知，a≠b，a≠c，b≠c.5．下列各组集合，表示相等集合的是()①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M＝{3,2}，N＝{2,3}；③M＝{(1,2)}，N＝{1,2}．A．①B．②C．③D．以上都不对解析：选B.①中M中表示点(3,2)，N中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2.6．若所有形如a＋2b(a∈Q、b∈Q)的数组成集合M，对于x＝13－52，y＝3＋2π，则有()A．x∈M，y∈M B．x∈M，y∉MC．x∉M，y∈M D．x∉M，y∉M解析：选B.∅x＝13－52＝－341－5412，y＝3＋2π中π是无理数，而集合M中，b∈Q，得x∈M，y∉M.7．已知①5∈R；②13∈Q；③0＝{0}；④0∉N；⑤π∈Q；⑥－3∈Z.其中正确的个数为________．解析：③错误，0是元素，{0}是一个集合；④0∈N；⑤π∉Q，①②⑥正确．答案：38．对于集合A＝{2,4,6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的取值是________．解析：当a＝2时，6－a＝4∈A；当a＝4时，6－a＝2∈A；当a＝6时，6－a＝0∉A，所以a＝2或a＝4.答案：2或49．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则|a|a＋|b|b的可能取值组成的集合中元素的个数为________．解析：当a>0，b>0时，|a|a＋|b|b＝2；当a·b<0时，|a|a＋|b|b＝0；当a<0且b<0时，|a|a＋|b|b＝－2.所以集合中的元素为2,0，－2.即元素的个数为3.答案：310．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．解：∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.11．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试判断12－3是不是集合A 中的元素？解：∵12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ，∴2＋3∈A ，即12－3∈A .12．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，试求a 与b 的值．解：根据集合中元素的互异性，有＝2a ＝b2＝b 2＝2a，＝0＝1＝0＝0＝14＝12.再根据集合中元素的互异性，＝0＝1＝14＝12.1．下列六个关系式，其中正确的有()①{a ，b }＝{b ，a }；②{a ，b }⊆{b ，a }；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个及3个以下解析：选C.①②⑤⑥正确．2．已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是()A ．对任意的a ∈A ，都有a ∉B B ．对任意的b ∈B ，都有b ∈AC ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∉BD ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∈B解析：选C.A 不是B 的子集，也就是说A 中存在不是B 中的元素，显然正是C 选项要表达的．对于A 和B 选项，取A ＝{1,2}，B ＝{2,3}可否定，对于D 选项，取A ＝{1}，B ＝{2,3}可否定．3．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是()A．a≥2B．a≤1C．a≥1D．a≤2解析：选A.A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，要使A B，则应有a≥2.4．集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为________．解析：∵Δ＝9－4(2－a2)＝1＋4a2＞0，∴M恒有2个元素，所以子集有4个．答案：41．如果A＝{x|x>－1}，那么()A．0⊆A B．{0}∈AC．∅∈A D．{0}⊆A解析：选D.A、B、C的关系符号是错误的．2．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>B B．A BC．B A D．A⊆B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x∈B⇒x∈A，但x∈A⇒x∈B不成立．3．定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,3,5}，则A－B等于() A．A B．BC．{2}D．{1,7,9}解析：选D.从定义可看出，元素在A中但是不能在B中，所以只能是D.4．以下共有6组集合．(1)A＝{(－5,3)}，B＝{－5,3}；(2)M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；(3)M＝∅，N＝{0}；(4)M＝{π}，N＝{3.1415}；(5)M＝{x|x是小数}，N＝{x|x是实数}；(6)M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．其中表示相等的集合有()A．2组B．3组C．4组D．5组解析：选A.(5)，(6)表示相等的集合，注意小数是实数，而实数也是小数．5．定义集合间的一种运算“*”满足：A*B＝{ω|ω＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．若集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则A*B的子集的个数是()A．4B．8C．16D．32解析：选B.在集合A和B中分别取出元素进行*的运算，有0·2·(0＋2)＝0·3·(0＋3)＝0,1·2·(1＋2)＝6,1·3·(1＋3)＝12，因此可知A*B＝{0,6,12}，因此其子集个数为23＝8，选B.6．设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是()A．A⊆B B．B⊆AC．A∈B D．B∈A解析：选D.∵B的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A＝{x|x⊆B}＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，∴B∈A.7．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|yx＝1}，则A、B间的关系为________．解析：在A中，(0,0)∈A，而(0,0)∉B，故B A.答案：B A8．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A⊇B，则a的值为________．解析：A⊇B，则a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，解得a＝2或a＝－1或a＝1，结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2.答案：－1或29．已知A＝{x|x＜－1或x＞5}，B＝{x|a≤x＜a＋4}，若A B，则实数a的取值范围是________．解析：作出数轴可得，要使A B，则必须a＋4≤－1或a＞5，解之得{a|a＞5或a≤－5}．答案：{a|a＞5或a≤－5}10．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．＋b＝ac＋2b＝ac2，消去b得a＋ac2－2ac＝0，即a(c2－2c＋1)＝0.当a＝0时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，故a≠0，c2－2c＋1＝0，即c＝1；当c＝1时，集合B中的三个元素也相同，∴c＝1舍去，即此时无解．＋b＝ac2＋2b＝ac，消去b得2ac2－ac－a＝0，即a(2c2－c－1)＝0.∵a ≠0，∴2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0.又∵c ≠1，∴c ＝－12.11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若AB ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．解：(1)若AB ，由图可知，a >2.(2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.12．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B A ，求实数m 的值．解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}．∵BA ，∴mx ＋1＝0的解为－3或2或无解．当mx ＋1＝0的解为－3时，由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13；当mx ＋1＝0的解为2时，由m ·2＋1＝0，得m ＝－12；当mx ＋1＝0无解时，m ＝0.综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.1．(2010年高考广东卷)若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则集合A ∩B ＝()A ．{x |－1＜x ＜1}B ．{x |－2＜x ＜1}C ．{x |－2＜x ＜2}D ．{x |0＜x ＜1}解析：选D.因为A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}．2．(2010年高考湖南卷)已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}则()A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ∩N ＝{2,3}D ．M ∪N ＝{1,4}解析：选C.∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}．∴选项A、B显然不对．M∪N＝{1,2,3,4}，∴选项D错误．又M∩N＝{2,3}，故选C.3．已知集合M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x＝y2}，则M∩N＝()A．{(0,0)，(1,1)}B．{0,1}C．{y|y≥0}D．{y|0≤y≤1}解析：选C.M＝{y|y≥0}，N＝R，∴M∩N＝M＝{y|y≥0}．4．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．解析：A∪B＝A，即B⊆A，∴m≥2.答案：m≥21．下列关系Q∩R＝R∩Q；Z∪N＝N；Q∪R＝R∪Q；Q∩N＝N中，正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C.只有Z∪N＝N是错误的，应是Z∪N＝Z.2．(2010年高考四川卷)设集合A＝{3,5,6,8}，集合B＝{4,5,7,8}，则A∩B等于() A．{3,4,5,6,7,8}B．{3,6}C．{4,7}D．{5,8}解析：选D.∵A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，∴A∩B＝{5,8}．3．(2009年高考山东卷)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为()A．0B．1C．2D．4解析：选D.根据元素特性，a≠0，a≠2，a≠1.∴a＝4.4．已知集合P＝{x∈N|1≤x≤10}，集合Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则P∩Q等于() A．{2}B．{1,2}C．{2,3}D．{1,2,3}解析：选A.Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∴P∩Q＝{2}．5．(2010年高考福建卷)若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，则A∩B等于()A．{x|2＜x≤3}B．{x|x≥1}C．{x|2≤x＜3}D．{x|x＞2}解析：选A.∵A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，∴A∩B＝{x|2＜x≤3}．6．设集合S＝{x|x＞5或x＜－1}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是()A．－3＜a＜－1B．－3≤a≤－1C．a≤－3或a≥－1D．a＜－3或a＞－1解析：选A.S∪T＝R，＋8＞5，＜－1.∴－3＜a＜－1.7．(2010年高考湖南卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝________.解析：∵A∩B＝{2,3}，∴3∈B，∴m＝3.答案：38．满足条件{1,3}∪M＝{1,3,5}的集合M的个数是________．解析：∵{1,3}∪M＝{1,3,5}，∴M中必须含有5，∴M可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个．答案：49．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，且满足A∩B＝{2}，则实数a＝________.解析：当a＞2时，A∩B＝∅；当a＜2时，A∩B＝{x|a≤x≤2}；当a＝2时，A∩B＝{2}．综上：a＝2.答案：210．已知A＝{x|x2＋ax＋b＝0}，B＝{x|x2＋cx＋15＝0}，A∪B＝{3,5}，A∩B＝{3}，求实数a，b，c的值．解：∵A∩B＝{3}，∴由9＋3c＋15＝0，解得c＝－8.由x2－8x＋15＝0，解得B＝{3,5}，故A＝{3}．又a2－4b＝0，解得a＝－6，b＝9.综上知，a＝－6，b＝9，c＝－8.11．已知集合A＝{x|x－2＞3}，B＝{x|2x－3＞3x－a}，求A∪B.解：A＝{x|x－2＞3}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－3＞3x－a}＝{x|x＜a－3}．借助数轴如图：①当a－3≤5，即a≤8时，A∪B＝{x|x＜a－3或x＞5}．②当a－3＞5，即a＞8时，A∪B＝{x|x＞5}∪{x|x＜a－3}＝{x|x∈R}＝R.综上可知当a≤8时，A∪B＝{x|x＜a－3或x＞5}；当a＞8时，A∪B＝R.12．设集合A＝{(x，y)|2x＋y＝1，x，y∈R}，B＝{(x，y)|a2x＋2y＝a，x，y∈R}，若A∩B＝∅，求a的值．解：集合A、B的元素都是点，A∩B的元素是两直线的公共点．A∩B＝∅，则两直线无交点，即方程组无解．x＋y＝12x＋2y＝a，解得(4－a2)x＝2－a，－a2＝0－a≠0，即a＝－2.1．(2010年高考辽宁卷)已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A＝()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}解析：选D.∁U A＝{3,9}，故选D.2．(2010年高考陕西卷)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}解析：选D.∵B＝{x|x＜1}，∴∁R B＝{x|x≥1}，∴A∩∁R B＝{x|1≤x≤2}．3.已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于()A．{－1,2}B．{－1,0}C．{0,1}D．{1,2}解析：选A.依题意知A＝{0,1}，(∁U A)∩B表示全集U中不在集合A中，但在集合B 中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}．选A.4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.解析：∵A∪∁U A＝U，∴A＝{x|1≤x＜2}．∴a＝2.答案：21．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，且A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)等于()A．{2}B．{5}C．{3,4}D．{2,3,4,5}解析：选C.∁U B＝{3,4,5}，∴A∩(∁U B)＝{3,4}．2．已知全集U＝{0,1,2}，且∁U A＝{2}，则A＝()A．{0}B．{1}C．∅D．{0,1}解析：选D.∵∁U A＝{2}，∴2∉A，又U＝{0,1,2}，∴A＝{0,1}．3．(2009年高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4，7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选A.U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}．4．已知集合U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则()A．M∩N＝{4,6}B．M∪N＝UC．(∁U N)∪M＝U D．(∁U M)∩N＝N解析：选B.由U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，得M∩N＝{4,5}，(∁U N)∪M ＝{3,4,5,7}，(∁U M)∩N＝{2,6}，M∪N＝{2,3,4,5,6,7}＝U，选B.5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选B.∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，∴∁U(A∪B)＝{3,5}．6．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n解析：选D.U＝A∪B中有m个元素，∵(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素，故选D.7．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝________.解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁U C＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(∁U C)＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}．答案：{2,5}8．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.答案：－1或29．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，求实数m的取值范围为________．解析：由已知A＝{x|x≥－m}，∴∁U A＝{x|x＜－m}，∵B＝{x|－2＜x＜4}，(∁U A)∩B＝∅，∴－m≤－2，即m≥2，∴m的取值范围是m≥2.答案：{m|m≥2}10．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝{x|x≤0或x≥5}，求A∩B，2(∁U B)∪P，(A∩B)∩(∁U P)．解：将集合A、B、P表示在数轴上，如图．∵A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}．∵∁U B＝{x|x≤－1或x＞3}，∴(∁U B)∪P＝{x|x≤0或x≥52 }，(A∩B)∩(∁U P)＝{x|－1＜x＜2}∩{x|0＜x＜52}＝{x|0＜x＜2}．11．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足B∩(∁U A)＝{2}，A∩(∁U B)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．解：∵B∩(∁U A)＝{2}，∴2∈B，但2∉A.∵A∩(∁U B)＝{4}，∴4∈A，但4∉B.2＋4a＋12b＝02－2a＋b＝0＝87＝127.∴a，b的值为87，－127.12．已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∁R B，求实数a的取值范围．解：∁R B＝{x|x≤1或x≥2}≠∅，∵A∁R B，∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论．①若A＝∅，此时有2a－2≥a，∴a≥2.②若A≠∅a－2<a≤1a－2<aa－2≥2.∴a≤1.综上所述，a≤1或a≥2.第二章基本初等函数1．下列说法中正确的为()A．y＝f(x)与y＝f(t)表示同一个函数B．y＝f(x)与y＝f(x＋1)不可能是同一函数C．f(x)＝1与f(x)＝x0表示同一函数D．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同．2．下列函数完全相同的是()A．f(x)＝|x|，g(x)＝(x)2B．f(x)＝|x|，g(x)＝x2C．f(x)＝|x|，g(x)＝x2xD．f(x)＝x2－9x－3，g(x)＝x＋3解析：选B.A、C、D的定义域均不同．3．函数y＝1－x＋x的定义域是()A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}解析：选D.－x≥0≥0，得0≤x≤1.4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a≤1时，直线x＝a与函数的图象仅有一个交点，当a＞1或a＜－1时，直线x＝a与函数的图象没有交点．从而表示y是x的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)1．函数y ＝1x 的定义域是()A ．RB ．{0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}D ．{x |x ≠1}解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．2．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是()A ．x ＝y 2＋1B ．y ＝2x 2＋1C ．x －2y ＝6D ．x ＝y解析：选A.一个x 对应的y 值不唯一．3．下列说法正确的是()A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域可以是空集C ．函数的定义域和值域一定是数集D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了解析：选C.根据从集合A 到集合B 函数的定义可知，强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性，所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素，从而选项A 错误；同样由函数定义可知，A 、B 集合都是非空数集，故选项B 错误；选项C 正确；对于选项D ，可以举例说明，如定义域、值域均为A ＝{0,1}的函数，对应关系可以是x →x ，x ∈A ，可以是x →x ，x ∈A ，还可以是x →x 2，x ∈A .4．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是()A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值解析：选A.按照函数定义，选项B 中集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C 中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A 中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D 中，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与其对应，也不符合函数定义，只有选项A 符合函数定义．5．下列各组函数表示相等函数的是()A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z解析：选C.A、B与D对应法则都不同．6．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是()A．∅B．∅或{1}C．{1}D．∅或{2}解析：选B.由f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果B＝{1,2}，则A＝{－1,1，－2，2}或A＝{－1,1，－2}或A＝{－1,1，2}或A＝{－1，2，－2}或A＝{1，－2，2}或A＝{－1，－2}或A＝{－1，2}或A＝{1，2}或A＝{1，－2}．所以A∩B＝∅或{1}．7．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．解析：由题意3a－1＞a，则a＞1 2 .答案：(12，＋∞)8．函数y＝x＋103－2x的定义域是________．解析：要使函数有意义，＋1≠0－2x＞0，即x＜32且x≠－1.答案：(－∞，－1)∪(－1，32)9．函数y＝x2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________．解析：当x取－1,0,1,2时，y＝－1，－2，－1,2，故函数值域为{－1，－2,2}．答案：{－1，－2,2}10．求下列函数的定义域：(1)y＝－x2x2－3x－2；(2)y＝34x＋83x－2.解：(1)要使y＝－x2x2－3x－2有意义，则必须x≥0，x2－3x－2≠0，解得x≤0且x≠－12，故所求函数的定义域为{x|x≤0，且x≠－12}．(2)要使y ＝34x ＋83x －2有意义，则必须3x －2＞0，即x ＞23，故所求函数的定义域为{x |x ＞23}．11．已知f (x )＝11＋x (x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值；(2)求f (g (2))的值．解：(1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13，又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)由(1)知g (2)＝6，∴f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17.12．已知函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．解：函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)．∵ax ＋1≥0，a ＜0，∴x ≤－1a ，即函数的定义域为(－∞，－1a ]．∵函数在区间(－∞，1]上有意义，∴(－∞，1]⊆(－∞，－1a ]，∴－1a ≥1，而a ＜0，∴－1≤a ＜0.即a 的取值范围是[－1,0)．1．下列各图中，不能是函数f (x )图象的是()解析：选C.结合函数的定义知，对A 、B 、D ，定义域中每一个x 都有唯一函数值与之对应；而对C ，对大于0的x 而言，有两个不同值与之对应，不符合函数定义，故选C.2．若f (1x )＝11＋x ，则f (x )等于()A.11＋x(x ≠－1) B.1＋xx(x ≠0)C.x1＋x(x ≠0且x ≠－1)D ．1＋x (x ≠－1)解析：选C.f (1x )＝11＋x ＝1x 1＋1x (x ≠0)，∴f (t )＝t1＋t(t ≠0且t ≠－1)，∴f (x )＝x1＋x(x ≠0且x ≠－1)．3．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝()A ．3x ＋2B ．3x －2C ．2x ＋3D ．2x －3解析：选B.设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，－b ＝5＋b ＝1＝3＝－2，∴f (x )＝3x －2.4．已知f (2x )＝x 2－x －1，则f (x )＝________.解析：令2x ＝t ，则x ＝t2，∴f (t )－t 2－1，即f (x )＝x 24－x 2－1.答案：x 24－x2－11．下列表格中的x 与y 能构成函数的是()A.x非负数非正数y1－1B.x 奇数0偶数y10－1C.x 有理数无理数y1－1D.x 自然数整数有理数y10－1解析：选C.A 中，当x ＝0时，y ＝±1；B 中0是偶数，当x ＝0时，y ＝0或y ＝－1；D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x ＝1∈N(Z ，Q)，故y 的值不唯一，故A 、B 、D 均不正确．2．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f (12)等于()A ．1B ．3C ．15D ．30解析：选C.法一：令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)，∴f (t )＝4t －12－1，∴f (12)＝16－1＝15.法二：令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f (12)＝16－1＝15.3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是()A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋7解析：选B.∵g (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1，∴g (x )＝2x －1.4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合此学生走法的是()解析：选D.由于纵轴表示离学校的距离，所以距离应该越来越小，排除A 、C ，又一开始跑步，速度快，所以D 符合．5．如果二次函数的二次项系数为1且图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为()A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝－(x －1)2＋1C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1解析：选D.设f (x )＝(x －1)2＋c ，由于点(0,0)在函数图象上，∴f (0)＝(0－1)2＋c ＝0，∴c ＝－1，∴f (x )＝(x －1)2－1.6．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的函数解析式为()A ．y ＝12x (x >0)B ．y ＝24x (x >0)C ．y ＝28x (x >0)D ．y ＝216x (x >0)解析：选C.设正方形的边长为a ，则4a ＝x ，a ＝x4，其外接圆的直径刚好为正方形的一条对角线长．故2a ＝2y ，所以y ＝22a ＝22×x 4＝28x .7．已知f (x )＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于________．解析：2m ＋3＝6，m ＝32.答案：328.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [1f 3]的值等于________．解析：由题意，f (3)＝1，∴f [1f 3]＝f (1)＝2.答案：29．将函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得函数y ＝x 2的图象，则函数f (x )的解析式为__________________．解析：将函数y ＝x 2的图象向下平移2个单位，得函数y ＝x 2－2的图象，再将函数y ＝x 2－2的图象向右平移1个单位，得函数y ＝(x －1)2－2的图象，即函数y ＝f (x )的图象，故f (x )＝x 2－2x －1.答案：f (x )＝x 2－2x －110．已知f (0)＝1，f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，求f (x )．解：令a ＝0，则f (－b )＝f (0)－b (－b ＋1)＝1＋b (b －1)＝b 2－b ＋1.再令－b ＝x ，即得f (x )＝x 2＋x ＋1.11．已知f (x ＋1x ＝x 2＋1x2＋1x ，求f (x )．解：∵x ＋1x ＝1＋1x ，x 2＋1x 2＝1＋1x 2，且x ＋1x ≠1，∴f (x ＋1x)＝f (1＋1x )＝1＋1x 2＋1x ＝(1＋1x )2－(1＋1x )＋1.∴f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．12．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，对于x ∈R 恒成立，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．解：∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称．于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)，则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ，∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3.∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10，∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－6a ，∴a ＝1.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，下列对应不是A 到B 的映射的是()解析：选C.A 、B 、D 均满足映射的定义，C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应，且A 中元素b 在B 中无元素与之对应．2．(2011年葫芦岛高一检测)设f (x )＝＋3x ＞10f x ＋5x ≤10，则f (5)的值是()A ．24B ．21C ．18D ．16解析：选A.f (5)＝f (f (10))，f (10)＝f (f (15))＝f (18)＝21，f (5)＝f (21)＝24.3．函数y ＝x ＋|x |x的图象为()解析：选C.y ＝x ＋|x |x ＝＋1x >0－1x <0，再作函数图象．4．函数f (x )－x ＋1，x ＜1x ＞1的值域是________．解析：当x ＜1时，x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34；当x ＞1时，0＜1x ＜1，则所求值域为(0，＋∞)，故填(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)1．设f ：A →B 是集合A 到B 的映射，其中A ＝{x |x ＞0}，B ＝R ，且f ：x →x 2－2x －1，则A 中元素1＋2的像和B 中元素－1的原像分别为()A.2，0或2B ．0,2C ．0,0或2D ．0,0或2答案：C2．某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3km(含3km)，以后每1km 为1.6元(不足1km ，按1km 计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为()解析：选C.由题意，当0＜x ≤3时，y ＝10；当3＜x ≤4时，y ＝11.6；当4＜x≤5时，y＝13.2；…当n－1＜x≤n时，y＝10＋(n－3)×1.6，故选C.3．函数f(x)x－x20≤x≤32＋6x－2≤x≤0的值域是()A．R B．[－9，＋∞)C．[－8,1]D．[－9,1]解析：选C.画出图象，也可以分段求出部分值域，再合并，即求并集．4．已知f(x)＋2x≤－1，2－1＜x＜2x x≥2，若f(x)＝3，则x的值是()A．1B．1或32C．1，32或±3 D.3解析：选D.该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f(x)＝x2＝3，x＝±3，而－1＜x＜2，∴x＝ 3.5．已知函数f(x)，x为有理数，，x为无理数，g(x)，x为有理数，，x为无理数，当x∈R时，f(g(x))，g(f(x))的值分别为()A．0,1B．0,0C．1,1D．1,0解析：选D.g(x)∈Q，f(x)∈Q，f(g(x))＝1，g(f(x))＝0.6．设f(x)x＋12x≤－1，x＋1－1<x<1，1x≥1，已知f(a)>1，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2)－1 2，＋－1 2，C．(－∞，－2)－12，－12，(1，＋∞)解析：选C.f(a)>1⇔≤－1a ＋12>11<a <1a ＋1>11>1≤－1<－2或a >01<a <1>－12≥1a <12⇔a <－2或－12<a <1.即所求a 的取值范围是(－∞，－2)－12，7．设A ＝B ＝{a ，b ，c ，d ，…，x ，y ，z }(元素为26个英文字母)，作映射f ：A →B 为A 中每一个字母与B 中下一个字母对应，即：a →b ，b →c ，c →d ，…，z →a ，并称A 中的字母组成的文字为明文，B 中相应的字母为密文，试破译密文“nbuj ”：________.解析：由题意可知m →n ，a →b ，t →u ，i →j ，所以密文“nbuj ”破译后为“mati ”．答案：mati8．已知函数f (x )2，x ≤0，x －2，x ＞0，则f (4)＝________.解析：f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.答案：09．已知f (x )，x ≥0，1，x <0，则不等式x ＋(x ＋2)·f (x ＋2)≤5的解集是________．解析：原不等式可化为下面两个不等式组＋2≥0＋x ＋2·1≤5＋2＜0＋x ＋2·－1≤5，解得－2≤x ≤32或x ＜－2，即x ≤32.答案：(－∞，32]10．已知f (x )2－1≤x ≤1x ＞1或x ＜－1，(1)画出f (x )的图象；(2)求f (x )的定义域和值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R.由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．11．某汽车以52千米/小时的速度从A 地到260千米远的B 地，在B 地停留112小时后，再以65千米/小时的速度返回A 地．试将汽车离开A 地后行驶的路程s (千米)表示为时间t (小时)的函数．解：∵260÷52＝5(小时)，260÷65＝4(小时)，∴st 0≤t ≤5，＜t＋612＜t 12.如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm 腰长为22cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式，并画出大致图象．解：过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .因为ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝22cm ，所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2cm.又BC ＝7cm ，所以AD ＝GH ＝3cm.①当点F 在BG 上时，即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；②当点F 在GH 上时，即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2；③当点F 在HC 上时，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12(x －7)2＋10.综合①②③，得函数解析式为y 2x ∈[0，2]－2x ∈2，5].－12x －72＋10x ∈5，7]函数图象如图所示．1．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于()A ．－4B ．－8C ．8D ．无法确定解析：选B.二次函数在对称轴的两侧的单调性相反．由题意得函数的对称轴为x ＝－2，则m4＝－2，所以m ＝－8.2．函数f (x )在R 上是增函数，若a ＋b ≤0，则有()A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b )B ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b )C ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )解析：选C.应用增函数的性质判断．∵a ＋b ≤0，∴a ≤－b ，b ≤－a .又∵函数f (x )在R 上是增函数，∴f (a )≤f (－b )，f (b )≤f (－a )．∴f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )．3．下列四个函数：①y ＝x x －1；②y ＝x 2＋x ；③y ＝－(x ＋1)2；④y ＝x1－x ＋2.其中在(－∞，0)上为减函数的是()A ．①B ．④C ．①④D ．①②④解析：选A.①y＝xx－1＝x－1＋1x－1＝1＋1x－1.其减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．②y＝x2＋x＝(x＋12)2－14，减区间为(－∞，－12)．③y＝－(x＋1)2，其减区间为(－1，＋∞)，④与①相比，可知为增函数．4．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是________．解析：对称轴x＝k8，则k8≤5，或k8≥8，得k≤40，或k≥64，即对称轴不能处于区间内．答案：(－∞，40]∪[64，＋∞)1．函数y＝－x2的单调减区间是()A．[0，＋∞)B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(－∞，＋∞)解析：选A.根据y＝－x2的图象可得．2．若函数f(x)定义在[－1,3]上，且满足f(0)<f(1)，则函数f(x)在区间[－1,3]上的单调性是()A．单调递增B．单调递减C．先减后增D．无法判断解析：选D.函数单调性强调x1，x2∈[－1,3]，且x1，x2具有任意性，虽然f(0)<f(1)，但不能保证其他值也能满足这样的不等关系．3．已知函数y＝f(x)，x∈A，若对任意a，b∈A，当a<b时，都有f(a)<f(b)，则方程f(x)＝0的根()A．有且只有一个B．可能有两个C．至多有一个D．有两个以上解析：选C.由题意知f(x)在A上是增函数．若y＝f(x)与x轴有交点，则有且只有一个交点，故方程f(x)＝0至多有一个根．4．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则()A．f(a)＞f(2a)B．f(a2)＜f(a)C．f(a2＋a)＜f(a)D．f(a2＋1)＜f(a)解析：选D.∵a2＋1－a＝(a－12)2＋34＞0，∴a2＋1＞a，∴f(a2＋1)＜f(a)，故选D.5．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是()①y ＝|x |；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x|x |.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选C.①y ＝|x |＝－x (x ＜0)在(－∞，0)上为减函数；②y ＝|x |x ＝－1(x ＜0)在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；③y ＝－x 2|x |＝x (x ＜0)在(－∞，0)上是增函数；④y ＝x ＋x|x |＝x －1(x ＜0)在(－∞，0)上也是增函数，故选C.6．下列说法中正确的有()①若x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x④y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选A.函数单调性的定义是指定义在区间I 上的任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而①不对；②y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x ≤0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；③y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数．如－3＜5，而f (－3)＞f (5)；④y ＝1x 的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．7．若函数y ＝－bx 在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．解析：设0＜x 1＜x 2，由题意知f (x 1)－f (x 2)＝－b x 1＋b x 2＝bx 1－x 2x 1·x 2＞0，∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0.∴b ＜0.答案：(－∞，0)8．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________．解析：∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34，∴f (a 2－a ＋1)≤f (34)．答案：f (a 2－a ＋1)≤f (34)9．y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．解析：y ＝－(x －3)|x |＝x 2＋3x x ＞02－3x x ≤0，作出其图象如图，观察图象知递增区间为[0，32]．答案：[0，32]10．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0.(1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．解：(1)∵f (1)＝0，f (3)＝0，＋b ＋c ＝0＋3b ＋c ＝0，解得b ＝－4，c ＝3.(2)证明：∵f (x )＝x 2－4x ＋3，∴设x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1＋3)－(x 22－4x 2＋3)＝(x 21－x 22)－4(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)，∵x 1－x 2＜0，x 1＞2，x 2＞2，∴x 1＋x 2－4＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －1)＜f (1－3x )，求x 的取值范围．1≤x －1≤11≤1－3x ≤1，－1＜1－3xx≤2x≤23，＜12∴0≤x＜12.12．设函数y＝f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．解：设任意的x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1＜x2，∵f(x1)－f(x2)＝ax1＋1x1＋2－ax2＋1x2＋2＝ax1＋1x2＋2－ax2＋1x1＋2x1＋2x2＋2＝x1－x22a－1x1＋2x2＋2.∵f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，∴f(x1)－f(x2)＜0.∴x1－x22a－1x1＋2x2＋2＜0，∵x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0，∴2a－1＞0，∴a＞12.1．函数f(x)＝9－ax2(a＞0)在[0,3]上的最大值为()A．9B．9(1－a)C．9－a D．9－a2解析：选A.x∈[0,3]时f(x)为减函数，f(x)max＝f(0)＝9.2．函数y＝x＋1－x－1的值域为()A．(－∞，2]B．(0，2]C．[2，＋∞)D．[0，＋∞)解析：选B.y＝x＋1－x－1＋1≥0－1≥0，∴x≥1.∵y＝2x＋1＋x－1为[1，＋∞)上的减函数，∴f(x)max＝f(1)＝2且y＞0.3．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2在[0，a ]上取得最大值3，最小值2，则实数a 为()A ．0或1B ．1C ．2D ．以上都不对解析：选B.因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2＝(x －a )2－a 2＋a ＋2,对称轴为x ＝a ，开口方向向上，所以f (x )在[0，a ]上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，即f (x )max ＝f (0)＝a ＋2＝3，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋a ＋2＝2.故a ＝1.4．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1.则xy 的最大值为________．解析：y 4＝1－x 3，∴0＜1－x3＜1,0＜x ＜3.而xy ＝x ·4(1－x 3)＝－43(x －32)2＋3.当x ＝32，y ＝2时，xy 最大值为3.答案：31．函数f (x )＝x 2在[0,1]上的最小值是()A ．1B ．0C.14D ．不存在解析：选B.由函数f (x )＝x 2在[0,1]上的图象(图略)知，f (x )＝x 2在[0,1]上单调递增，故最小值为f (0)＝0.2．函数f (x )x ＋6，x ∈[1，2]＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为()A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对解析：选A.f (x )在x ∈[－1,2]上为增函数，f (x )max ＝f (2)＝10，f (x )min ＝f (－1)＝6.3．函数y ＝－x 2＋2x 在[1,2]上的最大值为()A ．1B ．2C ．－1D ．不存在解析：选A.因为函数y ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1.对称轴为x ＝1，开口向下，故在[1,2]上为单调递减函数，所以y max ＝－1＋2＝1.4．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为()A ．2B.12C.1 3D．－12解析：选B.函数y＝1x－1在[2,3]上为减函数，∴y min＝13－1＝12.5．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为() A．90万元B．60万元C．120万元D．120.25万元解析：选C.设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15，x为正整数)，则在乙地销售(15－x)辆，∴公司获得利润L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.∴当x＝9或10时，L最大为120万元，故选C.6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为() A．－1B．0C．1D．2解析：选C.f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a.∴函数f(x)图象的对称轴为x＝2，∴f(x)在[0,1]上单调递增．又∵f(x)min＝－2，∴f(0)＝－2，即a＝－2.f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.7．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．解析：∵x∈N*，∴x2≥1，∴y＝2x2＋2≥4，即y＝2x2＋2在x∈N*上的最小值为4，此时x＝1.答案：48．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知f(x)在[1，a]上是单调递减的，又∵f(x)的单调减区间为(－∞，3]，∴1<a≤3.答案：(1,3]9．函数f(x)＝xx＋2在区间[2,4]上的最大值为________；最小值为________．。

1.已知全集I ＝{0，1，2}，且满足C I (A ∪B )＝{2}的A 、B 共有组数2.如果集合A ＝{x |x ＝2k π+π，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝4k π+π，k ∈Z}，则集合A ，B 的关系3.设A ＝{x ∈Z||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则B 的元素个数是4.若集合P ＝{x |3<x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a +1≤x <3a －5}，则能使Q ⊆ (P ∩Q )成立的所 有实数a 的取值范围为5.已知集合A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f :x →y ＝ax ＋b ，若4和10的原象分别对应是6和9， 则19在f 作用下的象为6.函数f (x )＝3x －12－x (x ∈R 且x ≠2)的值域为集合N ，则集合{2,－2,－1,－3}中不属于N 的元素是7.已知f (x )是一次函数，且2f (2)－3f (1)＝5，2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )的解析式为8.下列各组函数中，表示同一函数的是 A.f (x )＝1，g (x )＝x 0B.f (x )＝x ＋2，g (x )＝x 2－4x －2C.f (x )＝|x |，g (x )＝⎩⎨⎧x x ≥0－x x ＜0D.f (x )＝x ，g (x )＝(x )29. f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x ＞0π x ＝00 x ＜0 ，则f {f ［f (－3)］}等于10.已知2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则xy的11.设x ∈R ，若a <lg(|x －3|＋|x ＋7|)恒成立，则a 取值范围是12.若定义在区间（－1，0）内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则a 的取值范围是一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集I ＝{0，1，2}，且满足C I (A ∪B )＝{2}的A 、B 共有组数 A.5 B.7 C.9 D.112.如果集合A ＝{x |x ＝2k π+π，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝4k π+π，k ∈Z}，则A.A BB.B AC.A =BD.A ∩B =∅3.设A ＝{x ∈Z||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则B 的元素个数是 A.5 B.4 C.3 D.2 4.若集合P ＝{x |3<x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a +1≤x <3a －5}，则能使Q ⊆ (P ∩Q )成立的所有实数a 的取值范围为 A.(1，9) B.［1，9］ C.［6，9)D.(6，9］5.已知集合A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f :x →y ＝a x ＋b ，若4和10的原象分别对应是6和9，则19在f 作用下的象为 A.18B.30C. 272D.286.函数f (x )＝3x －12－x (x ∈R 且x ≠2)的值域为集合N ，则集合{2,－2,－1,－3}中不属于N 的元素是 A.2 B.－2 C.－1 D.－3 7.已知f (x )是一次函数，且2f (2)－3f (1)＝5，2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )的解析式为 A.3x －2 B.3x ＋2 C.2x ＋3 D.2x －3 8.下列各组函数中，表示同一函数的是 A.f (x )＝1，g (x )＝x 0B.f (x )＝x ＋2，g (x )＝x 2－4x －2C.f (x )＝|x |，g (x )＝⎩⎨⎧x x ≥0－x x ＜0D.f (x )＝x ，g (x )＝(x )29. f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x ＞0π x ＝00 x ＜0 ，则f {f ［f (－3)］}等于A.0B.πC.π2D.910.已知2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则xy 的值为A.1B.4C.1或4D. 14或4 11.设x ∈R ，若a <lg(|x －3|＋|x ＋7|)恒成立，则 A.a ≥1 B.a >1 C.0<a ≤1 D.a <112.若定义在区间（－1，0）内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则a 的取值范围是A.(0，12 )B.(0，⎥⎦⎤21C.( 12，+∞)D.(0，+∞)二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上)13.若不等式x 2＋ax ＋a －2>0的解集为R ，则a 可取值的集合为__________. 14.函数y ＝x 2＋x ＋1 的定义域是______，值域为__ ____.15.若不等式3ax x 22->(13)x +1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为___ ___.16. f (x )＝]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈---,1 231,( 2311x x x x ，则f (x )值域为_____ _. 17.函数y ＝12x ＋1的值域是__________. 18.方程log 2(2－2x )＋x ＋99＝0的两个解的和是______.三、解答题(本大题共5小题，共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.全集U ＝R ，A ＝{x ||x |≥1}，B ＝{x |x 2－2x －3＞0}，求(C U A )∩(C U B ).20.已知f (x )是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1. （1）求证：f (8)＝3 (2)求不等式f (x )－f (x －2)>3的解集.21.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？22.已知函数f (x )＝log 412x －log 41x +5，x ∈［2，4］，求f (x )的最大值及最小值.23.已知函数f (x )＝a a 2－2 (a x －a －x )(a >0且a ≠1)是R 上的增函数，求a 的取值范围.答案1、由题知A ∪B={0，1}，所以A=∅或{0 }或{1}或{0,1}；对应的集合B 可为{0,1}或{1}，{0,1}或{0}，{0,1}或∅，{0}，{1}，{0,1}2、解：当k 为偶数即k=2m,时A ＝{x |x ＝4m π+π，m ∈Z}，为奇数即k=2m+1,时A ＝{x |x ＝4m π+2π，m ∈Z},故.B A ；注意m , k 都是整数，虽字母不同但意义相同3、解：A ＝{-2，-1, 0,1,2}，则B ＝{5，2, 1}4、解：由Q ⊆ (P ∩Q )知Q ⊆ P ，故 53122253312-<+≤->+a a a a 得6<a ≤95、解：由题知ba b a +=+=91064得a =2 b=－8，19×2－8=286、解：令y=3x －12－x 得x=yy ++312,当y=－3时x 不存在，故－3是不属于N 的元素 7、解：设f (x )= a x ＋b ，则2(2a+b) －3(a+b) ＝5, 2(0a+b)－[(－1)a+b] ＝1，解得a =3 b=－2 故f (x )= 3x －28、解：A. f (x )定义域为R ，g (x )定义域为x ≠0 B. f (x )定义域为R ，g (x )定义域为x ≠2 C f (x )去绝对值即为g (x )，为同一函数 D f (x )定义域为R ，g (x )定义域为x ≥29、解：－３＜０，则f (－３)＝０，f (０)＝π，π＞０，f (π)＝π2，f {f ［f (－3)］}＝π2 10、解(x －2y ) 2＝xy ，得(x －y ) (x －４y ) ＝０，x ＝y 或，x ＝４y 即x y ＝14或411、解：要使a <lg(|x －3|＋|x ＋7|)恒成立，须a 小于lg(|x －3|＋|x ＋7|)的最小值，由于y ＝lg x 是增函数，只需求|x －3|＋|x ＋7|的最小值，去绝对值符号得|x －3|＋|x ＋7|＝ 10)3(42)37(1010772最小值为最小值为）（>+≤<--≤--x x x x x 故lg(|x －3|＋|x ＋7|)的最小值为lg １０＝１，所以.a <112、解：由x ∉（－1，0），得x ＋1∉（0，1）,要使f (x )>0，由函数y ＝log a x 的图像知0＜2a ＜1, 得0＜a ＜121、由题知A ∪B={0，1}，所以A=∅或{0 }或{1}或{0,1}；对应的集合B 可为{0,1}或{1}，{0,1}或{0}，{0,1}或∅，{0}，{1}，{0,1}2、解：当k 为偶数即k=2m,时A ＝{x |x ＝4m π+π，m ∈Z}，为奇数即k=2m+1,时A ＝{x |x ＝4m π+2π，m ∈Z},故.B A ；注意m , k 都是整数，虽字母不同但意义相同3、解：A ＝{-2，-1, 0,1,2}，则B ＝{5，2, 1}4、解：由Q ⊆ (P ∩Q )知Q ⊆ P ，故 53122253312-<+≤->+a a a a 得6<a ≤95、解：由题知ba ba +=+=91064得a =2 b=－8，19×2－8=286、解：令y=3x －12－x 得x=yy ++312,当y=－3时x 不存在，故－3是不属于N 的元素 7、解：设f (x )= a x ＋b ，则2(2a+b) －3(a+b) ＝5, 2(0a+b)－[(－1)a+b] ＝1，解得a =3 b=－2 故f (x )= 3x －28、解：A. f (x )定义域为R ，g (x )定义域为x ≠0 B. f (x )定义域为R ，g (x )定义域为x ≠2 C f (x )去绝对值即为g (x )，为同一函数 D f (x )定义域为R ，g (x )定义域为x ≥29、解：－３＜０，则f (－３)＝０，f (０)＝π，π＞０，f (π)＝π2，f {f ［f (－3)］}＝π2 10、解(x －2y ) 2＝xy ，得(x －y ) (x －４y ) ＝０，x ＝y 或，x ＝４y 即x y ＝14或411、解：要使a <lg(|x －3|＋|x ＋7|)恒成立，须a 小于lg(|x －3|＋|x ＋7|)的最小值，由于y ＝lg x 是增函数，只需求|x －3|＋|x ＋7|的最小值，去绝对值符号得|x －3|＋|x ＋7|＝ 10)3(42)37(1010772最小值为最小值为）（>+≤<--≤--x x x x x 故lg(|x －3|＋|x ＋7|)的最小值为lg １０＝１，所以.a <112、解：由x ∉（－1，0），得x ＋1∉（0，1）,要使f (x )>0，由函数y ＝log a x 的图像知0＜2a ＜1, 得0＜a ＜1213、解：要不等式的解集为R ，则△＜0，即a 2－4a ＋a ＜0，解得a ∈∅14、要使x 2＋x ＋1 由意义，须x 2+x+1≥0, 解得x ∈R , 由x 2+x+1=（x+12 ）2+43≥43,所以函数定义域为R 值域为［32，+∞) 15、解:原不等式可化为3axx22->3－（x+1）对一切实数x 恒成立，须x 2－2ax >－(x +1) 对一切实数x 恒成立,即 x 2－(2a －1)x +1> 0对一切实数x 恒成立，须△＜0得－12 < a < 3216、解：因3x-1-2=3x 31•是增函数，当x ≤1时0＜3x ＜3，-2＜3x-1-2≤-1，而31-x -2=3·3-x 是减函数，当x ＞1时0＜3-x ＜31，-2＜31-x -2＜-1，故原函数值域为（-2，-1］17、解:∵ 2x ＞0, ∴2x+1＞1 ∴0＜12x ＋1 ＜1 函数值域为(0,1)19.解：全集U ＝R ，A ＝{x ||x |≥1}，∴C U A ＝{x |x ＜1} ，B ＝{x |x 2－2x －3＞0}＝{x | x ≤－1或x ≥3}，∴C U B ＝{x |－1＜x ＜3} ∴(C U A )∩(C U B )＝{x |－1＜x ＜1}20（1）【证明】 由题意得f (8)＝f (4×2)＝f (4)＋f (2)＝f (2×2)＋f (2)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3f (2) 又∵f (2)＝1 ∴f (8)＝3(2)【解】 不等式化为f (x )>f (x －2)+3∵f (8)＝3 ∴f (x )>f (x －2)＋f (8)＝f (8x －16)∵f (x )是（0，+∞）上的增函数∴⎩⎨⎧->>-)2(80)2(8x x x 解得2<x <16721.【解】 （1）当每辆车月租金为3600元时，未租出的车辆数为 3600－300050＝12，所以这时租出了88辆.（2）设每辆车的月租金定为x 元，则公司月收益为f (x )＝(100－x －300050 )(x －150)－x －300050×50整理得:f (x )＝－x 250 ＋162x －2100＝－150 (x －4050)2＋307050∴当x ＝4050时，f (x )最大，最大值为f (4050)＝307050 元22.【解】 令t ＝log 41x ∵x ∈［2，4］，t ＝log 41x 在定义域递减有log 414<log 41x <log 412， ∴t ∈［－1,－12 ］∴f (t )＝t 2－t ＋5＝(t －12 )2＋194,t ∈［－1,－12 ］∴当t ＝－12 时，f (x )取最小值 234 当t ＝－1时，f (x )取最大值7.23.【解】 f (x )的定义域为R ，设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2则f (x 2)－f (x 1)＝ aa 2－2 (a 2x －a 2x -－a 1x +a 1x -)＝aa 2－2 (a 2x －a 1x )(1+211x x a a ⋅) 由于a >0，且a ≠1，∴1＋211x x aa >0 ∵f (x )为增函数，则(a 2－2)( a 2x －a 1x )>0 于是有⎪⎩⎪⎨⎧<-<-⎪⎩⎪⎨⎧>->-02002121222x x x x a a a a a a 或， 解得a > 2 或0<a <1。

高一数学必修1习题及答案5篇进入高中一之后，第一个学习的重要数学知识点就是集合，学生需要通过练习稳固集合内容，那么,高一数学必修1习题及答案怎么写以下是我精心收集整理的高一数学必修1习题及答案，下面我就和大家分享，来欣赏一下吧。

高一数学必修1习题及答案1一、选择题：(在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.)1.假设集合，那么m∩p= ( )a. b. c. d.2.以下函数与有相同图象的一个函数是( )a. b. c. d.3. 设a={x|0≤x≤2}，b={y|1≤y≤2}，在以下各图中，能表示从集合a 到集合b的映射的是( )4设，，，那么，，的大小关系为( ). . . . .5.定义为与中值的较小者，那么函数的值是( )6.假设，那么的表达式为( )a. b. c. d.7.函数的反函数是( )a. b.c. d.8假设那么的值为( )a.8b.c.2d.9假设函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，那么以下说法正确的选项是( )a.假设，不存在实数使得;b.假设，存在且只存在一个实数使得;c.假设，有可能存在实数使得;d.假设，有可能不存在实数使得;10.求函数零点的个数为( ) a. b. c. d.11.定义域为r的函数f(x)在区间(-∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5+t)=f(5-t)，那么以下式子一定成立的是( )a.f(-1)f(9)f(13) p=b.f(13)f(9)f(-1)c.f(9)f(-1)f(13) p=d.f(13)f(-1)f(9)12.某学生离家去，由于怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，假设以纵轴表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，那么以下四个图形中，符合该学生走法的是( )二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分.把答案直接填在题中横线上.13、，那么的取值范围是14.实数满足等式，以下五个关系式：(1) ，(2) ，(3) ，(4) ，(5)其中可能成立的关系式有.15.如果在函数的图象上任取不同的两点、，线段(端点除外)总在图象的下方，那么函数的图象给我们向上凸起的印象，我们称函数为上凸函数;反之，如果在函数的图象上任取不同的两点、，线段(端点除外)总在图象的上方，那么我们称函数为下凸函数.例如：就是一个上凸函数.请写出两个不同类型的下凸函数的解析式：16.某批发商批发某种商品的单价p(单位：元/千克)与一次性批发数量q(单位：千克)之间函数的图像如图2，一零售商仅有现金2700元，他最多可购置这种商品千克(不考虑运输费等其他费用).三、解答题：.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题总分值12分)全集u=r，集合，，求，，。