数学文化拓展
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数学教学中的课外拓展活动设计课外拓展活动是指在学生完成正式课程学习之后,通过开展一系列的课外活动来提高学生的综合素质。
在数学教学中,课外拓展活动可以丰富学生的数学知识,激发学生的学习兴趣,培养学生的创新意识和问题解决能力。
本文将从以下几个方面设计数学教学中的课外拓展活动。
一、数学竞赛与挑战数学竞赛是培养学生数学思维能力和解决问题能力的重要途径。
教师可以根据学生的不同程度和年级,为他们定期组织数学竞赛和挑战活动。
这些竞赛和挑战可以分为个人赛和团队赛。
例如,个人赛可以包括数学奥林匹克竞赛、数学建模竞赛等,团队赛可以设计数学游戏、数学拼图等。
通过参与竞赛和挑战,学生能够提高自己的数学能力,并且在比赛中培养团队精神和合作意识。
二、数学科普讲座数学科普讲座可以帮助学生了解数学的应用领域和前沿知识,拓展他们对数学的认识。
教师可以邀请专业数学家或相关领域的专家来学校进行数学科普讲座。
讲座内容可以包括数学在科学、工程、经济等领域的应用,数学的发展历程以及数学的趣味性等。
通过听取讲座,学生可以了解到数学的广泛运用和重要性,激发他们对数学的兴趣和热爱。
三、数学实践活动数学实践活动可以将数学知识应用到实际生活中,帮助学生理解数学的实际意义。
教师可以组织学生进行测量活动,如测量校园建筑物的高度、校园地理环境的测量等。
此外,可以组织学生进行数学模拟实验,如电路连接实验、投影仪的原理实验等。
通过这些实践活动,学生可以亲自动手进行操作,感受数学在实际中的应用和作用。
四、数学游戏设计与解决问题数学游戏可以激发学生学习数学的兴趣和乐趣。
教师可以设计一些数学游戏,如数学谜题游戏、数学棋类游戏等,让学生通过游戏来巩固和运用所学的数学知识。
同时,教师还可以引导学生解决一些实际的数学问题,如编程设计中的数学问题、生活中的数学难题等。
通过解决问题,学生可以培养自己的思维能力和创新意识。
五、数学文化体验活动数学文化体验活动可以让学生了解不同国家和时期的数学文化,拓宽他们的视野。
校园拓展数学活动策划书3篇篇一《校园拓展数学活动策划书》一、活动背景随着教育的不断发展,培养学生的综合素质越来越重要。
数学作为一门基础学科,对于学生的逻辑思维和解决问题的能力有着至关重要的影响。
为了激发学生对数学的兴趣,提高学生的数学素养,特举办此次校园拓展数学活动。
二、活动目的1. 激发学生对数学的兴趣,让学生感受到数学的魅力。
2. 培养学生的数学思维能力和创新精神。
3. 增强学生的团队合作意识和沟通能力。
三、活动主题“探索数学奥秘,拓展思维空间”四、活动对象全体在校学生五、活动时间和地点时间:[具体活动时间]地点:校园内各个场地六、活动内容1. 数学知识竞赛组织学生参加数学知识竞赛,竞赛内容包括数学基础知识、数学思维拓展等方面。
通过竞赛,激发学生学习数学的积极性,提高学生的数学知识水平。
2. 数学游戏活动设置多个数学游戏区域,如数学拼图、数学迷宫、数学猜谜等。
学生可以自由选择参与游戏,通过游戏的方式,让学生在轻松愉快的氛围中学习数学知识,培养学生的数学思维能力。
3. 数学实践活动组织学生开展数学实践活动,如测量校园内建筑物的高度、计算校园内花坛的面积等。
通过实践活动,让学生将数学知识应用到实际生活中,提高学生的实践能力和解决问题的能力。
4. 数学讲座邀请数学专家或优秀数学教师举办数学讲座,介绍数学的发展历程、数学在各个领域的应用等。
通过讲座,拓宽学生的数学视野,激发学生对数学的探索欲望。
5. 数学展览展示学生的数学作品,如数学手抄报、数学小论文、数学模型等。
通过展览,展示学生的数学才华,激发学生的学习热情。
七、活动组织与实施1. 成立活动筹备小组,负责活动的策划、组织和实施。
2. 提前做好活动的宣传工作,通过校园广播、宣传栏、班级群等渠道,向学生宣传活动的内容和时间,鼓励学生积极参与。
3. 准备好活动所需的场地、道具、奖品等物资。
4. 在活动过程中,要确保学生的安全,安排专人负责现场秩序的维护和学生的安全保障。
如何开展初中数学课外拓展活动数学是一门理性与逻辑并存的学科,对于初中生来说,数学的学习是必不可少的一部分。
然而,仅仅在课堂上学习数学知识可能会导致学生对数学的兴趣逐渐减弱。
为了激发学生对数学的兴趣和提高他们的数学水平,开展初中数学课外拓展活动变得非常重要。
本文将介绍一些开展初中数学课外拓展活动的方法和策略。
一、数学游戏数学游戏是一种有趣又刺激的拓展活动方式。
通过游戏,学生可以在轻松和愉快的氛围中学习数学知识和技巧。
例如,教师可以设计一些数学解谜游戏,学生需要通过解题来寻找答案,这样不仅能培养学生的逻辑思维能力,还能增强他们的合作意识和团队精神。
二、数学竞赛数学竞赛是培养学生数学兴趣和能力的有效途径。
学校可以组织各类数学竞赛,如数学奥林匹克、数学建模比赛等。
这些竞赛可以激发学生的竞争意识和求知欲,让他们在比赛中展示自己的才华和能力。
同时,数学竞赛还可以让学生感受到数学的魅力和乐趣,激发他们对数学的兴趣和热爱。
三、数学科普讲座数学科普讲座是一种生动有趣的数学拓展活动形式。
学校可以邀请数学专家或数学爱好者给学生们进行数学科普讲座,讲解一些有趣的数学概念、发现和应用。
这样的讲座可以让学生了解数学的前沿研究和实际应用,激发他们对数学的兴趣和好奇心。
四、数学实践活动数学实践活动是将数学知识与实际生活相结合的一种拓展方式。
学校可以组织学生进行数学实践活动,如测量实验、调查统计等。
通过这些实践活动,学生可以亲身体验和应用数学知识,增强他们的实际动手能力和解决问题的能力。
五、数学社团学校可以成立数学社团,为对数学有兴趣的学生提供一个交流和展示的平台。
数学社团可以组织数学讨论会、数学研究小组等活动,让学生们共同研究和探讨数学问题。
这样的社团活动能够培养学生的合作精神和团队协作能力,同时也能提高学生的数学水平。
六、家庭作业辅导家庭作业辅导是巩固和拓展数学知识的重要途径。
学校可以鼓励家长积极参与孩子的数学学习,提供一些合适的家庭作业辅导材料,并定期组织家长与教师的交流活动,分享数学学习经验和方法。
数学课外拓展方案数学作为一门理科学科,是培养学生逻辑思维和数学能力的重要课程。
然而,在传统的教学模式下,学生往往只能停留在书本知识的掌握上,缺乏对数学的真正理解和应用能力的培养。
因此,为了促进学生对数学的兴趣和深入学习,有必要开展一套数学课外拓展方案。
一、目标数学课外拓展方案的目标是通过丰富多样的活动和任务,培养学生的数学思维能力、解决问题的能力和合作精神。
二、方案内容1. 数学竞赛举办数学竞赛是培养学生数学兴趣和能力的重要途径。
可以组织学生参加校际或地区性的数学竞赛,激发他们对数学的兴趣和学习的积极性。
同时,参加竞赛也能让学生接触到一些课外的数学问题,拓宽他们的数学视野。
2. 数学研究课题鼓励学生选择自己感兴趣的数学课题进行深入研究。
可以提供一些数学问题或者研究方向供学生选择,让他们根据自己的兴趣和能力进行研究,并撰写研究报告。
这样不仅能够提高学生的数学能力,还可以培养他们的科研意识和科学写作能力。
3. 数学实践活动开展数学实践活动,让学生将数学知识应用到实际生活中。
比如,组织一次数学迷宫活动,让学生在迷宫中解决数学问题;或者组织一次数学探索活动,让学生在实际中探求数学规律。
通过这些实践活动,学生不仅能够感受到数学的应用价值,还能够加深对数学的理解和记忆。
4. 数学讲座和讨论邀请数学专家或者学生资深数学爱好者来学校进行数学讲座,介绍一些前沿的数学知识和应用案例。
同时,组织学生参与数学讨论,让他们展示自己的思考和解决问题的方法。
这样能够拓宽学生的数学视野,激发他们对数学的探究欲望。
5. 数学文化活动开展与数学相关的文化活动,如数学节、数学展览等。
可以展示一些与数学相关的艺术品、历史文献等,让学生感受到数学的文化魅力。
此外,可以组织一些与数学有关的游戏和趣味竞赛,增加学生的参与度和乐趣。
三、方案效果通过数学课外拓展方案的实施,可以达到以下几个方面的效果:1. 提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
如何开展有效的数学课外拓展活动数学课外拓展活动是培养学生对数学的兴趣和创造力的重要途径之一。
通过参与这些活动,学生们可以加深对数学知识的理解与运用,并培养解决问题的能力。
本文将探讨如何开展有效的数学课外拓展活动,并提供一些实用的策略和建议。
1. 设计多样化的数学活动数学是一门极富创造力的科学,因此,数学课外拓展活动应该注重激发学生的想象力和创新思维。
可以组织数学思维比赛、设计数学游戏或解谜题等活动,让学生在娱乐中体验到数学的乐趣。
2. 融入实际应用将数学知识与实际应用相结合,可以帮助学生更好地理解数学概念的实际意义。
组织参观实验室、企业或者工厂等实地考察活动,让学生亲身感受数学在现实生活中的运用,培养他们将数学知识应用于实际问题解决的能力。
3. 激励学生自主探究为了激发学生的学习兴趣和自主性,数学课外拓展活动应该提供给学生充分的自由度。
可以组织数学探究小组,学生可以选择自己感兴趣的数学主题进行深入研究,并展示自己的发现和成果。
4. 培养团队合作精神数学课外拓展活动可以鼓励学生之间的合作与交流,培养他们的团队合作精神。
可以组织数学竞赛、数学建模比赛等团队活动,让学生在合作中相互学习、互相补充,并共同解决数学问题。
5. 利用科技手段现代科技手段的运用,可以丰富和增强数学课外拓展活动的效果。
例如,利用互联网资源进行数学学习和交流,或者利用数学软件和应用进行数学模拟和实验,都能够提高学生的学习兴趣和参与度。
6. 鼓励参与数学比赛数学比赛提供了一个展示学生才华和提高数学水平的平台。
学校可以鼓励学生参加各类数学比赛,为他们提供充分的支持和指导。
与此同时,学校也可以组织内部的数学竞赛,激发学生参与的热情。
7. 提供良好的学习资源为了开展有效的数学课外拓展活动,学校需要提供充足的学习资源。
例如,建立数学拓展图书馆、购买数学拓展杂志和参考书籍等,为学生提供更多的学习材料和资源,促进他们的自主学习和发展。
总结起来,开展有效的数学课外拓展活动需要多元化的设计、实践性的应用、积极参与的态度和充足的学习资源。
数学拓展之旅开拓数学知识的广阔领域数学是一门普及性极强的学科,在我们的日常生活中无处不在。
而我们常学习的数学知识只是这个广阔领域的冰山一角。
为了进一步拓展我们的数学知识,我们需要进行一次数学拓展之旅,探索数学在各个领域的广泛应用。
一、数学在自然科学中的应用自然科学与数学密不可分。
物理学、化学、生物学等学科都离不开数学的运算和模型建立。
以物理学为例,牛顿的运动定律、爱因斯坦的相对论,都建立在数学模型的基础之上。
在化学中,化学反应的速度常常以数学公式表示。
生物学中的遗传规律和进化理论也需要数学的支撑。
通过数学拓展之旅,我们可以更深入地了解数学在自然科学中的应用,进一步掌握这些相关知识。
二、数学在工程技术中的应用工程技术领域是数学应用的一个热点领域。
无论是建筑设计、电子工程还是航空航天技术,都需要数学的计算和模型。
在建筑设计中,数学可以帮助我们计算材料的承重能力、设计结构的合理性。
在电子工程中,数学在信号处理、电路设计等方面发挥着重要作用。
而在航空航天技术中,数学的应用更是无处不在,涉及到飞行轨迹的计算、航天器的控制等。
通过数学拓展之旅,我们可以增加对这些领域的了解,为将来从事相关工作打下坚实的数学基础。
三、数学在经济金融中的应用经济学和金融学是数学应用广泛的领域。
通过数学模型的建立和计算,可以预测市场走势、分析经济数据等。
在金融衍生品交易中,数学的运算和统计分析是投资者做出决策的重要依据。
随着金融市场的发展,对数学的需求也越来越高。
通过数学拓展之旅,我们可以进一步了解数学在经济金融中的应用,提升我们的投资理财技能。
四、数学在计算机科学中的应用计算机科学与数学的联系非常紧密,可以说是基于数学的发展而来。
在计算机程序的设计和算法的研究中,数学是基础和重要工具。
例如,图论在网络搜索算法中的应用、密码学中的数论应用以及数据压缩中的概率论应用等等。
数学拓展之旅可以帮助我们进一步了解数学在计算机科学中的应用,提升我们的编程和算法设计能力。
小学五年级数学课外拓展活动数学是一门既实用又有趣的学科,为了培养小学五年级学生对数学的兴趣和能力,开展一系列有趣的课外拓展活动是非常有必要的。
下面将介绍几个适合小学五年级学生的数学课外拓展活动。
1. 数学探秘之数学趣味游戏数学趣味游戏是培养学生数学素养和思维能力的有效方式。
比如,“数学猜谜游戏”,学生需要通过给出的数学谜题来猜测数字的规律;“九宫格游戏”,学生需要用1-9的数字填充九宫格,使得每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
这些游戏既能提高学生的逻辑思维能力,又能增加他们对数学的兴趣。
2. 数学之美之数学手工制作通过让学生亲自动手制作数学模型,可以增加他们对数学的理解和兴趣。
例如,可以组织学生制作纸折、纸板、橡皮泥等材料来制作各种几何模型,如立体几何体、模型三角形等。
制作过程中,学生需要进行测量、计算等数学操作,既锻炼了他们的动手能力,又深化了对几何知识的理解。
3. 数学启蒙之数学竞赛组织小学五年级的数学竞赛活动,不仅可以激发学生的学习兴趣,还能培养他们的竞争意识和解决问题的能力。
可以根据学生的能力水平设置不同的题目,包括口头回答问题、计算题、推理题等。
通过与同学的竞争,激发学生学习数学的积极性和主动性。
4. 数学故事之数学科普讲座数学并不只存在于课堂上,它还融入了我们日常生活中的方方面面。
可以邀请数学专家或数学爱好者来给小学五年级学生讲解一些与日常生活紧密相关的数学知识,如数数理念在购物中的应用、测量和计算在烹饪中的运用等。
通过生动有趣的讲座,学生能更好地理解数学知识的实际应用,并增加他们对数学的兴趣。
5. 数学视觉之数学影视欣赏通过给小学五年级学生欣赏一些与数学相关的影视作品,既能增加他们对数学的兴趣,又能培养他们的观察力和思考能力。
可以选择一些以数学为主题或含有数学元素的纪录片、动画片或电影,如《美丽心灵》和《天才少女》等。
观影后,可以组织学生进行讨论和分享,加深对数学的理解。
以上是几种适合小学五年级学生的数学课外拓展活动。
浅谈数学文化对小学数学教材课堂教学的补充与拓展数学文化是指数学理论和实践在人类社会各个领域中的运用和传承,是数学与其他学科、文化、社会交叉融合的产物。
数学文化对小学数学教材课堂教学的补充与拓展起着重要的作用,可以丰富学生的数学知识,拓展他们的数学思维,培养其对数学的兴趣和探索精神。
本文将就数学文化在小学数学教材课堂教学中的作用进行探讨。
数学文化可以为小学数学教材课堂教学提供丰富的实例和背景知识。
数学文化融合了数学与历史、文学、艺术等多种学科与文化,其中蕴含了丰富的故事、趣味、典故和历史背景。
通过数学文化,教师可以丰富课堂教学内容,为学生提供更加具体的实例和生动的故事,帮助他们更好地理解和掌握课堂内容。
在讲解小学数学的几何知识时,可以结合历史上的几何发展过程,讲述希腊古代数学家毕达哥拉斯的发现故事,引导学生了解几何的发展历程,激发学生对几何知识的兴趣。
数学文化可以拓展小学数学教材的知识广度和深度。
小学数学教材的内容相对简单,但通过数学文化的引入,可以为学生呈现更加深入和广泛的数学知识。
通过数学文化,学生可以了解数学在不同历史时期和不同文化背景下的发展,拓展对数学的认识和理解,从而使得数学知识更加具体、丰富。
通过介绍古代埃及人的计算技术和数学知识,可以让学生了解到数学的普遍性和重要性,促使他们对数学的学习产生更大的兴趣。
数学文化可以促进小学生对数学的主动探索和思考。
数学文化中蕴含着丰富的思想和方法,可以激发学生的求知欲和探索精神。
通过讲解数学文化,教师可以引导学生进行相关思考和讨论,开展相应的实践活动,培养学生的数学思维和创造力。
在讲解小学数学的代数知识时,可以通过引入阿拉伯数字的历史和发展,启发学生思考数字的发展规律与规则,并引导他们进行相关的实际应用和问题解决。
数学文化可以促进小学生对数学的跨学科综合应用。
数学文化融合了数学与其他学科的交叉融合,可以为小学生提供多元化的学科体验和参与机会。
通过数学文化的引入,可以促使学生将数学知识与其他学科知识相结合,进行跨学科综合应用,提高他们的综合能力和创新能力。
教材拓展,丰富小学数学学习内容1. 数的世界1.1 数字的历史起源:介绍数字的起源,如古埃及的数字、罗马数字等,激发学生对数字来源的兴趣。
演变:讲述数字如何发展成为现代的阿拉伯数字,传达数字在历史中的重要性。
1.2 数字游戏数学谜语:设计一些简单的数学谜语,让学生在解谜的过程中理解数字的特性。
例如,“一个数字,乘以2再加上3等于7,这个数字是什么?”数字拼图:使用数字拼图游戏,鼓励学生通过组合不同的数字,找到可以组成特定和的组合。
2. 形状与空间2.1 形状的发现生活中的几何形状:带领学生观察周围的环境,发现生活中的各种几何形状,如建筑、家具等。
手工制作:让学生用纸、塑料瓶等材料手工制作立体几何形状,培养动手能力和空间意识。
2.2 形状分类形状分类活动:通过分类游戏,帮助学生认识和区分不同的几何形状,理解它们的特征。
形状与数学:探讨形状的周长、面积计算,结合实际例子让学生进行探讨和练习。
3. 量与测量3.1 测量的乐趣长短比较:开展测量活动,使用尺子测量教室中物品的长度,并进行比较与讨论,让学生重视精确度。
自制量具:通过制作简单的量具(如刻度尺),让学生了解测量的基本原理。
3.2 单位转换单位的多样性:介绍不同的测量单位,如长度(米、厘米)、容量(升、毫升)等,进行单位转换的小游戏。
实用场景:利用校园环境进行实际测量(如足球场的长度、教学楼的高度),提升学生的实践能力。
4. 数据与概率4.1 数据的收集与整理生活中的数据:鼓励学生收集身边的数据(如班级同学的身高、喜欢的水果等),进行整理和统计。
图表制作:教学生如何用图表(条形图、折线图、饼图等)来展示数据,使数据更直观易懂。
4.2 基础概率简单实验:通过掷骰子、抽卡片等简单实验,引导学生理解概率的概念。
概率与生活:讨论生活中的概率实例,如天气预报、游戏胜率等,让学生意识到概率的应用。
5. 数学与科学的结合5.1 数学在科学实验中的应用科学实验项目:开展一些简单的科学实验,例如测量水的pH值、温度变化等,记录数据并进行数学分析。
如何开展数学课外拓展活动数学是一门抽象而又实用的学科,而课堂教学往往难以涵盖所有的数学知识和技能。
因此,数学课外拓展活动对于学生的数学学习和兴趣培养起着重要的作用。
本文将探讨如何开展数学课外拓展活动,以提高学生的数学素养和实践能力。
一、组织数学竞赛数学竞赛是一种激发学生学习兴趣和潜力的重要方式。
学校可以组织数学竞赛,为学生提供展示自己数学才能的机会。
可以采取个人赛、团体赛或是赛事形式,鼓励学生积极参与。
数学竞赛不仅能够培养学生的解题能力和思维能力,还能提高学生的竞争意识和团队合作精神。
二、开展数学实验数学实验是将抽象的数学知识与实际问题相结合的有效方法。
学生可以通过参与数学实验,增强对数学概念的理解和应用能力。
例如,利用实验仪器测量曲线的弧长,帮助学生理解微积分的概念。
同时,数学实验也可以培养学生的观察、实验设计和数据分析能力,提高他们的科学素养。
三、组建数学学术俱乐部数学学术俱乐部是学生进行数学研究与交流的平台,促进学生成为数学沉浸式学习的参与者。
学术俱乐部可以开展数学研讨会、讲座和讨论活动,让学生有机会深入了解数学领域的前沿知识和应用。
此外,学术俱乐部还可以组织学生参加国内外学术竞赛,提高他们的学术水平和国际交流能力。
四、进行数学手工制作数学手工制作是将数学与艺术相结合的一种创造性活动。
学生可以通过制作数学模型、拼贴画和手工装置等,将抽象的数学概念转化为直观的形象,增强对数学知识的理解和记忆。
数学手工制作不仅可以培养学生的创造力和动手能力,还能激发他们对数学的兴趣。
五、参观数学展览或博物馆参观数学展览或博物馆是让学生接触数学文化的一种方式。
数学展览可以展示数学的发展历史、重要成就和应用价值,让学生从宏观角度了解数学的魅力。
博物馆则提供了实物展示和互动体验,让学生更加直观地感受数学的实际运用。
参观数学展览或博物馆可以激发学生的好奇心,增加他们对数学的探索欲望。
六、组织数学社区服务活动数学社区服务活动是将数学应用于实际问题解决的一种形式。
“将军饮马”问题的拓展与妙用
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中不仅描述了作者紧张的从军生活和悲壮的边塞军营景象,同时也隐含着一个经典有趣的数学问题———“将军饮马”问题.
诗中将军的行程可以抽象为:如图(1)所示,在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边点P饮马后再回到B点宿营,请问怎样走才能使总的路程最短.确定最近行程的饮马点P,可以通过轴对称变换的思想解决.
图(1)图(2)
如图(2),作点A关于直线l的对称点A1,连接A1B,交直线l于点P,那么点P就是所求的点.
一、问题的变式
“将军饮马”从条件上看属于同侧两定点,一条定直线类型,所求的点在定直线上.
1.条件由同侧两定点,一条定直线变为异侧两定点,一条定直线
如图(3),点A,B是直线l异侧的两定点.问题:在直线l上确定一点P,使|PA-PB|最大.
方法:作点A关于直线l的对称点A',连接BA'并延长交直线l于点P,则此时|PA-PB|最大.
图(3)图(4)
2.结论由求一点变为求一线
如图(4),点A,B是直线l同侧的两定点,线段PQ在直线l上移动,P,Q间距离一定.问题:确定P,Q 两点的位置,使PA+PQ+QB的值最小.
方法:将点B沿平行于直线l的方向平移到点B',使BB'=PQ,再作点A关于直线l的对称点A',连接A'B',交直线l于点P,则此时PA+PQ+QB的值最小.
3.变条件,变结论
(1)条件由同侧两定点,一条定直线变为一定点两条定直线,结论由求一点变为求两点.
如图(5),点A是两相交直线a,b内的一定点,点P,Q分别是直线a,b上两动点.问题:确定P,Q两点的位置,使PA+PQ+QA的值最小.
方法:分别作点A关于直线a,b的对称点A',A″,连接A'A″,分别交直线a,b于点P,Q,则
PA+PQ+QA=A'A″,此时值最小.
图(5)图(6)
(2)条件由同侧两定点一直线变为两定点两直线,结论由求一点变为求两点.
如图(6),点A,B是两相交直线a,b内两定点,点P,Q两点分别是直线a,b上两动点.问题:确定P,Q两点的位置,使PA+PQ+QB的值最小.
方法:作点A关于直线a的对称点A',作点B关于直线b的对称点B',连接A'B',分别交直线a,b 于点P,Q,则PA+PQ+QB=A'B',此时值最小.
二、模型的应用
1.如图(7),在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是.
图(7)图(8)
解析:识别模型,此问题为“将军饮马”问题.由正方形的性质,得出点B,D关于直线AC对称.如图(8),连接DE,交AC于点P,再连接BP.根据两点之间线段最短,可知此时PB+PE的值最小,进而利用勾股定理求解即可.
2.如图(9),在四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别有一点M,N,使△AMN 的周长最小,此时∠AMN+∠ANM的度数为()
A.130°
B.120°
C.110°
D.100°
图(9)图(10)
解析:观察图形,容易看出,求△AMN的周长最小问题是“一定点(A)两定直线(BC,CD)”模型,其构图方法是:如图(10),作点A关于直线BC的对称点A'和关于直线CD的对称点A″,连接A'A″,分别交BC,CD于点M,N,此时△AMN的周长最小,据此求解即可.
3.如图(11),在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2-x经过点A,B(1,-),O(点O为原点).
图(11)
在该抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
解析:识别模型,该问题是“将军饮马”问题.易知OB=2,要使△BOC的周长最小,必须使BC+CO的值最小.因为点O与点A关于抛物线的对称轴对称,所以CO=CA,所以当A,C,B三点共线,即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时,BC+CO的值最小,此时△BOC的周长最小,据此求解即可. 三、结论的推广
推广1:在平面直角坐标系中的四边形周长最小
如图(12),在平面直角坐标系中有四点A(-8,3),B(-4,5),C(0,n),D(m,0).求当四边形ABCD的周长最小时m,n的值.
图(12)图(13)
解析:如图(13),作点B关于y轴的对称点B'(4,5),作点A关于x轴的对称点A'(-8,-3),连接A'B',分别交x轴,y轴于点D和点C,此时BC+CD+DA的值最小,即四边形ABCD的周长最小,据此求解即可.
推广2:求代数式的最小值
已知实数x,求代数式+的最小值.
解析:构造图(14),其中点A到直线l的距离AG为1,点B到直线l的距离BH为3,且GH=5,点P在线段GH上运动,设GP=x,则PH=5-x.在Rt△AGP,Rt△BHP中,根据勾股定理,得
AP=,BP=,则AP+BP=+,要使AP+BP的值最小,利用“将军饮马”问题解决即可.作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交直线l于点P,此时线段A'B
的长度就是+的最小值,据此求解即可.
图(14)。