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初中数学拓展课的课程教案课程目标：1. 理解对称的概念，掌握对称的性质和判定方法；2. 能够运用对称性解决实际问题；3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
教学内容：1. 对称的定义和性质；2. 对称的判定方法；3. 对称性在实际问题中的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的几何知识，如点、线、面的基本概念；2. 提问：同学们认为什么是对称？对称有哪些性质？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解对称的定义：对称是指图形相对于某个中心点或轴线，两部分完全一致的性质；2. 讲解对称的性质：对称图形的大小、形状、角度等均不变；3. 讲解对称的判定方法：通过对称轴线将图形分为两部分，判断两部分是否完全一致。
三、案例分析（10分钟）1. 展示几个具有对称性的几何图形，如正方形、矩形、圆等；2. 引导学生分析这些图形的对称性质，并画出对称轴线；3. 让学生尝试解决一些与对称性相关的问题，如已知一个四边形是轴对称的，求证它是平行四边形。
四、课堂练习（10分钟）1. 布置一些有关对称性的练习题，让学生独立完成；2. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。
五、拓展与应用（10分钟）1. 引导学生思考对称性在实际问题中的应用，如建筑设计、艺术创作等；2. 让学生举例说明对称性在生活中的应用，并进行交流分享。
六、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结对称的定义、性质和判定方法；2. 提问：同学们认为对称性在数学和其他领域有哪些重要性？教学评价：1. 课后收集学生的课堂练习作业，评估学生对对称知识的理解和应用能力；2. 在下一节课开始时，让学生进行简要的课堂分享，了解他们对对称性在实际问题中的应用情况。
教学资源：1. 教材或教辅资料中关于对称性的相关内容；2. 几何图形模型或图片；3. 练习题和案例分析题。
教学建议：1. 在讲解对称性质时，可以结合具体的图形进行演示，帮助学生更好地理解；2. 在案例分析环节，鼓励学生积极参与，培养他们的空间想象能力和逻辑思维能力；3. 在课堂练习环节，注意难度的适中，让学生在掌握基础知识的基础上进行拓展。
初一数学教案引导学生进行数学创新和拓展导言：数学是一门复杂而又有趣的学科，它不仅培养了学生的逻辑思维能力，还能引导学生进行创新和拓展。
在初一阶段，培养学生的数学兴趣和创新能力是至关重要的。
本教案旨在通过一系列的教学活动，引导初一学生进行数学创新和拓展。
【活动一】数学积木游戏（拓展思维）目标：培养学生的空间想象力和创新思维能力。
材料：数学积木，纸张，笔。
步骤：1. 将学生分成小组，每个小组分发数学积木和纸张。
2. 老师出示一幅简单的图形，要求学生使用数学积木搭建出与图形相同的结构。
3. 学生们思考并用积木搭建，团队内可以进行讨论和合作。
4. 每个小组完成后，让学生们展示他们的作品，并解释他们是如何使用积木来实现的。
5. 鼓励学生们进一步思考，使用数学积木创造出自己的图形，并进行展示和分享。
【活动二】数学创意写作（拓展应用）目标：培养学生的数学创造力和表达能力。
材料：纸张，笔。
步骤：1. 让学生们选择一个数学概念（例如，平行线、三角形等）作为主题。
2. 学生们运用自己的想象力和创造力，写一篇以选择的数学概念为主题的短篇故事或诗歌。
3. 学生们可以将数学概念融入情节中，使故事或诗歌更加有趣。
4. 鼓励学生们在写作过程中运用数学术语和概念，展示他们对数学的理解和创新。
5. 学生们可以在班级内互相分享他们的作品，并进行欣赏和评价。
【活动三】数学研究课题（创新拓展）目标：培养学生的独立思考和解决问题的能力。
材料：计算器，尺子，纸张，笔。
步骤：1. 鼓励学生们选择一个数学问题或课题进行研究。
例如：质数的规律、约数的性质等。
2. 学生们使用计算器、尺子等工具进行实地观察和实验。
3. 学生们记录实验结果，并进行数据分析和总结。
4. 学生们撰写一篇关于他们研究课题的报告，包括研究目的、方法和结论等。
5. 学生们可以在班级内进行报告展示和讨论，分享他们的研究成果。
结语：通过以上的教学活动，可以培养初一学生的数学创新和拓展能力。
拓展数学思维初中教案年级：初中学科：数学课时：2课时教学目标：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心，激发学生学习数学的积极性。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的数学思维能力。
3. 培养学生与他人合作、交流的能力，培养学生的团队精神。
教学内容：1. 数列的性质与应用2. 几何图形的性质与应用3. 逻辑推理与证明4. 数学问题解决方法与技巧教学过程：第一课时：一、导入（5分钟）1. 老师通过一个有趣的数学故事或问题引导学生思考，激发学生对数学的兴趣和好奇心。
2. 学生分享他们对数学的认知和感受，老师给予鼓励和指导。
二、数列的性质与应用（15分钟）1. 老师引导学生探索数列的性质，如等差数列、等比数列等。
2. 学生通过举例和练习，运用数列的知识解决实际问题，如计算利息、求解数列的通项公式等。
三、几何图形的性质与应用（15分钟）1. 老师引导学生探索几何图形的性质，如三角形、四边形、圆等。
2. 学生通过举例和练习，运用几何图形的知识解决实际问题，如计算面积、证明几何定理等。
四、逻辑推理与证明（15分钟）1. 老师引导学生学习逻辑推理的基本方法，如演绎推理、归纳推理等。
2. 学生通过举例和练习，运用逻辑推理的方法解决数学问题，如证明数学定理、解决逻辑谜题等。
第二课时：一、数学问题解决方法与技巧（20分钟）1. 老师引导学生学习数学问题解决的方法与技巧，如画图、列举、归纳等。
2. 学生通过举例和练习，运用方法与技巧解决数学问题，如解决方程、不等式等问题。
二、小组活动（20分钟）1. 老师将学生分成小组，每个小组选择一个数学问题进行研究和解决。
2. 学生在小组内合作、交流，分享解题思路和方法。
3. 每个小组汇报他们的研究成果，老师给予评价和指导。
三、总结与反思（10分钟）1. 老师引导学生总结本节课的学习内容和收获，学生分享他们的学习体会和感悟。
2. 老师给予学生鼓励和指导，提醒学生继续努力，不断提高数学思维能力。
数学初中拓展课程教案课程背景：随着社会的发展，对学生的数学素养要求越来越高，初中数学拓展课程应运而生。
平面几何初步是初中数学拓展课程的重要内容，通过本节课的学习，使学生了解平面几何的基本概念、性质和定理，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
教学目标：1. 了解平面几何的基本概念，如点、线、面、角、三角形、四边形等。
2. 掌握平面几何的基本性质和定理，如平行线性质、三角形性质、四边形性质等。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
4. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 平面几何的基本概念。
2. 平面几何的基本性质和定理。
3. 平面几何在实际问题中的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用多媒体展示一些生活中的几何图形，如建筑物、家具等，引导学生关注几何图形在生活中的应用。
2. 提问：你们对平面几何有哪些了解？激发学生的学习兴趣。
二、新课导入（15分钟）1. 介绍平面几何的基本概念，如点、线、面、角、三角形、四边形等。
2. 讲解平面几何的基本性质和定理，如平行线性质、三角形性质、四边形性质等。
3. 通过例题演示，让学生理解并掌握平面几何的基本性质和定理。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置一些与平面几何相关的练习题，让学生独立完成。
2. 选取部分学生的作业进行讲解和点评，纠正学生的错误。
四、拓展与应用（15分钟）1. 让学生观察一些实际问题，如设计图案、计算面积等，运用平面几何的知识进行解决。
2. 学生分组讨论，分享解题过程和心得。
3. 教师进行总结和点评，引导学生将平面几何知识应用于实际生活中。
五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结平面几何的基本概念、性质和定理。
2. 强调平面几何在实际生活中的应用价值。
教学评价：1. 课后作业：布置一些与平面几何相关的练习题，检验学生对知识的掌握程度。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题和解决问题的能力。
3. 实际应用：让学生运用平面几何知识解决实际问题，检验学生的应用能力。
初中数学教案拓展学生思维空间的数学拓展教案让数学变得有趣初中数学教案：拓展学生思维空间教案一：立体图形的拼接与展开【教学目标】通过立体图形的拼接与展开，拓宽学生的数学思维空间，培养他们的空间想象力。
【教学内容】1. 各种简单立体图形的拼接方法；2. 空间图形的展开与折叠；3. 利用展开图形计算表面积和体积。
【教学步骤】Step 1：引导学生观察和讨论通过展示多种立体图形的实物，引导学生观察各个面、边和顶点的数量，让他们发现立体图形的拼接规律。
Step 2：立体图形的拼接向学生展示不同的简单立体图形，让他们使用纸板或其他材料进行拼接，体验不同图形之间的组合，培养他们的空间想象力。
Step 3：立体图形的展开与折叠引导学生通过观察不同立体图形的展开图形，发现展开图形的特点，然后进行折叠恢复成三维图形，进一步理解图形的几何性质。
Step 4：探究表面积和体积的计算将学生准备好的立体图形展开后，引导他们计算各个面的面积，并通过对应三维图形的拼接方式，计算整个立体图形的表面积。
同时，让学生计算折纸后的立体图形的体积。
Step 5：例题演练和小结给予学生一些例题进行巩固和练习，然后进行思维导图或小结，总结本节课的重点与难点。
【教学特点与亮点】1. 通过实物展示和拼接，加强学生对立体图形的认识和空间想象力的培养；2. 利用展开图形计算表面积和体积，使学生能够将数学知识应用于实际问题；3. 通过计算和练习，巩固学生对立体图形的理解，培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
教案二：函数的图像与映射关系探究【教学目标】通过分析函数的图像与映射关系，帮助学生理解数学中的映射概念，拓宽学生的数学思维空间。
【教学内容】1. 函数的概念和性质；2. 各种简单函数的图像特点；3. 函数与映射关系的探究。
【教学步骤】Step 1：引入函数的概念通过生活实例，引导学生理解函数的定义和各个要素，如自变量、因变量和对应关系，激发他们对函数的兴趣并能够简单地描述函数的特征。
初中数学拓展性教案一、教学背景平面几何是初中数学的重要内容，通过对称问题，可以培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
本节课通过对称问题，让学生进一步理解几何图形的性质，提高解决问题的能力。
二、教学目标1. 理解对称的概念，掌握对称的性质和判定方法。
2. 能够运用对称性质解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的抽象思维能力和创新意识。
三、教学内容1. 对称的定义和性质2. 对称的判定方法3. 对称在实际问题中的应用四、教学过程1. 导入：通过展示一些生活中的对称现象，如剪纸、建筑等，引导学生关注对称现象，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：介绍对称的定义和性质，让学生理解对称的概念，掌握对称的性质。
3. 案例分析：给出一些对称的图形，让学生判断其是否为对称图形，并说明理由。
4. 练习巩固：让学生运用对称性质解决实际问题，提高解决问题的能力。
5. 拓展提高：引导学生思考对称在实际问题中的应用，如设计图案、优化路线等。
6. 总结反馈：对本节课的内容进行总结，了解学生的掌握情况，及时进行反馈。
五、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索、发现问题，培养学生的创新意识。
2. 利用多媒体辅助教学，展示对称图形，直观地理解对称的性质。
3. 注重练习的巩固，让学生在实践中提高解决问题的能力。
4. 鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的团队合作精神。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习作业：检查学生的练习作业，了解学生对对称知识的掌握情况。
3. 学生互评：让学生相互评价，促进学生的自我提高。
七、教学反思本节课通过对称问题，让学生进一步理解几何图形的性质，提高解决问题的能力。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行反馈，提高教学效果。
同时，要注重培养学生的创新意识和团队合作精神，提高学生的综合素质。
初中数学扩展活动教案模板教学目标：1. 让学生理解和掌握勾股定理的证明和应用。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
3. 激发学生对数学的兴趣和探索精神。
教学内容：1. 勾股定理的证明：通过观看视频或讲解，让学生了解和掌握勾股定理的证明方法。
2. 勾股定理的应用：通过举例和练习，让学生学会如何运用勾股定理解决实际问题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用多媒体展示勾股定理的证明动画，引起学生的兴趣。
2. 提问：什么是勾股定理？它有什么实际应用？二、探究勾股定理的证明（15分钟）1. 分组讨论：让学生分组，每组尝试用自己的方法证明勾股定理。
2. 分享成果：每组选出一名代表，向全班展示自己的证明方法。
3. 教师点评：对学生的证明方法进行点评，引导学生理解和掌握勾股定理的证明。
三、应用勾股定理解决实际问题（15分钟）1. 举例：教师出示一些实际问题，如测量直角三角形的斜边长度等，让学生运用勾股定理解决。
2. 练习：学生自主完成一些关于勾股定理的应用题，巩固所学知识。
3. 分享解题过程：选取几名学生，让他们分享自己解决问题的过程和心得。
四、拓展活动（15分钟）1. 自主探究：让学生自己选择一个与勾股定理相关的课题，进行自主探究。
2. 展示成果：学生将自己的探究成果以PPT或手抄报的形式展示给大家。
3. 教师点评：对学生的探究成果进行点评，鼓励学生的创新精神。
五、总结与反思（5分钟）1. 学生总结：让学生回顾本节课所学内容，总结自己的收获。
2. 教师反思：教师对课堂教学进行反思，提出改进措施。
教学评价：1. 学生课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和表现，评价学生的参与度。
2. 学生作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评价学生对知识的理解和掌握程度。
3. 学生拓展活动表现：评价学生在拓展活动中的表现，激发学生的创新精神和实践能力。
初一数学组拓展性课程案例-CAL-FENGHAI-(2O2OYEAR-YICAI)|J分类讨论思想运用与数学拓展课课例的实践研究东林中学一一初一年级组关键词：运用数学方法分类讨论思想实践研究的反思教科研成果的引成数学思想方法是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是人脑思维加工的产物，是人们对现实世界空间形式和数量关系的本质的认识，是数学概念、法则、公式、公理、定理等知识的提升。
数学思想方法反映了这些知识的共同本质，具有更高的概括性和抽象性，因而更深刻、更本质。
而数学思想方法的应用对数学教学具有更高的实践意义和价值。
《新课程标准》中明确指出“不仅要关注学生对数学知识、技能、思想方法的掌握，关注其数学能力的发展，而且要有助于学生体验数学的思维方式和方法，形成良好的数学思维品质，促使学生的数学素质得到全面提高”。
对数学思想方法也有了明确的要求，知道数学思想方法在进行数学思考和解决问题中的作用，逐步体会字母表示数的思想、化归思想、方程思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、分解与组合思想等基本数学思想。
基于上述标准，可见中学阶段对学生在数学基本知识、基本技能基础上，对学生进行数学思想方法教育的重要地位。
而“渗透”、“介绍”、“运用”数学思想方法必须要靠教师有意识的去“挖掘”、“体现”、“拓展”和“提升”。
数学方法的要点：关注过程性变式与数学课例的研究著名数学家奥苏贝尔指出，“合理的联系”就是要寻找可以关联新旧知识的“知识固着点”，就是要找到合适的铺垫。
而关注过程性变式正是让学生学会运用数学思想方法的关键。
“合理的联系”实践可表示为：一、根据学生解题的认知局限，培养学生分类讨论的意识。
二、遵循学生的认知规律，让学生掌握分类讨论的正确方法。
三、进行专题性、系统性训练，提升学生分类讨论的能力。
第1讲分类讨论方法在绝对值中的应用当一个数学问题涉及多种情况，有时可按某一标准把这个问题分成若干种不同的情况，然后对每一种情况分别进行讨论，这种分析、分类、讨论、归纳的解题方法就是分类讨论的方法。
数学拓展思维探究初中教案课程目标：1. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
2. 引导学生从不同的角度思考问题，培养学生的创新意识。
3. 通过对数学问题的探究，提高学生的逻辑推理和归纳总结能力。
教学内容：1. 数的运算：平方数、立方数、四次方数等。
2. 几何图形：三角形、四边形、圆等。
3. 数学公式：勾股定理、平方根公式等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 老师通过展示一些有趣的数学问题，引起学生的兴趣，例如：一个数字的平方等于它的两倍，这个数字是多少？2. 学生尝试解答问题，老师引导学生思考问题的不同解决方法。
二、数的运算（15分钟）1. 老师引导学生探究平方数、立方数、四次方数等概念，让学生通过计算和观察，发现其中的规律。
2. 学生进行计算和观察，分享自己的发现。
3. 老师引导学生总结平方数、立方数、四次方数的性质和规律。
三、几何图形（15分钟）1. 老师引导学生探究三角形、四边形、圆等几何图形的性质和关系。
2. 学生通过观察和操作，发现几何图形中的规律。
3. 老师引导学生总结几何图形的性质和规律。
四、数学公式（15分钟）1. 老师引导学生探究勾股定理、平方根公式等数学公式的推导过程。
2. 学生进行公式的推导和验证，分享自己的成果。
3. 老师引导学生总结数学公式的推导方法和应用。
五、创新思维（15分钟）1. 老师引导学生从不同的角度思考问题，培养学生的创新意识。
2. 学生尝试用不同的方法解决问题，分享自己的思考过程。
3. 老师引导学生总结创新思维的方法和重要性。
六、总结（5分钟）1. 老师引导学生回顾本节课的学习内容，总结数的运算、几何图形、数学公式和创新思维的探究过程。
2. 学生分享自己的学习收获和感悟。
教学评价：1. 通过课堂表现、作业和探究报告，评价学生在数学拓展思维探究中的表现。
2. 结合学生的反馈和教学目标，对教学内容和教学方法进行调整和改进。
以上是一篇关于数学拓展思维探究的初中教案，希望能对你的教学有所帮助。
初一数学组拓展性课程案例-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN分类讨论思想运用与数学拓展课课例的实践研究东林中学——初一年级组关键词：运用数学方法分类讨论思想实践研究的反思教科研成果的引成数学思想方法是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是人脑思维加工的产物，是人们对现实世界空间形式和数量关系的本质的认识，是数学概念、法则、公式、公理、定理等知识的提升。
数学思想方法反映了这些知识的共同本质，具有更高的概括性和抽象性，因而更深刻、更本质。
而数学思想方法的应用对数学教学具有更高的实践意义和价值。
《新课程标准》中明确指出“不仅要关注学生对数学知识、技能、思想方法的掌握，关注其数学能力的发展，而且要有助于学生体验数学的思维方式和方法，形成良好的数学思维品质，促使学生的数学素质得到全面提高”。
对数学思想方法也有了明确的要求，知道数学思想方法在进行数学思考和解决问题中的作用，逐步体会字母表示数的思想、化归思想、方程思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、分解与组合思想等基本数学思想。
基于上述标准，可见中学阶段对学生在数学基本知识、基本技能基础上，对学生进行数学思想方法教育的重要地位。
而“渗透”、“介绍”、“运用”数学思想方法必须要靠教师有意识的去“挖掘”、“体现”、“拓展”和“提升”。
数学方法的要点：关注过程性变式与数学课例的研究著名数学家奥苏贝尔指出，“合理的联系”就是要寻找可以关联新旧知识的“知识固着点”，就是要找到合适的铺垫。
而关注过程性变式正是让学生学会运用数学思想方法的关键。
“合理的联系”实践可表示为：课程目标一、根据学生解题的认知局限，培养学生分类讨论的意识。
二、遵循学生的认知规律，让学生掌握分类讨论的正确方法。
三、进行专题性、系统性训练，提升学生分类讨论的能力。
课程实施第1讲 分类讨论方法在绝对值中的应用当一个数学问题涉及多种情况，有时可按某一标准把这个问题分成若干种不同的情况，然后对每一种情况分别进行讨论，这种分析、分类、讨论、归纳的解题方法就是分类讨论的方法。
分类讨论要根据引发讨论的原因，确定讨论的对象及分类的方法，分类讨论时要做到不遗漏、不重复。
同时，分类讨论还要善于观察分析，善于根据事物的特征和规律，把握分类的标准，做到正确分类。
其中的关键是确定分类的标准。
例1、化简 a a + （a 为实数）。
分析：对于a 应分三种情况讨论： ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000a a a a a a ， ， ， 解：原式⎪⎩⎪⎨⎧<=+-==+>=+=），（），（），（00000002a a a a a a a a例2、化简a +2 （a 为实数）。
解：分类：令02=+a ，则2-=a ,原式⎪⎩⎪⎨⎧-<--=+--=->+=），（），（），（22)2(2022a a a a a a例3、化简：12++-x x 。
分析：先求界点。
由02=-x ，得2=x ； 由01=+x ，得1-=x 。
借助数轴分类：解：原式⎪⎩⎪⎨⎧-<--=+---≤≤-=++-->-=++-=），（），（），（112)1()2(2131)2(2112x x x x x x x x x x例4、解关于x 的方程ax x 8121-=-。
分析：由a x x 82-=-得41=a ， 显然41=a 为界点。
解：（1）当41=a 时，原方程的解为2≠x 的一切实数； （2）当41≠a 时，原方程化为)8(2a x x -±=-， 由a x x 82-=-得41=a ，矛盾，舍去； 由)8(2a x x --=-得14+=a x ， 综上可见：41=a 时，原方程的解为2≠x 的一切实数； 41≠a 时，原方程的解为14+=a x 。
反思：分类讨论方法是一种重要的数学方法，也是一种重要的解题策略，许多数学问题很难从整体上去解决，但只要将其划分为所包含的各个局部问题，就可以逐个解决，分类讨论的思想实质上就是各个击破的策略。
其思维过程是：分析题意 确定分类 逐个解决 归纳总结作业：1、a 为实数，化简a a 2-。
2、x 为实数，化简52++-x x 。
3、解关于x 的方程6121-=-x a x （a 为实数）。
答案：1、 原式⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-=），（），（），（03000a a a a a2、 界点：5-=x ，2=x 。
当2>x 时，原式3252+=++-=x x x ；当25≤≤-x 时，原式752=++-=x x ；当5-<x 时，原式32)5(2--=+--=x x x 。
3、 由62-=-x a x 得3=a ， 显然3=a 为界点。
当3=a 时，原方程的解为6≠x 的一切实数；当3≠a 时，原方程转化为)6(2-±=-x a x ，由62-=-x a x 得3=a ，矛盾，舍去；由)6(2--=-x a x 得3-=a x 。
归纳可见：3=a 时，原方程的解为6≠x 的一切实数；3≠a 时，原方程的解为3-=a x 。
考察第一次讲授时分类讨论方法导入时简单例子较多，第二次讲授时作了提炼。
第一次讲授时例4为：化简3221-+--+x x x ，评课时大家认为初一学生在探究例4时要求太高，为此引用了解x 的方程ax x 8121-=-让学生在化简时学会运用分类方法，也学会运用分类方法去解方程中涉及到的问题，让学生亲身感受这一过程的变式是发展、提升运用数学方法的关键。
第71讲最后的反思再一次明确分类讨论方法思维的过程，可谓画龙点睛，实现了从具体简单到变式复杂，从抽象理论到实践运用，从具体实践到抽象理论之间的铺排。
第2讲 分类讨论方法在线段和角中的应用例1、如图，在射线OM 上有三点A 、B 、C ，满足OA=20cm ，AB=60cm ，BC=10cm （如图所示），点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/s 的速度匀速运动，点Q 从点C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动（点Q 运动到点O 时停止运动），两点同时出发．（1）当PA=2PB 时，点Q 运动到的位置恰好是线段AB 的三等分点，求点Q 的运动速度．（2）若点Q 运动速度为3cm/s ，经过多长时间P 、Q 两点相距70cm ．（3）当点P 运动到线段AB 上时，分别取OP 和AB 的中点E 、F ，求的值．解：（1）①当P在线段AB上时，由PA=2PB及AB=60，可求得PA=40，OP=60，故点P运动时间为60秒．若AQ=时，BQ=40，CQ=50，点Q的运动速度为50÷60=（cm/s）；若BQ=时，BQ=20，CQ=30，点Q的运动速度为30÷60=（cm/s）．②点P在线段AB延长线上时，由PA=2PB及AB=60，可求得PA=120，OP=140，故点P运动时间为140秒．若AQ=时，BQ=40，CQ=50，点Q的运动速度为50÷140=（cm/s）；若BQ=时，BQ=20，CQ=30，点Q的运动速度为30÷140=（cm/s）．（2）设运动时间为t秒，则t+3t=90±70，t=5或40，∵点Q运动到O点时停止运动，∴点Q最多运动了30秒，当点Q运动到点O时停止运动，故经过5秒两点相距70cm．（3）如图1，设OP=xcm，点P在线段AB上，20≤x≤80，OB-AP=80-（x-20）=100-x，EF=OF-OE=（OA+AB）-OE=（20+30）-=50-，∴==2．如图2，设OP=xcm，点P在线段AB上，20≤x≤80，OB-AP=80-（x-20）=100-x，EF=OF-OE=（OA+AB）-OE=（20+30）-=50-，∴==2．分析：此题较为复杂，但仔细阅读，读懂题意根据速度公式就可求解．（1）从题中我们可以看出点P及Q是运动的，不是静止的，当PA=2PB时实际上是P正好到了AB的三等分点上，而且PA=40，PB=20．由速度公式就可求出它的运动时间，即是点Q的运动时间，点Q运动到的位置恰好是线段AB 的三等分点，这里的三等分点是二个点，因此此题就有二种情况，分别是AQ=时，BQ=时，由此就可求出它的速度．（2）若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm，这也有两种情况即当它们相向而行时，和它们直背而行时，此题可设运动时间为t 秒，按速度公式就可解了．（3）此题就可把它当成一个静止的线段问题来解决了，但必须借助图形．点评：做这类题时学生一定要认真仔细地阅读，利用已知条件求出未知值．学生平时就要培养自己的思维能力．而且要图形结合，与生活实际联系起来，也可以把此题当成一道路程题来对待．例2：如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．(1)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；(2)将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为_____秒(直接写出结果)；(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．解：（1）已知∠AOC=60°，所以∠BOC=120°，又OM平分∠BOC，∠COM=∠BOC=60°所以∠CON=∠COM+90°=150°（2）当直线ON与OA重合时，MN恰好与射线OC平行，∴∠AOM=90°，由题意得，10t=90°∴t=9∵∠ONM=60°∴当∠COM=30°时，MN恰好与射线OC平行∴∠NOM=270°由题意得，10t=270°∴t=27延长NO，∵∠BOC=120°∴∠AOC=60°，当直线ON恰好平分锐角∠AOC，∴∠AOD=∠COD=30°，即顺时针旋转300°时NO延长线平分∠AOC，由题意得，10t=300°∴t=30，当NO平分∠AOC，∴∠NOR=30°，即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC，∴10t=120°，∴t=12，∴t=12或30；（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°－∠AON∠NOC=60°－∠AON所以∠AOM－∠NOC=（90°－∠AON）－（60°－∠AON）=30°，所以∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM－∠NOC=30°分析：此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键作业：1、OA,OB,OC是从同一端点O引出的三条不同射线。
