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课题：初中数学拓展课——《探索生活中的数学问题》一、教学目标1. 知识与技能：（1）通过本节课的学习，学生能够了解数学在生活中的应用，提高解决实际问题的能力；（2）掌握探索数学问题的方法，培养学生的观察、分析、归纳、推理等思维能力。
2. 过程与方法：（1）通过观察、讨论、实验等方式，让学生在探究过程中发现问题、分析问题、解决问题；（2）通过小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，提高学生应用数学解决实际问题的意识；（2）培养学生的创新精神和实践能力，增强学生的社会责任感。
二、教学重难点1. 教学重点：引导学生发现生活中的数学问题，运用所学知识解决实际问题；2. 教学难点：培养学生运用数学知识分析、解决问题的能力。
三、教学过程1. 导入（1）教师简要介绍数学在生活中的应用，激发学生学习兴趣；（2）提问：同学们在生活中遇到过哪些数学问题？如何解决的？2. 探究活动（1）分组讨论：每个小组选择一个生活中的数学问题进行探究；（2）教师巡视指导，解答学生在探究过程中遇到的问题；（3）各小组汇报探究结果，分享解决方法。
3. 案例分析（1）教师展示一个生活中的数学问题，引导学生分析问题、解决问题；（2）学生分组讨论，提出解决方案；（3）各小组展示方案，教师点评、总结。
4. 实践应用（1）教师给出一个实际情境，让学生运用所学知识解决问题；（2）学生独立完成，教师巡视指导；（3）学生展示解决方案，教师点评、总结。
5. 总结与反思（1）教师引导学生总结本节课所学内容，强调数学在生活中的应用；（2）学生分享自己的收获，提出改进意见。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、合作意识、表达能力等；2. 实践应用：评价学生在解决实际问题时运用数学知识的能力；3. 反思总结：评价学生对本节课所学内容的理解和运用情况。
五、教学反思1. 教师根据课堂表现、实践应用和反思总结，调整教学策略，提高教学质量；2. 关注学生的个体差异，因材施教，激发学生的学习兴趣；3. 注重培养学生的创新精神和实践能力，提高学生的综合素质。
初中数学拓展课的课程教案课程目标：1. 理解对称的概念，掌握对称的性质和判定方法；2. 能够运用对称性解决实际问题；3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
教学内容：1. 对称的定义和性质；2. 对称的判定方法；3. 对称性在实际问题中的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的几何知识，如点、线、面的基本概念；2. 提问：同学们认为什么是对称？对称有哪些性质？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解对称的定义：对称是指图形相对于某个中心点或轴线，两部分完全一致的性质；2. 讲解对称的性质：对称图形的大小、形状、角度等均不变；3. 讲解对称的判定方法：通过对称轴线将图形分为两部分，判断两部分是否完全一致。
三、案例分析（10分钟）1. 展示几个具有对称性的几何图形，如正方形、矩形、圆等；2. 引导学生分析这些图形的对称性质，并画出对称轴线；3. 让学生尝试解决一些与对称性相关的问题，如已知一个四边形是轴对称的，求证它是平行四边形。
四、课堂练习（10分钟）1. 布置一些有关对称性的练习题，让学生独立完成；2. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。
五、拓展与应用（10分钟）1. 引导学生思考对称性在实际问题中的应用，如建筑设计、艺术创作等；2. 让学生举例说明对称性在生活中的应用，并进行交流分享。
六、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结对称的定义、性质和判定方法；2. 提问：同学们认为对称性在数学和其他领域有哪些重要性？教学评价：1. 课后收集学生的课堂练习作业，评估学生对对称知识的理解和应用能力；2. 在下一节课开始时，让学生进行简要的课堂分享，了解他们对对称性在实际问题中的应用情况。
教学资源：1. 教材或教辅资料中关于对称性的相关内容；2. 几何图形模型或图片；3. 练习题和案例分析题。
教学建议：1. 在讲解对称性质时，可以结合具体的图形进行演示，帮助学生更好地理解；2. 在案例分析环节，鼓励学生积极参与，培养他们的空间想象能力和逻辑思维能力；3. 在课堂练习环节，注意难度的适中，让学生在掌握基础知识的基础上进行拓展。
初一数学教案引导学生进行数学创新和拓展导言：数学是一门复杂而又有趣的学科，它不仅培养了学生的逻辑思维能力，还能引导学生进行创新和拓展。
在初一阶段，培养学生的数学兴趣和创新能力是至关重要的。
本教案旨在通过一系列的教学活动，引导初一学生进行数学创新和拓展。
【活动一】数学积木游戏（拓展思维）目标：培养学生的空间想象力和创新思维能力。
材料：数学积木，纸张，笔。
步骤：1. 将学生分成小组，每个小组分发数学积木和纸张。
2. 老师出示一幅简单的图形，要求学生使用数学积木搭建出与图形相同的结构。
3. 学生们思考并用积木搭建，团队内可以进行讨论和合作。
4. 每个小组完成后，让学生们展示他们的作品，并解释他们是如何使用积木来实现的。
5. 鼓励学生们进一步思考，使用数学积木创造出自己的图形，并进行展示和分享。
【活动二】数学创意写作（拓展应用）目标：培养学生的数学创造力和表达能力。
材料：纸张，笔。
步骤：1. 让学生们选择一个数学概念（例如，平行线、三角形等）作为主题。
2. 学生们运用自己的想象力和创造力，写一篇以选择的数学概念为主题的短篇故事或诗歌。
3. 学生们可以将数学概念融入情节中，使故事或诗歌更加有趣。
4. 鼓励学生们在写作过程中运用数学术语和概念，展示他们对数学的理解和创新。
5. 学生们可以在班级内互相分享他们的作品，并进行欣赏和评价。
【活动三】数学研究课题（创新拓展）目标：培养学生的独立思考和解决问题的能力。
材料：计算器，尺子，纸张，笔。
步骤：1. 鼓励学生们选择一个数学问题或课题进行研究。
例如：质数的规律、约数的性质等。
2. 学生们使用计算器、尺子等工具进行实地观察和实验。
3. 学生们记录实验结果，并进行数据分析和总结。
4. 学生们撰写一篇关于他们研究课题的报告，包括研究目的、方法和结论等。
5. 学生们可以在班级内进行报告展示和讨论，分享他们的研究成果。
结语：通过以上的教学活动，可以培养初一学生的数学创新和拓展能力。
初一数学组拓展性课程案例-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN分类讨论思想运用与数学拓展课课例的实践研究东林中学——初一年级组关键词：运用数学方法分类讨论思想实践研究的反思教科研成果的引成数学思想方法是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是人脑思维加工的产物，是人们对现实世界空间形式和数量关系的本质的认识，是数学概念、法则、公式、公理、定理等知识的提升。
数学思想方法反映了这些知识的共同本质，具有更高的概括性和抽象性，因而更深刻、更本质。
而数学思想方法的应用对数学教学具有更高的实践意义和价值。
《新课程标准》中明确指出“不仅要关注学生对数学知识、技能、思想方法的掌握，关注其数学能力的发展，而且要有助于学生体验数学的思维方式和方法，形成良好的数学思维品质，促使学生的数学素质得到全面提高”。
对数学思想方法也有了明确的要求，知道数学思想方法在进行数学思考和解决问题中的作用，逐步体会字母表示数的思想、化归思想、方程思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、分解与组合思想等基本数学思想。
基于上述标准，可见中学阶段对学生在数学基本知识、基本技能基础上，对学生进行数学思想方法教育的重要地位。
而“渗透”、“介绍”、“运用”数学思想方法必须要靠教师有意识的去“挖掘”、“体现”、“拓展”和“提升”。
数学方法的要点：关注过程性变式与数学课例的研究著名数学家奥苏贝尔指出，“合理的联系”就是要寻找可以关联新旧知识的“知识固着点”，就是要找到合适的铺垫。
而关注过程性变式正是让学生学会运用数学思想方法的关键。
“合理的联系”实践可表示为：课程目标一、根据学生解题的认知局限，培养学生分类讨论的意识。
二、遵循学生的认知规律，让学生掌握分类讨论的正确方法。
三、进行专题性、系统性训练，提升学生分类讨论的能力。
课程实施第1讲 分类讨论方法在绝对值中的应用当一个数学问题涉及多种情况，有时可按某一标准把这个问题分成若干种不同的情况，然后对每一种情况分别进行讨论，这种分析、分类、讨论、归纳的解题方法就是分类讨论的方法。
教学案例——《实际问题与一元一次不等式》教学片段一、案例实施背景本节课是我在“参与式”教学活动中的一节观摩课，所用教材为人教版义务教育课程标准实验教科书七年级数学（下册）。
二、案例主题：数学课堂以学生为中心，激励学生积极参与教学，关注每个学生发展。
三、教学案例我在教学过程进行到课堂练习环节时，出示了一道拓展思维的例题，随着教学过程的深入，“意外”发生了。
例题：某学校决定组织52人的夏令营活动，需要乘车前往。
汽车租赁公司租车价格如下表：请你帮助设计一下：在严禁超载的情况下，怎样的租车才能使所付租金最少？……师：谁能交流一下自己的设计方案？（学生都在冥思苦想着）突然间，我发现一名平时学习较困难的学生这次第一个忐忑地举起了手。
我很惊奇，便马上让他发言了。
）生：我认为可以租大车，可以租小车，也可以大车和小车合租！（这时，教室里冒出细细地哄笑声，这位学生顿时满面通红有些难堪，想坐下去，我赶紧制止。
）师：很好！你为他们设计了三种方案。
那你能不能再具体为他们计算出租金呢？（此时，大家都向他投来惊异的目光。
）生（镇定了许多）：如果租大车，则需要车辆数为52÷12=4.3辆，因为不能超载，所以租大车需5辆，则所付租金要5×70=350元。
如果租小车，则需要车辆数为52÷4=13辆，则所付租金要13×30=390元。
如果既租大车又租小车……（说到这里，该生卡了壳。
我边认真听，边将他的方案结论板书在黑板上，这时其它同学都仔细地听着，会意地边点头边随声附和着，看见卡了壳，便赶紧答上话）师：刚才李小辉同学真的不错，不但一下子设计了三种方案，还差不多完成了全部租金的计算，我和全班同学都为你今天的表现感到非常高兴（教室里爆发出一片雷鸣般的掌声，这是同学们和我一样对他赞叹的流露）。
要自信，有勇气展示自己，你今天的表现就非常非常地出色，你今后的表现一定会更出色。
好，下面我就让我们一同把剩下的一种方案的租金来完成吧。
一、教学目标1. 知识与技能：通过拓展活动，使学生进一步理解数学概念，掌握数学方法，提高数学思维能力。
2. 过程与方法：培养学生观察、分析、推理、归纳等能力，提高学生的创新意识和实践能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生热爱数学、勇于探索的精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：拓展学生对数学知识的理解，提高学生的数学思维能力。
2. 教学难点：引导学生进行创新性思维，解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课（1）回顾已学知识，激发学生学习兴趣。
（2）提出本节课的学习目标。
2. 拓展活动（1）创设情境，引入问题。
（2）分组讨论，探究问题。
（3）学生展示，教师点评。
（4）总结归纳，深化理解。
3. 实践应用（1）设计实际问题，引导学生运用所学知识解决。
（2）学生独立完成，教师巡视指导。
（3）学生展示解题过程，教师点评。
4. 总结与反思（1）回顾本节课所学内容，总结重点难点。
（2）引导学生反思自己的学习过程，提出改进措施。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、积极性，评价学生的合作意识和团队精神。
2. 作业完成情况：检查学生课后作业的完成质量，评价学生的学习效果。
3. 实践应用：观察学生在实际问题中的应用能力，评价学生的创新意识和实践能力。
五、教学反思1. 教学目标的达成情况。
2. 教学过程中的亮点与不足。
3. 学生在学习过程中的表现。
4. 教学方法的改进措施。
以下为具体的教学内容示例：课题：勾股定理的应用一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决实际问题。
2. 过程与方法：培养学生观察、分析、推理、归纳等能力，提高学生的创新意识和实践能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生热爱数学、勇于探索的精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：勾股定理的推导和应用。
2. 教学难点：运用勾股定理解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课（1）回顾已学知识，如勾股数、直角三角形等。
七年级数学拓展课程奇趣数学编写初一集备组第一讲：奇趣数学第二讲：火柴游戏第三讲：三大几何难题第四讲：巴霍姆的故事第五讲：黄金分割第六讲：染色问题第七讲：抽屉原则第八讲：欧拉公式与正多面体的制作第九讲：欧拉公式与足球第十讲：设计制作长方体形状的包装纸盒第十一讲：数独第十二讲：柯克曼女生问题第十三讲：24道名人名题（一）第十四讲：24道名人名题（二）第十五讲：数学巨匠第一讲：奇趣数学1、蝴蝶效应气象学家Lorenz提出一篇论文，名叫「一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在Taxas州引起龙卷风？」论述某系统如果初期条件差一点点，结果会很不稳定，他把这种现象戏称做「蝴蝶效应」。
就像我们投掷骰子两次，无论我们如何刻意去投掷，两次的物理现象和投出的点数也不一定是相同的。
Lorenz为何要写这篇论文呢？这故事发生在1961年的某个冬天，他如往常一般在办公室操作气象电脑。
平时，他只需要将温度、湿度、压力等气象数据输入，电脑就会依据三个内建的微分方程式，计算出下一刻可能的气象数据，因此模拟出气象变化图。
这一天，Lorenz想更进一步了解某段纪录的後续变化，他把某时刻的气象数据重新输入电脑，让电脑计算出更多的後续结果。
当时，电脑处理数据资料的数度不快，在结果出来之前，足够他喝杯咖啡并和友人闲聊一阵。
在一小时後，结果出来了，不过令他目瞪口呆。
结果和原资讯两相比较，初期数据还差不多，越到後期，数据差异就越大了，就像是不同的两笔资讯。
而问题并不出在电脑，问题是他输入的数据差了0.000127，而这些微的差异却造成天壤之别。
所以长期的准确预测天气是不可能的。
参考资料：阿草的葫芦(下册)——远哲科学教育基金会问题：听了这个故事，你有什么感想2、动物中的数学“天才”蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。
组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。
课题名称： [具体数学知识点或问题]教学目标：1. 知识与技能目标：- 学生能够理解并掌握[具体知识点或问题]的相关概念和原理。
- 学生能够运用[具体知识点或问题]解决实际问题。
2. 过程与方法目标：- 通过小组合作、探究学习等方式，培养学生独立思考和解决问题的能力。
- 通过实际问题分析，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观目标：- 培养学生对数学的兴趣和热爱，激发学生的求知欲。
- 培养学生严谨求实的科学态度和团队合作精神。
教学重点：- [具体知识点或问题]的核心概念和原理。
教学难点：- [具体知识点或问题]在实际问题中的应用。
教学准备：- 教师准备相关教学材料，如PPT、教学视频、练习题等。
- 学生准备笔记本、笔等学习用品。
教学过程：一、导入新课（5分钟）1. 创设情境，激发兴趣：- 通过生活实例或趣味问题引入本节课的主题。
- 例如，展示生活中的几何图形，引导学生思考这些图形的特点和规律。
2. 回顾旧知，为新知做铺垫：- 回顾与新课相关的旧知识点，如三角形、四边形等，为学习新知识做好铺垫。
二、探究新知（20分钟）1. 小组合作，共同探究：- 将学生分成小组，每组围绕一个探究主题进行讨论。
- 例如，探究三角形内角和的性质。
2. 教师指导，重点讲解：- 针对学生在探究过程中遇到的问题，教师进行重点讲解和指导。
- 例如，讲解三角形内角和定理的证明过程。
3. 互动交流，分享成果：- 各小组分享探究成果，其他小组进行补充和评价。
- 教师对学生的探究成果进行点评和总结。
三、巩固练习（15分钟）1. 完成课堂练习题：- 学生独立完成教师布置的练习题，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导：- 教师巡视教室，解答学生在练习过程中遇到的问题。
四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容：- 教师引导学生回顾本节课的重点知识和方法。
2. 布置课后作业：- 布置与新课相关的课后作业，巩固学生的知识。
初中数学拓展性课程优秀案例动手实践类---玩转三角形中的翻折问题湖州市第十一中学教育集团杨建雅徐会星第二课时：折叠三角形一、教学目标知识与技能：让学生理解折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．过程与方法：1、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，能画出折叠前后的图形，便于找到图形之间的数量关系和位置关系．2、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．情感态度与价值观：学生通过自己动手操作、画图来解决问题，激发了学生主动学习的兴趣。
二、教学重点和难点重点：让学生理解折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换，通过折叠的性质解决问题。
难点：对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，能画出折叠前后的图形，便于找到图形之间的数量关系和位置关系．三、教学过程问题1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，D、E分别在AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使得点A与点C重合，则折痕DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据折叠得出AE=CE，又因为∠DEA=∠ACB，推出△AED∽△ACB，得出比例式，即可求出答案。
【解答】解：∵将△ABC沿DE折叠，使得点A与点C重合，∠ACB=90°，∴AE=CE，∠DEA=90°，∴∠ACB=∠DEA，∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴==，∵BC=6，∴DE=3，故选B．问题2.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°．将△ABC沿BE折叠，使点C落在AB上的D处，折痕为BE．（1）若BC=6，AC=8，求CE的长．（2）若AD=BD，求∠A的度数．【分析】（1）利用勾股定理即可求得斜边AB的长，设CE=x，然后在直角△ADE中利用勾股定理即可列方程求得x的值；(2)易证ED是AB的中垂线，则∠ABE=∠A，然后根据折叠的性质可得∠ABE=∠CBE，根据三角形内角和定理即可求解。
初中数学拓展型课程课堂教学设计方案1. 引言本文档旨在提供一份初中数学拓展型课程的课堂教学设计方案。
该方案旨在帮助学生进一步拓展数学知识和技能，提高问题解决能力和创新思维能力。
2. 教学目标- 培养学生对数学的兴趣和热爱- 拓展学生的数学知识面，提高数学思维能力- 增强学生的问题解决能力和创新意识- 培养学生的团队合作和沟通能力3. 教学内容本课程将涵盖以下拓展型数学内容：- 几何推理与证明- 概率与统计- 代数与方程- 数论与数列4. 教学方法为了达成教学目标，将采用以下教学方法：- 探究式研究：通过让学生参与到问题的探究中，培养其自主研究和发现问题的能力。
- 合作研究：通过小组合作研究来促进学生的合作能力和沟通能力，并通过互相讨论和分享解题思路来促进彼此的研究。
- 相关性教学：将数学知识与实际生活相结合，通过举例和实际应用来帮助学生更好地理解和应用数学。
5. 教学评估教学评估将采用多种形式，包括但不限于：- 课堂小测验：用于检测学生对知识点的掌握程度和理解能力。
- 项目作业：要求学生完成一些小组或个人项目，来展示他们的问题解决能力和创新思维能力。
- 课堂表现评价：对学生在课堂上的参与度、合作能力和表现进行评价。
6. 教学资源为支持教学活动，将准备以下教学资源：- 教科书和参考书籍- 幻灯片和教学演示素材- 课堂活动和小组讨论指南- 实际应用案例和题7. 教学时间安排本课程将按照以下时间安排进行：- 每周三个课时，每个课时40分钟- 共计12周，共计36个课时8. 总结通过初中数学拓展型课程的课堂教学设计方案，希望能够激发学生对数学的兴趣，拓展他们的数学能力，并培养他们的问题解决和创新能力。
同时，通过合作学习和实际应用，希望能够促进学生的合作和沟通能力。
最后，通过多样化的评估方式，来全面评价学生的学习情况和教学效果。
分类讨论思想运用与数学拓展课课例的实践研究东林中学——初一年级组关键词：运用数学方法分类讨论思想实践研究的反思教科研成果的引成数学思想方法是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是人脑思维加工的产物，是人们对现实世界空间形式和数量关系的本质的认识，是数学概念、法则、公式、公理、定理等知识的提升。
数学思想方法反映了这些知识的共同本质，具有更高的概括性和抽象性，因而更深刻、更本质。
而数学思想方法的应用对数学教学具有更高的实践意义和价值。
《新课程标准》中明确指出“不仅要关注学生对数学知识、技能、思想方法的掌握，关注其数学能力的发展，而且要有助于学生体验数学的思维方式和方法，形成良好的数学思维品质，促使学生的数学素质得到全面提高” 。
对数学思想方法也有了明确的要求，知道数学思想方法在进行数学思考和解决问题中的作用，逐步体会字母表示数的思想、化归思想、方程思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、分解与组合思想等基本数学思想。
基于上述标准，可见中学阶段对学生在数学基本知识、基本技能基础上，对学生进行数学思想方法教育的重要地位。
而“渗透” 、“介绍”、“运用”数学思想方法必须要靠教师有意识的去“挖掘”、“体现”、“拓展”和“提升” 。
数学方法的要点：关注过程性变式与数学课例的研究著名数学家奥苏贝尔指出，“合理的联系”就是要寻找可以关联新旧知识的“知识固着点”，就是要找到合适的铺垫。
而关注过程性变式正是让学生学会运用数学思想方法的关键。
“合理的联系”实践可表示为：课程目标一、根据学生解题的认知局限，培养学生分类讨论的意识。
二、遵循学生的认知规律，让学生掌握分类讨论的正确方法。
三、进行专题性、系统性训练，提升学生分类讨论的能力。
课程实施第 1 讲分类讨论方法在绝对值中的应用当一个数学问题涉及多种情况，有时可按某一标准把这个问题分成若干种不同的情况，然后对每一种情况分别进行讨论，这种分析、分类、讨论、归纳的解题方法就是分类讨论的方法。
分类讨论要根据引发讨论的原因，确定讨论的对象及分类的方法，分类讨论时要做到不遗漏、不重复。
同时，分类讨论还要善于观察分析，善于根据事物的特征和规律，把握分类的标准，做到正确分类。
其中的关键是确定分类的标准。
例 1、化简a a （ a 为实数）。
分析：对于 a 应分三种情况讨论：a ， a 0 a0 ， a 0a ，aaa2a ，（ a0）解：原式0 0 0，（ a 0） a a 0，（ a 0）例 2、化简2 a（ a 为实数）。
解：分类：令 2a 0 ，则 a2 ,a2，（ a 2）原式0，（ a2）(2 a)2 a ，（ a2）例 3、化简： x2x 1 。
分析：先求界点。
由 x 2 0，得x2； 由 x 1 0，得 x 1。
借助数轴分类：x2 x 1 1，（ x2）解：原式(x 2)x 1 3，（1 x 2） (x 2) ( x 1)，（ x ）2x 1 1 例 4、解关于 x 的方程11。
x2x8a分析：由 x 2x1 ， 显然 a 1 为界点。
8a 得 a414解：（ 1）当 ax2 的一切实数；时，原方程的解为4（ 2 ）当 a1 x2( x8a) ，时，原方程化为41由 x2 x 8a 得 a，矛盾，舍去；由 x 2( x 8a) 得 x4a 1 ，41综上可见： a 时，原方程的解为x2 的一切实数；41 a时，原方程的解为 x 4a 1。
4反思 ：分类讨论方法是一种重要的数学方法，也是一种重要的解题策略， 许多数学问题很难从整体上去解决， 但只要将其划分为所包含的各个局部问题， 就可以逐个解决， 分类讨论的思想实质上就是各个击破的策略。
其思维过程是：分析题意确定分类 逐个解决 归纳总结作业：1a 2a。
、 a 为实数，化简22 x x 5。
、 x 为实数，化简3x 11（ a 为实数）。
的方程x 6x 2a答案：a ，（ a 0） 1、 原式0，（ a0）3a ，（ a 0）2 、 界点： x5 ， x2 。
当 x 2 时，原式 x 2 x 5 2x 3 ；当 5 x 2 时，原式2 x x 5 7 ；当 x 5 时，原式 2 x (x5) 2x 3 。
3 、 由 x2ax 6 得 a 3 ， 显然 a 3 为界点。
当a3x6的一切实数；时，原方程的解为当 a 3时，原方程转化为x 2a ( x 6) ，由 x 2a x 6 得 a 3，矛盾，舍去；由x 2a( x 6) 得x a 3 。
归纳可见： a 3时，原方程的解为x 6 的一切实数；a3时，原方程的解为 x a 3 。
考察第一次讲授时分类讨论方法导入时简单例子较多，第二次讲授时作了提炼。
第一次讲授时例 4 为：化简x 1 2x2x 3 ，评课时大家认为初一学生在探究例 4 时要求太高，为此引用了解x 的方程112x 让学生在化简时学会运用分类方x8a法，也学会运用分类方法去解方程中涉及到的问题，让学生亲身感受这一过程的变式是发展、提升运用数学方法的关键。
第71 讲最后的反思再一次明确分类讨论方法思维的过程，可谓画龙点睛，实现了从具体简单到变式复杂，从抽象理论到实践运用，从具体实践到抽象理论之间的铺排。
第2 讲分类讨论方法在线段和角中的应用例1、如图，在射线OM上有三点A、B、C，满足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm（如图所示），点 P 从点 O 出发，沿 OM 方向以 1cm/s 的速度匀速运动，点Q 从点 C 出发在线段 CO 上向点 O 匀速运动（点Q 运动到点O 时停止运动），两点同时出发．（1 ）当 PA=2PB 时，点 Q 运动到的位置恰好是线段AB 的三等分点，求点Q 的运动速度．（ 2）若点 Q 运动速度为3cm/s ，经过多长时间P、 Q 两点相距70cm ．（ 3）当点P 运动到线段AB 上时，分别取OP 和 AB 的中点 E 、 F，求的值．解：（1）①当 P 在线段 AB 上时，由 PA=2PB 及 AB=60 ，可求得 PA=40 ，OP=60 ，故点 P 运动时间为 60 秒．若AQ= 时， BQ=40 ，CQ=50 ，点 Q 的运动速度为 50÷60= （cm/s ）；若BQ= 时， BQ=20 ，CQ=30 ，点 Q 的运动速度为 30÷60= （cm/s ）．②点 P 在线段 AB 延长线上时，由 PA=2PB 及 AB=60 ，可求得 PA=120 ，OP=140 ，故点 P 运动时间为 140 秒．若 AQ=时， BQ=40 ，CQ=50 ，点 Q 的运动速度为50÷140=（ cm/s ）；若 BQ=时， BQ=20 ，CQ=30 ，点 Q 的运动速度为30÷140=（ cm/s ）．（2）设运动时间为 t 秒，则 t+3t=90 ±70 ， t=5 或 40，∵点 Q 运动到 O 点时停止运动，∴点 Q 最多运动了 30 秒，当点 Q 运动到点 O 时停止运动，故经过 5 秒两点相距70cm ．（3）如图 1，设 OP=xcm ，点 P 在线段 AB 上，20≤x≤80，OB-AP=80- （ x-20 ）=100-x ，EF=OF-OE= （OA+ AB ）-OE= （ 20+30 ）- =50-，∴==2．如图 2，设 OP=xcm ，点 P 在线段 AB 上，20≤x≤80，OB-AP=80-（x-20 ）=100-x ，EF=OF-OE= （OA+ AB ）-OE= （ 20+30 ）- =50-，∴==2．分析：此题较为复杂，但仔细阅读，读懂题意根据速度公式就可求解．（1）从题中我们可以看出点 P 及 Q 是运动的，不是静止的，当 PA=2PB 时实际上是 P 正好到了 AB 的三等分点上，而且 PA=40 ，PB=20 ．由速度公式就可求出它的运动时间，即是点 Q 的运动时间，点 Q 运动到的位置恰好是线段 AB的三等分点，这里的三等分点是二个点，因此此题就有二种情况，分别是 AQ=时， BQ=时，由此就可求出它的速度．（2）若点 Q 运动速度为 3cm/s ，经过多长时间P、Q 两点相距 70cm ，这也有两种情况即当它们相向而行时，和它们直背而行时，此题可设运动时间为t 秒，按速度公式就可解了．（3）此题就可把它当成一个静止的线段问题来解决了，但必须借助图形．点评：做这类题时学生一定要认真仔细地阅读，利用已知条件求出未知值．学生平时就要培养自己的思维能力．而且要图形结合，与生活实际联系起来，也可以把此题当成一道路程题来对待．例2：如图 1，点 O为直线 AB上一点，过点 O作射线 OC，使∠ AOC=60°．将一直角三角板的直角顶点放在点 O处，一边 OM在射线 OB上，另一边 ON在直线 AB的下方．(1)将图 1 中的三角板绕点 O顺时针旋转至图 2，使一边 OM在∠ BOC的内部，且恰好平分∠ BOC，求∠ CON的度数；(2) 将图 1 中的三角板绕点O按每秒 10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 t 秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则 t 的值为 _____秒 ( 直接写出结果 ) ；(3) 将图 1 中的三角板绕点 O顺时针旋转至图 3，使 ON在∠ AOC的内部，请探究∠ AOM 与∠ NOC之间的数量关系，并说明理由．解：（1）已知∠AOC =60 °，所以∠BOC=120°，又OM 平分∠ BOC，∠COM =∠BOC=60°所以∠CON =∠COM +90°=150°（ 2）当直线 ON 与 OA 重合时，MN恰好与射线OC平行，∴∠AOM=90 °，由题意得， 10t=90 °∴t=9∵∠ONM=60°∴当∠COM=30°时，MN恰好与射线OC 平行∴∠NOM=270°由题意得， 10t=270°∴t=27延长 NO ，∵∠BOC=120°∴∠AOC=60°，当直线 ON 恰好平分锐角∠ AOC ，∴∠AOD= ∠COD=30 °，即顺时针旋转300 °时NO 延长线平分∠ AOC ，由题意得， 10t=300°∴t=30 ，当NO 平分∠AOC ，∴∠NOR=30 °，即顺时针旋转 120 °时NO 平分∠AOC ，∴10t=120°，∴t=12 ，∴t=12或30；（3）因为∠MON=90 °，∠AOC=60 °，所以∠AOM =90°－∠AON∠NOC =60°－∠AON所以∠AOM －∠NOC =（90°－∠AON ）－（60°－∠AON ）=30°，所以∠AOM 与∠NOC 之间的数量关系为：∠AOM －∠NOC =30°分析：此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键作业：1、OA,OB,OC 是从同一端点 O 引出的三条不同射线。
