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3-2 角动量 角动量定理 角动量守恒定律

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角动量和角动量守恒定律

角动量和角动量守恒定律

恒矢量
M 0
质点或质点系所受对参考点 O 的合外力矩为零 时，质点或系统对该参考点 O 的角动量为一恒矢量 . (1) 不受外力
(2) 力臂 d 0 (3) F // r
3 – 2 角动量 角动量守恒动量守恒。
质点在有心力作用下的运动：r 与 F 同向或
第三章 刚体力学
dp dL F, ? Lrp dt d t dL d dp dr (r p) r p dt dt d t dt dr dL dp v, v p 0 r r F dt dt dt 作用于质点的合力对参考点 O dL 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角 M dt 动量随时间的变化率 .


L mR
2 32 12
2g 12 ( sin ) R
L mR (2g sin )
Lx 、Ly 、Lz 质点对x、y、z 轴的角动量 M y、 M x、 M z 质点对x、y、z 轴的力矩
3 – 2 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体力学
1）求角动量和力矩某一方向的分量的方法
L ( xi yj zk ) ( pxi py j pz k ) M （xi yj zk） （Fxi Fy j Fz k）
rb
通过一点（力心）—— 力对力心的力矩为零。
当力 F 的作用线始终
vb
ra mva rb mvb ra v b va va rb
ra
r
F
3 – 2 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体力学
举例： 将一个质量为m的小球系在轻绳的一端，放在 光滑的水平桌面上，轻绳的另一端从桌面中间的一 光滑小孔穿出。先使小球以一初速度在水平桌面上 作圆周运动，然后向下拉绳。 动画演示：模拟实验

角动量定理 角动量守恒定律

角动量定理 角动量守恒定律
10 4 mg sin 1 mg cos 1 3 3 1 6
.
f2
N2
2
l mg O

f1 l 1 2mg N1
由于球 1 的初始位置紧靠轻杆末端，因此球 1 脱离 细杆时细杆与水平线夹角也为
1

6
因轻杆没有质量，球 1 一旦脱离轻杆，球 2 与轻杆间的相互作用 立即消失，此后球 2 只受重力作用而作斜抛运动，其初速度：
若M 0 L L0 ——质点系的角动量守恒
内力不改变系统的总角动量
t0
例 6.1 如图，质量为 m 的小球，拴于不可伸长的 轻绳上，在光滑水平桌面上作匀速圆周运动，其 半径为 R，角速度为 ，绳的另一端通过光滑的竖 直管用手拉住，如把绳向下拉 R/2 时角速度 为 多少？
m
R
F
解：
L mvR mR
2
R 1 2 L' mv' mR ' 2 4
L L'
' 4
m
R
F
例6.2 如图所示，质量为 m的小球 B放在光滑的水平 槽内，现以一长为 l的细绳连接另一质量为m的小球
A，开始时细绳处于松弛状态, A与B相距为l/2。球A
以初速度v0 在光滑的水平地面上向右运动。当A运 动到图示某一位置时细绳被拉紧，试求B球开始运 动时速度vB的大小。
3gl 2 g sin 1 v0 l 3l 3
y v0 B2 A
0
初速度的方向与水平线的夹角：
0
2 1

3
mg
l O
2 1
x
得任意 t 时刻球2的位置坐标：

角动量定理 角动量守恒定律

角动量定理 角动量守恒定律

量守恒。
13
第3章动量与角动量
例2 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行 星， 当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一
质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面。 求 θ角及着陆滑行的初速度。 解 引力场（有心力） 系统的机械能守恒
m
r0
v0
v
R
OM

质点的动量矩守恒 1 GMm 1 2 GMm 2 mv 0 mv 2 r0 2 R
求 此时刻质点对三个参考点的动量矩
d1
m v
d3
d2
解
4
LA d1mv LB d1mv LC 0
第3章动量与角动量
B
C
二、力对定点的力矩 定义 为力对定点O的力矩 M r F 大小： M r F sin
方向：垂直 r , F 组成的平面 M ML2T 2 SI Nm 量纲：
r r r M r F 0
L
r L mvrsin m rsin t 1 r r rsin S 2 2m 2m t t
12
r r r L r m C

r r F
r

m
掠面 速度
行星对太阳的位矢在相等 的时间内扫过相等的面积
i i
L Li ri Pi
P2 r2 o
P 1
r1
质点系对参考点O 的动量矩就是质点系所有质点对同一参 考点的动量矩的矢量和
dLi 2. 质点系的动量矩定理 M i dt i i M M i ri Fi ri fi

角动量、角动量守恒

角动量、角动量守恒

T
（3） ）
m, l
联立(1)、(2)、(3)式求解 式求解 联立
mg
1 T = mg 4
例5：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量 ： 可绕中心转动的细杆， 为 M、长为 2l 、可绕中心转动的细杆，有一质 、 量为 m 的小球以速度 v0 与杆的一端发生完全弹 性碰撞， 性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速 度ω。 解：在水平面上，碰撞 在水平面上， 过程中系统角动量守恒， 过程中系统角动量守恒，
∆A/ ∆t = 恒 量
两个共轴飞轮转动惯量分别为J 例1：两个共轴飞轮转动惯量分别为 1、J2， 角速度分别为 ω1 、ω2，求两飞轮啮合后共同 啮合过程机械能损失。 的角速度 ω 。啮合过程机械能损失。 J1 J2 解：两飞轮通过摩 擦达到共同速度,合 擦达到共同速度 合 外力矩为0， 外力矩为 ，系统角 动量守恒。 动量守恒。
定义：力对某点 的力矩等于力的作用点 定义：力对某点O的力矩等于力的作用点 的矢量积。 的矢径 r 与力F的矢量积。 v v
v Mo
ϕ
注意： 注意： 1）大小： o = rF sin ϕ ）大小： M v v 的方向 2）方向： × F ）方向： r 3）单位：牛顿米 ）单位： v r 4）当 F ≠ 0 时， ） 有两种情况 Mo = 0 v A） r = 0 ） B）力的方向沿矢径的方向（ sin ϕ = 0） ）力的方向沿矢径的方向（
ω1 L0 = L = C J1ω1 + J2ω2 = (J1 + J2 )ω
ω2
J1ω1 + J2ω2 共同角速度 ω = J1 + J2
啮合过程机械能损失
∆E = E − E0
1 1 1 2 2 2 ∆E = (J1 + J2 )ω − ( J1ω1 + J2ω2 ) 2 2 2 J1ω1 + J2ω2 其中 ω = J1 + J2

角动量 角动量守恒定律

角动量 角动量守恒定律

角动量与线动量关系
角动量与线动量的关系
角动量是线动量在物体绕某点或某轴 转动时的表现形式，二者之间存在密 切关系。
动量守恒定律
在不受外力作用的情况下，物体的总 动量（包括线动量和角动量）保持不 变，即动量守恒定律。
02
角动量守恒定律
守恒条件及适用范围
守恒条件
当系统不受外力矩作用时，系统的角动量守恒。即在没有外力矩的情况下，系统内部各部分之间的相 互作用力不会导致系统总角动量的改变。
06
总结与展望
课程内容回顾与总结
角动量的定义与性
质
角动量是物体绕某点或某轴转动 的动量，具有矢量性质，其大小 与物体的质量、速度和转动半径 有关。
角动量守恒定律的
表述
在没有外力矩作用的情况下，系 统内的角动量保持不变，即角动 量守恒。
角动量守恒定律的
应用
角动量守恒定律在天体物理、刚 体转动、分子运动等领域有广泛 应用，如行星运动、陀螺仪工作 原理等。
对未来研究方向的展望
角动量守恒定律在复 杂系统较成熟，但在复 杂系统中的应用还有待深入研究， 如多体问题、非线性问题等。
角动量与其他物理量 的关系研究
角动量与能量、动量等物理量之 间存在一定的联系，未来可以进 一步探讨它们之间的关系，以及 如何利用这些关系解决实际问题。
在机械工程中，飞轮储能系统被应用 于能量回收和节能领域。飞轮储能系 统利用刚体定轴转动的角动量守恒定 律，通过加速和减速飞轮来储存和释 放能量。这种储能方式具有高效率、 环保等优点，在电动汽车、风力发电 等领域具有广阔的应用前景。
04
质点和质点系相对于固定 点角动量守恒
质点相对于固定点角动量定义和性质
双星系统由两颗互相绕转的恒星组成。在双星系统中，两颗恒星的角动量守恒，因此它们的轨道周期、距离和质量之 间存在一定关系。

3-2 角动量

3-2 角动量
角动量
1
转动是自然界普遍存在的重要的运动形式，如： 大到星云、星系, 小至微观粒子, 无不参与转动。
Fi
d mi vi
i
质点或质点系
i
Fi
i
Fi 0
i
dt
动量守恒
质点或质点系
转动 角动量守恒
2
§3-5 力矩 §3-6 质点角动量定理 §3-7 质点角动量守恒定律 §3-8 质点系角动量守恒定律
l
dl 0 dt
恒矢量
若作用于质点的合力对参考点的力矩始终为零, 则质点对同一参考点的角动量将保持恒定。 角动量守恒定律
25
讨论：
M rF 0
(1) r = 0, 表示质点处于参考点上静止不动 (2) F = 0，表示所讨论的质点是孤立质点
设质点沿直线L作匀速运 动, 在不同时刻先后到达点A、 B和C, 相对于参考点O的位置 矢量分别为r1 、r2和r3 ,
9
力矩沿某坐标轴的分量通常称作力对该轴的力矩。
（2） 下面计算力对z轴的力矩 由图可见：
z
r
P
F
x Rcos Fx f cos
代入
y Rsin Fy f sin
R⊥
o

β
φ
f
y
φ
R
Q
M z xFy yFx
x
f
M z R f (cos sin sin cos )
R f sin( ) Rf sin fR
R ：力臂
10
如果知道力矩矢量的大小和 它与 z 轴之间的夹角 , 那么力 对z轴的力矩也可按下式求得

3-2质心运动定理、角动量守恒


L
O
●
rA r
●
A α m
●
v
证明： 不受外力，质点将做 匀速直线运动。 m在某一时刻经过A点时， 其对固定点O的角动量为
L rA mv rAmvsin r m v
固定点O到轨迹直线的垂直距离只有一 个值，所以角动量的大小恒定。 而角动量的方向恒垂直于固定点O和运动 轨迹所决定的平面。 所以m对任意固定点的角动量矢量保持不变。
力矩的大小：
力矩的方向： 角动量定理：
M r F rF sin
也由右螺旋法则确定。
dL M dt
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的 变化率。 M 注意：定理中的力矩和角 动量是对惯性系中地同一 固定点而言的。
o
●
r
F
r
α

m
§3.7 角动量守恒定律
给上式两边同时乘以系统质量m
rC
mi ri
i
则：
mvc mi vi p
dvc dp p mvc 两边求导得： m mac dt dt dp F m a c dt
——质心运动定理
i
不管物体的质量如何分布，也不管外力作用在 物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的质量 全部都集中于此，而且所有外力也都集中于此的一 个质点的运动一样。 实际上在质心位置处可能既无质量，又未受力。
i 1
m
' rC
0
两边求导：
'0 mv i i
N i 1
z
z'
x'
o
rC
' ri

角动量 角动量守恒定律


r为力的作用点到 参考点的位置矢量
20
2) 力对定轴的力矩
z
Mz
o
d
F F //
r
F
M r F r ( F// F ) r F// r F
第一项
力F对O点的力矩 （F不在转动平面内）：
M1 r F//
dL 可得 M r F dt
对 N 个质点 m1, m2 ,, mN 组成的质点系，由
dL1 r1 F1外 F1内 M 1外 M 1内 dt 两边求和得 dL2 r2 F2外 F2内 M 2外 M 2内 dL总 d dt Li dt i dt M i 外 M i内 dLN i i 24 rN FN外 FN内 M N外 M N内 dt
z

vi
转轴与其转动平面交点
o
转动 平面
mi 对 o 的角动量： Lio ri mi vi
大小：Lio ri mi vi mi ri 2 Lio 方向：沿 2 即 Lio mi ri
o圆周运动半径为 ri
o ri
mi
6
定义：质点 mi 对其转动平面上圆心 o 点的角动 量的大小，称为质点对转轴的角动量。
11
m 1 L3 L3 1 2 m L 12 L 3 8 8
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
J r dm x dm
2 2 L
L
x
2
若使用平行轴定理：
0

角动量守恒定律




0 L v0 ; L v 2 2
得：
v0 v 9
注意：区分两类冲击摆 质点 质点 柔绳无切向力 （1） o • 水平方向： Fx =0 ， px 守恒
v0
l
m (2)
Fy
M
L • 对 o 点：M 0 ，
m v 0l = ( m + M ) v l
m v 0= ( m + M ) v
守恒
Fx
质点
定轴刚体（不能简化为质点）
o
v0
m
l
轴作用力不能忽略，动量不守恒， 但对 o 轴合力矩为零，角动量守恒
M
mv 0 l ml 2 1 Ml 2 3
v l
回顾习题
P84 4 -10
F
O
m M
F轴 0 m M系统 p 不守恒; M轴 0 m M系统 对O点角动量守恒 m 2 gh R m M vR
角动量守恒定律： 当质点系所受外力对某参考点（或轴）的力矩的矢 量和为零时，质点系对该参考点（或轴）的角动量 守恒。
注意
1.与动量守恒定律对比
当 F外 0 时，
当 M外 0 时，
2.守恒条件 能否为
p 恒矢量 L 恒矢量
或
?
彼此独立
M外 0
M轴 0

M 外 dt 0
m 以速度v 0 撞击 m 2 ，发生完全非弹性碰撞
求：撞后m 2的速率 v ?
解1：m 和 m 2 系统动量守恒
m v 0 = (m + m 2 ) v
A
解2： m 和 (m1 + m 2 )系统动量守恒

3-2 角动量 角动量守恒定律


对 轴 的 力 矩
力矩为零的情况: （1）力F 等于零； （2）力 F 的作用线与矢径 r 共线（即 sin 0 ）
有心力：物体所受的力始终指向（或背离）某一固定点 力心
2、质点的角动量定理
旋转对称性意味着空间的各向同性， 这将导致角动量守恒。
dL t2 M Mdt L2 L1 t1 dt 外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。 J 常矢量 L2 L1 M 0
3-2
角动量 角动量守恒定律
一、质点的角动量 质点相对O点的矢径 r 与质点 L 的动量 mv 的矢积定义为该时
O
mv

刻质点相对于O点的角动量， 用 L 表示。
d
L rmv sin L r mv L rmv mr 2
Lx ypz zp y Ly zp x xpz
直角坐标系中角 动量的分量表示
Lz xp y yp x
二、质点的角动量定理
1、力矩
M
M Fr sin M r F
单位：牛· 米（N · m）
力矩的分量式:
O
r p

M x yFz zF y M y zFx xFz
M z xFy yFx

解：由于系统对转轴合外力矩为零， M 系统角动量守恒.
R
m
I I 0
I 1 MR2 2

图3.16
I mR 2

2m M 2m
人对地的角速度为

M M 2m
设人沿转台边缘跑一周的时间为 t ，则有
dt 2
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J11
三 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0 ，则 L J 常量 .
讨论 守恒条件 M 0
若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变，但 L J 不变.
内力矩不改变系统的角动量.
在冲击等问题中 M in M ex L 常量
第三章 刚体与流体
uN

uM

u

l
2
M、N和跷板系统
N
C
M
h A
角动量守恒
B
l/2
l
mvM
l 2

J

2mu
l 2

1 12
ml 2

1 2
ml 2


mvMl ml 2 12
2 ml 2
6m(2gh)1 2 2 (m 6m)l
演员 N 达到的高度
h u 2 l 2 2 ( 3m )2 h
3 – 2 角动量定理 角动量守恒定律
一、 角动量
1
质点角动量
质量为 m 的质点以速度
v
L
在 O 的空位间矢运为动，r，某质时点刻相相对对于原原点
x
点的L角动量r p r mv
L
大小

L

rmv sin
L 的方向符合右手法则.
L rmv mr 2 （圆运动）
员 M 落在跷板上, 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞 .问
演员 N 可弹起多高 ?
解: 碰撞前 M 落在
A点的速度
vM (2gh)1 2
N
碰撞后的瞬间, M、 B
N具有相同的线速度
M
h
C
A
l/2 l
第三章 刚体与流体
3 – 2 角动量定理 角动量守恒定律
物理学简明教程
vM (2 gh)1 2
转动惯量为 J 0.12kg m2 。当棒摆到竖直位置时，其角
速度为 2.4rad s1 。此时棒的下端和一质量为
m=0.20kg的泥球相碰并粘在一起，问棒粘有泥球后的角
速度是多少？
分析 将棒和泥球作为一个系统，
O
外力矩为零，故碰撞前后系统的角
动量守恒。
0
解： J0 (J mL2 )
3 – 2 角动量定理 角动量守恒定律
有许多现象都可以用角 动量守恒来说明. 它是自然 界的普遍适用的规律.
花样滑冰 跳水运动员跳水
飞轮
1
2
航天器调姿
物理学简明教程

第三章 刚体与流体
3 – 2 角动量定理 角动量守恒定律
物理学简明教程
例 一根长度为L=0.60m的均匀棒，绕其端点O转动时的
3 – 2 角动量定理 角动量守恒定律
复习
力矩
M rF
物理学简明教程
M
转动定律 M J
转动惯量
J mjrj2 , J r2dm j
决定转动惯量大小的因素：
Hale Waihona Puke zMrOd
F
P*
①与刚体的形状有关； ②与转轴的位置有关 ③与刚体的质量分布有关
第三章 刚体与流体
3 – 2 角动量定理 角动量守恒定律
物理学简明教程
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理.
质点运动状态的描述 刚体定轴转动运动状态的描述
0, p 0
p mv
L J
0, p 0
pi
p j
第三章 刚体与流体
dt dt dt
O ri
v i
mi
t2
L2
Mdt dL L2 L1 J2 J1
t1
L1
t2
角动量定理： Mdt J22 J11
t1 第三章 刚体与流体
3 – 2 角动量定理 角动量守恒定律
物理学简明教程
角动量定理
t2 t1
Mdt

J 22


J
J mL2
0
第三章 刚体与流体
3 – 2 角动量定理 角动量守恒定律
物理学简明教程
练习 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下落
到跷板的一端 A, 并把跷板另一端的演员 N 弹了起来.设
跷板是匀质的, 长度为 l , 质量为 m' , 跷板可绕中部支
撑点 C 在竖直平面内转动, 演员的质量均为 m. 假定演
第三章 刚体与流体
物理学简明教程
z
v
rm
o
y
v
r
L
o
p
m r
3 – 2 角动量定理 角动量守恒定律
物理学简明教程
2 刚体定轴转动的角动量
L mirivi ( miri2 )
z

i
i
L J
二 角动量定理
M J J d dJ dL
2g 8g m 6m
第三章 刚体与流体