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坐标系与参数方程 知识点(一)坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩ 的作用下,点(,)P x y 对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=. 5.圆与直线一般极坐标方程（1）圆的极坐标方程若圆的圆心为 00(,)M ρθ，半径为r ，求圆的极坐标方程。
坐标系与参数方程 知识点(一)坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点(,)P x y 对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ=≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ=≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或(2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=. 5.圆与直线一般极坐标方程（1）圆的极坐标方程若圆的圆心为 00(,)M ρθ，半径为r ，求圆的极坐标方程。
参数方程与极坐标小结与复习一. 重点、难点：显然，参数方程与普通方程的最明显的区别是其方程形式上的区别，更大的区别是普通方程反映了曲线上任一点坐标x ，y 的直接关系，而参数方程那么反映了x ，y 的间接关系。
实质上，参数的思想方法就是在运动变化的哲学思想指导下的函数的思想方法，因此也可认为引入参数就是引入函数的自变量。
参数法在求曲线的轨迹方程，以及研究某些最值问题时是一种常用的甚至是简捷的解题方法。
2. 化参数方程为普通方程的根本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式〔三角的或代数的〕消去法。
3. 化普通方程为参数方程的根本思路是引入参数，即选定适宜的参数t ，先确定一个关系x=f(t)〔或y=(t)〕，再代入普通方程F 〔x ，y 〕＝0，求得另一关系y=(t)〔或x=f(t)〕。
一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标〔或纵坐标〕。
4. 常见曲线的参数方程的一般形式：〔1〕经过点P 0〔x 0，y 0〕，倾斜角为α的直线的参数方程为 00cos sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（为参数）0P t P P 设是直线上的任一点，则表示有向线段的数量利用直线的参数方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算，有时比拟方便。
方法是： 把：代入圆锥曲线：（，），即可消去，；l x x t y y t C F x y x y =+=+⎧⎨⎩=000cos sin αα200t at bt c a ++=≠而得到关于的一元二次方程：（）那么〔1〕当△<0时，l 与C 无交点；〔2〕当△=0时，l 与C 有一公共点；〔3〕当△>0时，l 与C 有两个公共点；此时方程at 2+bt+c=0有两个不同的实根t 1、t 2，把参数t 1、t 2代入l 的参数方程，即可求得l 与C 的两个交点M 1、M 2的坐标；另外，由参数t 的几何((((()2121212124M M t t t t t t =-=+-意义，可知弦长。
坐标系与参数方程知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy ygg的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标,记作(,)M.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0,)(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示;同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y,极坐标是(,)(0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)互化公式cossinxy222tan(0)x yyxx在一般情况下,由tan确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆(02) r圆心为(,0)r,半径为r的圆2cos()22 r圆心为(,)2r,半径为r的圆2sin(0) r过极点,倾斜角为的直线(1)()()R R 或(2)(0)(0)和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos()22a 过点(,)2a ,与极轴平行的直线sin (0)a 注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,点(,)44M 可以表示为5(,2)(,2),444444或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44的极坐标满足方程.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t yg t ①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t ,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()yg t ,那么()()x f t yg t 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
教学辅导教案学生姓名年级高二学科数学上课时间教师姓名课题极坐标与参数方程综合复习1．已知a∈R，函数f (x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数)．（1）当a＝2时，求函数f (x)的单调递增区间；（2）是否存在a使函数f (x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）当a＝2时，f (x)＝(－x2＋2x)e x，∴f ′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x．令f ′(x)>0，即(－x2＋2)e x>0，∵e x>0，∴－x2＋2>0，解得－2<x<2．∴函数f (x)的单调递增区间是(－2，2)．（2）若函数f (x)在R上单调递减，则f ′(x)≤0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]e x≤0对x∈R都成立．∵e x>0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．故不存在a使函数f (x)在R上单调递减．2．已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋5，记f (x)的导数为f ′(x)．（1）若曲线f (x)在点(1，f （1）)处的切线斜率为3，且x＝23时，y＝f (x)有极值，求函数f (x)的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数f (x)在[－4，1]上的最大值和最小值．解：（1）f ′(x)＝3x2＋2ax＋b．依题意f ′（1）＝3，)32(f'＝0，得⎪⎩⎪⎨⎧=++⋅=++34)32(33232baba，解之得⎩⎨⎧-==42ba．所以f (x)＝x3＋2x2－4x＋5．（2）由（1）知，f ′(x)＝3x2＋4x－4＝(x＋2)(3x－2)．令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝23．当x变化时，f (x)，f ′(x)的变化情况如下表：x －4(－4，－2)－2(－2，23)23)1,32( 1第1 页共24 页单调递减区间为),1(+∞-a．（3）由已知，转化为f (x)max＜g(x)max．g(x)max＝2，由（2）知，当a≥0时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．(或者举出反例：存在f (e3)＝a e3＋3＞2，故不符合题意．)当a＜0时，f (x)在)1,0(a-上单调递增，在),1(+∞-a上单调递减，故f (x)的极大值即为最大值，f )1(a-＝－1＋ln)1(a-＝－1－ln(－a)，所以2＞－1－ln(－a)，解得a＜－1e3．综上，a的取值范围是a＜－1e3．1．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，由曲线21:C y x=上的点(,)x y按坐标变换''122x xy y⎧=-⎪⎨⎪=⎩得到曲线2C．（1）求曲线2C的极坐标方程；（2）若射线(0)3πθρ=>和θπ=与曲线2C的交点分别为点,A B，求||AB．解：（1）''122x xy y⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即''1222x xy y⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入21:C y x=-，得'2'21y x=+，即曲线2C的方程为221y x=+.由cos,sinx yρθρθ==，所以2C的极坐标方程为22sin2cos1ρθρθ=+，即11cosρθ=-.（未化简，保留上式也可）（2）将(0)3πθρ=>代入11cosρθ=-，得2ρ=，即||2OA=，(2,)3Aπ，θπ=代入11cosρθ=-，得12ρ=，即1||2OB=，1(,)2Bπ.所以2121||22cos()432ABππ=+--=．2．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设点Q和点G的极坐标分别为()32,,2,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，若直线l经过点Q，且与曲线C相交于,A B两点，求GAB∆的面积．【解析】（Ⅰ）曲线C化为：22sin8cos0ρθρθ-=，再化为直角坐标方程为28y x=，直线l 的参数方程为2cos,sin,x ty tαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）．（Ⅱ）由（Ⅰ）将点32,2Qπ⎛⎫⎪⎝⎭的极坐标化为直角坐标得()0,2-，易知直线l的倾斜角4πα=，所以直线l的参数方程为22,22,2x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得2228222t t⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：()2282320,824322560t t--=∆=+⨯=>，设12,t t为方程282320t t--=的两个根，则121282,32t t t t+=⋅=-，所以()2121212425616AB t t t t t t=-=+-⋅==．由极坐标与直角坐标互化公式得G点的直角坐标()2,0-，易求点G到直线l的距离为2sin454222d PG=⋅︒=⨯=，所以11162216222GABS d AB∆=⨯⨯=⨯⨯=．【学科问题】1．能够根据圆的参数方程解决最值问题．2．能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题．3．直线参数方程的综合应用．4．参数方程的应用．【学生问题】1．学习风格2．先行知识分析：（1）理解曲线参数方程的有关概念（2）了解参数方程化为普通方程的意义（3）掌握参数方程化为普通方程的基本方法学习目标：（1）极坐标与直角坐标的互化；（2）常见曲线的参数方程的一般形式；（3）直线参数方程中参数的几何意义．目标分解：1．理解曲线参数方程的有关概念．2．了解参数方程化为普通方程的意义．3．极坐标与直角坐标的互化．4．直线参数方程中参数的几何意义．5．能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题．考点1 极坐标1．极坐标系与极坐标（1）极坐标系：如图所示，在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．（2）极坐标：设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；∠叫做点M的极角，记为θ.有序数对(),ρθ称为以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOMMρθ．点M的极坐标，记作(),ρ≥，θ可取任意实数．一般地，不做特殊说明时，我们认为0双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的参数方程为sectanx ay bϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)．抛物线pxy22=的参数方程为222x pty pt⎧=⎨=⎩(t为参数)．3．参数方程和普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．（2）如果知道变数,x y中的一个与参数t的关系，例如()x f t=，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系()y g t=，那么，()()x f ty g t=⎧⎪⎨=⎪⎩就是曲线的参数方程．1．在极坐标系中，已知曲线:cos()14Cπρθ+=，过极点O作射线与曲线C交于点Q，在射线OQ上取一点P，使2OP OQ⋅=．（1）求点P的轨迹1C的极坐标方程；（2）以极点O为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy，若直线:3l y x=-与（1）中的曲线1C相交于点E（异于点O），与曲线21222:22x tCy t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）相交于点F，求EF的值．解：（1）设(,)Pρθ，(,)Qρθ'，则=2ρρ'，又cos()14πρθ'+=，2ρρ'=，∴2cos()14πθρ+=∴2cos()cos sin4πρθθθ=+=-为所求1C的极坐标方程．（2）2C的极坐标方程1(cos sin)2ρθθ+=，把23πθ=代入2C得131=+22ρ，把3πθ=-代入1C 得231=+22ρ，∴1231EF ρρ=+=+． 2．在极坐标系中，已知三点()0,0,2,,22,24O A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求经过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角 坐标系，圆2C 的参数方程为1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ是参数），若圆1C 与圆2C 外切，求实数a 的值． 解：（1）()0,0,2,,22,24O A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对应的直角坐标分别为()()()0,0,0,2,2,2O A B ，则过,,O A B 的圆的普通方程为22220x y x y +--=，又因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入可求得经过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程为22cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）圆21cos :1sin x a C y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ是参数）对应的普通方程为()()22211x y a +++=，因为圆1C 与圆2C 外切，所以222a +=，解得2a =±．3．在直角坐标系中，直线2cos ,:1sin x t a l y t a=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a π≤<），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线:4cos C ρθ=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点(2,1)P ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且2AP PB =u u u r u u u r，求tan a ．解：（Ⅰ）:4cos C ρθ=，得到2:4cos C ρρθ=，因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=.（Ⅱ）将2cos ,:1sin ,x t a l y t a =+⎧⎨=+⎩代入2240x y x +-=，得到22sin 30t t a +-=.12122sin ,3,t t a t t +=-⎧⎨=-⎩g又因为2AP PB =u u u r u u u r ，则122t t =-，所以1212122sin ,3,2,t t a t t t t +=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩g 解得：6sin 4a =，10cos 4a =或10cos 4a =-，则15tan 5a =或15tan 5a =-． 4．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==242222t y t x （t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程)4cos(2πθρ+=． （Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）设M 为曲线C 上任意一点，求y x +的取值范围．解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为420x y -+=，曲线C 的直角坐标系下的方程为2222()()122x y -++=，圆心22(,)22-到直线420x y -+=的距离为52512d ==>，所以直线l 与曲线C 的位置关系为相离．（Ⅱ）设22(cos ,sin )22M θθ+-+，则cos sin 2sin()[2,2]4x y πθθθ+=+=+∈-．5．已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程是3212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；（2）设点P （m ，0），若直线L 与曲线C 交于A ，B 两点，且|P A |•|PB |=1，求实数m 的值． 解：（1）曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，化为22cos ρρθ=，可得直角坐标方程：sin()224πρθ+=．（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）设点P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 距离的最大值．解：（1）曲线C 的普通方程为2213x y +=，直线l 的直角坐标方程为40x y +-=． （2） 设点P 坐标为(3cos ,sin )θθ，点P 到直线l 的距离|3cos sin 4|222sin()32d θθπθ+-==-+所以点P 到直线l 距离的最大值为32．8．在平面直角坐标系x y O 中，3+2cos ,12sin )A αα+点的直角坐标为（（α为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，直线l 的极坐标方程为2cos()6m πρθ+=．m （为实数）． （1）试求出动点A 的轨迹方程（用普通方程表示）；（2）设A 点对应的轨迹为曲线C ，若曲线C 上存在四个点到直线l 的距离为1，求实数m 的取值范围．解：（1）由32cos 12sin x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）消去参数得：22(3)(1)4x y -+-=．故动点A的普通方程为22(3)(1)4x y -+-=．（2）由（1）知，动点A 的轨迹是以（3，1）为圆心，2为半径的圆．由2cos()6mπρθ+=展开得：3cos sin 0m ρθρθ--=，∴l 的普通方程为：30x y m --=，要使圆上有四个点到l 的距离为1，则必须满足212m-<，解得(0,4)m ∈．1．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．3．己知曲线C 的极坐标方程是ρ= 4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是（t 是参数）．（I ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（II ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |=14，求直线的倾斜角a 的值． 解：（I ）由=4cos ρθ得：22(2)4x y -+=．（II ）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程并整理得22cos 30t t α--=．设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则12122cos 3t t t t α+=⎧⎨=-⎩∴22121212()44cos 1214AB t t t t t t α=-=+-=+=，∴24cos 2α=，故2cos 2α=±，即4πα=或34πα=． 4．已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，C 在点()1,1处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求l 的极坐标方程；（2）过点13(,)44M -任作一直线交曲线C 于,A B 两点，求||AB 的最小值．解：（1）sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=，其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=，对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（2）曲线C 的方程222x y +=可知曲线C 为圆心在原点半径为2的圆．设圆心()0,0到直线AB 的距离为d ，则可得2222AB d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，222AB d ∴=-．由分析可知12d OM ≤=，2min12272AB ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭．归纳总结1．在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法，但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意,x y 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．2．直线的参数方程及应用根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t，则弦长12l t t=-；（2）定点M是弦12M M的中点⇒12t t+=；（3）设弦12M M中点为M，则点M对应的参数值122Mt tt+=(由此可求12M M及中点坐标)．3．圆与圆锥曲线的参数方程及应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．4．化参数方程为普通方程的方法: 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④恒等式(三角的或代数的)消元法．参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围，这一点最易忽视．5．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点()000,P x y，倾斜角为α的直线l的参数方程为0cossinx x ty y tαα=+⎧⎨=+⎩(t为参数)．若,A B 为直线l上两点，其对应的参数分别为12,t t，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为0t，则以下结论在解题中经常用到：(1) 1202t tt+=；(2) 1202t tPM t+==；(3)21AB t t=-；(4)12PA PB t t⋅=⋅．1．已知曲线221:149x yC+=，直线l：2,22,x ty t=+⎧⎨=-⎩（t为参数）．（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（II）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30︒的直线，交l于点A，PA的最大值与最小值．（2）若把曲线1C上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍，得到曲线2C，设点P是曲线2C上的一个动点，求它到直线λ的距离的最小值．解：（1）λ的普通方程为1),1(3Cxy-=的普通方程为.122=+yx联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,1),1(322yxxy解得λ与1C的交点为)0,1(A,)23,21(-B,则1||=AB．（2）2C的参数方程为θθθ(.sin23,cos21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==yx为参数).故点P的坐标是)sin23,cos21(θθ,从而点P 到直线λ的距离是]2)4sin(2[432|3sin23cos23|+-=--=πθθθd,由此当1)4sin(-=-πθ时,d取得最小值，且最小值为)12(46-．一、（第1天）1．在极坐标系中，直线cos3sin10ρθρθ--=与圆2cosρθ=交于A，B两点，则||AB=______．解：分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为310x y--=过圆22(1)1x y-+=圆心，因此2AB=，故填：2．2．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为cos1sinx a ty a t=⎧⎨=+⎩（t为参数，a>0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（I）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为θα=，其中α满足tanα=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．解：cos1sinx a ty a t=⎧⎨=+⎩（t均为参数）,∴()2221x y a+-=①，∴1C为以()01，为圆心，a为半2ρ=2，|MN |=1ρ－2ρ=2，因为2C 的半径为1，则2C MN V的面积o 121sin 452⨯⨯⨯=12． 5．将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ． （Ⅰ）写出C 的参数方程；(Ⅱ)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【解析】（Ⅰ）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y +=得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=.，故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t ⎧⎨⎩＝＝ （t 为参数）.(Ⅱ)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩.不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12P P 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，化极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-. 教学反思。
