选修4-4坐标系导学案

新课标人教A 版选修4-4 第一讲 坐标系 导学案§4.1.1—第一课 平面直角坐标系本课提要：本节课的重点是体会坐标法的作用，掌握坐标法的解题步骤，会运用坐标法解决实际问题与几何问题.一、 温故而知新1．到两个定点A （-1，0）与B （0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？2．在⊿ABC 中，已知A （5，0），B （-5，0），且6=-BC AC ，求顶点C 的轨迹方程.二、 重点、难点都在这里【问题1】：某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s ，各观测点均在同一平面上.）（详解见课本）练一练：3．有三个信号检测中心A 、B 、C ，A 位于B 的正东，相距6千米，C 在B 的北偏西300，相距4千米.在A 测得一信号，4秒后B 、C 同时测得同一信号.试求信号源P 相对于信号A 的位置（假设信号传播速度为1千米/秒）.【问题2】：已知⊿ABC 的三边c b a ,,满足2225a c b =+，BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.三、 懂了，不等于会了4．两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹.5．求直线0532=+-y x 与曲线xy 1=的交点坐标.7．已知A （-2，0），B （2，0），则以AB 为斜边的直角三角形的顶点C 的轨迹方程 是 .8．已知A （-3，0），B （3，0），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为94，则 点M 的轨迹方程是 .平面直角坐标系中的伸缩变换【基础知识导学】1、 坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。

2、 “坐标法”解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化这一思想方法。

选修4――4坐标系教案【篇一：选修4矩阵与坐标系参数方程】选修4矩阵与坐标系参数方程（1）1．在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程是??x＝t＋5，?y＝－4－t(t为参数), 圆c的参数方程是面积的最大值.2．已知圆锥曲线?(1)3（1）求经过点f2且垂直地于直线af1的直线l的参数方程；（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线af2的极坐标方程．?1??m0?3．设矩阵a=?,若矩阵的属于特征值1的一个特征向量为a?0?,属于特征值2的一个?0n?????0?特征向量为??,求实数m, n的值.1??? 33??1?? cd??1?? 3??.求矩阵a,并写出a的逆矩阵. ?－2?选修4矩阵与坐标系参数方程（1）答案4222大,最大值为2＋1. 2化为普通方程，222【答案】解：（1）圆锥曲线所以f1（﹣1，0），f2（1，0），则直线af1的斜率于是经过点f2垂直于直线af1的直线l的斜率所以直线l的参数方程是，（t为参数），即（t为参数）．……6分（2）直线af2的斜率所以直线af2的极坐标方程：??m????03【答案】由题意得???m??0??0??1??1?=1 ?0??0?,n??????0??0??0?=2 ?1??1?,n??????……10分?m=1,?0?n=0, ?m=1,?化简得?所以? 、0?m=0, n=2.??? ?n=2,?1??1?? 33??1??1?? ??=6??,? cd??1??1?? 3?? 33?? 3?? 3?,可得??? ??=??,?－2?? cd??－2??－2?21 －??32? 33??c＝2，??即3c-2d=-2,解得?即a=?. ?, a的逆矩阵是?d＝4．11? 24?? －??32?选修4矩阵与坐标系参数方程（2）??x＝3＋22t1在平面直角坐标系xoy中,直线m的参数方程为?(t为参数);在以o 为极点、2?y＝－3?2a、b两点,求线段ab的长.2．在极坐标系中,圆c是以点c(2,-)为圆心、2为半径的圆. 6(1)求圆c的极坐标方程;?x??x??x+2y?o3．已知点a在变换t:??→??=?作用后,再绕原点逆时针旋转90,得到点b.若??y??y??y?点b的坐标为(—3,4),求点a的坐标.?21??10?24矩阵与变换已知矩阵a=?,向量b=??.求向量a,使得aa=b. ? ?01??2?选修4矩阵与坐标系参数方程（2）答案1【答案】解:直线m的普通方程为x-y=6曲线c的普通方程为y2=8x由题设直线m与曲线c交于a、b两点,可令a(x1,y1),b(x2,y2). ?y2=8x联立方程?,解得y2=8(y+6),则有y1+y2=8,y1?y2=-48.[来?x-y=6于是ab===故 ab=22【答案】选修4—4:坐标系与参数方程而得到的圆,所以圆c的极坐标方6123【答案】?21??21??43?4【答案】b 解:a=???01?=?01?,01??????2设a=??,由a?x??y?2a=b得??43??x??10?=??, ????01??y??2?即??4x+3y=10?x=1?1?, 解得?,所以a=???2??y=2?y=2【篇二：选修4-4：参数方程教案】曲线的参数方程教学目标知识与技能：弄清理解曲线参数方程的概念.过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程情感、态度与价值观：初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中，形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。

选修4－4 坐标系与参数方程第一节 坐标系[考纲传真] 1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图1所示，在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．图1(2)极坐标①极径：设M 是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长，ρ叫作点M 的极径．②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的极角，记为θ.③极坐标：有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，t an θ＝yx (x ≠0).4．圆的极坐标方程曲线图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ＜2π) 圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos_θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2 圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin_θ(0≤0＜π)(1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R )．(2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2. (3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsin_θ＝b (0＜θ＜π)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的． ( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线． ( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )【导学号：57962483】A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 A [∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.]3．(教材改编)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．x 2＋y 2－2y ＝0 [由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ. 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.]4．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________．522 [由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2， ∴y －x ＝1.由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，得点A 的直角坐标为(2，－2)．∴点A 到直线l 的距离d ＝|2＋2＋1|2＝522.]5．(·江苏高考)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C的半径．[解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .2分 圆C 的极坐标方程可化为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，4分 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.6分则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.10分平面直角坐标系中的伸缩变换将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[解] (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎨⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.2分由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.5分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.6分不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，8分于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.10分 [规律方法] 1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，利用方程思想求解．2．求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入转化．[变式训练1] 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得点A ′的坐标；(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程． [解] (1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换 φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y2， 2分∴x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1. ∴点A ′的坐标为(1，－1).5分(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点．由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′，8分代入y ＝6x ，得2y ′＝6·x ′3＝2x ′， ∴y ′＝x ′为所求直线l ′的方程.10分极坐标与直角坐标的互化122＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.4分 (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 8分 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.10分 [迁移探究1] 若本例条件不变，求直线C 1与C 2的交点的极坐标． [解] 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝－2，θ＝π4，解得θ＝π4且ρ＝－2 2.6分 所以交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，π4.10分[迁移探究2] 本例条件不变，求圆C 2关于极点的对称圆的方程． [解] 因为点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称， 设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆C 2上， 所以(－ρ)2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.6分故所求圆C 2关于极点的对称圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋4＝0.10分[规律方法] 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，t an θ＝yx (x ≠0)．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等方法．[变式训练2] (·北京高考改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两交点间的距离． [解] (1)由C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0， ∴x －3y －1＝0，表示一条直线. 2分由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2x ，则(x －1)2＋y 2＝1. ∴C 2是圆心为(1,0)，半径r ＝1的圆. 4分 (2)由(1)知点(1,0)在直线x －3y －1＝0上， 因此直线C 1过圆C 2的圆心.6分 ∴两交点A ，B 的连线段是圆C 2的直径． 因此两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2.10分 直线与圆的极坐标方程的应用1⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足t an α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆.2分将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.4分(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组 ⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知t an θ＝2，得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 8分 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.10分 [规律方法] 1.第(1)问将曲线C 1的参数方程先化为普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的化归与转化能力．第(2)问中关键是理解极坐标方程，有意识地将问题简单化，进而求解．2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标方程解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．[变式训练3] (·太原市质检)已知曲线C 1：x ＋3yy ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离.【导学号：57962484】[解] (1)曲线C 1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3. ∴ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32. 2分曲线C 2化为x 26＋y 22＝1.(*) 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式得ρ26cos 2θ＋ρ22sin 2θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6.∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin 2θ.4分(2)∵M (3，0)，N (0,1)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，6分把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6.把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6. 8分 ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.10分[思想与方法]1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以ρ等．2．确定极坐标方程的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． [易错与防范]1．平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一．极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ＜2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点： (1)注意ρ，θ的取值范围及其影响．(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用．。

§1.2.（1、2）极坐标及其与直角坐标的关系学习目标1.通过具体实例引入确定点的位置的新形式，即极坐标。

2.能够建立极坐标系并描出系中点的位置，在极坐标系中观察一些对称点的坐标关系。

学习过程【任务一】问题分析问题1：一艘军舰在海面上巡逻，发现附近水域里有一片水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？问题2：思考解决上述问题的关键因素是什么？【任务二】新知理解1.极坐标系：在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条 ，一个 及计算 的正方向（通常 ），合称为一个 。

2.在下图极坐标系中，O 点称为 ，Ox 称为 。

3.图中点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对 称为点M 的极坐标。

其中ρ称为 ，θ称为 。

【任务三】典型例题分析例1：在同一个极坐标系中，画出以下点：)62(π，A )66(π-，B )321(π，C )4(π，D )05(，E )4(π-，F注意：1.一般限定0≥ρ。

特别地：⎩⎨⎧<=,00ρρ， 2.与直角坐标不同，给定点的极坐标),(θρ，唯一确定平面上点，但是平面上点的极坐标并不唯一，比如例1中的 ,如何限定则除极点外一一对应？例2：建立极坐标系描出点)22()63(ππ，，，B A ，分别求点A 关于极轴，直线OB ，极点的对称点的极坐标。

小结：点),(θρ关于极轴的对称点是 ，关于某直线的对称点是 ，关于极点的对称点是 。

思考：极坐标系中，ρ恒为1的点的集合构成什么样的曲线？θ恒为4π的点呢？ 【任务四】探究极坐标与直角坐标的关系如图，在平面上取定一个极坐标系，一极轴作为直角坐标系的x 轴的正半轴，以2πθ=的射线作为y1.用θρ，表示y x ,。

2.用y x ,表示θρtan ，。

例3：把点M 的极坐标)65,3(π化为直角坐标形式。

例4：把点M 的直角坐标)1,1(-化为极坐标形式（限定πθπρ≤<-≥，0）【任务五】课后作业教材P10习题1-2，附纸交。

数学选修4-4 坐标系与参数方程导学案本章考试说明要求：1．坐标系的有关概念 2．简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程 3．极坐标方程与直角坐标方程的互化 4．参数方程 5．直线、圆和椭圆的参数方程 6．参数方程与普通方程的互化 7．参数方程的简单应用 本章具体内容：一、坐标系的有关概念1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系.2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系.3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取 方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O 称为 ，射线OX 称为 ）如图，设M 是平面上的任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线OX 为始边，射线OM 为终边所成的角。

那么有序数对(,)ρθ称为点M 的极坐标。

其中ρ称为 ，θ称为 . 由极径的意义可知0ρ≥.当极角θ的取值范围是[)0,2π时，平面上的点（除去极点）就与极坐标()(),0ρθρ≠建立一一对应的关系.约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角. 4．极坐标的统一形式一般地，如果(),ρθ是点M 的极坐标，那么 或 ()k Z ∈,都可以作为点M 的极坐标. 二、简单图形的极坐标方程1．直线的极坐标方程：若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： .注：几个特殊位置的直线的极坐标方程 （1）直线过极点方程： 图：（2）直线过点)0,(a M 且垂直于极轴 方程： 图：（3）直线过(,)2M b π且平行于极轴方程： 图： 练习：按下列条件写出直线的极坐标方程：①经过极点，且倾斜角为6π的直线； ②经过点2,4A π⎛⎫⎪⎝⎭，且垂直于极轴的直线； ③经过点3,3B π⎛⎫-⎪⎝⎭，且平行于极轴的直线； ④经过点()4,0C ，且倾斜角为34π的直线. 2．圆的极坐标方程： 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为： .注：几个特殊位置的圆的极坐标方程 （1）当圆心位于极点方程： 图： （2）当圆心位于(,0)M r方程： 图： （3）当圆心位于(,)2M r π方程： 图： 练习：按下列条件写出圆的极坐标方程： ①以()2,0A 为圆心，2为半径的圆； ②以4,2B π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，4为半径的圆； ③以()5,C π为圆心，且过极点的圆；④以4D π⎫⎪⎭为圆心，1为半径的圆. 三、极坐标方程与直角坐标方程的互化以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和(,)ρθ，则x =2ρ=y = tan θ=练习：①将下列各点的极坐标化为直角坐标：4π⎫⎪⎭= ； 6,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭= ； 112,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭= ； ()5,π= ； 34,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭= ； 34π⎛⎫- ⎪⎝⎭= . ②将下列各点的直角坐标化为极坐标：)= ；()1,1--= ；()3,0-= ；()0,5= ；(4,-= ；()= .考点1 极坐标与直角坐标互化例1 在极坐标中，求两点)4,2(),4,2(ππ-QP之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程.练习1 已知圆C：22(1)(1x y++=，则圆心C的极坐标为__(0,02)ρθπ>≤<练习2 在极坐标中，求两点间的距离：（1）)215,12(),35,5(00BA（2）)125,8(),12,3(ππBA（3）)0,0)(,(),,(212211>>ρρθρθρBA练习3 （1）在极坐标中，点),(θρP关于极轴的对称点的坐标为；（2）在极坐标中，求点)6,5(πM关于直线4πθ=的对称点的坐标为.考点2 极坐标方程与直角坐标方程互化例2 已知曲线C的极坐标方程是4sinρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的方程是40x y--=，点P是曲线C上的动点，点Q是直线l上的动点，求PQ的最小值．练习1 在极坐标系中，圆2cos=θρ与直线1cos=θρ的位置关系是．练习2 在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin3cos=+θθρ的距离的最小值是_____ ．练习3在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sinρθ=的切线，则切线的极坐标方程是．练习4 设过原点O的直线与圆C：22(1)1x y-+=的一个交点为P，点M为线段OP的中点.（1）求圆C的极坐标方程；（2）求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．极坐标系强化训练1．点M的直角坐标是(1-，则点M的极坐标为（）A．(2,)3πB．(2,)3π-C．2(2,)3πD．(2,2),()3k k Zππ+∈2．极坐标方程cos2sin2ρθθ=表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆3．在极坐标系中，直线24sin=⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为__ .4．设(A2，32π），(B3，3π）是极坐标系上两点，则AB= _.5．已知某圆锥曲线C的极坐标方程是22225916cosρθ=+，则曲线C的离心率为（）A．45B．53C．35D．456．在极坐标系中，已知曲线)3,1(.cos4:)3cos(:21-∈==+mCmC若和θρπθρ，则曲线C1与C2的位置关系是A．相切B．相交C．相离D．不确定7．在极坐标系中，直线21cos=θρ与曲线θρcos2=相交于A、B两点，O为极点，则∠AOB= 23π8．与曲线01cos=+θρ关于4πθ=对称的曲线的极坐标方程是01sin=+θρ9．以坐标原点为极点，横轴的正半轴为极轴的极坐标系下，有曲线C：4cosρθ=，过极点的直线θϕ=（Rϕ∈且ϕ是参数）交曲线C于两点AO,，令OA的中点为M.（1）求点M在此极坐标下的轨迹方程（极坐标形式）.（2）当53πϕ=时，求M点的直角坐标.10．已知直线lkkCl若直线和圆),0)(4cos(2:4)4sin(:≠+⋅==-πθρπθρ上的点到圆C上的点的最小距离等于2。

1.2.1.极坐标系的概念【学习目标】1.理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构；2.理解极坐标系下点的极坐标(,)ρθ与点之间的多对一的对应关系； 3.已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标.【重点难点】重点：理解极坐标的意义. 难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置.【学习过程】一．课前预习二．课堂学习与研讨（一）知识梳理1.建立极坐标的方法：在平面内取一个定点O ，叫做 ；自 O 引一条射线Ox ，叫做 ；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.2.极坐标系中点的极坐标的规定：设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M的 ，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角∠xOM 叫做点M 的 ，记为θ.有序数对(,)ρθ就叫做M 的极坐标. 一般地, 0ρ≥,θ为任意实数.特别地，极点的极坐标为 .3. 在极坐标系中点与它的极坐标的对应关系:（1）已知极坐标),(θρ,在平面上可以确定 点M .（2）给定平面上一点M ，却有无数个极坐标，点M 的极坐标统一的表达式为 ．（3）如果规定0>ρ，)2,0[πθ∈，那么除极点外，极坐标系中的点与极坐标是 对应．（二）例题分析例1．写出右图中各点的极坐标，并回答下面的问题：（１）平面上一点的极坐标是否唯一？（２）若不唯一，那有多少种表示方法？（３）坐标不唯一是由什么因素引起的？练习1. 在极坐标系里描出下列各点：(3,0)A ，(6,2)B π，(3,)2C π，4(5,)3D π，5(3,)6E π，(4,)F π，5(6,)3G π.例２．在极坐标系中，（1）已知两点5(5,)4P π，(1,)4Q π，求线段PQ 的长度； （2）已知M 的极坐标为(,)ρθ且3πθ=，R ρ∈，说明满足上述条件的点M 的位置.练习2. 若ABC ∆的的三个顶点为5(5,)2A π，5(8,)6B π，)34,3(πC ，判断三角形的形状.三．达标检测 A 基础巩固1.在极坐标系中，与点(8,)6π关于极点对称的点的一个坐标是( ) A.(8,)6π- B.5(8,)6π- C.5(8,)6π D.2(8,)3π 2．两点(2,)3M π，4(5,)3N π之间的距离是（ ） A.3 B.4 C.7 D.83.P 与(,)Q ρθ关于极轴对称，则P 的坐标是（ ）A.(,)ρθ-B.(,)ρπθ-C.(,)ρπθ+D.(,2)ρπθ+B 提升练习4.如图，写出极坐标系中的边长为a 正方形OABC 的三个顶点 A 、B 、C 的坐标A （ ）；B （ ）；C （ ）C5.在极坐标系中，如果等边ABC ∆的两个顶点是(2,)4A π，5(2,)4B π，求第三个顶点C 的坐标.四．拓展延伸与巩固6. 若ABC ∆的的三个顶点为5(5,)2A π，5(8,)6B π，7(3,)6C π，则三角形的形状为 .7. 已知两点)3,2(π，)2,3(π，求两点间的距离.。

信息中心·O·CB··A观测点观测点观测点1.1.1 平面直角坐标系【学习目标】1.理解平面直角坐标系的意义，掌握在平面直角坐标系中描述点或线的方法. 2．掌握坐标法解决几何问题的方法步骤. 3.体会坐标系的作用.【重点难点】重点：建立坐标系解决几何问题的方法步骤.难点：应用坐标法解决问题.一．课前预习阅读教材42~P P 的内容，体会平面直角坐标系在解决实际问题和几何问题中的作用，并自主解决下列问题：1. 到两个定点A （-1，0）与B （0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？并求其轨迹方程。

2．在⊿ABC 中，已知A （5，0），B （-5，0），且6=-BC AC ，求顶点C 的轨迹和轨迹方程.3.求直线0532=+-y x 与曲线xy 1=的交点坐标. 二．课堂学习与研讨 （一）合作探索声响定位问题某信息中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到信息中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置.（假定当时声音传播的速度为340m/s ，各相关点均在同一平面上）设发出响声的位置为P ，正东、正西、正北方向 三个观测点分别为C B A ,,，阅读上面材料并 回答下列问题：由上述可知响声的位置就是 和 的交点3.建立适当的坐标系，通过推理、计算求得响声的位置P 距离信息中心O 为 ； 方向在信息中心的 . （二）知识梳理1.建立坐标系解决几何问题的方法步骤：（1）建立平面直角坐标系 （2）设点（点与坐标的对应） （3）列式（方程与坐标的对应） （4）化简 （5）说明2.根据几何特点建立适当的平面直角坐标系的规则是： （1）如果图形有对称中心，可以选择 为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择 为坐标轴； （3）使图形上的 点尽可能地在坐标轴上. 例题分析例1．已知△ABC 的三边c b a ,,满足，2225a c b =+,BE,CF 分别为边AC,AB 上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.练习2. 教材 习题1.1 3 课堂归纳小结(1)利用坐标法可以把平面几何问题转化为代数问题，以代数运算代替几何证明；对于某些几何问题，用坐标法有明显的优势；(2)建立直角坐标系要尽可能选择适当的直角坐标系的一些规则：如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上. 达标检测A 基础巩固1．原点在直线l 上的射影是(2,1)P -，则l 的方程为（ ） A. 20x y += B.240x y +-= C. 250x y -+=D .230x y ++=2. 直线0x +=被圆224x y +=截得的弦长是 .3．已知正方形的一个顶点为(1,0)A -,一边所在的直线方程为350x y +-=，则以A 为端点的两边所在直线的方程分别是 .B 提升练习4.圆22420x y x y F +-++=与y 轴交于,A B 两点，圆心为C ，若90ACB ∠=，则F 的值是 （ ）A.-B.3 D.3-5．若直线y x b =+与曲线x =则实数b 的取值范围是 .拓展延伸与巩固6．课本习题1.1 第2题已知点A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，已知4=BC ，点A 到直线l 的距离为3，求ABC ∆的外心的轨迹方程.。

选修4－4 坐标系与参数方程第一节 坐标系[基础梳理] 1．坐标系 (1)坐标变换设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:⎩⎨⎧x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下,点P (x ,y )对应到点(λx ,μy ),称φ为坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系在平面内取一个定点O ,叫作极点；自极点O 引一条射线Ox ,叫作极轴；再选一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内任意一点,极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的极径,记为ρ；以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的极角,记为θ,有序数对(ρ,θ)叫作点M 的极坐标,记为M (ρ,θ)． 2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x ,y )和(ρ,θ),则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）.3．常用简单曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆ρ＝r圆心为(r ,0),半径为r 的圆ρ＝2r cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ≤π2 圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2,半径为r 的圆ρ＝2r sin θ (0≤θ<π)1．明辨两个坐标伸缩变换关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0），点(x ,y )在原曲线上,点(x ′,y ′)在变换后的曲线上,因此点(x ,y )的坐标满足原来的曲线方程,点(x ′,y ′)的坐标满足变换后的曲线方程． 2．极坐标方程与直角坐标方程互化(1)公式代入:直角坐标方程化为极坐标方程公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简．(2)整体代换:极坐标方程化为直角坐标方程,变形构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换． [四基自测]1．点P 的直角坐标为(1,－3),则点P 的极坐标为______． 答案:(2,－π3)2．在极坐标系中,圆心在()2，π且过极点的圆的方程为________． 答案:ρ＝－2 2 cos θ3．在极坐标系中,直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ,B 两点,则|AB |＝________． 答案:24．在极坐标系中,圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________． 答案:65．已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0,则圆C 的半径为________．答案: 6考点一 伸缩变换◄考基础——练透[例1] (1)在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后,曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1,求曲线C 的方程．解析:把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5xy ′＝3y 代入曲线2x ′2＋8y ′2＝1,可得2(5x )2＋8(3y )2＝1,化为50x 2＋72y 2＝1,即为曲线C 的方程．(2)在同一直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换:由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.解析:法一:设变换为φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），可将其代入x ′2＋y ′2＝1,得λ2x 2＋μ2y 2＝1.将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 24＝1,比较系数得λ＝13,μ＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .故将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13,纵坐标变为原来的12,可得到圆x ′2＋y ′2＝1.法二:利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1,与x ′2＋y ′2＝1对应项比较即可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x3，y ′＝y 2.故将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13,纵坐标变为原来的12,可得到圆x ′2＋y ′2＝1.1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x ),得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ,整理之后得到y ′＝h (x ′),即为所求变换之后的方程．2．应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x ,y )与变换后的坐标(x ′,y ′)．1．(2019·池州模拟)求曲线x 2＋y 2＝1经过φ:⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝4y变换后得到的新曲线的方程．解析:曲线x 2＋y 2＝1经过φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝4y 变换后,即将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝y ′4代入圆的方程,可得x ′29＋y ′216＝1,即所求新曲线方程为:x 29＋y 216＝1.2．求正弦曲线y ＝sin x 按:φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y 变换后的函数解析式．解析:设点P (x ,y )为正弦曲线y ＝sin x 上的任意一点, 在变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y 的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′)．即φ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′，代入y ＝sin x 得2y ′＝sin 3x ′,所以y ′＝12sin3x ′,即y ＝12sin 3x 为所求．考点二 极坐标与直角坐标的互化◄考能力——知法[例2] (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.①M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM |·|OP |＝16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；②设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3,点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值．解析:①设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ,|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． ②设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2,ρB ＝4cos α,于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3|＝2|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32|≤2＋ 3.当α＝－π12时,S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数,a >0)．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ＝4cos θ.①说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；②直线C 3的极坐标方程为θ＝α0,其中α0满足tan α0＝2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a .解析:①消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.②曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0,由方程组得16cos 2 θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0, 由已知tan θ＝2,可得16cos 2 θ－8sin θcos θ＝0, 从而1－a 2＝0,解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. a ＝1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上． 所以a ＝1.将本例(2)曲线C 1变为ρ＝cos θ＋sin θ,曲线C 2变为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求C 1和C 2的直角坐标方程；(2)当θ∈(0,π)时,求C 1与C 2公共点的一个极坐标． 解析:(1)曲线C 1:ρ＝cos θ＋sin θ,即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ,曲线C 1的直角坐标方程为:x 2＋y 2＝x ＋y ,即x 2＋y 2－x －y ＝0,曲线C 2:ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22,即ρsin θ－ρcos θ＝1,则曲线C 2的直角坐标方程为:y －x ＝1,即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，C 1与C 2公共点的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.1．极坐标方程与普通方程的互化技巧(1)将极坐标方程两边同乘ρ或同时平方,将极坐标方程构造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式,转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式,进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ,将y 换成ρsin θ,即可得到其极坐标方程． 2．涉及圆的极坐标方程的解决方法方法一:先把涉及的直线或圆的极坐标方程化为直角坐标方程,再根据直角坐标系中的相关知识进行求解；方法二:直接利用极坐标的相关知识进行求解,其关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系．这一过程需要用到解三角形的知识,并需要掌握直线和圆的极坐标方程．(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程．解析:(1)由x＝ρcos θ,y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0),半径为2的圆．由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1,y 轴左边的射线为l2.由于点B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时,点A 到l 1所在直线的距离为2,所以|－k ＋2|k 2＋1＝2,故k＝－43或k ＝0.经检验,当k ＝0时,l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点． 当l 2与C 2只有一个公共点时,点A 到l 2所在直线的距离为2,所以|k ＋2|k 2＋1＝2,故k＝0或k ＝43.经检验,当k ＝0时,l 1与C 2没有公共点； 当k ＝43时,l 2与C 2没有公共点． 综上,所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.考点三 极坐标方程的应用◄考基础——练透[例3] (2019·山西太原模拟)点P 是曲线C 1:(x －2)2＋y 2＝4上的动点,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点O 为中心,将点P 逆时针旋转90°得到点Q ,设点Q 的轨迹为曲线C 2. (1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝π3(ρ＞0)与曲线C 1,C 2分别交于A ,B 两点,定点M (2,0),求△MAB 的面积．解析:(1)由曲线C 1的直角坐标方程(x －2)2＋y 2＝4可得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.设Q (ρ,θ),则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2,则有ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝4sin θ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)M到射线θ＝π3(ρ＞0)的距离d＝2sinπ3＝3,|AB|＝ρB－ρA＝4⎝⎛⎭⎪⎫sinπ3－cos π3＝2(3－1),则S△MAB＝12|AB|×d＝12×2(3－1)×3＝3－ 3.判断位置关系和求最值问题的方法(1)已知极坐标方程讨论位置关系时,可以先化为直角坐标方程,化陌生为熟悉再进行解答．(2)已知极坐标方程解答最值问题时,通常可转化为三角函数模型求最值问题,比直角坐标系中求最值的运算量小．提醒:在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性．在极坐标系中,判断直线4ρcos(θ－π6)＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数． 解析:直线方程可化为2ρsin θ＋23ρcos θ＋1＝0,即23x ＋2y ＋1＝0,圆为x 2＋(y －1)2＝1,因为圆心到直线的距离d ＝34＜1,所以有两个交点．课时规范练 A 组 基础对点练1．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2,ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程． (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解析:(1)ρ＝2⇒ρ2＝4,所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2,所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2,所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1, 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.2．在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝9,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程．(2)直线OP :θ＝π6(ρ∈R )与圆C 交于点M ,N ,求线段MN 的长． 解析:(1)(x －3)2＋(y ＋1)2＝9可化为x 2＋y 2－23x ＋2y －5＝0, 故其极坐标方程为ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0. (2)将θ＝π6代入ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0,得 ρ2－2ρ－5＝0,所以ρ1＋ρ2＝2,ρ1ρ2＝－5, 所以|MN |＝|ρ1－ρ2|＝4＋20＝2 6.3．在极坐标系中,已知圆C 经过点P (2,π4),圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点,求圆C 的极坐标方程．解析:因为点P (2,π4),所以x ＝2cos π4＝1,y ＝2sin π4＝1,所以点P (1,1)．因为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32,展开为12ρsin θ－32ρcos θ＝－32,所以y －3x ＝－3,令y ＝0,则x ＝1,所以直线与x 轴的交点为C (1,0)．所以圆C 的半径r ＝|PC |＝（1－1）2＋（1－0）2＝1,所以圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1,展开为x 2－2x ＋1＋y 2＝1,化为极坐标方程ρ2－2ρcos θ＝0,即ρ＝2 cos θ,所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.4．在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数),l 与C 交于A ,B 两点,|AB |＝10,求l 的斜率．解析:(1)由x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α,ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38,tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.B 组 能力提升练5．已知在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t(t 为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数),曲线C 1上点P 的极角为π4,Q为曲线C 2上的动点,求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值． 解析:(1)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ, 即ρ2＝4ρcos θ,可得直角坐标方程:C 1:x 2＋y 2－4x ＝0.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t (t 为参数),消去参数t 可得普通方程:x ＋2y －3＝0.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4,直角坐标为(2,2),Q (2cos α,sin α),M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos α，1＋12sin α,∴M 到l 的距离为d ＝|1＋cos α＋2＋sin α－3|5＝105⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤105, 从而最大值为105. 6．在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数,t ≠0), 其中0≤α≤π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ＝2sin θ,C 3:ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值．解析:(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0,曲线C 3的直角坐标方程x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α≤π. 因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2 3 cos α,α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时,|AB |取得最大值,最大值为4.第二节 参数方程[基础梳理] 1．曲线的参数方程在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值,由这个方程组所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数,简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程F (x ,y )＝0叫普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程:利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程:如果x ＝f (t ),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t ),则得曲线的参数方程⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）.3．直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程1．参数方程化普通方程(1)常用技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等． (2)常用公式:cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ. 2．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1,M 2是l 上的两点,其对应参数分别为t 1,t 2,则 (1)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(2)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ,则t ＝t 1＋t 22,中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22. (3)若M 0为线段M 1M 2的中点, 则t 1＋t 2＝0. [四基自测]1．直线y ＝x 与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案:C2．若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数),则直线的斜率为________．答案:－33．曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ－1(θ为参数),则曲线C 的普通方程为________．答案:y ＝－2x 2(－1≤x ≤1)4．椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数),过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ,B 两点,则|AB |min ＝________． 答案:1855．椭圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)的离心率为________．答案:215考点一 直线的参数方程◄考基础——练透[例1] (2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数),直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3:ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0,M 为l 3与C 的交点,求M 的极径．解析:(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1:y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2:y ＝1k (x ＋2)．设P (x ,y ),由题设得⎩⎨⎧y ＝k （x －2），y ＝1k （x ＋2），消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π,θ≠π)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（cos 2θ－sin 2θ）＝4，ρ（cos θ＋sin θ）－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13,从而cos 2θ＝910,sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5,所以交点M 的极径为 5.1．直线的参数方程有两种常见形式: (1)点角式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(α为倾斜角)．(2)点斜式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋aty ＝y 0＋bt(参数都是t )2．使用方法:消参数(三角公式法、相除法)化为普通方程或者利用参数法 (1)若M 1,M 2是直线l 上的两个点,对应的参数分别为t 1,t 2,则|M 0M 1→||M 0M 2→|＝|t 1t 2|,|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2.(2)若线段M 1M 2的中点为M 3,点M 1,M 2,M 3对应的参数分别为t 1,t 2,t 3,则t 3＝t 1＋t 22. (3)若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0,y 0),则t 1＋t 2＝0,t 1t 2<0.(2019·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ,B ,若点P 的坐标为(3,5),求|P A |＋|PB |. 解析:(1)由ρ＝25sin θ,得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ,即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程．得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5,即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0,故可设t 1,t 2是上述方程的两实根,所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4. 又直线l 过点P (3,5),故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. 考点二 圆的参数方程◄考能力——知法[例2] 在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ,θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l :y ＝3x ＋2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标．解析:(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数,0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ,sin t ),由(1)知C 是以G (1,0)为圆心,1为半径的半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan t ＝3,t ＝π3. 故D 的直角坐标为(1＋cos π3,sin π3),即(32,32)．1．圆的参数方程可利用三角公式消参数后再应用．2．解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题,通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．3．求距离的问题,通过设圆的参数方程,就转化为求三角函数的值域问题．(2019·河北保定一中模拟)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t(t 为参数),在以 原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为22ρcos(θ＋π4)＝－1.(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴,y 轴分别交于A ,B 两点,点P 是圆C 上任一点,求A ,B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．解析:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋ 2 sin t 消去参数t ,得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2,所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由22ρcos(θ＋π4)＝－1,得ρcos θ－ρsin θ＝－2, 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴,y 轴的交点分别为A (－2,0),B (0,2),则点A ,B 的极坐标分别为(2,π＋2k π)(k ∈Z ),(2,π2＋2k π)(k ∈Z )．设点P 的坐标为(－5＋2cos α,3＋ 2 sin α),则点P 到直线l 的距离d ＝|－5＋2cos α－3－2sin α＋2|2＝|－6＋2cos （α＋π4）|2,所以d min ＝42＝22,又|AB |＝22,所以△P AB 面积的最小值S ＝12×d min ×|AB |＝12×22×22＝4. 考点三 椭圆的参数方程◄考基础——练透[例3] (2017·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)． (1)若a ＝－1,求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17,求a . 解析:(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1. 当a ＝－1时,直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0,由⎩⎨⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时,d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17,所以a ＝8；当a <－4时,d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17,所以a ＝－16.综上,a ＝8或a ＝－16.1．区分椭圆的参数方程的参数的几何意义是离心角,与圆的参数方程的参数不同．2．椭圆的参数方程消参数时,先变为xa＝cos θ,yb＝sin θ,再利用cos2θ＋sin2θ＝1求解．已知曲线C :x 24＋y 29＝1,直线l :⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求|P A |的最大值与最小值．解析:(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|,其中α为锐角,且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时,|P A |取得最大值,最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时,|P A |取得最小值,最小值为255.课时规范练 A 组 基础对点练1．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝mt (t 为参数),圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．(1)若直线l 与圆C 的相交弦长不小于2,求实数m 的取值范围．(2)若点A 的坐标为(2,0),动点P 在圆C 上,试求线段P A 的中点Q 的轨迹方程． 解析:(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝mt(t 为参数),普通方程为y ＝mx ,圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数),普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.圆心到直线l 的距离d ＝1m 2＋1,相交弦长＝21－1m 2＋1, 所以21－1m 2＋1≥2,所以m ≤－1或m ≥1. (2)设P (cos α,1＋sin α),Q (x ,y ),则 x ＝12(cos α＋2),y ＝12(1＋sin α),消去α,整理可得线段P A 的中点Q 的轨迹方程(x －1)2＋(y －12)2＝14.2．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程．(2)若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,且|AB |＝14,求直线l 的倾斜角α的值． 解析:(1)因为ρcos θ＝x ,ρsin θ＝y ,ρ2＝x 2＋y 2,所以曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θ可化为ρ2＝4ρcos θ,所以x 2＋y 2＝4x , 所以(x －2)2＋y 2＝4.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4得:(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4,化简得t 2－2t cos α－3＝0. 设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos 2α＋12,因为|AB |＝14, 所以4cos 2α＋12＝14.所以cos α＝±22. 因为α∈[0,π), 所以α＝π4或α＝34π.所以直线的倾斜角α＝π4或α＝34π.3．在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数,α∈R ),在以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程； (2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ,B 两点,求|AB |的值．解析:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y －1＝sin α⇒x 2＋(y －1)2＝1,由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2⇒22ρsin θ－22ρcos θ＝2⇒y －x ＝2,即C 2:x －y ＋2＝0.(2)∵直线x －y ＋2＝0与圆x 2＋(y －1)2＝1相交于A ,B 两点, 又x 2＋(y －1)2＝1的圆心(0,1),半径为1, 故圆心到直线的距离d ＝|0－1＋2|12＋（－1）2＝22,∴|AB |＝212－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝ 2.B 组 能力提升练4．(2019·合肥模拟)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数),在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2的极坐标方程为ρ－2cos θ＝0.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1上有一动点M ,曲线C 2上有一动点N ,求|MN |的最小值． 解析:(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0, 由ρ2＝x 2＋y 2,ρcos θ＝x ,得x 2＋y 2－2x ＝0, 即曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)由(1)可知,圆C 2的圆心为C 2(1,0),半径为1.设曲线C 1上的动点M (3cos α,2sin α),易知点M 在圆C 2外, 由动点N 在圆C 2上可得|MN |min ＝|MC 2|min －1. 因为|MC 2|＝（3cos α－1）2＋4sin 2α＝5cos 2α－6cos α＋5＝5（cos α－35）2＋165,所以当cos α＝35时,|MC 2|min ＝455,所以|MN |min ＝|MC 2|min －1＝455－1,即|MN |的最小值为455－1.5．在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3sin α－cos α，y ＝3－23sin αcos α－2cos 2α(α为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22m .(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)若曲线C 1与曲线C 2有公共点,求实数m 的取值范围． 解析:(1)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin α－cos α，y ＝3－23sin αcos α－2cos 2α，消去参数,可得y ＝x 2(－2≤x ≤2),由ρsin(θ－π4)＝22m ,得22ρsin θ－22ρcos θ＝22m ,所以曲线C 2的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x －y ＋m ＝0，可得x 2－x －m ＝0,∵曲线C 1与曲线C 2有公共点, ∴m ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14.∵－2≤x ≤2,∴－14≤m ≤6.。

选修4-4 坐标系与参数方程【知识梳理】一、坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P (x ,y )对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R ).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02πρθ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3．极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4．常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2π),(,π),(,π),ρθρθρθρθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点ππ(,)44M 可以表示为πππππ5π(,2π)(,2π),444444+-或或(-)等多种形式,其中,只有ππ(,)44的极坐标满足方程ρθ=. 二、参数方程 1．参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一.应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.3．圆的参数设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数.这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度. 圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是222()()x a y b r -+-=，它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数. 4．椭圆的参数方程以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22221(0),x y a b a b+=>>其参数方程为cos ()sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，其中参数ϕ称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是22221(0),y x a b a b +=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数其中参数ϕ仍为离心角，通常规定参数ϕ的范围为ϕ∈[0，2π）.注：椭圆的参数方程中，参数ϕ的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2π的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等.但当π02α≤≤时，相应地也有π02ϕ≤≤，在其他象限内类似. 5．双曲线的参数方程以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为22221(0,0),x y a b a b-=>>其参数方程为sec ()tan x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，其中π3π[0,2π),.22ϕϕϕ∈≠≠且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是22221(0,0),y x a b a b-=>>其参数方程为cot ((0,2π)π.csc x b y a ϕϕϕϕϕ=⎧∈≠⎨=⎩为参数，其中且 以上参数ϕ都是双曲线上任意一点的离心角. 6．抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22(0)y px p =>的参数方程为22().2x pt t y pt⎧=⎨=⎩为参数 7．直线的参数方程经过点000(,)M x y ，倾斜角为π()2αα≠的直线l 的普通方程是00tan (),y y x x α-=-而过000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩()t 为参数.注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩()t 为参数，其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任一点(,)M x y 为终点的有向线段0M M 的数量，当点M 在0M 上方时，t ＞0；当点M 在0M 下方时，t ＜0；当点M 与0M 重合时，t =0.我们也可以把参数t 理解为以0M 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同.【真题精练】1.【2011年新课标】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足=2OP OM ，P 点的轨迹为曲线C 2. （1）求C 2的方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线π3θ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.2.【2012年新课标】已知曲线1C 的参数方程是=2cos =3sin ⎧⎨⎩x y ϕϕ（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为π(2,)3. （1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围.3.【2013年新课标I 】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π）.4.【2013年新课标II】已知动点P，Q都在曲线C：2cos,2sinx ty t=⎧⎨=⎩(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．5.【2014年新课标II】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为π2cos,[0,].2ρθθ=∈（1）求C的参数方程；（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线:2l y=+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标.6. 【2015年新课标I 】在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程. （2）若直线3C 的极坐标方程为()π4R θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的面积.7. 【2015年新课标II 】在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩( t 为参数,且0t ≠),其中0πα≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ==（1）求2C 与3C 交点的直角坐标；（2）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.8.【2016年新课标I 】在直线坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧+==t a y ta x sin 1cos （t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （1）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）直线C 3的极坐标方程为0α=θ，其中0α满足tan 0α=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .9.【2016年新课标II 】在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=． （1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B 两点，AB =l的斜率．10.【2016年新课标III 】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 x =qy =sin q ìíïîï为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为πsin(+)=4ρθ（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.11.【2017新课标I 】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la .12.【2017新课标II 】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为π(2,)3，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．13.【2017新课标III 】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为,,x m my k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．【参考答案】【真题精练】1.【解】（1）设P (x , y )，则由条件知(,)22x y M . 由于M 点在C 1上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，从而C 2的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.（2）曲线C 1的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线C 2的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线π3θ=与C 1的交点A 的极径为1π4sin 3ρ=，射线π3θ=与C 2的交点B 的极径为2π8sin 3ρ=.所以21||||AB ρρ-==2.【解】（1）依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为π5π4π11π(2,),(2,),(2,),(2,)3636. 所以点A ，B ，C ，D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-. （2）设()2cos ,3sin P ϕϕ，则222222||||||||(12cos )3sin )PA PB PC PD ϕϕ+++=-+222222(2cos )(13sin )(12cos )(3sin )2cos )(13sin )ϕϕϕϕϕϕ++-+--+++--[]22216cos 36sin 163220sin 32,52ϕϕϕ=++=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.3.【解】(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0. 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 4.【解】(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2,x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d=＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．5.【解】（1）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤，可得C 的参数方程为1cos sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0πt ≤≤）.（2）设(1cos ,sin )D t t +由（1）知C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同.πtan 3t t ==，故D 的直角坐标为ππ(1cos ,sin )33+，即3(,22. 6. 【解】（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.（2）将π4θ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得12ρρ==故12ρρ-=MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为12. 7. 【解】（1）曲线23:2sin ,:C C ρθρθ==的直角坐标方程是.032:;0:222221=-+=-+x y x C y y x C⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∴====.23230,0,.23,23.0,021），、（）交点的直角坐标为（联立解得C C y x y x （2）曲线C 1的极坐标方程为00πR ∈≠≤ρ=αρρα<.（，，） 因此点A 的极坐标为（2sin α，α），点B 的极坐标为（cos α，α）， 所以|AB |=|2sin αα|=4|sin(α-π3)|.所以当α=5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4. 8.【解】（1）（均为参数），∴①，∴为以为圆心，为半径的圆．方程为， ∵，∴，即为的极坐标方程. （2）两边同乘得，即②：化为普通方程为，由题意：和的公共方程所在直线即为，①—②得：，即为，∴，∴. 9.【解】（1）整理圆的方程得，由可知圆的极坐标方程为． （2）记直线的斜率为，则直线的方程为，， 即，整理得，则. 10.【解】（1）C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)，∵C2是直线，∴|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (a )＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin(α＋π3)－2 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12).11.【解】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=， 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩t ()2221x y a +-=1C ()01，a 222210x y y a +-+-=222sin x y y ρρθ+==，222sin 10a ρρθ-+-=1C 24cos C ρθ=：ρ22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=()2224x y -+=3C 2y x =1C 2C 3C 24210x y a -+-=3C 210a -=1a =2212110x y +++=222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩C 212cos 110ρρθ++=k 0kx y -==22369014k k =+253k =k =由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=， 故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l的距离为d =.当4a ≥-时，d=8a =； 当4a <-时，d.=16a =-. 综上，8a =或16a =-.12.【解】（1）设()()00M P ρθρθ，，，，则0||OM OP ρρ==，．000016cos 4ρρρθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为()2224x y -+=．()0x ≠ （2）连接AC ，易知AOC △为正三角形，||OA 为定值． ∴当高最大时，AOB S △面积最大，如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点交圆C 于B 点，此时AOB S △最大， max 1||||2S AO HB =⋅()1||||||2AO HC BC =+2=.13.【解】⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……① ()21:2l y x k=+ ……② ①⨯②消k 可得：224x y -=，即P 的轨迹方程为224x y -=；⑵将参数方程转化为一般方程3:0l x y +-= ……③联立曲线C 和3l 2204x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得ρ=，即M.。

4.1《坐标系》导学案（1）4.1.1 直角坐标系学习目标1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法；2．体会直角坐标系的作用，能够建立适当的直角坐标系，解决数学问题． 学习过程 一、自主学习 【基础知识】阅读教材1P ——2P 的内容，自主完成下面的问题：1.参照系 为了刻画一个几何图形的位置，需要设定一个__________，即以________为标准确定它的相对位置．__________不同，表示几何图形位置的方式也不同．坐标系就是一个________，它是实现__________与__________互相转化的基础．2.数轴 在直线上，取一个点为__________，并确定一个__________和直线的__________，就建立了__________的坐标系，即数轴．它使直线上任一点P 都可以由惟一的实数x 确定，x 称为点P 的__________．3.平面直角坐标系 在_______上，当取定两条__________的直线的交点为_________，并确定了__________和这两条直线的__________，就建立了平面直角坐标系。

它使平面上任一点P 都可以由_______的_______实数对（x ,y ）确定，（x ,y ）称为点P 的________．4.空间直角坐标系 在_______中，选择__________且__________的三条直线，取定这三条直线的交点为_______，并确定了一个__________和这三条直线的_______，就建立了空间直角坐标系。

它使空间上任一点P 都可以由_______的_______实数组（x ,y ，z ）确定，（x ，y ，z ）称为点P 的__________．5.建立坐标系是为了确定点的_______，因此，在所建的坐标系中应满足：任意一点都有__________与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的______．6.在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立了______对应；在平面直角坐标系中，______________________与____________________________建立一一对应；在空间直角坐标系中，空间所有点的集合与全体三元有序实数组__________的集合建立一一对应．7.确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的______． 【牛刀小试】⒈在平面直角坐标系中，已知点P （﹣3，1），分别按下列条件求出点Q 的坐标： ⑴Q 是点P 关于点（2，﹣1）的对称点； ⑵Q 是点P 关于直线y x 的对称点；⑶Q 是点P 关于直线y x =-的对称点； ⑷Q 是点P 关于直线220x y -+=的对称点．⒉你有疑惑之处吗？写出来。