数理方程复习概要

齐次化原理：
2 ∂ 2u ∂ u 2 + f ( x, t ), x ∈ R, t > 0 a ∂ = 2 2 ∂x t u ( x, 0) = 0, x∈R ut ( x, 0) = 0,
第三章 特征值问题与特殊函数

第一节 Sturm - Liouville问题 第二节 Bessel函数 第三节 Legendre函数
第三章 孤立奇点的处理方法

第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
孤立奇点的定义 Laurent级数 孤立奇点的分类 留数及留数定理 应用留数定理计算实函数的积分

典型例子
求函数
1 f (z) = ( z − 1)( z − 2)
分别在下列区域 内的洛朗级数展习
2011年12月23日
复变函数部分

复数与复变函数 解析函数 复变函数的积分 级数 留数定理及其应用
第一章 复平面上的复变函数

第一节 第二节 第三节 第四节
复数及运算 区域 复变函数 复变函数的极限和连续性
第二章 解析函数的微积分

2 ∂ 2u ∂ u 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ∂t 2 a ∂x 2 , = ut ( x, 0) ψ ( x), x ∈ [0, l ] u ( x, 0) ϕ ( x),= u= u= t≥0 0, x (0, t ) x (l , t )
2 ∂u ∂ u 2 = x ∈ (0, l ), t > 0 ∂t a ∂x 2 , = x ∈ [0, l ] u ( x, 0) ϕ ( x), u (0, = t ) u x= (l , t ) 0, t ≥ 0
sin x dx x
2. ∫
3. ∫
4. ∫
6. ∫
+∞ 0
+∞
x sin x dx 2 1+ x
5. ∫
+∞ 0
0
sin x dx 2 x ( x + 1)
7.计算Fresnel积分
∫ ∫
+∞ 0 +∞
sin( x 2 )dx cos( x 2 )dx
0
数学物理方程部分

数学物理方程及定解问题 波动方程初始问题的求解 分离变量法 积分变换法 Green函数法
2 ∂u 2 ∂ u = 0 < x < l, t > 0 ∂t a ∂x 2 , = = t ) u( l , t ) 0, t > 0 u x (0, u ( x, 0) ϕ ( x) = 0≤ x≤l
2 ∂u 2 ∂ u = a , −∞ < x < +∞, t > 0 2 ∂x ∂t u ( x, 0) ϕ ( x), −∞ < x < +∞ =
例1：
例2：
2 ∂ 2u ∂ u 2 = ∂ 2 a ∂ 2 , x t u ( x,1) = cos x, ut ( x,1) = 0,
x ∈ R, t > 1 x∈R
对称延拓法：
2 ∂ 2u ∂ u 2 x > 0, t > 0 ∂t 2 a ∂x 2 , = = ut ( x, 0) ψ ( x), x ≥ 0 u ( x, 0) ϕ ( x), u (0, t ) 0, t≥0
第一章 方程的建立及方程的一般概念

第一节 第二节 第三节 第四节
方程的一般概念 经典方程的导出 定解条件与定解问题 二阶线性偏微分方程的分类

典型例子
2 2 ∂ 2u ∂ 2u u ∂ 2 2 ∂ u , 0 < x < l, t > 0 = 0 2 a ∂t 2 a ∂x 2 , −∞ < x < +∞, t >= 2 ∂t ∂x u ( x, 0) = ϕ ( x), = = t ) u( l , t ) 0, t > 0 u (0, −∞ < x < +∞ u ( x, 0) = 0, u x x = ψ ( , 0) ( ), t 0≤ x≤l = u x x t ( , 0) ψ ( ),
+∞
H ′ ( x ) = δ ( x) −δ ′( x) δ ′(−x) =
2 ∂u ∂ u 2 = + f ( x, t ), −∞ < x < +∞, t > 0 a 2 ∂x ∂t = −∞ < x < +∞ u ( x, 0) ϕ ( x),
2 ∂u 2 ∂ u = a , −∞ < x < +∞, t > 0 2 ∂x ∂t u ( −∞ < x < +∞ x, 0) 1, =
2 ∂ 2u 2 ∂ u = ∂t 2 a ∂x 2 , −∞ < x < +∞, t > 0 u ( x, 0) = ϕ ( x), −∞ < x < +∞ ut ( x, 0) = ψ ( x),
热传导方程的半无界问题
2 ∂u ∂ u 2 = ∂t a ∂x 2 , 0 < x < +∞, t > 0 = u( x,0) 0, 0 < x < +∞ u(0, t ) f (t ), t > 0 =
∫
3 z−i = 2
∫
2 ze z dz
z−i = 2
ez dz ∫ 3 z2 ( z2= + 1)
ez 1 i 1 ∫ z −i =32 z + i ( z + z 2 − z − i )dz
1 ei ei = 2π i ( + 1 + i − = ) 2π ( i − ) i 2i 2
Θ′′ + λΘ =0 Θ(θ + 2π ) Θ(θ ) =
第四章 分离变量法

第一节 波动方程 第二节 热传导方程 第三节 高维定解问题的分离变量法 （Laplace特征值问题）

典型例子
2 ∂ 2u ∂ u 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ∂t 2 a ∂x 2 , = ut ( x, 0) ψ ( x), x ∈ [0, l ] u ( x, 0) ϕ ( x),= u= t≥0 (0, t ) u= (l , t ) 0,
ez ei ei dz 2π i (1-0+ = 例5 ) 2π ( i − ) ∫ 3 z 2 ( z 2 + 1)= -2i 2
z−i = 2
1. ∫
2π 0
2π 0
+∞ −∞
1 dθ 其中0<ɛ<1. 1 + ε cos θ
1 dθ 3 − 2cos θ + sin θ
dx (1 + x 2 ) 2
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
导数 解析函数 Cauchy定理 Cauchy积分公式 Taylor级数

典型例子
已知解析函数f(z)的实部为u(x,y)=2(x-1)y， 且f(2)= -i．求此解析函数f(z)．

典型例子
iz ze Im dz 2 z + 1 z =2
2 ∂ 2u ∂ u 2 ∂t 2 = a ∂x 2 + A( x) sin ωt , x ∈ (0, l ), t > 0 = x ∈ [0, l ], ( x, 0) u= 0, u t ( x, 0) u= t≥0 (0, t ) u= (l , t ) 0,
2 ∂u 2 ∂ u = −∞ < x < +∞, t > 0 a , 2 ∂x ∂t u ( x,= 0) δ ( x − x0 ), −∞ < x < +∞
2 ∂u ∂ u 2 = + Au , −∞ < x < +∞, t > 0 a 2 ∂x ∂t u ( x,= 0) δ ( x − x0 ), −∞ < x < +∞
第五章 积分变换法

第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
δ-函数 Fourier变换 Fourier变换的应用 Laplace变换 Laplace变换的应用

典型例子
例1：证明 例2：计算 例3：证明 例4：证明
1 δ ( ax ) = δ ( x) |a |
nπ x ∫−∞ δ (2 x − 1) cos l dx

典型例子
2 ∂ 2u u ∂ 2 = ∂t 2 a ∂x 2 , −∞ < x < +∞, t > 0 u ( x, 0) = ϕ ( x), −∞ < x < +∞ ut ( x, 0) = ψ ( x),
2 ∂ 2u ∂ u 2 = ∂t 2 a ∂x 2 , x ∈ R, t > 0 u ( x, 0) = 1, x∈R 2 ut ( x, 0) = x ,
可用对称延拓法结合Fourier变换求解，或是Laplace变换求解。 热传导方程的初值问题
2 ∂u ∂ u 2 = − Au , a 2 ∂x ∂t u ( x, 0) ϕ ( x), =
− ∞ < x < +∞, t > 0 − ∞ < x < +∞
0 0 X ′′( x) + λ X ( x) = X ′′( x) + λ X ( x) = ′(l ) 0 ′(0) X = = = (0) X (l ) 0 X X= 0 X ′′( x) + λ X ( x) = 0 X ′′( x) + λ X ( x) = = = X (0) X ( l ) 0 ′(0) X ′(l ) 0 = X=