数理方程重点总结.ppt

12
上午12时3分
流入的热量导致V 内的温度发生变化 u ( x , y , z , t 1 )u ( x , y , z , t 2 ) ,温度发生变化需要的热量为：
Q2


V
c u ( x , y , z , t 2 ) u ( x , y , z , t1 ) d V
t2
对第一方程两边取旋度， 得：
H ( E ) t
H t
根据矢量运算：
H
2 H ( H ) H
H
2
) 由此得： H ( t t
2
H
2
即：
H
2
t
J D x
式中J称为扩散通量.常用单位是g/(cm2.s)或mol/(cm2.s)； C x 是同一时刻沿轴的浓度梯度；D是比例系数，称为扩散系数。
15
上午12时3分
质量守恒与扩散方程
扩散过程
16
扩散通量J的方向与 浓度降低的方向一致
上午12时3分
质量守恒与扩散方程 如图所示，在扩散方向上取体积元 A x , J x 和 J x x 分 别表示流入和流出体积元的扩散通量，则在Δt 时间内， 体积元中扩散物质的积累量为
ds dx
6 上午12时3分
u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gds m a x x
u ( x, t) u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gdx dx 2 x x t
2
u ( x dx, t )
u ( x, t )
a

A
步骤
具体做法
依据
注意事项
去分母
方程两边同时乘各分母的最小公倍数.
等式的性质2
（1）不要漏乘不含分母的项；（2）分子是多项式时，去分母后应将分子作为一个整体加上括号.
步骤
具体做法
依据
注意事项
去括号
根据方程的特点，灵活选择去括号的顺序，不必拘泥于小、中、大的顺序.
乘法分配律、去括号法则
（1）当括号外的因数是负数时，去括号后原括号内的各项均要变号；（2）不要漏乘括号里的任何一项.
续表
2.列方程（组）解应用题的一般步骤
（1）审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；
（2）设：设出关键未知数；
（3）列：找出等量关系，列方程（组）；（4）解：解方程（组）；（5）验：检验所解答案是否正确，是否符合题意；（6）答：规范作答，注意单位名称.
一题串考点
已知二元一次方程 .
（1） 请写出这个二元一次方程的一个解：_ ______________________.
[答案] 设该市一级水费的单价为 元，二级水费的单价为 元，依题意得 解得 答：该市一级水费的单价为3.2元，二级水费的单价为6.5元．
（2） 某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
[答案] 设该户该月用水量为 ，则由题易知 ,依题意得 ，解得 ．答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为 ．
命题角度 一次方程（组）的实际应用
例 [2022四川雅安中考改编] 某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．
（1）求A，B两种商品每件的进价分别为多少元.
（2）若商场将A种商品提价 后标价，在促销活动中，又按标价的 折销售，结果仍可获利 ，求 的值.

张力为 F T(x,t),F T(x d x,t)与x轴夹角为 1 , 2 . 用 表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
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弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).

此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1

则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1

a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x

F (x 1 ,L ,x n ,u , x u 1,L , x u n,L , x 1 m 1 x 2 m m 2 u L x n m n) 0(1.1)
4
方程(1.1)是在自变量x1,x2, …的n维空间Rn 中的一个适 当的区域D内进行考察的，我们要求能找出在D内恒 满足方程(1.1)的那些函数u。如果这种函数存在，那
和时间无关。弦是柔软有弹性的，即它不能抵抗弯矩， 因此在任何时刻弦的张力T总是沿着弦的切线方向。
u
F
△x
Q T
P
a
T
N
O
x
N'
x+△x
x
13
或
综合上述分析，由牛顿第二定律可得
a T si T n si F n x x ttu( 1 . 3 )
又 tanaux ，故 sia n taan ux 1ta2na 1ux2
，薄膜所形成的曲面方程为u=u(x,y)。
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
3. 线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知 函数及它的所有偏导数来说都是线性的，且方程中 的系数都仅依赖于自变量，那么这样的偏微分方程 就称为线性偏微分方程。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
6
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6

O x1
x2
x
12
从上面的讨论中可以看到在x，t平面上斜率 为1/a的两族直线xat=常数, 对一维波动方 程(3.1)的研究起着重要的作用, 称这两族直线 为一维波动方程的特征线. 因为在特征线x at=C2上, 右行波u2=f2(xat)的振幅取常数值 f2(C2), 在x+at=C1上左行波f1(x+at)=f(C1),
(3.17)
f1f(13(x3)x) f2f(2x()x) 3x02
(3.18) (3.19)
从(3.19)得
1 3
f1(3x)
f2 ( x)
C,
(3.20)
从(3.18)与(3.20)可得
20
f1(3x)

9 4
x2

C,

f1 ( x)

1 4
x2

C,
SrM
u(x rx1, y
S1o
S
ry1,
z

rz1,
t
)
d,
(3.25)
其中=x+rx1,=y+ry1,=z+rz1 是球面SrM 上的
点的坐标, S1o是以原点为中心的单位球面,
d是单位球面上的面积元素,
dS
是
S
M r
上的面
积元素, 显然有 dS=r2d. 在球面坐标系中,
x1=sin qcos , y1=sin qsin , z1= cos q, d=sin qdqd.
x2
xy y2 x y
它的特征方程为
A(dy)22Bdxdy+C(dx)2=0
(3.13)
并不是任意一个二阶线性偏微分方程(3.12)都

P i di
●
Gdx v dv
x
●
x dx
第16页/共87页
电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
uL
L
diL dt
uL
dL dt
L Li
di uL L dt
i
1 L
udt
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
a2ux x utt
第14页/共87页
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。
对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著 辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视， 因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
T
u x
xdx T
u x
x
ds ut t
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
第12页/共87页
T T
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是

详细描述
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。

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从上面的讨论中可以看到在x，t平面上斜率 为1/a的两族直线xat=常数, 对一维波动方 程(3.1)的研究起着重要的作用, 称这两族直线 为一维波动方程的特征线. 因为在特征线x at=C2上, 右行波u2=f2(xat)的振幅取常数值 f2(C2), 在x+at=C1上左行波f1(x+at)=f(C1),
2 u 2 u 2 u u u A x 2 2 B x y C y 2 D x E y F u 0( 3 .1 2 )
15
A 2 u 2 B 2 u C 2 u D u E u F u 0( 3 .1 2 ) x 2 x y y 2 x y
xat
x
11
对初始轴t=0上的一个区间[x1,x2], 过x1点作斜 率为1/a的直线x=x1+at, 过x2点作斜率为1/a的 直线x=x2at, 它们和区间[x1,x2]一起构成一个 三角形区域, 解在其中的数值完全由[x1,x2]上 的初始条件决定, 称为[x1,x2]的决定区域.
t
决定区域
10
从达朗贝尔公式(3.11)还可以看出, 解在(x,t)点
的数值仅依赖于x轴上区间[xat,x+at]内的初
始条件, 而与其他点上的初始条件无关. 区间
[xat, x+at]称为点(x,t)的依赖区间. 它是由过
(x,t)点的两条斜率分别为1/a的直线在x轴所
截得的区间.
t
(x,t)
依赖区间
O xat
u t t0
(x),x.
(3.7)
将(3.6)中的函数代入(3.7)中, 得
a f1 f1 ((xx )) fa 2f(2 x ()x ) (x()x ,).

复习
3. 在扇形区域内求下列定解问题
u 0,
0 ,r a
u(r,0) u(r, ) 0, r a
u(a, ) f ( ),
0
r2 r 0 0
u(0,)
(0)(r) ()(r) 0
u(r, ) (r)( )
(0) () 0
1 r
r
r
1 r2
0
1 r
1 r2
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
X X 0, 0 x l
X (0) 0,
X (l) 0
0
X 0 X (x) Ax B A B 0 X (x) 0
2 0 X 2 X 0
X (x) Acosx Bsin x
X (0) A 0 , X (l) Bsin l 0
0
l
l n
l
n
xd sin
0
l
x
2
n
x sin n
l
x |l0
2
n
l n
sin xdx
0
l
2l n
n2 2 cos l
x
|l0
2l
n2
2
(1)n 1
0, 4l
n2
2
,
n为偶数 n为奇数
u l
2 n1
2n
4l 1
2
2
e
2
n12
l2
2a2
t
cos
2n 1 x
l
HUST 数学物理方程与特殊函数
Bn
sin
n
Cnr
Байду номын сангаас
n
En
sin

a2
2u x2
f
(x,t)
其中 f (x,t) F
也称上式为一维（非齐次）波动方程
16
二、热传导问题
1. 问题描述 考察均匀且各向同性的导热体内温度分布情况。
2. 模型分析 ➢ 均匀：介质密度相同，为常数； ➢ 各项同性：物体的比热、热传导系数为常数； ➢ 体：三维问题; ➢ 物理规律：能量守恒定律、Fourier热传导实验定律 3. 导出方
❖ Chapter 1
1. PDE基础知识（阶，线性，齐次，分类等）； 2. 定解问题的提法：基本概念，三类边界条件； 3. PDE解的基本性质。
1
❖ Chapter 2
1. ODE及Fourier级数的补充知识； 2. 定解问题的三类基于分离变量的求法：分离变量，特征函数，
边界条件齐次化； 3. Laplace方程的极坐标形式及其分离变量求解。
5
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
1. 前言 2. 基本方程的建立 3. 初始条件与边界条件 4. 定解问题的提法
6
1. 前言
1.1 课程特点及其研究对象
数学物理方程，是指从物理学、力学及其他自然科学、 技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分 方程，微分积分方程，甚至常微分方程等。
1. Laplace方程边值问题四种提法； 2. 第一、第二Green公式； 3. 调和函数的基本性质； 4. 特殊区域上的Green函数及其求解定解问题。
4
所需知识
高等数学 常微分方程 积分变换
课程评价(Grading Policies)
期末考试成绩 (80%左右)
平时成绩 (20%左右)
x
ds 1 ux 2 dx dx

$ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）。
使方程左右两边相等的未知数的值。
方程的根
一元二次方程的根与系数之间存在特定的关系，如根的和等于$-frac{b}{a}$，根的积等于$frac{c}{a}$。
系数与根的关系
判别式的意义
当$Delta > 0$时，方程有两个不相等的实数根。
解题步骤
适用范围
当一元二次方程可以化为形如 $(x - a)(x - b) = 0$ 的形式时，可以使用因式分解法。
解题步骤
首先尝试将方程左边化为两个一次多项式的乘积形式，然后分别令每个一次多项式为零，得到方程的解。
03
CHAPTER
一元二次方程的应用
运动学问题
一元二次方程可以描述物体在匀加速直线运动中的位移、速度和时间之间的关系，用于求解物体的初速度、加速度、时间或位移等。
利用函数的极值点
一元二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的极值点为 $x = -frac{b}{2a}$。当极值点处函数值大于零时，方程无实根；当极值点处函数值小于等于零时，方程有两个实根。因此，可以通过判断极值点处函数值的正负来确定方程的根的情况。
05
CHAPTER
复杂一元二次方程的解法
要点一
要点二
判别式与函数图像的关系
判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 可用于判断一元二次方程的根的情况。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实根，函数图像与x轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实根（即一个重根），函数图像与x轴有一个交点；当 $Delta < 0$ 时，方程无实根，函数图像与x轴无交点。

x x x c1 e xe e dx c1



x e x xe x e x c1 x 1 c1 e

dy x 1 c1 e x dx
y x 1 c1 e x dx


所以原微分方程的通解为
n
性质5的推论常被当做级数发散的充分条件来使用。
即 lim un 0 级数 n 1 2n 1
n 1 因为lim un lim ， n n 2n 1 2

n 所以，级数 是发散的。 n 1 2n 1

三、 常数项级数的敛散性判别法
1、收敛准则：
定理 1 : 正项级数 un 收敛的充分必要条件

2、比较判别法: 定理 2 比较判别法 设 un 与 v n都是
正项级数, 且un v n n 1,2,
则 1) 当级数 v n 收敛时, un 也收敛 ;
2) 当级数 un 发散时, v n 也发散。
则微分方程的通解为 y e P x dx Q x e P x dx dx c


e
1 dx x
1 dx 1 x e dx c ln x
1 x dx c x ln x
三、通过适当的代换求解
dy x y 5 例 求 的通解 . dx x y 2
解
dy du 1 令 x y u, dx dx du u 5 代入原方程 1 dx u 2
解得u 2 14x C ,
2
2 代回u x y, 得 ( x y 2) 14x C1 ,