2021届山西省临汾一中高三3月月考理科数学试卷

创作；朱本晓 高中2021-2021学年度第一学期高三数学理科第三次月考试卷第一卷〔选择题，一共50分〕一、选择题〔每一小题5分，一共50分〕1．设集合{1,2}A =,那么满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是 〔 〕A ．1B ．3C ．4D ．8 2．“a =1”是“函数a x x f -=)(在区间[)1,+∞上为增函数〞的〔 〕C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．等差数列{a n }中，a 1>0，a 5=3a 7, 该数列前n 项和为S n ，当S n 获得最大值时，n 等于〔 〕A ．7B ．8C ．7或者8D ．6或者74．f(x)的反函数为1()f x -，g(x)的图像与1(1)f x -+图像关于直线y=x 对称，那么g(x)为〔 〕A ．f -1(x)-1B ．f (x+1)C．f(x)+1D ．f(x)-15．设0≤x<2π,且x 2sin 1-=sinx －cosx, 那么〔A ．0≤x ≤πB ．4π≤x ≤45π C ．4π≤x ≤47πD ．2π≤x ≤23π6．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x ∈[]3,4时，f(x)=x-2,那么〔 〕创作；朱本晓 A ．f(sin 12)<f(cos 12) B ．f(sin 3π)>f(cos 3π)C ．f(sin1)<f(cos1)D ．f(sin 14)<f(cos 14)7．α是三角形的一个内角，且1sin cos 5αα+=，那么方程22sin cos 1x y αα-=表示〔 〕A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆8．在各项均不为零的等差数列{}n a 中，假设2110(2)n n n a a a n +--+=≥，那么214n S n --=A 2-B 0C 1D 29．)(x f '是)(x f 的导函数，)(x f '的图象如下图， 那么)(x f 的图象只可能是〔 〕A B C D10．函数f(x)在(–1，1)上有定义，f(21)= –1，且当x, y ∈(–1，1)时，恒有创作；朱本晓f(x)+f(y) =f(xy1yx ++)， 数列{a n }中a 1 =21,a n+1 =2nn a 1a 2+(n *N ∈)，那么f(a n )等于 〔 〕A ． 12n --B ．12n -－2C ．2n -＋1D ．2n－3第二卷 〔非选择题 一共100分〕二、填空题〔每一小题4分，一共16分〕 11．cos α=71，cos (α+β)= －1411，α,β∈(0, 2π)，那么β= 12．1a =1, 12(1)n n a a n n +=++,那么n a ＝____________13．f 〔x 〕是可导的偶函数，且22)1()1(lim 0-=-+→xf x f x ，那么曲线y=f 〔x 〕在点〔－1，2〕处的切线方程是14．设函数)x (f 的定义域为R ，假设存在与x 无关的正常数M ，使|x |M |)x (f |≤对一实在数x 都成立，那么称函数)x (f 为有界泛函，在函数2(1)()2,(2)(),f x x g x x ==，(3)()sin v x x x =(4)()2x h x =中，属于有界泛函的有_________________〔写序号〕三、解答题〔每一小题14分，一共84分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤。

山西省临汾市爱心学校高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设,在上的投影为,在轴上的投影为,且,则为( ).A. B. C.D.参考答案：答案：B2. “”是“函数在上单调递增的”（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A若在上单调递增，则恒成立，∴恒成立，∵，∴，∴“”是在上递增的充分不必要条件，选择．3. 的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（）A．B． C. D．参考答案：A4. 已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于A． B． C． D．参考答案：D5. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A． B． C． D．参考答案：【知识点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明。

B3 B4【答案解析】D 解析：对于A，非奇非偶，是R上的增函数，不符合题意；对于B，是偶函数，不符合题意；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|，∴f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣f（x）；∵f（x）=x|x|=，∴函数是增函数故选D．【思路点拨】对于A，非奇非偶；对于B，是偶函数；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|=，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可得结论．6. 已知i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）=3+2i，则z=（）A． +B．﹣﹣C． +D．﹣﹣参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z（1﹣i）=3+2i，∴z（1﹣i）（1+i）=（3+2i）（1+i），∴2z=1+5i，则z=，故选：A．7. 已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2）B．（1，+∞）C．[2，+∞） D．[1，+∞）参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【分析】通过指数函数的值域求出M，对数函数的定义域求出集合N，然后再求M∩N．【解答】解：M={y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|1＜x＜2}，故选A8. 复数z满足（3﹣2i）?z=4+3i，则复平面内表示复数z的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：A【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】由（3﹣2i）?z=4+3i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z 在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由（3﹣2i）?z=4+3i，得，则z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．9. 在极坐标系中，已知点，则过点且平行于极轴的直线的方程是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A先将极坐标化成直角坐标表示，转化为点，即，过点且平行于轴的直线为，在化为极坐标为，选A.10. 我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A. B. C. 27 D. 18参考答案：B【分析】由题得几何体为正四棱台，再利用棱台的体积公式求解.【详解】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体体积.故选：B【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查棱台体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若偶函数对定义域内任意都有，且当时，，则.参考答案：略12. 若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 ．参考答案：【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；极限思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】设数列中的任意一项为a ，利用无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和列方程，即可求得公比．【解答】解：设数列中的任意一项为a ，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，得a=，即1﹣q=q∴q=．故答案为：．【点评】本题考查数列的极限，解题的关键是利用无穷等比数列的求和公式，是基础的计算题．13. 若命题“是真命题”，则实数a 的取值范围是。

课题：九年级物理第十二章 第五节 牛顿第一定律 学案 班级： 姓名： 学科： 物理 日期： 一、学习目标 ：1、知道牛顿第一定律的内容 2、知道惯性的概念 3、通过活动体验任何物体都具有惯性二、资料准备：三、学习过程： 1、什么是力？ 2、力的作用效果及力的三要素是什么？ 阅读课本P44-P45回答下列问题： 3、将笔盒放在课本上，在桌面上用力拉动课本。

笔盒随课本一起运动，停止用力笔盒是否还会继续运动？ 4、自行车、列车等运动的物体，停止施加动力，还会继续运动吗？为什么最终要停下来？ 亚里士多德观点是： 伽利略的观点是： 5、这两个观点你支持哪个呢？为什么？阐述一下你的观点。

6、探究阻力对物体运动的影响 阅读教材P45中的实验，思考下列问题： （1）：如何设计实验？ （2）：实验中注意观察什么？ （3）：实验的相同条件是什么？不同条件是什么？ （4）：采用什么研究方法？ 7、牛顿第一定律的内容是什么？ 8、牛顿第一定律能用实验来验证吗? 9、什么是惯性？ 10、举例说明惯性在生活中的应用？ 四、拓展应用：五、小节与收获： 1、本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？ 2、学案准备时的疑难解决了吗？ 六、反馈达标： 1.下列关于“牛顿第一定律”的建立的说法中正确的是( )A 它是通过日常生活推导出来的B 它是通过理论推导出来的C 它是通过实验直接证明的D 它是以实验事实为基础,通过推理而概括出来的 2.在课本的探究实验中,每次必须让小车从斜面的同一高度滑下,这是为了使小车在三种平面上开始滑行时有_________,在越光滑的平面上,小车受到的__________越小,它运动的距离越_______,它的速度________得越慢,进一步推理可得出这样得结论:如果物体不受任何外力的作用,物体将_______________________________. 3.在水平桌面上铺上粗糙程度不同的物体,让小车自斜面顶端同一高度、从静止开始滑下, 通过探究小车在不同表面运动的距离, ,我们可以反驳下列说法中的哪一个( ) A 摩擦力越小,小车的速度减小得越慢 B 小车受到力就运动,不受力就不运动 C 若平面非常光滑,小车的速度将保持不变,永远运动下去 D 运动物体不受力,将保持匀速直线运动 4.正在做匀速直线运动的物体,若所受的各力突然消失,则物体( )A 仍做匀速直线运动B 继续向前运动,且速度越来越快C 慢慢停下来D 立即停下来 5.足球比赛中,运动员用头顶球,球在向上飞,若此时受到的力都消失,则球将会( )A 静止B 做匀速直线运动C 下落D 无法判断 6.用绳子拴住一个小球在光滑的水平面上做圆周运动,若绳子突然断裂,小球将( )A 保持原来的圆周运动状态B 保持绳断时的速度做匀速直线运动C 小球运动速率减小,但保持直线运动状态D 以上三种都有可能 7、对于下列几种现象，不能用物体具有惯性来解释的是（ ）A、苹果从树上落向地面B、子弹离开枪口后，能继续向前飞行很远 C、同一跳远运动员，“助跑式跳远”比“立定式跳远”的距离大 D、汽车在刹车或启动时，乘客会有前倾或后仰的感受 8、物理知识渗透于我们的生活，以下警示语中与惯性知识无关的是（ ）A、汽车后窗贴有“保持车距”B、公路旁立有“雨天路滑，减速慢行”C、公共场所标有“禁止吸烟”D、交通规则写有“行车时系好安全带” 9、在平直的轨道上行驶的列车车厢里，有位乘客抬头看见他的头顶上方顶棚上有一滴水即将落下，那么水滴将（ ）A、落在乘客的正前方B、落在乘客正后方C、落在乘客头上D、落在乘客左方或者右方 10、解释：为什么用手拍打衣服，灰尘会落下来？ 11、锤头松了，把锤柄的一端在物体上撞击几下，锤头就能紧套在锤柄上，为什么？ 下雨天，摔个跟头会向后倒，这是为什么？ 初中学习网，资料共分享！我们负责传递知识！。

某某省2021届高三数学下学期3月考前适应性测试试题理注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的某某、某某号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|x2+x-12<0},集合B={x|-5≤x<0},则A∩B=A.{x|-5≤x<3)B.{x|-5≤x<-4}C.{x|-4<x<0}D.{x|0<x<3}2.已知点P（55，255-）是角α的终边与单位圆的交点，则sin2α=A. -45B.-35C. 5D.25-3.高斯函数也称取整函数，记作［x],是指不超过实数x的最大整数，例如［6.8]=6,[-4.1]=－5,该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．下列关于高斯函数y=[x]的性质叙述错误的是A.y=[x]值域为ZB.y=[x]不是奇函数C.y=x-[x]为周期函数D.y=[x]在R上单调递增4.某公司计划招收600名新员工，共报名了2000人，远超计划，故该公司采用笔试的方法进行选拔，并按照笔试成绩择优录取．现采用随机抽样的方法抽取200名报名者的笔试成绩，绘制频率分布直方图如下：则录取分数线可估计为A.70B.73C.75D.775.在同一直角坐标系中，指数函数y=xba⎛⎫⎪⎝⎭，二次函数y=ax2-bx的图象可能是6.已知双曲线的两条渐近线夹角为α,且tan a=43，则其离心率为A.52B.2555257.已知a,b,ceR,,且a>4,ab+ac=4,则2232a b c a b c+++++的最小值是A.8B.6C.4D.28.木工师傅将一个长方体形的木块切去一部分，得到一个新木件，其三视图如图所示，则这个木件的切面与底面所成锐二面角的正切值为A.22B. 33C.6339.十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征。

山西省临汾市2021届新高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i -B ．2z =C ．z 的共轭复数为1i --D ．2z 为纯虚数 【答案】D【解析】【分析】将复数z 整理为1i -的形式，分别判断四个选项即可得到结果.【详解】()()()2121111i z i i i i -===-++-z 的虚部为1-，A 错误；z ，B 错误；1z i =+，C 错误； ()2212z i i =-=-，为纯虚数，D 正确本题正确选项：D【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题.2．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-【答案】B【解析】【分析】根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可．【详解】由(1)(1)f x f x +=-得()f x 关于1x =对称，若关于1x =对称，则函数()f x 在(0,)+∞上不可能是单调的，故错误的可能是B 或者是D ，若D 错误，则()f x 在(-∞，0]上是减函数，在()f x 在(0,)+∞上是增函数，则(0)f 为函数的最小值，与C 矛盾，此时C 也错误，不满足条件．故错误的是B ，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键．3．已知||3a =，||2b =，若()a a b ⊥-，则向量a b +在向量b 方向的投影为（ ）A ．12B ．72C ．12-D ．72- 【答案】B【解析】【分析】由()a a b ⊥-，||3a =，||2b =3a b ⇒⋅=，再由向量a b +在向量b 方向的投影为()||a b b b +⋅化简运算即可 【详解】∵()a a b ⊥-∴()230a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=，∴3a b ⋅=， ∴向量a b +在向量b 方向的投影为2()347||cos ,22||||a b b a b b a b a b b b b +⋅⋅++++====. 故选：B.【点睛】本题考查向量投影的几何意义，属于基础题4．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4a mB ．2a m +C ．2a m m +D ．42a m m+ 【答案】D【解析】【分析】由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值．【详解】解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(),x y ，即0101x y <<⎧⎨<<⎩， 对应区域为边长为1的正方形，其面积为1， 若两个正实数,x y 能与1构成钝角三角形三边，则有22110101x y x y x y ⎧+<⎪+>⎪⎨<<⎪⎪<<⎩， 其面积142S π=-；则有142a m π=-，解得42a m mπ+= 故选：D ．【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解. 5．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．32【答案】B【解析】【分析】 由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。

山西省临汾市县底镇第一中学2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分均为65分，已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格，在下列四个命题中，为p的逆否命题的是（）A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C．若A，B，C至少有1人及格，则及格分不低于70分D．若A，B，C至少有1人及格，则及格分不高70于分参考答案：C【考点】四种命题．【分析】根据原命题与它的逆否命题之间的关系，写出命题p的逆否命题即可．【解答】解：根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格，p的逆否命题的是：若A，B，C至少有1人及格，则及格分不低于70分．故选：C．2. 已知，其中是虚数单位，则实数（）A．1 B．2 C．-1 D．-2参考答案：A试题分析：，则，．故选A．考点：复数的相等．3. 设集合P={m|－3<m<1，Q={m∈R|(m-1)x2+(m-1)x－1＜0对任意实数x恒成立则下列关系中成立的是A．P Q B．Q P C．P=Q D．P∩Q=Q 参考答案：A略4. 是的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件参考答案：C由可得,设集合.由可得,设集合,显然集合是的真子集,故是的必要不充分条件.故选C.5. 关于函数的图象或性质的说法中，正确的个数为（）①函数f(x)的图象关于直线对称；②将函数f(x)的图象向右平移个单位所得图象的函数为；③函数f(x)在区间上单调递增；④若，则.A．1 B．2 C. 3 D．4参考答案：A令，解得，当时，得到，故①正确；将函数的图象向右平移个单位，得，故②错误；令，故③错误；若，则，故④错误.故选A.6. 已知集合A={x|x=2n，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}，则下列不正确的是（）A．A?B B．A∩B=A C．B∩（?z A）=ΦD．A∪B=B参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】由已知得A?B，A∩B=A，A∪B=B，B∩（?z A）={6，10，12，14，…}．【解答】解：∵集合A={x|x=2n，n∈N*}={2，4，8，16，…，2n}，B={x|x=2n，n∈N*}={2，4，6，8，…，2n}，∴A?B，A∩B=A，A∪B=B，B∩（?z A）={6，10，12，14，…}，故A，B，D均正确，C错误．故选：C．7. 若函数恰有4个零点，则的取值范围为（）A．B．C. D．参考答案：B8. 已知a1，a2，b1，b2均为非零实数，集合A={x|a1x+b1＞0}，B={x|a2x+b2＞0}，则“”是“A=B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】充要条件．【分析】先根据，进行赋值说明此时A≠B，然后根据“M?N，M是N的充分不必要条件，N是M的必要不充分条件”，进行判定即可．【解答】解：∵∴取a1=1，a2=﹣1，b1=﹣1，b2=1，A≠B而A=B?∴“”是“A=B”的必要不充分条件故选B9. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011参考答案：【解析】选项传输信息110，，应该接收信息10110。

2021届山西省临汾市普通高中高三下学期3月考前适应性考试（二）理科数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数52i-的共轭复数是A.2＋iB.－2＋i C.－2－i D.2－i2.已知集合A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝{y|y＝12x，x>1}，则A∩B＝A.{y|0<y<12} B.{y|0<y<1} C.{y|12<y} D.∅3.若方程2211x ym m-=+表示双曲线，则m的取值范围是A.m<－1或m>0B.m>0C.m<－1D.－1<m<04.已知f(x)＝13xx x1e x1-⎧⎪≥⎨⎪<⎩，，，则f(f(ln2))＝A.6eB.32 C.eD.3e5.如图，网格纸上小正方体的边长为1，粗实线画出的是某几何图形的三视图，则该几何体的体积是A.18B.9C.6D.36.如图，∠OAB＝∠ABC＝120°，且OA BC2AB==＝2，则BC在OA方向上的投影为A.－1B.1C.－3D.37.在(a＋x－1x)10的展开式中，x8的系数为170，则正数a的值为A.34B.42C.2D.18.随着移动互联网的飞速发展，许多新兴行业异军突起，抖音和快手牢牢占据短视频平台的两大巨头。

抖音日活跃用户数为4亿，快手日活跃用户数为3亿，且抖音和快手日均时段活跃用户占比分布如图，则A.4－6点时段抖音的活跃用户数比快手的活跃用户数少B.1－3点时段抖音的活跃用户数比快手的活跃用户数少C.1－3点时段抖音与快手的活跃用户数差距最大D.一天中抖音活跃用户数比快手活跃用户数少的时段有2个9.已知函数f(x)＝Acos(ω1x＋φ)(A>0，ω1>0，－2π<φ<2π)，g(x)＝Asin(ω2x＋6π)(ω2>0)，且函数f(x)的图象如图所示，则下列判断不正确的是。

山西省临汾市2021届高三数学下学期模拟考试试题（3）理共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知函数2()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤,{|'()0}B x f x =≤，则A B = （ ） A ．[1,0]- B ．[1,2]- C ．[0,1] D ．(,1][2,)-∞+∞2．设i 是虚数单位，若复数1i z =+，则22||z z z+= （ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+3．命题“(0,1)x ∀∈,ln x e x ->”的否定是 （ ）A ．(0,1)x ∀∈,ln x e x -≤B ．0(0,1)x ∃∈,00ln xe x -> C ．0(0,1)x ∃∈,00ln x e x -< D ．0(0,1)x ∃∈,00ln x e x -≤4．已知||3=a ,||2=b ，若()⊥-a a b ，则向量a +b 在向量b 方向的投影为 （ ）A ．12B ．72C ．12- D ．72-5．在ABC △中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 （ ）A ．1112B ．6C ．112D ．2237．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为 （ ）A ．2493π+B ．4893π+C ．48183π+D ．144183π+8．函数cos 22y x x =([0,])2x π∈的单调递增区间是 （ ）A ．[0,]6πB ．[0,]3πC ．[,]62ππD ．[,]32ππ9．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤≥所表示的平面区域内存在点00(,)x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．5(,]2-∞-B ．1(,]2-∞- C ．[4,)+∞ D ．(,4]-∞-10．已知函数()12x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且1m n -≤，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．[2,4]B ．7[2,]3C ．7[,3]3D ．[2,3]11．已知双曲线2222:1x y E a b-=(a ＞0,b ＞0)满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ）AB．12 C ．32D1 12．已知函数1()xf x xe -=，若对于任意的(]00,x e ∈，函数20()ln ()1g x x x ax f x =-+-+在(]0,e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,]eB ．2(,]e e e -C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e -第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．） 13．6(12)(1)x x -+的展开式中2x 的系数为 ．15．过直线7y kx =+上一动点(,)M x y 向圆22:20C x y y ++=引两条切线,MA MB ，切点为,A B ，若[1,4]k ∈，则四边形MACB 的最小面积S ∈的概率为 ． 16．三棱锥S ABC -中，点P 是Rt ABC △斜边AB 上一点．给出下列四个命题： ①若SA ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的四个面都是直角三角形；②若4,4,4AC BC SC ===，SC ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球体积为323π；③若3,4,3AC BC SC ===，S 在平面ABC 上的射影是ABC △内心，则三棱锥S ABC -的体积为2；④若3,4,3AC BC SA ===，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的最大角为60︒．其中正确命题的序号是 ．(把你认为正确命题的序号都填上)） 17．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4618a a +=，11121S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(3)2n n n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．18．（12分）某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数(本)，并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图．如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数(本)不低于90本，则称该学生为“书虫”． （1）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过5% 男生 女生 总计 书虫 非书虫 总计附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P k k ≥0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 k1.322.072.703.815.023 2 64 4（2X 的分布列和数学期望．19．（12分）如图，己知边长为2的正三角形ABE 所在的平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，且60DAB ∠=︒，点F 是BC 的中点． （1）求证：BD EF ⊥；（2）求二面角E DF B --的余弦值．20．（12分）已知12,F F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，点3(1,)2P 在椭圆上，且过点2F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，1AF B △的周长为8． （1）求椭圆E 的方程；（2）我们知道抛物线有性质：“过抛物线22y px =(0)p >的焦点为F 的弦AB 满足2||||||||AF BF AF BF p+=⋅.”那么对于椭圆E ，问否存在实数λ，使得2222||||||||AF BF AF BF λ+=⋅成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数2()1x f x e -=+.（1）求函数(2)f x 在1x =处的切线方程；（2）若不等式()()f x y f x y mx ++-≥对任意的[0,)x ∈+∞，[0,)y ∈+∞都成立，求实数m 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．（2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求AB ．23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式(2)(4)2f x f x -->的解集；（2）当0a >时，不等式()()1f ax af x a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围.理科数学答案与解析 1．【答案】C 【解析】2{|20}{|02}A x x x x x =-=≤≤≤,{|220}{|1}B x x x x =-=≤≤，{|01}A B x x ∴=≤≤．故选C ．2．【答案】A 【解析】复数1i z =+,∴||z =22(1i)2i z =+=， 则22||z z z+=22(1i)2i 2i 1i 2i 1i 1i (1i)(1i)-+=+=-+=+++-，故选A ．3．【答案】D 【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题“(0,1)x ∀∈,ln x e x ->”的否定是：0(0,1)x ∃∈,00ln x e x -≤．故选D ．4．【答案】B 【解析】()⊥-a a b ,2()30∴⋅-=-⋅-⋅a a b a a b =a b =,3∴⋅=a b ，∴向量a +b 在向量b 方向的投影为2()347||cos ,||||22⋅⋅+<>====a +b b a b +b a +b a +b b b b ．故选B ． 5．【答案】D 【解析】由正弦定理及大边对大角可得：sin sin 22a bA B a b A B R R>⇔>⇔>⇔>，而函数tan y x =在(0,)π上不是单调函数，所以“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的既不充分也不必要条件，故选D.6．【答案】D 【解析】执行程序框图，可得S =0，n =2，满足条件，12S =，n ＝4，满足条件，113244S =+=，n =6，满足条件，1111124612S =++=，n ＝8，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为11228123⨯=，故选D ．7．【答案】C 【解析】由已知中的三视图知圆锥底面半径为6r ，圆锥的高6h ，圆锥母线l ，截去的底面弧的圆心角为120︒，底面剩余部分的面积为22222121sin12066sin12024933232Sr rπππ=+︒=⨯+⨯⨯︒=+，故几何体的体积为：11(2493)64818333V Sh ππ==⨯+⨯=+，故选C.8．【答案】D 【解析】因为cos23sin 2y x x =-2sin(2)2sin(2)66x x ππ=-=--，由3222,262k x k k πππππ+-+∈Z ≤≤，解得5,36k x k k ππππ++∈Z ≤≤，即函数的增区间为5[,],36k k k ππππ++∈Z ，所以当0k =时，增区间为[,]32ππ，选D.9．【答案】B 【解析】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中(2,6)A ，直线10x my ++=过定点(1,0)D -，当0m =时，不等式10x +≤表示直线10x +=及其左边的区域，不满足题意； 当0m >时，直线10x my ++=的斜率10m-<，不等式10x my ++≤表示直线10x my ++=下方的区域，不满足题意；当0m <时，直线10x my ++=的斜率10m->，不等式10x my ++≤表示直线10x my ++=上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点00(,)x y ，使不等式0010x my ++≤成立，只需直线10x my ++=的斜率12AD k m-=≤， 解得12m -≤．综上可得实数m 的取值范围为1(,]2-∞-，故选B.10．【答案】D 【解析】因为'1()10x f x e -=+>，且(1)0f =，所以函数()12x f x e x -=+-单调递增且有惟一的零点为1m =，所以11n -≤，02n ∴≤≤，问题转化为：使方程230x ax a --+=在区间[0,2]上有解，即223(1)2(1)4412111x x x a x x x x ++-++===++-+++ 在区间[0,2]上有解，而根据“对勾函数”可知函数4121y x x =++-+在区间[0,2]的值域为[2,3]，23a ∴≤≤，故选D ．11．【答案】B 【解析】依题意可得，抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，F 关于原点的对称点(1,0)-；24α=，12α=，所以12()f x x x ='()2f x x=设00()Q x x ，0002x x ，解得01x =，∴(1,1)Q ，可得22111a b -=，又1c =，222c a b =+，可解得51a -=5151ce a+==-B ．12．【答案】D 【解析】函数20()ln ()1g x x x ax f x =-+-+在(]0,e 内都有两个不同的零点，等价于方程20ln 1()x x ax f x -++=在(]0,e 内都有两个不同的根．111'()(1)x x x f x e xe x e ---=-=-，所以当(0,1)x ∈时，'()0f x >，()f x 是增函数；当(1,)x e ∈时，'()0f x <，()f x 是减函数．因此0()1f x <≤.设2()ln 1F x x x ax =-++，2121'()2x ax F x x a x x--=-+=-，若'()0F x =在(0,)e 无解，则()F x 在(]0,e 上是单调函数，不合题意；所以'()0F x =在(0,)e 有解，且易知只能有一个解．设其解为1x ，当1(0,)x x ∈时'()0F x >，()F x 在1(0,)x 上是增函数；当1(,)x x e ∈时'()0F x <，()F x 在1(,)x e 上是减函数．因为(]00,x e ∀∈，方程20ln 1()x x ax f x -++=在(]0,e 内有两个不同的根，所以max 1()()1F x F x =>，且()0F e ≤．由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e-≤． 由max 1()()1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2111ln 0x x ax -+>． 因为211210x ax --=，所以1112a x x =-，代入2111ln 0x x ax -+>，得211ln 10x x +->. 设2()ln 1m x x x =+-，1()20m x x x'=+>，所以()m x 在(0,)e 上是增函数， 而(1)ln1110m =+-=，由211ln 10x x +->可得1()(1)m x m >，得11x e <<． 由1112a x x =-在(1,)e 上是增函数，得112a e e <<-．综上所述21a e e <-≤，故选D.13．【答案】3【解析】6(12)(1)x x -+的展开式中2x 的系数为2166C (2)C 3+-=.14．tan tan tan tan()1tan tan ACD BCD ACB ACD BCD ACD BCD ∠+∠∠=∠+∠==-∠∠1cos 4ACB ∠=-，由余弦定理可知2222cos 16AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=，得4AB =.根据“三斜求积术”可得22222221423135424216S ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以S =.15．【解析】由圆的方程得22(1)1x y ++=，所以圆心为(0,1)-，半径为1r =，四边形的面积2MBC S S =△，若四边形MACB 的最小面积S ∈，所以MBC S △的最小值为MBC S ∈△，而12MBC S r MB =△，即MB 的最小值min MB ∈，此时MC 最小为圆心到直线的距离，此时d ，因为0k >，所以k ∈，所以[1,4]k ∈． 16．【答案】①②③【解析】对于①，因为SA ⊥平面ABC ，所以SA AC ⊥，SA AB ⊥，SA BC ⊥，又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面SAC ，所以BC SC ⊥，故四个面都是直角三角形，∴①正确；对于②，若4,4,4AC BC SC ===，SC ⊥平面ABC ，∴三棱锥S ABC -的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，∴2R 体积为343V π==，∴②正确；对于③，设ABC △内心是O ，则SO ⊥平面ABC ，连接OC ，则有222SO OC SC +=，又内切圆半径1(345)12r =+-=，所以OC 222321SO SC OC =-=-=，故1SO =，∴三棱锥S ABC -的体积为1113412332ABC V S SO =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，∴③正确；对于④，若3SA =，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的最大角时，P 点与A 点重合，在Rt SCA △中，3tan 15ASC ∠==，45ASC ∴∠=︒，即直线PS 与平面SBC 所成的最大角为45︒，∴④不正确，故答案为①②③． 17．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，465218a a a +==，59a ∴=，11111611()111212a a S a +===，611a ∴=， 651192d a a ∴=-=-=，5(5)92(5)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-.（6分）（2）由（1）可知1(3)2(213)2(1)2n n n n n b a n n +=+=-+=+，∴数列{}n b 的前n项和为2341223242(1)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+++，3451222232422(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++++，两式作差，得2341222222(1)2n n n T n ++-=⨯++++-+128(12)8(1)212n n n -+-=+-+-222828(1)22n n n n n +++=+--+=-，22n n T n +∴=.（12分）18．【解析】（1）由频率分布直方图可得，男生书虫、非书虫的人数分别为12,38，女生书虫、非书虫的人数分别为4,4622100(1246438) 4.76216845050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，（4分）由于4.762＞3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“书虫”与性别有关．（6分）（2）由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为4，X 的所有可能取值为0，1，2， 则246250C 207(0)C 245P X ===,11464250C C 184(1)C 1225P X ===,24250C 6(2)C 1225P X ===，（9分） 故XX 的数学期望为()01224512251225122525E X =⨯+⨯+⨯==.（12分）19．【解析】（1）证明：取AB 的中点O ，连结,,EO OF AC ，由题意知EO AB ⊥．又因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以EO ⊥平面ABCD ．（2分） 因为BD ⊂平面ABCD ，所以EO BD ⊥,因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又因为//OF AC ，所以BD OF ⊥，所以BD ⊥平面EOF .（4分） 又EF ⊂平面EOF ，所以BD EF ⊥．（6分） （2）连结DO ，由题意知EO AB ⊥，DO AB ⊥.又因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以DO ⊥平面ABE ， 以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()0,0,0O ,)(()333,0,0,3,0,,0,1,02E D F B ⎛ ⎝⎭， (330,,,3,0,32DF DE ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭.（8分）设平面DEF 的一个法向量为1(,,)x y z =n ，则1100DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即3302330y x z ⎧=⎪=， 令1x =，所以13=n .（10分） 又由（1）可知EO ⊥平面ABCD ，所以平面DFB 的一个法向量为2(1,0,0)=n ， 设二面角E DF B --的平面角为θ，则121221cos θ⋅=⋅n n n n .（12分） 20．【解析】（1）根据椭圆的定义，可得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a +=，∴1AF B △的周长为111122||||||||||||||4AF BF AB AF BF AF BF a ++=+++=， ∴48a =，得2a =，∴椭圆E 的方程为22214x y b +=， 将3(1,)2P 代入椭圆E 的方程可得23b =，所以椭圆E 的方程为22143x y +=.（5分） （2）由（1）可知222431c a b =-=-=，得2(1,0)F ，依题意可知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+，由221431y x my x ⎧⎪⎨⎪=+=⎩+消去x ，整理得22(34)690m y my ++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 不妨设120,0y y ＞＜，2222222111111||(1)(11)1||1AF x y my y m y m y -++-++⋅+， 同理22222||1||1BF m y m y =+⋅=-+，（9分）所以22121111()||||AF BF y y +-21121224.334y y y y m -=+即22224||||||||3AF BF AF BF +=⋅，所以存在实数43λ=， 使得2222||||||||AF BF AF BF λ+=⋅成立.（12分）21．【解析】（1）设22()(2)1x t x f x e -==+，则22'()2x t x e -=，当1x =时，22(1)12t e -=+=，22'(1)22t e -==，∴函数(2)f x 在1x =处的切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=.（4分）（2）根据题意可得222x y x y e e mx +---++≥对任意的[0,)x ∈+∞，[0,)y ∈+∞都成立， 当0x =时，不等式即为2220y y e e ---++≥，显然成立；（5分） 当0x >时，设22()2x y x y g x e e +---=++，则不等式222x y x y e e mx +---++≥恒成立， 即为不等式()g x mx ≥恒成立，22222()2()2222x y x y x y y x x g x e e e e e e e +-------=++=++⨯=+≥(当且仅当0y =时取等号)，∴由题意可得222x e mx -+≥，即有222x e m x -+≥对(0,)x ∈+∞恒成立， 令222()x e h x x -+=，则22222(1)(1)1'()22x x x xe e x e h x x x ----+--=⋅=⋅， 令'()0h x =，即有2(1)1x x e --=，令2()(1)x m x x e -=-，则222'()(1)x x x m x e x e xe ---=+-=， 当0x >时，2'()0x m x xe -=>，()m x ∴在(0,)+∞上单调递增，又22(2)(21)1m e -=-=，2(1)1x x e -∴-=有且仅有一个根2x =，（9分） 当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增，当(0,2)x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减， ∴当2x =时，()h x 取得最小值，为2222(2)22e h -+==，2m ∴≤． ∴实数m 的取值范围(,2]-∞.（12分）22．【解析】（1）将直线l的参数方程121x y t⎧=⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数）消去参数t ，可得直线l的普通方程为11)2y x --，即210x -+=．由)4πρθ=-，得cos sin ρθθ=+，所以2cos sin ρρθρθ=+, 得22x y x y +=+，即22111()()222x y -+-=．（5分）（2）由121x y t ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得12112x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(m 为参数），将其代入22111()()222x y -+-=， 得211024m m +-=,1212m m ∴+=-,1214m m =-，∴12AB m m =-．（10分） 23．【解析】（1）)函数(2)(4)|22||2|f x f x x x --=+--=4,13,124,2x x x x x x --<-⎧⎪-<⎨⎪+⎩≤≥，当1x <-时，不等式即42x -->，求得6x <-，6x ∴<-；当12x -<≤时，不等式即32x >，求得23x >，223x ∴<<；当2x ≥时，不等式即42x +>，求得2x >-，∴2x ≥． 综上所述，不等式的解集为2{|3x x >或6}x <-．（5分）（2）当0a >时,()()|2||2||2||2|(2)(2)||22|f ax af x ax a x ax ax a ax ax a a +=+++=++++-+=-≥| 不等式()()1f ax af x a ++≥恒成立，|22|1a a ∴-+≥，221a a ∴-+≥或221a a ---≤，解得3a ≥或103a <≤，∴实数a 的取值范围为1(0,][3,)3+∞.（10分）。

山西省临汾市2021届高三数学下学期模拟考试试题（1）理（含解析）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}2540A x x x =-+<,{}24xB x =<，则()RA B =（ ）A. (]1,2B. [)2,4C. [)1,+∞ D. ()1,+∞【答案】D 【解析】 【分析】分别求出集合A 、B 的值，由补集和并集的概念可得RB 的值，可得答案.【详解】解：依题意，{}{}254014A x x x x x =-+<=<<,{}{}242xB x x x =<=<，故{}R2B x x =≥，故()()1,A B =+∞R，故选：D.【点睛】本题主要考查集合交并补运算，属于基础题型，注意运算准确. 2.已知复数423iz i+=-（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】先对复数进行化简，然后判定所在象限. 【详解】依题意，()()()()42i 3i 42i 1010i1i 3i 3i 3i 10z ++++====+--+，则在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限. 故选：A .【点睛】本题主要考查复数的运算，明确复数的运算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.随着二胎政策的开放，越来越多中年女性选择放下手中的工作，为二胎做准备.某公司为了使广大中年女性安心备孕，且不影响公司的正常效益，对公司所有中年女性进行生育倾向调查.已知该公司共有6名中年女性，若每名中年女性倾向于生二胎的概率为13，且各名中年女性之间不相互影响，则恰有4位中年女性倾向生二胎的概率为（ ） A.2081 B.8081C. 20243D.80243【答案】C 【解析】 【分析】由于概率相同，可以利用独立重复试验的公式求解.【详解】依题意，所求概率42461214201533819243p C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【点睛】本题主要考查独立重复试验，熟练运用公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.4.在进行123100++++的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知数列24034n na m =+，则122016...m a a a ++++=（ ）A. 5042m +B. 5044m +C. 504m +D. 2504m +【答案】B 【解析】 【分析】记122016...m S a a a +=+++，可得1220152016 (24034240342403424034)m m S m m m m ++=++++++++且2016201521 (24034240342403424034)m m S m m m m ++=++++++++，两式相加可得S 的值，可得答案.【详解】解：依题意，记122016...m S a a a +=+++， 则1220152016 (24034240342403424034)m m S m m m m ++=++++++++，又2016201521 (24034240342403424034)m m S m m m m ++=++++++++，两式相加可得201720172017201720162 (240342403424034240342)m m m m m S m m m m +++++=++++=++++，则201650444m mS +==+， 故选：B.【点睛】本题主要考查数列的性质及合理推理的应用，属于基础题型. 5.已知312sin 413πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则3cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.1213 B. 1213-C.513D. 513-【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得333442πππαα⎛⎫⎛⎫+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得333442πππαα⎛⎫⎛⎫-=+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，利用诱导公式可得3cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】解：依题意，333442πππαα⎛⎫⎛⎫+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故333442πππαα⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故333312cos cos sin 442413ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：A.【点睛】本题主要考查诱导公式的实际应用，属于基础题型，注意运算准确.6.如图，D 为等边ABC 的重心，E 为BC 边上靠近C 的四等分点，若DE AB AC λμ=-，则λμ+=（ ）A.14B. 14-C.12D. 12-【答案】D 【解析】由题意可得DE DA AC CE =++，其中DA 、AC 、CE 分别用AB 与AC 表示，代入可得答案. 【详解】解：依题意，DE DA AC CE =++()()1134AB AC AC AB AC =-+++- 151212AB AC =-+，故15,1212λμ=-=-，则12λμ+=-，故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及向量的加法运算，属于基础题型. 7.执行下面的程序框图，若输出的S 的值为440，则判断框中可以填（ ）A. 3?i ＜B. 4?i ＜C. i 5?＜D. 6?i ＜【答案】C 【解析】 【分析】按照程序框图运行该程序，可得当第五次，440S =，退出循环，此时输出S 的值为440，可得i 5?＜，可得答案.【详解】解：若判断框中填写“i 5?＜”，运行该程序， 第一次，1,2,2S S i ===； 第二次，4,6,3S S i ===； 第三次，18,21,4S S i ===； 第四次，84,88,5S S i ===，第五次，440S =，退出循环，此时输出S 的值为440， 故选：C.【点睛】本题主要考查程序框图的相关知识，属于基础题型.8.已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为A. 15112(1)3π+- B. 171121)3π+- C. 112151)π+ D. 112171)π+【答案】D 【解析】 【分析】由题意，可得该几何体为长方体里面挖掉了一个圆锥，可得该几何体的表面积. 【详解】解：依题意，该几何体为长方体里面挖掉了一个圆锥，故所求表面积)24544421117112171S πππ=⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯+，故选：D.【点睛】本题主要考查由三视图还原为几何体及空间几何体的表面积的计算，属于基础题型.9.已知点P 是焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>上的一点，且10PF =，点Q 是直线1:230l x y -+=与2:260l x y +-=的交点，若PQ QF ⊥，则抛物线的方程为（ ）A. 24y x = B. 24y x =或236y x =C. 212y x =D. 212y x =或228y x =【答案】B 【解析】 【分析】依题意，(,0)2pF ；设200(,)2y P y p ，求出Q 点坐标，由PQ QF ⊥列出关于p 与0y 的方程可得0y 的值，由10PF =可得p 的值，可得答案.【详解】解：依题意，(,0)2pF ；设200(,)2y P y p ， 联立230260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得0,3x y ==，故()0,3Q ，20(,3),(,3)22p y QF QP y p=-=-； 因PQ QF ⊥，故220000(,3)(,3)=3(3)0224p y y QF QP y y p ⋅=-⋅---=，解得06y =，且18(,6)P p；又由10PF =10，解得2p =或18p =，故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程及基本性质，需灵活运用已知条件解题，属于中档题.10.三棱锥P ABC -中，底面ABC 为非钝角三角形，其中6AB BC ==，sin ACB PA ∠===P ABC -的外接球体积为（ ） A.643πB. 72πC.2563πD. 288π【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可求出AC 的值，可得出ABC ∆为直角三角形，且90APC ∠=︒，可得球心及球的半径，可得三棱锥P ABC -的外接球体积.【详解】解：因为sin ACB ∠ABC ∆为非钝角三角形，故3cos 4ACB ∠=，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠， 解得8AC =，可得222AC AB BC =+ 故ABC ∆为直角三角形，其中90ABC ∠=︒； 故222PA PC AC +=，故90APC ∠=︒，此时，注意到球心即为线段AC 的中点O （此时点O 到,,,A B C P 的距离均为4），故所求球体的体积3425633V R ππ==， 故选：C.【点睛】本题主要考查球与几何体的切、接问题，属于基础题，求出ABC ∆为直角三角形，且90APC ∠=︒后求出球心位置与半径是解题的关键.11.已知双曲线C 1：22164x y -=1，双曲线C 2：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2 一条渐近线上的点，且OM⊥MF 2，若△OMF 2的面积为 16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长为（ ） A. 4 B. 8C. 16D. 32【答案】C 【解析】双曲线221:1164x y C -=的离心率为''c e a ====，设()2,0F c ，双曲线2C 一条渐近线方程为by x a=，可得2bcF M b c===，即有OM a ==，由2OMF ∆的面积为16，可得1162ab =，即32ab =，又222+=a b c ，且c a =，解得8,4,a b c ===16 ，故选C. 12.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()22f x f x '->，若()1585log 910()81log 3f -=-()221xf x e+>的解集为（ ） A.0,B. ()1,-+∞C.,0D.(),1-∞-【答案】A 【解析】 【分析】先化简()1585log 910()81log 3f -=-.【详解】依题意，()18551log 9021181log 3f -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()()22f x f x '->， 即()()240f x f x '-->；要求()221exf x +>的解集，即求()2e 20xf x -+>的解集； 即求()22e12e 0xx f x ---+>的解集；令()()22e2e 1xx g x f x --=+-，故()()()2222'4x x x g x e f x e f x e ---'=-+-()()2240x e f x f x -'=⎡--⎤>⎣⎦，故()g x 在R 上单调递增，注意到()()00210g f =+-=， 故当0x >时，()0g x >，即()22210xx e f x e --+->，即()221ex f x +>的解集为()0,∞+，故选：A.【点睛】本题主要考查利用导数求解抽象不等式，合理构造函数，结合单调性求解是关键，侧重考查数学抽象的核心素养.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．） 13.261(23)(1)x x--的展开式中，含2x -项的系数为___________. 【答案】435 【解析】 【分析】先展开2(23)x -，再结合二项展开式的通项公式求解.【详解】依题意，()()66221123141291x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，61(1)x -的展开式的通项公式为161()r r r T C x+=-；故含2x -项的系数为()()()432432666411121191160240135435C C C ⨯-⨯-⨯-⨯+⨯-⨯=++=.【点睛】本题主要考查二项式定理，明确特定项是怎么得出的是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.14.已知实数,x y 满足2363132x y x y y x ⎧⎪-≤⎪+≥⎨⎪⎪≥--⎩，则4yx -的取值范围为_____.【答案】33,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，结合4y x -的几何意义，可得其取值范围.【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，，观察可知，4AM CM y k k x -≤≤，即3344y x --≤≤，故4y x -的取值范围为33,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故答案为：33,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，考查了数形结合的解题思想，属于中档题.15.已知正项数列{}n a 满足122n n n a a a ++=+，且221n n S a -=，其中n S 为数列n a 的前n 项和，若实数λ使得不等式()8n n a nλ+≥恒成立，则实数λ的最大值是________.【答案】9 【解析】 【分析】由题意可得数列{}n a 为等差数列，由221n n S a -=可得n a 的表达式，由()8n n a nλ+≥分离参数可得8215n n λ-+≤，设()8215f n n n=-+利用其单调性可得λ的最大值.【详解】解：依题意，数列{}n a 为等差数列，因为221n n S a -=，即2121(21)()2n n n a a a --+=，即21na n =-，因为()8nn a n λ+≥，即(8)(21)8215n n n n nλλ+-⇒-+≤≤，因为()8215f n n n =-+在1n ≥时单调递增，其最小值为9，所以9λ≤，故实数λ的最大值为9.【点睛】本题主要考查等差数列的基本性质与基本量的求解、等差数列与不等式的综合问题，综合性大，属于难题.16.已知函数()cos f x x x =+，若方程()()230f x af x -+=有四个不等实根，则实数a 的取值范围为__________. 【答案】()23,4 【解析】 【分析】 先判断()f x 的性质，结合方程()()230f x af x -+=有四个不等实根，可求实数a 的取值范围.【详解】因为()cos ()f x x x f x -=+=，所以()f x 为偶函数；当0x ≥时，()1sin 0f x x '=-≥，()f x 为增函数，所以()(0)1f x f ≥=；()()230f x af x -+=有四个不等实根，即()11f x >，()21f x >，且()()12f x f x ≠，则013012a a ⎧⎪∆>⎪-+>⎨⎪⎪>⎩，解得234a <<，即实数a 的取值范围为()23,4.【点睛】本题主要考查函数的性质及根的分布问题，根的分布结合根的情况列出限定条件是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.如图，ABC 中，角,,A B C 成等差数列，BAC DCA ∠=∠，1BD =，E 为AC 的中点.（1）若3BCD S =△CD ；（2）若3AC =A θ=，且122θππ<<，求sin θ的值．【答案】（1）13CD =2）1sin 2θ= 【解析】【分析】（1）由角,,A B C 成等差数列，可得3B π=，由BCD S ∆BC 的值，在BCD ∆中，由余弦定理可得CD 的值；（2）依题意，DE AC ⊥，且EA EC ==，在Rt CDE △中，cos CE CD DCA =∠在BCD ∆中有sin sin CD BDB BCD=∠，代入化简可得sin θ的值. 【详解】解：（1）因为角,,A B C 成等差数列，所以3B π=；由BCD S ∆1sin 2BC BD B ⋅⋅= 又因为3B π=，1BD =，所以4BC =；在BCD ∆中，由余弦定理得，2222cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅，即21161241132CD =+-⨯⨯⨯=，解得CD =（2）依题意，DE AC ⊥；因为AC =EA EC = 在Rt CDE △中，cos CE CD DCA =∠BCD ∆中，22,23BDCBCD πθθ∠=∠=-， 由正弦定理得，sin sin CD BD B BCD=∠，即12cos 2sin sin(2)33θππθ=-，化简得2cos sin(2)3πθθ=-，于是2sin()sin(2)23θθππ-=-．因为122θππ<<，所以20,2212332θθπ5ππππ<-<-<-<， 所以2223θθππ-=-，解得=6πθ，故1sin 2θ=． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题形，注意运算准确. 18.随着医院对看病挂号改革，网上预约成为了当前最热门的就诊方式，这解决了看病期间病人插队以及医生先治疗熟悉病人等诸多问题；某医院研究人员对其所在地区年龄在10~60岁间的n 位市民对网上预约挂号的了解情况作出调查，并将被调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直方图，如下所示.（1）若被调查的人员年龄在20~30岁间的市民有300人，求被调查人员的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数；（2）若按分层抽样的方法从年龄在[)20,30以及[)40,50内的市民中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行调研，记随机抽取的3人中，年龄在[)40,50内的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望.【答案】（1）250；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）先求出年龄在40岁以上（含40岁）的市民的频率，然后根据比例关系可得人数； （2）先确定X 的可能取值，然后分别求解概率，可得分布列和期望. 【详解】（1）依题意，所求人数为()3000.020.005102500.0310⨯+⨯=⨯.（2）依题意，年龄在[)20,30以内及[)40,50以内的人中分别抽取6人和4人； 故X 的可能取值为0,1,2,3；()36310106C P X C ===，()2164310112C C P X C ===，()12643103210C C P X C ===，()343101330C P X C ===；故X 的分布列为：X 01 2 3P16 12 310 130故()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望，明确随机变量的可能取值及概率是求解的关键，侧重考查数据处理的核心素养.19.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，120DAB ∠=︒,133AA AB AF ===,()1101A E A D λλ=<<.（1）若//CE 面BDF ，求λ的值.（2）求直线CF 与平面BDF 所成角的正弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）3130130. 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，求出平面的法向量，把线面平行问题转化为向量垂直问题求解. （2）利用空间向量线面角的求解公式可得.【详解】（1）如图所示，取BC 中点G ，连接AG ；120DAB ∠=︒，∴AG AD ⊥，又1A A ⊥面ABCD ，∴11,AA AD AA AG ⊥⊥,∴分别以1,,AG AD AA 为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -如图所示.133(0,3,0),,0),,0),(0,0,1),(0,0,3)22D B C F A -， 339(0,3,1),(,0)2DF DB ∴=-=-，1(0,3,3)A D =-,13(,3)2CA =-; 设平面BDF 的法向量(,,)n x y z =，则由00n DF nDB ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30902y z x y -+=⎧-=， 不妨令3z =，则解得1x y ==，∴(3,1,3)n =为平面BDF 的一个法向量；11(0,3,3)A E A D λλλ==-，则11333(3,33)2CE CA A E λλ=+=-+-， //CE 面BDF ，∴0n CE ⋅=，即93399022λλ--++-=，解得12λ=.（2）因为3(,1)2CF =-，(3,1,3)n =，设直线CF 与平面BDF 所成角为θ，故所求线面角的正弦值为sin 10CF n CF nθ⋅===【点睛】本题主要考查空间位置关系的判定和线面角的求解，线面角求解的关键是确定平面的法向量，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.20.已知椭圆2222:1xy C a b +=过点,1,⎛ ⎭⎝⎭.椭圆C 的右顶点为D ，,M N 为椭圆C 上关于原点对称的两点，且,M N 不与椭圆的顶点重合. （1）求椭圆的标准方程；（2）连接,DM DN 分别交y 轴于,S T 两点，若(),0P t ，满足PS PT ⊥，求t 的值.【答案】（1）2213x y +=；（2）1t =或1t =-.. 【解析】 【分析】（1）把两点坐标代入方程，解方程组可求；（2）联立方程，求解,PS PT 的斜率，结合垂直可得.【详解】（1）依题意222221131213a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得223,1a b ==，故椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（2）依题意，D，显然直线MN 的斜率存在且不为零，设直线MN 的方程为y kx =，联立方程组2213x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得M，(N ； 设(0,),(0,)S m T n ，又直线DM的斜率1k =DS的斜率2k =， 因为,,D M S 三点共线，所以12k k =，解得m =，同理，可得n =依题意，直线PS 的斜率3m k t =-，直线PT 的斜率4nk t=-， 所以341k k =-，故有2t mn =-，即2t =，整理，得21t =，解得1t =或1t =-.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解和利用垂直求解参数，垂直关系一般转化为向量问题或者斜率问题求解，侧重考查数学运算的核心素养. 21.已知函数()321f x x x ax =+-+.（1）若1a =，证明：曲线()y f x =在()()2,2f --处的切线与直线7140x y ++=垂直；（2）若10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，当01x a ≤≤+时，证明：()31e x xf x x >-.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）先求导数，可得切线的斜率，根据斜率关系可得垂直； （2）把不等式转化为2e 1xx x ax >-+，然后构造函数确定最值进行求解.【详解】（1）依题意，()321f x x x x =+-+，故()2321f x x x '=+-；则()27f '-=，而直线7140x y ++=的斜率为17-，故两条直线的斜率之积为1-； 即曲线()y f x =在()()2,2f --处的切线与直线7140x y ++=垂直. （2）要证()31e x xf x x >-，即证()3e x x f x x >-，即证2e 1xx x ax >-+； 当102a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，令()()32e e 1x x x f x x x ax ϕ==--+，求导可知()x ϕ在(0,1)上单调递增，在(1,1)a +上单调递减，令()g x x =；①当[0,1]x ∈时，()max min (0)1,()1x g x ϕϕ===，所以()()x g x ϕ>；②当[]1,1x a ∈+时，函数()x ϕ单调递减，所以其最小值为1e (1)2a a a ϕ++=+，()g x 最大值为1a +，所以下面判断(1)a ϕ+与1a +的大小，即判断x e 与(1)x x +的大小，其中311,2x a ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，令()(1)xm x e x x =-+，()21xm x e x -'=-，令()()h x m x '=，则()2xh x e '=-；因为311,2x a ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，所以()20xh x e -'=>，()m x '单调递增；因为(1)e 30m '=-<，323()402m e -'=>，故存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得000()210xm x e x '=--=，所以()m x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 所以022200000000()()211xm x m x e x x x x x x x ≥=--=+--=-++，所以031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2000()10m x x x =-++>；即e (1)x x x >+，也即(1)1f a a +>+，综上所述，()31e x xf x x >-.【点睛】本题主要考查利用导数的意义证明切线问题及利用导数证明不等式，不等关系的证明一般通过构造函数，结合函数单调性或者最值来证明.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()0,2M ，且倾斜角为4π；曲线C ：2219x y +=，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出曲线C 的参数方程，以及直线l 的极坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，求MP MQ +的值.【答案】（1）3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2【解析】 【分析】（1）由曲线C 的直角坐标方程可求出曲线C 的参数方程，由直线l 的直角坐标方程可求出其坐标方程为；（2）将直线l 的参数方程代入2219x y +=并化简，设,P Q 两点对应的参数分别为12,t t，则1212270,05t t t t +==>，所以120,0t t <<，可得MP MQ +的值.【详解】解：（1）依题意，由曲线C ：2219x y +=，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线:2l y x =+，故极坐标方程为sin cos 2ρθρθ-=，即sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（2）依题意，可设直线l的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入2219x y +=并化简，得25270t ++=，(245271080∆=-⨯⨯=>；设,P Q 两点对应的参数分别为12,t t，则1212270,05t t t t +==>， 所以120,0t t <<，所以()1212t t MP t t MQ =+=-++ 【点睛】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化及直线参数方程的应用，属于中档题，注意运算准确.23.设函数()2f x x a =+（其中0a <）. （1）解不等式：()3f x ≥； （2）若1a =-，解不等式()12f x x a+-<. 【答案】（1）33(,][,)22a a+--∞-+∞（2）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）依题意，23x a +≥，可得23x a +≥或23x a +-≤，可得不等式的解集； （2）将1a =-代入不等式，分1x <-，112x ≤≤-，12x >进行讨论，可得不等式的解集. 【详解】解：（1）依题意，23x a +≥，故23x a +≥或23x a +-≤， 即32a x -≥或32a x --≤， 所以原不等式的解集为33(,][,)22a a+--∞-+∞. （2）依题意，2112x x -++<，当1x <-时，1212x x ---<，解得23x >-，无解； 当112x ≤≤-时，1212x x -++<，解得0x >，故102x <≤；当12x >时，2112x x -++<，解得23x <，即1223x <<；综上所述，当1a =-时，不等式()12f x x a +-<的解集为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题型，注意分类讨论思想的运用.。

山西省临汾市2021届高三数学下学期模拟考试试题（1）理共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合{}2540A x x x =-+<,{}24x B x =<，则()A B =R （ ）A ．(]1,2B ．[)2,4C ．[)1,+∞D ．()1,+∞2．已知复数42i3iz +=-（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z 所对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．随着二胎政策的开放，越来越多中年女性选择放下手中的工作，为二胎做准备.某公司为了使广大中年女性安心备孕，且不影响公司的正常效益，对公司所有中年女性进行生育倾向调查.已知该公司共有6名中年女性，若每名中年女性倾向于生二胎的概率为13，且各名中年女性之间不相互影响，则恰有4位中年女性倾向生二胎的概率为 （ ）A ．2081B ．8081C ．20243D ．802434．在进行123100++++的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知数列24034n n a m =+，则122016...m a a a ++++=（ ） A ．5042m +B ．5044m+ C ．504m + D ．2504m +5．已知312sin 413πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则3cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ） A ．1213 B ．1213-C ．513D ．513-6．如图，D 为等边ABC △的重心，E 为BC 边上靠近C 的四等分点，若DE AB AC λμ=-，则λμ+= （ ）A ．14 B ．14-C ．12D ．12-7．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为440，则判断框中可以填（ ）A ．i 3?＜B ．i 4?＜C ．i 5?＜D ．i 6?＜8．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为 （ ）A ．151121π⎫+-⎪⎪⎝⎭B ．171121π⎫+-⎪⎪⎝⎭C ．)112151π+D ．()112171π+9．已知点P 是焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>上的一点，且10PF =，点Q 是直线1:230l x y -+=与2:260l x y +-=的交点，若PQ QF ⊥，则抛物线的方程为（ ） A ．24y x = B ．24y x =或236y x = C ．212y x =D ．212y x =或228y x =10．三棱锥P ABC -中，底面ABC △为非钝角三角形，其中27,6AB BC ==，7sin 343ACB PA PC ∠==P ABC -的外接球体积为（ ） A ．643πB ．72πC ．2563πD ．288π11．已知双曲线221:1164x y C -=，双曲线()22222:10x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，M 是双曲线2C 一条渐近线上的点，且2OM MF ⊥，若2OMF △的面积为16，且双曲线12,C C 的离心率相同，则双曲线2C 的实轴长为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．3212．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()'22f x f x ->，若()1585log 910()42381log 3f -=---，则不等式()221e xf x +>的解集为（ ）A ．()0,+∞B ．()1,-+∞C ．(),0-∞D ．(),1-∞-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．261(23)(1)x x--的展开式中，含2x -项的系数为 .14．已知实数,x y 满足2363132x y x y y x ⎧⎪-⎪+⎨⎪⎪--⎩≤≥≥，则4yx -的取值范围为 .15．已知正项数列{}n a 满足122n n n a a a ++=+，且221n n S a -=，其中n S 为数列n a 的前n 项和，若实数λ使得不等式()8n n a n λ+≥恒成立，则实数λ的最大值是 .16．已知函数()cos f x x x =+，若方程()()230f x af x -+=有四个不等实根，则实数a 的取值范围为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）如图，ABC △中，角,,A B C 成等差数列，BAC DCA ∠=∠，1BD =，E 为AC 的中点.（1）若3BCD S =△，求CD ； （2）若3AC =，记A θ=，且122ππθ<<，求sin θ的值．18．（12分）随着医院对看病挂号的改革，网上预约成为了当前最热门的就诊方式，这解决了看病期间病人插队以及医生先治疗熟悉病人等诸多问题；某医院研究人员对其所在地区年龄在10~60岁间的n 位市民对网上预约挂号的了解情况作出调查，并将被调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直方图，如下所示.（1）若被调查的人员年龄在20~30岁间的市民有300人，求被调查人员的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数； （2）若按分层抽样的方法从年龄在[)20,30以及[)40,50内的市民中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行调研，记随机抽取的3人中，年龄在[)40,50内的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望.19．（12分）已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，120DAB ∠=︒,133AA AB AF ===,()1101A E A D λλ=<<. （1）若//CE 面BDF ，求λ的值.（2）求直线CF 与平面BDF 所成角的正弦值.20．（12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=过点,1,⎛ ⎭⎝⎭.椭圆C 的右顶点为D ，,M N 为椭圆C 上关于原点对称的两点，且,M N 不与椭圆的顶点重合. （1）求椭圆的标准方程；（2）连接,DM DN 分别交y 轴于,S T 两点，若(),0P t ，满足PS PT ⊥，求t 的值. 21．（12分）已知函数()321f x x x ax =+-+.（1）若1a =，证明：曲线()y f x =在()()2,2f --处的切线与直线7140x y ++=垂直；（2）若10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，当01x a +≤≤时，证明：()31e x x f x x >-.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()0,2M ，且倾斜角为4π；曲线C ：2219x y +=，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线C 的参数方程，以及直线l 的极坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，求MP MQ +的值.23．（10分）选修4—5不等式选讲设函数()2f x x a =+（其中0a <）. （1）解不等式：()3f x ≥； （2）若1a =-，解不等式()12f x x a+-<.理科数学答案与解析1．【答案】D 【解析】依题意，{}{}254014A x x x x x =-+<=<<,{}{}242x B x x x =<=<，故{}2x B x =R≥，故()()1,A B =+∞R ，故选D.2．【答案】A 【解析】依题意，()()()()42i 3i 42i 1010i1i 3i 3i 3i 10z ++++====+--+，则在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限，故选A.3．【答案】C 【解析】依题意，所求概率42461214201533819243p C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C. 4．【答案】B 【解析】依题意，记122016...m S a a a +=+++，则1220152016...24034240342403424034m m S m m m m ++=++++++++，又 2016201521...24034240342403424034m m S m m m m ++=++++++++，两式相加可得201720172017201720162...240342403424034240342m m m m m S m m m m +++++=++++=++++， 则201650444m mS +==+，故选B. 5．【答案】A 【解析】依题意，333442πππαα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故333442πππαα⎛⎫⎛⎫-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故333312cos cos sin 442413ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A. 6．【答案】D 【解析】依题意，DE DA AC CE =++()()1134AB AC AC AB AC =-+++-151212AB AC =-+，故15,1212λμ=-=-，则12λμ+=-，故选D. 7．【答案】C 【解析】若判断框中填写“i 5?＜”，运行该程序，第一次，1,2,2S S i ===；第二次，4,6,3S S i ===；第三次，18,21,4S S i ===；第四次，84,88,5S S i ===，第五次，440S =，退出循环，此时输出S 的值为440，故选C. 8．【答案】D 【解析】依题意，该几何体为长方体里面挖掉了一个圆锥，故所求表面积)2454442111121S πππ=⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯+，故选D.9．【答案】B 【解析】依题意，(,0)2p F ；设20(,)2y P y p ，联立230260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得0,3x y ==，故()0,3Q ，则20(,3),(,3)22p y QF QP y p=-=-；因为PQ QF ⊥，故220000(,3)(,3)=3(3)0224p y y QF QP y y p ⋅=-⋅---=，解得06y =，且18(,6)P p ；又由10PF =10，解得2p =或18p =， 4y x =36y x =，故选B.10．【答案】C 【解析】因为sin ACB ∠ABC △为非钝角三角形，故3cos 4ACB ∠=，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠，解得8AC =，故ABC △为直角三角形，其中90ABC ∠=︒；故222PA PC AC +=，故90APC ∠=︒，此时，注意到球心即为线段AC 的中点O（此时点O 到,,,A B C P 的距离均为4），故所求球体的体积3425633V R ππ==，故选C.11．【解析】C 【解析】依题意，不妨设M 在by x a=上；因为2OM MF ⊥，故2MF 为点2F 到直线b y xa =的距离，故2MFb =；因为2OMF △为直角三角形，2OFc =，故OM a =，故21162OMF S ab ==△，故32ab = ①，因为双曲线1C 的离心率e 2a b = ②，联立①②，解得8,4a b ==，故双曲线的实轴长为16，故选C.12．【答案】A 【解析】依题意，()18551log 904233231181log 3f -⎛⎫=---=--+=- ⎪⎝⎭，()()'22f x f x ->，即()()'240f x f x -->；要求()221exf x +>的解集，即求()2e 20x f x -+> 的解集；即求()22e 12e 0xx f x ---+>的解集；令()()22e 2e 1x x g x f x --=+-，故()()()222'2e e '4e x x x g x f x f x ---=-+-()()2e '240x f x f x -=⎡--⎤>⎣⎦，故()g x 在R 上单调递增，注意到()()00210g f =+-=，故当0x >时，()0g x >，即()22e 2e 10x x f x --+->，即()221e xf x +>的解集为()0,+∞，故选A.13．【答案】435【解析】依题意，()()66221123141291x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故含2x -项的系数为()()()432432666411121191160240135435C C C ⨯-⨯-⨯-⨯+⨯-⨯=++=.14．【答案】33,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，4AM CM y k k x -≤≤，即3344y x --≤≤，故4y x -的取值范围为33,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.15．【答案】9【解析】依题意，数列{}n a 为等差数列，因为221n n S a -=，即2121(21)()2n n n a a a --+=，即21n a n =-，因为()8n n a n λ+≥， 即(8)(21)8215n n n n nλλ+-⇒-+≤≤，因为()8215f n n n =-+在1n ≥时单调递增，其最小值为9，所以9λ≤，故实数λ的最大值为9.16．【答案】()3,4【解析】()()230f x af x -+=有四个不等实根，即()11f x >，()21f x >，且()()12f x f x ≠，则013012a a ⎧⎪∆>⎪-+>⎨⎪⎪>⎩解得234a <，即实数a 的取值范围为()23,4.17．【解析】（1）因为角,,A B C 成等差数列，所以3B π=；=3BCD S △1sin 32BC BD B ⋅⋅=， 又因为3B π=，1BD =，所以4BC =；在BCD △中，由余弦定理得，2222cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅，即21161241132CD =+-⨯⨯⨯=， 解得13CD （6分）（2）依题意，DE AC ⊥；因为3AC 3EA EC = 在R t CDE △中，3cos CE CD DCA =∠BCD △中，22,23BDC BCD θθπ∠=∠=-， 由正弦定理得，sin sin CD BD B BCD =∠，即312cos 2sin sin(2)33θθ=ππ-，化简得2cos sin(2)3θθπ=-，于是2sin()sin(2)23θθππ-=-．因为122θππ<<，所以20,2212332θθπ5ππππ<-<-<-<，所以2223θθππ-=-，解得=6θπ，故1sin 2θ=．（12分）18．【解析】（1）依题意，所求人数为()3000.020.005102500.0310⨯+⨯=⨯.（5分）（2）依题意，年龄在[)20,30以内及[)40,50以内的人数分别抽取6人和4人； 故X 的可能取值为0,1,2,3；()36310106C P X C ===，()2164310112C C P X C ===，()12643103210C C P X C ===，()343101330C P X C ===； 故X X123P1612310130故()101236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（12分） 19．【解析】（1）如图所示，取BC 中点G ，连接AG ；120DAB ∠=︒，∴AG AD ⊥，又1A A 面ABCD ，∴分别以1,,AG AD AA 为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -如图所示.（4分）1333333(0,3,0),(,,0),(,,0),(0,0,1),(0,0,3)22D B C F A -， 339(0,3,1),(,,0)2DF DB ∴=-=-， 设平面BDF 的法向量(,,)x y z =n ，则由0DF DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得3033902y z x y -+=⎧⎪⎨-=⎪， 不妨令3z =，则解得3,1x y ==，∴(3,1,3)=n 为平面BDF 的一个法向量；11(0,3,3)A E A D λλλ==-，则11333(,3,33)2CE CA A E λλ=+=--+-， //CE 面BDF ，∴0CE ⋅=n ，即93399022λλ--++-=，解得12λ=.（9分）（2）因为333(,,1)2CF =--，(3,1,3)=n ，故所求线面角的正弦值为3130sin .1013θ==⋅（12分） 20．【解析】（1）依题意222221131213a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得223,1a b ==，故椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（4分）（2）依题意，()3,0D ，显然直线MN 的斜率存在且不为零，设直线MN 的方程为y kx =，联立方程组2213x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得2233(,)3131k M k k ++，2233(,)3131kN k k --++； 设(0,),(0,)S m T n ，又直线DM 的斜率12131k k =-+，直线DS 的斜率23k =-， 因为,,D M S 三点共线，所以12k k =，解得23311k m k =+-，同理，可得23311k n k =-++，依题意，直线PS 的斜率3m k t =-，直线PT 的斜率4nk t=-， 所以341k k =-，故有2t mn =-，即2t整理，得21t =，解得1t =或1t =-.（12分）21．【解析】（1）依题意，()321f x x x x =+-+，故()2'321f x x x =+-；则()'27f -=，而直线7140x y ++=的斜率为17-，故两条直线的斜率之积为1-；即曲线()y f x =在()()2,2f --处的切线与直线7140x y ++=垂直.（4分） （2）要证()31e xxf x x >-，即证()3e x x f x x >-，即证2e 1x x x ax >-+； 当102a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，令()()32e e 1x x x f x x x ax ϕ==--+， 求导可知()x ϕ在(0,1)上单调递增，在(1,1)a +上单调递减，令()g x x =；①当[0,1]x ∈时，()max min (0)1,()1x g x ϕϕ===，所以()()x g x ϕ>；②当[]1,1x a ∈+时，函数()x ϕ单调递减，所以其最小值为1e (1)2a a a ϕ++=+， ()g x 最大值为1a +，所以下面判断(1)a ϕ+与1a +的大小，即判断e x 与(1)x x +的大小，其中311,2x a ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，令()e (1)x m x x x =-+，()e 21xm x x '=--，令()()h x m x '=，则()e 2x h x '=-；因为311,2x a ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，所以()e 20xh x '=->，()m x '单调递增；因为(1)e 30m '=-<，323()e 402m '=->，故存在000()e 210x m x x '=--=， 所以()m x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎫⎪⎝⎭所以022000021x x x x x =+--=20010x x -++>；即e (1)x x x >+，也即(1)1f a a +>+，.（12分） （1）依题意，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线:2l y x =+，故极坐标方程为sin cos 2ρθρθ-=，即sin 4ρθ⎛π⎫- ⎪⎝⎭.（5分） （2）依题意，可设直线l的参数方程为2x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2219x y +=并化简，得25270t ++=，(245271080∆=-⨯⨯=>；设,P Q 两点对应的参数分别为12,t t ，则1212270,05t t t t +==>， 所以120,0t t <<，所以()1212t t MP t t MQ =+=-+=+（10分） 23．【解析】（1）依题意，23x a +≥，故23x a +≥或23x a +-≤， 即32a x -≥或32a x --≤， 所以原不等式的解集为33(,][,)22a a+--∞-+∞.（4分） （2）依题意，2112x x -++<，当1x <-时，1212x x ---<，解得23x >-，无解；优质资料\word 可编辑 11 / 1111 当112x -≤≤时，1212x x -++<，解得0x >，故102x <≤； 当12x >时，2112x x -++<，解得23x <，即1223x <<；综上所述，当1a =-时，不等式()12f x x a +-<的解集为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.（10分）。