数项级数理论及其应用

函数项级数一致收敛性判别及应用函数项级数是数学中的一个重要概念，它是由一系列函数组成的无穷级数。

在数学分析、实变函数等领域中，函数项级数的一致收敛性判别及其应用是一个重要的研究方向。

本文将围绕函数项级数一致收敛性判别及其应用展开讨论，深入探讨其相关理论和具体应用。

一、函数项级数的定义我们来看一下函数项级数的定义。

给定一列函数{f_n(x)}，它们在某个区间E上定义。

那么我们可以定义函数项级数\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)，它表示无穷多个函数的和。

这里的x是自变量，表示定义域内的任意一个点。

函数项级数的和可以表示为S(x) =\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)。

在这里，S(x)是一个新的函数，称为函数项级数的和函数。

函数项级数的一致收敛性是指当级数的和函数S(x)在定义域E上一致收敛时。

这意味着对于给定的\epsilon > 0，存在N \in \mathbb{N}，对于任意的n > N和x \in E，都有|S(x) - \sum_{k=1}^{n} f_k(x)| < \epsilon成立。

也就是说，函数项级数的和函数S(x)对于定义域上的任意点x，都可以在n足够大的时候以任意小的误差逼近其部分和\sum_{k=1}^{n} f_k(x)。

一致收敛性要求级数的收敛速度对于定义域E上的所有点x都是一样的，因此是比点态收敛性更强的一种收敛性。

函数项级数的一致收敛性是一个重要的性质，因为它保证了级数的和函数在其定义域上的良好性质。

而对于给定的一列函数，我们如何判断它的级数的一致收敛性呢？下面我们将介绍一些常用的判别法则。

1. Weierstrass判别法Weierstrass判别法是函数项级数一致收敛性的一个重要判别法则。

它的表述如下：若对于每个正整数n，函数f_n(x)在区间E上都有|f_n(x)| \leq a_n成立，并且级数\sum_{n=1}^{\infty} a_n收敛。

项级数的概念项级数是数学中的一个概念，指的是一个无穷序列的和。

在项级数中，每一项都是具有固定模式的数列中的某一项，而项级数的和就是这些数列中所有的项的总和。

项级数可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1, a2, a3, ... 是一个数列的项，n 是一项的位置。

举个例子，如果项级数为：1 + 2 + 3 + 4 + ... ，那么a1 = 1，a2 = 2，a3 = 3，... ，n 表示数列中项的编号。

项级数可以分为两类：收敛项级数和发散项级数。

当项级数的和存在且有限时，我们称其为收敛项级数；当项级数的和不存在或为无穷大时，我们称其为发散项级数。

对于收敛项级数，我们常常使用极限的概念来表示。

如果项级数S具有有限的和S，则对于任意的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，Sn - S < ε。

其中，Sn 表示项级数的前n项和。

为了更好地理解项级数的概念，我们可以看一些经典的例子。

1. 等差数列：1, 2, 3, 4, ...这是一个常见的等差数列，每一项与前一项之差都相等。

项级数可以表示为：1 + 2 + 3 + 4 + ... ，它是一个发散项级数，和无穷大。

2. 等比数列：1, 1/2, 1/4, 1/8, ...这是一个等比数列，每一项都是前一项的1/2倍。

项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ，它是一个收敛项级数，和为2。

3. 调和级数：1, 1/2, 1/3, 1/4, ...这是一个调和级数，每一项是倒数数列。

项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... ，它是一个发散项级数，和无穷大。

4. 幂级数：1, 1/2, 1/4, 1/8, ...这是一个幂级数，每一项都是前一项的1/2倍。

项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ，它是一个收敛项级数，和为2。

数项级数一致收敛（原创实用版）目录1.数项级数一致收敛的定义2.数项级数一致收敛的性质3.数项级数一致收敛的判定方法4.数项级数一致收敛的实际应用正文一、数项级数一致收敛的定义数项级数一致收敛是指，当级数的各项绝对值趋于 0 时，级数的和趋于一个确定的常数。

换句话说，如果一个级数的各项绝对值都小于某个正数ε，且级数的项数趋向于无穷，那么这个级数就是一致收敛的。

二、数项级数一致收敛的性质一致收敛的级数具有以下性质：1.有界性：级数的每一项都趋于 0，因此级数的和也有界。

2.有序性：当项数增加时，级数的和单调增加或单调减少。

3.极限存在：当级数的项数趋于无穷时，级数的和存在极限。

三、数项级数一致收敛的判定方法判断一个级数是否一致收敛，可以使用以下几种方法：1.ε-δ法：如果对于任意正数ε，总存在正数δ，使得当项数 n>δ时，级数的各项绝对值都小于ε，那么这个级数就是一致收敛的。

2.柯西准则：如果对于任意正数ε，总存在正数 N，使得当项数 n>N 时，级数的各项绝对值都小于ε，那么这个级数就是一致收敛的。

3.列恩哈德准则：如果对于任意正数ε，总存在正数 N，使得当项数n>N 时，级数的各项绝对值的倒数之和趋于 0，那么这个级数就是一致收敛的。

四、数项级数一致收敛的实际应用一致收敛的级数在数学分析中有广泛的应用，例如求和、求积分、求极限等。

在实数域、复数域以及更高级的数学领域，一致收敛的级数都是研究的重要对象。

同时，一致收敛的级数也是许多实际问题的数学模型，如求解数列的和、计算定积分等。

综上所述，数项级数一致收敛是数学分析中的一个基本概念，具有重要的理论和实际意义。

级数理论及其在初等数学中的应用级数理论是大学数学分析这门课程中的一部分，也是在许多相关数学分支与自然科学领域和生产实际中有着十分重要应用的基础知识。

如果能将级数知识的各部分内容有机的整合，领会知识的背景和作用，不仅能延伸到后续的其他内容或课程中，提高数学思维能力和数学方法的应用能力，还能从更深处解决初等数学中的部分问题。

1 级数理论部分1.1 级数的基本概念定义1（级数定义） 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连结起来的表达式++++n u u u 21 （1）称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为∑∞=1n n u ，其中n u 称为数项（1）的通项．数项级数（1）的前n 项之和，记为∑==nk k n u S 1，称之为（1）的前n 项部分和，简称为部分和．定义2 （级数收敛、发散定义） 若级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称级数（1）收敛，并称S 为（1）的和，记为∑∞==1n n u S ．若{}n S 是发散数列，则称级数（1）发散．1.2 级数理论的知识体系级数理论包括常数项级数和函数项级数两大部分知识. 1.2.1常数项级数包括：概念、性质、收敛性判别法、绝对收敛与条件收敛。

其中在收敛性判别法中，根据常数项级数的不同类型又有相应的不同的判别方法。

详见附录1《常数项级数收敛性判别法》。

1.2.2 函数项级数.包括：概念、收敛域、一致收敛、幂级数、傅里叶级数。

下面重点谈一下幂级数及其收敛域。

因为基本初等函数在一定范围内都可展成幂级数，幂级数有许多方便的运算性质，在研究初等函数方面成为一个很有力的工具。

利用幂级数的展开式来表示函数，利用幂级数和函数.的分析性质等，常常能解决许多初等数学中的疑难问题。

1.2.2.1 幂级数的定义：形如()∑∞=-1n nnx x a 的函数项级数称为幂级数，通过变换可化为∑∞=1n nnxa1.2.2.2 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域定理1（阿贝尔引理）对幂级数∑∞=1n n n x a ，若它在点00≠x 收敛，则对满足不等式0x x <的任何x ，幂级数∑∞=1n nn x a 亦收敛且绝对收敛；若∑∞=1n n n x a 在点00≠x 发散，则对满足不等式0x x >的任何x 都发散．由此易得幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛域是以原点为中心的区间，若以R 2表示区间的长度，称R 为收敛半径，称()R R ,-为收敛区间，而收敛域可能包括收敛区间的端点．1.2.2.3幂级数的收敛半径R 的求法定理2 若ρ=∞→n n n a lim ，则当（1）+∞<<ρ0时，ρ1=R ；（2）0=ρ时，+∞=R ； （3）∞=ρ时，0=R ．注 当n n n a ∞→lim 不存在时，可以上极限代之，结论不变． 定理3 若ρ=+∞→nn n a a 1lim，则当（1）+∞<<ρ0时，ρ1=R ；（2）0=ρ时，+∞=R ； （3）∞=ρ时，0=R ． 注 我们知道：若ρ=+∞→nn n a a 1lim，则ρ=∞→n n n a lim ．这样，从理论上讲，定理2是定理1的特例，但在实际应用中各有优势，当函数项级数的系数为n 次幂的形式，常用定理18；若系数含有阶乘或连乘积的形式，则常用定理2 ．若定理上极限代之，结论仍然成立． 1.2.2.4 幂级数的性质1中的极限不存在，则可用定理4 若∑∞=1n n n x a 的收敛半径0>R ，则它在()R R ,-内任一闭区间都一致收敛且绝对收敛；若∑∞=1n nn R a 收敛，则∑∞=1n n n x a 在[]R ,0一致收敛．定理5 若幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径0>R ，则其和函数在()R R ,-内连续、可积、可微，且有任意n 阶导数，并满足逐项可积和逐项求导法则．注 幂级数与其诱导级数（逐项求导或求积）具有相同的收敛半径，但其收敛域有可能变化，即收敛区间端点的收敛性可能发生变化． 1.2.2.5函数的幂级数展开1 泰勒级数若f 在()0x U 存在任意阶导数，称幂级数()()()()()() +-++-'+n n x x n x f x x x f x f 00000!为函数()x f 在0x 的泰勒级数．注（1）泰勒级数未必收敛；（2）泰勒级数即使收敛，亦未必收敛于()x f ．如()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0,00,21x x e x f x 在0=x 点．2 收敛定理定理6 设f 在点0x 具有任意阶导数，那么f 在()0x U 内等于它的泰勒级数的和函数的充分必要条件是：)(0x U x ∈∀，()0lim =∞→x R n n ．这里()x R n 是f 在0x 的泰勒公式余项．定理7 若函数f 在()0x U 存在任意阶导数，且0>∃M ，有()()M x f n ≤， ,2,1=n ，()0x U x ∈，则()()()()∑∞=-=000!n n n x x n x f x f ． 若函数()x f 在0x 的泰勒级数收敛于()x f ，则称泰勒级数为f 在0x 的泰勒展开式或幂级数展开式，也称f 在0x 可展为幂级数或泰勒级数．当00=x 时的泰勒级数又称为马克劳林级数．3 初等函数的幂级数展开式（1）∑∞==0!n n xn x e ，R x ∈；（2）()()∑∞=----=1121!121sin n n n n x x ，R x ∈；（3）()()∑∞=-=02!21cos n nnn x x ，R x ∈；（4）()()∑∞=--=+1111ln n n n nx x ，]1,1(-∈x ；（5）()()()∑∞=+--+=+1!1111n n x n n x αααα，当1-≤α时，()1,1-∈x ；当01<<-α时，]1,1(-∈x ；当0>α时，]1,1[-∈x ；（6）∑∞==-011n n x x ，1<x ；（7）()∑∞=-=+0111n n nx x ，1<x ．2 级数理论在初等数学中的应用2.1 采用幂级数定义三角函数三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

第三篇：级数理论第一部分：数项级数与广义积分第九章：数项级数1 预备知识：数列的上极限和下极限一、 定义：对于有界数列{}n a ，{}n a 未必收敛，但它有收敛的子列。

这里我们考虑数列{}n a 具有特殊性质的子列{}nj a ，它的极限值最大（或者最小）。

例如：{}(1)n-={}n a ，2na=1→1，21n a -=-1→-1。

在{}n a 去掉最前面的k 项以后 ，剩下来的仍是一个有界数列，证这个数列{}k ja +的上确界为kβ，下确界为k α，即：k β=sup n k>{}n a =sup {}1,2,k k a a ++随着k 的增大在变小k α={}{}1,2,inf inf k k k n ka a a ++>=随着k 的增大在变大令k=1,2,3,……，可得新的数列{}k β及{}k α。

显见，{}kβ，{}kα。

由单调有界准则知{}k β，{}k α均收敛，分别证：,lim lim k k k k H h βα→∞→∞==分别称H ，h 为数列{}n a 的上极限与下极限，记为H=lim n n a →∞,h=lim n →∞n a 。

即：H=lim nx a →∞={}lim sup n k n ka →∞>；h=lim n →∞n a {}liminf n k n ka →∞>≤。

由上、下极限的定义，显然有：h H 。

（事实上，',k k ∀有{}{}'','''sup inf ,,lim H ,n n k k k k k k n kn ka a H k βαβαα→∞>>≥≥=≥≥→∞故故即：再令，有h H ≤）对于无界数列{},n a 可以补充规定：1;lim n a n =∞→∞______规定：（）如果数列无上界，级数H=（2）如果数列{}n a 无下界，级数.lim n n h a →∞==-∞这样，对于任何的数列，上极限和下极限h 均有定义。

第六章 级数理论§1 数项级数I 基本概念一 数项级数及其敛散性定义1 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连结起来的表达式++++n u u u 21 （1）称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为∑∞=1n nu，其中n u 称为数项（1）的通项．数项级数（1）的前n 项之和，记为∑==nk kn uS 1，称之为（1）的前n 项部分和，简称为部分和．定义2 若级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称级数（1）收敛，并称S 为（1）的和，记为∑∞==1n nuS ．若{}n S 是发散数列，则称级数（1）发散．二 收敛级数的基本性质1 收敛级数的柯西收敛准则级数（1）收敛的充要条件是：0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，+∈∀Z p ，有ε<++++++p n n n u u u 21．2 级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n na收敛，则0lim =∞→n n a ．3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性．4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数亦如此），即收敛级数满足结合律．5 若级数适当加括号后发散，则原级数发散．6 在级数中，若不改变级数中各项的位置，只把符号相同的项加括号组成一新级数，则两级数具有相同的敛散性．7 线性运算性质 若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv都收敛，d c ,是常数，则()∑∞=+1n n ndv cu收敛，且()∑∑∑∞=∞=∞=±=±111n n n n n n nv d u c dv cu．三 正项级数收敛性判别法1 正项级数∑∞=1n nu收敛的充要条件是部分和数列{}n S 有界．2 比较判别法 设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv是两个正项级数，若存在正整数N ，当N n >时，都有n n v u ≤，则（1）若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu收敛； （2）若∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nv发散．3 比较原则的极限形式 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 是两个正项级数，且l v u nnn =∞→lim，则（1）当+∞<<l 0时，∑∞=1n nu和∑∞=1n nv具有相同的敛散性； （2）当0=l 时，若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu收敛； （3）当+∞=l 时，若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu发散．4 设∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b 是两个正项级数，且0>∃N ，N n >∀，有nn n n b b a a 11++≤，则 （1）若∑∞=1n nb收敛，则∑∞=1n na收敛； （2）若∑∞=1n na发散，则∑∞=1n nb发散．5 比式判别法（达朗贝尔判别法） 设∑∞=1n nu是正项级数，若00>∃N 及常数0>q ，有（1）当0N n >时，11<≤+q a a n n ，则级数∑∞=1n n u 收敛；（2）当0N n >时，11≥+n n a a ，则∑∞=1n n u 发散．6 比式判别法极限形式 设∑∞=1n n u 为正项级数，且q u u nn n =+∞→1lim，则（1）当1<q 时，∑∞=1n nu收敛；（2）当1>q 若+∞=q 时，∑∞=1n nu发散；（3）当1=q 时失效．当比式极限不存在时，我们有 设∑∞=1n nu为正项级数．（1）若1lim1<=+∞→q u u nn n ，则级数收敛；（2）若1lim 1>=+∞→q u unn n ，则级数发散．7 根式判别法（柯西判别法） 设∑∞=1n nu为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数l ，（1）若对一切0N n >，成立不等式1<≤l u n n ，则级数∑∞=1n nu收敛；（2）若对一切0N n >，成立不等式1≥n n u ，则级数∑∞=1n nu发散．8 根式判别法极限形式 设∑∞=1n nu为正项级数，且l u n n n =∞→lim ，则（1）当1<l 时级数收敛； （2）当1>l 时级数发散． 9 柯西积分判别法设f 为[)∞+,1上非负递减函数，那么正项级数()∑∞=1n n f 与反常积分()⎰∞+1dx x f 同时收敛或同时发散．10 拉贝判别法 设∑∞=1n nu为正项级数，且存在某正整数0N 及常数r ，（1）若对一切0N n >，成立不等式111>≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+r u u n n n ，则级数∑∞=1n n u 收敛；（2）若对一切0N n >，成立不等式111≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+n n u u n ，则级数∑∞=1n n u 发散．注 拉贝判别法中（1）111>≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+r u u n n n 可转化为n ru u nn -≤+11，1>r 收敛；（2）r u u n n n ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11可转化为n ru u n n -≥+11，1≤r 发散． 11 拉贝判别法极限形式 若r u u n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→11lim ，则有 （1）当1>r 时，∑∞=1n nu 收敛； （2）当1<r 时，∑∞=1n nu发散．四 一般项级数1 莱布尼兹判别法 若交错级数()∑∞=--111n n n u ，0>n u ，满足下列两个条件：（1）数列{}n u 单减； （2）0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n nu收敛．注 若交错级数()∑∞=--111n n n u 满足莱布尼兹判别法，则其余项()x R n 满足()1+≤n n u x R ．2 绝对收敛级数及其性质 定义 对于级数∑∞=1n nu，若∑∞=1n nu收敛，则称∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1n nu收敛，而∑∞=1n nu发散，则称∑∞=1n nu是条件收敛的． 显然，若∑∞=1n nu绝对收敛，则∑∞=1n nu一定收敛，反之不真．绝对收敛级数的性质： （1）重排性：若∑∞=1n nu绝对收敛，其和为S ，则任意重排后所得级数亦绝对收敛，且有相同的和数．此说明：绝对收敛级数满足交换律．对于条件收敛级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于任何事先指定的数（Riemann ）． （2）级数的乘积 若∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，其和分别为A 和B ，则其乘积∑∞=1n n u ∑∞=⋅1n nv按任意方式排列所得的级数也绝对收敛，且其和为AB （柯西定理）．乘积的排列方式通常有两种：正方形和对角线法．3 一般级数收敛判别法一般级数除应用前面正项级数方法判定其绝对收敛以外，莱布尼兹判别法和下面的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法则是判定其可能条件收敛的主要方法．（1）狄利克雷判别法 若数列{}n a 单减收敛于零，∑∞=1n nb的部分和数列有界，则级数nn n ba ∑∞=1收敛．注 莱布尼兹判别法是狄利克雷判别法的特例，Abel 判别法亦可由狄利克雷判别法推证． （2）阿贝尔判别法：若数列{}n a 单调有界，∑∞=1n nb收敛，则级数nn n ba ∑∞=1收敛．五、常用于比较判别法的已知级数（1）几何级数∑∞=1n nq ，1<q 收敛，1≥q 发散； （2）-p 级数∑∞=11n pn，1>p 时收敛，1≤p 发散； （3）()∑∞=2ln 1n pn n ，1>p 时收敛，1≤p 发散．II 例题选解一 级数敛散性判别例1 讨论下列级数的敛散性．（1）∑∞=+111n nx ，0>x ； （2）∑∞=1sin n n x，R x ∈．解（1）10<<x ，0→nx ，0111≠→+nx，发散； 1=x 时，02111≠→+nx，发散； 1>x 时，nnx x ⎪⎭⎫⎝⎛<+111，∑∞=11n n x 收敛，故∑∞=+111n n x收敛． （2）当0=x 时收敛，当0≠x 时，发散．例2 已知∑∞=12n na收敛．（1）判定()∑∞=+-1211n n n n a 的敛散性；（2）证明：∑∞=2ln n n nn a 收敛．（武汉大学）解（1）()222221112111n a n a n a n nn+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤+⋅-，∑∞=12n n a 与∑∞=121n n 均收敛，从而原级数收敛（绝对收敛）．（2）仿（1），由五（3）知其收敛． 例3 判断下列级数的敛散性． （1）∑∞=+-1)]11ln(1[n n n ；（东北师大） （2）∑++++-)]!1!21!111([n e ；（东北师大） （3）∑∞=142sin3n n n ； （4）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1cos 1n pn π，（0>p ）（5）∑∞=1!n n n nn a （e a a ≠>,0）；（6）()∑∞=--+11312n n n ；（7）∑∞=->-+111)0()2(n nna a a ；（8）∑⎰∞=+14411n n dxx ；（9）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---21111n n n n ； （10）()()∑∞=+2ln ln 1n n n n n ； （11）∑∞=3ln n p n n（0>p ）；（12）()()∑∞=++11ln 11n pn n （0>p ）；（1=p 为大连理工）（13）()∑∞=+++1!2!!2!1n n n ； （14）()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+111ln n p n n （0>p ）； （15）()()∑∞=⋅-11!!2!!12n n n n ；（16）()∑∞=1ln ln 1n nn ； （17）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-2ln 1n nn n p （0>p ）； （18）()()()∑∞=+++12111n nnx x x x （0≥x ）； （19）()∑∞=+-⋅-+211ln 1n p n n n n （0>p ）；（20）()∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛++-110310021n nnn n ；（21）()()∑∞=-+-211n n n n ； （22）∑∞=1cos n pn nx（π<<x 0）； （23） +---+--+-+2222222222； （24）()[]∑∞=-11n n n；（25）()()∑∞=2ln ln ln 1n qp n n n ；（大连理工1998） （26）∑∞=+-11n nn n；（中科院2002）（27）∑-nnnarctan )1(（北京大学1999）．解（1）由于)(1ln ln 1)1ln(1)]11ln(1[111∞→→++-=+-=+-=∑∑∑===n c n nn k n k k k S nk n k nk n ，其中c 为欧拉常数，所以级数收敛．（2）由于++++=++++-<)!2(1)!1(1)!1!21!111(e 0n n n ))3)(2)(1(1)2)(1(111(!1 +++++++++=n n n n n n n 22)!1(2))3)(2(1)2)(1(111(!1n n n n n n n n <+=++++++++< ， 由比较原则知其收敛．（3）24342sin 3→⎪⎭⎫⎝⎛nnn ⇒ 收敛； （4）21021~cos 12≤<⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-p n n ppππ发散，21>p 收敛；（5）()()e a n n a n n a n n a nnn n n →⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⋅++⋅++1!1!111e a <<⇒0收敛，e a >发散； （6）()131312<→-+n n n⇒收敛；或()()∑∑∑∞=-∞=∞=--+=-+111113131232n nn n n n n n ，收敛；或()1131312--≤-+n nn ，收敛；（此乃正项级数） （7）220222121211)ln 2()(lim )21()(lim )21()2(lim a x a a n a a n a a x x x nnn nnn =-=-=-+-+→-∞→-∞→⇒收敛； 注：利用xa 的Maclaurin 展开式估计分子的阶．（8）204421110nxdx dx x a n n n =≤+=<⎰⎰⇒ 收敛；（9）()nn n nn n n n n n -=--=---111111=n n -231⇒收敛； 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--n o n n n n n n 11111111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=23231111n o n n n⇒⎪⎭⎫⎝⎛+=---=2323111111n o n n n n a n （∞→n ）∑∞=⇒1n n a 收敛； （10）()()()()n en n n n nn n nnnnnln ln 1ln 11ln ln ln ln +⋅=+=+，而()01ln ln →+⋅nn n ，从而上式极限为零，⇒收敛；（11）当10≤<p 时，n n n p 1ln ≥（3>n ）⇒发散； 当1>p 时，()()21211ln 1ln --+⋅=p p p n n n n n ，当n 充分大时， ()1ln 21<-p n n⇒ ()2111ln -+≤p p n n n ⇒收敛． 或当1>p 时，0ln 1ln 1ln 121<-=⋅-⋅='⎪⎭⎫⎝⎛+-p p p p p x x p x xpx x x x x （3>x ），即单减．由柯西积分判别法知原级数收敛．（12）()()()pn n n u 1ln 11++=单减，故可用柯西积分判别法，令()()()1ln 11++=x x x f p ，1≥x ，易知当1=p 时，()⎰∞+1dx x f 发散，10<<p 时亦发散，而1>p 时收敛．（13）()()()2121!2!!2!!2!1+≤⋅≤+++n n n n n n （3≥n ）⇒收敛； （14）由泰勒公式（皮亚诺余项形式）得：()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+p p n p n p n n o n n n 221121111ln ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅--=p p p nn o n n 2211211，当1>p 绝对收敛，121≤<p 条件收敛，210≤<p 发散．注 能否利用()()p n p n n n 1~11ln -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⇒()∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+111ln n p n n 收敛？（此法仅用于正项级数）． （15）()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋅++=⋅-+⋅++=+1112211122121!!2!!1211!!22!!121n n n n n n nn n n n n a a n n()⎪⎭⎫⎝⎛+++-=+++-=11123112112312n o n n n 由拉贝判别法知其收敛．（16）+∞→n ln ，则当n 较大时，2ln e n >，()()2ln 2ln 11ln 1n en n n =<⇒收敛； （17）根式判别法失效．先估计它的阶，⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n p n nn e n n p u ln 1ln ln 1，n npn n p ln ~ln 1ln -⎪⎭⎫ ⎝⎛-（∞→n ）， 从而可以估计pn nu -~，于是可讨论n p p nu n nu =的极限，为此()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→∞→n n p n n p n n p n u n n npn n p n ln 1ln ln lim ln 1ln lim ln lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-∞→n n p n p n n n 1ln 1ln 1ln 11lim 1 ()[]x px x px xx ln ln 1ln 1lim 0-+=→ ()0ln 1ln ln lim 220=++-=→xpx x x x x p x 故1lim =∞→n pn u n ，p n n u -~，所以当1>p 时收敛，当1≤p 时发散．（18）当0=x 时级数显然收敛； 当10<<x 时，n n x u <，故收敛；当1=x 时，nn u ⎪⎭⎫⎝⎛=21，收敛；当1>x 时，()()()112111111--<+<+++=n n n n n x x x x x x u ，收敛． （19）()()())(12121~1112∞→⋅=++=-+n n nn n n n p p p p p ， )(2~12~121ln 11ln ∞→-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-n n n n n n ， 所以，211121~p p n na +-⋅-)(∞→n ，由此易得：0>p 时收敛，0≤p 时发散．注 等价无穷小替换法仅适用于同号级数．（20）()132103100210310021<→++=⎪⎭⎫⎝⎛++-n n n n n nn，绝对收敛． （21）()()()()()111111111-+--=----=-+-=n n n n n n u nnnnn n ， ()()()0121112112221<---=---⋅='⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x xx x x x （1>x ）由莱布尼兹判别法，()∑∞=--211n nn n收敛，而∑∞=-111n n 发散，故原级数发散．（22）当0≤p ，发散，1>p ，绝对收敛，当10≤<p 时，由狄利克雷判别法知其收敛．事实上，212sin 21sin cos 3cos 2cos cos -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++++xn nx x x x ，()π,0∈x ，有界．（23）法一：212sin 24sin 24cos 22πππ====a ，322sin 24cos 1222ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=a ，4332sin 22cos 224cos 122222πππ=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=a ，……12sin2+=n n a π，……于是原级数可表为∑∞=+=⎪⎭⎫⎝⎛++++21322sin 22sin 2sin 2sin 2n n n ππππ ，收敛．法二：记21=A ，222+=A ，2223++=A ，……则2→n A ，于是121222lim 222lim 222lim lim 22111<=-+-=-+-=-+-=→→--∞→+∞→x x x x A A a a x x n n n nn n ，收敛． （24）将级数中相邻且符号相同的项合并为一项，得一新级数()()∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++++-12221111111n nn n n注意到通项中共有12+n 项，其中前n 项之和和后1+n 项之和分别夹在11+n 与n1之间， n n n n n n n n n n n n n 11111122222=<-+++<-+<+= ()nn n n n n n n n n n n n n 11211211122222=++<++++<+<+=+ 因此()n n n n n 211111112222<-+++++<+ 由此得其单减，从而为收敛级数，而原级数的部分和总是夹在新级数某相邻的二部分和之间，所以原级数也收敛．（25）当1=p 时，则当1>q 时收敛，1≤q 时发散，此时级数的敛散性等同于无穷积分()⎰∞+2ln ln ln qx x x dx的敛散性．由无穷积分立得()⎰∞+2ln ln ln q x x x dx ()⎰+∞→=A q A x x x dx2ln ln ln lim ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞+>-=+∞==-+∞→+∞→1,1,ln ln 11lim 1,ln ln ln lim 212q q x q q x A qAA A 收敛， 当1<p 时发散，1>p 时收敛，事实上，当1<p 时，()()()()n n n n n n n n n q pqp ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln ln 11>⋅=-（n 充分大） 当1>p 时，()()()()()()()2121211ln 1ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln 1+--+<⋅=p q p p q p n n n n n n n n n ． （26）由 及∑-1n发散知级数发散．（27）由于{}n arctan 单调有界，∑-nn)1(收敛，由阿贝尔判别法知其收敛．思考题1 判别下列级数的敛散性： （1）∑∞=+--++122)11(1n n n n n n ；（复旦大学1997） （2）∑∞=123ln n nn；（复旦大学1998） （3）∑∞=122sinn nn π；（复旦大学1999）（4）∑∞=-122sin)53(n n n n π；（复旦大学1999）（5）)0()1()2ln(1>++∑∞=a n a n n n；武汉理工大学2004） （6）∑∞=-1)1sin 1(n n n α．（南京理工2004）提示：（1）分子有理化，发散； （2）收敛；（3）仿上例（3），收敛；（4）当n 为偶数时，通项为0，去掉这些为0的项以后所得级数为交错级数，收敛，从而原级数收敛（考察它们部分和数列之间的关系）．（5）由级数收敛的必要条件知当1≤a 时发散；当1>a 由比式判别法知其收敛； （6）利用x sin 的Taylor 公式讨论． 例4 讨论级数∑∞=11n p n 的敛散性．分析：1=p ，柯西准则，发散；1>p ，柯西积分判别法，收敛； 1<p ，比较判别法，发散．例5 证明 （1）若级数∑∞=12n n a 收敛，则∑∞=1n nna 收敛；（淮北煤师院2004） （2）若0lim ≠=a na n n，则∑∞=1n na发散，而∑∞=12n na收敛；（南开大学2001）（3）若∑∞=1n n a 是收敛的正项级数，则当21>p 时，级数∑∞=1n p n na 收敛（中科院2002）．分析：（1）⎪⎭⎫⎝⎛+≤22121n a n a n n ；（2）01≠→=a na na n n ，∑∞=1n n a 发散，而∑∞=12n na 收敛； （3）同（1）．或：由Cauchy 不等式211221111⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk p nk k nk pk k a k a ； 知其部分和有界，从而收敛．例6（兰州大学2000）设0>n u 是单调递减数列，试证明：（1）若0lim ≠=∞→c u n n ，则∑∞=+-11)1(n nn u u 收敛； （2）若0lim =∞→n n u ，则∑∞=+-11)1(n nn u u 发散． 证（1）由单调有界定理知0>≥c u n ，再由极限的柯西收敛准则知：0,0>∃>∀N ε，当+∈∀>Z p N n ,，有εc u u p n n <-+，又n u 单调递减，所以，当+∈∀>Z p N n ,时，有ε<-≤-++-+-+-+++++np n n p n p n n n n n u u u u u u uu u )1()1()1(1121 ， 由级数的柯西收敛准则知其收敛．（2）由于1)1()1()1(1121-=-≥-++-+-+++-+++++pn n p n p n n p n p n n n n n u u u u u u u u u u u ， 令∞→p 得上式右端的极限为∞+，由柯西准则知∑∞=+-11)1(n nn u u 发散．例7（华东师大1997）设级数∑∞=1n nn a收敛．试就∑n a 为正项级数和一般项级数两种情形分别证明：级数n n an n+∑∞=1也收敛．证 当∑na为正项级数时，1lim=+∞→nn a n a n n n ，由比较判别法知n n an n+∑∞=1收敛．当∑∞=1n n n a 为一般项级数时，nn a n n a n n n n 1111+=+∑∑∞=∞=，由阿贝尔判别法知它是收敛的．思考题2（华东师大1998）已知∑∞=1n n a 为发散的一般项级数，试证明∑∞=+1)11(n n n a 也是发散级数．提示：用反证法．假设∑∞=+1)11(n n n a 收敛，则∑∑∞=∞=++=11)1)(11(n n n n n nn a a ，由阿贝尔判别法知∑∞=1n na收敛，矛盾．例8（北京工业大学2000）设和正项数列{}n a 单调减少，且级数n n na ∑∞=-1)1(发散．令nn a a a u ++⋅+=11111121，.,2,1 =n 试问级数∑∞=1n nu是否收敛，并说明理由．证 级数∑∞=1n nu收敛．这是因为：由级数n n na ∑∞=-1)1(发散和正项数列{}n a 单调减少知0lim >=∞→a a n n ，且由单调有界定理知a a n ≥，于是nn n n aa a a a u )11()1(111111121+=+≤++⋅+=， 由比较原则知∑∞=1n nu收敛．例9（北方交通大学1999）已知.,2,1,,01 =≤>+n a a a n n n 讨论级数++++na a a a a a 21211111 的敛散性．解 由单调性假设知存在极限0lim ≥=∞→a a n n ，则a a a a n n n =∞→ 21lim ，由柯西根式判别法知，当1>a 时收敛，当1<a 时发散，当1=a 时，例10（中国矿大北研部）设0>n a ，n n a a a S +++= 21，级数∞=∑∞=1n na．试证：（1）∑∞=1n nnS a 发散；（武汉大学） （2）∑∞=12n nn S a收敛．（东北师大） 证 （1）0>n a ，↑n S ，于是pn n p n pn n k kpn n k k k S S S a S a ++++=++=-=≥∑∑111． 而∞=∑∞=1n n a ，故+∞=++∞→p n p S lim ，从而当p 充分大时，21<+pn n S S ， 211≥∑++=pn n k kk S a ．由柯西收敛准则知其发散．（2）11211211122121111a S S S S a S S a a S a n nk k k n k k k k nk kk ≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+≤∑∑∑=-=-=，部分和有界，故收敛．例11（华中科技大学） 若0lim 1=+∞→n n a ，()0lim 21=+++∞→n n n a a ，…，()0lim 21=++++++∞→p n n n n a a a ，…，试问∑∞=1n n a 是否一定收敛？为什么？解 不一定．如级数∑∞=11n n ，有 )(01121110∞→→+<++++++<n n p p n n n ；但∑∞=11n n 发散． 例12（上海交大） 若 1lim 1sin 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∞→n nn n a n ，则级数∑∞=1n n a 是否收敛？试证之． 解 由于11sin2→-nn n na （∞→n ），而()432sin 21sin210-⋅--≤=<-nnnn n nn （n 充分大），由比较判别法知∑∞=-11sin2n nn n收敛，再由比较判别法知∑∞=1n na收敛．例13 设0>n a 且单减，试证∑∞=1n na与∑∞=122n nn a 同时敛散．证 因为对正项级数任意加括号不改变敛散性，因此由∑∞=1n na()()() ++++++++++=1587654321a a a a a a a a a∑∞==++++≤02232221222232n n n a a a a a和∑∞=1n na()()() ++++++++++=169854321a a a a a a a a∑∞=+=+++++≥02116842122121842n nn a a a a a a a知两级数具有相同的敛散性．例14 若正项级数∑∞=1n na收敛，且n n nb a n a e a e++=（ ,2,1=n ）．证明 （1）∑∞=1n nb收敛；（华东师大）（2）∑∞=1n n na b 收敛．（北京理工大学2003） 证 解出n b 得：()0ln lim >-=∞→n a n n a eb n，而∑∞=1n n a 收敛，故当n 充分大时，nnn a b b <，从而（2）收敛立得（1）收敛．由收敛的必要条件得)(0∞→→n a n ．又因为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=-n n n n n a a a a a a e n!3!21ln ln 32()n n n a o a a =++ 32!3121~， 即 0lim =∞→nn n a b ，由级数∑∞=1n n a 收敛得∑∞=1n nn a b收敛．例15 研究级数∑∞=121n nx 的敛散性，这里n x 是方程x x tan =的正根，并且按递增的顺序编号．解 解方程得：()⎪⎭⎫⎝⎛+-+∈ππππn n x n 2,12，()22111-<n x n ，1>n ，收敛． 例16 设11=u ，22=u ，21--+=n n n u u u （3≥n ）．问∑∞=-11n nu收敛吗？解 由于03323233211211111<-=-=-=-+--+-+++n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u （3>n ）； 所以 321111≤=+--+n n nn u u u u （由n u 的前若干项预测）；由比式判别法知其收敛．例17 设0>n a ，证明级数 ()()()∑∞=+++121111n n na a a a 收敛． 解 由于()()()()()()()()n n n a a a a a a a a a a a a a S +++++++++++++=<111111111021321321211 ()()()()()()()++++++++-=+++++=321321212121111111111a a a a a a a a a a a a ()()()()()()n n a a a a a a a ++++++++-=1111111121321 ()()()1111121<+++-=n na a a a即部分和有界，所以收敛．例18（上海师大）证明：级数： +⎪⎭⎫⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4131211713121151211311是收敛的．解 这是交错级数，且()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=n n n n n n a n 12111212121211121111121112112111221121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n a n n n n n n ， ()()0ln 1211211121→++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=n n n c n n n a ε ． 由莱布尼兹判别法知∑∞=1n na收敛．例19（合肥工大2001）已知正项级数∑na 和∑nb 都发散，问下列级数收敛性如何？（1）∑),min(nnb a ； （2）∑),max(nnb a ．解（1）可能收敛，也可能发散，例如，取1-==n b a nn，则∑),min(nn b a 发散；若取n na )1(1-+=，1)1(1+-+=n n b ，则0),min(≡n n b a ，∑),min(nn b a 收敛．（2）一定发散，这是因为n n n a b a ≥),max(． 思考题3（复旦大学1997）证明：如果任意项级数∑nu和∑nv都收敛，且成立.1,≥≤≤n v w u n n n则∑nw收敛．提示：利用柯西收敛准则．思考题4（上海交大2004）设.,2,1,1,11212 +==⎰+-n dx x x n x n nn n 证明∑∞=--11)1(n nn x 收敛．提示：12212111-+=<<+=n n n x n x n x ，应用Leibniz 判别法即可．例20（华东师大2000）设∑∞=1n na收敛，0lim =∞→n n na ．证明：∑∑∞=∞=+=-111)(n n n n na a an ．证 记级数∑∞=--11)(n n na an 的前n 项和为n S ，则12113221)()(2)(++-+++=-++-+-=n n n n n na a a a a a n a a a a S ，而0])1(1[lim lim 11=+⋅+=+∞→+∞→n n n n a n n nna ，所以 ∑∑∞=∞=+=-111)(n n n n na a an ．思考题5（合肥工大2000）设数列{}n a 单调，且级数∑∞=1n na收敛于A ．证明：级数∑∞=+-11)(n n na an 收敛，并求其和．思考题6（北京工业大学2001）设数列{}n na 收敛，00=a ，级数∑∞=--11)(n n na an 收敛，证明：级数∑∞=1n na收敛．思考题7（安徽大学2003）若级数∑∞=1n na满足：（1）0lim =∞→n n a ；（2）∑∞=-+1212)(n n n a a收敛，证明：∑∞=1n na收敛．思考题8（华东师大2003）若级数∑∞=1n na满足：（1）0lim =∞→n n a ；（2）∑∞=--1212)(n n n a a收敛，证明：∑∞=1n na收敛．例21（吉林大学）证明级数+-++-++-+611119141715121311发散到正无穷．证 记.,2,1,141241341 =---+-=n n n n a n 则nnna n 1)331(3142-=->， 而∑n1发散到正无穷，所以，+∞=∞→n n S 3lim ．又因为n n n S S S 31323>>++，故+∞=∞→n n S lim ．注（1）若要证明级数发散，则只需证明+∞=∞→n n S 3lim 即可．（2）在证明{}n S 收敛或发散时，有时通过求其子列的敛散性而使问题变得简单． 思考题9（武汉大学1999）级数+--+++-+-n n 21)12(1514131211222 是否收敛？为什么？提示：考察n S 2．例22 证明：级数∑∞=1n na收敛的充分必要条件是：对于任意的正整数序列{}k p 和正整数数任意子序列{}k n ，都有.0)(lim 11=++++++∞→k k k k p n n n k a a a证 必要性．设级数∑∞=1n na收敛，则由柯西收敛准则得：,0,0>∃>∀N ε当N n >时，+∈∀Z p ，都有ε<++++++p n n n a a a 21，从而当N k >时，N n k >，于是对于任意的正整数序列{}k p ，有ε<++++++k k k k p n n n a a a 11，即 .0)(lim 11=++++++∞→k k k k p n n n k a a a充分性．反证法．若∑∞=1n na发散，则+∈∃>∃>∀>∃Z p N n N ,,0,00ε，使得021ε≥++++++p n n n a a a ，特别地，分别取,,1,1111+∈∃>∃=Z p n N 使得 0211111ε≥++++++p n n n a a a ，{}+∈∃>∃>Z p N n n N 22212,,,2max ，使得 0212222ε≥++++++p n n n a a a ，如此下去，得一正整数子序列{}k n 和正整数序列{}k p ，恒有011ε≥++++++k k k k p n n n a a a ，这与已知条件矛盾．二 绝对收敛与条件收敛例23 判别下列级数是条件收敛，还是绝对收敛： （1）()∑∞=+--1111n n p n n（南京师大2002，1=p 为武汉大学1995）；（2）∑∞=-1sin )1(n nnx（内蒙古大学）； （3）)0()23()1(12>-+-∑∞=x n n n xn（复旦大学1997）． 解（1）当0≤p 时，n u 不趋于0，发散； 当1>p 时，原级数绝对收敛；当10≤<p 时，()∑∞=--1111n pn n 收敛，nn 11单调有界，由阿贝尔判别发知其收敛，但 ()1111→--+-p np n n n（∞→n ）；故原级数条件收敛．（2）当0=x 时绝对收敛，当0≠x 时，不妨设0>x ，则0>∃N ，当N n >时，有20π<<x ，且nxsin关于n 单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛． 又因为)(1sin)1(∞→→-n nx n xn ，而∑∞=1n n x发散，故原级数条件收敛． （3）当0>x 时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+x n n )23(12单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛．又因为 222423n n n n <-+<，所以xx n x x nn n n 2221)23()1(41≤-+-<， 从而，当21>x 时，绝对收敛，当21≤x 时，条件收敛．思考题10（武汉大学2005）判别级数∑∞=2sin ln ln ln n n nn是否绝对收敛或条件收敛．思考题11（南京大学2001）设1,0,1,111≥>>++=+n x k x x k x nnn ． （1）证明：级数∑∞=+-01)(n n n x x绝对收敛；（2）求级数∑∞=+-11)(n n n x x之和．提示：例24（北京大学1999,中国矿大1999，安徽大学2000，2001）设()x f 在0=x 的某邻域内有二阶连续导数，且()0lim0=→x x f x ．证明：级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛． 证 由()0lim 0=→xx f x 得()00=f ，()00='f ，()x f 在0=x 某邻域内的二阶泰勒展式为 ()()()()()22212100x x f x x f x f f x f θθ''=''+'+=，10<<θ由()x f ''连续知，0>∃M ，有()M x f ≤''，从而有2121nM n f ⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ 故∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛． 思考题12 证明： （1）（华南理工大学2005）设)(x f 是偶函数，在0=x 的某个领域中有连续的二阶导数，.2)0(,1)0(=''=f f 则级数∑∞=-1)1)1((n n f 绝对收敛．（2）（浙江大学2004）设函数)(x f 在区间)1,1(-内具有直到三阶的连续导数，且0)0(=f ，.0)(lim 0='→x x f x 则∑∞=2)1(n n nf 绝对收敛． 例25 设0>n a （ ,2,1=n ）单调，且级数∑∞=11n n a 收敛，讨论级数()∑∞=++-111n nna a n 是条件收敛还是绝对收敛．解 由于0>n a 且单调，故01→na ↑⇒n a()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++<++++⋅-=<+++⋅-++,2112121,22211221122212n n n n nn n n a a n n a a a n a na n a a a n 由已知条件，∑∞=12n na 收敛，故原级数绝对收敛． 例26 （哈尔滨工大2000）证明：若级数∑∞=1n nb收敛，且级数()∑∞=--11n n na a绝对收敛，则级数∑∞=1n nn ba 收敛．证 设n n b b b S +++= 21，则1--=n n n S S b ，于是由∑∞=1n nb收敛知：0>∃M ，M S n ≤， ,2,1=n ．由()∑∞=--11n n n a a 收敛知：0>∀ε，01>∃N ，1,N m n >∀，有ε<-++-+--+-111m m n n n n a a a a a a ，又{}n S 收敛，对上述0>ε，02>∃N ，2N n >∀，2N m >，有ε<-m n S S ，取{}1,m a x21+=N N N ，于是，当N m n >,时， m m n n n n b a b a b a +++++ 11()()()1111-++--++-+-=m m m n n n n n n S S a S S a S S a[]()11121--+++-+-+-++-+-≤n m n n m m m n n n n S S a a a M a a a a a a MεM 3<．由柯西收敛准则知级数∑∞=1n nn ba 收敛．另证∑∞=1n nb收敛⇒0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，+∈∀Z p ，有ε<∑++=pn n k kb1．记∑++==in n k ki bS 1，p i ,,2,1 =，则ε<i S ，p i ,,2,1 =．由()∑∞=--11n n na a绝对收敛得其部分和有界，即0>∃M ，有M a aS mn n nm ≤-='∑=-11， ,2,1=m ．由阿贝尔定理得p n p p n p n p n n n n pn n k kk a S a a S a a S a a S ba ++-+-++++++=+-++-+-≤∑113222111p n p a S M ++≤ε又M a a a a a a a p n p n p n +<-++-+=-+++01010 ，从而()012a M ba pn n k kk +≤∑++=ε．由柯西收敛准则知其收敛．例27（华东师大2001）证明：若级数∑∞=1n na绝对收敛，则级数∑∞=+++121)(n n na a a a也绝对收敛．证 记n n a a S ++= 1，则由∑∞=1n na绝对收敛知∑∞=1n na收敛，所以{}n S 有界，即0>∃M ，有.,2,1, =≤n M S n 于是有n n n a M a a a a ≤+++)(21 ，由∑∞=1n na绝对收敛知级数∑∞=+++121)(n n na a a a也绝对收敛．思考题14（华中科技2004）设)(),1(,010∞→→≥==∑=n b x n ax x n nk kn ，求级数∑-+)(1n n nx x a之和．提示：1--=n n n x x a ．例28 证明：若对任意收敛于0的数列{}n x ，级数∑∞=1n n nx a都收敛，则级数∑∞=1n n a 绝对收敛．分析 问题等价于：若级数∑na发散，则至少存在一个收敛于0的数列{}n x ，使得级数∑nnxa 发散，于是问题转化为：从∑+∞=na出发，构造出满足条件的数列{}n x ．联想例10中（1）的结论立明．证 假设∑∞=1n n a 发散，记其前n 项和为n S ，则+∞=∞→n n S lim ．取210=ε，0>∀N ，N n >∃，由+∞=∞→n n S lim 得 210lim <=∞→mn m S S ，从而当m 充分大（n m >）时，有21<m n S S ，于是0221121ε=>-≥+++++=++m n m m m n n n n S S S S a S a S a ， 由柯西收敛准则知级数 ∑∞=1n n n S a 发散，取1,1≥=n S x nn ，则0lim =∞→n n x ，且∑∞=1n n n x a 发散，这与题目的条件矛盾，故命题成立．思考题15（中国人民大学2000）若正项级数∑∞=1n na发散，则存在收敛于0的正数序列{}n b ，使得级数∑∞=1n nn ba 发散．例29 研究级数∑∞=1sin n n n的收敛性．记其前n 项和为n S ，将其分成两项 -++=nn n S S S ， 其中-+n n S S ,分别表示前n 项和中所有正项之和与负项之和．证明：极限-+∞→nnn S S lim 存在，并求其值．证 由Dirichlet 判别法知其收敛．又因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=≥111212cos 21121sin sin n n n n n nn n n n ， 右端第一个级数发散，第二个级数收敛（利用Dirichlet 判别法），从而∑∞=1sin n n n非绝对收敛． 由于)(sin 2122)(1∞→-∞→-=--+=∑=-+-+-n k k S S S S S S n k n n n n n n，所以，1)1(lim lim lim -=-=-+=-∞→---+∞→-+∞→n n n n n n n n nn n S S S S S S S S ． 注 此例给出了条件收敛与绝对收敛的一个本质区别，且这个结论对一切条件收敛级数都成立．三 构造级数例30 试构造一级数∑∞=1n na，使它满足：（1）∑∞=1n n a 收敛； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛≠n o a n1． 解 ∑∞=121n n ，∑∞=11n n 满足（2），将两者结合起来，构造级数如下：+++++=∑∞=22221514131211n n a 即当n 是整数平方时，n a n 1=，否则21n a n =，显然⎪⎭⎫⎝⎛≠n o a n 1，同时+∞<≤+≤=∑∑∑∑=≤==nk n k n k n k k n k kk a S 12212112112故此级数收敛．例31 举出一个发散的交错级数，使其通项趋于零． 分析 交错级数+-++-+--n n a a a a a a 2124321 （0>n a ）部分和为∑∑==--=n k k nk k n a aS 121122，可见只要构造一个级数∑∞=1n n a ，使得0→n a ，同时使∑∞=-112k k a和∑∞=12k ka一个收敛，另一个发散即可．为此可构造级数如下：() +--+-+-+-nn 21121514131211222． 例32（南开大学1999）已知级数∑∞=1n na收敛，问级数∑∞=12n na和∑∞=13n na是否必收敛？说明理由．解 未必收敛．如级数∑∞=-1)1(n nn 收敛，但∑∞=12n na发散．令+---+--+-=∑∞=33333331331331331312212212111n n a+----+项k k k k k k k k k k k 11113 则级数∑∞=1n na收敛，但∑∞=13n na发散，因为它的部分和子列+∞→----+++=3312111211kk S k n ．四 级数与极限问题例33 设正项级数∑∞=1n na收敛，试证：0lim1=∑=∞→nkank kn ．证 记∑∞==1n naS ，∑==nk kn aS 1，则S S n →（∞→n ），且∑∑-==-=111n k k n nk kS nS ka，从而0lim lim 1211=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=-∞→∞=∞→∑S S n S S S S nkan n x k kn ． 例34（西安电子科技大学2003，东北师大）设021>≥≥ a a ，且级数∑∞=1n na发散，则1lim1231242=++++++-∞→n nn a a a a a a ．解 由于1123112311231242=++++++≤++++++---n n n n a a a a a a a a a a a a ；1211121121121123123124211--+-+-++->++--=++++≥++++++n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a ；（1） 而 n n a a a a a a 2421231+++≥+++- ，由此及∑∞=1n na发散可得)(2)(21223211231∞→∞→=++++≥+++-n S a a a a a a a n n n ， 从而（1）式右端的极限为1，由两边夹定理知结论成立．例35（煤师院2004）设级数∑∞=1n na收敛，0>n a ，且n a 单减．试证0lim =∞→n n na ．分析：0lim =∞→n n na ⇔0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，有ε<n na ． 证 由∑∞=1n na收敛知，0>∀ε，0>∃N ，N m n >>∀，有ε<++++<+++n m m m a a a a 3210 由n a 单减知，当m n 2>时，m n n-<2，于是有()()ε22222211<⋅+++≤-<⋅=++-n m m n n n a a a a m n na na ．故0lim =∞→n n na ．例36（北师大）证明：极限 )]ln(ln ln 1[lim 2n kk nk n -∑=∞→存在有限． 证 令xx x f ln 1)(=，则f 在),2[+∞上非负单减，所以 ∑⎰⎰=+<<=-nk n nk k dx x f dx x f n 2122ln 1)()()2ln(ln )ln(ln ， 从而得0)2ln(ln )ln(ln ln 12>->-∑=n kk nk ，即数列有下界．又 0)1ln()1(1)1ln()1(1)()1ln()1(1111=++-++<-++=-⎰⎰+++n n n n n n dx n n n n dx x f n n a a ，即数列单减，从而极限存在且有限．例37 试证：若正项级数∑∞=1n na收敛，且数列{}1+-n n a a 单减，则.)11(lim 1+∞=-+∞→nn n a a。

高数中的数列与级数的性质及应用数列和级数是高等数学中的重要概念，其性质以及在实际问题中的应用广泛存在。

本文将介绍数列和级数的定义、性质，以及它们在不同领域中的应用。

一、数列的性质及应用1. 数列的定义与性质数列是由一系列有序数按照一定规律排列而成的集合。

常见的数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

等差数列：在等差数列中，每个数与它前面的数之差都相等。

它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

等比数列：在等比数列中，每个数与它前面的数之比都相等。

它的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

斐波那契数列：斐波那契数列是一个特殊的数列，前两项为1，之后每一项都是前两项之和。

数列的性质包括有界性、单调性、极限等。

根据不同的性质，我们可以对数列进行分类和研究。

2. 数列在实际问题中的应用数列的研究不仅仅停留在理论层面，还广泛应用于实际问题中。

在物理学中，数列的概念可以用于描述各种运动的定量变化。

例如，自由落体运动中物体的高度变化、声音的频率变化等都可以用数列来表示和分析。

在经济学中，数列可以用来描述人口增长、物价涨跌、投资回报等经济现象的变化规律。

通过对数列的研究，可以帮助人们预测未来的趋势和制定相应的政策。

在计算机科学中，数列可以用来描述算法的时间复杂度。

通过对数列的分析，可以帮助程序员评估算法的效率和性能，并进行相应的优化。

二、级数的性质及应用1. 级数的定义与性质级数是数列的和。

形式上，级数可以表示为S = a1 + a2 + a3 + ... + an，其中an是数列的通项。

级数的性质包括收敛性、发散性、部分和等。

通过对级数的研究，我们可以得到级数的和以及判定级数的敛散性。

2. 级数在实际问题中的应用级数在科学和工程领域中有着广泛的应用。

在电路分析中，级数可以用来描述电源的电压和电流的变化规律。

通过对级数的研究，可以获得电路的稳定性和性能。

数学分析中的级数理论数学分析是研究数学中的连续和极限概念的一个分支学科，而级数理论则是其中的一个重要内容。

本文将围绕数学分析中的级数理论展开讨论，深入探究级数的定义、性质以及收敛与发散等问题。

一、级数的定义与性质级数是由无穷多个实数或复数按照一定顺序相加而得到的数列。

一般来说，级数的一般形式可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ...其中，ai为级数的第i项。

级数是一个重要的数学工具，它在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学以及金融学等。

在级数的研究中，我们首先需要关注级数的部分和。

部分和Sn表示级数前n项的和，即Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an。

通过求解部分和，我们可以判断级数的收敛性与发散性。

如果存在一个实数S，使得对于任意正数ε，都存在正整数N，使得当n > N时，|Sn - S| < ε成立，那么我们称级数收敛于S。

否则，级数被称为发散。

在研究级数的收敛性时，我们常用到级数的必要条件和充分条件。

级数的必要条件是级数收敛的充分条件，而级数的充分条件是级数发散的必要条件。

对于必要条件，我们可以根据级数的收敛性来探究级数的性质。

二、级数的收敛与发散1. 绝对收敛与条件收敛级数的收敛性可分为两种情况：绝对收敛和条件收敛。

如果级数的每一项都是非负的，并且级数收敛，那么我们称这个级数为绝对收敛。

绝对收敛的级数具有良好的性质，如部分和的次序可以变换，级数的项可以逐项相乘等。

如果级数的每一项不一定非负，但是经过重新排列后收敛，那么我们称这个级数为条件收敛。

条件收敛的级数的性质较为复杂，排列的次序会对级数的和产生影响。

2. 收敛级数的性质对于收敛级数，我们有以下性质：（1）级数的和具有唯一性。

即如果一个级数收敛，那么它的和是确定的。

（2）收敛级数的任意子级数也是收敛的，并且具有相同的和。

（3）连续对收敛级数进行加、减、乘运算得到的新级数仍然收敛，并且和等于原级数的和与运算数的和之间的运算。