人教版高中数学导数及其应用精品课件

3．一般地，函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是 Δx→0 fx0＋Δx－fx0 Δy ＝ lim ，我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处 Δx Δx
Δx→0
lim
fx0＋Δx－fx0 lim Δx . 的导数，记作 f ′(x0)或 y′|x＝x0，即 f ′(x0)＝Δx→0
3．如果质点 A 的运动方程是 s(t)＝2t3，则在 t＝3 秒时的 瞬时速度为( A．6 C．54 ) B．18 D．81
[答案]
C
[解析]
Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝2Δt3＋18Δt2＋54Δt，
Δs ＝2Δt2＋18Δt＋54，在 t＝3 秒时的瞬时速度为： Δt Δs lim Δt ＝ lim (2Δt2＋18Δt＋54)＝54. Δt→0 Δt→0
[点评]
瞬时速度是平均速度在 Δt→0 时的极限值．因此，
要求瞬时速度，应先求出平均速度．
(2012～2013 学年度山东潍坊高二期末测试)已知物体的运 动方程是 S＝－4t2＋16t(S 的单位为 m；t 的单位为 s)，则该物 体在 t＝2s 时的瞬时速度为( A．3m/s C．1m/s
[答案] D
Δy fx0＋Δx－fx0 (3)求平均变化率 ＝ ， 要注意 Δx， Δy 的值 Δx Δx 可正，可负，但 Δx≠0，Δy 可为零，若函数 f(x)为常值函数， 则 Δy＝0.
3．瞬时变化率、瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 4．一般地，如果物体的运动规律是 s＝s(t)，那么物体在 时刻 t 的瞬时速度 v， 就是物体在 t 到 t＋Δt 这段时间内， 当 Δt→0 Δs 时平均速度的极限，即 v＝ lim Δt 为 t 时刻的瞬时速度． Δt→0
s2－s1 置为 s1≤s≤s2，则他的平均速度为 t2－t1 .
2．已知函数 y＝f(x)，令 Δx＝ x2－x1 ，Δy＝ f(x2)－f(x1)，
fx2－fx1 则当 Δx≠0 时，比值 x2－x1
Δy ＝Δx，为函数 f(x)从 x1 到 x2
的平均变化率，即函数 f(x)图象上两点 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2)) 连线的 斜率．
命题方向 利用定义求函数在某点处的导数
[例 3] 数．
1 根据导数定义求函数 y＝x ＋ ＋5 在 x＝2 处的导 x
2
[解析]
2
1 1 2 当 x＝2 时， Δy＝(2＋Δx) ＋ ＋5－2 ＋2＋5 2＋Δx
2
－Δx ＝4Δx＋(Δx) ＋ ， 22＋Δx Δy 1 所以Δx＝4＋Δx－ ， 4＋2Δx
●学法探究 导数是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题的 有力工具． 学习本章要认真理解平均变化率、 瞬时速度的概念， 进一步理解导数的概念和导函数的定义，掌握导数的几何意 义，掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，通 过具体实例，认识导数的工具性及其与实际问题的联系，感受 导数在解题中的作用， 充分体会数形结合思想、 分类讨论思想、 等价转化思想及理论联系实际的思想方法．
值 f(x0 －Δx)－f(x0)所对应的自变量的改变量为 (x0 －Δx)－ x0 ＝ －Δx.
[正解]
∵f(x)在 x0 可导，
fx0－Δx－fx0 ∴ lim Δx Δx→0 fx0－Δx－fx0 ＝－ lim －Δx －Δx→0 ＝－f ′(x0)．
课堂巩固练习
一、选择题 1．若函数 f(x)＝2x2－1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋ Δy Δx,1＋Δy)，则Δx等于( A．4 C．4＋2Δx ) B．4x D．4＋2(Δx)2
[答案]
C
[解析]
2
Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2＋1＝4Δx＋
Δy 2Δx ，∴ ＝4＋2Δx. Δx
2．一物体的运动方程是 s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内 的平均速度是( A．0.41 C．0.3 ) B．2 D．0.2
[答案]
B
[解析] Δs＝(3＋2×2.1)－(3＋2×2)＝0.2， Δt＝2.1－2＝0.1， Δs 0.2 ∴ ＝ ＝2. Δt 0.1
4．求函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的步骤： (1)求函数的增量 Δy＝ f(x0＋Δx)－f(x0) ；
fx0＋Δx－fx0 Δx Δy lim Δx (3)取极限，得导数 f ′(x0)＝ Δx→0 .
Δy (2)求平均变化率Δx＝
；
上述求导方法可简记为：一差、二比、三极限．
5．函数 y＝x2 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率为 k1，在 x0－Δx 到 x0 之间的平均变化率为 k2，则( A．k1>k2 C．k1＝k2 B．k1<k2 D．不确定 )
[解析]
当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时， 函数的平均变化
3 fx0＋Δx x0＋Δx3－x0 2 率为 ＝ ＝3x2 ＋ 3 x Δ x ＋ (Δ x ) . 0 0 Δx Δx
1 当 x0＝1，Δx＝ 时， 2 1 12 19 平均变化率的值为 3×1 ＋3×1×2＋2 ＝ 4 .
2．情感、态度、价值观目标 通过具体实例，认识导数的工具性及其与实际问题的联 系，感受和体会导数在解决实际问题中的作用，提高学生学习 兴趣，感受导数在解题中的作用和威力，自觉形成将数学理论 和实际问题相结合的思想， 在解题过程中， 逐步养成扎实严格、 实事求是的科学态度．
●重点难点 本章重点：导数的运算和利用导数解决实际问题． 本章难点：导数概念的理解．
4．导数的概念 对导数的定义要注意两点：第一：Δx 是自变量 x 在 x0 处 的改变量，所以 Δx 可正可负，但 Δx≠0；第二：函数在某点 的导数，就是函数在该点的瞬时变化率，即函数在该点的函数 值改变量与自变量改变量之比的极限值．因此它是一个常数而 不是变数．
课前自主预习
1． 在高台跳水运动中， 运动员在 t1≤t≤t2 这段时间里的位
1 Δy 所以 y′|x＝2＝ lim ＝ lim 4＋Δx－4＋2Δx Δx→0 Δx Δx→0
1 15 ＝4＋0－ ＝4. 4＋2×0
[点评]
用导数定义求函数在某一点处的导数的过程：一
差、二比、三极限．
ห้องสมุดไป่ตู้
求 y＝f(x)＝x3＋2x＋1 在 x＝1 处的导数．
[ 解析 ]
[答案]
D
[ 解析 ]
函数在 x0 到 x0 ＋ Δx 之间的平均变化率 k1 ＝
x0＋Δx2－x2 0 ＝2x0＋Δx，在 x0－Δx 到 x0 之间的平均变化率 k2 Δx
2 x2 0－x0－Δx ＝ ＝2x0－Δx，因为 Δx 可正可负，∴k1 与 k2 的大 Δx
小关系不确定．
6．y＝x2－2x＋3 在 2 到 3 之间的平均变化率为________．
(4)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则 运算法则求简单函数的导数． (5)结合实例， 借助几何直观图探索并了解函数的单调性与 导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次 的多项式函数的单调区间．
(6)结合函数的图象， 了解函数在某点取得极值的必要条件 和充分条件；会利用导数求不超过三次的多项式函数的极大 值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最 大值、最小值． (7)通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会 导数在解决实际问题中的作用．
重点难点展示
本节重点：函数在某一点的平均变化率，瞬时变化率、导 数的概念． 本节难点：导数的概念的理解．
学习要点点拨
1．本节学习的有关概念比较抽象，学习时应通过实例理 解相关概念，深刻体会数学源于生活，又应用于生活． 2．平均变化率 平均变化率是本节中的重要概念，求函数平均变化率的步 骤是： (1)求自变量的增量 Δx＝x－x0. (2)求函数的增量 Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x＋Δx)－f(x0)．
[答案]
[解析]
3
Δy＝f(3)－f(2)＝(9－6＋3)－(4－4＋3)＝3， Δx＝3
Δy －2＝1，∴平均变化率为 ＝3. Δx
课堂典例讲练
思路方法技巧
命题方向
[例 1]
平均变化率
求函数 y＝x3 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率， 并
1 计算当 x0＝1，Δx＝2时平均变化率的值． [分析] 直接利用概念求平均变化率， 先求出表达式， 再直 接代入数据就可以得出相应的平均变化率．
第三章
导数及其应用
本章概述
●课程目标 1．知识、技能、过程、方法目标 (1)通过分析实例， 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的 过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数， 体会导数的思想及其内涵． (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义． 1 (3)能根据导数定义，求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x的导 数．
)
B．2m/s D．0m/s
[解析] 4Δt2，
ΔS＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－
2 ΔS －4Δt ∴ ＝ ＝－4Δt， Δt Δt
ΔS ∴v＝lim Δt ＝lim (－4Δt)＝0. Δt→0 Δt→0 ∴物体在 t＝2s 时的瞬时速度为 0m/s.
探索延拓创新
2
[ 点评 ]
解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的意
义． 只要求出平均变化率的表达式， 它的值就可以很容易求出． 求函数 f(x)的平均变化率的一般步骤为： ①求函数值的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy fx0＋Δx－fx0 ②计算平均变化率：Δx＝ . Δx
某质点沿曲线运动的方程为 f(x)＝－2x2＋1(x 表示时间， f(x)表示位移)，则该质点从 x＝1 到 x＝2 的平均速度为( A．－4 C．6 B．－8 D．－6 )