材料力学公式总结完全版
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1 截面几何参数
序号
公式名称
公式
符号说明
(1.1) 截面形心位置
A
zdA z A
c
?=
,A
ydA y A
c
?=
Z 为水平方向
Y 为竖直方向 (1.2) 截面形心位置 ∑∑=i
i i
c A
A z z , ∑∑=
i
i
i
c A
A y y
(1.3) 面积矩 ?=A
Z ydA S ,?=A
y zdA S
(1.4)
面积矩
i i z y A S ∑=,i i y z A S ∑=
(1.5) 截面形心位置 A
S z y c =
,A
S y z
c =
(1.6) 面积矩 c y Az S =,c z Ay S =
(1.7) 轴惯性矩 dA y I A
z ?=2,dA z I A
y ?=2
(1.8) 极惯必矩 dA I A
?=2ρρ
(1.9) 极惯必矩 y z I I I +=ρ
(1.10) 惯性积 dA zy I A
zy ?=
(1.11) 轴惯性矩 A i I z z 2=,A i I y y 2
=
(1.12)
惯性半径 (回转半径) A
I i z
z =
,A
I i y y =
(1.13) 面积矩 轴惯性矩 极惯性矩 惯性积
∑=zi z S S ,∑=yi y S S ∑=zi z I I ,∑=yi y I I ∑=i I I ρρ,∑=zyi zy I I
(1.14) 平行移轴公式
A a I I zc z 2+=
A b I I yc y 2+=
abA I I zcyc zy +=
2 应力与应变
序号 公式名称 公式
符号说明
(2.1) 轴心拉压杆横 截面上的应力 A N =σ
(2.2) 危险截面上危 险点上的应力 A N
=max σ
(2.3a ) 轴心拉压杆的 纵向线应变 l
l ?=ε
(2.3b ) 轴心拉压杆的 纵向绝对应变 l l l l .1ε=-=?
(2.4a )
(2.4b ) 胡克定律
εσE =
E σε=
(2.5) 胡克定律 EA
l N l .=? (2.6) 胡克定律 ∑
∑==?i
i i i i EA l
N l l ε (2.7)
横向线应变
b
b
b b b -=
?=
1'ε
(2.8)
泊松比(横向
变形系数) ε
εν'
=
νεε-='
(2.9) 剪力双生互等
定理 y x ττ=
(2.10) 剪切虎克定理 γτG = (2.11)
实心圆截面扭 转轴横截面上 的应力 ρρρτI T =
(2.12)
实心圆截面扭 转轴横截面的 圆周上的应力 ρ
τI TR =
m ax
(2.13)
抗扭截面模量 (扭转抵抗矩)
R
I W T ρ=
(2.14)实心圆截面扭
转轴横截面的
圆周上的应力T
W
T
=
max
τ
(2.15)圆截面扭转轴的
变形ρ
?
GI
l
T.
=
(2.16)圆截面扭转轴的
变形
∑
∑=
=
i
i i
i GI
l
T
ρ
?
?
(2.17)单位长度的扭转
角l
?
θ=,
ρ
θ
GI
T
=
(2.18)矩形截面扭转轴
长边中点上的剪
应力
3
max b
T
W
T
T
β
τ=
=
T
W是矩形截
面
T
W的扭转抵
抗矩
(2.19)矩形截面扭转轴
短边中点上的剪
应力
max
1
γτ
τ=
(2.20)矩形截面扭转轴
单位长度的扭转
角
4
b
G
T
GI
T
T
α
θ=
=
T
I是矩形截
面的
T
I相当极惯
性矩
(2.21)矩形截面扭转轴
全轴的扭转
角
4
.
.
b
G
l
T
l
α
θ
?=
=
γ
β
α,
,与截
面高宽
比b
h/有关
的参数
(2.22)平面弯曲梁上任
一点上的线应变ρ
ε
y
=
(2.23)平面弯曲梁上任
一点上的线应力ρ
σ
Ey
=
(2.24)平面弯曲梁的曲
率
z
EI
M
=
ρ
1
(2.25)纯弯曲梁横截面
上任一点的正应
力z
I
My
=
σ
(2.26)离中性轴最远的
截面边缘各点上
的最大正应力z
I
y
M
max
max
.
=
σ
(2.27)抗弯截面模量
(截面对弯曲
的抵抗矩)max
y
I
W
z
=
(2.28)离中性轴最远的
截面边缘各点上
的最大正应力z
W
M
=
max
σ
(2.29)横力弯曲梁横截
面上的剪应力b
I
VS
z
z
*
=
τ
*
z
S被切割面
积对中性轴
的
面积矩。
(2.30)中性轴各点的剪
应力b
I
VS
z
z
*
max
max
=
τ
(2.31)
矩形截面中性
轴各点的剪应力bh
V
2
3
max
=
τ
(2.32)工字形和T形截
面的面积矩
*
*
*
ci
i
z
y
A
S∑
=
(2.33)平面弯曲梁的挠
曲线近似微分方
程
)
(
"x
M
EIv
z
-
=
V向下为正
X向右为正
(2.34)平面弯曲梁的挠曲
线上任一截面
的转角方程
?+
-
=
=C
dx
x
M
EI
v
EI
z
z
)
(
'θ
(2.35)平面弯曲梁的挠曲
线上任一点挠度方
程
??+
+
-
=D
Cx
dxdx
x
M
v
EI
z
)
(
(2.36)双向弯曲梁的合成
弯矩
2
2
y
z
M
M
M+
=
(2.37a)拉(压)弯组合矩形
截面的中性轴在Z轴
上的截距p
y
z z
i
z
a
2
-
=
=
p
p
y
z,是集中
力作用点的
标
(2.37b)拉(压)弯组合矩形
截面的中性轴在Y
轴上的截距p
z
y y
i
y
a
2
-
=
=
3 应力状态分析
序号 公式名称 公式
符号说明
(3.1)
单元体上任意截面上的正应力 ατασσσσσα2sin 2cos 2
2
x y
x y
x --+
+=
(3.2)
单元体上任意截面上的剪应力 ατασστα2cos 2sin 2
x y
x +-=
(3.3)
主平面方位
角 y
x x
σστα--=
22tan 0 (反号与x τα0)
(3.4)
最大主应力的计算公式 2
2
max 22
x y x y
x τσσσσσ+?
??
? ??-++=
(3.5) 最小主应力的计算公式 2
2max 22x y x y
x τσσσσσ+???
? ??--+=
(3.6) 单元体中的最大剪应力 2
3
1
max σστ-= (3.7)
主单元体的八面体面上的剪应力
()()()2322312213
1σσσσσστ-+-+-=
(3.8)
α面上的线应变 αγαεεεεεα2sin 2
-
2cos 2
2
xy
y
x y
x -+
+=
(3.9)
α面与
α+o 90面之间的角应变
αγαεεγ2cos 2sin )(xy y x xy +--=
(3.10)
主应变方向公式
y
x xy
εεγα-=
02tan
(3.11) 最大主应变
422
2
2
max xy y x y
x γεεεεε+???? ??-++=
(3.12) 最小主应变
422
2
2
max xy y x y
x γεεεεε+???
? ??--+=
(3.13)
xy γ的替代公
式
y x xy εεεγ--=0
452
(3.14)主应变方向
公式
y
x
y
x
ε
ε
ε
ε
ε
α
-
-
-
=045
2
2
tan
(3.15)最大主应变
2
45
2
45
max2
2
2
??
?
?
?
?-
+
??
?
?
?
?-
+
+
=
ε
ε
ε
ε
ε
ε
εy
x
y
x
(3.16)最小主应变
2
45
2
45
max2
2
2
??
?
?
?
?-
+
??
?
?
?
?-
-
+
=
ε
ε
ε
ε
ε
ε
εy
x
y
x
(3.17)简单应力状
态下的虎克
定理
E
x
x
σ
ε=,
E
x
y
σ
ν
ε-
=,
E
x
z
σ
ν
ε-
=
(3.18)空间应和状
态下的虎克
定理
()
[]
z
y
x
x E
σ
σ
ν
σ
ε+
-
=
1
()
[]
x
z
y
y E
σ
σ
ν
σ
ε+
-
=
1
()
[]
y
x
z
z E
σ
σ
ν
σ
ε+
-
=
1
(3.19)
平面应力状
态下的虎克
定理(应变形
式)
)
(
1
y
x
x E
νσ
σ
ε-
=
)
(
1
x
y
y E
νσ
σ
ε-
=
)
(
y
x
z E
σ
σ
ν
ε+
-
=
(3.20)
平面应力状
态下的虎克
定理(应力形
式)
)
(
12y
x
x
E
νε
ε
ν
σ+
-
=
)
(
12x
y
y
E
νε
ε
ν
σ+
-
=
=
z
σ
(3.21)按主应力、主
应变形式写
出广义虎克
定理
()
[]
3
2
1
1
1
σ
σ
ν
σ
ε+
-
=
E
()
[]
1
3
2
2
1
σ
σ
ν
σ
ε+
-
=
E
()
[]
2
1
3
3
1
σ
σ
ν
σ
ε+
-
=
E
(3.22)二向应力状
态的广义虎
克定理
)
(
1
2
1
1
νσ
σ
ε-
=
E
)
(
1
1
2
2
νσ
σ
ε-
=
E
)
(
2
1
3
σ
σ
ν
ε+
-
=
E
(3.23)
二向应力状态的广义虎克定理
)(1212
1νεενσ+-=
E
)(1122
2νεενσ+-=E
03=σ
(3.24)
剪切虎克定
理
xy xy G γτ=
yz yz G γτ=
zx zx G γτ=
4 内力和内力图
序号 公式名称 公式
符号说明
(4.1a )
(4.1b )
外力偶的 换算公式
n N T k
e 55.9= n
N T p e 02
.7=
(4.2)
分布荷载集度 剪力、弯矩之 间的关系
)()
(x q dx
x dV = )(x q 向上
为正 (4.3) )()
(x V dx
x dM = (4.4)
)()
(2
2x q dx
x M d =
5 强度计算
序号 公式名称 公式
(5.1)
第一强度理论:最大拉
应力理论。
当
)
f )f u ut 塑性材料脆性材料.((*11==σσ时,
材料发生脆性断裂破坏。
(5.2)
第二强度理论:最大伸长线应变理论。
当
)
f )()f u
ut 塑性材料脆性材料(()(*3211321=+-=+-σσνσσσνσ时,
材料发生脆性断裂破坏。
(5.3)
第三强度理论:最大剪
应力理论。
当
)
f )f uc y 脆性材料塑性材料((3131=-=-σσσσ时,
材料发生剪切破坏。
(5.4)
第四强度理论:八面体
面剪切理论。
当
()()()[]()()()[
]
)f )f uc y 脆性材料塑性材料(2
1
(2
1
232231221232231221=-+-+-=-+-+-σσσσσσσσσσσσ时,材料发生剪切破坏。
(5.5) 第一强度理论相当应力 1*1σσ=
(5.6) 第二强度理论相当应力 )(321*
2σσνσσ+-=
(5.7)
第三强度理论相当应力
31*
3σσσ-=
(5.8) 第四强度理论相当应力 ()()()[]
232231221*42
1
σσσσσσσ-+-+-=
(5.9a )
由强度理论建立的强度
条件
][*σσ≤
(5.9b )
(5.9c )
(5.9d )
由直接试验建立的强度
条件
][max t t σσ≤
][max c c σσ≤
][max ττ≤
(5.10a )
(5.10b )
轴心拉压杆的强度条件 ][max t t A
N
σσ≤=
][max c c A N σσ≤=
材料力学阶段总结 一、 材料力学得一些基本概念 1. 材料力学得任务: 解决安全可靠与经济适用得矛盾。 研究对象:杆件 强度:抵抗破坏得能力 刚度:抵抗变形得能力 稳定性:细长压杆不失稳。 2、 材料力学中得物性假设 连续性:物体内部得各物理量可用连续函数表示。 均匀性:构件内各处得力学性能相同。 各向同性:物体内各方向力学性能相同。 3、 材力与理力得关系, 内力、应力、位移、变形、应变得概念 材力与理力:平衡问题,两者相同; 理力:刚体,材力:变形体。 内力:附加内力。应指明作用位置、作用截面、作用方向、与符号规定。 应力:正应力、剪应力、一点处得应力。应了解作用截面、作用位置(点)、作用方向、与符号规定。 正应力 应变:反映杆件得变形程度 变形基本形式:拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。 4、 物理关系、本构关系 虎克定律;剪切虎克定律: ???? ? ==?=Gr EA Pl l E τεσ夹角的变化。剪切虎克定律:两线段 ——拉伸或压缩。拉压虎克定律:线段的 适用条件:应力~应变就是线性关系:材料比例极限以内。 5、 材料得力学性能(拉压): 一张σ-ε图,两个塑性指标δ、ψ,三个应力特征点:,四个变化阶段:弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、颈缩阶段。 拉压弹性模量E ,剪切弹性模量G ,泊松比v , 塑性材料与脆性材料得比较: 安全系数:大于1得系数,使用材料时确定安全性与经济性矛盾得关键。过小,使构件安全性下降;过大,浪费材料。 许用应力:极限应力除以安全系数。 塑性材料 脆性材料 7、 材料力学得研究方法
1)所用材料得力学性能:通过实验获得。 2)对构件得力学要求:以实验为基础,运用力学及数学分析方法建立理论,预测理论 应用得未来状态。 3)截面法:将内力转化成“外力”。运用力学原理分析计算。 8、材料力学中得平面假设 寻找应力得分布规律,通过对变形实验得观察、分析、推论确定理论根据。 1) 拉(压)杆得平面假设 实验:横截面各点变形相同,则内力均匀分布,即应力处处相等。 2) 圆轴扭转得平面假设 实验:圆轴横截面始终保持平面,但刚性地绕轴线转过一个角度。横截面上正应力为零。 3) 纯弯曲梁得平面假设 实验:梁横截面在变形后仍然保持为平面且垂直于梁得纵向纤维;正应力成线性分布规律。 9 小变形与叠加原理 小变形: ①梁绕曲线得近似微分方程 ②杆件变形前得平衡 ③切线位移近似表示曲线 ④力得独立作用原理 叠加原理: ①叠加法求内力 ②叠加法求变形。 10 材料力学中引入与使用得得工程名称及其意义(概念) 1) 荷载:恒载、活载、分布荷载、体积力,面布力,线布力,集中力,集中力偶,极限荷 载。 2) 单元体,应力单元体,主应力单元体。 3) 名义剪应力,名义挤压力,单剪切,双剪切。 4) 自由扭转,约束扭转,抗扭截面模量,剪力流。 5) 纯弯曲,平面弯曲,中性层,剪切中心(弯曲中心),主应力迹线,刚架,跨度, 斜弯 曲,截面核心,折算弯矩,抗弯截面模量。 6) 相当应力,广义虎克定律,应力圆,极限应力圆。 7) 欧拉临界力,稳定性,压杆稳定性。 8)动荷载,交变应力,疲劳破坏。 二、杆件四种基本变形得公式及应用 1、四种基本变形:
材料力学阶段总结 一.材料力学的一些基本概念 1.材料力学的任务: 解决安全可靠与经济适用的矛盾。 研究对象:杆件 强度:抵抗破坏的能力 刚度:抵抗变形的能力 稳定性:细长压杆不失稳。 2.材料力学中的物性假设 连续性:物体内部的各物理量可用连续函数表示。 均匀性:构件内各处的力学性能相同。 各向同性:物体内各方向力学性能相同。 3.材力与理力的关系 , 内力、应力、位移、变形、应变的概念 材力与理力:平衡问题,两者相同; 理力:刚体,材力:变形体。 内力:附加内力。应指明作用位置、作用截面、作用方向、和符号规定。 应力:正应力、剪应力、一点处的应力。应了解作用截面、作用位置(点)、作用方向、 和符号规定。 压应力 正应力拉应力 线应变 应变:反映杆件的变形程度角应变 变形基本形式:拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。 4.物理关系、本构关系虎 克定律;剪切虎克定律: 拉压虎克定律:线段的拉伸或压缩。 E —— Pl l EA 剪切虎克定律:两线段夹角的变化。Gr 适用条件:应力~应变是线性关系:材料比例极限以内。 5.材料的力学性能(拉压): 一张σ - ε图,两个塑性指标δ 、ψ ,三个应力特征点:p、s、b,四个变化阶段:弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、颈缩阶段。 拉压弹性模量,剪切弹性模量,泊松比 v , G E (V) E G 2 1 塑性材料与脆性材料的比较: 变形强度抗冲击应力集中
塑性材料流动、断裂变形明显 较好地承受冲击、振动不敏感 拉压s 的基本相同 脆性无流动、脆断仅适用承压非常敏感 6.安全系数、许用应力、工作应力、应力集中系数 安全系数:大于 1的系数,使用材料时确定安全性与经济性矛盾的关键。过小,使 构件安全性下降;过大,浪费材料。 许用应力:极限应力除以安全系数。 s0 塑性材料 s n s b 脆性材料0b n b 7.材料力学的研究方法 1)所用材料的力学性能:通过实验获得。 2)对构件的力学要求:以实验为基础,运用力学及数学分析方法建立理论,预测理 论应用的未来状态。 3)截面法:将内力转化成“外力” 。运用力学原理分析计算。 8.材料力学中的平面假设 寻找应力的分布规律,通过对变形实验的观察、分析、推论确定理论根据。 1)拉(压)杆的平面假设 实验:横截面各点变形相同,则内力均匀分布,即应力处处相等。 2)圆轴扭转的平面假设 实验:圆轴横截面始终保持平面,但刚性地绕轴线转过一个角度。横截面上正应力 为零。 3)纯弯曲梁的平面假设 实验:梁横截面在变形后仍然保持为平面且垂直于梁的纵向纤维;正应力成线性分 布规律。 9小变形和叠加原理 小变形: ①梁绕曲线的近似微分方程 ② 杆件变形前的平衡 ③ 切线位移近似表示曲线 ④ 力的独立作用原理 叠加原理: ① 叠加法求内力 ② 叠加法求变形。 10材料力学中引入和使用的的工程名称及其意义(概念) 1)荷载:恒载、活载、分布荷载、体积力,面布力,线布力,集中力,集中力偶, 极限荷载。 2)单元体,应力单元体,主应力单元体。
材料力学常用公式 1.外力偶矩计算公式(P功 率,n转速) 2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式(杆件 横截面轴力F N,横截面面积A,拉应力为正) 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式(夹角a 从x 轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正) 5.纵向变形和横向变形(拉伸前试样标距l,拉伸后试样标 距l1;拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径d1) 6.纵向线应变和横向线应变 7.泊松比 8.胡克定律 9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式 ? 10.承受轴向分布力或变截面的杆件,纵向变形计算公式 11.轴向拉压杆的强度计算公式 12.许用应力 ,脆性材料 ,塑 性材料 13.延伸率 14.截面收缩率 15.剪切胡克定律(切变模量G,切应变g ) 16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式 17.圆截面对圆心的极惯性矩(a)实心圆 (b)空心圆 18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式(扭矩T,所 求点到圆心距离r) 19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式
20.扭转截面系数,(a)实心圆 (b)空心圆 21.薄壁圆管(壁厚δ≤ R0 /10 ,R0为圆管的平均半径) 扭转切应力计算公式 22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式 23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不 同(如阶梯轴)时 或 24.等直圆轴强度条件 25.塑性材料 ;脆性材料 26.扭转圆轴的刚度条件? 或 27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公 式, 28. 平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 29.平面应力状态的三个主应力 , , 30.主平面方位的计算公式 31.面内最大切应力 32.受扭圆轴表面某点的三个主应力, ,33.三向应力状态最大与最小正应力 , 34.三向应力状态最大切应力 35.广义胡克定律
材料力学常用公式 1.外力偶矩 计算公式(P功率,n转速)2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关 系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的计 算公式(杆件横截面轴力 F N,横截面面积A,拉应力为正) 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式(夹角a 从x轴 正方向逆时针转至外法线的方位 角为正) 5. 6.纵向变形和横向变形(拉伸前试 样标距l,拉伸后试样标距l1; 拉伸前试样直径d,拉伸后试样 直径d1) 7. 8.纵向线应变和横向线应变 9.10.泊松比 11.胡克定律 12.受多个力作用的杆件纵向变形计 算公式? 13.承受轴向分布力或变截面的杆 件,纵向变形计算公式 14.轴向拉压杆的强度计算公式 15.许用应力,脆性材 料,塑性材料 16.延伸率 17.截面收缩率 18.剪切胡克定律(切变模量G,切应变g ) 19.拉压弹性模量E、泊松比和切变 模量G之间关系式 20.圆截面对圆心的极惯性矩(a) 实心圆
21.(b)空心 圆 22.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式(扭矩T,所求点到 圆心距离r) 23.圆截面周边各点处最大切应力计 算公式 24.扭转截面系数,(a) 实心圆 25.(b)空心圆 26.薄壁圆管(壁厚δ≤ R0 /10 , R0为圆管的平均半径)扭转切应 力计算公式 27.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、 扭转刚度GH p的关系式 28.同一材料制成的圆轴各段内的扭 矩不同或各段的直径不同(如阶 梯轴)时或 29.等直圆轴强度条件 30.塑性材料;脆性 材料 31.扭转圆轴的刚度条件? 或 32.受内压圆筒形薄壁容器横截面和 纵截面上的应力计算公式 , 33.平面应力状态下斜截面应力的一 般公式 , 34.平面应力状态的三个主应力 ,
材料力学重点及其公式 材料力学的任务 (1)强度要求;(2)刚度要求;(3)稳定性要求。 变形固体的基本假设 (1)连续性假设;(2)均匀性假设;(3)各向同性假设;(4)小变形假设。 外力分类:表面力、体积力;静载荷、动载荷。 内力:构件在外力的作用下,内部相互作用力的变化量,即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法:(1)欲求构件某一截面上的内力时,可沿该截面把构件切开成两部分,弃去任一部分,保留另一部分研究(2)在保留部分的截面上加上内力,以代替弃去部分对保留部分的作用。(3)根据平衡条件,列平衡方程,求解截面上和内力。 应力: dA dF A F p A = ??=→?lim 正应力σ、切应力τ。 变形与应变:线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 (1)拉伸或压缩;(2)剪切;(3)扭转;(4)弯曲; 静载荷:载荷从零开始平缓地增加到最终值,然后不再变化的载荷。 动载荷:载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因:脆性材料在其强度极限b σ破坏,塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统 称为极限应力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为: []s s n σσ=,[]b b n σσ= ,强度条件:[]σσ≤??? ??=max max A F N ,等截面杆 []σ≤A F max 轴向拉伸或压缩时的变形:杆件在轴向方向的伸长为:l l l -=?1,沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为: l l ?= ε, A F N =σ。横向应变为: b b b b b -=?= 1'ε,横向应变与轴
向应变的关系为:μεε-=',μ为横向变形系数或泊松比。 胡克定律:当应力低于材料的比例极限P σ时,应力与应变成正比,即 εσE =,这就是胡克定律。E 为弹性模量(GPa 1= pa MPa 931010=)。将应力与应变的表达式带入得:EA Fl l = ?EA 为抗拉或抗压刚度。 静不定(超静定):对于杆件的轴力,当未知力数目多于平衡方程的数目,仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。需要由几何关系构造变形协调方程。 扭转变形时的应力,薄壁圆筒扭转 δ πτ202R M e = 其中 )min () (9549 )(r n kw p m N M e =? 420d D r R R +=+=为圆筒的平均半径。剪切胡克定律:当剪切应力不超过材料的剪切比例极限时,切应力 τ 与切应变γ成正比。γ τ G =. 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设 dx d φ ρ γρ=。物理关系——剪切胡克定律 dx d G G φρ γτρρ==。力学关系P A A A I dx d G dA dx d G dx d G dA T ?ρ?φρρτρ====???2 2 圆轴扭转时的应力 : t p W T I TR == max τ, t W = R I p 称为抗弯截面系数;强度条件: ][max ττ≤= t W T ,可以进行强度 校核、截面设计和确定许可载荷。 圆截面对圆心的极惯性矩(a )实心圆 32 4 D I P π= ; 16 3 D W t π= (b )空心圆,() 4 4 44132 32 ) (αππ-= -= D d D I P ; () 43 116 απ-= D W t (D,d 分别是外,内径; D d = α) 圆轴扭转时的变形: ?? ==l p l p dx GI T dx GI T ?;等直杆: p GI Tl = ?其中为圆轴的抗弯刚度P GI
材料力学基本公式 (1)外力偶矩计算公式 (P功率,n转速) (2)弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 d a M(x) dF(x^ -d^ = -dT = qCx) (3)轴向拉压杆横截 面上正应力的计算公式(杆件横截面轴力 拉应力为正) (4)轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式(夹角a 转至 外法线的方位角为正) T n—p a sinct —Qcosasina ——sin2a (5)纵向变形和横向变形(拉伸前试样标距I,拉伸后试样标距拉 伸后试样直径d i) Al = li - 1 Ad = —d P(K^) 口(r/min) (6)纵向线应变和横向线应 变 ■'jj,横截面面积A, 从x轴正方向逆时针 @疋=:p a cosa —a cos3a —cos2a) l i;拉伸前试样直径d ,
⑺泊松比 (8)胡克定律 (9)受多个力作用的杆件纵向变形计算公式 (10)承受轴向分布力或变截面的杆件,纵向变形计算公式 (11)轴向拉压杆的强度计算公式 (12)延伸率 (13)截面收缩率 A- 屮二 X 100% (14)剪切胡克定律(切变模量G,切应变g) T= Gy
(15)拉压弹性模量E 、泊松比?和切变模量G 之间关系式 E 2(1 + 4) (16)圆截面对圆心的极惯性矩( -) (17)圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式(扭矩 ■ ■.,所求点到圆心距 离:) (18)圆截面周边各点处最大切应力计算公式 (20)圆轴扭转角二与扭矩%、杆长I 、扭转刚度即■的关系式 一 d 1) 32 (19)扭转截面系数' - (21)等直圆轴强度条件 I mas CI p (a )实心圆 nD 5 (b )空心圆 (22)扭转圆轴的刚度条件:
材料力学阶段总结 一.材料力学的一些基本概念 1. 材料力学的任务: 解决安全可靠与经济适用的矛盾。 研究对象:杆件 强度:抵抗破坏的能力 刚度:抵抗变形的能力 稳定性:细长压杆不失稳。 2. 材料力学中的物性假设 连续性:物体内部的各物理量可用连续函数表示。 均匀性:构件内各处的力学性能相同。 各向同性:物体内各方向力学性能相同。 3. 材力与理力的关系,内力、应力、位移、变形、应变的概念 材力与理力:平衡问题,两者相同; 理力:刚体,材力:变形体。 内力:附加内力。应指明作用位置、作用截面、作用方向、和符号规定。 应力:正应力、剪应力、一点处的应力。应了解作用截面、作用位置(点)、 作用方向、和符号规定。 变形基本形式:拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。 4. 物理关系、本构关系 虎克定律;剪切虎克定律: 拉压虎克定律:线段的拉伸或压缩。 E ——I 巴 EA 剪切虎克定律:两线段 夹角的变化。 Gr 适用条件:应力?应变是线性关系:材料比例极限以内。 5. 材料的力学性能(拉压): 一张C - &图,两个塑性指标3、书,三个应力特征点: p 、 s 、 b ,四个 变化阶段:弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、颈缩阶段。 拉压弹性模量E ,剪切弹性模量G,泊松比v , G E 2(1 V ) 正应力 压应力 拉应力 应变:反映杆件的变形程度 线应变 角应变
6. 安全系数、 许用应力、工作应力、应力集中系数 安全系数:大于1的系数,使用材料时确定安全性与经济性矛盾的关键。 过小,使构件安全性下降;过大,浪费材料。 许用应力:极限应力除以安全系数。 脆性材料 7. 材料力学的研究方法 1) 所用材料的力学性能:通过实验获得。 2) 对构件的力学要求:以实验为基础,运用力学及数学分析方法建立理 论,预测理论应用的 未来状态。 3) 截面法:将内力转化成“外力”。运用力学原理分析计算。 8. 材料力学中的平面假设 寻找应力的分布规律,通过对变形实验的观察、分析、推论确定理论根据。 1) 拉(压)杆的平面假设 实验:横截面各点变形相同,则内力均匀分布,即应力处处相等。 2) 圆轴扭转的平面假设 实验:圆轴横截面始终保持平面,但刚性地绕轴线转过一个角度。横截面 上正应力为零。 3) 纯弯曲梁的平面假设 实验:梁横截面在变形后仍然保持为平面且垂直于梁的纵向纤维; 正应力 成线性分布规律。 9小变形和叠加原理 小变形: ① 梁绕曲线的近似微分方程 ② 杆件变形前的平衡 ③ 切线位移近似表示曲线 ④ 力的独立作用原理 叠加原理: ① 叠加法求内力 ② 叠加法求变形。 10材料力学中引入和使用的的工程名称及其意义(概念) 1) 荷载:恒载、活载、分布荷载、体积力,面布力,线布力,集中力, 集中力偶,极限荷载。 2) 单元体,应力单元体,主应力单元体。 3) 名义剪应力,名义挤压力,单剪切,双剪切。 4) 自由扭转,约束扭转,抗扭截面模量,剪力流。 塑性材料 n s n b
材料力学常用公式 1.外力偶矩计算公式 (P功率,n转速) 2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式 (杆件横截面轴力F N,横截面面积A,拉应力为正) 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计 算公式(夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正) 5. 6.纵向变形和横向变形(拉伸前试样标距l, 拉伸后试样标距l1;拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径d1) 7. 8.纵向线应变和横向线应变 9.10.泊松比 11.胡克定律 12.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式? 13.承受轴向分布力或变截面的杆件,纵向变形 计算公式 14.轴向拉压杆的强度计算公式 15.许用应力,脆性材料 ,塑性材料 16.延伸率 17.截面收缩率 18.剪切胡克定律(切变模量G,切应变g ) 19.拉压弹性模量E 、泊松比和切变模量G之 间关系式 20.圆截面对圆心的极惯性矩(a)实心圆
21. (b)空心圆 22.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公 式(扭矩T,所求点到圆心距离r) 23.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 24.扭转截面系数,(a)实心圆 25. (b)空心圆 26.薄壁圆管(壁厚δ≤ R 0 /10 ,R 为圆管 的平均半径)扭转切应力计算公式 27.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度 GH p 的关系式 28.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或 各段的直径不同(如阶梯轴)时 或 29.等直圆轴强度条件 30.塑性材料;脆性材料 31.扭转圆轴的刚度条件? 或 32.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上 的应力计算公式, 33.平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 34.平面应力状态的三个主应力 ,
材料力学总结一、基本变形
二、还有: (1)外力偶矩:)(9549 m N n N m ?= N —千瓦;n —转/分 (2)薄壁圆管扭转剪应力:t r T 22πτ= (3)矩形截面杆扭转剪应力:h b G T h b T 32max ;β?ατ= =
三、截面几何性质 (1)平行移轴公式:;2A a I I ZC Z += abA I I c c Y Z YZ += (2)组合截面: 1.形 心:∑∑=== n i i n i ci i c A y A y 1 1 ; ∑∑=== n i i n i ci i c A z A z 1 1 2.静 矩:∑=ci i Z y A S ; ∑=ci i y z A S 3. 惯性矩:∑=i Z Z I I )( ;∑=i y y I I )( 四、应力分析: (1)二向应力状态(解析法、图解法) a . 解析法: b.应力圆: σ:拉为“+”,压为“-” τ:使单元体顺时针转动为“+” α:从x 轴逆时针转到截面的 法线为“+” ατασσσσσα2sin 2cos 2 2 x y x y x --+ += ατασστα2cos 2sin 2 x y x +-= y x x tg σστα-- =220 22 min max 22 x y x y x τσσσσσ+??? ? ? ?-±+= c :适用条件:平衡状态 (2)三向应力圆: 1max σσ=; 3min σσ=;2 3 1max σστ-= x
(3)广义虎克定律: [])(13211σσνσε+-=E [] )(1 z y x x E σσνσε+-= [])(11322σσνσε+-=E [] )(1 x z y y E σσνσε+-= [])(12133σσνσε+-=E [] )(1 y x z z E σσνσε+-= *适用条件:各向同性材料;材料服从虎克定律 (4)常用的二向应力状态 1.纯剪切应力状态: τσ=1 ,02=σ,τσ-=3 2.一种常见的二向应力状态: 22 3122τσσ σ+?? ? ??±= 2234τσσ+=r 2243τσσ+=r 五、强度理论 *相当应力:r σ 11σσ=r ,313σσσ-=r ,()()()][2 12 132322214σσσσσσσ-+-+-= r σx σ
材料力学重点及其公式 材料力学的任务(1)强度要求;(2)刚度要求;(3)稳定性要求。 变形固体的基本假设(1)连续性假设;(2)均匀性假设;(3)各向同性假设;(4)小变形假设。 外力分类:表面力、体积力;静载荷、动载荷。 内力:构件在外力的作用下,内部相互作用力的变化量,即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法:(1)欲求构件某一截面上的内力时,可沿该截面把构件切开成两部分,弃去任一部分,保留另一部分研究(2)在保留部分的截面上加上内力,以代替弃去部分对保留部分的作用。(3)根据平衡条件,列平衡方程,求解截面上和内力。 应力:dA dP A P p A = ??=→?lim 0正应力、切应力。变形与应变:线应变、切应变。 杆件变形的基本形式(1)拉伸或压缩;(2)剪切;(3)扭转;(4)弯曲;(5)组合变形。 静载荷:载荷从零开始平缓地增加到最终值,然后不再变化的载荷。 动载荷:载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因:脆性材料在其强度极限 b σ破坏,塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为极限应力理想情形。塑性材 料、脆性材料的许用应力分别为: []3n s σσ=, []b b n σ σ=,强度条件: []σσ≤??? ??=max max A N ,等截面杆 []σ≤A N max 轴向拉伸或压缩时的变形:杆件在轴向方向的伸长为:l l l -=?1,沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为:l l ?=ε,A P A N == σ。横向应变为:b b b b b -=?=1'ε,横向应变与轴向应变的关系为:μεε-=' 。 胡克定律:当应力低于材料的比例极限时,应力与应变成正比,即εσE =,这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得:EA Nl l = ? 静不定:对于杆件的轴力,当未知力数目多于平衡方程的数目,仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φργρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φργτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ??? === 2 2ρφφρρτρ圆轴扭转时的应力:t p W T R I T ==max τ;圆轴扭转的强度条件: ][max ττ≤= t W T ,可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷。 圆轴扭转时的变形:??== l p l p dx GI T dx GI T ?;等直杆:p GI Tl =? 圆轴扭转时的刚度条件: p GI T dx d == '??,][max max ??'≤='p GI T 弯曲内力与分布载荷q 之间的微分关系)() (x q dx x dQ =;()()x Q dx x dM =;()()()x q dx x dQ dx x M d ==2 2 Q 、M 图与外力间的关系 a )梁在某一段内无载荷作用,剪力图为一水平直线,弯矩图为一斜直线。
材料力学重点及其公式 材料力学的任务 (1)强度要求;(2)刚度要求;(3)稳定性要求。 变形固体的基本假设 (1)连续性假设;(2)均匀性假设;(3)各向同性假设;(4)小变形假设。 外力分类: 表面力、体积力;静载荷、动载荷。 内力:构件在外力的作用下,内部相互作用力的变化量,即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法:(1)欲求构件某一截面上的内力时,可沿该截面把构件切开成两部分,弃去任一部分,保留另一部分研究(2)在保留部分的截面上加上内力,以代替弃去部分对保留部分的作用。(3)根据平衡条件,列平衡方程,求解截面上与内力。 应力: dA dP A P p A =??=→?lim 0正应力、切应力。 变形与应变:线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 (1)拉伸或压缩;(2)剪切;(3)扭转;(4)弯曲;(5)组合变形。 静载荷:载荷从零开始平缓地增加到最终值,然后不在变化的载荷动载荷:载荷与速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因:脆性材料在其强度极限b σ破坏,塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为极限应力理 想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为:[]3n s σσ=,[]b b n σσ=,强度条件:[]σσ≤??? ??=max max A N ,等截面杆 []σ≤A N max 轴向拉伸或压缩时的变形:杆件在轴向方向的伸长为:l l l -=?1,沿轴线方向的应变与横截面上的应力分别为:l l ?= ε,A P A N ==σ。横向应变为:b b b b b -=?=1'ε,横向应变与轴向应变的关系为:μεε-='。 胡克定律:当应力低于材料的比例极限时,应力与应变成正比,即 εσE =,这就就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得:EA Nl l =? 静不定:对于杆件的轴力,当未知力数目多于平衡方程的数目,仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φργρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φργτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ???===22ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力:t p W T R I T == max τ;圆轴扭转的强度条件: ][max ττ≤=t W T ,可以进行强度校核、截面设计与确定许可载荷。
材料力学主要知识点 一、基本概念 1、构件正常工作的要求:强度、刚度、稳定性。 2、可变形固体的两个基本假设:连续性假设、均匀性假设。另外对于常用工程材料(如钢材),还有各向同性假设。 3、什么是应力、正应力、切应力、线应变、切应变。 杆件截面上的分布内力集度,称为应力。应力的法向分量σ称为正应力,切向分量τ称为切应力。 杆件单位长度的伸长(或缩短),称为线应变;单元体直角的改变量称为切应变。 4、低碳钢工作段的伸长量与荷载间的关系可分为以下四个阶段:弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、局部变形阶段。 5、应力集中:由于杆件截面骤然变化(或几何外形局部不规则)而引起的局部应力骤增现象,称为应力集中。 6、强度理论及其相当应力(详见材料力学ⅠP229)。 7、截面几何性质 A 、截面的静矩及形心 ①对x 轴静矩?=A x ydA S ,对y 轴静矩?=A y xdA S ②截面对于某一轴的静矩为0,则该轴必通过截面的形心;反之亦然。 B 、极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径 ① 极惯性矩:?=A P dA I 2ρ ② 对x 轴惯性矩:?= A x dA y I 2,对y 轴惯性矩:?=A y dA x I 2 ③ 惯性积:?=A xy xydA I ④ 惯性半径:A I i x x =,A I i y y =。 C 、平行移轴公式: ① 基本公式:A a aS I I xc xc x 22++=;A b bS I I yc yc y 22++= ;a 为x c 轴距x 轴距离,b 为y c 距y 轴距离。 ② 原坐标系通过截面形心时A a I I xc x 2+=;A b I I yc y 2+=;a 为截面形心距x 轴距离, b 为截面形心距y 轴距离。 二、杆件变形的基本形式 1、轴向拉伸或轴向压缩: A 、应力公式 A F = σ B 、杆件伸长量EA F N l l =?,E 为弹性模量。
材料力学重点及其公式 材料力学的任务变形固体的基本假设外力分类:(1)强度要求;(2)刚度要求;(3)稳定性要求。 (1)连续性假设;(2)均匀性假设;(3)各向同性假设;(4)小变形假设。表面力、体积力;静载荷、动载荷。 内力:构件在外力的作用下,内部相互作用力的变化量,即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法:(1)欲求构件某一截面上的内力时,可沿该截面把构件切开成两部分,弃去任一部分,保留另一部分研究(2 )在保留部分的截面上加上内力,以代替弃去部分对保留部分的作用。(3)根据平衡条件,列平衡方程,求解截面上和内力。 应力:P Hm —E 兰正应力、切应力。 应变。 杆件变形的基本形式(1)拉伸或压缩;(2)剪切;(3)扭转; 静载荷:载荷从零开始平缓地增加到最终值,然后不在变化的载荷变化的载荷为动 载荷。 失效原因:脆性材料在其强度极限b破坏,塑性材料在其屈服极限 关系为:。 胡克定律:当应力低于材料的比例极限时,应力与应变成正比,即为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得:l 皿 EA 静不定:对于杆件的轴力,当未知力数目多于平衡方程的数目,仅利用静力平衡方程无法解出全部 未知力。 圆轴扭转时的应力变形几何关系一圆轴扭转的平面假设d_ 。物理关系——胡克定律 d G G 。力学关系T °d_dx dA 2G d G2 dA圆轴扭转时的应力: dx A A dx dx A max T R T;圆轴扭转的强度条件: I p W t T max W t [],可以进行强度校核、截面设计和确 变形与应变:线应变、切 (4)弯曲;(5)组合变形。动载荷: 载荷和速度随时间急剧 s时失效。二者统称为极限应 力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为: n3 b n b ,强度条件: max max ,等截面杆max A 轴向拉伸或压缩时的变形:杆件在轴向方向的伸长为: l l1l,沿轴线方向的应变和横截面上 的应力分别为: l N P 站b 。横向应变为: l 'A A b E ,这就是胡克定律。E 色-,横向应变与轴向应变的b
《材料力学》第五版 刘鸿文 主编 第一章 绪论 一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是:强度要求、刚度要求和稳定性要求。 二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力;刚度要求是指构件应有足够的抵抗变形的能力;稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能 力。 三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是:连续性假设、均匀性假设和各向同性假设。 第二章 轴向拉压 一、轴力图:注意要标明轴力的大小、单位和正负号。 二、轴力正负号的规定:拉伸时的轴力为正,压缩时的轴力为负。注意此规定只适用于轴力,轴力是内力,不适用于外力。 三、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式:N F A σ= 注意正应力有正负号,拉伸时的正应力为正,压缩时的正应力为负。 四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式:2cos ασσα=,sin 22 αστα= 注意角度α是指斜截面与横截面的夹角。 五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件[],max max N F A σσ=≤ 六、利用正应力强度条件可解决的三种问题:1.强度校核[],max max N F A σσ=≤ 一定要有结论 2.设计截面[],max N F A σ≥ 3.确定许可荷载[],max N F A σ≤ 七、线应变l l ε?=没有量纲、泊松比'εμε=没有量纲且只与材料有关、 胡克定律的两种表达形式:E σε=,N F l l EA ?= 注意当杆件伸长时l ?为正,缩短时l ?为负。 八、低碳钢的轴向拉伸实验:会画过程的应力-应变曲线,知道四个阶段及相应的四个极限应力:弹性阶段(比例极限p σ,弹性极限e σ)、屈服阶段(屈服
材料力学重点及其公式 材料力学的任务 (1)强度要求;(2)刚度要求;(3)稳定性要求。 变形固体的基本假设 (1)连续性假设;(2)均匀性假设;(3)各向同性假设;(4)小变形假设。 外力分类: 表面力、体积力;静载荷、动载荷。 内力:构件在外力的作用下,内部相互作用力的变化量,即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法:(1)欲求构件某一截面上的内力时,可沿该截面把构件切开成两部分,弃去任一部分,保留另一部分研究(2)在保留部分的截面上加上内力,以代替弃去部分对保留部分的作用。(3)根据平衡条件,列平衡方程,求解截面上和内力。 应力: dA dP A P p A = ??=→?lim 0正应力、切应力。 变形与应变:线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 (1)拉伸或压缩;(2)剪切;(3)扭转;(4)弯曲;(5)组合变形。 静载荷:载荷从零开始平缓地增加到最终值,然后不在变化的载荷动载荷:载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因:脆性材料在其强度极限 b σ破坏,塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为极限应 力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为: []3 n s σσ=, []b b n σσ=,强度条件: []σσ≤??? ??=max max A N ,等截面杆 []σ≤A N m a x 轴向拉伸或压缩时的变形:杆件在轴向方向的伸长为:l l l -=?1,沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为:l l ?= ε,A P A N ==σ。横向应变为:b b b b b -=?=1'ε,横向应变与轴向应变的关系为:μεε-=' 。 胡克定律:当应力低于材料的比例极限时,应力与应变成正比,即 εσE =,这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得:EA Nl l = ? 静不定:对于杆件的轴力,当未知力数目多于平衡方程的数目,仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φ ρ γρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φρ γτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ???===2 2ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力:t p W T R I T == max τ;圆轴扭转的强度条件: ][max ττ≤=t W T ,可以进行强度校核、截面设计和确
材料力学公式汇总 一、应力与强度条件 1、拉压 []σσ≤= max max A N 2、剪切 []ττ≤= A Q max 挤压 [] 挤压挤压挤压σσ≤= A P 3、圆轴扭转 []ττ≤=W t T max 4、平面弯曲 ①[]σσ≤= max z max W M ②[]max t max t max max σσ≤=y I M z t max c max max y I M z c =σ[]cnax σ≤ ③[]ττ≤?=b I S Q z * max z max max 5、斜弯曲 []σσ≤+= max y y z z max W M W M 6、拉(压)弯组合 []σσ≤+= max max z W M A N []t max t z max t σσ≤+= y I M A N z []c max c z z max c σσ≤-=A N y I M 注意:“5”与“6”两式仅供参考 7、圆轴弯扭组合:①第三强度理论 []στσσ≤+=+= z 2n 2w 2n 2w r34W M M ②第四强度理论 []στσσ≤+= += z 2n 2w 2n 2 w r475.03W M M 二、变形及刚度条件 1、拉压 ∑ ? === ?L EA x x N EA L N EA NL L d )(i i 2、扭转 ()? = ∑==Φp p i i p GI dx x T GI L T GI TL πφ0180?=Φ=p GI T L (m / ) 3、弯曲 (1)积分法:)()(''x M x EIy = C x x M x EI x EIy +==?d )()()('θ D Cx x x x M x EIy ++=?? d ]d )([)( (2)叠加法:()21,P P f …=()()21P f P f ++…, ()21,P P θ=()()++21P P θθ… (3)基本变形表(注意:以下各公式均指绝对值,使用时要根据具体情况赋予正负号) EI ML B =θ EI PL B 22=θ EI qL B 63 = θP A B M A B A B q L L L
材料力学常用公式 1.外力偶 矩计算公式(P功率,n转速)2.弯矩、剪力和荷载集度之间的 关系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的 计算公式(杆件横截面轴力F N,横截面面积A,拉应 力为正) 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式(夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线 的方位角为正) 5. 6.纵向变形和横向变形(拉伸前 试样标距l,拉伸后试样标距l1; 拉伸前试样直径d,拉伸后试样 直径d1)7. 8.纵向线应变和横向线应变 9. 10.泊松比 11.胡克定律 12.受多个力作用的杆件纵向变形 计算公式? 13.承受轴向分布力或变截面的杆 件,纵向变形计算公式 14.轴向拉压杆的强度计算公式 15.许用应力,脆性 材料,塑性材料 16.延伸率 17.截面收缩率
18.剪切胡克定律(切变模量G,切应变g ) 19.拉压弹性模量E 、泊松比和切变模量G之间关系式 20.圆截面对圆心的极惯性矩(a) 实心圆 21.(b)空 心圆 22.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式(扭矩T,所求点 到圆心距离r) 23.圆截面周边各点处最大切应力 计算公式 24.扭转截面系数,(a) 实心圆 25.(b)空心圆26.薄壁圆管(壁厚δ≤ R0 /10 , R0为圆管的平均半径)扭转切 应力计算公式 27.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、 扭转刚度GH p的关系式 28.同一材料制成的圆轴各段内的 扭矩不同或各段的直径不同(如 阶梯轴)时或 29.等直圆轴强度条件 30.塑性材料;脆 性材料 31.扭转圆轴的刚度条件? 或
32.受内压圆筒形薄壁容器横截面 和纵截面上的应力计算公式 , 33.平面应力状态下斜截面应力的 一般公式 , 34.平面应力状态的三个主应力 , , 35.主平面方位的计算公式 36.面内最大切应力 37.受扭圆轴表面某点的三个主应 力,,38.三向应力状态最大与最小正应 力, 39.三向应力状态最大切应力 40.广义胡克定律 41. 42. 43.四种强度理论的相当应力 44.一种常见的应力状态的强度条 件,45.组合图形的形心坐标计算公式 , 46.任意截面图形对一点的极惯性 矩与以该点为原点的任意两正
一、基本变形 轴向拉压材料力学总结 扭转弯曲 外外力合力作用线沿杆轴 力线 内轴力: N 规定: 力拉为“ +” 压为“-” 几 变形现象: 何 平面假设: 应 方应变规律: 面 d l 常数 dx 力 应 力 N 公 A 式 力偶作用在垂直于轴 的平面内 扭转: T 规定: 矩矢离开截面为“ +” 反之为“ - ” 变形现象: 平面假设: 应变规律: d dx T T I P max W t 外力作用线垂直杆轴,或外力偶作用 在杆轴平面 剪力: Q 规定:左上右下为“ +” 弯矩: M 规定:左顺右逆为“ +” 微分关系: dQ ; dM q Q dx dx 弯曲正应力 变形现象: 平面假设:弯曲剪应力 应变规律: y My QS*z I Z I z b M QS max max max W Z I z b
应 力 分 布 应 等直杆 用 外力合力作用条 线沿杆轴线 件 应力-应 E 变 (单向应力状态)关系 强N max 度 A max u 条 n 件塑材:u s 脆材:u b 圆轴平面弯曲 应力在比例极限内应力在比例极限内 G (纯剪应力状态) 弯曲正应力 T 1.t c max 弯曲剪应力W t max max 2. t c Q max S max max I z b t max t cmac c 轴向拉压扭转弯曲刚 度T 180 0 y max y max GI P 条注意:单位统一max 件 d l N ; L NL d T 1 M ( x) EA 变dx EA dx GI Z ( x) EI TL y '' M (x) GI P EI EA—抗拉压刚度GI p—抗扭刚度EI —抗弯刚度
1、 应力 全应力正应力切应力线应变 外力偶矩 当功率P 单位为千瓦(kW ),转速为n (r/min )时,外力偶矩为 m).(N 9549e n P M = 当功率P 单位为马力(PS ),转速为n (r/min )时,外力偶矩为 m).(N 7024e n P M = 拉(压)杆横截面上的正应力 拉压杆件横截面上只有正应力σ,且为平均分布,其计算公式为 N F A σ= (3-1) 式中N F 为该横截面的轴力,A 为横截面面积。 正负号规定 拉应力为正,压应力为负。 公式(3-1)的适用条件: (1)杆端外力的合力作用线与杆轴线重合,即只适于轴向拉(压)杆件; (2)适用于离杆件受力区域稍远处的横截面; (3)杆件上有孔洞或凹槽时,该处将产生局部应力集中现象,横截面上应力分布很不均匀; (4)截面连续变化的直杆,杆件两侧棱边的夹角0 20α≤时 拉压杆件任意斜截面(a 图)上的应力为平均分布,其计算公式为 全应力 cos p ασα= (3-2) 正应力 2cos ασσα=(3-3) 切应力1 sin 22 ατα= (3-4) 式中σ为横截面上的应力。 正负号规定: α 由横截面外法线转至斜截面的外法线,逆时针转向为正,反之为负。 ασ 拉应力为正,压应力为负。 ατ 对脱离体内一点产生顺时针力矩的ατ为正,反之为负。
两点结论: (1)当0 0α=时,即横截面上,ασ达到最大值,即()max ασσ=。当α=0 90时,即纵截面上,ασ=0 90=0。 (2)当0 45α=时,即与杆轴成045的斜截面上,ατ达到最大值,即max ()2αα τ= 1.2 拉(压)杆的应变和胡克定律 (1)变形及应变 杆件受到轴向拉力时,轴向伸长,横向缩短;受到轴向压力时,轴向缩短,横向伸长。如图3-2。 图3-2 轴向变形 1l l l ?=- 轴向线应变 l l ε?= 横向变形 1b b b ?=- 横向线应变 b b ε?'= 正负号规定 伸长为正,缩短为负。 (2)胡克定律 当应力不超过材料的比例极限时,应力与应变成正比。即 E σε= (3-5) 或用轴力及杆件的变形量表示为 N F l l EA ?= (3-6) 式中EA 称为杆件的抗拉(压)刚度,是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。 公式(3-6)的适用条件: (a)材料在线弹性范围内工作,即p σσ?; (b)在计算l ?时,l 长度内其N 、E 、A 均应为常量。如杆件上各段不同,则应分段计算,求其代数和得总变形。即 1 n i i i i i N l l E A =?=∑ (3-7) (3)泊松比 当应力不超过材料的比例极限时,横向应变与轴向应变之比的绝对值。即 ενε ' = (3-8) 表1-1 低碳钢拉伸过程的四个阶段