导学案平面向量的实际背景及基本概念

平面向量的实际背景及基本概念学案一．预习目标1、知识与技能（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示.（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系.（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.2、过程与方法引导发现法与讨论相结合。

这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。

体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用.3、情感目标与价值观通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的.二.预习内容1.向量的概念:__________________________________.2.向量的几何表示：_____________________________.3.向量的基本几个概念（1）向量的模（2）两个特殊向量零向量：__________________.单位向量：________________.(3)平行向量：______________.（4）相等向量：_____________.（5）共线向量：_____________.三．提出质疑课内探究学案一.知识目标1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示.2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系.3.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 二.学习过程情境引入:如图1，在同一时刻，老鼠由A 向西北方向的C 处逃窜，猫由B 向正东方向的D 处追去，猫能否抓到老鼠？结果 原因思考：上述情景中，描绘了物理学中的那些量？ 咱们还认识类似于上面的量，你能举出来吗？ 这些量的共同特征是什么？探究新知1：向量的概念： 量叫做向量数量和向量的异同点有哪些？练习1：下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功. 其中不是向量的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个思考：由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，那么不同的点就表示不同的数量.向量能不能用几何表示出来？如果能，该如何表示呢？ 探究新知2：向量的表示法⑴我们常用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向.如下图，在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.⑵以A 为起点，B 为终点的有向线段记作 （注：起点在前，终点在后）.已知AB ，线段AB 的长度也叫做有向线段AB 的长度，也称为 记作 有向线段包含三个要素：⑶有向线段也可用字母如a ，b ，c ， 表示.印刷品中用黑体字a,b,c …表示或AB ，CD表示.反思：⑴“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？⑵为什么三要素中不包含终点？⑶数量能比较大小吗？向量呢？向量的模呢？ 探究新知3：两个特殊的向量零向量：单位向量：平行向量： . 若向量a ，b 平行，记作：//a b.规定：零向量与任一向量平行，即对任意向量a 都有0//a练习2：下列说法中正确的有（ ）个⑴零向量是没有方向的向量；⑵零向量与任一向量平行；⑶零向量的方向是任意的；⑷零向量只能与零向量平行. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 三、典型例题例1 如下图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A 地至B 、C 两地的位移，并求出A 地至B 、C 两地的实际距离.（精确到1km ）.反馈练习1.画出有向线段，分别表示一个竖直向上、大小为2N 的力和一个水平向左、大小为4N 的力.(1cm 长表示1N )反馈练习2.一人从点A 出发,向东走500米到达点B,接着向北偏东60ο走300米到达点C,然后再向北偏东45ο走100米到达点D.试选择适当的比例尺,用向量表示这个人的位移.例2.如图设O 是正六边形ABCDEF 的中心，写出图中与向量,,OA OB OC相等的向量。

● [点评] 明确向量及其相关概念的联系与区别： ● (1)区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关．
● (2)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的．零向量的方向是任意的．
● (3)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量．
面标上箭头．
(4)有向线段的三个要素：__起__点____、___方__向___、__长__度____.知道了有向线段的 起点、方向、长度，它的__终__点____就唯一确定．
[知识点拨]有向线段与向量的区别和联系 从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、
区别 方向、长度三个要素．因此，这是两个不同的量．在空间中，有 向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的 有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有
● [思路分析] 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，注意各自的特例 对命题的影响．
[解析] (1)错误．两向量方向相同或相反都视为平行向量．(2)错误．|0|＝0.(3) 正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．(4)错误．共 线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量A→B，C→D必 须在同一直线上．故填(3)．
● 3．有关概念
名称 零向量 单位向量
相等向量
平行 向量
定义
长度为__0___的向量叫做零向量
长度等于__1___个单位的向量，叫做单位向量 __长__度____相等且方向相同的向量叫做相等向量
说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条 ____a_＝__b_____ 来 表 示 ， 并 且 与 有 向 线 段 的 起 点 无 关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线 段表示同一个向量 方向有__向__线__段__或__相__同____的非零向量叫做平行向量 规定：零向量与任何向量都__平__行____ 说明：任一组平行向量都可以平移到同一__直__线____ 上，因此，平行向量也叫__有__线____向量

平面向量的实际背景及基本概念【要点梳理】要点一：向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．要点诠释：（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．要点二：向量的表示法1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．2.向量的表示方法:(1)字母表示法:如,,,a b c 等.(2)几何表示法:以A 为始点，B 为终点作有向线段AB （注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段AB 表示向量，通常我们就说向量AB .要点诠释：（1）用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．要点三：向量的有关概念1．向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).要点诠释：（1）向量a 的模||0a ．（2）向量不能比较大小，但||a 是实数，可以比较大小．2．零向量:长度为零的向量叫零向量.记作0 ，它的方向是任意的．3．单位向量:长度等于1个单位的向量.要点诠释：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．4．相等向量:长度相等且方向相同的向量.要点诠释：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．要点四：向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:0 与任一向量共线.要点诠释：1.零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.2.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．【典型例题】类型一：向量的基本概念例1．下列各题中，哪些是向量？哪些不是向量？（1）密度；（2）浮力；（3）风速；（4）温度．【变式1】下列物理量中，不能称为向量的是（）A ．质量B ．速度C ．位移D ．力例2．下列说法正确的是（）．A ．向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 必在同一直线上B ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反C ．向量AB 的长度与向量BA 的长度相等D ．单位向量都相等【变式1】判断下列命题的正误：（1）零向量与非零向量平行；（2）长度相等方向相反的向量共线；（3）若向量a 与向量b 不共线，则a 与b 都是非零向量；（4）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；（5）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量。

②用字母a,b等表示.
③用有向线段的起点与终点的字母表示:
问题2
(1)向量 AB 的模:向量的大小,也就是向量的长度(或称模),记作 AB .
(2)零向量与单位向量:长度为 零 的向量叫作零向量,记作0. (3)长度等于 1个单位的向量叫作单位向量. (4)平行向量:①方向 相同或相反 的两个非零向量叫作平行向量 (也称共线向量); ②规定0与任一向量平行. (5)相等向量与相反向量: 大小相等,方向相同 的两个向量是相 等向量; 大小相等,方向相反 的两个向量互为相反向量.
2 1 1 2
∴KL与AC同向,且|KL|= |AC|, 同理可证NM与AC同向,且|NM|= |AC|.
2 1
∴KL与NM同向,且|KL|=|NM|,∴KL=NM.
“马走日,象走田”是中国象棋中“马”和“象”的走法,
是指“马”走一步时,只能是从一个“日”字形的棋格的一个
顶点跳到与之对顶的顶点;“象”走一步时,只能是从一个“ 田”字形的棋格的一个顶点跳到与之对顶的顶点.我们可以用
从出发点到目的点的有向线段来表示“马”和“象”走了“
一步”,即“马”和“象”每走一步可以用一个向量来表示. 那么想要让“马”从棋盘上的一个点走到它所在的位置左侧
(3)两个有共同起点且相等的向量,其终点必然相同; (4)两个有共同终点的向量必然是共线向量; (5)有向线段就是向量,向量就是有向线段;
(6)若|a|>|b|,则a>b.
【解析】(1)正确; (2)不正确,当两者中有一个是零向量时,其方向不确定; (3)正确; (4)不正确,起点不一定相同; (5)不正确,向量是用有向线段来表示的,但并不是有向线段; (6)不正确,两个向量不能比较大小,模可以比较大小.