中考数学压轴题二次函数与圆

中考数(Shu)学压轴题二次函数与圆

板块 考试要求

A级要求 B级要求 C级要求

二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数的意义；

2.会利用描点法画出二次函数的图像； 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；

2.能从函数图像上认识函数的性质；

3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；

4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解； 1.能用二次函数解决简单的实际问题；

2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；

一(Yi)、二次函数与圆(Yuan)综合

【例1】 已知(Zhi)：抛物线与(Yu)轴(Zhou)相交于两(Liang)点，

且(Qie)．

（Ⅰ）若，且为正整数，求抛物线的解析式；

（Ⅱ）若，求的取值范围；

（Ⅲ）试判断是否存在，使经过点和点的圆与轴相切于点，若存在，求出的值；若不存在，试说明理由；

（Ⅳ）若直线过点，与（Ⅰ）中的抛物线相交于两点，且使，求直线的解析式．

【解析】（Ⅰ）解法一：由题意得，．

解得，．

为正整数，∴．∴．

解法二：由题意知，当时，．

（以下同解法一）

解法三：，

．

又．∴．（以下同解法一．）

解法四：令，即，

∴．（以下同解法三．）

（Ⅱ）解法一：．

，即．

，

∴．解得：．

∴的取值范围是．

解法二：由题意知，当时，

．

解得：．

∴的取值范围是．

解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知，．

∴ ∴．∴的(De)取值范围是．

（Ⅲ）存(Cun)在．

解法一(Yi)：因为过两点的(De)圆与轴(Zhou)相切于点，所(Suo)以两点(Dian)在轴的同(Tong)侧，

∴．

由切割线定理知，，

即．∴，

∴∴．

解法二：连接．圆心所在直线，

设直线与轴交于点，圆心为，

则．

，

∴

在中， ．

即．解得 ．

（Ⅳ）设，则．

过分别向轴引垂线，垂足分别为． 则．

所以由平行线分线段成比例定理知，．

因此，，即．

过分别向轴引垂线，垂足分别为，

则．所以．．

．．

，或．

当时，点．直线过，

解得

当时，点．直线过，

解得

故所求直线的解析式为：，或．

【例2】 已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式

并且线段CM的长为

（1）求抛物线的解析式。 （2）设抛物(Wu)线与x轴有(You)两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0），且(Qie)点A在(Zai)B的左侧，求线(Xian)段AB的(De)长。

（3）若(Ruo)以AB为(Wei)直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。

【解析】（1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线．过点C（0,2），

所以c=2，抛物线的顶点M在直线CM上，

所以，解得或

若，点C、M重合，不合题意，舍去，所以．即M

过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在

所以，，解得，。

∴所求抛物线为：或以下同下。

解法二：由题意得,设点M的坐标为

∵点M在直线上，∴

由勾股定理得，∵

∴=，即

解方程组，得，

∴或

当时，设抛物线解析式为，∵抛物线过点，

∴，∴

当时，设抛物线解析式为

∵抛物线过点，∴，∴

∴所求抛物线为： 或

（2）∵抛物线与x轴有两个交点，

∴不合题意，舍去。

∴抛物线应为：

抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，∴，得

（3）∵AB是⊙N的直径，∴r = ， N（－2，0），又∵M（－2，4），∴MN = 4

设直线与x轴交于点D，则D（2，0），∴DN = 4，可得MN = DN，∴

，作NG⊥CM于G，在= r

即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径．∴直线CM与⊙N相切

【例3】 已知：在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，抛物线经过，两点．

⑴试用含的代数式表示；

⑵设抛物线的顶点为，以为圆心，为半径的圆被轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙内，它所在的圆恰与相切，求⊙半径的长及抛物线的解析式；

⑶设点是满足()中条件的优弧上的一个动点，抛物线在轴上方的部分上是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 4 / 16 【解(Jie)析】⑴解(Jie)法一：∵一次函(Han)数的图象(Xiang)与轴交于(Yu)点

∴点(Dian)的(De)坐标为(Wei)(，)

∵抛物线经过、两点

∴，，∴

解法二：∵一次函数的图象与轴交于点

∴点的坐标为()

∵抛物线经过、两点

∴抛物线的对称轴为直线

∴，∴

⑵由抛物线的对称性可知，

∴点在⊙上，且

又由()知抛物线的解析式为

∴点的坐标为()

①当时，

如图，设⊙被轴分得的劣弧为，它沿轴翻折后所得劣弧为，显然

所在的圆与⊙关于轴对称，设它的圆心为

∴点与点也关于轴对称

∵点在⊙上，且与⊙相切

∴点为切点，∴

∴ ∴为等(Deng)腰直角三角形，∴

∴点(Dian)的(De)纵坐标为，∴

∴

∴抛物(Wu)线的解析式为

②当(Dang)时(Shi)，

同理(Li)可得：

抛物线(Xian)的解析式为

综上，⊙半径的长为，抛物线的解析式为或

⑶ 抛物线在轴上方的部分上存在点，使得

设点的坐标为()，且

①当点在抛物线上时(如图)

∵点是⊙的优弧上的一点

∴，∴

过点作轴于点，∴，

∴，∴

由解得：(舍去)

∴点的坐标为

②当点在抛物线上时(如图)，同理可得，

由解得：(舍去)

∴点的坐标为

综上，存在满足条件的点，点的坐标为：或

点评：本题是一道二次函数与圆的综合题，解决本题的关键是：作出将劣弧沿轴翻折后的弧所在圆⊙，并充分利用轴对称的性质．本题考点：1．直线与圆的位置关系(切线的性质)；2．轴对称；3．等腰直角三角形的性质，4．三角函数；5．二次函数解析式的确定．

【例4】 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆交轴正半轴于点，

是的切线．动点从点开始沿方向以每秒个单位长度的速度运动，点从点开始沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，且动点、从点和点同时出发，设运动时间为(秒)．

⑴当时，得到、两点，求经过、、三点的抛物线解析式及对称轴；

⑵当为何值时，直线与相切？并写出此时点和点的坐标；

⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴上存在一点，使最小，求出点N的坐标并说明理由．

【解析】⑴ 由题意得，，的坐标分别为，，．

设(She)抛物线解析式为，则(Ze)

∴，，．

∴所求抛物(Wu)线为．

对称轴为(Wei)直线：．

⑵ 设(She)时(Shi)，与(Yu)⊙切于(Yu)点．

连结，，，则，．

又，分别平分和

而，

∴，∴

∵，∴∽

∴即，∴

由于时间只能取正数，所以

即当运动时间时，与⊙相切

此时：，，，

⑶ 点关于直线的对称点为，

则直线的解析式为：

∴直线交直线于，，此时最小，∴，

【例5】 如图，点，以点为圆心、为半径的圆与轴交于点．已知抛物过点和，与轴交于点．

⑴ 求点的坐标，并画出抛物线的大致图象．

⑵ 点在抛物线上，点为此抛物线对称轴上一个动点，求 最小值．

⑶ 是过点的的切线，点是切点，求所在直线的解析式．

【解析】⑴由已知，得，，

∵抛物线过点和，

则，解得

则抛物线的解析式为，故．

(说明：抛物线的大致图象要过点、、，其开口方向、顶点和对称轴相对准确)

⑵如图①，抛物线对称轴是 ．

∵，抛物线上，∴．

过点作轴于点，则，，

∴．

又∵与关于对称轴l对称，

∴的最小值．

⑵当在第四象限时，如图②，连结和．

由已知，得 ．

是的切线，∴，则． 又∵，∴．

∴．

又(You)在和(He)中(Zhong)，

，则(Ze)．

设(She)所(Suo)在直线的解析式为，过(Guo)点，，

∴，解(Jie)得

直线的解析式为．

又∵直线过原点，且，则的解析式为．

当在第一象限时，易得四边形为矩形，此时，

∴直线的解析式为

点评：本题难度不大，第⑵问中，求距离和最短问题是我们在学习轴对称时的一个典型问题；第⑶问需注意，过圆外一点引圆的切线有两条．考点：1．二次函数解析式的确定；2．轴对称；3．切线的性质；4．一次函数解析式的确定．

【例6】 在平面直角坐标系中，已知直线经过点和点，直线的函数表达式为，与相交于点．是一个动圆，圆心在直线上运动，设圆心的横坐标是．过点作轴，垂足是点．

⑴ 填空：直线的函数表达式是 ，交点的坐标是 ，的度数是 ；

⑵ 当和直线相切时，请证明点到直线的距离等于的半径，并写出 时的值．

⑶ 当和直线不相离时，已知的半径，记四边形的面积为(其中点是直线与的交点)．是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的值；若不存在，请说明理由．

【解析】⑴ ，，

⑵ 设和直线相切时的一种情况如图甲所示，是切点，连接，则．

过点作的垂线，垂足为，

则， 所以．

当点在射线上，和直线相切时，同理可证．

取时，，或．

⑶ 当和直线不相离时，则，由⑵知，分两种情况讨论：

① 如图乙，当时，

，

当时，(满足)，有最大值．

此时(或)．

② 当时，

显然和直线相切，即时，最大．

此时．

综合以上①和②，当或时，存在S的最大值，其最大面积为