中考数学压轴题二次函数与圆

第 1 页 共 33 页 2019年 九年级数学中考二轮 二次函数压轴题 专题复习

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=.

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒.

①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

第 2 页 共 33 页 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）.

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由.

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3.如图，二次函数错误!未找到引用源。的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．

（1）b=

，点B的坐标是 ；

（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．

二次函数和圆

【例题1】 (芜湖市) 已知圆P的圆心在反比例函数kyx(1)k图象上，并与x轴相交于A、B两点． 且始终与y轴相切于定点C(0，1)．

(1) 求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;

(2) 若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形．

图6xyFEHNMPDCBAO

【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线32yx与坐标轴交于D、E。设M是AB的中点，P是线段DE上的动点.

（1）求M、D两点的坐标；

（2）当P在什么位置时，PA=PB？求出此时P点的坐标；

（3）过P作PH⊥BC，垂足为H，当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时，求梯形PMBH的面积.

【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．

（1）求直线CB的解析式；

（2）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线BC上，与x

轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；

（3）试判断点C是否在抛物线上？

（4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与

△AOC相似？直接写出两组这样的点．

【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．

（1）求m的值及抛物线的解析式；

（2）设∠DBC = ，∠CBE = ，求sin（－）的值；

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由

1圆与二次函数结合型压轴题专题

通用的解题思路：

一、点在圆上的使用技巧：①没告诉半径，利用圆上的点到圆心的距离等于半径可以表示出半径的长度；②告

诉半径，圆上的点到圆心的距离等于半径这个等量关系可以求出一个参数。

二、判断直线与圆的位置关系的标准流程：第一步，利用圆上的点到圆心的距离等于半径表示出半径r，第二

步，表示出圆心到直线的距离d，第三步，比较半径r和距离d的大小：若半径r>距离d，则直线与圆相交，若

半径r=距离d，则直线与圆相切，若半径r

三、记直线l被圆C截得的弦长为|AB|的常用方法

弦长公式：AB=2r2-d21(长沙中考)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴为y轴，且经过(0，0)和

(a，1

16)两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0，2)．

(1)求a，b，c的值；

(2)求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；

(3)设⊙P与x轴相交于M(x

1，0)，N(x2，0)(x1

2)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐

标．

【解答】

解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴为y轴，且经过(0，0)和(a，116)

两点，∴抛物线的一般式为：y=ax2，∴1

16=a(a)2，解得：a=±1

4，∵图象开口向上，∴a=1

4，∴抛物线

解析式为：y=1

4x2，故a=1

4，b=c=0；

(2)设P(x，y)，⊙P的半径r=x2+y-22，又∵y=1

4x2，则r=x2+1

4x2-22

，

化简得：r=1

16x4+4>1

4x2，∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；

2(3)设P(t

，1

4t2)，∵r2-y2=4，∴MH=NH=2，∴M(t-2，0)，N(t+2，0)，A(0，2)，

∵△AMN为等腰三角形，∴AM=AN，AM=MN，AN=MN，(t-2)2+(2-0)2=(t+2)2+(2-0)2，

∴t=0，(t-2)2+(2-0)2=42，∴t=2±23，(t+2)2+(2-0)2=42，∴t=-2±23，

【仲烦1】（我市）

已知圆P

的圆心在反比例函数y = - （A： > 1）上，并与工轴相交于X、3两点.且

x

始终与］轴相切于定点C（0, 1）.

⑴求经过三点的二次

匣1数图象的解析式；

（2）若二次函教图象的顶点为

D,问当上为何值时'四边

形也站尹为菱形.

【耕音】

解：（1）连接PC、PAx PB，谊P点ffPHXx轴.垂足为H・（1分）

与y轴相切于点C （0, 1），

.-.PC±y^.

•.•P点在反比例函数》二占的囹象上，

X

•.•P点坐标为（k, 1 ） . （2分）

•.•PAU.

在RtAAPH 中，AH=厨2_

尸於后一1

，

•'•A (k-9

0 ) . (3分)

•.•由。P交x轴于A、B两点，且PHJLAB，由垂径击理可知，PH垂直平分AB.

AOB=OA+2AH=k

•••B 3小2_1，0）.《4分

〉故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直钱斛析式为x=k.

可设该抛物线解析式为y=a

又二.抛物线过C （。，1），B （k-^2_r 0），

[ak^-^h =

1

•3 |— ?

昭得 a=l，h= 1 -k^ . （7分）

•.•抛物线解析式为y= 心）2+1上2. （B分）

（2）由<1）知抛物线顶点D坐标为（k, l-k2>

•・• DH-k2-l.

若四边形ADBP为装形.则必有PH=DH. （10分）

VPH=1，

.•-k2-l=l .

又">1 ,

（ 11 分）

•・•当k取以时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形• （12分）

3

【百麒2]

翎南省韶关市）25.如图6,

在平面直角坐标系中旭边形OABC

是矩形,。虹4

应=2,直线），= -"：

与坐标轴交于D、E

。设M

是加的中点，P

是线段DE

上的动点.

（1）

求M

、D

两点的坐标；

<2）

当P

在什么位置时，PA=PB?

求出此时P

点的坐标j

<3）

过P

作PH1BC,

垂足为H,

当以PM

为直径的OF

与BC

相切于点N

时，求梯形PHBH

的面积.

图

6【分析】(1)因为四边形OABC是逅形，0A=4, AB=2»直线>=r-?与坐标轴交于D、E，M是AB的中点