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中考数学与二次函数有关的压轴题附答案

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一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，对称轴为直线x1的抛物线2yaxbxca0与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（－3，0）．

（1）求点B的坐标；

（2）已知a1，C为抛物线与y轴的交点．

①若点P在抛物线上，且POCBOCS4S，求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

【答案】（1）点B的坐标为（1，0）.

（2）①点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.

②线段QD长度的最大值为94.

【解析】

【分析】

（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标．

（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到BOCS，设出点P

的坐标，根据POCBOCS4S列式求解即可求得点P的坐标．

②用待定系数法求出直线AC的解析式，由点Q在线段AC上，可设点Q的坐标为(q,-q-3)，从而由QD⊥x轴交抛物线于点D，得点D的坐标为(q,q2+2q-3)，从而线段QD等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.

【详解】

解：（1）∵A、B两点关于对称轴x1对称 ，且A点的坐标为（－3，0），

∴点B的坐标为（1，0）.

（2）①∵抛物线a1，对称轴为x1，经过点A（－3，0），

∴2a1b12a9a3bc0，解得a1b2c3. ∴抛物线的解析式为2yx2x3.

∴B点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC13S1322.

设点P的坐标为(p,p2+2p-3)，则POC13S3pp22.

∵POCBOCS4S，∴3p62，解得p4.

当p4时2p2p321；当p4时，2p2p35，

∴点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.

②设直线AC的解析式为ykxb，将点A，C的坐标代入，得：

3kb0b3，解得：k1b3.

∴直线AC的解析式为yx3.

∵点Q在线段AC上，∴设点Q的坐标为(q,-q-3).

又∵QD⊥x轴交抛物线于点D，∴点D的坐标为(q,q2+2q-3).

∴22239QDq3q2q3q3qq24.

∵a10<，-3302<<

∴线段QD长度的最大值为94.

2．如图，抛物线y＝12x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MA的值最小时，求点M的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y＝213x-22x﹣2，顶点D的坐标为 （32，﹣258）；（2）△ABC是直角三角形，证明见解析；（3）点M的坐标为（32，﹣54）．

【解析】 【分析】

（1）因为点A在抛物线上，所以将点A代入函数解析式即可求得答案；

（2）由函数解析式可以求得其与x轴、y轴的交点坐标，即可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；

（3）根据抛物线的性质可得点A与点B关于对称轴x32对称，求出点B，C的坐标，根据轴对称性，可得MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．则BC与直线x32交点即为M点，利用得到系数法求出直线BC的解析式，即可得到点M的坐标．

【详解】

（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y212xbx﹣2上，∴2112（）b×（﹣1）﹣2＝0，解得：b32，∴抛物线的解析式为y21322xx﹣2．

y21322xx﹣212（x2﹣3x﹣4 ）21325228x（），∴顶点D的坐标为

（32528，）．

（2）当x＝0时y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．

当y＝0时，21322xx﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴B （4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．

∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．

（3）∵顶点D的坐标为 （32528，），∴抛物线的对称轴为x32．

∵抛物线y12x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x32对称．

∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，y21322xx﹣2＝﹣2，则点C的坐标为（0，﹣2），则BC与直线x32交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．

设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：240bkb，解得：122kb，∴y12x﹣2．

当x32时，y1352224，∴点M的坐标为（3524，）．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．

3．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；

（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．

【答案】（1）21248355yxx，顶点D（2，635）；（2）C（410，0）或（5222，0）或（9710，0）；（3）752

【解析】

【分析】

（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x2ba2，抛物线过A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y=ax2+bx﹣3，把B点坐标代入函数表达式，即可求解；

（2）分AB=AC、AB=BC、AC=BC，三种情况求解即可；

（3）由S△PAB12•PH•xB，即可求解．

【详解】

（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x2ba2①，抛物线过A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y=ax2+bx﹣3，把B点坐标代入上式得：9=25a+5b﹣3②，联立①、②解得：a125，b485，c=﹣3，∴抛物线的解析式为：y125x2485x﹣3．

当x=2时，y635，即顶点D的坐标为（2，635）；

（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB=13，设点C坐标（m，0），分三种情况讨论：

①当AB=AC时，则：（m）2+（﹣3）2=132，解得：m=±410，即点C坐标为：（410，0）或（﹣410，0）；

②当AB=BC时，则：（5﹣m）2+92=132，解得：m=5222，即：点C坐标为（5222，0）或（5﹣222，0）；

③当AC=BC时，则：5﹣m）2+92=（m）2+（﹣3）2，解得：m=9710，则点C坐标为（9710，0）．

综上所述：存在，点C的坐标为：（±410，0）或（5222，0）或（9710，0）；

（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣3，把点B坐标代入上式，9=5k﹣3，则k125，故函数的表达式为：y125x﹣3，设点P坐标为（m，125m2485m﹣3），则点H坐标为（m，125m﹣3），S△PAB12•PH•xB52（125m2+12m）=－6m2+30m=25756()22m，当m=52时，S△PAB取得最大值为：752． 答：△PAB的面积最大值为752．

【点睛】

本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

4．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12DE．

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①P（﹣1，6），②存在，M（﹣1，3+11）或（﹣1，3﹣11）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．

【解析】

【分析】

（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）①先得AB的解析式为：y=-2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，-x2-3x+4），则E（x，-2x+2），根据PE=12DE，列方程可得P的坐标；

②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：△ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标．

【详解】

解：（1）∵B（1，0），∴OB=1，

∵OC=2OB=2，∴C（﹣2，0），

Rt△ABC中，tan∠ABC=2，

∴AC2BC， ∴AC23， ∴AC=6，

∴A（﹣2，6），

把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：42610bcbc，

解得：34bc，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；

（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），

∴AB的解析式为：y=﹣2x+2，

设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），

∵PE=12DE，

∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=12（﹣2x+2），

∴x=-1或1（舍），

∴P（﹣1，6）；

②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），

设M（﹣1，y），

∵B（1，0），A（﹣2，6）

∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，

BM2=（1+1）2+y2=4+y2，

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中考数学复习《二次函数相似三角形综合压轴题》专项提升训练(附答案)

中考数学复习《二次函数相似三角形综合压轴题》专项提升训练(附答案)

第 1 页 共 49 页 中考数学复习《二次函数相似三角形综合压轴题》专项提升训练(附答案)

学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________

1．已知：二次函数𝑦=𝑥2−(𝑚+2)𝑥+𝑚−1．

(1)求证：该抛物线与𝑥轴一定有两个交点；

(2)设抛物线与𝑥轴的两个交点是𝐴、𝐵（𝐴在原点左边，𝐵在原点右边），且𝐴𝐵=3，求此时抛物线的解析式；

(3)在（2）的前提下，若抛物线与𝑦轴交于点𝐶，问在𝑦轴的正半轴上是否存在点𝐷，使△𝐷𝑂𝐵和△𝐴𝑂𝐶相似？

2．如图，抛物线：𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图像与𝑥轴交于𝐴和𝐵(−3，0)两点，与𝑦轴交于𝐶(0，−3)，直线𝑦=𝑥+𝑚经过点𝐵，且与𝑦轴交于点𝐷，与抛物线交于点𝐸，与对称轴交于点𝐹．

(1)求抛物线的解析式和𝐸点坐标；

(2)在𝑦轴上是否存在点𝑃，使得以𝐷、𝐸、𝑃为顶点的三角形与△𝐵𝑂𝐷相似，若存在，直接写出点𝑃的坐标：若不存在，试说明理由．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−3与x轴交于𝐴(1,0)和𝐵(3,0)，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)绕点A旋转的直线𝑙：𝑦=𝑘𝑥+𝑏1与y轴相交于点D，与抛物线相交于点E，且满足𝐴𝐷=2𝐴𝐸时，求直线l的解析式；

(3)点P为抛物线上的一点，点Q为抛物线对称轴上的一点，是否存在以点B，C，P， 第 2 页 共 49 页 Q为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．已知：抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+4与x轴相交于𝐴(−2，0)，𝐵(8，0)两点，与y轴相交于点C，连接𝐵𝐶．

(1)求抛物线的表达式并直接写出点C的坐标；

(2)如图，点M是抛物线第一象限内的一点，连接𝑀𝐵，𝑀𝐶，求△𝑀𝐵𝐶面积的最大值；

中考数学二次函数-经典压轴题含答案解析

中考数学二次函数-经典压轴题含答案解析

中考数学二次函数-经典压轴题含答案解析

一、二次函数

1．如图，已知抛物线2(0)yaxbxca的对称轴为直线1x，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中(1,0)A，(0,3)C.

（1）若直线ymxn经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴1x上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴1x上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标.

【答案】（1）抛物线的解析式为223yxx，直线的解析式为3yx=+.（2）(1,2)M；（3）P的坐标为(1,2)或(1,4)或317(1,)2或317(1,)2.

【解析】

分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；

（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；

（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．

详解：（1）依题意得：1203baabcc，解得：123abc，

∴抛物线的解析式为223yxx.

∵对称轴为1x，且抛物线经过1,0A，

∴把3,0B、0,3C分别代入直线ymxn， 得303mnn，解之得：13mn，

中考数学二次函数复习题附答案

中考数学二次函数复习题附答案

初中数学二次函数组卷

一．选择题（共10小题）

1．（2015?成都校级模拟）函数y=ax2+c和y=（a≠0，c≠0）在同一坐标系里的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

2．（2015?裕华区模拟）已知函数y=，则下列函数图象正确的是（ ）

A． B． C． D．

3．（2015?杭州模拟）如图图形中，阴影部分面积相等的是（ ）

A． 甲乙 B． 甲丙 C． 乙丙 D． 丙丁

4．（2015?市北区一模）在同一直角坐标系中，函数y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

5．（2015?苏州一模）二次函数y=（x﹣2）2+1的图象的顶点坐标是（ ）

A． （2，1） B． （﹣2，1） C． （2，﹣1） D． （﹣2，﹣1）

6．（2015?黄陂区校级模拟）二次函数y=x2的图象的开口方向是（ ）

A． 向上 B． 向下 C． 向左 D． 向右

7．（2015?山西模拟）抛物线y=﹣x2不具有的性质是（ ）

A． 开口向上

B． 对称轴是y轴

C． 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大

D． 最高点是原点

8．（2015?徐汇区一模）已知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（ ）

A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

9．（2015?莒县一模）如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：

①abc＞0；②ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；③b＞2a；④﹣2b+c＜0；

其中正确的命题是（ ）

A． ①② B． ②④ C． ①③ D． ③④

10．（2015?崇明县一模）如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（ ）

A． a＞0 B． b＞0 C． c＜0 D． b2﹣4ac＞0

2014年高一数学二次函数压轴题 有答案兼免费

2014年高一数学二次函数压轴题 有答案兼免费

2014年高一数学二次函数试题

一．选择题（共23小题）

1．如果函数f （x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t），那么（ ）

A.f(2)＜f(1)

考点： 二次函数的图象；二次函数的性质．

专题： 压轴题；数形结合．

分析： 先从条件“对任意实数t都有f （2+t）=f （2﹣t）”得到对称轴，然后结合图象判定函数值的大小关系即可．

解答： 解：∵对任意实数t都有f （2+t）=f （2﹣t）

∴f（x）的对称轴为x=2，而f（x）是开口向上的二次函数故可画图观察

可得f（2）＜f（1）＜f（4），

故选A．

点评： 本题考查了二次函数的图象，通过图象比较函数值的大小，数形结合有助于我们的解题，形象直观．

2．二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，图象与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x1∈（2，3），则有

（ ）

A． abc＞0 B． a+b+c＜0 C． a+c＞b D． 3b＜2c

考点： 二次函数的图象；二次函数的性质．

专题： 计算题．

分析： 由二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，可以知道a＜0，b=﹣2a，交点的横坐标x1∈（2，3），可得到，从而可得答案．

解答： 解：∵二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，

∴a＜0，又对称轴为x=1，

∴x=﹣=1，

∴b=﹣2a；

∴f（x）=ax2﹣2ax+c． 又与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x1∈（2，3），a＜0，

∴即：，

∴，

∴a+c＞﹣2a=b．C符合．

又a＜0，b=﹣2a＞0，c＞0，

∴abc＜0，排出A，

∵二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，

∴f（1）=a+b+c＞0，排出B，f（﹣1）=f（3），

图象与x轴的两个交点中一个交点的横坐标x1∈（2，3），

∴f（﹣1）=f（3）＜0，而f（﹣1）=a﹣b+c=﹣b+c＜0，