中考数学压轴题二次函数与圆

二次函数与圆的综合题（中考数学压轴题必考）

例1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点D以AB为直径画⊙P，试判定点D与⊙P的位置关系，并证明．

练习1.如图，二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a为常数，且0＜a＜1）的图象过原点O并与x轴交于点P；过点A（1，﹣1）的直线l垂直y轴于点B，并与二次函数的图象交于点Q，以OA为直径的⊙C交x轴于点D，连接DQ．

（1）点B与⊙C的位置关系是

；

（2）点A是否在二次函数的图象上 ；（填“是”或“否”）

（3）若DQ恰好为⊙C的切线，

①猜想：四边形OAQD的形状是 ，证明你的猜想；

②求二次函数的表达式．

例2.如图示已知点M的坐标为（4，0），以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线过A、B两点且与y轴交于点C．过C点作⊙M的切线CE，求直线OE的解析式．

练习2.平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴，设平行于x轴的直线交抛物线y＝﹣x2﹣x+2于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．

练习3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．

练习4.如图，抛物线y＝﹣x2+x+2．经过A、B、C三点，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C，M为抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

练习5.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．以AB为直径作⊙M．

（1）求出M的坐标并证明点C在⊙M上；

（2）若P为抛物线上一动点，求出当CP与⊙M相切时P的坐标；

第十三关：以二次函数与圆的问题为背景的解答题

【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。“圆”在初中阶段学习占有重要位置,“垂径定理”、“点与圆的位置关系”的判定与性质、“直线与圆的位置关系”的判定与性质、“正多边形的判定与性质”通常是命题频率高的知识点.由于这部分知识的综合性较强,多作为单独的解答题出现.如果把圆放到直角坐标系中,同二次函数结合,则多作为区分度较高的压轴题中出现.此类题目由于解题方法灵活,考查的知识点全面,体现了方程、建模、转化、数形结合、分类讨论等多种数学思想,得到命题者的青睐

【解题思路】二次函数与圆都是初中数学的重点内容，历来是中考数学命题的热点，其本身涉及的知识点就较多，综合性和解题技巧较强，给解题带来一定的困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，就更显得复杂了．只要我们掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的．解决二次函数与圆的问题，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。

【典型例题】

【例1】（2019·黑龙江中考真题）如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−53经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；

（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第 1 页 共 33 页 2019年 九年级数学中考二轮 二次函数压轴题 专题复习

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=.

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒.

①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

第 2 页 共 33 页 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）.

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由.

第 3 页 共 33 页

3.如图，二次函数错误!未找到引用源。的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．

（1）b=

，点B的坐标是 ；

（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．

1圆与二次函数结合型压轴题专题

通用的解题思路：

一、点在圆上的使用技巧：①没告诉半径，利用圆上的点到圆心的距离等于半径可以表示出半径的长度；②告

诉半径，圆上的点到圆心的距离等于半径这个等量关系可以求出一个参数。

二、判断直线与圆的位置关系的标准流程：第一步，利用圆上的点到圆心的距离等于半径表示出半径r，第二

步，表示出圆心到直线的距离d，第三步，比较半径r和距离d的大小：若半径r>距离d，则直线与圆相交，若

半径r=距离d，则直线与圆相切，若半径r

三、记直线l被圆C截得的弦长为|AB|的常用方法

弦长公式：AB=2r2-d21(长沙中考)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴为y轴，且经过(0，0)和

(a，1

16)两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0，2)．

(1)求a，b，c的值；

(2)求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；

(3)设⊙P与x轴相交于M(x

1，0)，N(x2，0)(x1

2)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐

标．

【解答】

解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴为y轴，且经过(0，0)和(a，116)

两点，∴抛物线的一般式为：y=ax2，∴1

16=a(a)2，解得：a=±1

4，∵图象开口向上，∴a=1

4，∴抛物线

解析式为：y=1

4x2，故a=1

4，b=c=0；

(2)设P(x，y)，⊙P的半径r=x2+y-22，又∵y=1

4x2，则r=x2+1

4x2-22

，

化简得：r=1

16x4+4>1

4x2，∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；

2(3)设P(t

，1

4t2)，∵r2-y2=4，∴MH=NH=2，∴M(t-2，0)，N(t+2，0)，A(0，2)，

∵△AMN为等腰三角形，∴AM=AN，AM=MN，AN=MN，(t-2)2+(2-0)2=(t+2)2+(2-0)2，

∴t=0，(t-2)2+(2-0)2=42，∴t=2±23，(t+2)2+(2-0)2=42，∴t=-2±23，