下载文档原格式
课 题: 无穷小量的比较 目的要求：了解高阶，同阶，等价，k 阶无穷小量的定义熟练掌握等价无穷小量的应用掌握x 0时，常用的等价无穷小量 教学重点：熟练掌握等价无穷小量的定义与应用 教学难点：熟练掌握等价无穷小量的定义与应用 教学课时： 2教学方法：讲练结合 教学内容与步骤：无穷小的比较：同一极限过程中的无穷小量趋于零的速度不一相同，我们用两个无穷小量的比值的极限来衡量这两个无穷小量趋于零的快慢速度。
同时，研究这个问题能得到一种求极限的方法 一般, 无穷小量的商有下列几种情形设α(x )与β(x )是同一极限过程中的两个无穷小量：lim α(x )=0, lim β(x )=0. 定义 设lim α(x )=0, lim β(x )=0. ()(1) lim0,()x x αβ=若则称α(x )是比β(x )高阶的无穷小量, 记作, α(x )=o (β(x )) 或称β(x )是比α(x )低阶的无穷小量, ()lim()x x βα=∞若,则称β(x )是比α(x )低阶的无穷小量.()(2) lim,(0)()x A A x αβ=≠若，则称α(x )是β(x )的同阶无穷小量，记作, α(x )=O (β(x ))，特别的，当A=1时，则称α(x )与β(x )是等价无穷小量，记作：α(x )~ β(x ) 例如，0sin lim1x xx→=即sin ~(0)x x x →；201cos lim 12x x x →-=即21cos ~(0)2x x x -→． 定理 设(1)~,~a a ββ''；(2)lim(),A a β'=∞'或 则limlim()A aa ββ'==∞'或．证：limlim lim lim lim lim ().a a A a a a a a a ββββββββ'''''⎛⎫==⋅⋅==∞ ⎪'''''⎝⎭或 推论：设~,~a a ββ'',若()lim f x αβ存在或为无穷大，则：''()lim f x αβ=()lim f x αβ推论：设~a a ',若lim ()f x α存在或为无穷大，则：'lim ()f x α= lim ()f x α 总结：无穷小量的运算过程中，运算式先化为乘积形式，再用等价无穷小量去代换。
无穷小的比较教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
教学重点：用等价无穷小求极限教学过程：一、讲授新课：在第三谈中我们探讨了无穷小的和、高、内积的情况，对于其商会发生相同的情a0b00mnmnmn况，例如：lima0xb0xnmx?0?limxx?0n?m?a0b0（a0,b0为常数，m,n为自然数）可见对于m,n取不同数时，a0xn与b0xm趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：定义：设立?与?为x在同一变化过程中的两个无穷小，(i)若lim(ii)0，就说?是比?高阶的无穷小，记为??o(?)；若lim，，就说道?就是比?低阶的无穷小；，，就说?是比?同阶的无穷小；(iii)若lim(iv)【基准1】若lim?c?0?1，就说?与?是等价无穷小，记为?~?。
当x?0时，x2就是x的高阶无穷小，即x2?o(x)；反之x就是x2的低阶并无穷小；x2与1?cosx是同阶无穷小；x与sinx是等价无穷小，即x~sinx。
备注1：高阶无穷小不具备等价赋值性，即为：x2?o(x),x2?o(x)，但o(x)?o(x)，因为o(?)不是一个量，而是高阶无穷小的记号；2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；3：等价无穷小具备传递性：即为?~?,?~~?；14：未必任一两个无穷小量都可以展开比较，比如：当x?0时，xsinxsin1x1x与x2既非同阶，又无高低阶可比较，因为limx?0x2不存在；5：对于无穷大量也可为相似的比较、分类；6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：定理：若?,?,??,??均为x的同一变化过程中的无穷小，且?~??,?~??，及mil那么lim【基准2】lim?，2。
求lim1?cosxsinxx?0解：因为当x?0时，sinx~x所以lim1?cosxsin2x?0xx?0?lim1?cosxx2x?0?12。
【基准3】谋limarcsin2xx?2x2x2解：因为当x?0时，arcsin2x~2x，所以原式?limx?0x?2x2?lim2x?2x?0?22?1。
§1.8 无穷小的比较已知无穷小的和、差、积的结果仍是无穷小，商的结果 却不一定是无穷小，如1sin lim 0=→xx x ，∞==→→20203lim ,03lim x x x x x x ，两个无穷小的比的极限不同情形，反映了无穷小→0的“快慢”程度。
02→x 比03→x 快些，反之慢些，0sin →x 与0→x 程度相仿。
一．无穷小的比较１.定义:设0→α,0→β (0x x →或∞→x ) .若 (1) 0lim =αβ,就说β是比α高阶的无穷小，记作()αοβ=; (2) ∞=αβlim ,就说β是比α低阶的无穷小; (3) 0lim ≠=c αβ,就说β与α同阶的无穷小 (4) 0,0lim >≠=k c k αβ,就说β是关于α的k 阶无穷小 （5）1lim =αβ,就说β与α是等价无穷小,记作βα~。
例(1)∵515sin lim 0=→x x x ,∴x →0时,x sin 与x 5同阶. 0→x 时,x x 1002+与x 同阶,与100x 等价.（2）0→x 时, ,cos 1,tan ,sin x x x -0:1),1ln(→-+x e x∴0→x 时, ,~tan ,~sin x x x x 1,~)1ln(-+x e x x x ~221~cos 1x x -. *并非任何两个无穷小都可比较（极限不存在且不是∞时）。
二．利用等价无穷小的性质求极限1．等价无穷小的性质：设αα'~，ββ'~且βαβαβα''=⇒∃''lim lim ,lim∵αα'~，ββ'~ ∴αβαααβββαβ''='''''=lim lim lim 。
即求无穷小之比的极限，分子、分母（整个或部分因子）可用等价无穷小来代换。
2．例：求极限 (1)353sin 5lim0=→x x tg x , (2)11)1ln(lim 0=-+→x x e x , (3)21sin cos 1lim 0=-→x x x x (4)()21cos 1lim cos 1lim cos sin cos 1sin lim sin sin lim 2003030=-=-=-→→→→x x x x x x x x x tgx x x x x (5)()x x x x x x x ⊄∞→+∞→sin ,sin 1lim 32=0小结：利用等价无穷小代换求极限是计算函数极限的又一重要方法，特别是在求极限的过程中，对于较复杂的因子用其等价无穷小代换可使计算简便。
第8课两个重要极限及无穷小的比较复习（10 min）【教师】提前设计好上节课的复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解【学生】做复习题目复习上节课所学内容，为讲授新课打好基础讲授新课（20 min）【教师】通过观察函数图像，推导出极限公式sinlim1xxx→=，并通过例题介绍使用该公式求函数极限的方法函数sin xyx=的图像如图2-7所示，从图像可以看出，当0x→时，函数sin xyx=的值无限趋近于1．图2-7此重要极限属于型，常形象地表示为sinlim1→=（□代表同一变量）．求sin3limxxx→．解令3u x=，则3ux=．当0x→时，0u→．于是有000sin3sin sinlim lim3lim33x u ux u uux u→→→===．求下列极限：（1）sin3limsin5xxx→；（2）tanlimxxx→；（3）21coslimxxx→-．学习两个重要极限。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化例2例1解 （1）0000sin 3sin 33limsin 33333lim lim sin 5sin 5sin 5555lim55x x x x x xx x x x x x x x x x→→→→⋅===⋅．（2）0000tan sin 1sin 1lim lim lim lim 111cos cos x x x x x x x x x x x x→→→→=⋅=⋅=⨯=． （3）2220002sin sin sin1cos 11222lim lim lim 2222x x x x x x x x x x x →→→-==⋅⋅=． 【教师】通过函数的变化趋势推导出极限公式1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，并通过例题介绍使用该公式求函数极限的方法当x →∞时，函数11xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的变化趋势如表2-1所示．表2-1从表2-1中可以看出，当x →-∞及x →+∞时，11xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值无限趋近于e 2.71828=⋅⋅⋅，即1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．若令1t x =，则当x →∞时，0t →．因此，1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭还可以写成1lim(1)e tt t →+=．此重要极限属于∞1型，常形象地表示为1lim 1e →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或10lim(1)e →+= （□代表同一变量）．求下列函数的极限：（1）3lim 1xx x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （2）10lim(1)x x x →-．解 （1）令3xu =，则3x u =．于是333311lim 1lim 1lim 1e x uu x u u x u u →∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 例3（2）11(1)101lim(1)=lim[1()]e ex xx x x x ⨯---→→-+-==．设有本金10 000元，年利率为6%，计息期为五年，分别计算下列情况的本利和： （1）单利计息（五年结算一次）； （2）复利计息（3个月结算一次）； （3）连续复利计息．解 （1）单利计息（五年结算一次）时本利和为 10000(16%5)13000P =⨯+⨯=（元）． （2）复利计息（3个月结算一次）时本利和为540.0610000113468.554P ⨯⎛⎫=⨯+≈ ⎪⎝⎭（元）． （3）连续复利计息时本利和为50.0610000e 13498.59P ⨯=≈（元）．【学生】熟练运用两个重要极限公式求函数的极限 课堂测验（6 min ）☞教师在文旌课堂APP 或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。
