同济大学高等数学无穷小的比较19页PPT

n
n
～
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定理1.
证:
～
o( )
lim 1 lim( 1) 0, 即 lim 0
～
o( ) , 即 o( )
例如, x 0 时,
～
tan x ～x , 故
tan x x o( x)
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说明: 设对同一变化过程 , , 为无穷小 , 由等价
无穷小的性质, 可得简化某些极限运算的下述规则.
(1) 和差取大规则: 若 = o() , 则 ~ 1 x sin x lim 例如, lim 3 3 x 0 3 x x 0 x 3 x (2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且 与 不等价 , lim , 则 ~ , 且 lim
x 0 时,
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定理2 . 设
且
存在 , 则
lim
证:
lim lim lim lim lim lim
例如,
2x 2 tan 2 x lim lim x 0 5 x 5 x 0 sin义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
若 lim 0 , 则称 是比 高阶的无穷小, 记作 o( ) 若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小; 若 lim C 0 , 则称 是 的同阶无穷小;
若 lim k C 0 , 则称 是关于 的 k 阶无穷小; 若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作 ~ 或 ~

limsinx0, 当x0时s， inx是一个无;穷小
x0
数列 当
时为无穷小。
无穷小是一个很小的数吗？
无穷小是比任意一个数都小的量吗？
1 – 4 -- 2
高
第一章
等
数
简言之, 在某极限过程中, 以0为极限的量
学 称为该极限过程中的一个无穷小.
注意: 无穷小是一个变量.
除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
x2 x
x
0
是无穷小量；x2 x3
1 x
是无穷大量；
x2 x2
11
不是无穷小量.
1 – 4 -- 7
高
等 三、 无穷大
数 学
定义 . 若任给 M > 0 , 总存在
第一章
(正数 X ) , 使对
一切满足不等式
( x X) 的 x , 总有
①
则称函数
当
(x)时为无穷大, 记作
(lim f(x))
x
1 – 4 -- 5
高 等 数
学 例1. 求
解: lim 1 0 x x
利用定理 2 可知
说明 : y = 0 是
1 – 4 -- 6
的渐近线 .
第一章
y sin x x
高
第一章
等
数 注意： 我们没有讨论两个无穷小的商的情形，
学
因为这一情形较复杂，将在以后专门
讨论.
例如： x0时,x,x2,x3均为无穷,而 小量
f(x)A
f(x)A
lim
0
xx0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
1 – 4 -- 16
高
等 数
小结学Leabharlann 无穷小的定义无穷小 无穷小的运算性质

第四节 无穷小与无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系
第一章
机动
Байду номын сангаас
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一、 无穷小
定义1 定义 . 若 为
(或x →∞)
时 , 函数
则称函数
(或x →∞)
例如 :
时的无穷小 . 无穷小
函数 函数 当 函数
当
时为无穷小; 时为无穷小; 当 时为无穷小.
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lim f (x) = A
证: lim f (x) = A
x→x0
f (x) = A + α , 其中α 为 x → x0
时的无穷小量 .
∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 0 < x − x0 < δ 时,有 f (x) − A < ε
α = f (x) − A
x→x0
lim α = 0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 的一切 x , 有
1 只要取 δ = , 则对满足 M
所以 说明: 说明 若 为曲线 则直线 x =x0 的铅直渐近线 .
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渐近线
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三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 定理 在自变量的同一变化过程中, 若 若
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二、 无穷大
定义2 任给 定义 . 若任给 M > 0 , 总存在 一切满足不等式 (正数 X ) , 使对 正数 ① 则称函数 当
( x > X ) 的 x , 总有

取 Xma X 1,x X2 { }当 , x X时,恒有
, 22
0 (x )
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 ,n时,1是无穷小， n
但n个1之和1不 为是无.穷小 n
定理 3
有界函数与无穷小的乘积是无穷 小.
证 设函u在 数 U(x0,1)内有界，
则 M 0 ,10 ,使0 得 x当 x 01 时 恒u 有 M .
2. 函数的极限与无穷小量的关系
分析
若 x l x 0 i f ( x ) m a ,则 0 ,当 0 |x x 0 | 时 , |f ( x ) a | |( f ( x ) a ) 0 | ,
即x当 x0时 , f(x)a是一个.无穷 令 ( x ) f ( x ) a , 则 ( x ) 0 ( x x 0 ) , 且 f( x ) a ( x )( x x 结论 ?
定理1
limf (x)a f(x) a (x),
xx0 (x)
其 ,( x ) 0 中 ( x x 0 , ( x ) .)
由此可看出, 寻找函数极限运算法则 可归结为寻找无穷小量的运算法则.
意义
1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小);
2.给出了函 f(x数 )在x0附近的近似表 f(x)A,误差为 (x).
3.无穷小的运算性质:
定理2
在同一极限过程中,有限个无穷小的代 数和仍是无穷小.
定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍 是无穷小.
证 设及是当 x时的两个, 无穷小
0, X 10,X 20,使得
当xX1时恒 有 2; 当xX2时恒 有 2;
limx2 .
x
(ii) y x3,
limx3 . (iii), (iv) 自己画

解 tan5x 5x o( x), sin3x 3x o( x),
1 cos x 1 x2 o( x2 ). 2
分子, 分母同除以x
5x o( x) 1 x2 o( x2 )
原式 lim
2
x0
3x o( x)
o( x) 1 o( x 2 )
5 x lim x 2
x x3
sin
x
.
解: 原式

lim
x0
x

1 2
x
2
x3
原式

lim
x0
x x3
x
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常用等价无穷小 当x 0时
sin x ~ x, arcsin x ~ x, tan x ~ x,
arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x,
例如,
lim
x0
sin x3
x 3x
lim x x0 3x
1 3
(2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且 与 不等价,
则


~



,
且
lim



lim


,


但 ~ 时此结论未必成立.
例如,
lim tan 2x sin x0 1 x 1
1 x 1 ~ 1 x, n1 x 1 ~ 1 x,
2
n
1 cos x ~ 1 x2 . 2
并有 从而
无穷小的比较
~ o( )
例 求 lim tan5x cos x 1

导数的应用
在研究函数的单调性、极值和拐 点等问题时，需要利用导数的性 质和无穷小的关系。
在积分中的应用
积分的定义
积分是通过无穷小分割和 求和来定义的，无穷小在 积分定义中扮演着重要的 角色。
积分的几何意义
无穷小表示面积或体积的 微元，通过积分可以计算 曲线下的面积、曲面下的 体积等。
积分的应用
在解决实际问题时，如求 曲线的长度、物体的质量、 做功等，需要利用积分和 无穷小的关系。
无穷小的性质
总结词
无穷小具有一些重要的性质，这些性质在研究函数的极限、导数和积分等数学概念时非 常有用。
详细描述
1. 无穷小与任何常数的和、差、积仍然是无穷小。例如，如果 (x rightarrow 0) 时，(x) 是无穷小，那么 (x+2)、(x-2)、(3x) 和 (x^2) 也是无穷小。2. 无穷小与有界函数的乘 积仍然是无穷小。例如，如果 (x rightarrow 0) 时，(x) 是无穷小，而 (|f(x)| < M)（其
求解极限
在求解某些极限问题时， 可以利用无穷小的性质进 行化简，从而得出结果。
无穷小的等价替换
在某些极限计算中，可以 将无穷小替换为其他无穷 小，简化计算过程。
在导数中的应用
导数的定义
导数是通过无穷小增量和自变量 的比值来定义的，无穷小在导数 定义中起着关键作用。
导数的几何意义
无穷小表示函数图像在某一点的 切线斜率，通过导数可以研究函 数的几何性质。
05 习题与解析
基础习题
基础习题1
比较以下无穷小量的大小：$frac{1}{x}, frac{1}{x^2}, frac{1}{x^3}$ 当 $x to 0$。

第六节 无穷小的比较
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小的比较
例如, 观 察 各 极 限
不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:
例如，
例1 解
例2 解
二、等价无穷小替换
定理1 (等价无穷小替换定理)
证：
例3 解
注： 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘 积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作 等价无穷小替换，而不会改变原式的极限．
例4 解
切 不能滥用等价无穷小替换.
只可对函数的因子作等价无穷小替换，
记
而对于代数和中各无穷小不能分别替换.
例5 错解
解
常见的等价无穷小
例6. 求 解:
例7 解作业 习 题 六 、二习 题 七 一、三