非线性常微分方程边值问题的有限解析法

第十章解常微分方程組-邊界值問題(Boundary Value Problems for ODE)本章探討的邊界值問題模型如下:x''(t) = f(t, x(t), x'(t))x(a) = α , x(b) = β .考慮當函數f(t, x(t), x'(t))是線性(或非線性)時, 求解之方法:1. Discretization Method( finite difference approximations)2. Shooting Method在本章中包含Matlab 的m-file1. finitedf.m2.shoot.m3. shootnl.m將須要的m-file之檔案夾加入搜尋路徑中path('d:\numerical', path)註: 如果你有安裝Matlab Notebook 要執行下列input cells (綠色指令敘述)之前必須先執行上面的cell –[path (…) ]藍色的內容是Matlab [output cells]1. finitedf.m –利用finite difference approximationsx'(t) ~ (x(t+h) - x(t-h) ) / (2 h) ;x''(t) ~ (x(t+h) - 2 (t) + x(t-h) )/ h2 ;來估算邊界值問題x''(t) = f(t, x(t), x'(t))= u(t) t + v(t) x(t) + w(t) x'(t)x(a) = α , x(b) = β. 的數值解 .下列的m-file(finitedf.m)已經把例題中的u(t), v(t), w(t)定義了, 使用者套用此函數時, 記得更正為自己需要的.type finitedf.mfunction rs= finitedf(x0,xn, ta,tb,n)%to solve x''(t) = f(t, x(t), x'(t))=u(t) t + v(t) x(t) + w(t) x'(t)%by finite difference approximations, x0 and xn are the boundary values %t is in[ta,tb].ut = inline('exp(t) - 3*sin(t)', 't') ;vt = -1 ;wt = 1 ;h=(tb - ta)/n ;a=zeros(1,n); b=a; c=a; d=a;for i=1:n-1t = ta + i*h ;a(i) = -( 1+ h * wt/2) ;d(i) = 2 + h^2 * vt;c(i) = -( 1- h * wt/2) ;b(i) = -h^2* ut(t) ;end ;b(1) = b(1) - a(1)* x0 ;b(n-1) = b(n-1) - c(n-1)* xn ;for i=1:n-1a(i) = a(i+1) ;end ;y = trigauss(a, d, c,b,n-1) ;rs = y ;例題 1: 解邊界值問題x''(t) = e t - 3 sin(t) + x'(t) - x(t) ,x(1) = 1.09737491 , x(2) = 8.63749661ta = 1 ; tb = 2; n = 99;h = (tb- ta)/n ; error = zeros(1,n) ;x0 = 1.09737491 ; xn = 8.63749661 ;y = finitedf(x0, xn, ta, tb, n);for i = 1 : n-1t = ta + i * h ;error(i) = exp(t)- 3*cos(t)- y(i) ;end ;format longfprintf('\t t \t x(t) \t error\n') disp([1 x0 0])for i = 9 :9:n-1t = ta + i * h ;disp([t y(i) error(i)])end ;disp([2 xn 0])t x(t) error1.00000000000000 1.09737491000000 01.09090909090909 1.59194209918682 -0.000000365918851.181818181818182.12256804212776 -0.000000694314561.272727272727272.68955333563720 -0.000000963621881.36363636363636 3.29334396781902 -0.000001156328151.45454545454545 3.93457004989182 -0.000001259030391.54545454545455 4.61408706401417 -0.000001263391911.63636363636364 5.33301967061334 -0.000001167139561.72727272727273 6.09280813414278 -0.000000975096821.81818181818182 6.89525744460769 -0.000000700247811.90909090909091 7.74258923378422 -0.000000364826842.00000000000000 8.63749661000000 02. shoot.m –利用shooting method 來估算邊界值問題此方法是將邊界值問題轉為初值問題:x''(t) = f(t, x(t), x'(t)) = u(t) t + v(t) x(t) + w(t) x'(t)x(a) = α , x'(a) = z.其解x(t)在b的數值x(b)可視為z的函數φ(z) .希望好的z值能使得φ(z) =β.當φ(z)是線性時, 考慮函數g(t)=λx1(t) + (1-λ) x2(t) ,其中x1(t)與x2(t)分別是x'(a) = z1與.x'(a) = z2初值問題的解.解此初值問題可利用前面的函數rk4sys.mtype shoot.mfunction rs= shoot(x0,xn, ta,tb,n)%to solve x''(t) = f(t,x(t),x'(t))=u(t) t+ v(t) x(t)+ w(t) x'(t) %by finite difference approximations, x0 and xn are the%boundary values, t is in[ta,tb].ut = inline('exp(t) - 3*sin(t)', 't') ;vt = -1 ;wt = 1 ;h=(tb - ta)/n ; m=5 ;x=[1 x0 0 x0 1]';xt=zeros(m,n);xtnew=zeros(1,n) ;xt=rk4sysnew(x,ta,tb,n) ;xb1=xt(2,n) ;xb2=xt(4,n) ;p = (xn-xb2) / (xb1-xb2) ;q = 1-p ;xtnew=p*xt(2,1:n) +q*xt(4,1:n) ;%return the approximation solutionrs = xtnew ;type fxsys.mfunction fx=fxsys(t,X)%compute values of function F(t,X)%F(t,X) is defined by user%In this example, variable X includes t which is%the first component X(1)fx=zeros(length(X),1);fx(1) = 1 ;fx(2) = X(3);fx(3) = exp(X(1)) - 3*sin(X(1)) + X(3) -X(2);fx(4) = X(5) ;fx(5) = exp(X(1)) - 3*sin(X(1)) + X(5) -X(4); ;例題 2:利用shooting method解邊界值問題x''(t) = e t - 3 sin(t) + x'(t) - x(t) ,x(1) = 1.09737491 , x(2) = 8.63749661ta = 1 ; tb = 2; n = 99;h = (tb- ta)/n ; error = zeros(1,n) ;x0 = 1.09737491 ; xn = 8.63749661 ;y = shoot(x0, xn, ta, tb, n);for i = 1 : n-1t = ta + i * h ;error(i) = exp(t)- 3*cos(t)- y(i) ;end ;format longfprintf('\t t \t x(t) \t error\n') disp([1 x0 0])for i = 9 :9:n-1t = ta + i * h ;disp([t y(i) error(i)])end ; disp([2 xn 0])t x(t) error1.00000000000000 1.09737491000000 01.09090909090909 1.59194173254025 0.000000000727731.181818181818182.12256734722770 0.000000000585511.272727272727272.68955237158771 0.000000000427611.36363636363636 3.29334281123716 0.000000000253711.45454545454545 3.93456879079791 0.000000000063531.54545454545455 4.61408580076543 -0.000000000143171.63636363636364 5.33301850384033 -0.000000000366551.72727272727273 6.09280715965267 -0.000000000606711.81818181818182 6.89525674522358 -0.000000000863701.90909090909091 7.74258887009486 -0.000000001137472.00000000000000 8.63749661000000 03. shootnl.m –利用shooting method 來估算非線性的邊界值問題x''(t) = f(t, x(t), x'(t)) , x(a)= α , x(b)=β同樣地, 將邊界值問題轉為初值問題:x(a) = α , x'(a) = z.其解x(t)在b的數值x(b)可視為z的函數φ(z) .希望好的z值能使得φ(z) =β , 採用secant method .type shootnl.mfunction rs= shootnl(x0,xn, ta,tb,n)%to solve nonlinear x''(t) = f(t,x(t),x'(t)) boundary-Value problem%by Shooting method, x0 and xn are the boundary values,%t is in[ta, tb].%%x''(t)= -x'(t)^2 -x(t) + ln(t), t is in [1,2], x(1)=0, x(2) = ln2 .%exact solution x(t) = ln(t) .% x1(t)=t, x1'(t)=1, x2(t)= x(t), x2'(t)= x3(t)% x3'(t)= x2''(t)= -x3(t)^2 - x2(t) +ln(t)h=(tb - ta)/n ; m=3 ;%for some zz=[0.5 1] ; pz=[0 0] ; %initialepi=10^(-10) ;for j=1: 2x=[1 x0 z(j)]' ; %initialsxt=zeros(m,n) ;xt=rk4sysnew(x,ta,tb,n) ;pz(j)=xn -xt(2,n) ;if pz(j)< epirs = xt(2, 1:n) ;return %end ;end ;%compute the next z by secant methoditer= 15; tol = 10^-5 ; err=0.0 ;i =3 ;while(i <= iter & err < tol)slp= (z(i-1)-z(i-2))/(pz(i-1)-pz(i-2)) ;nextz = z(i-1)- slp*pz(i-1);err = abs(nextz - pz(i-1)) ;z=[z nextz] ;x=[1 x0 nextz]' ; %initialsxt=zeros(m,n) ;xt=rk4sysnew(x,ta,tb,n);pz(i)=xn -xt(2,n) ;if (err < tol | pz(i)<epi )rs = xt(2, 1:n ) ;returnend ;i= i+1 ;endif i>iterprintf(' Secant method fails in Shooting method \n' ) endrs = xt(2, 1:n); %returnstype fxsys.mfunction fx=fxsys(t,X)%compute values of function F(t,X)%F(t,X) is defined by user%In this example, variable X includes t which is%the first component X(1)fx=zeros(length(X),1);fx(1) = 1 ;fx(2) = X(3);fx(3) = -X(3).^2 - X(2) +log(X(1)) ;例題 3:利用shooting method 來估算非線性的邊界值問題x''(t) = -x'(t)2 - x(t) + ln(t) 1≤ t ≤ 2x(1) = 0 , x(2) = ln2 .ta = 1 ; tb = 2; n = 10;h = (tb- ta)/n ; error = zeros(1,n) ;x0 = 0.0 ; xn = log(2) ;y = shootnl(x0, xn, ta, tb, n);for i = 1 : n-1t = ta + i * h ;error(i) = log(t)- y(i) ;end ;format longfprintf('\t t \t x(t) \t error\n') fprintf('\t 1 \t 0 \t 0\n') for i = 1 :n-1t = ta + i * h ;disp([t y(i) error(i)])end ; disp([2 xn 0])t x(t) error1 0 01.10000000000000 0.09531000323697 0.000000176567361.20000000000000 0.18232131442583 0.000000242368121.30000000000000 0.26236400845782 0.000000256009671.40000000000000 0.33647199127437 0.000000245346841.50000000000000 0.40546488415551 0.000000223952651.60000000000000 0.47000343073393 0.000000198511811.70000000000000 0.53062807876778 0.000000172294391.80000000000000 0.58778651805356 0.000000146848561.90000000000000 0.64185376332331 0.000000122849092.00000000000000 0.69314718055995 0。

高等数学中非线性常微分方程初步研究非线性常微分方程是一类极其重要的数学模型，在自然界和工程技术中都有广泛的应用。

非线性常微分方程的研究需要掌握一定的数学工具和技巧，其中涉及到的非线性的概念、极限、微积分以及一些高阶数学知识。

本文将针对非线性常微分方程进行初步的探究，希望能够对初学者提供一定的帮助。

一、非线性常微分方程常微分方程是描述自变量和函数的关系的方程，其中自变量是一个实数或复数，函数是实数值函数或向量值函数。

常微分方程分为线性常微分方程和非线性常微分方程两种。

线性常微分方程是指未知函数和其导数之间是线性关系的微分方程，非线性常微分方程则否定了这种线性关系。

例如，一阶非线性常微分方程可以写成：$$ \frac{dy}{dx}=f(x,y) $$其中 $y$ 是未知函数，$f(x,y)$ 是已知函数。

更一般地，任意阶的非线性常微分方程形式如下：$$ F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0 $$其中 $y$ 是未知函数，$F$ 是已知函数。

由于这些方程中含有非线性的项，因此非线性常微分方程比线性常微分方程更加复杂，研究也更加困难。

二、非线性常微分方程的解法非线性常微分方程的解法远没有线性常微分方程那么简单。

通常需要采用数值方法、级数方法、近似方法和变量分离方法等多种方法进行求解。

这里我们主要介绍变量分离法和级数方法。

1. 变量分离法对于一些特殊的非线性常微分方程，可以采用变量分离法进行求解。

变量分离法的主要思想是将方程中的自变量和未知函数分离开，将方程转化为两个只与单个变量有关的方程。

具体步骤如下：（1）将方程移项，得到 $\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$。

（2）将 $\frac{dy}{g(y)}=\frac{dx}{f(x)}$ 这个方程两边同时积分，即得到 $\int\frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+ C$，其中 $C$ 是常数。

非线性常微分方程边值问题的有限解析法常微分方程是一种非常重要的数学模型，可以用来描述许多物理、化学、生物、工程和经济等领域的有规律的现象。

常微分方程可分为线性和非线性两类，其中非线性常微分方程的解析解和数值解可能同时存在。

现今，许多科学研究和工程应用都依赖于解决非线性常微分方程边值问题的有效方法。

近些年来，随着计算机技术和数学模型理论的长足发展，有关解决非线性常微分方程边值问题的研究取得了显著成就，并开辟了一个全新的发展领域。

其中，有限解析法是一种有效解决非线性常微分方程边值问题的方法，其基本原理是将非线性方程通过一定的数学变换转化为线性方程组，然后应用有限元分析技术和矩阵分析技术，对其进行解析。

二、限解析法的基本思想有限解析法是一种基于矩阵分析的有限元分析方法，其基本原理是将非线性方程通过一定的数学变换转化为线性方程组，然后应用有限元分析技术和矩阵分析技术，对其进行数值求解。

该方法的基本思想是，建立一个普适的非线性偏微分方程的数值求解模型，给出此类非线性方程的通用数学表示式，并给出解决这类问题的概括性算法。

建立数值求解模型的基础是假定问题的解在一定的空间和时间范围内可以用一定的函数类型来表示，并以此建立解的数学表达式，在此基础上，对所求的数值解进行求解。

其次，在空间和时间范围内，将问题分解为有限个节点或单元，然后在这些节点或单元上求解出有限元函数系数，从而满足非线性方程及其边界条件，最后求出非线性方程的数值解。

三、限解析法的基本原理求解非线性常微分方程边值问题的有限解析法的基本原理如下：首先，建立有限解析法的数值求解模型，给出此类非线性方程的通用数学表示式，然后构造一个合适的有限元基函数，给出它在每个节点或单元上的求解矩阵，并计算出系数矩阵。

其次，根据边界条件对系数矩阵进行变换，求出特征值和特征向量，从而求出线性方程组的解。

最后，根据有限元方程的解得到非线性方程的数值解。

四、论非线性常微分方程边值问题的有限解析法是一种有效解决非线性常微分方程的方法，它的基本原理是将非线性方程通过一定的数学变换转化为线性方程组，然后应用有限元分析技术和矩阵分析技术，对其进行数值求解。

常微分方程的解析解与数值解常微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。

解析解和数值解是求解常微分方程的两种常用方法。

本文将介绍常微分方程的解析解和数值解的概念、特点以及应用，并讨论两者在不同情况下的优缺点。

一、解析解解析解是指通过数学方法直接获得的方程的解。

对于某些简单的常微分方程，可以通过变量分离、分离变量、常数变易等方法获得解析解。

解析解具有以下几个特点：1. 精确性：解析解是通过数学方法得到的，是方程的精确解。

它可以给出方程在任意时刻的解，对于问题的研究具有重要意义。

2. 通用性：解析解适用于一类具有相同形式的常微分方程。

一旦求得了一类方程的解析解，就可以应用到同类问题中。

3. 物理含义明确：解析解通常具有明确的物理含义，能够帮助我们理解问题的本质和规律。

解析解在一些特定情况下具有明显的优势。

例如，当方程形式简单、边界条件明确、初值明确时，解析解能够提供准确的结果。

此外，解析解也有助于我们对问题的理论分析和深入研究。

二、数值解数值解是通过数值计算方法获得的方程的近似解。

对于复杂的常微分方程，往往难以找到解析解，这时候就需要借助数值方法进行求解。

数值解具有以下几个特点：1. 近似性：数值解是通过数值计算获得的，只能提供方程的近似解。

随着计算步长的减小，近似解会逐渐接近真实解。

2. 条件灵活：数值解对问题的条件要求相对较低。

例如，数值方法可以求解非线性方程、高阶方程、边值问题等各种复杂情况。

3. 计算复杂度：数值解通常需要借助计算机进行迭代计算，计算复杂度较高。

数值解在实际问题中应用广泛且有效。

数值方法可以通过逼近、插值、差分等数值计算技术，将方程转化成逐步计算的步骤，获得精确度可控的近似解。

数值解的优势在于对于复杂问题的求解能力和计算相对高效。

三、解析解与数值解的比较解析解和数值解各自具有不同的特点和优势，在不同的问题和求解需求中有着相应的应用。

解析解在以下情况下具有优势：1. 简单线性方程：对于形式简单的一阶线性常微分方程，如首次线性方程、可分离变量方程等，可以通过解析方法求得解析解。

《非线性分数阶微分方程初边值问题的若干研究》篇一一、引言非线性分数阶微分方程在众多领域中有着广泛的应用，包括物理学、工程学、生物学等。

这些方程能够更准确地描述复杂系统的动态行为，尤其是那些具有记忆效应和遗传特性的系统。

然而，由于非线性和分数阶的复杂性，这些微分方程的求解变得非常困难。

本文旨在探讨非线性分数阶微分方程初边值问题的研究进展及存在的问题，并针对这些挑战提出可能的解决方案。

二、非线性分数阶微分方程的背景和意义非线性分数阶微分方程是一类包含非线性项和分数阶导数的微分方程。

与传统的整数阶微分方程相比，分数阶微分方程能够更好地描述物理现象的连续性和记忆性。

在众多领域中，如流体动力学、电磁学、量子力学等，非线性分数阶微分方程的求解具有重要的理论价值和实际意义。

三、初边值问题的研究现状目前，针对非线性分数阶微分方程的初边值问题，学者们已经进行了大量的研究。

主要的研究方向包括方程的求解方法、解的存在性及唯一性证明等。

（一）求解方法研究求解非线性分数阶微分方程的初边值问题主要有以下几种方法：解析法、数值法、变换法等。

解析法主要依赖于数学理论推导，能够得到精确解；数值法则通过计算机进行数值模拟，能够处理复杂的非线性问题；变换法则通过将原问题转化为更易求解的形式，如拉普拉斯变换、傅里叶变换等。

（二）解的存在性及唯一性证明在证明解的存在性和唯一性方面，学者们采用了不同的方法，如拓扑度理论、压缩映射原理等。

这些方法在不同类型和条件下都能得到有效的应用，为求解非线性分数阶微分方程提供了重要的理论依据。

四、当前面临的问题和挑战尽管对于非线性分数阶微分方程的初边值问题已经有了很多的研究成果，但仍然面临许多挑战和问题。

（一）复杂性问题非线性分数阶微分方程具有很高的复杂性，导致求解困难。

此外，初边值条件的复杂性也增加了问题的难度。

因此，需要发展更有效的求解方法和算法来处理这些问题。

（二）解的存在性和唯一性问题对于某些非线性分数阶微分方程，其解的存在性和唯一性仍然难以证明。

有限差分法（Finite Difference Method, FDM）是一种常见的数值方法，用于求解偏微分方程。

然而，并非所有的方程都可以通过有限差分法来求解。

本文将讨论有限差分法不能求解的方程，并探讨其原因。

一、有限差分法求解的方程类型有限差分法主要用于求解偏微分方程，尤其是常见的热传导方程、扩散方程和波动方程等。

这些方程通常可以通过有限差分法离散化空间和时间，从而转化为代数方程组，再通过迭代等方法求解。

二、有限差分法不能求解的方程类型然而，并非所有的偏微分方程都适合用有限差分法求解。

以下是一些有限差分法不能求解的方程类型：1. 非线性偏微分方程：有限差分法主要适用于线性偏微分方程，对于非线性偏微分方程，由于其复杂的性质和解的多样性，有限差分法往往难以适用。

2. 高阶偏微分方程：有限差分法通常只适用于一阶和二阶偏微分方程，对于高阶偏微分方程，需要进行更复杂的离散化处理，难以直接通过有限差分法求解。

3. 变系数偏微分方程：对于系数随空间或时间变化的偏微分方程，有限差分法往往难以准确描述其变化规律，因此难以求解。

4. 非线性边值问题：对于带有非线性边值条件的偏微分方程，有限差分法的稳定性和收敛性难以保证，因此难以求解。

三、原因分析有限差分法不能求解某些偏微分方程的原因主要包括以下几点：1. 离散化处理困难：一些复杂的方程很难通过简单的差分离散化处理转化为代数方程组，从而难以应用有限差分法求解。

2. 解的多样性：对于非线性偏微分方程和非线性边值条件，解的多样性导致有限差分法往往无法准确描述其解的特性。

3. 稳定性和收敛性难以保证：对于一些特殊的偏微分方程，由于有限差分法的稳定性和收敛性难以保证，因此难以求解。

四、解决方法针对有限差分法不能求解的方程，可以考虑以下解决方法：1. 使用其他数值方法：对于非线性偏微分方程和高阶偏微分方程，可以考虑使用有限元法、有限体积法等其他数值方法进行求解。

2. 手工推导精确解：对于一些特殊的偏微分方程，可以尝试手工推导其解析解，从而获得准确的解。

非线性常微分方程边值问题的有限解析法本文讨论了非线性常微分方程边值问题的有限解析法，涵盖了它的基本概念、性质、原理和应用。

具体来说，本文回顾了非线性常微分方程的基本概念，包括概念的定义、特征性质、基本求解法以及典型应用等。

接着介绍了非线性常微分方程边值问题的研究内容，然后论述了有限解析法在处理非线性常微分方程边值问题中的重要作用，说明了该方法的几个主要步骤，以及其优缺点。

本文最后介绍了有限解析法在实际应用中的重要性，并且简要介绍了几个应用实例，如模式识别、控制理论和数值分析等。

非线性常微分方程是一种在非线性数学中的基本类型，它的应用遍布整个社会。

它可以用来描述许多现象，如流体动力学、拓扑动力学、结构动力学、电磁学、化学反应动力学和物理现象的变化等。

它的解可以表示为一类函数，可以用来描述物理系统的稳定性和可靠性，以及控制系统的行为。

在应用上，求解非线性常微分方程是有一定难度的，常见的数学方法有全局线性化，有限差分方法，格式化数值方法，变分法，非线性谱法，局部定性分析等。

其中，有限解析法在求解非线性常微分方程边值问题中具有重要作用。

有限解析法是一种可以寻找非线性微分方程边界值问题定式解的数值方法。

它是一种能够给出定式解的方法，可以从边界非线性微分方程中求解定式解，从而可以给出解析解。

其基本原理是通过将非线性常微分方程转变为一组线性方程组。

然后可以将其转化为标准的线性方程组求解。

有限解析法对应用也非常重要，它可以用来处理模式识别、控制理论和数值分析等一些比较典型的应用领域。

如在模式识别中，有限解析法可以用来识别动态非线性系统，有助于准确捕捉不同输入状态下系统的行为特性；在控制理论中，有限解析法可帮助我们理解系统中存在的非线性元件带来的特性，并可以更好地控制系统的行为；在数值分析中，有限解析法可以用来处理一些复杂的非线性微分方程，如常微分方程组，能够精确求解出解析解，具有较强的精度。

本文就非线性常微分方程边值问题的有限解析法作了全面的综述，说明了这种方法的特点、原理及应用，并指出它在处理非线性问题中的重要性。

非线性常微分方程边值问题的有限解析法非线性常微分方程边值问题（NonlinearOrdinaryDifferentialEquationBoundaryValueProblem，简称BVP）是系统动力学，数学物理，流体动力学及控制等多个学科中的重要问题。

自20世纪60年代以来，BVP的研究得到了迅猛的发展，研究的解析方法从精确解析方法到近似解析方法，再到近似解法及混合解法，主要包括：有限元法，采用多项式进行有限差分法，多项式拟合法，幂级数法，变分法，迭代法等。

比较近些年，有限解析法受到越来越多的关注，这项研究不仅有助于深入了解BVP的数学本质，还可以指导现实问题的解决。

有限解析法是一种以数学分析的方法求解BVP边界值问题的方法，主要是利用多项式函数近似解，或是采用多项式多项式拟合法进行离散，最后得出精确的解析解。

这种方法被广泛应用于边界值问题的解决，其优势在于不需要迭代求解，即使求解过程复杂，有限解析法仍能得到快速而准确的结果。

二、原理有限解析法的原理是：将BVP边界值问题转换为一个多项式拟合的问题，首先以离散化的方式将非线性常微分方程边值问题转换为一个线性方程组，然后再用多项式函数近似求解有限结点方程组，并通过一组特定的约束条件使多项式函数唯一确定，最终得出有限的解析解。

三、实例下面以一个实例来说明有限解析法的用法。

假设给定一个BVP如下：y + 3y - 2y = x， y(0)=1， y(1)=5此非线性常微分方程边值问题的解析解可以用有限解析法来解决。

首先，以离散化的形式转换为线性方程组，把解区间[0, 1]选择为 N等分，即为xi=i/N，i=0,1,2…N-1，在节点处yi=yi(xi)。

由于边界已知，所以将节点拆分为 N+1个即yi(0)=1，yi(1)=5，那么有限元可以确定y0,y1,y2…yN-1的值，一共N组值。

现在构造N组多项式拟合，即有yi = a0 + a1xi + a2xi2 + +aN-1xiN-1,i=0,1,2…N-1，将构造出的多项式代入原问题，将原问题转移到下面N组线性方程系：(1) a0 + a1(0) + a2(0)2 + +aN-1(0)N-1 = 1；(2) a0 + a1(1/N) + a2(1/N)2 + +aN-1(1/N)N-1 = f(1/N)；(3) a0 + a1(2/N) + a2(2/N)2 + +aN-1(2/N)N-1 = f(2/N)；…………(N) a0 + a1(N-1/N) + a2(N-1/N)2 + +aN-1(N-1/N)N-1 =f(N-1/N)；最后求解上述N组线性方程组的唯一解，即可得出yi的值，从而得出有限的解析解。

常微分方程的奇点与边值问题常微分方程是数学中的重要分支，它研究的是描述自然现象的数学方程，如牛顿定律、热传导方程等。

这些方程通常包含未知函数及其导数，所以被称为常微分方程。

它们广泛应用于物理、工程、生物学、经济学等领域中的问题，具有很高的实用价值。

本文将介绍常微分方程中的奇点和边值问题，并探讨其在实际应用中的重要性。

一、奇点奇点是指常微分方程函数在某一点上其解变得不唯一或不能解析的点。

在正常情况下，微分方程的解应该是唯一的，并且在各个点上应该具有良好的解析性质。

但是有些情况下，函数会出现奇点，解变得不可解析，不同解之间也不再唯一。

奇点通常有两种类型：可去奇点和本质奇点。

可去奇点是指函数在该点上的不连续性可以被消除。

例如，当函数在某一点上的值为无穷大时，我们可以用极限的方法来消除该奇点。

但是本质奇点是无法消除的，它是函数固有的性质，例如在某一点上的导数不存在或者无界（趋向于无穷大或负无穷大）。

奇点的存在和性质对于常微分方程的解的形式和性质有着重要的影响。

例如，可以证明当微分方程的解在某个点上具有本质奇点时，解无法延拓到该点的某个领域内，因此在分析解的性质时应该注意奇点的存在。

二、边值问题在研究某些物理或工程问题时，我们可能需要求出微分方程在某个区间上的解，而且在区间的两个端点上需要满足一定的限制条件，这就是边值问题。

对于线性常微分方程，边值问题可以表示为：$$\begin{cases}y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x) & (a<x<b) \\y(a)=\alpha, y(b)=\beta\end{cases}$$其中$p(x)$和$q(x)$是区间$[a,b]$上的已知函数，$f(x)$是右侧的已知函数，$\alpha$和$\beta$是区间两端点的给定值。

边值问题可以进一步分类为两类：线性边界值问题和非线性边界值问题。

前者是指微分方程是线性的，后者是指微分方程是非线性的。

常微分方程边值问题解法
常微分方程边值问题解法：
常微分方程边值问题是指在一定区间内，给定一个微分方程的初始条件和边界条件，求解微分方程的解在这个区间内满足这些条件的问题。

常见的边值问题有两种类型：Dirichlet边界条件和Neumann边界条件。

解决常微分方程边值问题的方法有很多种，下面介绍其中两种常用的方法：
1. 有限差分法：
有限差分法是利用差分近似替代微分，将微分方程转化为一组代数方程。

首先将区间离散化，将连续的函数转化为离散的数值，然后利用中心差分、前向差分或后向差分的方法，将微分方程变为代数方程组，最后利用线性代数的方法求解这个方程组。

2. 有限元法：
有限元法是将区间划分为若干个小的子区间，将微分方程转化为一组局部的代数方程组，然后将这些方程组组合成整个问题的全局方程组。

有限元法可以适用于更加复杂的边值问题，但是需要更多的计算量和更高的数学水平。

总之，常微分方程边值问题的解法有很多种，需要根据具体情况选择不同的方法。

非线性常微分方程边值问题的求解作者：张孟来源：《课程教育研究》2017年第29期【摘要】本文研究了一类非线性常微分方程边值问题的求解，由于常微分方程与实际应用问题联系密切，文中结合了一种特定的物理现象，以此为背景建立运动微分方程，然后给出了三类边界条件，最后对有限变形问题进行求解，得到了其非平凡解。

【关键词】非线性常微分方程边值求解【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）29-0133-02一、运动微分方程的导出首先引入Lagrange空间和Euler空间，前者代表物体变形前占有的空间，后者表示物体变形后占有的空间。

物体在Lagrange空间中所占的区域被称为初始构型，记为Ω0，物体在Euler 空间中所占的区域被称为现时构形，记为Ω。

对于连续介质中任意给定的物质点，它在初始构型中的物质坐标（X1，X2，X3）是确定不变的，它在现时构形中的位置坐标（x1，x2，x3）随着变形的不同而不同。

x=x（X，t）X=X（x，t）由运动方程（1）和（2），可得dx=FdX，dX=F■dx方程（3）也可表示为：dxk=xk，KdXK方程（3）中F是式（1）的雅克比矩阵，被称为变形梯度张量，是一个二阶张量，并且有：F=■或者F■=■=xk，K对F进行分解，可以得到F的如下所示极分解表达式：F=RU=VR其中，R是一个正交张量；U和V表示的是伸长部分，它们是对称正定张量，有相同的特征值。

由（6）式可以推出C=U■=F■F，B=V■=FF■其中，C称为右柯西-格林变形张量或者Green变形张量，B被称为左柯西-格林变形张量或Finger变形张量。

两个变形张量具有三个相同的主不变量：I■=trC=trB=λ■■+λ■■+λ■■，I■=λ■■λ■■+λ■■λ■■+λ■■λ■■，I■=λ■■λ■■λ■■变形后的线元dx、面元da和体元dv分别为dx=FdX，dxk=Xk，KdXK，da=JF■dA，da■=JX■dA■，dv=JdV.其中，J=det|F|。

二阶非线性常微分方程组边值问题的正解
刘健;封汉颍
【期刊名称】《军械工程学院学报》
【年(卷),期】2014(000)003
【摘要】研究一类二阶常微分方程组两点边值问题，利用Krasnoselskii’s不动
点定理，得到当f和g 满足超线性或次线性时边值问题一个正解存在的充分条件。

【总页数】4页(P75-78)
【作者】刘健;封汉颍
【作者单位】军械工程学院基础部，河北石家庄 050003;军械工程学院基础部，
河北石家庄 050003
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.二阶非线性常微分方程组正解及多个正解的存在性 [J], 白定勇
2.二阶非线性常微分方程组周期边值问题的正解 [J], 刘健;封汉颍
3.二阶非线性常微分方程组边值问题的正解 [J], 杨志林
4.二阶非线性常微分方程组耦合系统的奇异边值问题正解的存在性 [J], 田家财;范进军
5.二阶非线性常微分方程组两点边值问题的正解 [J], 谢胜利
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

非线性方程和常微分方程的解法非线性方程和常微分方程的解法实验8 非线性方程和常微分方程的解法一、实验目的学会用MATLAB软件求解非线性方程和常微分方程。

二、实验内容与要求1. 非线性方程的整值解（1）最小二乘法格式：fsolve（’fun’,x0）%求方程fun=0在估计值x附近的近似解。

[例1.72] 求方程x e 0的解。

fc=inline(‘x-exp(-x)’);xl=fsolve(fc,0)xl=0.5671问题1.28：求解方程5xsinx-e 0,观察知有多解，如何求之？先用命令fplot（’5__^2*sin(x)-exp(-x),0]’,[0,10]）作图1.13，注意5__^2*sin(x)-exp(-x),0]中的“[ ，0]”是作y=0直线，即x轴。

方程在[0，10]区间从图中可看出有4个解，分别在0，3，6，9附近，所以用命令：fun=inline(’5__^2*sin(x)-exp(-x)’);fsolve(fun,[0,3,6,9],le-6)得出结果：ans=0.5918 3.1407 6.2832 9.4248【例1.73】求解方程组x-0.7sinx-0.2cosy=0 2-x-xy 0.7cosx 0.2siny 0先编制函数文件fu.m:function y=fu (x)y (1)=x (1) - 0.7*sin ( x (1) ) - 0.2*cos( x (2) ) ;y (2)=x (1) - 0.7*cos (x (1) ) + 0.2*sin (x (2) );y =[ y(1), y(2) ];在命令窗口调用fu运算：x1 =fsolve( ‘fu’, [0.5,0.5 ])x1 =0.5265 0.5079(2) 零点法格式：fzero('fun',x0) %求函数fun在x0附近的零点。

说明：估计值x0若为标量时，则在x0附近查找零点，x0=[x1,x2]向量时，则首先要求函数值fun(x1)fun(x2) 0，然后将严格在[x1,x2]区间内零点，若找不到，系统将给出提示。