带p-Laplacian算子的三阶微分方程边值问题正解的存在性

一类三阶P-Laplacian算子边值问题正解的存在性
陈顺清
【期刊名称】《四川文理学院学报》
【年(卷),期】2008(18)2
【摘要】利用Krasnosel'skii不动点定理研究了一类三阶P-Laplacian算子边值问题正解的存在性,得到了几个新的结果.
【总页数】4页(P5-7,74)
【作者】陈顺清
【作者单位】四川文理学院,数学与财经系,四川,达州,635000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.一类p-Laplacian奇异型方程组三阶三点边值问题正解的存在性 [J], 刘勤凤;肖建中;仓曰华
2.带p-Laplacian算子积分边界条件三阶边值问题正解的存在性 [J], 倪黎;茹凯;韦煜明
3.带p-Laplacian算子的三阶微分方程边值问题正解的存在性 [J], 郭彦平;李春景;韩迎迎
4.一类带p-Laplacian算子的三阶三点边值问题的正解 [J], 孙琳;顾长超
5.三阶带p-Laplacian算子边值问题正解的存在性 [J], 李永娜
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具p-Laplace算子边值问题正解的存在性边值问题是非线性微分方程理论中一个活跃而丰硕的研究领域,在物理、生物、医学、天文、经济等领域中有着广泛的应用。

人们发现,许多问题往往只有弄清了解的性质,特别是正解的存在性时,才能将理论应用到实际。

因此,边值问题正解存在性的研究逐渐成为研究热点。

在非线性泛函分析理论及实际问题的推动下,对微分方程边值问题正解的存在性的研究形成了许多新的研究方向,如奇异边值问题、多点边值问题、具p-Laplace算子边值问题等。

现实世界中,受数据采集、研究内容等问题的限制,得到的模型大多是离散的,如著名的种群模型、Volterra-Lotka捕食食饵模型等。

近几十年来,差分方程的边值问题也受到越来越多人的关注。

时间尺度上动力系统的研究,把连续与离散系统统一了起来。

更重要的是,时间尺度上动力方程的一般性和复杂性,大大丰富了动力系统的内容,它不仅为我们的研究提供了新的强有力的理论工具,而且使我们能够更清楚地理解连续与离散系统以及其它复杂系统中的本质问题。

本文主要研究时间尺度上几类动力方程边值问题正解的存在性,并给出了一些新的存在性定理。

论文由四章组成,主要讨论了具p-Laplace算子动力方程多点边值问题正解的存在性,具p-Laplace算子Sturm-Liouville型动力方程边值问题正解的存在性,一类分数阶微分方程边值问题正解的存在性,一类偶数阶中立型差分方程最终有界正解的存在性及一类非线性泛函微分方程的振动性。

第一章简述了问题产生的历史背景,前人的经典结果和本文的主要工作,并给出了本文用到的一些基本定义和引理。

第二章研究了一类时间尺度上动力方程的多点边值问题。

第一节利用Guo-Krasnosel’skii不动点定理得到问题至少存在一个正解的若干充分条件。

第二节利用Avery的新不动点定理(Avery-Henderson不动点定理)给出问题至少存在两个正解的若干充分条件。

一维奇异p-Laplacian三点边值问题正解的存在性白杰;祖力【摘要】利用非线性Leray-Schauder抉择定理和锥不动点定理,在假设条件下证明一维非线性奇异p-Laplacian三点边值问题解的存在性.结果表明,在区间(O,1]上至少存在一个正解.%By means of nonlinear Leray-Schauder alternative theorem and fixed point theorem in cones, thernauthors proved the existence of the solutions for one-dimensional singular p-Laplacian three-point boundaryrnvalue problems under assumptive conditions. There is at least one positive value in the interval from zero tornone.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2012(050)004【总页数】7页(P621-627)【关键词】Leray-Schauder抉择定理;锥不动点定理;奇异边值问题;正解的存在性【作者】白杰;祖力【作者单位】东北师范大学人文学院信息技术学院,长春130117;长春大学理学院,长春130022;东北师范大学数学与统计学院,长春130024【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言关于一维p-Laplacian边值问题的研究目前已有许多结果[1-10]. 翁世有等[8]利用Schauder不动点原理和非线性Leray-Schauder抉择定理建立了一维p-Laplacian奇异边值问题解的一些存在性原则; Agarwal等[11-12]利用Leray-Schauder抉择定理得到了p=2时正解的存在性.考虑如下奇异边值问题:(1)其中: Φ(s)=s; p>1; q(t)在t=0处有奇性; 非线性项f可能在u=0 处有奇性. 本文应用文献[11-12]的方法, 证明p>1时问题(1)存在正解.1 预备知识假设：(H1) q(t): (0,1)→(0,∞)连续, 并且存在0≤α<p-1, 使得tαq(t)dt<∞成立;(H2) f(u)=g(u)+h(u), 其中: g>0在(0,∞)上连续且单调不增; h≥0在[0,∞)上连续; 且h/g在(0,∞)上单调不减;(H3) 存在一个常数r>0, 使得(2)成立, 其中Φ-1(u) ∶=sgn u是Φ(u)的反函数.例如, 当α∈(a-1,p-1)∩[0,p-1)时, 函数q(t)=t-a(0<t<1, 0≤a<p)满足条件(H1). 注1 容易验证条件(H1)表明若函数u(t)满足下列条件, 则u(t)是问题(1)的一个正解:1) u∈C[0,1]∩C1(0,1];2) 对任意的t∈(0,1], 有u(t)>0, 并且u(0)=0, u(1)=u(ξ), 0<ξ<1;3) Φ(u′(t))在(0,1)上一致绝对连续, 且(Φ(u′))′+q(t)f(u(t))=0, 0<t<1.定义1[13] 设X为实Banach空间, K是X中的闭凸子集, 若K满足下列条件, 则称K是X中的闭锥(简称锥):1) 若x∈K, λ≥0, 则λx∈K;2) 若x∈K, -x∈K, 则x=0.引理1(非线性Leray-Schauder抉择定理)[14] 假设K为Banach空间E的一个凸集, Ω为K的一个相对开子集, 0∈Ω, 映射为一个紧算子, 则下列条件必有一个成立:1) A在上有一个不动点;2) 存在x∈∂Ω和0<λ<1, 使得x=λA(x).定义C[0,1]中锥K为: K ∶={u∈C[0,1]: u(t)是非负的凹函数}.引理2 令h(t): (0,1)→(0,∞)连续, 且存在0≤α<p-1, 使得tαh(t)dt<∞, 则(3)存在唯一的正解V∈C[0,1]∩C1(0,1].证明：先证解的存在性.当0<t≤1时, 设显然, 由注1知, y(t)在(0,1]上连续严格增, 且y(ξ)<0<y(1). 因此, y(t)在(0,1)上只有一个零点. 令σ是y(t)在(0,1)上的唯一零点. 则令(4)则V在(0,1]上有定义, 且在(0,1]上V(t)>0. 进一步, 有(5)由(H2)知, 对0<t≤σ, 有则V(0)=0.类似可得V(1)=V(ξ). 因此, V(t)在[0,1]上连续, 且V(0)=0, V(1)=V(ξ); [Φ(V′(t))]′=-h(t), t∈(0,1).由比较原理易证唯一性. 证毕.令n≥4是一个固定的自然数. 对每个u∈K, 考虑如下问题:(6)其中F(u)=g*(u)+h(u), 满足注2 g*(u)≤g(u), ∀u∈(0,∞).由引理2, 可得:引理3 对每个固定的u∈K, 边值问题(6)存在唯一的解:w(t)=(Ψu)(t), w∈K,其中(7)σu∈(0,1)为如下方程在0≤τ≤1时的唯一解:对u∈K, 由w和Ψ的定义知:1)2) 在(0,1)中, (Φ(w′(t)))′=-q(t)F(u(t)), 且w(0)=1/n, w(1)=w(ξ);3) w=Ψu∈K, ‖w‖=w(σu).表明w(t)是问题(6)的一个解, 且为定义在[0,1]上的凹函数.类似文献[7]中引理2.6～引理2.9的证明方法, 可得下列引理.引理4 令wi(t)是F=Fi(i=1,2)时问题(6)的一个解. 如果F1≤F2, 则w1(t)≤w2(t).引理5 设[a,1]⊂(0,1]是一紧区间, 且令w(t)是F(u)≤M时问题(6)的一个解, 则w′(t)≤C(a,M), a≤t≤1.其中: M是一个正常数; C(a,M)是一个与a,M有关的正常数.注3 设w(t)是F(u)≤M时问题(6)的一个解, 则w(t)≤1/n+VM(t), 即(Ψu)(t)≤1/n+VM(t).注4 设w(t)是F(u)≥m时问题(6)的一个解, 则w(t)≥1/n+Vm(t), 即(Ψu)(t)≥1/n+Vm(t).引理6 对任意有界闭子集Ω⊂K, 集合Ψ(Ω)在[0,1]上等度连续.引理7 对任意的有界闭子集Ω⊂K, 映射Ψ: Ω→K是连续的.综合引理3～引理7, 可得:引理8 Ψ: K→K是全连续的.2 主要结果定理1 假设条件(H1)～(H3)成立, 则在区间(0,1]上, 系统(1)至少存在一个解u∈C[0,1]∩C1(0,1], 满足u>0, 且‖u‖<r.证明: 先用引理1证明解的存在性. 选择ε>0, 且ε<r, 使得(9)选择n0∈{1,2,…}, 使得1/n0<ε. 令N+={n0,n0+1,…}.下面证明边值问题:(10)在(0,1]上有一个解: 且‖un‖<r.∀n∈N+, 为证式(10)有一个解, 需考虑如下边值问题:(11)其中F的定义见式(6).固定n∈N+. 定义为式(7), 式(7)中σu∈(0,1)为如下方程的唯一解:由引理8, 可得是全连续的.下面证明u≠λΨu, λ∈(0,1), u∈∂Ωr.(12)假设式(12)不成立, 即存在一个λ∈(0,1)和u∈∂Ωr, 使得u=λΨu, 则有(13)显然存在σn∈(0,1), 使得在(0,σn)上, u′(t)≥0; 在(σn,1)上, u′(t)≤0, 且u(σn)=‖u‖=r. 再注意到F(u(t))≤g(u(t))+h(u(t)), t∈(0,1),则当z∈(0,1)时,(14)对式(14)从t(0<t≤σn)到σn积分, 得(15)则有(16)再从0到σn积分得(17)即(18)因此(19)这与条件(9)矛盾, 于是式(12)成立.由引理1可知Ψ有一个不动点即1/n≤‖un‖≤r(注意到, 如果‖un‖=r, 则与式(14)～(19)的证明同理可得矛盾). 因为un≥1/n, 所以un(t)也是问题(10)的一个解. 由(H2), 当r>0时,g(un(t))≥g(r), f(un)=h(un)+g(un)≥g(r).则由注4, 可得(20)注5 注意到在区间(0,1]上, Vg(r)(t)>0, 则un(t)>0, t∈(0,1].下面证明{un}n∈N+在[0,1]上一致有界且等度连续. 由式(14)(用un代替u), 可得(21)因为在[0,1]上, un(t)≥1/n, 则在(0,σn)上存在σn∈(0,1), 使得而在(σn,1)上, 且un(σn)=‖un‖≤r.对式(21)从t(0<t<σn)到σn积分得(22)下面证明存在a0>0, 使得a0<inf{σn: n∈N+}≤1.(23)如果式(23)不成立, 则存在N+的子列S, 使得当S中的n→∞时, σn→ 0. 对式(22)从0到σn积分得(24)其中n∈S. 因为当n→∞时, σn→ 0, 则由式(24)可得, 当n→∞时, un(σn)→ 0. 又因为un在[0,1]上σn处取得最大值, 所以当n→∞时, C[0,1]中的函数un→ 0. 这与式(20)矛盾. 表明(25)其中W(t)=q(z)dz. 由注2知, Φ-1(W)∈L1[0,1].对式(21)从σn(σn<t<1)到t积分得当σn≤t≤1时, 有(26)则式(25),(26)表明, 当t∈(0,1)时,(27)定义I: [0,∞)→[0,∞)为I(z) 注意到I: [0,∞)→[0,∞)是单调增的映射, 且I(∞)=∞, 这是因为g(u)>0在(0,∞)上单调不减, 且对任意的B>0, I在[0,B]上连续.{I(un)}n∈N+在[0,1]上一致有界且等度连续, 其等度连续性可从下式得到(这里t,s∈[0,1]):由不等式(28)、 I-1的一致连续性及un(t)-un(s)=I-1(I(un(t)))-I(un(s))可知{un}n∈N+在[0,1]上一致有界且等度连续.由Arzela-Ascoli定理, N+存在一个子列N⊂N+, 使得当n∈N, n→∞时, 存在u∈C[0,1], 使得un在[0,1]上一致收敛于u. 则由式(20)知, 在[0,1]上,un(t)≥Vg(r)(t). 特别地, 在(0,1]上, u(t)>0.固定t∈(0,1], 有(29)由式(26), 有则有一个收敛子列; 为方便, 仍用表示该子列, 并且令r0∈R表示其极限. 则对上面固定的t∈(0,1], 在N上, 令n→∞(注意到q f在紧子区间[t,1]×(0,r]上一致连续)得(30)t取遍(0,1]可得因此r0=u′(1), 从而有(Φ(u′))′+q(t)f(u(t))=0, 0<t<1, u(0)=u(1)-u(ξ)=0.最后易证‖u‖<r(注意到如果‖u‖=r, 与式(14)～(19)的证明同理可推出矛盾). 从而证明了问题(1)至少有一个正解u(t)∈C[0,1]∩C1(0,1], 且‖u‖<r. 证毕.3 应用实例考虑奇异边值问题:(31)其中: 0≤m<p; σ>0; α>0; β>p-1.设则b0=σ1/(p-1)b1.应用定理1可知, 如果存在r>0满足(32)则问题(31)存在一个正解.设则选择r=x0, 则式(32)成立. 显然, 定理1中的(H1)～(H3)成立. 因此, 问题(31)存在一个解u∈C[0,1]∩C1(0,1], 使得在(0,1]上, u>0且‖u‖<r=x0.参考文献【相关文献】[1] XU Xian. Multiplicity Results for Positive Solutions of Some Semi-position Three-Point Boundary Value Problems [J]. J Math Anal Appl, 2004, 291(2): 673-689.[2] SUN Jing-xian, XU Xian, O’Regan D. Nodal Solutions for m-Point Boundary Value Problems Using Bifurcation Methods [J]. Nonlinear Anal: Theory, Method & Applications, 2008, 68(10): 3034-3046.[3] Gupta C P. Existence and Uniqueness Theorems for the Bending of an Elastic Beam Equations [J]. Appl Anal, 1988, 26(4): 289-304.[4] Gupta C P. Solvability of a Three-Point Nonlinear Boundary Value Problem for a Second Order Ordinary Differential Equation [J]. J Math Anal Appl, 1992, 168(2): 540-551.[5] KONG Ling-bin, WANG Jun-yu. Multiple Positive Solutions for the One-Dimensional p-Laplacian [J]. Nonlinear Anal: Theory, Method & Applications, 2000, 42(8): 1327-1333. [6] Agarwal R P, O’Regan D. Twin Solutions to Sin gular Dirichlet Problems [J]. J Math Anal Appl, 1999, 240(2): 433-445.[7] JIANG Da-qing, XU Xiao-jie. Multiple Positive Solutions to a Class of Singular Boundary Value Problems for the One-Dimensional p-Laplacian [J]. Comput Math Appl, 2004,47(4/5): 667-681.[8] WENG Shi-you, GAO Hai-yin, ZHANG Xiao-ying, et al. Existence Principles for Singular Boundary Value Prolems of One Dimension p-Laplacian [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2006, 44(3): 351-356. (翁世有, 高海音, 张晓颖, 等. 一维p-Laplacian奇异边值问题的存在性原则 [J]. 吉林大学学报: 理学版, 2006, 44(3): 351-356.)[9] YUAN Cheng-jun, WEN Xiang-dan, MENG Qing-yuan. Existence and Uniqueness of Positive Solutions of Fourth-Order Nonlinear Singular Discrete Boundary Value Problems with p-Lapacian Operator [J]. Journal of Northeast Normal University: Natural Science Edition, 2010, 42(1): 5-9. (苑成军, 文香丹, 孟庆元. 奇异四阶p-Lapacian差分方程边值正解的存在唯一性 [J]. 东北师大学报: 自然科学版, 2010, 42(1): 5-9.)[10] YUAN Cheng-jun, WEN Xiang-dan. Existence and Uniqueness of Positive Solutions for Fourth-Order Nonlinear Singular Continuous Boundary Value Problems with p-Lapacian Operator [J]. Journal of Natural Science of Heilongjiang University, 2009, 26(2): 190-193. (苑成军, 文香丹. 奇异四阶p-Lapacian微分方程边值正解的存在惟一性 [J]. 黑龙江大学自然科学学报， 2009, 26(2): 190-193.)[11] Agarwal R P, O’Regan D. Existence Theory for Single and Multiple Solutions to Singular Positone Boundary Value Problems [J]. J Differential Equations, 2001, 175(2): 393-414.[12] Agarwal R P, O’Regan D. Twin Solutions to Singular Boundary Value Problems [J]. Proc Amer Math Soc, 2000, 128: 2085-2094.[13] 钟承奎, 范先令, 陈文源. 非线性泛函分析引论 [M]. 兰州: 兰州大学出版社, 1998.[14] Agarwal R P, O’Regan D. Nonlinear Superlinear Singular and Nonsingular Second Order Boundary Value Problems [J]. J Differential Equations, 1998, 143(1): 60-95.。

带p-Laplacian算子的三阶三点边值问题的三个正解（英文）谭惠轩;封汉颍;冯杏芳;杜亚涛【期刊名称】《数学季刊：英文版》【年(卷),期】2015(0)1【摘要】In this paper, we consider the three-point boundary value problem(op(u′′(t)))′+a(t)f(t, u(t), u′(t), u′′(t)) = 0, t ∈ [0, 1] subject to the boundary conditions u(0) =βu′(0), u′(1) = αu′(η), u′′(0) = 0, where op(s) =|s|p-2s with p > 1, 0 < α, η < 1and 0 ≤β < 1. Applying a fixed point theorem due to Avery and Peterson, we study the existence of at leastthree positive solutions to the above boundary value problem.【总页数】11页(P55-65)【关键词】third-order three-point boundary value problem;positive solution;fixed point theorem【作者】谭惠轩;封汉颍;冯杏芳;杜亚涛【作者单位】Department of Mathematics, Mechanical Engineering College 【正文语种】中文【中图分类】O175.8【相关文献】1.带p-Laplacian算子积分边界条件三阶边值问题正解的存在性 [J], 倪黎;茹凯;韦煜明2.带p-Laplacian算子的三阶微分方程边值问题正解的存在性 [J], 郭彦平;李春景;韩迎迎3.一类带p-Laplacian算子的三阶三点边值问题的正解 [J], 孙琳;顾长超4.时标上带p-Laplacian算子的二阶微分方程三点边值问题正解的存在性 [J], 张妍;范进军;范红梅5.三阶带p-Laplacian算子边值问题正解的存在性 [J], 李永娜因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

具P-Laplacian的三阶边值问题正解的存在性王峰;贾宝瑞;官飞【摘要】利用Guo-Krasnoselskii不动点定理,讨论了一类具P-Laplacian的边值问题正解的存在性,得到一些充分条件,扩充了以往文献的结果.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(028)002【总页数】5页(P125-129)【关键词】P-Laplacian;BVP;Guo-krasnoselskii不动点定理【作者】王峰;贾宝瑞;官飞【作者单位】安徽大学数学科学学院,合肥230039;安徽大学数学科学学院,合肥230039;安徽大学数学科学学院,合肥230039【正文语种】中文【中图分类】O175.8考虑如下BVP:正解的存在性.其中:具P-Laplacian算子的微分方程的边值问题在诸多领域如非牛顿力学、弹性理论等中有广泛的应用.近年来，许多学者对此类BVP正解的存在性与多重性做了一系列的研究，并取得了一些成果，参见文献［1－6］.文献［2］中，作者借助Guo-krasnoselskii不动点定理及Avery-Peterson不动点定理研究了BVP:至少一个、两个或三个正解的存在性.文献［3］与文献［4］中，作者利用Avery-Peterson不动点定理分别研究了:在多点边界条件:下多重正解的存在性.文献［5］中，在方程（3）自治的情况下研究了其在边界条件:下三个正解的存在性.显然，上述文献及相关文献中讨论的往往是二阶情况，而对三阶的情况文献还比较少，尤其是对于方程（1）中允许a（t），f（t，u，v）在t=0，t=1及u=0处奇异的情况还未有涉及.此处就是利用Guo-Krasnoselskii不动点定理讨论了式（1）（2）在上述情况下正解的存在性问题.文中总假设以下条件成立:1 预备知识定义1 设E是一个实Banach空间，如果P是E中某个非空凸闭子集，并且满足下面两个条件:（1）若x∈P，λ≥0，则λx∈P;（2）x∈P，－x∈P，则 x=0.则称P 是 E 中的一个锥.定理1 设X是一个Banach空间，P⊂X是一个锥.假设Ω1，Ω2是X中的两个有界开集，且是全连续算子，使得（i）‖Tu‖≤‖u‖，u∈K∩∂Ω1，‖Tu‖≥‖u‖，u∈K∩∂Ω2或（ii）‖Tu‖≥‖u‖，u∈K∩∂Ω1，‖Tu‖≤‖u‖，u∈K∩∂Ω2，则 T 在中至少有一个不动点.2 基本引理令Ε=C1（0，1），定义范数，则Ε按上述范数构成Banach空间.在Ε上定义锥Ρ={u（t）:u（t）≥0，u（t）在（0，1）上是凹的}.引理1 设u∈Ρ，且满足式（2），则存在常数γ＞0，使得引理 2 在条件（Η1）下，若 h（t）∈L1［0，1］，则 BVP:有唯一解其中:易知Ρ（t）为t的函数，q（s）为s的函数.引理3 设条件（Η1）－（Η3）成立，则u（t）∈C［0，1］∩C3（0，1）是式（1）（2）的一个解，当且仅当u（t）∈Ε是积分方程:的一个解.以上三个引理的证明从略.对任意u∈Ρ，定义算子Τ:Ρ→Ε引理4 设条件（Η1）－（Η3）满足，则Τ:Ρ→Ρ是一个全连续算子.证明对∀u∈Ρ，由条件（Η1）－（Η3）及式（8）可知Τu∈Ε，（Τu）（t）≥0，t∈［0，1］，且经过计算可知（Τu）″（t）≤0，故Τu在区间［0，1］上是凹函数，故Τ（Ρ）⊂Ρ.下证算子Τ:Ρ→Ρ是一个全连续算子.设D是Ρ的任一有界集，则∃Μ＞0，使得D⊂{u∈Ρ:u≤Μ}.则可取u，v），从而对∀u∈D，有:可知Τ（Ρ）是等度连续的，从而由Ascoli-Arzela定理可知Τ（Ρ）为列紧的.再由Lebesgue控制收敛定理知，Τ是连续的.因此Τ:Ρ→Ρ是全连续的.证毕.3 主要结论定理2 在条件（H1）－（H3）下，当f∞ ＞0，f0＜∞时，如果λ∈（a，b），那么式（1）（2）至少存在一个正解，其中:证明（I）由λ∈（a，b）可知，∃ε ＞0，使得aε≤λ≤bε，其中从而根据Guo-Krasnoselskii不动点定理，Τ至少存在一个不动点u*∈Ρ∩（\Ω1），且据（Τu*）″（t）≤0及定义的Ρ，Ω1，Ω2可知，u*（t）是式（1）（2）的一个正解.证毕参考文献:【相关文献】［1］SUN B，GE W G.Existence and iteration of positive solutions for some p-Laplacian boundary value problems［J］.Nonlinear Analysis，2007（67）:1820-1830［2］WANG Z F，ZHANG J H.Positive solutions for one-dimensional p-Laplacianboundary valve problems with dependence on the first order derivative［J］.J Math Anal Appl，2006（314）:618-630［3］JI D H，GE W G.Multiple positive solutions for some p-Laplacian boundary valve problems［J］.Appl Math Compu，2007（187）:1315-1325［4］WANG Y Y，GE W G.Multiple positive solutions for multipoint boundary valve problems with one-dimensional p-Laplacian［J］.J Math Anal Appl，2007（327）:1381-1395［5］LI X F.Multiple positive solutions for some four-point boundary valve problems with P-Laplacian［J］.Appl Math Compu，2008（202）:413-426［6］郭大钧.非线性泛函分析［M］.济南:山东科学技术出版社，2001。

具P-Laplacian算子微分方程边值问题正解存在性的研究
非线性边值问题来源于应用数学和物理的多个方面,是非线性分析研究中最为活跃的领域之一.在应用数学和工程学,尤其在气体力学和生化方面都有重要的作用.从而研究非线性微分方程边值问题正解的存在性变得非常重要.本文研究带P-Lnplacian算子和分数阶微分方程边值问题正解的存在性,因方程中边值条件不同以及非线性项在某些点奇异,使研究中采用的方法也不同,本文主要利用不动点定理和不动点指数理论给出了边值问题正解存在性的充分条件。

本文的组织结构如下：第一章绪论主要介绍本文所研究问题的历史背景和有关研究动态,以及本文所获得的主要结果。

第二章利用Leggett-Willams不动点定理研究了一类具有P-Laplacian算子的边值问题,得到了三个正解存在性的一组充分条件。

第三章主要利用不动点指数定理,在较弱条件下讨论了一类四阶P-Laplacian方程奇异边值问题正解的存在性,得到了这类边值问题至少存在两个正解的充分条件。

并给出一个实例说明结果是可行的。

第四章主要利用不动点指数理论,讨论了一类四阶P-Laplacian方程三点奇异边值问题正解的存在性,得到了这类边值问题存在一个或两个正解的充分条件。

第五章主要利用Banach空间上不动点定理,在较弱条件下证明了一类三阶
P-Laplacian耦合边值问题至少存在一个正解的结果。

第六章构建了一格林函数,采用新的分析方法即利用锥拉伸锥压缩不动点定理和Leggett-Williarns不动点定理,研究了分数阶微分方程,在较弱的条件下得到该问题一个以及多个正解的存在性,使原有结果得到进一步改进,并给出了一个实例。