具有吸附和非线性边值条件的p-laplace方程

变指数Sobolev空间在椭圆型微分方程中的应用随着自然科学和工程技术中许多非线性问题的不断出现, Sobolev空间表现出了其应用范围的局限性.例如,对一类具有变指数增长性条件的非线性问题的研究.具有变指数增长性条件的非线性问题是一个新兴的研究课题.在对这类非线性问题进行研究时,变指数Lebesgue空间及Sobolev空间发挥着重要的作用.在本文中,我们主要以变指数Sobolev空间W1,p(x)(?)为背景,研究了一类具变分结构的椭圆型p(x)-Laplace方程(组)及半变分不等式,其中? ? RN.由于指数p(x)为函数, p(x)-Laplace算子较之p-Laplace具有更为复杂的非线性性.例如, p(x)-Laplace算子是非齐次的.这就使得在常指数情形下使用的研究方法对于变指数情形不再适用.在本文中,我们先在较为宽松的增长条件下对能量泛函的性质进行了讨论,然后结合变分的方法研究了此类p(x)-Laplace非线性问题的解.本文的主要内容如下:1.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace方程弱解的研究.首先,我们通过求与p(x)-Laplace方程相关的能量泛函φ的全球极小值点,得到了φ的一个非平凡临界点u0∈W1,p(x)(RN),从而得到了方程在RN上非平凡弱解的存在性.然后,基于一类对称的山路定理,我们得到了泛函φ的一列能量值趋于无穷的临界点{un} ? W1,p(x)(RN),进而得到了方程在RN上弱解的多重性.最后,通过上下解的方法,我们在有界域?上得到了方程弱解的一个分支结果.2.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace方程组弱解的研究.我们主要基于一类强不定泛函的临界点定理,得到了与方程组相关的能量泛函I的一列能量值趋于无穷的临界点{(un, vn)} ? W01 ,p(x)(?)×W01 ,p(x)(?),进而得到了此方程组Dirichlet边值问题在有界域?上弱解的多重性.3.对一类具有临界指数的p(x)-Laplace方程弱解的研究.首先,推广了Sobolev空间上的一类集中紧致性原理,我们在变指数Sobolev空间W1,p(x)(RN)上建立了集中紧致性原理.然后基于此集中紧致性原理,并结合对称的山路定理,我们得到了泛函φ的一列径向对称且能量值趋于无穷的临界点{un} ? W1,p(x)(RN),从而得到了方程在RN上弱解的多重性.4.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace半变分不等式的研究.在这部分中,主要基于一类不可微泛函的临界点理论,我们对与半变分问题相关的局部Lipschitz连续泛函φ的临界点进行了研究.进而分别在?为RN的有界及无界域的情况下,证明了此不等式至少有一个非平凡的解u0∈W01 ,p(x)(?).本文所得的结论是相应的p-Laplace问题结论的推广.另外,从本文结论的证明过程中,我们也可以看出具变指数增长性条件的非线性问题与常指数情况的不同.。

硕士学位论文（高校教师）p-Laplace方程解的存在性 )(xEXISTENCE OF SOLUTIONS OF )p-LAPLACE EQUATION(x房维维哈尔滨工业大学2009年6月中图分类号:O175.2 学校代码：10213 UDC：517.9 密级：公开理学硕士学位论文（高校教师）(xp-Laplace方程解的存在性)硕士研究生: 房维维导 师: 付永强教授申 请 学 位: 理学硕士学 科: 基础数学所 在 单 位: 哈尔滨师范大学阿城学院答 辩 日 期: 2009年6月授予学位单位: 哈尔滨工业大学Classified Index: O175.2U.D.C: 517.9Dissertation for the Master Degree in ScienceEXISTENCE OF SOLUTIONS OFp-LAPLACE EQUATION(x)Candidate:Weiwei FangSupervisor:Prof. Yongqiang FuAcademic Degree Applied for:Master of ScienceSpecialty:Fundamental Mathematics Affiliation: Harbin Normal University AchengCollegeDate of Defence:June, 2009Degree-Conferring-Institution:Harbin Institute of Technology摘要对非标准增长条件的-Laplace 方程问题的研究是近年来发展起来的一个新的研究课题。

由于Laplace 方程和)(x p p -Laplace 方程的研究方法已经不再适用于-Laplace 方程， 所以目前对-Laplace 方程的研究只有很少的成果出现， 因此对这类问题的研究具有广泛的理论与实际意义。

对-Laplace 方程的研究， 有很多不同的方法。

一类p(x)-Laplace方程正解的存在性
张启虎
【期刊名称】《兰州大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2006(042)001
【摘要】考虑方程{-△p(x)u=f(u),u-0 x∈Ω,x∈aΩ正解的存在性,这里-△p(x)u=-div(|△u|p(x)-2△u),p(x)∈C1(RN)是径向对称的,Ω=B(0,R)∩ RN是有界径向对称区域,其中R是充分大的正数.当u→+∞lim f(u)up--1=0时,证明了方程正解的存在性,而且未对f(0)的符号做任何限制.
【总页数】3页(P89-91)
【作者】张启虎
【作者单位】徐州师范大学数学系,江苏,徐州,221116
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类带有梯度的p(x)-Laplace方程正解的存在性 [J], 赵凯芳;刘辉昭;丁纺
2.一类带临界非线性项的p-Laplace方程正解的存在性 [J], 李新英;罗蔚;周树清
3.一类具有非线性边界条件的发展型p-Laplace 方程组正解的爆破性及整体存在性 [J], 吴学凇;高文杰
4.一类一维奇异p-Laplace方程组边值问题正解的存在性 [J], 王芳;钟承奎;王彩勋
5.一类分数阶p-Laplace方程积分三点边值问题正解的存在性 [J], 汤小松;罗节英
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一类p—laplace方程边值问题解的存在性理解一类p-Laplace方程边值问题解的存在性：1. p—Laplace方程简介p—Laplace方程是一种常见的椭圆型偏微分方程，它在空间变换、热传导中也有广泛的应用。

它的解由p—Laplace方程决定：∂u/∂x+∂v/∂y=u^(p-2)f，其中p是大于等于1的任意常数，u，v是满足边界条件的函数，x，y是定义域内的坐标，f是常函数。

2. 一类p—Laplace方程边值问题的存在性一类p—Laplace方程的边值问题的存在性取决于其常数p的大小。

如果p大于1，那么该方程有唯一解；如果p小于1，那么该方程可能有无穷多解；如果p=1，则该方程常有唯一解，又有可能出现无穷多解。

3. p—Laplace方程边值问题解的存在性判定判定一类p—Laplace方程边值问题解的存在性，要仔细检查边界条件是否符合两个条件：（1）任意的边界函数都必须满足给定边界条件；（2）边界条件必须对所有满足方程组调和函数，如成反馈函数、空间变换函数等来施加有效制约。

缺一不可，边值问题解才能有存在性。

4. p＞1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p大于1时，p—Laplace方程边值问题解有唯一解。

这是因为二阶偏微分方程组只能有一个解， p大于1时，椭圆型经ene变换可以转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，二阶偏微分方程组必有唯一解，故这时候方程解有存在性。

5. p＜1时一类p-Laplace方程边值问题解的存在性当p小于1时，p—Laplace方程边值问题解可能有无穷多解。

这是因为当p＜1时，椭圆型经ene变换不能转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，任一条件的任何解，如满足给定的边界条件，都是经en变换回解法所得，因此这种情况下该方程解有无穷多解的存在性。

6. p=1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p等于1时，p—Laplace方程边值问题解存在性有两种情形：（1）如果边界条件符合两个条件（前面讲到），有唯一解；（2）另一种情形是，如果边界条件不完全符合两个条件，则可能出现无穷多解。

溶液的表面张力目的：测定正丁醇的表面张力。

理论：表面张力源于分子间的作用力，可定义为σ ＝ ⎝⎛⎭⎫∂G∂A T ，p。

表面张力的测定常用最大泡压法，其原理可如下公式表示πr 2Δp max ＝ 2πr σσ ＝ r 2Δp max ＝ r2ρg Δh max最大泡压法的优点是装置简单、不需要测定接触角。

表面张力与温度、压力及溶液浓度有关。

恒定温度下的表面张力与溶液浓度的关系称为表面张力等温线。

表面张力等温线可分为三类：溶质加入使溶液表面张力缓慢线性增加（I 类）或使表面张力非线性下降（II 、III 类，称为表面活性物质或表面活性剂）。

溶液-空气界面是极性不对称界面，空气是非极性介质，而水溶液是极性介质，因此对与具有不对称结构（有极性头和非极性长链构成）表面活性物质而言，溶液-空气界面是最合适的存身之所。

大量表面活性物质在表面的富集造成所谓的表面吸附现象（即表面浓度与本体浓度不一致）。

表面吸附量是温度和浓度的函数，温度一定时吸附量与浓度关系称为表面吸附等温线。

表面吸附等温线可用Gibbs 吸附公式Г ＝ －c RT ⎝⎛⎭⎫∂σ∂c T描述。

通过测定表面张力，绘制出表面张力等温线，再用镜面法做出表面张力等温线上给定点的切线，代入Gibbs 表面吸附公式后，计算出各点的表面吸附量，连接不同浓度时对应的吸附量即得表面吸附等温线。

步骤：①清洁试管和毛细管。

调节水浴。

②测定水的高度差。

③测定不同浓度时溶液的高度差。

计算:①计算298 K 时水的表面张力。

②绘制溶液的表面张力等温线。

③绘制表面吸附等温线。

参考实验数据：c /()mol•dm -3 0 0.006250.01250.0250.050.10.2 Δp max /cmH 2O 6.2 5.87 5.73 5.17 4.17 3.8 2.77参考数据处理：因为σ ＝ K Δp max ，所以K＝σΔp max ＝σH 2O Δp max ，c ＝0＝ 0.072 N/m 6.2 cm ＝ 1.16 N/m 2 σГc/()mol•dm-30 0.006250.01250.025 0.05 0.1 0.2 σ/()N•m-10.07198 0.068150.066530.060020.048410.04412 0.03216 用σ-c非线性拟合作图：非线性拟合的步骤：Гmol•m-2cmol•dm-3σ/()N•m-1c/()mol•dm-3点击Action-Fit，输入初始参数点击1 Iter，或10 Iter，直至P1、P2、P3不变为止σ/（m o l ·m -2）c /（mol ·dm -3）σ/(N •m -1)复制数据到数据表中，用Gibbs吸附公式计算出吸附量Γ/（m o l ·m -2）c /（mol ·dm -3）。

Laplace方程的基础概念Laplace方程是数学物理学中的一个重要概念，它是偏微分方程的一种。

Laplace方程的解法可以用来描述许多物理现象，比如流体力学、电磁学、热力学等等。

在本文中，我们将深入探讨Laplace方程的基础概念及其应用。

一、Laplace方程的定义Laplace方程是一个二阶偏微分方程，它的基本形式为：$$\nabla^2 u=0$$其中的$\nabla^2$表示Laplace算子，$u$表示待求解的未知函数。

Laplace方程的一个重要性质是它是一个线性方程，也就是说它可以进行叠加和组合。

二、Laplace方程的应用Laplace方程在流体力学中有着重要的应用。

在流体力学中，Laplace方程的解法可以用来描述流体在不同压力条件下的流动情况。

此外，在电磁学中，Laplace方程也是一个重要的概念。

在这里，Laplace方程的解法可以用来描述电荷分布和电势分布的关系。

Laplace方程还有许多其他的应用，比如在热力学中，它可以用来描述热分布的情况。

在生物学中，Laplace方程可以用来描述细胞和组织的生长情况。

在统计学中，Laplace方程可以用来描述随机变量的分布情况等等。

三、Laplace方程的解法Laplace方程的解法是一个过程。

首先要在解区域内给出边界条件，然后通过偏微分方程求解未知函数。

一般来说，Laplace方程的解法是利用泊松方程的解法来求解的，即把Laplace方程转化为泊松方程求解。

除此之外，还可以采用分离变量法、变分法、格林函数法等一系列方法来求解Laplace方程。

这些方法在不同的领域和问题中都有着广泛的应用。

四、总结Laplace方程是一个重要的概念，它是偏微分方程的一种。

Laplace方程的解法可以用来描述许多物理和数学问题，比如流体力学、电磁学、热力学等等。

Laplace方程的解法是一个过程，需要先对边界条件进行给定，然后通过求解偏微分方程来得到未知函数。

laplace方程稳态热方程概述及解释说明1. 引言1.1 概述在物理学和工程领域，Laplace方程和稳态热方程是两个重要的数学模型。

它们被广泛应用于描述许多实际问题的特征和性质，并提供了解决这些问题的有效方法。

本文将对Laplace方程和稳态热方程进行概述，并介绍它们的基本原理、特点与性质，以及常见的求解方法。

1.2 文章结构本文将按照以下结构来介绍Laplace方程和稳态热方程：首先，我们将概述Laplace方程，包括其理论基础、特点与性质以及应用领域；然后，我们将详细介绍Laplace方程的求解方法，包括分离变量法、奇异积分法和数值解法；接下来，我们将转而讨论稳态热方程，包括其模型介绍、特点与性质以及实际应用案例；最后，我们将详细介绍稳态热方程的求解方法，包括边界条件方法、迭代解法和有限差分法；最后一节是结论部分。

1.3 目的本文旨在为读者深入了解Laplace方程和稳态热方程提供一个清晰的概述和说明。

通过阅读本文，读者将能够了解这两个数学模型的基本原理、重要特点与性质，以及它们在实际问题中的应用。

此外，我们还将介绍几种常见的求解方法，帮助读者更好地理解和应用这些数学模型。

最后，结论部分将总结本文，并提供一些对未来研究的展望。

2. laplace方程概述:2.1 理论基础:Laplace方程是一个偏微分方程，它描述了没有源或汇的稳定状态下的场景。

该方程是由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯引入的，被广泛应用于物理学、工程学和数学领域。

Laplace方程可以用以下公式表示：∇²Φ= 0其中，∇²是拉普拉斯算子，Φ为待求解的标量场。

2.2 特点与性质:Laplace方程具有一些重要特点和性质。

首先，它是一个线性的二阶偏微分方程，很多常见的边界值问题可以通过Laplace方程进行描述和求解。

其次，Laplace 方程在空间中无处不在，它与调和函数紧密相关。

此外，在某些特殊情况下，Laplace方程可以简化为一维形式或二维平面形式。

第38卷 第6期西南师范大学学报(自然科学版)2013年6月V o l .38 N o .6 J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n )J u n .2013文章编号:10005471(2013)06002104关于p (x )-拉普拉斯非线性边值问题的正解①安 璐, 唐春雷西南大学数学与统计学院,重庆400715摘要:运用山路定理和极小作用原理得到了非线性边值条件问题-Δp (x )u +|u |p(x )-2u =λu α(x )-2u x ɪΩ|∇u |p(x )-2췍u 췍v=μu β(x )-2u x ɪ{췍Ω的两个正解.关 键 词:p (x )-拉普拉斯;非线性边值条件;正解;山路定理中图分类号:O 176.3文献标志码:A考虑下列非线性边值问题:-Δp (x )u +|u |p (x )-2u =λu α(x )-2u x ɪΩ|∇u |p (x )-2췍u 췍v =μuβ(x )-2u x ɪìîíïïï췍Ω(1)其中Ω是R n 上的光滑有界区域,p (x )ɪC (췍Ω),p (x )>1,x ɪ췍Ω且λ,μɪR .假设λ2+μ2ʂ0,这类型问题在其应用方面受到了广泛关注,椭圆方程中关于非线性边值条件的研究(比如拉普拉斯非线性边值条件[1-4]㊁非线性边值条件的椭圆系统[5-6]㊁p (x )-拉普拉斯非线性边值条件的不同类型[7-11])也引起了许多学者的关注.文献[12]研究了方程-Δp (x )u +|u |p (x )-2u =λf (x ,u ) x ɪΩ|∇u |p (x )-2췍u 췍v =μg (x ,u) x ɪìîíïïï췍Ω(2)给出了当f (x ,t )=|t |α(x )-2t ,g (x ,t )=|t |β(x )-2t 时的特殊情况,其中α->p +,β+<p -,且得到方程(2)有一序列弱解.文献[13]运用上下解的方法得到了存在λ*>0,使得当λ>λ*时,p (x )-拉普拉斯非线性边值条件方程-Δp (x )u +λ|u |p (x )-2u =f (x ,u ) x ɪΩ|∇u |p (x )-2췍u 췍v =g (x ,u ) x ɪìîíïïï췍Ω至少有两个正解.本文用极小作用原理和山路定理得到了方程(1)的两个正解.本文的主要结论为:①收稿日期:20120317基金项目:国家自然科学基金资助项目(11071198).作者简介:安 璐(1988),女,四川巴中人,硕士研究生,主要从事非线性泛函分析的研究.通信作者:唐春雷,教授,博士生导师.Copyright©博看网. All Rights Reserved.定理1 假设α(x )<p *(x ),β(x )<p *(x )成立.当α->p +,β+<p -时,存在μ0>0,使得当μɪ(0,μ0)时,方程(1)有两个正解.1 预备知识为了寻求方程(1)的非负弱解,定义在W 1,p (x )(Ω)上的泛函J (u )=ʏΩ1p (x )[|∇u |p (x )+|u |p (x )]d x -λʏΩ1α(x )|u |α(x )d x -μʏ췍Ω1β(x )|u |β(x )d σ 性质1[14-15] (i )W 1,p (x )(Ω)是自反的可分离的B a n a c h 空间;(i i )如果∀x ɪ췍Ω,q (x )ɪC +(췍Ω)且q (x )<p *(x ),则W 1,p (x )(Ω)到L q (x )(Ω)的嵌入是紧连续的,其中p *(x )=N p (x )N -p (x )p (x )<N ɕp (x )ȡ{N 性质2[12] 如果∀x ɪ췍Ω,q (x )ɪC +(췍Ω)且q (x )<p *(x ),则W 1,p (x )(Ω)到L q (x )(췍Ω)的嵌入是紧连续的,其中p *(x )=(N -1)p (x )N -p (x )p (x )<Nɕp (x )ȡ{N 2 主要结论的证明定理1的证明 不妨记f (x ,t )=|t |α(x )-2t g (x ,t )=|t |β(x )-2t 令F (x ,t )=ʏt 0f (x ,s )d s G (x ,t )=ʏtg (x ,s )d s 不失一般性,假设f (x ,t )=f (x ,0) t <0,x ɪ췍Ωg (x ,t )=g (x ,0) t <0,x ɪ췍Ω不妨假设 u <1,当α->p +,β+<p -时,有J (u )=ʏΩ1p (x )(|∇u |p (x )+|u |p (x ))d x -λʏΩ1α(x )|u |α(x )d x -μʏ췍Ω1β(x )|u |β(x )d σȡ1p +u p +-λC α- u α--μC β- u β-因为α->p +,所以存在非常小的ρ0>0,使得当0<ρ= u <ρ0时,有λC α- u α-ɤ12p+ u p +,则J (u )ȡ12p + u p +-μC β- u β-取μ0=12Cρp +-β->0,使得当μɪ(0,μ0)时,有J (u )ȡ0.因为α-<p +<β-,则存在μ0>0,使得μɪ(0,λ0)时有J (u )>0成立.因为β+<p -,所以对∀0<t <1,存在常数C 1>0和正常数d <p -,使得G (x ,t )ȡC 1|t |d又因为α->p +,所以对任意给定的M 1>0,当t ȡM 1时,存在θ>p +,C 2>0,使得F (x ,t )ȡC 2|t |θ所以对∀t >0,取u ʉM >0,当0<t <1时,有J (t u 0)ɤtp-p-ʏΩ|M |p (x )d x -λʏΩ1α(x )|t M |α(x )d x -μʏ췍Ω1β(x )|t M |β(x )d σɤ22西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.t p-p-ʏΩ|M |p (x)d x -λʏΩC 2|t M |θd x -μʏ췍ΩC 1|t M |d d σ=D 1t p-p--λD 2t θ-μD 3t d因为θ>p +>p ->d ,所以存在0<t 0<1,使得J (t 0u )<0成立.定义췍B ρ={u ɪW 1,p (x )(Ω): u <ρ} 췍B ρ={u ɪW 1,p (x )(Ω): u =ρ}由性质1和性质2,易得J 是弱下半连续的.令c =i n f {J (u ):u ɪ췍B ρ}则可以得到c <0事实上,只要s >0足够小,就可以得到J (s u )<0,所以c <0.因此J 在췍Bρ上有极小值点u 1,并且极小值点不在边界上.也就是说u 1是方程(1)的非零非负解.由强极大值原理可知,非零非负解都是方程(1)的正解.取ΩɪW 1,p (x )(Ω)\{0},ω(x )ʉM .对t >1,θ>p +,有J (t Ω)=ʏΩt p (x)p (x )(|∇ω|p (x )+|ω|p (x ))d x -λʏΩ1α(x )|t ω|α(x )d x -μʏ췍Ω1β(x )|t Ω|β(x )d σɤt p+p -ʏΩM p (x )d x -λʏΩC α(x )|t ω|θd x +c ң2-ɕ接下来证明{u n }⊂W 1,p (x )(Ω)是(P S )序列.当T =l i m ңn ɕJ (u n )<+ɕ,J ᶄ(u n ң)0,且n 充分大时,T +1ȡJ (u n )-1α-<J ᶄ(u n ),u n >+1α-<J ᶄ(u n ),u n >=ʏΩ1p (x )(|∇u n |p (x )+|u n |p (x ))d x -λʏΩ1α(x )|u n |α(x )d x -μʏ췍Ω1β(x)|u n |β(x )d σ-1α-[ʏΩ(|∇u n|p (x )+|u n |p(x ))d x -λʏΩ|u n|α(x )d x -μʏ췍Ω|u n |β(x )d σ]+1α-<J ᶄ(u n ),u n >ȡ1p +-1αéëêêùûúú- u n p --c 1 u n β+-1α- J ᶄ(u n ) u n -c 2ȡ1p +-1αéëêêùûúú- u n p --c 3 u n β+-1α- u n 因为β+<p -,所以{u n }在W 1,p (x )上有界.由山路定理可知,若{u n }在W 1,p (x )(Ω)中是有界的,则存在u 2ɪW 1,p (x )(Ω),使得J ᶄ(u 2)=0,J (u 2)=c >0,且u 2是方程(1)的非负弱解,由强极大值原理可知u 2也是正解,并且u 2不同于u 1,因为J (u 1)<0.即当α->p +,β+<p -时,方程(1)有两个正解.类似地,可得:定理2 假设α(x )<p *(x ),β(x )<p *(x )成立.当α+<p -,β->p +时,存在λ0>0,使得当λɪ(0,λ0)时,方程(1)有两个正解.参考文献:[1]C H I P O T M ,C H L E B K M ,F I L A M ,e t a l .E x i s t e n c e o f P o s i t i v e S o l u t i o n s o f a S e m i l i n e a r E l l i p t i cE q u a t i o n i nR nCw i t h aN o n l i n e a rB o u n d a r y C o n d i t i o n [J ].JM a t hA n a lA p pl ,1998,223(2):429-471.[2] C H I P O T M ,S HA F R I RI ,F I L A M.O n t h eS o l u t i o n s t oS o m eE l l i p t i cE q u a t i o n sw i t hN o n l i n e a rB o u n d a r y C o n d i t i o n s [J ].A d vD i f f e r e n t i a l E qu a t i o n s ,1996(1):91-110.[3] HU B e i .N o n e x i s t e n c e o f aP o s i t i v e S o l u t i o n o f t h eL a p l a c eE q u a t i o nw i t h aN o n l i n e a r B o u n d a r y C o n d i t i o n [J ].D i f f e r e n -32第6期 安 璐,等:关于p (x )-拉普拉斯非线性边值问题的正解Copyright ©博看网. 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All Rights Reserved.。

p-Laplace共振问题的非平凡解的开题报告一、研究背景p-Laplace方程是一个类似于 Laplace 方程的偏微分方程，它在物理学、工程学及数学物理学中有着广泛的应用。

p-Laplace方程对于p的取值有所不同，其解的性质也会有所不同。

当p=2时，p-Laplace方程就变成了 Laplace 方程，其解的性质非常熟知；当p不等于2时，p-Laplace 方程的解往往会表现出很多奇异的特性，这使得其研究具有一定的挑战性。

其中，p-Laplace共振问题是p-Laplace方程的一个典型模型，它在材料科学、控制理论、计算流体力学等领域中都有着应用。

该问题的研究主要关注于寻找其非平凡解，以及其解的性质。

二、研究目的本课题的主要研究目的是探究p-Laplace共振问题的非平凡解，以及解的性质。

具体包括以下几点：1. 探究p-Laplace共振问题的意义和背景，介绍其在现实生活中的应用和影响。

2. 研究p-Laplace共振问题的数学模型和求解方法，包括常见的变分方法和拓扑方法。

3. 针对p-Laplace共振问题的贡献，主要在于对其非平凡解的研究和性质分析。

相关的数学理论和方法包括共振理论、不动点定理、分枝技巧等。

4. 最后，通过对非平凡解的探究和性质分析，得出p-Laplace共振问题解的一些新的性质和规律。

三、研究方法本课题的研究方法主要包括以下几个方面：1. 文献综述：首先，通过对p-Laplace共振问题的相关文献进行阅读，了解其基本概念和背景，进而了解其数学模型、求解方法和已有的理论成果等信息。

2. 理论分析：本课题的核心研究是探究p-Laplace共振问题的解的性质，需要运用共振理论、不动点定理、分枝技巧等数学理论和方法，对其进行系统分析和研究。

3. 数值模拟：本课题还将运用数值模拟方法，对p-Laplace共振问题的解进行可视化处理。

通过数值模拟，可以更直观地得到其解的性质和规律。