非线性分数阶微分方程耦合系统三点边值问题解的存在性

整数阶与分数阶非线性微分方程边值问题正解的存在性摘要：本文主要讨论了整数阶和分数阶非线性微分方程边值问题正解的存在性。

首先介绍了整数阶微分方程边值问题的解法，包括格林函数、变分法、等等。

而对于分数阶微分方程边值问题，基于Caputo导数的求解方法被广泛应用于各种实际问题中。

然后，通过在边值问题的严格数学框架下，该文证明了整数阶和分数阶非线性微分方程边值问题的解在一定条件下存在，这些条件包括边值问题的充分性和DFC（differential inequality of finite difference）条件的满足。

最后，多个实例说明了该文所证明的理论结论的实用性和有效性。

关键词：整数阶微分方程；分数阶微分方程；边值问题；正解存在性；格林函数；变分法；Caputo导数1. 引言微分方程在物理、工程、生物、经济等众多领域中都有重要应用。

边值问题是求解微分方程的一种常用方法，它使用一些限制条件来约束解的特性。

而关于整数阶和分数阶微分方程边值问题正解的存在性，一直是微分方程理论中的经典研究问题。

本文旨在探讨这个问题，并通过实例说明所得结论的实用性和有效性。

2. 整数阶微分方程边值问题的解法对于一般的整数阶微分方程边值问题，我们通常采用格林函数、变分法等方法，来求解其正解存在性。

格林函数是一种特殊的解析函数，在微分方程理论中扮演着重要角色。

变分法是另一种常见的求解方法，它可以转化为极值问题，得到问题的最优解。

3. 分数阶微分方程边值问题的求解方法分数阶微分方程边值问题的求解方法虽然和整数阶微分方程有相似之处，但依然有其特殊之处。

此处我们介绍一种基于Caputo导数的求解方法，它广泛应用于各种实际问题中。

该方法将原问题转化为一个无约束问题，并使用Laplace变换和拉普拉斯逆变换求解。

4. 整数阶和分数阶非线性微分方程边值问题正解的存在性在边值问题的严格数学框架下，我们证明了整数阶和分数阶非线性微分方程边值问题的解在一定条件下存在。

《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一一、引言分数阶微分方程在众多领域中有着广泛的应用，如物理学、工程学、金融学等。

近年来，分数阶微分方程的边值问题解的存在性成为了研究的热点问题。

本文将就分数阶微分方程边值问题解的存在性进行深入探讨，分析其解的存在条件以及相关性质。

二、问题描述与预备知识分数阶微分方程的边值问题通常描述为在一定的区间上，满足一定的边界条件的分数阶微分方程的解的存在性问题。

为了研究这个问题，我们需要了解分数阶微分方程的基本性质，如分数阶导数的定义、分数阶微分方程的解法等。

此外，还需要掌握边值问题的基本理论，如边值条件的设定、边值问题的分类等。

三、解的存在性分析对于分数阶微分方程的边值问题，解的存在性分析主要依赖于以下几个因素：方程的阶数、边界条件的设定、解的空间性质等。

首先，方程的阶数会影响解的存在性。

一般来说，阶数越高，解的存在性越难以保证。

其次，边界条件的设定也会对解的存在性产生影响。

不同的边界条件会导致不同的解的存在性。

最后，解的空间性质也是解的存在性的重要因素。

我们需要分析解的空间是否满足一定的性质，如连续性、可微性等。

在分析解的存在性时，我们通常采用不动点定理、Schauder 不动点定理等数学工具。

这些工具可以帮助我们判断解的存在性，并给出解的存在的一些条件。

此外，我们还需要分析解的唯一性。

如果存在多个解，我们需要进一步研究这些解的性质和关系。

四、具体例子与数值分析为了更好地说明分数阶微分方程边值问题解的存在性，我们可以给出一些具体的例子并进行数值分析。

例如，我们可以考虑一个二阶分数阶微分方程的边值问题，并设定一定的边界条件。

然后，我们可以利用数值方法求解这个边值问题，并分析解的存在性和性质。

通过具体的例子和数值分析，我们可以更深入地理解分数阶微分方程边值问题解的存在性。

五、结论通过对分数阶微分方程边值问题解的存在性的分析，我们可以得出以下结论：1. 分数阶微分方程的边值问题解的存在性取决于多个因素，包括方程的阶数、边界条件的设定以及解的空间性质等。

㊀第52卷第3期郑州大学学报(理学版)Vol.52No.3㊀2020年9月J.Zhengzhou Univ.(Nat.Sci.Ed.)Sep.2020收稿日期:2020-03-16基金项目:国家自然科学基金项目(11501232);湖南省自然科学基金面上项目(2017JJ2213);湖南省教育厅科学研究项目(19B450;19C1474)㊂作者简介:周珏良(1993 ),女,辽宁丹东人,助教,主要从事非线性泛函分析研究,E-mail:188****3659@;通信作者:何郁波(1979 ),男,湖南岳阳人,副教授,主要从事微分方程解的理论分析及数值研究,E-mail:heyinprc@㊂非线性分数阶微分方程耦合系统解的存在性周珏良,㊀何郁波,㊀谢乐平(怀化学院数学与计算科学学院㊀湖南怀化418008)摘要:研究无限区间[0,+ɕ)上非线性Caputo 型分数阶微分方程耦合系统解的存在性和唯一性㊂运用Banach 压缩映射原理,得到了该耦合系统解的存在性和唯一性的充分条件㊂关键词:非线性分数阶微分方程;Banach 压缩映射原理;存在性中图分类号:O177.91㊀㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:1671-6841(2020)03-0087-05DOI :10.13705/j.issn.1671-6841.20200790㊀引言分数阶微分系统的初边值问题具有深刻的科学背景㊂与整数阶微分系统相比,分数阶微分系统能够更加精确地描述动态的变化过程[1-3],主要体现在对生物㊁物理㊁化学反应等方面㊂近几十年,分数阶微分系统作为非线性分析的一个重要分支开始广泛应用于水动力学㊁生物力学㊁量子力学㊁控制论等领域,并取得了许多重要成果[4-11]㊂与单个分数阶微分系统相比,耦合系统的研究条件更加复杂,因此关于分数阶微分耦合系统初边值问题的研究结果相对较少㊂据我们所知,文献[12]利用格林函数和不动点定理在实空间中研究了非线性Riemann-Liouville 型分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在性,之后又继续在实空间中研究下面非线性分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在性[13],D α0+u (t )=f (t ,v (t )),0<t <1,D β0+v (t )=g (t ,u (t )),0<t <1,u (0)=u (1)=v (0)=v (1)=0,ìîíïïïï(1)其中:1<α,βɤ2;D α0+㊁D β0+是Caputo 型分数阶导数;f ,g :[0,1]ˑR ңR 连续,并且假设f ,g 满足增长性条件㊂2010年,Wang 等利用Banach 不动点定理在实空间中讨论了一类分数阶微分方程耦合系统边值问题正解的存在唯一性[14],D αu (t )+f (t ,v (t ))=0,0<t <1,D βv (t )+g (t ,u (t ))=0,0<t <1,u (0)=v (0)=0,u (1)=au (ξ),v (1)=bv (ξ),ìîíïïïïïï(2)其中:1<α,β<2;0ɤa ,b ɤ1;0<ξ<1;D α㊁D β是Riemann-Liouville 型分数阶导数;f ,g :[0,1]ˑ[0,+ɕ)ң[0,+ɕ)连续㊂关于非线性分数阶微分方程耦合系统初边值问题的其他相关结论参阅文献[15-16]及其中的相关文献㊂最近关于耦合系统的成果有董佳华等利用不动点定理在实空间中研究了一类非线性隐式分数阶微分方程耦合系统初值问题解的存在性和唯一性[17]㊂受以上研究成果的启发,本文主要研究如下无限区间[0,+ɕ)上非线性Caputo 型分数阶微分方程耦合系统在Banach 空间中解的存在性和唯一性,郑州大学学报(理学版)第52卷C D α0+u (t )=f (t ,v (t ),C D β0+v (t )),t ɪJ =[0,+ɕ),C D αᶄ0+v (t )=g (t ,u (t ),C D β0+u (t )),t ɪJ =[0,+ɕ),u (0)=u 0,v (0)=v 0,ìîíïïïï(3)其中:0<α,αᶄ<1,0ɤβ<1,并且0ɤβ<α,αᶄ<1;C D α0+㊁C D β0+㊁C D αᶄ+是Caputo 型分数阶导数;u 0,v 0ɪY ,Y 是Banach 空间;t r f (t ,x ,y ),t r g (t ,x ,y )ɪC (J ˑY ˑY ,Y ),r ɪ[0,1)㊂1㊀基本假设给定本文所用到的空间X ={x x (t )ɪC (J ,Y ),C D β0+x (t )ɪC (J ,Y ),supt ɪJx (t )1+t λ<ɕ,supt ɪJC D β0+x (t )1+t λ<ɕ},其中:λ>1,定义其范数x X =max{supt ɪJx (t )1+t λ,supt ɪJC D β0+x (t )1+t λ}㊂㊀㊀为了证明本文的结果,还需给定空间X ˑX ={(x ,y )x ɪX ,y ɪX },定义其范数为(x ,y ) X ˑX =max x X , y X {}㊂易证(X , ㊃ X )和(X ˑX , ㊃ X ˑX )都是Banach 空间[18-20]㊂下面将给出本文所用到的假设条件㊂H1)连续函数x ,y ,t r f (t ,x ,y ):J ˑX ˑX ңX ,t r g (t ,x ,y ):J ˑX ˑX ңX 满足t r [f (t ,(1+t λ)x ,(1+t λ)y )-f (t ,(1+t λ)xᶄ,(1+t λ)yᶄ)] ɤL 1(t ) x (t )-xᶄ(t ) +L 2(t ) y (t )-yᶄ(t ) ,t r [g (t ,(1+t λ)x ,(1+t λ)y )-g (t ,(1+t λ)xᶄ,(1+t λ)yᶄ)] ɤL 3(t ) x (t )-xᶄ(t ) +L 4(t ) y (t )-yᶄ(t ) ,其中:非负连续函数L 1(t )㊁L 2(t )㊁L 3(t )㊁L 4(t )满足1Γ(η1)(1+t λ)ʏt(t -s )η1-1s r(L 1+L 2)(s )d s ɤρ1,t ɪ[0,+ɕ),ρ1ɪ(0,1),η1=α或α-β,1Γ(η2)(1+t λ)ʏt 0(t -s )η2-1s r(L 3+L 4)(s )d s ɤρ2,t ɪ[0,+ɕ),ρ2ɪ(0,1),η2=αᶄ或αᶄ-β㊂H2)存在常数M ,N >0,使得f (t ,0,0),g (t ,0,0)满足(t +1)βΓ(α-β)(1+t λ)ʏt(t -s )α-β-1s -r s r f (s ,0,0) d s ɤM <ɕ,t ɪ[0,+ɕ),(t +1)βΓ(αᶄ-β)(1+t λ)ʏt(t -s )αᶄ-β-1s -r s r g (s ,0,0) d s ɤN <ɕ,t ɪ[0,+ɕ)㊂2㊀存在性结果下面运用Banach 压缩映射原理,证明初值问题(3)解的存在性和唯一性㊂定理1㊀假设条件H1)和H2)成立,则初值问题(3)的解存在且唯一㊂证明㊀定义算子T ʒX ˑX ңX ˑX ,T (u ,v )(t )=(u 0+I α0+f (t ,v (t ),C D β0+v (t )),v 0+I αᶄ0+g (t ,u (t ),C D β+u (t )))≙(T 1v (t ),T 2u (t ))㊂㊀㊀显然算子T ʒX ˑX ңX ˑX ㊂事实上,对任意的(u ,v )ɪX ˑX ,即u ɪX ,v ɪX ,有T 1v (t )1+t λɤu 01+t λ+1Γ(α)ʏt(t -s )α-11+t λs -r s r f (s ,v (s ),C D β0+v (s )) d s ɤ u 0 +1Γ(α)(1+t λ)ʏt 0(t -s )α-1s r(L 1(s )v (s )1+s λ+L 2(s )C D β0+v (s )1+s λ)d s +88㊀第3期周珏良,等:非线性分数阶微分方程耦合系统解的存在性Γ(α-β)Γ(α)Γ(α-β)(1+t λ)ʏt 0(t -s )α-β-1(t -s )βsrs r f (s ,0,0) d s ɤu 0 +ρ1 v X +Γ(α-β)Γ(α)M <ɕ,t ɪ[0,+ɕ)㊂T 2u (t )1+t λɤ v 0 +1Γ(αᶄ)(1+t λ)ʏt 0(t -s )αᶄ-1s r(L 3(s )u (s )1+s λ+L 4(s )C D β0+u (s )1+s λ)d s +Γ(αᶄ-β)Γ(αᶄ)N ɤ v 0 +ρ2 u X +Γ(αᶄ-β)Γ(αᶄ)N <ɕ,t ɪ[0,+ɕ)㊂㊀㊀另一方面,CD β0+T 1v (t )1+t λɤ u 0 +v XΓ(α-β)(1+t λ)ʏt 0(t -s )α-β-1sr(L 1+L 2)(s )d s +M(t +1)βɤu 0 +ρ1 v X +M <ɕ,t ɪ[0,+ɕ)㊂CD β0+T 2u (t )1+t λɤ v 0 +u XΓ(αᶄ-β)(1+t λ)ʏt 0(t -s )αᶄ-β-1s r(L 3+L 4)(s )d s +N(t +1)βɤv 0 +ρ2 u X +N <ɕ,t ɪ[0,+ɕ)㊂㊀㊀因此可知T (u ,v )ɪX ˑX ,故算子T ʒX ˑX ңX ˑX ㊂下面证明算子T ʒX ˑX ңX ˑX 是严格压缩的㊂事实上,对任意的u 1,u 2,v 1,v 2ɪX ,有T 1v 1(t )-T 1v 2(t )1+tλɤ1Γ(α)ʏt(t -s )α-11+tλf (s ,v 1(s ),C D β0+v 1(s ))-f (s ,v 2(s ),C D β+v 2(s )) d s ɤ1Γ(α)(1+t λ)ʏt 0[(t -s )α-1s r(L 1(s )v 1(s )-v 2(s )1+s λ+L 2(s )C D β0+v 1(s )-C D β+v 2(s )1+s λ)]d s ɤv 1-v 2 XΓ(α)(1+t λ)ʏt 0(t -s )α-1sr(L 1+L 2)(s )d s ɤρ1 v 1-v 2 X , T 2u 1(t )-T 2u 2(t )1+t λɤu 1-u 2 XΓ(αᶄ)(1+t λ)ʏt 0(t -s )αᶄ-1sr(L 3+L 4)(s )d s ɤρ2 u 1-u 2 X ㊂㊀㊀另一方面,我们有C D β0+T 1v 1(t )-C D β0+T 1v 2(t ) 1+t λɤ v 1-v 2 XΓ(α-β)(1+t λ)ʏt 0(t -s )α-β-1sr(L 1+L 2)(s )d s ɤρ1 v 1-v 2 X , C D β0+T 2u 1(t )-C D β0+T 2u 2(t ) 1+tλɤu 1-u 2 XΓ(αᶄ-β)(1+t λ)ʏt 0(t -s )αᶄ-β-1sr(L 3+L 4)(s )d s ɤρ2 u 1-u 2 X ㊂㊀㊀由此可知,对任意的(u 1,v 1),(u 2,v 2)ɪX ,有 T (u 1,v 1)-T (u 2,v 2) X ˑX ɤρ (u 1,v 1)-(u 2,v 2) X ˑX ,ρ=max{ρ1,ρ2}ɪ(0,1),即算子T ʒX ˑX ңX ˑX 是严格压缩的㊂综上,根据Banach 压缩映射原理得到算子T ʒX ˑX ңX ˑX 在Banach 空间X ˑX 中存在唯一的(u ,v ),使得T (u ,v )=(u ,v ),即问题(3)在Banach 空间X ˑX 中存在唯一解㊂3　结论本文通过构造特殊的Banach 空间,运用Banach 压缩映射原理得到了保证一类非线性分数阶微分方程耦合系统(3)在无限区间[0,+ɕ)上解的存在唯一性的充分条件㊂参考文献:[1]㊀郭大钧.非线性泛函分析[M].济南:山东科学技术出版社,2001.9809郑州大学学报(理学版)第52卷GUO D J.Nonlinear functional analysis[M].Jinan:Shandong Science&Technology Press,2001.[2]㊀KILBAS A A,SRIVASTAVA H M,TRUJILLO J J.Theory and applications of fractional differential equations[M].BeslotenVennootschap:Elsevier Press,2006.[3]㊀RAY S S.Fractional calculus with applications for nuclear reactor dynamics[M].Boca Raton:CRC Press,2017.[4]㊀续焕英.分数阶微积分在反常输运过程中的应用研究[D].济南:山东大学,2017.XU H Y.Research on the applications of fractional calculus in anomalous transport[D].Jinan:Shandong University,2017.[5]㊀陈玉霞,高金峰.一个新的分数阶混沌系统[J].郑州大学学报(理学版),2009,41(4):45-48.CHEN Y X,GAO J F.A new fractional-order chaotic system[J].Journal of Zhengzhou university(natural science edition), 2009,41(4):45-48.[6]㊀聂玉峰,胡嘉卉,王俊刚.求解三维空间分数阶对流扩散方程的Douglas-Gunn格式[J].郑州大学学报(理学版),2019,51(1):44-50.NIE Y F,HU J H,WANG J G.Douglas-Gunn finite difference scheme for three-dimensional space fractional advection diffusion equation[J].Journal of Zhengzhou university(natural science edition),2019,51(1):44-50.[7]㊀虎晓燕,韩惠丽.重心插值配点法求解分数阶Fredholm积分方程[J].郑州大学学报(理学版),2017,49(1):17-23.HU X Y,HAN H L.Barycentric interpolation collocation method for solving Fredholm integral equation of fractional order[J].Journal of Zhengzhou university(natural science edition),2017,49(1):17-23.[8]㊀SUN H G,CHEN W,CHEN Y Q.Variable-order differential operator in anomalous diffusion modeling[J].Physica A:statisti-cal mechanics and its applications,2009,388(21):4586-4592.[9]㊀ZHANG L H,AHMAD B,WANG G T,et al.Nonlinear fractional integro-differential equations on unbounded domains in aBanach space[J].Journal of computational and applied mathematics,2013,249(6):51-56.[10]SINGH J,GUPTA P K,RAI K N.Solution of fractional bioheat equations by finite difference method and HPM[J].Mathemat-ical and computer modelling,2011,54(9/10):2316-2325.[11]周学勇,杨皦蓉,齐龙兴.一类分数阶SIQS传染病模型的稳定性分析[J].信阳师范学院学报(自然科学版),2018,31(1):1-4.ZHOU X Y,YANG J R,QI L X.Analysis of stability for a fractional order SIQS mode[J].Journal of Xinyang normal university (natural science edition),2018,31(1):1-4.[12]SU X W.Boundary value problem for a coupled system of nonlinear fractional differential equations[J].Applied mathematicsletters,2009,22(1):64-69.[13]苏新卫.分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在性[J].工程数学学报,2009,26(1):133-137.SU X W.The existence of solution to boundary value problems for a coupled system of nonlinear fractional differential equations [J].Chinese journal of engineering mathematics,2009,26(1):133-137.[14]WANG J,XIANG H,LIU Z.Positive solution to nonzero boundary value problem for a coupled system of nonlinear fractionaldifferential equations[J].International journal of differential equations,2010,2010(1):1-12.[15]薛益民,刘洁,戴振祥,等.一类非线性分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在性[J].四川师范大学学报(自然科学版),2018,41(5):614-620.XUE Y M,LIU J,DAI Z X,et al.Existence of solutions of the boundary value problem for a coupled system of nonlinear frac-tional differential equations[J].Journal of Sichuan normal university(natural science),2018,41(5):614-620. [16]刘梦婷,杨军,彭丹,等.一类无穷区间上分数阶耦合系统边值问题解的存在性[J].数学的实践与认识,2017,47(16):171-180.LIU M T,YANG J,PENG D,et al.Existence solutions for a coupled system of fractional boundary value problems on unbounded domains[J].Mathematics in practice and theory,2017,47(16):171-180.[17]董佳华,冯育强,蒋君.非线性隐式分数阶微分方程耦合系统初值问题[J].应用数学学报,2019,42(3):356-370.DONG J H,FENG Y Q,JIANG J.Initial value problem for a coupled system of nonlinear implicit for fractional differential equations[J].Acta mathematicae applicatae sinica,2019,42(3):356-370.[18]SU X W,ZHANG S Q.Unbounded solutions to a boundary value problem of fractional order on the half-line[J].Computers&mathematics with applications,2011,61(4):1079-1087.[19]SU X W.Solutions to boundary value problem of fractional order on unbounded domains in a Banach space[J].Nonlinear anal-ysis,2011,74(8):2844-2852.[20]KOU C H,ZHOU H C,YAN Y.Existence of solutions of initial value problems for nonlinear fractional differential equations onthe half-axis[J].Nonlinear analysis,2011,74(17):5975-5986.19㊀第3期周珏良,等:非线性分数阶微分方程耦合系统解的存在性Existence of Solutions for the Coupled System of NonlinearFractional Differential EquationZHOU Jueliang,HE Yubo,XIE Leping(School of Mathematics and Computer Science,Huaihua University,Huaihua418008,China) Abstract:The existence and uniqueness of solutions for a coupled system of nonlinear Caputo fractional differential equation on infinite interval[0,+ɕ)were studied.The sufficient conditions for existence and uniqueness of solutions by using Banach contraction mapping principle were obtained.Key words:nonlinear fractional differential equation;Banach contraction mapping principle;existence(责任编辑:王浩毅)(上接第79页)[16]曹咪,王继刚,王伟,等.基于静态分析的TVOS恶意应用检测方法研究[J].郑州大学学报(理学版),2018,50(3):27-33.CAO M,WANG J G,WANG W,et al.Vetting TVOS applications and detecting malicious applications[J].Journal of Zheng-zhou university(natural science edition),2018,50(3):27-33.Android Malware Family Classification Method Based on SensitivePermissions and APIYU Yuaner1,2,ZHANG Linlin1,2,ZHAO Kai1,2,FANG Wenbo3,HU Yingjie3,SONG Xin1,2,WANG Chenyue3(1.College of Information Science and Engineering,Xinjiang University,Urumqi830046,China;2.School of Cyber Science and Engineering,Xinjiang University,Urumqi830046,China;3.College of Software,Xinjiang University,Urumqi830091,China) Abstract:A method of Android malware family classification based on sensitive permissions and APIs was proposed.After extracting sensitive permissions and sensitive APIs,the two features were fused to build a feature database.Finally,a random forest algorithm was used to classify malware families.Exper-imental results showed that the detection accuracy of this method reached98.40%,which was significant-ly better than other baseline algorithms,and both the similarity and homology of malware were reflected. Key words:Android;malware family;classification;random forest(责任编辑:王浩毅)。

非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性
非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性：
1、问题概述
非线性分数阶微分方程（nonlinear fractional differential equation）边值问题（boundary value problem）指定考虑函数在一定区域内满足一个分数阶微分方程系统以及该区域边界一些条件的问题。

它的研究与现实中相关的问题有很大的关联，拟和计算的精度主要取决于该正解的存在性和唯一性。

2、开展研究
由于非线性分数阶微分边值问题的存在性和唯一性的研究关系到研究的实际意义，因此，近年来，微分方程学家围绕该问题开展了深入探讨和研究。

根据数学技巧和研究结果，针对非线性分数阶微分边值问题，提出了一系列有效方法，形成一套完整的存在性理论，以帮助解决非线性分数阶微分边值问题。

3、理论研究
在理论研究中，研究者首先提出了分数阶系统周期或非周期微分边值问题的存在性，发现分数阶系统微分边值问题的存在性密切依赖于其边值条件的满足程度，并利用契约技术确定具体的边界条件。

研究者又进一步提出了重叠解和多重解的存在性，提出了不等式定理来证明其在有限区域内存在正解，以及足够条件以确定分数阶系统存在唯一正解，在研究遇到激烈反对的情况下，提出非线性的存在性，以帮助研究者准确直观地确定问题的解等。

非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性刘素莉;李衍初;李辉来【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2015(53)2【摘要】考虑如下非线性分数阶微分方程边值问题：u(t)=f (t,u(t),u′(t)), a.e.t∈(0,1), u(0)=u′(1)=u″(0)=0, cDα其中：2<α≤3是实数；0+cDα0+是 Caputo 分数阶导数.应用 Leray-Schauder 连续性定理,得到了该问题至少存在一个正解.%We considered the nonlinear fractional differential equation u(t)=f (t,u(t),u′(t)), a.e.t ∈ (0,1), u(0)=u′(1)=u″(0)=0, cDα0+where cDα0 + is the Caputo fractional order derivative,2 <α≤ 3 is a real number.We proved the existence of at least one solution of the boundary value problem using Leray-Schauder continuation principle.【总页数】5页(P194-198)【作者】刘素莉;李衍初;李辉来【作者单位】吉林大学数学学院，长春 130012;吉林大学数学学院，长春130012;吉林大学数学学院，长春 130012【正文语种】中文【中图分类】O175.1;O175.8【相关文献】1.一类非线性分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在性 [J], 张潇峰;封汉颍2.一类非线性分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在性 [J], 薛益民;刘洁;戴振祥;徐媛媛3.Banach空间一类非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性 [J], 陈艳丽;宋卫信;黎虹;张锋4.非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性 [J], 陈会5.一类非线性项具有导数的分数阶微分方程边值问题解的存在性 [J], 苏有慧;孙文超;孙爱因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

具有变号非线性项的分数阶微分方程边值问题正解的存在性1. 引言1.1 背景介绍分数阶微分方程是一种介于整数阶和整数阶之间的微分方程，其在描述复杂系统动力学行为和非线性现象方面具有独特的优势。

随着分数阶微积分的发展和应用，人们对分数阶微分方程的研究也越来越深入。

在实际问题中，往往会涉及到非线性项，而非线性项的特性决定了微分方程解的性质。

具有变号非线性项的分数阶微分方程是研究中的一个重要课题。

变号非线性项的引入会使得微分方程的解集合更加复杂，从而增加了研究的难度和挑战性。

边值问题是求解微分方程时常常遇到的问题之一，对于具有变号非线性项的分数阶微分方程来说，边值问题的正解存在性成为了研究的焦点之一。

正解的存在性理论不仅对深入理解微分方程的性质具有重要意义，还具有广泛的实际应用价值。

在本文中，我们将讨论具有变号非线性项的分数阶微分方程边值问题正解的存在性问题，并探讨相关的证明方法和存在性结论。

通过对这一问题的研究，我们希望能够为分数阶微分方程的理论研究和实际应用提供一定的参考和指导。

【2000字】1.2 研究意义分数阶微分方程是近年来研究的热点之一，由于其在描述复杂系统中的行为具有更好的适应性和精确性，因此受到了广泛关注。

具有变号非线性项的分数阶微分方程是一类更为复杂和具有挑战性的问题，对其性质和解的存在性进行研究具有极大的理论和应用价值。

在实际问题中，很多现象和过程并不能完全用传统的整数阶微分方程来描述，而需要引入分数阶微积分来更准确地刻画。

研究具有变号非线性项的分数阶微分方程可以更好地解释现实中复杂系统的行为，为相关领域的研究提供理论支持和指导。

正解的存在性问题一直是数学研究的重要课题之一，对于分数阶微分方程边值问题正解的存在性理论的研究不仅可以深化对这类方程的理解，还可以提高数学领域对于非线性问题的分析能力，拓展数学的应用范围和解决实际问题的能力。

研究具有变号非线性项的分数阶微分方程边值问题正解的存在性对于推动分数阶微分方程领域的发展具有重要的意义，对于理论研究和实际应用都具有积极的推动作用。

非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性
区别线性微分方程和非线性微分方程：1.微分方程中的线性，指的是y及其导数y'都是一次方。

如y'=2xy。

2.非线性，就是除了线性的。

如y'=2xy^2。

若一个微分方程不符合上面的条件，就是非线性微分方程。

线性方程：在代数方程中,仅不含未知数的一次幂的方程称作线性方程。

这种方程的
函数图象为一条直线，所以称作线性方程。

可以认知为：即为方程的最低次项就是一次的，容许存有0次项，但无法少于一次。

比如说ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。

如果一个微分方程中仅所含未明函数及其各阶导数做为整体的一次幂,则表示它为线
性微分方程。

可以认知为此微分方程中的未明函数y就是不少于一次的，且此方程中y的
各阶导数也必须就是不少于一次的。

三阶非线性微分方程边值问题正解的存在性达举霞;韩晓玲【摘要】本文应用锥上的不动点定理研究了三阶四点边值问题{u(")(t)+f(t,u(t))=0,t∈[0,1],u'(0)=αu(ξ),u'(1)+βu(η)=0,u"(0)=0正解的存在性,其中α和β是正的参数,0≤ξ≤η≤1.在f满足适当的增长条件下,本文通过对核函数的上下界估计获得了该问题正解的存在性.【期刊名称】《四川大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(053)006【总页数】6页(P1177-1182)【关键词】边值问题;正解;不动点定理;锥【作者】达举霞;韩晓玲【作者单位】西北师范大学数学与统计学院,兰州730070;西北师范大学数学与统计学院,兰州730070【正文语种】中文【中图分类】O175.8三阶微分方程起源于数学和物理应用.由于这类问题的普遍性和重要性, 三阶多点边值问题深受学者关注, 相关研究也得到了许多深刻的结.2014年, 文献中运用有序Banach空间的新不动点定理获得了三阶两点边值问题-u‴,u(0)=u′(0)=u′(1)=0(p(t)x′)″=f(t,x,p(t)x′,(p(t)x′)′),t∈(0,1)u‴u′(0)=αu(ξ),u′(1)+βu(η)=0,u″(0)=0我们给出假设条件:.定理2.1 设E是一个Banach空间, 并且设P⊂E是一个锥. 假定Ω1,Ω2是E的两个开子集且⊂Ω2,设是全连续算子，使得:且且,引理 2.2 设α，β 是正的参数,A=α(1+βη)+β(1-αξ),则对,问题u‴(t)+y(t)=0，t∈(0，1)u′(0)=αu(ξ),u′(1)+βu(η)=0,u″(0)=0,β(1-aξ+at)Hη(s)+α(1+βη-βt)Hξ(s)]-Ht(s)证明可以通过两边积分得到.引理 2.3 设条件成立, 则K(t,s)在上是正的, 并且满足如下的性质：存在一个可测函数, 一个子区间⊂和一个常数, 使得,.证明很容易证得在满足条件,(H2)下K(t,s)在上是正的. 现在我们来证明K(t,s)满足性质. 我们需要得到Φ(s), 一个子区间⊂和一个常数, 使得,.上界估计.我们取).情形1.s≤η.如果s≤ξ,s≤t则.情形2.s>η.如果s>ξ,s≤t, 则..下界估计.我们取⊂.情形1.s≤η.如果s≤ξ,s≤t, 则(s).(s).情形2.s>η.如果s>ξ,s≤t, 这种情况不可能发生.如果s>ξ,s>t, 则).我们设是连续的.定义锥如下：记.引理3.1 算子A:P→P是全连续的.证明取u∈P.则s.s..现在我们假设D⊂P是有界集. 则存在一个常数M1>0, 对于任意的u∈D, 有≤M1.综上, 我们证得A(D)是相对紧的. 令,s..另一的方面, 对ε>0, 由于G(t,s)在上连续, 从而在上一致连续.由一致连续的定义, 存在δ>0, 使得对任意当时,有，,最后我们证明A是连续的. 假设um(m=1,2，...),则存在M3>0使得对任意的.令..定理3.2 设(H1),(H2)成立,且在的任意子区间f(t,u)≠0. 则问题(3)-(4)在如下情况下有一个正解:且且证明超线性情形.由于,可以取H1>0, 当0<u≤H1时有f(t,u)≤εu, 其中ε>0并满足....其次, 由于，故存在,使得当时有f(t，u)≥μu，其中u>0且.取,...从而，由定理2.1和引理2.3,A在上有一个不动的点, 使得≤H2和,超线性部分的证明完成.次线性情形.由于，.....情形(1).f是有界的. 即对所有的有f(t,u)≤N. 在这种情况下选取则当时, 有.情形(2).f是无界的.选取使得..因此无论那种情形,u∈P∩∂Ω2,都有. 定理2.1的第二部分说明问题(1)-(2)在有一个正解. 这就完成了整个定理的证明.【相关文献】[1] Lin X L, Zhao Z Q. Sign-changing solution for a third-order boundary value problem in ordered Banach space with lattice structure [J]. Natural Science, 2014, 132: 1.[2] Cheng M. Nagumo theorems of third-order singular nonlinear value problems [J]. J Math Anal Appl, 2015, 135: 1.[3] Li Y K, Wang L Y. Multiple positive solutions of nonlinear third-order boundary value problems with integral boundary conditions on time scales [J]. Adv Diff Equ, 2015, 90: 1.[4] Fan H X, Ma R Y. Loss of positivity in a nonlinear second order ordinary differentialequations [J]. Nonlinear Analysis, 2009, 71: 437.[5] Tokmak F, Karaca I Y. Existence of positive solutions for third-order boundary value problems with integral boundary conditions on time scales [J]. Inequal Appl, 2013, 498: 1.[6] Infante G. Eigenvalues of some non-local boundary value problems [J]. Proc Edinb Math Soc, 2003, 46: 75.[7] Webb J R L. Positive solutions of some three point boundary value problems via fixed point index theory [J]. Nonlinear Analysis, 2001, 47: 4319.[8] Guo Y P, Liu Y J, Liang Y C. Positive solutions for the third-order boundary value problems with the second derivatives [J]. Bound Value Probl, 2012, 34: 1.[9] Sergey S. Nonlocal third order boundary value problems with solutions that change sign [J]. Mathematical and Analysis, 2014, 19: 145.[10] Rochdi J. Positive solution of system of third-order boundary value problem with three-point and integral boundary conditions [J]. J Bull Math Anal Appl, 2014, 6: 60.。

非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性杜金姬;秦闯亮;苑倩倩【摘要】研究三阶三点边值问题{u(")(t) + a(t)f(u(t)) =0 t ∈ (0,1)u(0) =u'(0)=0,u'(1)-au'(η) =λ,其中:0＜η＜1;0＜a＜1/η;λ∈(0,+∞).获得该线性边值问题解的形式,运用不动点指数理论建立该问题至少存在2个正解的存在性准则.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2017(037)001【总页数】4页(P6-9)【关键词】三阶三点边值问题;正解;不动点指数理论【作者】杜金姬;秦闯亮;苑倩倩【作者单位】信阳学院数学与信息学院,河南信阳464000;信阳学院数学与信息学院,河南信阳464000;信阳学院数学与信息学院,河南信阳464000【正文语种】中文【中图分类】O175.8近年来，三阶三点边值问题受到人们的关注[1-7]．本文运用不动点指数理论研究边值问题文献[1]中考虑了边值问题（1）中参数时的特殊情况，运用Guo-Krasonoselskii不动点定理，在非线性项满足超线性或次线性的条件下得到边值问题至少有1个正解的存在性结果．文献[2]通过运用不动点指数理论得到此特殊情况至少2个正解的存在性准则．本文进一步研究当参数时的边值问题（1），建立其解的表达式，借助格林函数的性质，运用不动点指数理论，在非线性项f满足一定条件的情况下得到了边值问题（1）至少有2个正解的存在性准则．【相关文献】[1] GUO L J，SUN J P，ZHAO Y H．Existence of positive solution for nonlinear third-order three-point boundary value problem[J]．Nonlinear Analysis，2008，68：3151-3158[2] 孙建平，彭俊国，郭丽君．非线性三阶三点边值问题的正解[J]．兰州理工大学学报，2009，35（1）：139-142[3] 郭丽君．非线性微分方程三阶三点边值问题两个正解的存在性[J]．北华大学学报：自然科学版，2016，17（5）：566-571[4] 姚志健．非线性三点边值问题正解的新的存在性[J]．数学杂志，2014，34（1）：173-178[5] 高永馨，汪风琴．三阶非线性微分方程三点边值问题解的存在性[J]．黑龙江大学自然科学学报，2015，32（4）：421-427[6] 吴红萍．一类非线性三阶三点边值问题的多个正解[J]．贵州大学学报：自然科学版，2014，31（2）：4-6[7] 张立新．三阶边值问题3个正解的存在性[J]．四川师范大学学报：自然科学版，2011，34（4）：466-470[8] GUO D．Lakshmikantham V．Nonlinear problems is abstract cones[M]．New York：Academic Press，1988。

具有变号非线性项的分数阶微分方程边值问题正解的存在性分数阶微分方程是一类新颖的微分方程，它将传统的整数阶微分方程推广到了分数阶的情形，具有更强的表达能力。

而具有变号非线性项的分数阶微分方程边值问题又是分数阶微分方程中的特殊类型，其正解的存在性问题备受关注。

本文将探讨这一问题，并给出相关的定理和证明。

我们来看一般的分数阶微分方程边值问题的形式：\begin{equation}D^{\alpha}u(x) = f(x,u(x)), \quad a < x < b,\end{equation}\begin{equation}u(a) = A, \quad u(b) = B,\end{equation}其中D^{\alpha}表示分数阶导数，f(x,u)是非线性的函数，并且可能含有变号项。

a 和b是给定的常数，表示区间的边界，A和B是给定的常数，表示边值条件。

我们的目标是证明当给定的条件满足时，方程(1)(2)存在正解。

我们要证明方程(1)(2)的正解的存在性。

为了方便讨论，我们假设f(x,u)满足一定的增长条件和Lipschitz条件。

这些条件是存在正解的充分条件。

根据Caputo分数阶导数的定义，我们可以将方程(1)改写为积分形式：\begin{equation}u(x) = A + \int_{a}^{x}G(x,t)f(t,u(t))dt,\end{equation}其中G(x,t)是一个未知函数。

由于f(x,u)可能含有变号项，我们无法直接应用传统的定积分方法来证明正解的存在性。

我们需要使用变分方法来处理方程(3)。

接下来，我们来讨论边值条件的影响。

由于f(x,u)可能含有变号项，我们需要重新审视边值条件对正解的影响。

假设边值条件不是简单的Dirichlet条件，而是更一般的边值条件。

对于一般的边值条件，我们可以构造一个关于边值条件的适当的变分。

通过适当的变分，我们可以证明存在性的定理仍然成立。

《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一一、引言分数阶微分方程作为数学领域中的一个重要分支，在物理、工程、生物、经济等多个领域有着广泛的应用。

近年来，随着对分数阶微分方程理论的深入研究，其边值问题的解的存在性成为了研究的热点。

本文旨在探讨分数阶微分方程边值问题解的存在性，为相关领域的研究提供理论支持。

二、问题描述考虑如下形式的分数阶微分方程边值问题：Dqau(t)=f(t,u(t)),t∈[a,b]u(a)=α,Du(b)=β其中，Dqau(t)表示u(t)的q阶导数，f(t,u(t))为非线性函数，a 和b分别为区间的下限和上限，α和β为给定的边界值。

我们的目标是找出该方程在给定边界条件下的解的存在性。

三、预备知识为了研究分数阶微分方程边值问题解的存在性，我们需要掌握一些预备知识。

包括分数阶导数的定义、性质，以及一些常用的固定点定理和不动点定理等。

此外，还需要了解一些与该问题相关的已有研究成果，以便在本文中进行比较和借鉴。

四、解的存在性证明为了证明分数阶微分方程边值问题解的存在性，我们可以采用不动点定理。

首先，我们将原问题转化为一个等价的积分方程。

然后，构造一个适当的算子，并证明该算子在一定的条件下是压缩的或全连续的。

这样，我们就可以利用不动点定理得出原问题至少存在一个解的结论。

具体来说，我们可以按照以下步骤进行：1. 将原问题转化为等价的积分方程；2. 构造一个算子，该算子将原问题的解映射为一个新的函数；3. 分析该算子的性质，如压缩性或全连续性；4. 利用不动点定理，得出该算子至少存在一个不动点，即原问题至少存在一个解。

五、结论通过上述分析，我们得出了分数阶微分方程边值问题解的存在性结论。

这一结论为相关领域的研究提供了理论支持。

然而，需要注意的是，我们的证明是在一定的条件下得出的，对于更一般的情况，还需要进一步的研究和探讨。

此外，我们还可以进一步研究该问题的多解性、解的唯一性等问题，以丰富分数阶微分方程的理论体系。

分数阶微分方程边值问题解的存在性分数阶微分方程边值问题解的存在性一、引言分数阶微分方程是一类描述复杂动态系统行为的数学模型，它在描述非线性、非局部以及非整数阶现象等方面具有独特的优势。

与传统的整数阶微分方程相比，分数阶微分方程的解尚未得到充分的研究。

本文将探讨分数阶微分方程边值问题解的存在性，并通过数学推导和分析，为其解的存在性提供一定的证明。

二、分数阶微积分及其应用分数阶微积分是对经典微积分的一种扩充和泛化，它引入了分数阶导数和分数阶积分的概念。

分数阶导数可以用来描述非局部和非整数阶现象，例如弛豫效应、长程记忆等。

而分数阶微分方程是利用分数阶导数建立的，其在描述复杂系统的行为中发挥着重要的作用。

分数阶微分方程的边值问题是在给定边界条件下求解方程的特定解。

边值问题在实际问题中具有广泛的应用，例如物理学中的电磁场分布、化学反应动力学等。

而分数阶微分方程边值问题的解的存在性则是一个重要的数学问题。

三、分数阶微分方程的边值问题考虑分数阶微分方程边值问题：D^αy(x) = f(x,y(x)), 0 < α ≤ 1, a ≤ x ≤ b,y(a) = A, y(b) = B, (1)其中D^α表示分数阶导数，f(x,y(x))是已知的函数，A、B是给定的常数。

为了研究方程(1)的解的存在性，我们将其转化为积分方程的形式。

首先，将方程(1)的分数阶导数表示为以下定积分形式：y(x) = 1/Γ(1-α)∫[a,x](x-t)^(α-1)f(t,y(t))dt + C,a ≤ x ≤ b, (2)其中C是常数，Γ(1-α)为欧拉积分。

然后，我们通过连续逼近方法，构造一列定义在[a, b]上的函数序列{y_n(x)}，使得它们的极限函数为方程(2)的解。

分数阶微积分的性质表明，通过连续逼近方法可以得到方程(2)的解。

接下来，我们验证这个函数序列是否满足边界条件y_n(a) = A和y_n(b) = B。