奇摄动Volterra型积分微分方程的非线性边值问题

桥梁非线性动力响应方法及volterra级数非线性方法探讨作者：冉晴等来源：《建筑科技与经济》2014年第01期摘要：强震下桥梁的破坏和倒塌，造成的人员伤亡和经济社会效益是不容忽视的；另一方面，随着桥梁结构体系越来越复杂和延性抗震设计理念的转变，都使得桥梁非线性抗震验算越来越受到工程师的重视。

本文回顾了桥梁非线性动力学问题的发展，总结了目前桥梁非线性抗震验算方法的优、缺点，着眼于非线性系统理论及最新成果，通过volterra级数在非线性系统理论中的成果，探讨了volterra级数在桥梁工程的运用的可行性及优越性，并提出了volterra 级数运用于桥梁结构的关键性问题。

关键词：桥梁；非线性动力学；volterra级数；非线性频率响应函数1.引言我国广阔、复杂的地貌，造就了多山多河的地形，为了方便人们的出行，桥梁作为可以跨谷跨河的工程结构物得到了广阔的发展。

其中桥梁动力学问题分析作为桥梁分析中重要的一环，关系到桥梁功能的正常使用和生命财产安全，被研究学者和设计工程师重点关注着。

在2008年我国汶川8.0级地震，有24条高速公路、6140座桥梁受损，导致了69225人遇难，4600多万人受灾[1]，造成难以估计的损失。

只进行桥梁线性动力分析已经不满足需求，因此破坏性地震下桥梁的非线性动力验算愈来愈得到工程人员的重视。

另一方面，现代桥梁体系延性设计的理念的转变、减隔震支座的采用和大量大跨桥梁复杂新体系的出现，都决定着桥梁非线性动力响应分析的必要性。

2.桥梁非线性动力响应发展经过了各界研究学者的1个多世纪的探索，从1900年日本提出的采用静力等效力来模拟地震力，到现代能够比较完整的考虑地震三大主要效应（峰值、频率、持时）的时域分析方法和频域分析方法，对结构地震动力的线性响应考虑也愈趋细致。

非线性动力响应不再满足叠加原理，表现为非常复杂的力学行为，如分叉、混沌现象。

这些理论和计算远远不理想，本文并不探讨。

文章标题：探索Volterra积分方程和积分微分方程近年来，数学领域中的一个研究热点就是关于Volterra积分方程和积分微分方程的探索。

这两种方程作为微分方程的一种延伸和拓展，具有更广泛的应用领域和更丰富的数学内涵。

在本文中，我们将深入探讨Volterra积分方程和积分微分方程的基本概念、性质和应用，以对这两种方程有更全面的理解。

1. Volterra积分方程Volterra积分方程是由意大利数学家Vito Volterra在20世纪初提出的一种特殊类型的积分方程。

它的一般形式可以表示为：\[ y(t) = f(t) + \int_{a}^{t} K(t, s)y(s)ds \]其中，\( f(t) \) 是已知函数，而 \( K(t, s) \) 是积分核函数。

这种积分方程与常见的微分方程有着本质的区别，它描述了系统状态在过去时间的影响，因此在建模动态系统、生态学、经济学等领域中得到广泛的应用。

2. 积分微分方程积分微分方程是微分方程的一种拓展，它在描述动态系统的行为时更为有效和准确。

一般形式可以表示为：\[ \frac{dy(t)}{dt} = f(t, y(t)) + \int_{a}^{t} K(t, s)y(s)ds \]积分微分方程在研究振动系统、生物学等领域有着重要的应用价值，能够更准确地描述系统状态的演化过程。

3. 深入探讨从数学角度来看，Volterra积分方程和积分微分方程的研究涉及到广泛的数学理论和方法。

通过对积分核函数的性质、解的存在唯一性和稳定性等进行深入的分析，可以揭示这两种方程在动力系统、控制理论中的重要性。

对解的逼近算法、数值求解方法等也是研究的重点之一。

4. 应用领域近年来，随着数据科学和人工智能的发展，Volterra积分方程和积分微分方程在系统建模、数据拟合、信号处理等领域得到了广泛的应用。

通过结合深度学习、强化学习等技术，这两种方程能够更好地挖掘数据之间的关联性，从而为实际问题提供更准确、更有效的解决方案。

Banach空间非线性脉冲Volterra型积分方程整体解的存在
性定理及应用
路慧芹;刘立山
【期刊名称】《数学物理学报》
【年(卷),期】2000(020)001
【摘要】利用一个新的比较结果和M(o)nch不动点定理证明了Banach空间中非线性脉冲Volterra型积分方程整体解的存在性定理,并给出了对Banach空间中一阶脉冲微分方程初值问题的应用,改进了文[1-3]中的主要结果.
【总页数】8页(P101-108)
【作者】路慧芹;刘立山
【作者单位】曲阜师范大学数学系,山东曲阜,273165;曲阜师范大学数学系,山东曲阜,273165
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.Banach空间中非线性脉冲Volterra型积分方程的唯一解 [J], 郭飞
2.Banach空间非线性脉冲Volterra型积分方程的可解性 [J], 李烨;刘立山
3.Banach空间中一类非线性Volterra型积分方程整体解的存在性 [J], 袁邢华;蒋巧云
4.Banach空间中非线性脉冲Volterra型积分方程组的可解性 [J], 张晓燕
5.Banach空间非线性脉冲Volterra积分方程组的整体解 [J], 陈芳启;陈予恕因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一类第二种非线性Volterra 积分程积分数值解法1前言微分程和积分程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点.相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分程对于问题的解决比微分程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较便，结果也比较完美,所以研究积分程便得越来越有用,日益受到重视. 积分程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关.一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分程。

所以最早研究积分程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分程，并用两种法求出了它的解,第一的积分程便是以Abel 命名的程.该程的形式为：⎰=-baax f dt t x t )()()(ϕ,该程称为广义Abel 程,式中a 的值在(0,1)之间.当a=21时，该式子便成为)()(x f dt tx x x a =-⎰ϕ.在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace 反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分程.但是Fourier 其实已经求出了一类积分程的反变换，这就说明在早些时候积分程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分程.积分程的形成基础是有两位数学家Fredholm 和Volterra 奠定的，积分程主要是研究两类相关的程，由于这两位数学家的突出贡献，所以这两个程被命名为Fredholm程和Volterra程。

后来又有德国数学家D.Hilbert进行了重要的研究，并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert领头科学家的研究，所以掀起了一阵研究积分程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分。

第一类Volterra积分方程论文：第一类Volterra积分方程数值方法的研究【中文摘要】第一类Volterra积分方程是很重要的一类积分方程，它是在二十世纪发展并成熟起来的。

物理，力学等领域中的许多实际问题都可以通过转化为第一类Volterra积分方程来求解。

当核函数是连续或具有弱奇性时，通常精确解很难给出。

因此，Tolterra 积分方程的数值解法占有了很重要的地位，通过研究它们有很多有益的分析结果得以实现。

本文正是考虑在数据没有扰动的情况下第一类Volterra积分方程的数值解法。

本文结构如下：第一章主要介绍第一类Volterra积分方程的历史背景，国内外研究现状以及发展趋势。

第二章是一些求解第一类Volterra积分方程的预备理论，包括不适定问题，本文所需要使用的正则化方法：Tikhonov，正则化方法，全变差正则化方法等知识。

第三章研究在数据没有扰动的情况下，求解第一类、Volterra积分方程。

主要利用配置点方法，包括方法的格式构造以及收敛性分析。

第四章数值实验，主要利用Tikhonov正则化方法及全变差正则化方法，正则化参数选取方法为L-曲线法。

【英文摘要】The first-kind Volterra integral equations are a very important kind of integral equa-tions. It has been developed and matured since the twentieth century. Many practicalproblems about physics and mechanics can be solved by changing into the first-kindVolterra integral equations. Whenthe kernel function is continuous or weakly singu-lar, the exact solution is always di?cult to work out. Therefore, the numerical methodsof the first-kind Volterra integral equations play a very important role in mathematics. Byresearching the first-kind Volterra integral equations, there are many wonderful analysis .This article considers the numerical methods of the first-kind Volterra integral equationswhen the data are undisturbed and disturbed.This structure is as follows:In chapterⅠ, we introduce the background , the domestic and foreign researchingsituation and the developping tendency of the first-kind Volterra integral equations. Thisarticle lists some classical methods of solving thefirst-kind Volterra integral equations.In chapterⅡ,we show some preparatory theory of solving the first-kind Volterraintegral equations, ill-posed problems, the regularization methods using in this article:Tikhonov regularization method,total variation regularization method .In chapterⅢ, we research the numerical methods of the first-kind Volterra integralequations when the data is undisturbed, The format structure and convergence analysisare also introduced in this article.In chapterⅣ, we give a numerical experiment based on Tikhonov regularizationmethodand total variation regularization method.The regularization parameter method isthe L-curve method.【关键词】第一类Volterra积分方程不适定问题离散的正则化方法 Tikhonorv正则化方法全变差正则化方法【英文关键词】The first-kind Volterra integral equation Ill-posed problem Discrete regular-ization method Tikhonov regularization method Total variation regularization method【备注】索购全文在线加好友：1.3.9.9.3.8848同时提供论文写作一对一指导和论文发表委托服务【目录】第一类Volterra积分方程数值方法的研究中文摘要3-4Abstract4第1章绪论7-12 1.1 第一类Volterra积分方程的发展历史7-8 1.2 第一类Volterra积分方程的基本理论8-12第2章预备理论12-29 2.1 不适定问题的简介12 2.2 不适定定问题的正则化方法12-29 2.2.1 Titkhonov正则化方法14-16 2.2.2 离散的正则化方法16-19 2.2.3 全变差正则化方法19-26 2.2.4 正则化参数的选取方法26-29第3章数据没有扰动情况下第一类Volterra方程的数值解法29-46 3.1 线性第一类Volterra积分方程的离散正则化方法29-35 3.1.1 方法的格式构造29-30 3.1.2 方法的理论分析30-35 3.2 非线性第一类Volterra积分方程的离散正则化方法35-45 3.2.1 方法的格式构造35-40 3.2.2 方法的理论分析40-45 3.3 本章小结45-46第4章数值实验46-53 4.1 Tikhonov正则化方法的数值实验47 4.2 全变差正则化方法的数值实验47-52 4.3 本章小结52-53结论53-54参考文献54-59致谢59-60攻读学位期间发表的学术论文60。

Science &Technology Vision 科技视界0引言Volterr 型积分不等式在微分方程,积分方程的定性研究中有着非常重要的作用。

2004年Pachpatte [1]研究了一类线性Volterra -Fredholm 型积分不等式:u (t )≤k +h (t )h (α)∫a (t,s )[f (s )u (s )+sh (α)∫c (s,σ)u (σ)dσ]ds+h (β)h (α)∫b (t,s )u(s )ds (1)解的估计。

2008年Ma [2]研究了一类非线性Volterra-Fredholm 型积分不等式:u (t )≤k +α(t )α(t 0)∫σ1(s )[f (s )w (u (s ))+sα(t 0)∫σ2(τ)w (u (τ))dτ]ds+α(T )α(t 0)∫σ1(s )[f (s )w (u (s ))+s α(t 0)∫σ2(τ)w (u (τ))dτ]ds ,t ∈[t 0,T ](2)解的估计。

本文研究了一类幂形式的非线性Volterra-Fredholm 型积分不等式:u (t )≤k +α(t )α(t 0)∫σ1(s )[f (s )u 12(s )+s α(t 0)∫σ2(τ)u 12(τ)dτ]ds+α(T )α(t 0)∫σ1(s )[f (s )u 12(s )+sα(t 0)∫σ2(τ)u 12(τ)dτ]ds ,t ∈[t 0,T ](3)解的估计。

1主要结果本文中R +=[0,+∞],I ∈[t 0,T ];C i (M ,S )为定义在(M ,S )上的i 次连续可微的函数集,其中i =1,2,…;令C 0(M ,S )=C (M ,S )。

定理令u (t ),f (t ),σ1(t ),σ2(t )∈C (I,R +),α∈C 1(I ,I ),α(t )是定义在[t 0,T ]上的连续单调不减函数且α(t )≤t 。

微分变换法求解二维非线性Volterra积分微分方程
魏金侠;单锐;刘文;靳飞
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2012(25)3
【摘要】为了解决二维非线性Volterra积分微分方程的求解问题,本文给出微分变换法.利用该方法将方程中的微分部分和积分部分进行变换,这样简化了原方程,进而得到非线性代数方程组,从而将原问题转换为求解非线性代数方程组的解,使得计算更简便.文中最后数值算例说明了该方法的可行性和有效性.
【总页数】6页(P691-696)
【关键词】Volterra积分微分方程;微分变换法;二维非线性;数值解
【作者】魏金侠;单锐;刘文;靳飞
【作者单位】燕山大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O241.8
【相关文献】
1.变分迭代法求解比例Volterra泛函积分微分方程 [J], 王宝华
2.应用 Legendre 小波求解非线性分数阶 Volterra 积分微分方程 [J], 黄洁;韩惠丽
3.几类可积的非线性常微分方程及二维变系数线性微分系统的求解 [J], 汤光宋
4.关于一类求解非线性Volterra型积分—微分方程的显式... [J], 陶辅周;纪希禹
5.几类可积的非线性常微分方程及二维变系数线性微分系统的求解 [J], 汤光宋因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

近年来，随着科学技术的不断发展，对于微分方程数值解法的研究也愈发深入。

其中，volterra积分微分方程数值解法备受关注。

在本文中，我将为您深入解析volterra积分微分方程数值解法，并共享我个人对这一研究的理解和观点。

1. 了解volterra积分微分方程volterra积分微分方程最早由意大利数学家Vito Volterra在20世纪提出，是描述系统动力学行为的重要数学工具。

它所描述的系统通常包括了历史信息对当前状态的影响，因此对于这类方程的数值解法，要求更高的深度和广度。

2. volterra积分微分方程的数值解法在volterra积分微分方程的数值解法中，常常涉及到离散化、插值、逼近等数值计算方法。

对于不同类型的volterra积分微分方程，如延迟型、非线性型等，需要采用不同的数值解法。

在研究过程中，研究者们不断探索新的数值解法，以提高计算精度和效率。

3. 我的观点和理解在我看来，volterra积分微分方程数值解法是一个非常值得深入研究的课题。

在实际应用中，许多系统对历史信息的依赖程度较高，因此对于这类系统的数值模拟和预测，需要充分理解和掌握volterra积分微分方程的数值解法。

尤其是在生态系统、经济模型等领域，volterra 积分微分方程数值解法的研究将有着更为广阔的应用前景。

4. 总结与回顾通过本文的深度探讨，我们对volterra积分微分方程数值解法有了更为清晰的认识。

在数值解法的研究中，我们需要不断探索新的方法，提高计算精度和效率，以满足实际应用的需求。

我也希望更多的科研工作者能够投入到这一领域的研究中，共同推动数值解法的发展。

通过对volterra积分微分方程数值解法的研究，我们将能够更好地理解系统的动力学行为，并为实际应用提供更有力的支持。

希望本文能够为您对这一课题的理解提供一定的帮助。

5. 进一步探讨volterra积分微分方程数值解法的应用领域除了生态系统和经济模型领域，volterra积分微分方程数值解法还有许多其他的应用领域。

一类第二种非线性Volterra 积分方程积分数值解方法1前言微分方程和积分方程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点.相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分方程对于问题的解决比微分方程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较方便，结果也比较完美,所以研究积分方程便得越来越有用,日益受到重视.积分方程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关.一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分方程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分方程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分方程。

所以最早研究积分方程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分方程，并用两种方法求出了它的解,第一的积分方程便是以Abel 命名的方程.该方程的形式为：⎰=-baax f dt t x t )()()(ϕ,该方程称为广义Abel 方程,式中a 的值在(0,1)之间.当a=21时，该式子便成为)()(x f dt tx x x a =-⎰ϕ.在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace 反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分方程.但是Fourier其实已经求出了一类积分方程的反变换，这就说明在早些时候积分方程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分方程.积分方程的形成基础是有两位数学家Fredholm 和V olterra 奠定的，积分方程主要是研究两类相关的方程，由于这两位数学家的突出贡献，所以这两个方程被命名为Fredholm 方程和V olterra 方程。

后来又有德国数学家D.Hilbert 进行了重要的研究，并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert 领头科学家的研究，所以掀起了一阵研究积分方程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分。

几类具非线性边界条件的奇摄动问题的层现象本文主要利用边界层函数法和微分不等式理论研究了几类具非线性边界条件的奇摄动问题的层现象.全文共分四章：第一章介绍了一般的奇摄动问题的研究意义和概况,综述了与本文相关的一些奇摄动边值问题的成果,并陈述了本文的主要工作和创新之处.第二章通过比较方程,选取适当的界定函数,利用不等式放大技巧讨论了一类具有转向点的非线性边界条件下的二阶非线性方程奇摄动问题ε2y"= f(x, y, y’), -1< x <1, g1(y, z)|y=y(-1), z=y’(-1) = 0, g2(y, z)|y=y(1), z=u’(1) = 0,利用微分不等式理论证明了三类呈内层形态的问题的解的存在性,并给出了解的渐进估计,指出了每类问题在不同条件下,内层处有指数衰减的情况发生或代数衰减的情况发生,最后给出一个例子说明研究成果的意义.第三章通过引入伸展变量、运用边界层函数法构造了一类三阶半线性微分方程的奇摄动非线性混合边值问题ε2y’’’= f(x y, y’, ε), a < x < c, y(b)=A, y’(a) = y’(c), g(y(a), y(c), y’(a), y’(c)) = 0的形式渐近解,再采用微分不等式理论证明了解的存在性,给出了渐近解的误差估计,并得出了边界层函数呈指数型衰减的结论.第四章通过引入伸展变量、运用边界层函数法构造出了一类带非线性混合边界条件的四阶非线性微分方程的奇摄动边值问题εy(4)= f(t, y, y’,y’’,y’’’), a< t <c, y(b)=A, y’(b) = B, g(y’’(a), y’’(c), y’’(c), y’’(a)) = 0, y’’(c)=C的形式渐近解,利用微分不等式理论证明了解的存在性,给出了渐近解关于精确解的误差估计,并得出了边界层函数呈指数型衰减的结论.。

目录摘要 (I)Abstract (II)第1章绪论 (1)1.1课题的背景及研究现状 (1)1.2本文概述 (3)第2章线性弱奇异Volterra积分方程的算法研究 (5)2.1引言 (5)2.2若干再生核空间 (5)2.3应用泰勒展开式和再生核方法求解线性弱奇异Volterra积分方程 (7)2.4稳定性分析 (9)2.5数值算例 (13)2.6本章小结 (14)第3章非线性弱奇异Volterra积分方程的算法研究 (15)3.1引言 (15)3.2HOR法求解非线性弱奇异Volterra积分方程 (15)3.3数值算例 (22)3.4本章小结 (24)结论 (25)参考文献 (26)原创性声明、使用授权书 (30)致谢 (31)ContentsAbstract in Chinese (I)Abstract (II)Chapter1Introduction (1)1.1Background and research status of the subject (1)1.2Summary of the article (3)Chapter2Algorithm research of linear weakly singular Volterra inte-gral equation (5)2.1Introduction (5)2.2Some regenerative nuclear space (5)2.3Using Taylor expansion and reproducing kernel method to solve linearweakly singular Volterra integral equation (7)2.4Stability analysis (9)2.5Numerical example (13)2.6Chapter summary (14)Chapter3Algorithm research of nolinear weakly singular Volterra in-tegral equation (15)3.1Introduction (15)3.2HOR method for solving nonlinear weakly singular Volterra integralequation (15)3.3Numerical example (22)3.4Chapter summary (24)Conclusions (25)References (26)Original Declaration and the Letter of Authorization for Using (30)Acknowledgements (31)摘要本文旨在研究第二类弱奇异Volterra积分方程的算法,由于第二类弱奇异Volterra积分方程的奇异性和非线性方程的复杂性,使其难以用一个精确的解析表达式给出．因此在实际应用中,选择适当的数值方法求解积分方程显得尤为重要.对于第二类线性弱奇异Volterra积分方程,本文在第二章给出了一种计算方法.首先利用泰勒展开式将给定的线性弱奇异Volterra积分方程消去奇异核,再利用再生核函数的再生性,构造出所求方程近似解的表达式.再生核方法是求解积分微分方程的一种准确有效的方法,随后给出解的稳定性分析和数值算例.对于第二类非线性弱奇异Volterra积分方程,本文在第三章提出了一种求解非线性弱奇异核的Volterra积分方程的新方法,将再生核函数与处理弱奇异积分的Riemann-Liouville分数阶积分的定义相结合来求解第二类非线性弱奇异Volterra积分方程.其基本思想是利用HOR基函数逼近方程中的函数,给出了分数阶积分的HOR运算矩阵,并结合块脉冲函数(BPFs)推导出该运算矩阵,将弱奇异方程的求解转化为求解非线性方程组,然后利用牛顿迭代法解非线性方程组.最后数值算例结果表明了该方法的有效性和准确性.关键词非线性Volterra积分方程;弱奇异核;再生核;积分算子矩阵AbstractThe purpose of this paper is to study the algorithm of the second kind of weakly singular Volterra integral equation.Because of the singularity of the second kind of weakly singular Volterra integral equation and the complexity of the nonlinear equation,it is difficult to give it with an exact analytical expression.Therefore, in practical application,it is very important to choose the appropriate numerical method to solve the integral equation.For the second kind of linear weakly singular Volterra integral equation,a calculation method is given in the second chapter.Firstly,the singular kernel is removed from the given linear weakly singular Volterra integral equation by using Taylor expansion,and then the expression of the approximate solution of the equa-tion is constructed by using the reproducibility of the reproducing kernel function. The reproducing kernel method is an accurate and effective method to solve the integro-differential equation,Then the stability analysis and numerical examples are givenFor the second kind of nonlinear weak singular Volterra integral equation,in Chapter3,a new method is proposed to solve the Volterra integral equation with nonlinear weak singular kernel,The second kind of nonlinear weak singular Volter-ra integral equation is solved by combining the reproducing kernel function with the definition of Riemann-Liouville fractional integral which deals with the weak singular integral.The basic idea is to use the HOR basis function to approximate the function in the equation,to give the HOR operation matrix of the fractional integral,and to derive the operation matrix by combining the block pulse function (BPFs),The solution of the weak singular equations is transformed into the solution of the nonlinear equations,and then the Newton iterative method is used to solve the nonlinear equations.Finally,the numerical results show the effectiveness and accuracy of the methodKeywords Nonlinear Volterra integral equation;Weakly singular kernels;Repro-ducing;Matrix of integral operators algebras第1章绪论第1章绪论1.1课题的背景及研究现状积分方程理论的发展,始终与数学物理问题的研究紧密相联,许多工程问题和力学问题的数学模型都可以建模为方程,分为积分方程和微分方程两部分.通常许多微分方程的求解问题可以归结为积分方程的求解问题.而积分方程,既与泛函分析、复分析、随机分析、微分方程、计算数学和位势理论等都有着十分紧密且重要地联系,又是数学与物理、自然科学、力学、生物学、工程学等应用学科连接的重要纽带.积分方程是近代数学的一个重要分支,它在数学物理、电化学、散射理论、热传导、半导体、种群动力学、流体流动等各个领域都有不同的应用[1,2].积分方程的形成和发展是很多重要数学思想的最初来源,许多数学物理方程都可以用积分方程来描述,而许多偏微分方程的定解问题也可以转化为积分问题来处理.特别地,随着计算技术的发展,作为工程计算的重要基础之一,积分方程进一步得到了广泛而有效地应用.并且积分方程的形成和发展包含丰富的研究价值,人们对积分方程的研究包括解的存在性和唯一性问题、方程的近似解的数值解法以及方程的解析解等.积分方程的起源与发展,一直与数学物理问题的研究息息相关.积分方程的一般理论是在二十世纪逐步发展和成熟起来的,不过积分方程的研究早在十九世纪就已经开始.一般认为,从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》,该书是被认为第一个清醒的认为应用积分方程求解的是Abel. Abel分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分方程的文章,但其正式的名称却是由数学家Raymond首次提出的,把该问题的研究正式命名为积分方程.19世纪末,Fredholm和Volterra开启了研究线性积分方程理论的序幕,从此积分理论逐渐发展成了一个分支.1900年,Fredholm把未知函数出现在积分方程里面的方程称为“积分方程”.未知数的出现形式决定着积分方程的分类,其中未知函数以线性形式出现时,该方程被称为线性积分方程;反之,当未知数以非线性形哈尔滨师范大学硕士学位论文式出现时,该方程则被称为非线性积分方程.若由积分方程积分核的光滑程度来研究,分为奇异积分方程和连续的积分方程.从积分上下限的变动情况考虑,又分为Volterra积分方程和Fredholm积分方程.形如f(x)=∫xk(x,t)u(t)dt和u(x)=f(x)+λ∫xk(x,t)u(t)dt的积分方程,依次称为第一次类Volterra积分方程和第二类Volterra积分方程.由于Volterra积分方程在各种领域的不断发展,Volterra积分方程在许多学科中,如电磁学、人口学、粘弹性材料、保险数学等许多学科中都有重要应用.意大利数学家和物理学家Volterra于1896年在数学物理中首次提出Volterra积分方程,典型的第二类线性Volterra积分方程为u(x)=f(x)+λ∫xk(x,t)u(t)dt(1-1)其中f(x)和k(x,t)为已知函数,若k(x,t)=k(x−t),称为差分核.若k(x,t)包含奇异因子如(x−t)−α,0<α<1,(1-1)称为第二类线性弱奇异Volterra积分方程.奇异积分方程作为近代数学的一个组成部分,对于很多实际问题都有非常重要的意义.研究奇异积分方程理论由来已久,通过研究奇异积分方程进而就可以研究工程问题,因此奇异积分方程在很多领域内都得到广泛的应用.由于弱奇异Volterra积分方程问题在理论和实践上的重要性,其数值算法长期吸引着众多数学家、物理学家和工程师们的注意.一种数值方法包括它的数学基础和它的实现,都离不开理论数学的发展和计算手段的改善.随着计算机科学的发展以及现代大型规模电子计算机的出现,对于数值方法的冲击力是历史从未有过的.对于上述形式的弱奇异Volterra积分方程,近年来已有许多专家学者采取了不同的方法对求方程进行求解.1991年,T.Diogo,S.Mckee,T.Tang采用了Hermite 型配置法数值[3].1997年,P.Lima,T.Diogo给出了求解弱奇异Volterra型积分方程外推算法[4].Hu.讨论了具有弱奇异核的Volterra积分方程的β-多项式离散配点法[5].2002年,A.Karamete,M.Sezer提出了求解线性积分微分方程的泰勒配置法,第1章绪论通过对未知函数进行泰勒展开,将待解的积分方程近似地转化为一个含有未知函数的线性方程组来求解[6].2003年,Tao L,Yong H提出了一个新的离散gronwall不等式,利用这个不等式,证明了第二类弱奇异Volterra积分方程数值解的收敛性和误差估计[7].2004年,T.Diogo,N.B.Franco和P.Lima利用牛顿-高斯方法求解带有奇异核的Volterra积分方程[8].2007年,Marek Kolk,Arvet Pedas利用初值问题的积分方程重构,对其进行平滑变换,使得得到的方程的精确解在一定阶次的导数中不包含任何奇点.在此基础上,采用分段多项式配点法求解方程[9].Tao L,Liu YP利用周期化方法和改进的梯形积分规则求解一类阿贝尔积分方程[10]. 2008年,T.Diogo,P.Lima给出了配置法求解弱奇异积分方程的收敛性分析[11]. 2009年,J.Ma,Y.Jiang提出了网格法[12],P.Baratella应用Nystrom插值法解弱奇异Volterra积分方程[13].T.Diogo给出了数值求解弱奇异Volterra型积分方程的配置法和间接配置法[14].2011年,Zhong Chen,Wei Jiang提出一种再生核理论的数值方法,应用加权积分,给出了再生核空间重构的新定义,利用再生核函数的良好性质,给出近似解的表达式[15].2012年,M.S.Hashmi,N.Khan应用同伦渐近法求解弱奇异Volterra积分方程[16].Tau方法被S.K.Vanani和F.Soleymani利用求解弱奇异Volterra积分方程,文中利用任意多项式基的Tau方法,给出了包括Abel方程在内的弱奇异Volterra积分方程的近似多项式解,对弱奇异Volterra积分方程的数值解法,特别是Abel方程的数值解法进行了推广[17].Keyan Wang,Qisheng Wang应用Lagrange配置法求解Volterra-Fredholm积分方程[18].2014年,C.Yang通过Laplace转换法得到了求解Abel积分方程的近似解[19].2015年,S.Nemati给出了数值求解Volterra-Fredholm型积分方程的Legendre配置法,并进一步提高了求解精度[20].L.Zhu,Y.Wang用第二切比雪夫小波(SCW)方法给出了包括Abel方程在内的弱奇异Volterra积分方程的数值解[21].2017-2019年,M.A.Ramadan,M. R.Ali等给出了混合正交Bernstein多项式和块脉冲函数小波法[22−28].Xiulian Shi, Yunxia Wei等人提出了求解一类多维非线性弱奇异积分方程的一种有效的谱配置法[29−34].1.2本文概述Volterra积分方程的求解方法有很多,近十几年来,再生核空间理论在数值逼近领域得到了迅速的发展,再生核数值方法具有许多突出的特点,随着各种具体再生核构造和算子方程的研究,使得再生核为一些积分和微分方程精确解的表示和数值解的计算带来了有效的方法.再生核空间是研究数值分析的比较理想的空间哈尔滨师范大学硕士学位论文框架,适合分析和解决一些非线性问题.且再生核空间具备良好的再生性质,能为改进算法提供良好的空间框架,许多学者也利用再生核方法与其他方法作了有价值的结合.因此,用再生核或者利用再生核方法与别的方法结合来解决带有弱奇异核的Volterra积分方程的数值求解问题将成为一个新的发展方向.本文利用再生核方法与其他方法结合来对含有弱奇异核的第二类线性Volterra积分方程和含有弱奇异核的第二类非线性Volterra积分方程进行了分析和求解.本文的结构安排如下：第一章主要阐述了本文课题的研究背景、实际意义及国内外研究现状,总结本文主要研究的内容和章节安排.第二章给出了再生核空间的基本理论知识和概念.针对线性弱奇异Volterra积分方程,首先利用泰勒展开式处理积分方程的奇异核,将弱奇异积分方程转化为微分积分方程,进而在再生核空间中求解线性微分积分方程,并对方程的解进行了稳定性分析.第三章介绍了正交再生核函数的定义和块脉冲函数的概念和性质,再利用混合正交再生核函数和块状脉冲函数并结合Riemann-Liouville分数阶积分定义来处理非线性弱奇异积分方程,将其转化为一组非线性方程组,最后利用牛顿迭代法求解非线性方程组,通过数值算例展示了该方法的高效性.最后,对本文工作的主要成果进行总结,分析其中不足之处,并在当前工作的基础上提出改进的方向和措施.第2章线性Volterra积分方程的算法研究第2章线性弱奇异Volterra积分方程的数值算法2.1背景介绍Volterra积分方程在数学、物理、力学等很多领域都有重要应用,当核函数具有弱奇异性时,精确解很难被给出.因此弱奇异Volterra积分方程在学术研究中具有很重要的地位.近年来已有很多方法解决了此类问题,例如文献[34]中的样条配置法,文献[35]中利用切比雪夫高斯-洛巴托插值多项式逼近给定函数,文献[36]采用Adomian分解法和变分迭代法求解,文献[37]利用谱配置方法,文献[38]采用谱雅可比配置方法,文献[39]利用再生核方法给出了误差分析等.本章中,考虑以下形式的线性弱奇异Volterra积分方程：u(x)−λ∫x−1k(x,t)u(t)(x−t)αdt=f(x),a≤x≤b,0<α<1其中f(x)是已知函数,1(x−t)α在t→x时奇异,核函数k(x,t)是光滑的,通常假设未知函数u(x)在[a,b]上是连续的或平方可积的.2.2若干再生核空间2.2.1再生核空间W n+1[0,1][40]定义2.1.W n+1[0,1]={u(y)|u(n)(y)在[0,1]上绝对连续,u(n+1)(y)∈L2[0,1]}.W n+1[0,1]为希尔伯特空间,分别赋予其内积和范数:⟨u(y),v(y)⟩W n+1[a,b]=n∑i=0u(i)(a)v(i)(a)+∫bau(n+1)(y)v(n+1)(y)dy∥u∥W n+1[0,1]=√⟨u,u⟩W n+1[0,1]定理2.2.W n+1[0,1]是再生核空间.存在函数R x(y),对于每一个固定x∈[0,1], R x(y)∈W n+1[0,1],对于任意u(y)∈W n+1[0,1],满足u(x)=⟨R x(y),u(y)⟩再生核R x(y)通过以下方程被给出R x(y)=2n+2∑i=1c i(x)y i−1,y≤x2n+2∑i=1d i(x)y i−1,y>xc i(x),d i(x)(i=1,2,...,2n+2)是已知的系数.2.2.2再生核空间W12[0,1][40]定义2.3.W12[0,1]={u(y)|u(y)在[0,1]上绝对连续,u′(y)∈L2[0,1]}.W12[0,1]为希尔伯特空间,分别赋予其内积和范数,⟨u(y),v(y)⟩W12=u(0)v(0)+∫1u′(y)v′(y)dy∥u∥W12=√⟨u,u⟩W12定理2.4.W12[0,1]是再生核空间,因此,存在函数Q x(y),对于每一个固定x∈[0,1],Q x(y)∈W12[0,1],对于任意u(y)∈W12[0,1],满足u(x)=⟨Q x(y),u(y)⟩再生核函数Q x(y)被定义为Q x(y)=1+y,y<x1+x,y>x2.3应用泰勒展开式和再生核方法求解线性弱奇异Volterra积分方程2.3.1泰勒展开式消除弱奇异核给定函数f(x),考虑以下Volterra积分方程:u(x)−λ∫x−1k(x,t)u(t)(x−t)αdt=f(x),a≤x≤b,0<α<1(2-1)在本节中,使用泰勒展开式来消除(2-1)的奇异性.首先,将u(t)在t=x处进行泰勒展开u(t)=u(x)+(t−x)u′(x)+(t−x)22!u′′(x)+···+(t−x)nn!u(n)(x)+R n(x)(2-2)其中R n(x)是泰勒公式的余项.将泰勒展开式(2-2)代入方程(2-1)u(x)−∞∑i=0(−1)iu(i)(x)i!∫x−1k(x,t)(x−t)i−αdt=f(x)(2-3)因此,方程(2-1)转换为方程(2-3),消除了原方程的弱奇异核.2.3.2再生核(RKM)方法求解方程现在,利用再生核（RKM）方法来求解方程(2-3).令有界线性算子L:W n+1[0,1]→W12[0,1]定义如下:L u(x)=u(x)−∞∑i=0(−1)iu(i)(x)i!∫x−1k(x,t)(x−t)i−αdt(2-4)将方程(2-4)转化为等价的算子方程,即L u(x)=f(x)(2-5)令φi(y)=Q(x i,y),这里Q(x i,y)是W12[0,1]空间的再生核,且ψi(x)=L∗φi(x), L∗是L的共轭算子.为了对{ψi(x)}∞i=1进行正交化,在W n+1[0,1]空间中,GramSchmidt正交化过程可采用如下方法：ψi(x)=i∑j=1βijψj(x)这里的βij是正交化系数.定理2.5.设{x i}∞i=1是[0,1]的一组互异稠密点集,则{ψi(x)}∞i=1是W n+1[0,1]的完全系.证明:若⟨ψi(x),u(x)⟩W n+1=0⇔u(x)≡0,我们称{ψi(x)}∞i=1是完全系.考虑⟨ψi(x),u(x)⟩W n+1=⟨L∗Q xi(x),u(x)⟩W n+1=⟨Q xi(x),L u(x)⟩W12=L u(x i)=0.因此{x i}∞i=1在[0,1]是稠密的,因此L u(x)≡0,由此u(x)≡0从L−1的存在得到.定理2.6.ψi(x)=L R xi(y).证明:ψi(x)=⟨ψi(y),R x(y)⟩=⟨L∗Q xi (y),R x(y)⟩=⟨L R x(y),Q xi(y)⟩=L R xi(y).定理2.7.如果{x j}∞j=1在[0,1]上是稠密的,则方程(2-5)的解为u(x)=∞∑i=1i∑j=1βij f(x j)ψi(x)证明:对任意的u n(x)∈W n+1[0,1]和W n+1[0,1]具有一组标准正交基{ψi(x)}∞i=1,所以u(x)可以展成Fourier级数u(x)=∞∑i=1⟨ψi(x),u(x)⟩ψi(x)=∞∑i=1⟨i∑j=1βijψj(x),u(x)⟩ψi(x)=∞∑i=1i∑j=1βij⟨ψj(x),u(x)⟩ψi(x)=∞∑i=1i∑j=1βij⟨L∗Q x j(x),u(x)⟩ψi(x)=∞∑i=1i∑j=1βij⟨Q x j(x),L u(x)⟩ψi(x)=∞∑i=1i∑j=1βij⟨Q x j(x),f(x)⟩ψi(x)=∞∑i=1i∑j=1βij f(x j)ψi(x)截断u(x)所得近似解u n(x)为u n(x)=n∑i=1i∑j=1βij f(x j)ψi(x)这里的βij,x j,ψi(x)被给出.2.4稳定性分析为了考虑近似解的稳定性,在右边加上一个扰动ε(x),(2-5)变为L u(x)=f(x)+ε(x),x∈[0,1](2-6)现在,我们讨论(2-6)解的表示.2.4.1方程(2-6)所有解的表示为了研究方程(2-6)的稳定性,令L为从W n+1[0,1]到Ψ的投影算子Ψ={u|u=∞∑i=1c iψi(x),for{c i}∞i=1∈l2}这里的{ψi}∞i=1由(2-5)给出,并且L满足L∗=L.此外Lψi(s)=∞∑i=1⟨ψi(s),ψk(s)⟩ψk(s)=ψi(s)则有L u(t)=∞∑i=1⟨u(t),ψi(t)⟩ψi(t)这里的u(t)是(2-5)在W n+1[0,1]上的解.定义u L(t)=L u(t)因此,我们有u L(t)=∞∑i=1⟨u(t),ψi(t)⟩ψi(t)=∞∑i=1i∑k=1βik f(t k)ψi(t)(2-7)定理2.8.如果{t i}∞i=1在[0,1]是稠密的,那么(2-7)是方程(2-5)在Ψ上的解.证明:L u L(t i)=⟨L u L(t),ψi(t)⟩=⟨u L(t),L∗ψi(t)⟩=⟨L u(t),ψi(t)⟩=⟨u(t),L∗ψi(t)⟩=⟨u(t),Lψi(t)⟩=⟨u(t),ψi(t)⟩=⟨u(t),L∗ψi(t)⟩=⟨L u(t),ψi(t)⟩=⟨f(t),ψi(t)⟩=f(t i)因为{t i}∞i=1在[0,1]是一组互异的稠密点集,则L u L(t)=f(t).很明显(2-5)在Ψ中是唯一的.下面的引理成立.引理2.9.Ψ⊥=N(L),这里Ψ⊥={u(t)|⟨u(t),v(t)⟩=0,∀v(t)∈Ψ}且N(L)是L的零空间,则N(L)={u|L u=0}.证明:对任意的u(t)∈Ψ⊥,0=⟨u(t),ψk(t)⟩=⟨u(t),L∗ψk(t)⟩=⟨L u(t),ψk(t)⟩=L u(t k)因为{t i}∞i=1在[0,1]上是稠密的,则L u(t)≡f(t).可以得到v(t)∈N(L).显然, N(L)⊂Ψ⊥.则Ψ⊥=N(L).定理2.10.{t i}∞i=1是[0,1]上的稠密集,若(2-6)有解,解 u(t)可以表示为:u(t)=∞∑i=1t∑k=1βik f(t k)ψi(t)+τ(t)这里τ(t)∈N(L).证明:假设{σt }∞i =1是N (L )的一组基.对{ψ1,ψ2,···,σ1,σ2,···}正交化,我们得到σt =∞∑k =1βik ψk (t )+t ∑j =1βij σj ,i =1,2,...因此,{ψ1,ψ2,···,σ1,σ2,···}是W n +1[0,1]的一组标准正交基.由定理2.10,我们得到了(2-6)的解.因此,通过Gram-Schmidt 正交化过程,有{ψt }∞t =1∪{σt }∞t =1是W n +1[0,1]的完全正交系,{σt }∞t =1是N (L )的完全正交系.2.4.2再生核空间中(2-5)解的稳定性令Ψ空间是完备的.L Ψ是L ∈Ψ的限制算子,则逆算子L −1Ψ:W n +1[0,1]→Ψ存在且有界.引理2.11.若u L (t )由(2-5)得到,那么u L (t )是最小范数解.证明:令u (t )是方程(2-5)的解.有u (t )=u L (t )+v (t )这里u L (t )∈Ψ,v (t )∈Ψ⊥.则下式成立∥u ∥2=⟨u L +v,u L +v ⟩=∥u L +v ∥2+⟨u L ,v ⟩+⟨v,u L ⟩+∥v ∥2=∥u L ∥2+∥v ∥2≥∥u L ∥2证明得到u L 是(2-5)的最小范数解.定理2.12.如果(2-6)有解,令u L (t )为最小范数解,那么u L (t )在W n +1[0,1]空间是稳定的.∥u L (t )−u L ,n (t )∥2→0(n −→∞)这里u L ,n (t )是u L (t )截断后得到的,因此u L (t )在W n +1[0,1]中是稳定的.证明:令f(t)=f n(t)+εn(t),这里εn(t)是扰动项.在∥·∥W n+1意义下,εn(t)→0(n→∞).一方面,因为L−1Ψεn(t)∈Ψ,L∗Ψφk=φk,因此L−1Ψεn(t)=∞∑i=1⟨L−1Ψεn(t),ψi(t)⟩ψi(t)=∞∑i=1⟨L−1Ψεn(t),t∑k=1βikψk(t)⟩ψi(t)=∞∑i=1t∑k=1βik⟨L−1Ψεn(t),ψk(t)⟩ψi(t)=∞∑i=1t∑k=1βik⟨εn(t),L−1∗Ψψk(t)⟩ψi(t)=∞∑i=1t∑k=1βik⟨εn(t),L−1∗ΨL∗Ψψk(t)⟩ψi(t) =∞∑i=1t∑k=1βik⟨εn(t k),ψk(t)⟩ψi(t)=∞∑i=1t∑k=1βikεn(t k)ψi(t)另一方面,f,f n∈W12[0,1],由(2-5)得u L(t)−u L,n(t)=∞∑i=1t∑k=1βik[f(t)−f n(t)]ψi(t)=∞∑i=1t∑k=1βikεn(t k)ψi(t)这里u L,n(t)=∞∑i=1t∑k=1βik f n(t k)ψi(t)于是u L(t)−u L,n(t)=L−1Ψεn(t)由L−1Ψ的连续性且在∥·∥W n+1意义下,εn(t)→0(n→∞),有limn→∞∥u L(t)−u L,n(t)∥W n+1≤∥L−1Ψ∥W n+1limn→∞∥εn(t)∥W n+1=02.5数值算例在这一节中,通过数值算例来证明本方法的准确性.例1.考虑以下具有光滑核和光滑解的Volterra 积分方程[13]:u (x )=f (x )−∫x−1exp (x −s )(x −s )−αu (s )ds,x ∈[0,1]这里精确解为u (x )=sin (πx ),f (x )由α的取值而确定.当我们应用本文方法,当α=0.8时,分别取节点个数n =100、200、300,所得误差如图1所示.0.20.40.60.8 1.00.000050.000100.000150.000200.20.40.60.8 1.00.000010.000020.000030.000040.000050.20.40.60.8 1.05. 100.000010.0000150.00002图1:分别对应|u −u 100|,|u −u 200|,|u −u 300|的绝对误差.由图1可知,随着n 的增加,近似解的精度越来越好.0.00.20.40.60.81.00.0100.0050.0000.0050.0100.015图2:ε=0.1,ε=0.01,ε=0.001三种情况下的相对误差叠加图.从图2中可以看出,在f (x )添加三种扰动项后,相对误差图基本重合.例2.考虑下面的Abel 积分方程[13]:u (x )=g (x )−∫x−1(x −s )−αu (s )ds,x ∈[0,1]真解u(x)=sin(x)xα,qp是有理数,q<p.其中g(x)=sin(x)xα+√πΓ(1−α)x12−αsinx2B(12−α,12)这里的B(·,·)是Bessel函数B(α,x)=(x2)α+∞∑k=0(−x2)kk!Γ(α+k+1)4k表2:例2当α取不同值时的相对误差节点α=0.4的相对误差α=0.9的相对误差11/1001.10425×10−72.84195×10−731/1002.22156×10−71.57889×10−751/1002.45733×10−81.82809×10−771/1001.49182×10−82.90083×10−891/1002.71828×10−88.50539×10−82.6本章小结本章主要内容在于线性Volterra积分方程的求解.首先利用泰勒展开式消去弱奇异核,将弱奇异积分方程转化为微分积分方程,然后在再生核空间求解微分积分方程.数值算例的结果表明,该方法具有较好的逼近效果和稳定性.第3章非线性Volterra积分方程的数值算法3.1背景介绍本章考虑以下形式的非线性弱奇异Volterra积分方程:u(x)−λ∫x0k(x,t)u p(t)(x−t)1−αdt=f(x),a≤x≤b,0<α<1(3-1)其中f(x)是已知函数,1(x−t)1−α在t→x时奇异,核函数k(x,t)是光滑的,通常假设未知函数u(x)在[a,b]上是连续的或平方可积的.对于非线性Volterra积分方程有很多数值算法,例如第二个Chebyshev小波SCW法[21],谱配置法[29−34],分数阶勒让德函数和伪谱法[43].本章利用构造的再生核基函数和块脉冲函数相结合的方法来求解非线性方程(3-1).3.2HOR法求解非线性弱奇异Volterra积分方程3.2.1再生核空间W12[0,1]定义3.1.W12[0,1]={u(y)|u(y)在[0,1]上绝对连续,u′(y)∈L2[0,1]}.W12[0,1]为希尔伯特空间，分别赋予其内积和范数，⟨u(y),v(y)⟩W12=u(0)v(0)+∫1u′(y)v′(y)dy∥u∥W12=√⟨u,u⟩W12定理3.2.W12[0,1]是再生核空间,因此,存在函数Q x(y),对于每一个固哈尔滨师范大学硕士学位论文定x∈[0,1],Q x(y)∈W12[0,1],对于任意u(y)∈W12[0,1],满足u(x)=⟨Q x(y),u(y)⟩再生核函数Q x(y)被定义为Q x(y)=1+y,y<x1+x,y>x3.2.2基函数的构造现在,从W12[0,1]空间中选取一组再生核基函数.定理3.3.设{x j(x)}∞j=1是[a,b]上互异的点,则Q xj(x)def=Q(x j,x)是再生核空间W12[0,1]中的线性无关组.若{x j(x)}∞j=1在[a,b]稠密,则Q xj(x)是再生核空间W12[0,1]中的基[41].对{Q xj (x)}∞j=1做Schmidt正交化可以得到W12[0,1]的一组标准正交基ψj(x).ψj(x)=j∑k=1βjk Q xj(x)这里βjk是正交化系数.由此得到一组标准正交基函数ψj(x).为方便表示,记正交再生核基函数为HOR j(x)=ψj(x).因此,获得一组W12[0,1]中的标准正交基函数{HOR1,HOR2,···,HOR2k−1M−1}. HOR标准正交基满足：⟨HOR j(x),HOR j′(x)⟩=1,i=j′0,j=j′这里的⟨·,·⟩为W12[0,1]的内积.任何在[0,1]中可积的函数u(x),都可以使用以下HOR函数展开为:u(x)=∞∑j=1c j HOR j(x)第3章非线性Volterra 积分方程的算法研究式中,系数c j 可由内积确定,即c j =⟨u (x ),HOR j (x )⟩下面用一个截断的级数来近似表示u (x ),如下所示:u (x )≈2k −1M ∑j =1c j HOR j (x )=C T HOR (x )这里HOR (x )和C 是2k −1M ×1向量,如下所示：HOR (x )=[HOR 1,HOR 2,···,HOR 2k −1M ]TC =[c 1,c 2,···,c 2k −1M ]T令m ′=2k −1M ,取节点t i =2i −12k M (i =1,2,···,2k −1M ),我们定义HOR 矩阵Φm ′×m ′如下:Φm ′×m ′=[HOR (12m ′),HOR (32m ′),···,HOR (2m ′−12m ′)]当M=3,k=2时,HOR 矩阵表示为：1.040831.040831.040831.040831.040831.0408300.4082480.4082480.4082480.4082480.408248000.4082480.4082480.4082480.4082480000.4082480.4082480.40824800000.4082480.408248000000.4082483.2.3分数阶积分算子矩阵在本节中,首先来回顾一下分数微积分的一些基本定义.定义3.4.对于一个正实数α,那么一个定义在[0,1]上的函数f (x )的α阶Riemann-Liouville 分数阶积分定义为：哈尔滨师范大学硕士学位论文(Iαf)(x)=1Γ(α)∫x(x−t)α−1f(t)dt,α>0,x>0f(x),α=0(3-2)其中,Γ(α)为Gamma函数.下面来回顾块脉冲函数的定义和特性.定义3.5.m-维块脉冲函数(BPFs)定义如下：b i(x)=1,im≤x≤i+1m0,其他(3-3)这里x∈[0,1),i=1,2,···,m−1.BPFs函数满足以下性质：(1)不相交性:b i(x)b j(x)=b i(x),i=j0,i=j(2)正交性:∫10b i(x)b j(x)dx=1,i=j0,i=j任何在[0,1)上可积的函数f(x)可由BPFs展开为：f(x)≈m−1∑i=0f i b i(x)=F T B m(x)这里F=[f0,f1,f2,···,,f m−1]T,B m(x)=[b0(x),b1(x),b2(x),···,,b m−1(x)]T.由BP F s的不相交性,矩阵B m(x)如下所示:B m(x)B Tm (x)=B0(x)0 00B1(x) 0............00···B m−1(x)–18–第3章非线性Volterra积分方程的算法研究HOR函数可以展开为m-维块脉冲函数,如下形式：HOR m′=Φm′×m′B m′(x)(3-4)其中B m′(x)=[b0(x),b1(x),···,,b m′−1(x)]T.块脉冲函数的分数阶积分算子Fα已经由Kilicman和Alzhour给出[42].(IαB m′)(x)≈(FαB m′)(x)(3-5)这里Fα=1m′α1Γ(α+2)1ζ1ζ2ζ3···ζm′−101ζ1ζ2···ζm′−2001ζ1···ζm′−3..................00···01ζ1000 (01)ζk=(k+1)α+1−2kα+1+(k−1)α+1令(IαHOR m′)(x)≈(PαHOR m′)(x)(3-6)其中矩阵Pα称为HOR函数的分数阶积分算子矩阵.由方程(3-4)和方程(3-5)可得(IαHOR m′)(x)≈(IαΦm′×m′B m′)(x)=Φm′×m′(IαB m′)(x)=Φm′×m′FαB m′(x)(3-7)由方程(3-6)和方程(3-7)得到PαHOR m′(x)=PαΦm′×m′B m′(x)=Φm′×m′FαB m′(x)(3-8)则分数阶再生核算子矩阵Pα为：Pα=Φm′×m′FαΦ−1m′×m′哈尔滨师范大学硕士学位论文例如,当α=0.5,M=2,k=3时,分数阶积分HOR矩阵为:Pα=0.3071060.6486330.4222540.341470.2947820.2632800.3071060.2544150.1656220.1339360.115623000.3071060.2544150.1656220.1339360000.3071060.2544150.16562200000.3071060.254415000000.3071063.2.4利用HOR求解非线性Volterra积分方程考虑如下非线性弱奇异Volterra积分方程：u(x)=f(x)+∫x0k(x,t)u p(t)(x−t)1−αdt,0<α<1(3-9)其中u(x),f(x),k(x,t)可近似为：u(x)≈U T HOR(x)≈U TΦm′×m′B m′(x)(3-10)f(x)≈F T HOR(x)≈U TΦm′×m′B m′(x)(3-11)k(x,t)≈HOR T(x)K HOR(t)(3-12)这里,K是m′×m′矩阵K=⟨HOR(x),⟨k(x,t),HOR(t)⟩⟩(3-13)下面定义A=U TΦm′×m′=[a1,a2,···,,a m′]则方程(3-10)变为u(x)≈AB m′(x)第3章非线性Volterra积分方程的算法研究则u p(x)≈A p B m′(x)(3-14)其中A p=U TΦm′×m′=[a p1,a p2,···,,a p m′],p是正整数.因此,把方程(3-10),(3-11),(3-12),(3-14)带入(3-9)得到U T HOR(x)=F T HOR(x)+λ∫x(x−t)α−1HOR T(x)KHOR(t)A P B m′(t)dt(3-15)这里λ∫x(x−t)α−1HOR T(x)KHOR(t)A P B m′(t)dt=λHOR T(x)K ∫x(x−t)α−1HOR(t)B Tm′(t)A P dt=λHOR T(x)K ∫x(x−t)α−1Φm′×m′B m′(t)B T m′(t)A P dt=λHOR T(x)KΦm′×m′∫x(x−t)α−1B m′(t)B T m′(t)A P dt=λHOR T(x)KΦm′×m′∫x(x−t)α−1diag(A P)B m′(t)dt=λHOR T(x)KΦm′×m′diag(A P)∫x(x−t)α−1B m′(t)dt=λΓ(α)HOR T(x)KΦm′×m′diag(A P)IαB m′(x)=λΓ(α)HOR T(x)KΦm′×m′diag(A P)FαB m′(x)=λΓ(α)B Tm′(x)ΦT m′×m′KΦm′×m′diag(A P)FαB m′(x)=λΓ(α) QB m′(x)(3-16)这里的 Q=B T m′(t)ΦT m′×m′KΦm′×m′diag(A P)Fα.所以,方程(3-15)被写成如下形式U T HOR(x)=F T HOR(x)+λΓ(α) QB m′(x)将方程(3-4)带入上式U TΦm′×m′B m′(x)=F TΦm′×m′B m′(x)+λΓ(α) QB m′(x)用B m′(x)乘上述方程的两边,并在区间[0,1]积分,根据BPFs的正交性,可以得到如下非线性方程组U TΦm′×m′=F TΦm′×m′+λΓ(α) Q(3-17)为了计算未知系数矩阵U T,取网格点t i=2i−12k−1M(i=1,2,···,m′)带入方程哈尔滨师范大学硕士学位论文（3-17)得到一个由m′个未知数组成的非线性方程组,用牛顿迭代法解非线性方程组,得到未知量U T,则近似解u(x)可计算为u(x)=U T HOR m′×m′(x)3.3数值算例下面使用本章所给出的方法来求解以下弱奇异Volterra积分方程.例1.考虑以下具有光滑核和光滑解的Volterra积分方程[13]:u(x)=πx5csc(π5)−∫xu(t)(x−t)0.2dt,x∈[0,1]这里的精确解u(x)=x2.Error(10图4.1:分别表示当k=4,M=2时的精确解和近似解的对比图及误差图.表1:例1HOR和Chebyshev方法绝对误差的比较[13]x i HOR精确解HOR的绝对误差Chebyshev的绝对误差k=8,M=8k=8,M=8n=80.10.63095711330.63095734452.3×10−71.4×10−50.20.72477953380.72477966371.2×10−72.1×10−50.30.78600298530.78600308561.0×10−73.5×10−50.40.8325531230.83255320748.4×10−85.5×10−50.50.87055049270.87055056337.1×10−82.4×10−50.60.90288039240.90288045145.9×10−84.4×10−50.70.93114986560.93114991515.0×10−85.2×10−50.80.95635245670.95635249984.3×10−87.1×10−50.90.97914832390.97914836243.8×10−86.9×10−5第3章非线性Volterra积分方程的算法研究例2.考虑以下弱奇异Volterra积分方程[21]:u(x)=x3−40966435x17/2+∫xxt(x−t)0.5u3(t)dt,x∈[0,1]这里的精确解u(x)=x2.表2:例2HOR和SCW方法绝对误差的比较[21]x i HOR精确解HOR的绝对误差SCW的绝对误差k=4,M=2k=4,M=2k=4,M=20.10.00100123130.0011.2313×10−69.6679×10−50.20.00800476640.0084.7664×10−64.7192×10−40.30.027********.0278.3197×10−67.6218×10−40.40.06400849880.0648.4988×10−65.2959×10−40.50.12503511490.1253.5115×10−54.7042×10−30.60.21607026110.2167.0261×10−54.3467×10−40.70.34318745690.3431.8746×10−52.7024×10−50.80.51240942240.5124.0942×10−55.0051×10−50.90.72982114370.7298.2114×10−47.3236×10−3例3.考虑以下非线性带奇异核的Volterra积分方程[21]:u(x)=x2+√x15(15−16x2)+∫xu4(t)(x−t)0.5dt,x∈[0,1]这里的精确解u(x)=√x.k,M取不同值时的绝对误差数值结果见表3.表3:例3HOR和SCW方法绝对误差的比较[21].x i HOR SCW HOR SCW k=4,M=2k=4,M=2k=5,M=2k=5,M=2 0.17.7317×10−66.8039×10−33.0366×10−61.4565×10−3 0.26.1034×10−61.4873×10−31.9800×10−71.8367×10−4 0.34.1378×10−65.2635×10−48.4214×10−71.2211×10−4 0.41.5974×10−52.7034×10−41.5396×10−66.8020×10−5 0.53.6909×10−58.2247×10−43.8105×10−62.2140×10−4 0.69.2840×10−51.6089×10−41.1926×10−52.6100×10−5 0.71.1574×10−47.3143×10−34.4679×10−52.9370×10−5 0.81.0484×10−44.6887×10−36.3578×10−52.4144×10−6 0.91.9961×10−37.3699×10−31.0129×10−48.3715×10−6哈尔滨师范大学硕士学位论文3.4本章小结本章提出了一种新的方法求解非线性弱奇异Volterra积分方程包括Abel方程,运用正交再生核和块脉冲函数相结合的方法,利用Riemann-Lioville分数阶算子矩阵将所考虑的方程转化为易于求解的非线性方程组,最后利用牛顿迭代法求解非线性方程组.数值算例结果表明了该方法的有效性.当求解此类积分方程时,难点在于弱奇异部分的处理.因此,该方法的主要特点是将再生核方法与处理弱奇异积分的Riemann-Lioville分数积分的定义结合,从而得到代数方程组.数值算例表明,当k,M越大时,误差越小.结论结论近年来,弱奇异Volterra积分方程广泛应用于许多科学领域,对于很多实际问题都有非常重要的意义.由于弱奇异Volterra积分方程问题在理论和实践上的重要性,其数值解法的研究就显得格外重要.一般来说,这种方程不容易获得解析解. Volterra积分方程的求解方法有很多,近十几年来,再生核空间理论发展迅速,具有强大的实用前景的框架结构,并且因为再生核函数又是一个初等函数,这就使得再生核理论在计算上有着极强的优势.因此利用再生核或者再生核方法与别的方法结合来解决带有弱奇异核的Volterra积分方程是一个研究方向.本文对第二类弱奇异Volterra积分方程进行了算法研究,针对线性和非线性方程设计了不同的算法.对于线性弱奇异Volterra积分方程,首先利用泰勒展开式消去弱奇异核,将弱奇异积分方程转化为积分微分方程,然后在再生核空间中近似求解积分微分方程.在数值算例部分,结果表明数值解与精确解吻合较好.对于非线性弱奇异Volterra积分方程,运用混合正交再生核和块脉冲函数相结合的方法,利用Riemann-Lioville分数阶算子矩阵将所考虑的方程转化为易于求解的非线性方程组,最后利用牛顿迭代法求解非线性方程组,可得到近似解的表达式.本文利用Mathematica12.0软件对算例进行了数值模拟,并与已有文献进行比较,其结果表明了该方法的有效性.由于时间仓促,本文也存在一定不足,有待于进一步的探索和完善.在今后的工作中,将进一步探索文中算法所能应用的领域,使其能求解更多不同种类的模型,并尝试优化算法,来获得非线性方程近似解的更高精度.参考文献mm,L.Eldn.Numerical Solution of First-Kind Volterra equations by Sequential Tikhonov Regularization.Numer.Anal.1997,34(4):1432∼14502H.J.Teriele.Collocation Methods for Weakly Singular Second Kind Volterra Integral Equations with Non-smooth Solution.IMAJ.Numer.Anal.1982,2(4): 437∼4493T.Diogo,S.Mckee,T.Tang.A Hermite-type Collection Method for The Solutions for Anintegral Equation with A Certain Weakly Singular Kernel.IMAJ.Numer.Anal.1991,11:595∼6054P.Lima,T.Diogo,An Extrapolation Method for a Volterra Integral Equation with Weakly Singular Kernel.Appl.Numer.Math.1997,24(2-3):131∼1485Q.Hu.Superconvergence of Numerical Solutions to Volterra Integral Equations with Singularities.SIAM J.Numer.Anal.1997,34(5):1698∼1707.6A.Karamete,M.Sezer.A Taylor Collection Method for The Solutions of Linear Integro-Differential put.Math.2002,79:798∼10007Tao L,Yong H.A Generalization of Discrete Gronwall Inequality and Its Applica-tion to Weakly Singular Volterra Integral Equation of The Second Kind.J.Math.Anal.App.2003,282(1):56∼628T.Diogo,N.B.Franco,P.Lima.High Order Product Integration Methods for a Volterra Integral Equation with Logarithmic Singular m.Pure Appl.Anal.2004,3(2):217∼2359Marek Kolk,Arvet Pedas.Smoothing Transformation and Piecewise Polynomi-al Collocation for Volterra Integro-Differential Equations with Weakly Singular Kernels.WSEAS Transactions Math.2007,6(4):537∼544.10Tao L.,Y.Liu.Mechanical Quadrature Methods and Their Extrapolation for Solving First Kind Abel Integral put.Appl.Math.2007, 201(1):300∼313.11T.Diogo,P.Lima Superconvergence of Collocation Methods for a Class of Weakly Singular Volterra Integral put.Appl.Math.2008,218(2):307∼316。

非线性分数阶微分方程奇异边值问题的唯一解于瑶【摘要】Green's function and its properties for the nonlinear fractional differential equation boundary value problem Dα0+u(t) +f(t,u(t) ) = 0,0 <t <1;u(0) =u(l) =u'(0) =0, is considered where 2 <α≤3 is a real number, and Dα0+ is the standard Riemann-Liouville differentiation. As an application of Green's function and its properties, uniqueness of solution is given for the singular boundary value problem by means of a fixed-point theorem on cones and a mixed monotone method. One concrete example is respectively given to explain the above theorem finally.%研究了非线性分数阶微分方程边值问题Dα0+u(t) +f(t,u(t))=0,0＜t＜1；u(0)=u(1)=u'(0)=0,的Green函数及其性质,其中2 ＜α≤3是实数,Dα0+是标准Riemann-Liouville型微分,并利用锥不动点定理和混合单调方法证明了奇异边值问题解的唯一性.最后举例加以说明.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2011(000)026【总页数】5页(P6253-6257)【关键词】分数阶微分方程;奇异边值问题;唯一解;分数阶格林函数;不动点定理【作者】于瑶【作者单位】大连教育学院,大连116021【正文语种】中文【中图分类】O175.8近些年来，分数阶微分方程已经成为国内外研究的一个热点，受到人们越来越多的关注和研究。

非线性中立型Volterra延迟积分微分方程线性θ-方法的散逸
性
姚金然;张学华;赵磊
【期刊名称】《黄山学院学报》
【年(卷),期】2009(011)005
【摘要】研究了非线性中立型Volterra延迟积分微分方程及数值方法的散逸性问题.给出了关于此方程理论解散逸性的充分条件,并获得了一类求解此类问题的线性θ-方法的数值散逸性结果,此结果表明所考虑的数值方法继承了该方程的散逸性.【总页数】6页(P1-6)
【作者】姚金然;张学华;赵磊
【作者单位】黄山学院教学系,安徽黄山245041;黄山学院教学系,安徽黄山245041;黄山学院信息工程学院,安徽黄山245021
【正文语种】中文
【中图分类】O241.8
【相关文献】
1.非线性Volterra延迟积分微分方程多步Runge-Kutta方法的散逸性 [J], 姚金然;甘四清;殷乃芳;史可
2.非线性Volterra延迟积分微分方程Runge-Kutta方法的散逸性 [J], 祁锐;何汉林
3.中立型多延迟积分微分方程Runge-Kutta方法的散逸性 [J], 王素霞;徐英
4.非线性中立型延迟积分微分方程线性多步法的散逸性 [J], 祁锐;张玉洁
5.非线性中立型延迟微分方程的散逸性 [J], 程珍;黄乘明
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