高二数学第二学期期末试题

北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第1页（共5页）北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学2024.7本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在等差数列{}n a 中，13a =，35a =，则10a =（A ）8（B ）10（C ）12（D ）14（2）设函数()sin f x x =的导函数为()g x ，则()g x 为（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数（D ）非奇非偶函数（3）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（A ）110（B ）310（C ）15（D ）35（4）在等比数列{}n a 中，若11a =，44a =，则23a a =（A ）4（B ）6（C ）2（D ）6±（5）投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X ，则方差()D X =（A ）518（B ）13（C ）53（D ）536北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第2页（共5页）（6）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =-，1053231S S =，则6a =（A ）132-（B ）164-（C ）132（D ）164（7）设函数()ln f x x =的导函数为()f x '，则（A ）(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<-（B ）(3)(3)(2)(2)f f f f ''<-<（C ）(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<-（D ）(2)(3)(2)(3)f f f f ''<-<（8）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）如果()e x f x ax =-在区间(1,0)-上是单调函数，那么实数a 的取值范围为（A ）1(,][1,)e -∞+∞ （B ）1[,1]e（C ）1(,]e-∞（D ）[1,)+∞（10）在数列{}n a 中，12a =，若存在常数(0)c c ≠，使得对于任意的正整数,m n 等式m n m n a a ca +=+成立，则（A ）符合条件的数列{}n a 有无数个（B ）存在符合条件的递减数列{}n a （C ）存在符合条件的等比数列{}n a （D ）存在正整数N ，当n N >时，2024n a >北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第3页（共5页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

第1页（共7页）东城区2023-2024学年度第二学期期末教学统一检测高二数学参考答案及评分标准2024.7一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）A （3）D （4）A （5）C （6）B （7）B （8）C （9）A （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）(1,)+∞（12）2213y x -=（13）540（14）20（15）①③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）设事件A ：单局比赛中甲4:0领先，则44114()552225P A =⨯⨯⨯=．……………………………………6分所以单局比赛中甲4:0领先的概率是425．（Ⅱ）设事件B ：乙以3:1赢得比赛，则133212()()3327P B C =⨯⨯=．所以乙以3:1赢得比赛的概率为227．……………………………………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）依题意，(0)f a b ==.因为()e 1x f x a '=+，所以(0)1f a '=+.依题意，(0)1f '=-，故11a +=-，得2a =-.所以2a b ==-.……………………………………7分第2页（共7页）(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()21x f x e '=-+.令()0f x '=，解得ln 2x =-.令()0f x '>，得ln 2x <-，所以()f x 在区间(,ln 2)-∞-上单调递增；令()0f x '<，得ln 2x >-，所以()f x 在区间(ln 2,)-+∞上单调递减.所以()f x 的单调递增区间为(,ln 2)-∞-；单调递减区间为(ln 2,)-+∞.………………………………………….……13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）设事件A ：遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，品牌1A 被选中，则15261()3C P A C ==．所以遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，品牌1A 被选中的概率是13．………………………………………….……4分（Ⅱ）12个整点或半点中，“峰时”有6个，“平时”有4个，“谷时”有2个．X 的所有可能取值为36，45，54．2(36)12P X ==，4(45)12P X ==，6(54)12P X ==，所以X 的分布列为X364554P 161312所以111()36455448632E X =⨯+⨯+⨯=（元）.…………………….……9分（Ⅲ）按新车使用8年计算，燃油汽车使用的燃油费为30000831440005⨯⨯=（元），新能源汽车使用电费最多为300008(1.00.8)864005⨯⨯+=（元），因为购买新能源汽车比燃油汽车多花费40000元，第3页（共7页）所以144000400008640017600--=（元）．新能源汽车至少比燃油车总花费少17600元，所以选择新能源汽车总花费更少．…………………….……14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点0（，得b =.因为3AFB π∠=，所以1c =．由于222a b c =+，解得24a =.所以E 的方程为22143x y +=．…………………….……4分（Ⅱ）设直线PQ 的方程为1x my =+．由221,143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=,所以222(6)36(34)1441440m m m ∆=++=+>.设1122(,),(,)P x y Q x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+.直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得点M 的纵坐标为11116623M y y y x my ==++.同理可得点N 的纵坐标为2263N y y my =+.()()12121244141339N M N M y y y y y y k k my my =⋅==--++12212123()94y y m y y m y y +++=22222363491893434m m m m m =-+--+++1=-.所以12k k 为定值.…………………….……15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.第4页（共7页）当2a =时，222(1)()2x f x x x x-'=-=.令()0f x '=，解得1x =，或1x =-(舍).当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x (0,1)1(1,)+∞()f x '-0+()f x 单调递减0单调递增因此，当1x =时，()f x 有极小值，极小值为(1)0f =.（Ⅱ）22()2a x a f x x x x-'=-=.(1)当2a ≤时，因为(1,)x ∈+∞，所以220x a ->.所以()0f x '>.所以()f x 在区间(1,)+∞上单调递增.故()(1)0f x f >=，满足题意.(2)当2a >时，令()0f x '<，得212x <<.所以()f x 在区间22上单调递减.所以2((1)02f f <=,不符合题意.综上可知，(,2]a ∈-∞.…………………….……9分（Ⅲ）当2a ≤时，由（Ⅱ）知，对任意(1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，所以()f x 在区间(1,)+∞没有零点，不符合题意.当2a >时，因为()fx 在区间上单调递减，且(1)0f =，所以()f x 在区间上无零点.因为()f x 在区间(1,)+∞上存在唯一零点0x ，所以022x >.因为当2x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()2+∞上单调递增.要证20e a x -<，只要证20()(e )a f x f -<，即只要证2(e )0a f ->.224(e )e (2)1a a f a a --=---，令20t a =->，只要证2e (2)10t t t -+->.第5页（共7页）令2()e (2)1(0)x g x x x x =-+->，2()2e 22x g x x '=--.令2()2e 22x h x x =--，当0x >时，24e 2)0(x h x -'=>，所以()g x '在区间(0,)+∞上单调递增，则有()(0)0g x g ''>=.所以()g x 在区间(0,)+∞上单调递增，则有()(0)0g x g >=，于是2(e )0a f ->得证.故20e a x -<.…………………….……15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）因为数列4:1,2,3,4A ，4():3,1,4,2T A ，所以24():4,3,2,1T A ，34():2,4,1,3T A ，44():1,2,3,4T A ．…………….……4分（Ⅱ）对数列4A 的任意变换T ，①若存在{1,2,3,4}i ∈，有()i i T a a =，则35()i i i T a a a -=≠，则T 不是4A 的3阶逆序变换．②若对{,,,}{1,2,3,4}i j s t =，有()i j T a a =，()j i T a a =，()s t T a a =，()t s T a a =，则32()()()i j i T a T a T a ==，3()()j j T a T a =，3()()s s T a T a =，3()()t t T a T a =．所以34()T A 和4()T A 是相同的数列．若34()T A 是4A 的逆序排列，则4()T A 也是4A 的逆序排列．所以T 不是3阶逆序变换．③若对{,,,}{1,2,3,4}i j s t =，有()i j T a a =，()j s T a a =，()s t T a a =，()t i T a a =，则32()()()i j s t T a T a T a a ===，32()()()t i j s i T a T a T a a a ===≠．所以T 不是4A 的3阶逆序变换．综上所述，对于4项数列4A ，不存在3阶逆序变换．………………….……9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，4项数列4A 不存在3阶逆序变换．第6页（共7页）对于3项数列3123:,,A a a a ，①若11()T a a =，则3113()T a a a =≠，所以变换T 不是3A 的3阶逆序变换．②若12()T a a =，当21()T a a =时有33()T a a =，则3331()T a a a =≠，所以变换T 不是3A 的3阶逆序变换．当23()T a a =时有31()T a a =，则3212313()()()T a T a T a a a ===≠，所以变换T 不是3A 的3阶逆序变换．③若13()T a a =，同②可知，变换T 不是3A 的3阶逆序变换．所以3项数列3A 不存在3阶逆序变换．对于5项数列512345:,,,,A a a a a a ，若存在3阶逆序变换T ，则315()T a a =，324()T a a =，333()T a a =，342()T a a =，351()T a a =．①若33()T a a =，则对于数列41245:,,,A a a a a 和上述的变换T ，有315()T a a =，324()T a a =，342()T a a =，351()T a a =．所以这个4项数列41245:,,,A a a a a 存在3阶逆序变换，与（Ⅱ）结论矛盾．②若33()T a a ≠，因为333()T a a =，则存在,{1,2,4,5}i j ∈，有3()i T a a =，()i j T a a =，3()j T a a =．此时，3235()()()i j i i T a T a T a a a -===≠，与T 是3阶逆序变换矛盾．所以，5项数列5A 不存在3阶逆序变换．第7页（共7页）对于6项数列6123456:,,,,,A a a a a a a ，存在变换T 使得6236145():,,,,,T A a a a a a a ，则26365214():,,,,,T A a a a a a a ，36654321():,,,,,T A a a a a a a ．所以6项数列6A 存在3阶逆序变换．综上，n 的最小值为6．…………………….……15分。

数学参考答案第1页（共6页）海淀区2024年高二年级学业水平调研数学参考答案2024.07一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）B （3）C （4）B （5）A （6）B（7）C（8）C（9）D（10）D二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）（11）24（12）0,1；23（13）21n n --（14）0.7；0.22（15）①③④三、解答题（共4小题，共40分）（16）（共8分）解：（Ⅰ）()f x 在(,0)-∞上单调递增，证明如下：因为2()(1)e x f x x x =--，所以'()e (1)e 2e 2(e 2)x x x x f x x x x x x =+--=-=-，又因为(,0)x ∈-∞，从而e 2120x -<-<，所以'()(e 2)0x f x x =->，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：'()(e 2)x f x x =-，因为(0,)x ∈+∞，令'()0f x =，得ln 2x =．()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：xln 2(0,)ln 2ln 2(,)+∞'()f x -+()f x ↘极小↗数学参考答案第2页（共6页）因为02(0)(01)e 010f =--=-<，2222(2)(21)e 2e 20f =--=->，所以由零点存在定理及()f x 单调性可知，()f x 在(0,)+∞上恰有一个零点．（17）（共10分）解：（Ⅰ）记A 表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足1A q >且2B q >”．用频率估计概率，则3()10P A =．所以该产品满足1A q >且2B q >的概率为310.（Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为0，1，2.511(0)10816P X ==⨯=，51571(1)1081082P X ==⨯+⨯=，577(2)10816P X ==⨯=.所以X 的分布列为X 012P11612716所以X 的数学期望为11711012162168EX =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）甲生产线上的产品质量更好，因为甲生产线上Q 值的平均值0.800.0810Q ==甲，乙生产线上Q 值的平均值0.870.18Q =>乙，所以甲生产线上Q 值的平均值明显比乙小，所以甲生产线上的产品质量更好．其它理由：计算甲生产品的Q 值小于乙的概率744+5+5+4+3+5+2+691810162++=>⨯（注：答案不唯一，理由需要支撑相应结论，只计算甲乙方差不能作为理由。

福州2023-2024学年第二学期期末考试高二数学（答案在最后）一、单选题1.已知tan22α=，则1cos sin αα+的值是（）A.2B.2C.D.122.已知复数2i1iz -=+（其中i 为虚数单位），则z =（）A.13i 22- B.13i 22+C.33i 22- D.33i 22+3.若0a b <<，则下列结论正确的是（）A.ln ln a b> B.22b a< C.11a b< D.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4.已知(31)(1)n x x -+的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含4x 的项的系数为（）A.20B.25C.30D.355.已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>的部分图像如图所示，则函数()f x 的一个单调递增区间是（）A.75,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B.7,1212ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ D.1117,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭6.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的左、右支分别交于点P 、Q .若1:1:2F P PQ =，且122cos 3F QF ∠=，则C 的离心率为（）A.3B.2C.D.7.等差数列()*12,,n a a a n N∈ ，满足121212111222n n n a a a a a a a a a +++=++++=++++++++ 122010333n a a a =+++=+++ ，则（）A.n 的最大值是50B.n 的最小值是50C.n 的最大值是51D.n 的最小值是518.对于曲线22:1C x y --+=，给出下列三个命题：①关于坐标原点对称；②曲线C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2；③曲线C 与曲线3x y +=有四个交点．其中正确的命题个数是（）A.0B.1C.2D.3二、多选题9.已知22()1xf x x =+，则下列说法正确的有（）A.()f x 奇函数B.()f x 的值域是[1,1]-C.()f x 的递增区间是[1,1]- D.()f x 的值域是(,1][1,)-∞-+∞ 10.已知抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在准线上，过点F 作PF 的垂线且与抛物线交于A ，B 两点，则（）A.PF 最小值为2B.若PA PB =，则2AB PF =C.若8AB =，则PF =D.若点P 不在x 轴上，则2FA FB PF⋅>11.已知随机变量X 、Y ，且31,Y X X =+的分布列如下：X 12345Pm11015n310若()10E Y =，则（）A.310m =B.15n =C.()3E X =D.7()3D Y =12.已知数列{}n a 满足2122n n n a a a +=-+，则下列说法正确的是（）A.当112a =时，()5124n a n <≤≥ B.若数列{}n a 为常数列，则2n a =C.若数列{}n a 为递增数列，则12a > D.当13a =时，1221n n a -=+三、填空题13.函数()()lg 12x f x x +=+的定义域是_________．14.若一个圆的圆心是抛物线24x y =的焦点，且该圆与直线3y x =+相切，则该圆的标准方程是__________．15.已知函数()(),f x g x 的定义域为R ，且()()()()6,24f x f x f x g x -=+-+=，若()1g x +为奇函数，()23f =，则311()k g k ==∑__________．四、解答题16.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC的面积tan 4S ac B =⋅.（1）求B ；（2）若a ､b ､c 成等差数列，ABC 的面积为32，求b .17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认为12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82818.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos a ca B =-.（1）证明：2B A =；（2）若3a =，b =，求c ．19.双败淘汰制是一种竞赛形式，与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同，参赛者只有在输掉两场比赛后才丧失争夺冠军的可能.在双败淘汰制的比赛中，参赛者的数量一般是2的次方数，以保证每一轮都有偶数名参赛者.第一轮通过抽签，两人一组进行对阵，胜者进入胜者组，败者进入负者组.之后的每一轮直到最后一轮之前，胜者组的选手两人一组相互对阵，胜者进入下一轮，败者则降到负者组参加本轮负者组的第二阶段对阵；负者组的第一阶段，由之前负者组的选手（不包括本轮胜者组落败的选手）两人一组相互对阵，败者被淘汰（已经败两场），胜者进入第二阶段，分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手，胜者进入下一轮，败者被淘汰.最后一轮，由胜者组最终获胜的选手（此前从未败过，记为A ）对阵负者组最终获胜的选手（败过一场，记为B ），若A 胜则A 获得冠军，若B 胜则双方再次对阵，胜者获得冠军.某围棋赛事采用双败淘汰制，共有甲、乙、丙等8名选手参赛.第一轮对阵双方由随机抽签产生，之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方，每场对阵没有平局.（1）设“在第一轮对阵中，甲、乙、丙都不互为对手”为事件M ，求M 的概率；（2）已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为23，解决以下问题：①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率；②若甲在第一轮获胜，设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量ξ，求ξ的分布列.20.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos()1B A C ++=.（1）求角B 的大小；（2）若M 为BC 的中点，且AM AC =，求sin BAC ∠.21.已知函数()()2111()R ,ax x f x x ea a g x e x +-=+-∈=-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）对∀a ∈(0，1)，是否存在实数λ，[][]1,,1,n m a a a a ∃∈∀∈--，使()2()0f g n m λ-⎡⎤⎣<⎦成立，若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由.福州2023-2024学年第二学期期末考试高二数学一、单选题1.已知tan22α=，则1cos sin αα+的值是（）A.2B.2C.D.12【答案】D 【解析】【分析】利用二倍角公式和商公式即可得出答案.【详解】由tan 22α=，则212cos 11cos 2sin 2sin cos 22ααααα+-+=2cos 2sin cos 22ααα=1tan 2α=12=.故选：D 2.已知复数2i1iz -=+（其中i 为虚数单位），则z =（）A.13i 22- B.13i 22+C.33i 22- D.33i 22+【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法法则、共轭复数的定义即可得出．【详解】由已知()()()()2i 1i 13i1i 1i 22z --==-+-，则13i 22z =+.故选：B .3.若0a b <<，则下列结论正确的是（）A.ln ln a b >B.22b a < C.11a b< D.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质判断B ，C ，利用对数函数和指数函数的性质判断A ，D.【详解】因为函数ln y x =在()0+∞，上单调递增，0a b <<，所以ln ln b a >，A 错误，因为0a b <<，由不等式性质可得220a b <<，B 错误，因为0a b <<，所以0a b -<，0ab >，所以110a b b a ba --=<，故11b a<，C 错误，因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0+∞，上单调递减，0a b <<，所以1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴D 正确，故选：D.4.已知(31)(1)n x x -+的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含4x 的项的系数为（）A.20B.25C.30D.35【答案】B 【解析】【分析】根据所有项的系数之和求解n ，写出(1)n x +的展开式，求3x 与二项式中含3x 的项相乘所得的项，-1与二项式中含4x 的项相乘所得的项，两项相加，即为(31)(1)n x x -+的展开式中含4x 的项.【详解】所有项的系数之和为64，∴(31)(11)64n -+=，∴5n =5(31)(1)(31)(1)n x x x x -+=-+，5(1)x +展开式第1r +项515r r r T C x -+=，2r =时，2333510T C x x ==，3431030x x x ⋅=，1r =时，144255T C x x ==，44(1)55x x -⨯=-，44430525x x x -=，故选：B ．5.已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>的部分图像如图所示，则函数()f x 的一个单调递增区间是（）A.75,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B.7,1212ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D.1117,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由图像得出解析式，再由正弦函数的单调性判断即可.【详解】根据函数()()2sin (0)f x x ωϕω=+>的部分图像，可得1122544312T πππω⋅=⋅=-解得2ω=，∴函数()()2sin 2f x x ϕ=+再把5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数的解析式，可得52sin 26ϕπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴5sin 1,2πZ ,63k k ππϕϕ⎛⎫+=∴=-+∈⎪⎝⎭（）故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令222,232k x k k Z πππππ--+∈ ，得51212k x k πππ-π+ ，当1k =时，函数()f x 的一个单调递增区间是1117,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D.6.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的左、右支分别交于点P 、Q .若1:1:2F P PQ =，且122cos 3F QF ∠=，则C 的离心率为（）A.3 B.2C.D.【答案】A 【解析】【分析】由向量的关系求出线段之间的关系，设1||PF x =，则||2PQ x =，1||3QF x =，再由双曲线的定义可得2||2PF a x =+，2||32QF x a =-，再由数量积为可得直线的垂直，分别在两个直角三角形中由余弦定理可得a ，c 的关系，可求出离心率．【详解】1:1:2F P PQ =，设1||PF x =，则||2PQ x =，1||3QF x =，由双曲线的定义可得2||2PF a x =+，2||32QF x a =-，因为122cos 3F QF ∠=，在12QF F 中，由余弦定理有222121212122cos F F QF QF QF QF F QF =+-⋅⋅∠，即22224(3)(32)3(32)32c x x a x x a -⨯=+--⨯，①在2PQF 中，由余弦定理有222222122cos PF PQ QF PQ QF F QF =+-⋅⋅∠，即2222(2)(32)(2)(32)(2)32a x x a x x a x -+=-+-⨯，②由②可得83x a =，代入①可得229c a =，即3c a =.所以C 的离心率为：3ce a==，故选：A.公众号：高中试卷君7.等差数列()*12,,n a a a n N∈ ，满足121212111222n n n a a a a a a a a a +++=++++=++++++++ 122010333n a a a =+++=+++ ，则（）A.n 的最大值是50B.n 的最小值是50C.n 的最大值是51D.n 的最小值是51【答案】A 【解析】【分析】不妨设10a >，0d <，由对称性可得：2,*n k k N =∈.可得10k k a a +>⎧⎨<⎩，130k a ++<.解得3d <-.可得()121222010k k k k a a a a a a +++++-+++= ，可得22010k d =-，解出即可得出.【详解】解：不妨设10a >，0d <，由对称性可得：2,*n k k N =∈.则10k k a a +>⎧⎨<⎩，130k a ++<.()110a k d +->，10a kd +<，130a kd ++>∴3d <-∴()121222010k k k k a a a a a a +++++-+++= ，∴22010k d =-，∴220103k-<-，解得：k <，∴2k <，∴250k ≤.∴n 的最大值为50.故选：A .【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质､方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.8.对于曲线22:1C x y --+=，给出下列三个命题：①关于坐标原点对称；②曲线C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2；③曲线C 与曲线3x y +=有四个交点．其中正确的命题个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】分析两个曲线的对称性，并结合函数的图象和性质，利用数形结合，即可判断①③，利用基本不等式，即可判断②.【详解】①将曲线22:1C x y --+=中的x 换成x -，将y 换成y -，方程不变，所以曲线关于原点对称，并且关于x 轴和y 轴对称，故①正确；②设曲线C 上任一点为(),P x y ()222222222211224y x x y x y xy x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当2222y x x y=，即222x y ==时，等号成立，2≥，曲线C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2，故②正确；③曲线3x y +=中的x 换成x -，将y 换成y -，方程不变，所以曲线关于原点对称，并且关于x 轴和y 轴对称，并且将x 换成y ，y 换成x ，方程不变，所以曲线也关于y x =对称，曲线2211:1C x y +=中，21x ≥且21y ≥，将曲线2211:1C x y+=中的x 换成y ，y 换成x ，方程不变，所以曲线C 也关于y x =对称，当0,0x y >>时，联立22111x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得x y ==，当0,0x y >>时，y ==1x >时，函数单调递减，3<，所以点在直线3x y +=的下方，如图，在第一象限有2个交点，根据两个曲线的对称性可知，其他象限也是2个交点，则共有8个交点，故③错误；故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是③的判断，判断的关键是对称性的判断，以及将方程转化为函数，判断函数的单调性，即可判断.二、多选题9.已知22()1xf x x =+，则下列说法正确的有（）A.()f x 奇函数B.()f x 的值域是[1,1]-C.()f x 的递增区间是[1,1]- D.()f x 的值域是(,1][1,)-∞-+∞ 【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，利用奇函数的定义进行判断；对于B ，D ，利用判别式法求其值域；对于C ，利用单调性的定义进行判断【详解】对于A ，()221xf x x =+，其定义域为R ，有()()221x f x f x x -=-=-+，为奇函数，A 正确；对于B ，221xy x =+，变形可得220yx x y -+=，则有2440y ∆=-≥，解可得11y -≤≤，即函数的值域为[]1,1-，B 正确，对于C ，()221xf x x =+，任取12,x x R ∈，且12x x <，则1221121222221212222()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，当12,[1,1]x x ∈-，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 的递增区间是[1,1]-，所以C 正确，对于D ，由选项B 的结论，D 错误，故选：ABC ．10.已知抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在准线上，过点F 作PF 的垂线且与抛物线交于A ，B 两点，则（）A.PF 最小值为2B.若PA PB =，则2AB PF =C.若8AB =，则PF = D.若点P 不在x 轴上，则2FA FB PF⋅>【答案】ABC 【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式、抛物线的性质逐一判断即可.【详解】点()1,0F ，抛物线的准线方程为=1x -，设()1,P m -，2PF ==≥=，所以点P 在横轴上时PF 有最小值2，所以选项A 正确；若PA PB =，根据抛物线的对称性可知点P 在横轴上，把1x =代入24y x =中，得2y =±，()224AB =--=，此时2PF =，于是有2AB PF =，所以选项B 正确；因为8AB =，显然点P 不在横轴上，则有22PF AB m k k m=⇒=-，所以直线AB 的方程为()21y x m=-代入抛物线方程中，得()2244240x x m -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，2122x x m +=+22121182284AB x x m m =+++=⇒++=⇒=，PF ===，所以选项C 正确，点P 不在x 轴上，由上可知：2122x x m +=+，121=x x ，()()22121212111224x x x x x x FA FB m m =++=+++=++=+⋅，而224PFm =+，显然2FA FB PF ⋅=，所以选项D 不正确，故选：ABC11.已知随机变量X 、Y ，且31,Y X X =+的分布列如下：X 12345Pm11015n310若()10E Y =，则（）A .310m =B.15n =C.()3E X =D.7()3D Y =【答案】AC 【解析】【分析】由分布列的性质和期望公式求出,m n 可判断ABC ；由方差公式可判断D .【详解】由113110510m n ++++=可得：25m n +=①，又因为()()()313110E Y E X E X =+=+=，解得：()3E X =，故C 正确.所以()1132345310510E X m n =+⨯+⨯++⨯=，则7410m n +=②，所以由①②可得：13,1010n m ==，故A 正确，B 错误；()()()()()2222231113()1323334353101051010D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯3113134114101010105=⨯+⨯+⨯+⨯=,()()13117()319955D Y D X D X =+==⨯=，故D 错误.故选：AC .12.已知数列{}n a 满足2122n n n a a a +=-+，则下列说法正确的是（）A.当112a =时，()5124n a n <≤≥ B.若数列{}n a 为常数列，则2n a =C.若数列{}n a 为递增数列，则12a > D.当13a =时，1221n n a -=+【答案】AD 【解析】【分析】令1n n b a =-可得21n n b b +=，据此判断A ，令n a t =，由递推关系222t t t =-+求出即可判断B ，根据B 及条件数列{}n a 为递增数列，分类讨论求出10a <或12a >时判断C ，通过对21n n b b +=取对数，构造等比数列求解即可判断D.【详解】对于A ，当112a =时，254a =，令1n n b a =-，则21n n b b +=，214b =，故()1024n b n <≤≥，即()5124n a n <≤≥，A 正确；对于B ，若数列{}n a 为常数列，令n a t =，则222t t t =-+，解得1t =或2,1n t a =∴=或2n a =，B 不正确；对于C ，令1n n b a =-，则21n n b b +=，若数列{}n a 为递增数列，则数列{}n b 为递增数列，则210n n n n b b b b +-=->，解得0n b <或1n b >.当11b <-时，2211b b =>，且21n n b b +=，2312,n b b b b b ∴<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<，此时数列{}n b 为递增数列，即数列{}n a 为递增数列；当110b -≤<时，201b <≤，且21n n b b +=，2312,n b b b b b ∴≥≥⋅⋅⋅≥≥⋅⋅⋅<，此时数列{}n b 不为递增数列，即数列{}n a 不为递增数列；当11b >时，21n n b b +=，123n b b b b ∴<<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，此时数列{}n b 为递增数列，即数列{}n a 为递增数列.综上，当11b <-或11b >，即10a <或12a >时，数列{}n a 为递增数列，C 不正确；对于D ，令1n n b a =-，则21n n b b +=，12b =，两边同时取以2为底的对数，得212log 2log n n b b +=，21log 1b =，∴数列{}2log n b 是首项为1，公比为2的等比数列，12log 2n n b -∴=，即11222,21n n n n b a --=∴=+，D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题所给数列的递推关系并不常见，对学生的理性思维要求比较高，求解时将已知条件变为()2111n n a a +-=-是非常关键的一步，再根据每个选项所附加的条件逐一进行判断，既有求解数列的项的取值范围的问题，又考查了数列的单调性、数列通项的求解，要求学生具备扎实的逻辑推理能力.本题难度比较大，起到压轴的作用.公众号：高中试卷君三、填空题13.函数()()lg 12x f x x +=+的定义域是_________．【答案】()1,-+∞【解析】【分析】由真数大于0和分母不等于0建立不等式组即可求解.【详解】解：由1020x x +>⎧⎨+≠⎩，可得1x >-，所以函数()()lg 12x f x x +=+的定义域是()1,-+∞，故答案为：()1,-+∞.14.若一个圆的圆心是抛物线24x y =的焦点，且该圆与直线3y x =+相切，则该圆的标准方程是__________．【答案】()2212x y +-=【解析】【分析】求出圆心和半径可得答案.【详解】抛物线的焦点为(0,1)，故圆心为(0,1)，圆的半径为R ==，故圆的方程为：22(1)2x y +-=．故答案为：22(1)2x y +-=．15.已知函数()(),f x g x 的定义域为R ，且()()()()6,24f x f x f x g x -=+-+=，若()1g x +为奇函数，()23f =，则311()k g k ==∑__________．【答案】1-【解析】【分析】由()f x 的对称性及()()24f x g x -+=得()()2g x g x =--，再由()1g x +为奇函数得()()4g x g x =--，从而得()()8g x g x -=，即()g x 是周期为8的周期函数，再利用周期可得答案.【详解】由()1g x +为奇函数，得()()11g x g x -+=-+，即()()2g x g x -=-，由()()6f x f x -=+，得()()()2422f x f x f x ⎡⎤-=+=---⎣⎦，又()()24f x g x -+=，于是()()442g x g x -=---，即()()2g x g x =--，从而()()22g x g x -=---，即()()4g x g x +=-，因此()()()84g x g x g x -=--=，函数()g x 的周期为8的周期函数，显然(1)(5)(2)(6)(3)(7)(4)(8)0g g g g g g g g +=+=+=+=，又(32)(0)4(2)1g g f ==-=，所以83111()4()(32)4011k k g k g k g ===-=⨯-=-∑∑.故答案为：1-【点睛】结论点睛：函数()f x 关于直线x a =对称，则有()()f a x f a x +=-；函数()f x 关于(,)a b 中心对称，则有()2()2f a x f x b -+=；函数()f x 的周期为2a ，则有()()f x a f x a -=+.四、解答题16.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积tan 4S ac B =⋅.（1）求B ；（2）若a ､b ､c 成等差数列，ABC 的面积为32，求b .【答案】（1）6π（2）1+【解析】【分析】（1）由三角形面积公式和同角三角函数的关系化简已知式子可求得B ；（2）由a ､b ､c 成等差数列，可得22242a c b ac +=-，再由ABC 的面积为32，可得6ac =，然后利用余弦定理可求得结果【小问1详解】∵1sin tan 24S ac B ac B ==，∴1sin sin 24cos B B B =⋅，即3cos 2B =，∵0B π<<，∴6B π=.【小问2详解】∵a ､b ､c 成等差数列，∴2b a c =+，两边同时平方得：22242a c b ac +=-，又由（1）可知：6B π=，∴113sin 242S ac B ac ===，∴6ac =，222412a c b +=-，由余弦定理得，22222241243cos 21242a cb b b b B ac +----====，解得24b =+，∴1b =+17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认为12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解【解析】【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算2K ，并与临界值对比分析；（2）用频率估计概率可得0.64p =，根据题意计算p +，结合题意分析判断.【小问1详解】根据题意可得列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯-⨯===⨯⨯⨯，因为3.841 4.6875 6.635<<，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.【小问2详解】由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64150=，用频率估计概率可得0.64p =，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈，可知p p >+所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos a c a B =-.（1）证明：2B A =；（2）若3a =，b =，求c ．【答案】（1）证明见解析（2）5c =【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简2cos a c a B =-可得sin sin()A B A =-，结合角的范围，可证明结论；（2）由正弦定理可得sin sin 3B A =，结合（1）的结论利用二倍角公式可求出cos 3A =，继而求得cos B ，结合已知条件即可求得答案.【小问1详解】由2cos a c a B =-及正弦定理得sin sin 2sin cos A C A B =-，因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin cos sin sin cos sin()A A B A B B A =-=-．因为0πA <<，0πB <<，所以ππB A -<-<，所以B A A -=，或πB A A -+=（即B π=，不合题意，舍去），所以2B A =．【小问2详解】由正弦定理可得sin 26sin 3B b A a ==，由（1）知sin sin22sin cos B A A A ==，代入上式可得6cos 3A =，所以21cos cos22cos 13B A A ==-=，再由条件可得12cos 3653c a a B =+=+⨯=．19.双败淘汰制是一种竞赛形式，与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同，参赛者只有在输掉两场比赛后才丧失争夺冠军的可能.在双败淘汰制的比赛中，参赛者的数量一般是2的次方数，以保证每一轮都有偶数名参赛者.第一轮通过抽签，两人一组进行对阵，胜者进入胜者组，败者进入负者组.之后的每一轮直到最后一轮之前，胜者组的选手两人一组相互对阵，胜者进入下一轮，败者则降到负者组参加本轮负者组的第二阶段对阵；负者组的第一阶段，由之前负者组的选手（不包括本轮胜者组落败的选手）两人一组相互对阵，败者被淘汰（已经败两场），胜者进入第二阶段，分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手，胜者进入下一轮，败者被淘汰.最后一轮，由胜者组最终获胜的选手（此前从未败过，记为A ）对阵负者组最终获胜的选手（败过一场，记为B ），若A 胜则A 获得冠军，若B 胜则双方再次对阵，胜者获得冠军.某围棋赛事采用双败淘汰制，共有甲、乙、丙等8名选手参赛.第一轮对阵双方由随机抽签产生，之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方，每场对阵没有平局.（1）设“在第一轮对阵中，甲、乙、丙都不互为对手”为事件M ，求M 的概率；（2）已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为23，解决以下问题：①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率；②若甲在第一轮获胜，设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量ξ，求ξ的分布列.【答案】（1）47；（2）①427；②答案见解析.【解析】【分析】（1）先求出8人平均分成四组的方法数，再求出甲，乙，丙都不分在同一组的方法数，从而可求得答案；（2）①甲恰在对阵三场后淘汰，有两种情况：“胜，败，败”和“败，胜，败”，然后利用互斥事件的概率公式求解即可②由题意可得{}3,4,5,6,7ξ∈，然后求出各自对应的概率，从而可得ξ的分布列【详解】（1）8人平均分成四组，共有2222864244C C C C A 种方法，其中甲，乙，丙都不分在同一组的方法数为35A ，所以()352222864244A P A C C C C A =47=（2）①甲恰在对阵三场后淘汰，这三场的结果依次是“胜，败，败”或“败，胜，败”，故所求的概率为211121333333⨯⨯+⨯⨯427=②若甲在第一轮获胜，{}3,4,5,6,7ξ∈.当3ξ=时，表示甲在接下来的两场对阵都败，即()1113339P ξ==⨯=.当4ξ=时，有两种情况：（i ）甲在接下来的3场比赛都胜，其概率为222833327⨯⨯=；（ii ）甲4场对阵后被淘汰，表示甲在接下来的3场对阵1胜1败，且第4场败，概率为12211433327C ⋅⨯⨯=，所以()844427279P ξ==+=当5ξ=时，有两种情况：（i ）甲在接下来的2场对阵都胜，第4场败，概率为221433327⨯⨯=；（ii ）甲在接下来的2场对阵1胜1败，第4场胜，第5场败，概率为1221218333381C ⋅⨯⨯⨯=；所以()48205278181P ξ==+=.当6ξ=时，有两种情况：（i ）甲第2场胜，在接下来的3场对阵为“败，胜，胜”，其概率为2212833381⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭；（ii ）甲第2场败，在接下来的4场对阵为“胜，胜，胜，败”，其概率为31218333243⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭；所以()8832681243243P ξ==+=.当7ξ=时，甲在接下来的5场对阵为“败，胜，胜，胜，胜”，即()41216733243P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.所以ξ的分布列为：ξ34567P 194920813224316243【点睛】关键点点睛：此题考查互斥事件概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，解题的关键是正确理解题意，求出3,4,5,6,7ξ=对应的概率，考查分析问题的能力，考查计算能力，属于中档题20.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos()1B A C ++=.（1）求角B 的大小；（2）若M 为BC 的中点，且AM AC =，求sin BAC ∠.【答案】（1）3π（2）7【解析】【分析】（1）利用诱导公式及辅助角公式计算可得；（2）利用余弦定理和正弦定理求出结果．【小问1详解】解：在ABC 中，A B C π++=()cos 1B A C ++=，()cos 1B B π+-=cos 1B B -=，∴2sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0B π<<，∴5666B πππ-<-<，∴66B ππ-=，∴3B π=；【小问2详解】解：在ABC 中，222222cos AC a c ac B a c ac =+-=+-，在ABM 中，2222212cos 2242a a a AM c c B c ⎛⎫=+-⨯=+- ⎪⎝⎭，又AM AC = ，∴2222142a a c ac c ac +-=+-，32a c ∴=，代入上式得2AC =，在ABC 中，sin 21sin 7BC B BAC AC ⋅∠==．21.已知函数()()2111()R ,ax x f x x e a a g x e x +-=+-∈=-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）对∀a ∈(0，1)，是否存在实数λ，[][]1,,1,n m a a a a ∃∈∀∈--，使()2()0f g n m λ-⎡⎤⎣<⎦成立，若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）答案不唯一见解析（2）存在，e λ≥.【解析】【分析】（1）求函数导数，分0,0,0a a a =><三种情况，分析()f x '与0的关系，即可求出函数的单调区间；（2）由题意转化为0λ>且2min min [()]()f n g m λ<，利用导数求出min 22[()](1)f n a =-，min ()(1)0g x g ==，即转化为21(1)a a e a λ-->-，构造函数21(1)(),[0,1)x x h x x e x --=∈-，利用导数可求出21(1)a a e e a--<-，即可求解.【详解】（1）()211ax f x x e a +=+-(R)a ∈的定义域为(,)∞∞-+，1()(2)ax f x x ax e +'=+⋅，①当a =0时，0,()0,0,()0x f x x f x ''>><<，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞.②当a >0时，22,,()0,,0,()0,(0,)x f x x f x x a a ⎛⎫⎛⎫''∈-∞->∈-<∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0f x '>，所以函数()f x 的单调递增区间为2,,(0,)a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.③当a <0时，22(,0),()0,0,,()0,,x f x x f x x a a '⎛⎫⎛⎫'∈-∞<∈->∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0f x '<所以函数()f x 的单调递减区间为2(,0),,a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）由1()xg x e x -=-，得1()1x g x e -'=-，当1x >时，()0, 1 g x x '><时，()0g x '<，故()g x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)0g x g ==，故当[1,]m a a ∈-时，1min ()()0a g m g a e a -==->当(0,1)a ∈时，21a a ->-，由（1）知，当[1,]n a a ∈-时，min ()(0)10f n f a ==->所以min 22[()](1)f n a =-，若对[1,],[1,]m a a n a a ∀∈-∃∈-使2[()]()0f n g m λ-<成立，即2[()]()f ng m λ<则0λ>且2min min [()]()f n g m λ<.所以()21(1)e a a a λ--<-，所以21(1)a a e a λ-->-.设21(1)(),[0,1)x x h x x e x --=∈-，则()()1121(1)31()x x x x e xe x h x e x --'-----=-，令11()3e e 1,[0,1]x x r x x x x --=---∈则1()(2)e 1x r x x -'=--，当[0,1)x ∈时，由1x e x >+，故1e 2x x ->-，所以1(2)1x x e --<，故()0r x '<，所以()r x 在[0,1]上单调递减，所以[0,1)x ∈时，()(1)0r x r >=，即()0r x >,又[0,1)x ∈时,10x -<,所以当[0,1)x ∈时，()0,()h x h x <'单调递减，所以当(0,1)x ∈时，()(0)h x h e <=，即(0,1)a ∈时，21(1)a a e e a--<-，故e λ .所以当e λ 时，对(0.1),[1,],[1,]a m a a n a a ∀∈∀∈-∃∈-使2[()]()0f n g m λ-<成立.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数求函数的最值，恒成立问题，转化思想，分类讨论思想，考查了推理能力和运算能力，属于难题.。

2023~2024学年度第二学期期末质量检测高二数学试卷（答案在最后）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}30,log 113xA xB x x x ⎧⎫=<=-<⎨⎬-⎩⎭∣，则A B ⋃=（）A.{03}x x <<∣B.{13}x x <<∣C.{04}xx <<∣ D.{14}xx <<∣2.设0,0a b >>，则“()lg 0a b +>”是“()lg 0ab >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若随机变量(),0.4X B n ~，且() 1.2D X =，则()4P X =的值为（）A.420.4⨯ B.430.4⨯ C.420.6⨯ D.430.6⨯4.某人研究中学生的性别与成绩､视力､智商､阅读量这四个变量的关系，随机抽查32名中学生，得到如下4个列联表，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）性别成绩合计及格不及格男14620女221032合计361652性别视力合计及格不及格男41620女122032合计163652性别智商合计及格不及格男81220女82432合计163652性别阅读量合计及格不及格男14620女23032合计163652A.成绩B.视力C.智商D.阅读量5.已知0,0x y >>，且满足311x y+=，则（）A.xy 的最小值为48B.xy 的最小值为148C.xy 的最大值为48D.xy 的最大值为1486.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差.设数列{}na 是由正数组成的等方差数列，且方公差为132,5a =，则数列11nn a a +⎧⎫⎨+⎩⎭的前n 项和为（）A.2112B.2112-1-1-7.某医院要派2名男医生和4名女医生去,,A B C 三个地方义诊，每位医生都必须选择1个地方义诊，要求,,A B C 每个地方至少有一名医生，且都要有女医生，同时男医生甲不去A 地，则不同的安排方案为（）A.120种B.144种C.168种D.216种8.已知定义在R 上的函数()()2e x axf x x a -+=∈R ，设()f x 的极大值和极小值分别为,m n ，则mn 的取值范围是（）A.e ,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦B.1,2e ∞⎛⎤--⎥⎝⎦C.e ,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.1,02e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知变量x 和变量y 的一组成对样本数据()(),1,2,,i i x y i n =⋯的散点落在一条直线附近，1111,nn i i i i x x y y n n ====∑∑，相关系数()()niix x y y r --=∑()()()121ˆˆˆˆni i i nii x x y y ybx a b x x ==⎛⎫-- ⎪⎪=+= ⎪- ⎪⎝⎭∑∑，则（）A.当r 越大时，成对数据样本相关性越强B.当0r >时，ˆ0b>C.当11n n x x y y ++==时，成对样本数据()(),1,2,,,1i i x y i n n =⋯+的相关系数r '满足r r'=D.当11n n x x y y ++==时，成对样本数据()(),1,2,,,1i i x y i n n =⋯+的线性回归方程ˆˆˆy dx c =+满足ˆˆdb =10.已知(),,a bc a b c <<∈R ，且230a b c ++=，则（）A.0a c<< B.,a c ∃使得22250a c -=C.a c +可能大于0D.212b c a c +<-+11.冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列{}12,,,n x x x ⋯从左往右，依次对相邻两个元素{}()1,1,2,,1k k x x k n +=⋯-比较大小，若1k k x x +>，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列{}2,1,4,3进行冒泡排序，首先比较{}2,1，需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,4,3，然后比较{}2,4，无需交换位置，最后比较{}4,3，又需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,3,4最终完成了冒泡排序，同样地，序列{}1,4,2,3需要依次交换{}{}4,2,4,3完成冒泡排序.因此，{}2,1,4,3和{}1,4,2,3均是交换2次的序列.现在对任一个包含n 个不等实数的序列进行冒泡排序()3n ，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为n a ，只需要交换1次的序列个数为n b ，只需要交换2次的序列个数为n c ，则（）A.序列{}2,7,1,8是需要交换3次的序列B.()12n n n a -=C.1n b n =- D.59c =三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()()ln ,ex xf x f x ='为()f x 的导函数，则()1f '的值为__________.13.()62x x y-+的展开式中53x y 的系数为__________.（用数字作答）14.设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且117(,(),()3412P A P B P AB AB ==+=，则()P A B =∣__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知集合402x M xx ⎧⎫-=⎨⎬-⎩⎭，非空集合{123}N x m x m =-<<-∣，（1）若3m =时，求M N ⋂；（2）是否存在实数m ，使得x M ∈R ð是x N ∈R ð的必要不充分条件？若存在，求实数m 的取值范围；若不恶在，请说朋理由.16.（15分）树人中学对某次高三学生的期末考试成绩进行统计，从全体考生中随机抽取48名学生的数学成绩()x 和物理成绩()y ，得到一些统计数据：484811115280,,6i i i i x y =====∑∑，其中,i i x y 分别表示这48名同学的数学成绩和物理成绩，1,2,,48,i y = 与x 的相关系数0.77r =.（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）从概率统计规律看，本次考试该校高三学生的物理成绩ξ服从正态分布()2,N μσ，用样本平均数y 作为μ的估计值，用样本方差2s 作为2σ的估计值.试求该校高三共1000名考生中，物理成绩位于区间()63.05,95.9的人数Z 的数学期望.附：①回归方程ˆˆˆy a bx=+中：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑②相关系数()()niix x y y r --=∑③若()2,N ημσ~，则()()0.68,220.95P P μσημσμσημσ-+≈-+≈④48221110.9548i i y y =-=≈∑17.（15分）已知等差数列{}n a 的前n 项利为25,6,45n S a S ==，数列{}n b 的前n 项利为()1312nn T =-.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足20,,,u n n c bn ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数求()*1222121n n n a c a c a c n -+++∈N.18.（17分）（1）如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次向左或向右移动一个单位的概率都为12，设移动n 次后质点位于位置n X .（I)求随机变量4X 的概率分布列及()4E X ；（ii ）求()n E X ；（2）若轨道上只有0,1,2,n ⋯这1n +个位置.质点向左或右移动一个单位的概率都为12，若在0处，则只能向右移动.现有一个质点从0出发，求它首次移动到n 的次数价期望.19.（17分）已知函数()1ex x f x +=.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明()0,x ∞∈+时，12e e ln x x x x f xx --⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭；（3）若对于任意的()0,x ∞∈+，关于x 的不等式22e 2ln x mx x x x --- 恒成立，求实数m 的取值范围.2023~2024学年度第二学期期末质量检测高二数学试卷参考答案1.C2.B3.B4.D5.A6.A7.D8.B9.BCD10.AD11.BCD12.1e13.60-14.1315.解：（1）集合40{24}2x M xx x x ⎧⎫-==<⎨⎬-⎩⎭∣ 当3m =时，非空集合{23}N x x =-<<∣{23}M N x x ∴⋂=<<∣（2）假设存在实数m ，使得x M ∈R ð是x N ∈R ð的必要不充分条件，则N R ð⫋M R ð，即M ⫋N ，则23412m m ->⎧⎨-⎩ ，解得72m >.故存在实数72m >，使得x M ∈R ð是x N ∈R ð的必要不充分条件.16.解：（1）由题中数据可得，48481111110,744848i i i i x x y y ======∑∑由()()480.77i i x x y y r --==∑可得6ˆ0.770.4211b==⨯=8ˆ741100.4227.a=-⨯=∴回归方程为0.4227.8ˆyx =+（2）()24848222111174,1204848i i i i y s y y y y ====-=-=∑∑()74,120N η∴~10.95≈(63.0584.95)0.68,(52.195.9)0.95P P ηη∴<<=<<=0.680.95(63.0595.9)0.8152P η+∴<<==()()74,120,10000.815815Z N E Z ~∴=⨯= 所以物理成绩位于区间()63,96的人数Z 的数学期望为815.17.（1）设{}n a 的公差为d ，由题设得11651045a d a d +=⎧⎨+=⎩.解得13,3a d ==，所以3n a n =当2n 时，11113,1n n n n b T T b T --=-===，也符合上式所以13n n b -=.（2）()*1222121n n n a c a c a c n -+++∈N()()113321n n b b n b -=+++- ()1333213n n n -=+⋅++- 记()1333213nn W n -=+⋅++- ①则()()121333233213n n W n n --=+⋅++-+- ②②-①得，()()()11613232323213212322313n n n n n W n n n ---=+⋅++⋅--=+-=⋅--- 所以11222121333n n n n a c a c a c n +-+++=-- 18.（1）（i ）4X 可能取值为4,2,0,2,4--()44114216P X ⎛⎫=-==⎪⎝⎭()131441112C 224P X ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()222441130C 228P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()313441112C 224P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()44114216P X ⎛⎫===⎪⎝⎭()()()4113114202401648416E X ∴=⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯=（ii ）设质点n 次移动中向右移动的次数为Y ，显然每移动一次的概率为12，则1,2Y B n ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()2n X Y n Y Y n=--=-所以()()12202n E X E Y n n n =-=⨯⨯-=.（2）设首次从k 到n 的步数期望为k a ，则有()()11111122k k k a a a +-=+++，所以112k k k k a a a a +--=-+，可得1012k k a a k a a +-=+-.又小球在0处，只能向前移动到1，则有011a a -=，所以1200(21)n n k a a k n-=-=+=∑.又有0n a =，则20a n =.19.解：（1）()()()2e 1e e e x xxxx x f x '-+-==当0x <时，()0f x '>；当0x 时，()0f x ' ()f x ∴的增区间为(),0∞-，减区间为[)0,∞+.（2）令1ln (0)t x x x =-->111x t x x-=-='当01x <<时，0t '<；当1x >时，0t '>∴当1x =时，min 00t t =∴ 即1ln 0x x -- 原不等式等价于2e 1e x tt f x -⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭()2e x f t f x -⎛⎫⇔ ⎪⎝⎭()f x 为()0,∞+上的减函数，2e 0,0x t x-> ∴只需证明2e x t x - 即2e 1ln x x x x--- 1e t t -⇐ 令()()()11e01e t t g t t t g t --=-=-' 当01t 时，()0g t '>，当1t >时，()0g t '<()()1min ()100e t g t g g t t -∴==∴∴ ∴原不等式成立.（3）当12m 时，由（2）知2e 1ln x x x x--- 又0x >22e ln x x x x x -∴-- 22ln mx x x x-- ∴原不等式在()0,∞+上恒成立.当12m >时，令()()2ln 110x x x ϕϕ=--=-< .()422ln20ϕ=->()x ϕ∴在()1,4内必有零点，设为0x ，则002ln x x -=020e x x -∴=()0200000000e 12ln 122120x x ax x ax x a x x x -∴+-+=+-+-=-<0220000e 2ln 0x ax x x x -∴-++<而0220000e2ln x ax x x x -<--综上所述实数m 的取值范围是1,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

西安中学2023-2024学年度第二学期期末考试高二数学试题（时间：120分钟满分：100分）一、选择题（本题共8小题，每小题3.5分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．曲线2()3e xf x x =-在(0,1)-处的切线方程为（）A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．10x y --=D ．10x y +-=2．若随机变量~(3,9),(13)0.35N P ξξ<<=,则(5)P ξ>=（）A ．0.15B ．0.3C ．0.35D ．0.73．随机变量X 的分布列如下：X 2-12Pab12若()1E X =,则()D X =（）A ．0B ．2C ．3D ．44．若41x ⎫+⎪⎭的二项展开式中常数项为（）A ．1B ．2C ．4D ．65．甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（）A ．96种B ．132种C ．168种D ．204种6．某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）①频率分布直方图中a 的值为0.005②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78④估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为150A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②④7．质数()prime number 又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A =“这两个数都是素数”；事件B =“这两个数不是孪生素数”，则()P BA =∣（）A ．1115B ．3745C ．4345D ．41458．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列的前45项的和为（）A ．2026B ．2025C ．2024D ．2023二、选择题（本题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分．）9．某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的30%，70%，各自产品中的次品率分别为6%，5%．记“任取一个零件为第i 台车床加工()1,2i =”为事件i A ，“任取一个零件是次品”为事件B ,则（）A ．()0.053P B =B ．()10.05P BA =∣C ．()20.035P A B =D ．()23553P A B =∣10．2024年6月18日，很多商场都在搞促销活动．西安市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：x 9095100105110y1110865用最小二乘法求得y 关于x 的经验回归直线是ˆˆ0.32yx a =-+，相关系数0.9923r =-,则下列说法正确的有（）A ．变量x 与y 负相关且相关性较强B ．ˆ40a=C ．当85x =时，y 的估计值为13D ．相应于点(105,6)的残差为0.4-11．关于函数2()ln f x x x=+,下列判断正确的是（）．A ．2x =是()f x 的极小值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ,使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数12,x x ,且12x x >,若()()12f x f x =,则124x x +>三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在答题卡上的相应位置．）12．五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土．现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“木、土”相邻的排法种数是___________种．13．若函数2()ln f x x x a x =-+在(1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为___________．14．已知二项式(1n +的二项式系数和为32．给出下列四个结论：①5n =②展开式中只有第三项的二项式系数最大③展开式各项系数之和是243④展开式中的有理项有3项其中，所有正确结论的序号是___________．四、解答题（本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分8分）当前，以ChatGPT 为代表的AIGC （利用AI 技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱AGC ,我国的BAT （百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC 赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC 发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．记选取的3个科技企业中BAT 中的个数为X ,求X 的分布列与期望．16．（本小题满分8分）下表是某单位在2024年1~5月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x 12345用水量y2.5344.55.2（1）从这5个月中任取2个月的用水量，求所取2个月的用水量之和不超过7（单位：百吨）的概率；（2）若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05，视为“预测可靠”，那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠？说明理由．参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ,其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()112211ˆˆˆ,n niii ii i nniii i x x y y x y nxybay bx x x xnx ====---===--∑∑∑∑．17．（本小题满分10分）2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占45，并将这200人按年龄分组，第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[]55,65，得到的频率分布直方图如图所示．（1）估计参与调查者的平均年龄；（2）把年龄在第1,2,3组的居民称为青少年组，年龄在第4,5组的居民称为中老年组，若选出的这200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下22⨯列联表．请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值0.050α=的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？关注民生问题不关注民生问题合计青少年中老年10合计200（3）将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记这4人中“不关注民生问题”的人数为Y ,求随机变量2Y =时的概率和随机变量Y 的数学期望()E Y ．附：22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++．α0.0500.0100.0050.001x α3.8416.6357.87910.82818．（本小题满分10分）已知函数2()ln ()f x x a x a R =-∈．（1）若2a =,求()f x 的极值；（2）若函数()()(12)g x f x a x =+-恰有两个零点，求a 的取值范围．19．（本小题满分12分）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为27；从第二次模球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为13．记该顾客第n 次摸球抽中奖品的概率为n P ．（1）求23P P 、的值；（2）探究数列{}n P的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．西安中学2023-2024学年度第二学期期末考试高二数学答案选择题1234567891011A ABC C BD A ACD ABD ABD 填空题12．4813．[1,)-+∞14．①③④．解答题15．解：易知X的所有可能取值为0,1,2,3，此时122133434433377741812(0),(1),(2)353535C C C CCP X P X P XC C C=========，33371(3)35CP XC===，4分则X的分布列为：X0123P43518351235135 6分此时4181219()0123353535357E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．8分16．解：（1）从这5个月中任取2个月，包含的可能的情况有2510C=个，其中所取2个月的用水量之和不超过7（百吨）的可能情况有以下4个：(2.5,3),(2.5,4),(2.5,4.5),(3,4),故所求概率42105P==．4分（2）由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程，则由数据得1234 2.534 4.52.5,3.544x y++++++====由公式计算得41422142.56121835ˆ0.714916254i iiiix y xybx x==-+++-===+++--∑∑ˆˆ 1.75a y bx=-=,所以y关于x的经验回归方程为ˆ0.7 1.75y x=+,当5x =时，得估计值ˆ0.75 1.75 5.25y=⨯+=，而|5.2 5.25|0.050.05-=≤所以得到的经验回归方程是“预测可靠”的．8分17．解：0.0110200.01510300.03510400.0310500.010106041.5x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,∴估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁．3分（2）选出的200人中，各组的人数分别为：第1组：2000.0101020⨯⨯=人，第2组：2000.0151030⨯⨯=人，第3组：2000.0351070⨯⨯=人，第4组：2000.0301060⨯⨯=人，第5组：2000.0101020⨯⨯=人，∴青少年组有203070120++=人，中老年组有20012080-=人，∵参与调查者中关注此问题的约占80%，∴有200(180%)40⨯-=人不关心民生问题，∴选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人，22∴⨯列联表如下：关注民生问题不关注民生问题合计青少年9030120中老年701080合计160402005分零假设0H :假设关注民生问题与性别相互独立，22200(90107030) 4.6875 3.8411604080120χ⨯-⨯==>⨯⨯⨯,∴根据独立性检验，可以认为零假设0H 不成立，7分即能依据小概率值0.050α=的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关．（3）由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为3011204=，将频率视为概率，每个青少年“不关注民生问题”的概率为14，因为每次抽取的结果是相互独立的，所以1~4,4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，411()14,0,1,2,3,444kk P Y k C k k ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以242241127(2)144128P Y C -⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1()414E Y =⨯=．10分18．解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞,当2a =时，22()2ln ,()2f x x x f x x x'=-=-,令()0f x '=，得1x =,当(0,1)x ∈时，()0f x '<;当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>,所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以1x =是()f x 的极小值点，又(1)12ln11f =-=,故()f x 的极小值为1，无极大值；4分（2）由2()()(12)ln (12)g x f x a x x a x a x =+-=-+-得，(21)()()2(12)a x x a g x x a x x+-'=-+-=，当0a ≤时，()0g x '>,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，则()g x 最多有一个零点，不合题意；6分当0a >时，当(0,)x a ∈时，()0g x '<,当(,)x a ∈+∞时，()0g x '>,所以()g x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，0,(),,()x g x x g x →→+∞→+∞→+∞所以：()g x 的极小值为22()ln (12)ln (1ln )0g a a a a a a a a a a a a a =-+-=--=--<,8分令()1ln ,0u a a a a =-->,则()1ln 0u a a a =--<1()10u a a'=--< ,所以()u a 在(0,)+∞上单调递减，又(1)1ln110u =--=,当01a <≤时，()0u a ≥，所以()g x 最多有一个零点，不合题意；当1a >时，()0u a <,所以当1a >时，函数()g x 恰有两个零点，10分综上，a 的取值范围是(1,)+∞．19．（1）记该顾客第()*N i i ∈次摸球抽中奖品为事件A ,依题意，127P =，()()()()()221211212121191737242P P A P A P A A P A P A A ⎛⎫==+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭∣∣．3107252P =6分（2）因为()()()1111,,32n n n n n n P A A P A A P P A --===∣∣,所以()()()()()1111n n nn n nn P A P A P A A P A P A A ----=+∣∣,所以()111111113262n n n n P P P P ---=+-=-+，所以1313767n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，8分又因为127P =，则131077P -=-≠，所以数列37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为17-，公比为16-的等比数列，故1311776n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．10分证明：当n 为奇数时，131319776742n n P -=-<<⋅，当n 为偶数时，131776n n P -=+⋅,则n P 随着n 的增大而减小，所以，21942n P P ≤=．综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．12分。

福州一中2023-2024学年第二学期期末高二数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．设集合[],3A a =，()1,2B =-，若A B =∅I ，则（)A ．13a -<<B ．23a <<C ．13a -≤<D ．23a ≤<2．已知实数a ，b ，c ，d 满足0a b c d >>>>，则下列不等式一定正确的是（)A ．a b d c>B ．a d b c+>+C ．a d b c ->-D ．ac bd>3．命题p ：R x ∀∈，23620x x m -+≥，则“1m ≥”是“p 为真命题”的（)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某校联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：22(90)2()x f x eσ-=，且801000.6()p x ≤≤=，若联考的学生有500人，则成绩超100过分的人数约为（)A ．100B ．120C ．125D ．1505．已知正实数x ，y 满足131x y+=，则35xy x -的最小值为（)A ．24B ．25C ．26D ．276．611x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（)A ．140-B ．141-C ．141D ．1407．已知函数234,()22,x x x af x ax x a⎧+-≤⎪=⎨->⎪⎩，对于任意两个不相等的实数12,R x x ∈，都有不等式[]1212()()()0x x f x f x --<成立，则实数a 取值范围为（)A ．(],4-∞-B ．[]6,4--C ．[)4,0-D ．(],6-∞-8．已知函数()f x 定义域为R ，且()()()22yf x xf y xy y x -=-，下列结论成立的是（)A ．()f x 为偶函数B ．()22f =-C ．()f x 在[]1,2上单调递减D ．()f x 有最大值二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．对具有相关关系的两个变量x 和)进行回归分析时，下列结论正确的是（)A ．若A ，B 两组成对数据的样本相关系数分别为0.97A r =，0.99B r =-，则A 组数据比B 组数据的相关性较强B ．若所有样本点都落在一-条斜率为非零实数的直线上，则决定系数2R 的值为1C ．若样本点的经验回归方程为ˆ0.4 1.2yx =+，则在样本点()2,1.7处的残差为0.3D ．以kxy ce =模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程23z x =+，则c ，k 的值分别是3e 和210．已知事件A ，B ，且1()3P A =，()15P B A =，()35P B A =，则（)A ．2()5P AB =B ．()45|P B A =C ．11()15P A B +=D ．()35P B =11．已知函数sin cos ()xx f x ee =+，则（)A ．()f x 的图象关于5π4x =对称B ．()()4f x f x n ⋅+≥C ．()()3f x f x +->D ．()f x 在区间π3π,22⎡⎤⎢⎣⎦上的极小值为2e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第13题第一空2分，第二空3分12．已知函数()()()2e e x x f x x ax -=+⋅-为奇函数，则实数a 的值为______．13．某快件从甲送到乙需要5个转运环节，其中第1，2两个环节各有a ，b 两种方式，第3，4两个环节各有b ，c 两种方式，第5个环节有d ，e 两种方式，则快件从甲送到乙，第一个环节使用a 方式的送达方式有______种；从甲到乙恰好用到4种方式的送达方式有______种．14．定义()A ∏为集合A 中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合251,,1,3,7,8,342M ⎧⎫=--⎨⎩⎭，集合M 的所有非空子集依次记为1M 、2M 、…、127M ，则12127()()...()M MM +++=∏∏∏______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分)对某地区2024年第一季度手机品牌使用情况进行调查，市场占有率数据如下：甲品牌乙品牌其他品牌市场占有率50%30%20%（1)从所有品牌手机中随机抽取2部，求抽取的2部中至少有一部是甲品牌的概率；（2)已知所有品牌手机中，甲品牌、乙品牌与其他品牌手机价位不超过4000元的占比分别为40%，30%，50%，从所有品牌手机中随机抽取1部，求该手机价位不超过4000元的概率．16．（15分)某工厂进行生产线智能化升级改造，对甲、乙两个车间升级改造后，（1)从该工厂甲、乙两个车间的产品中各随机抽取50件进行检验，其中甲车间优等品占45，乙车间优等品占35，请填写如下列联表：优等品非优等品总计甲车间乙车间总计依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为车间与优等品有关联？（结果精确到0.001)()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．下表是X 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828（2)调查了近10个月的产量i x （单位：万个)和月销售额i y （单位：万元)，得到以下数据：101010102111120,70,88,200ii ii i i i i i xy x x y ========∑∑∑∑，根据散点图认为y ．关于x 的经验回归方程为ˆˆˆy bx a =+，试求经验回归方程．参考公式：ˆˆay bx =-，其中1122211ˆ()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx ====---==--∑∑∑∑17．（15分)已知函数()21ln 2f x a x x =-，()a R ∈（1)讨论函数函数()f x 的的单调性；（2)若函数()f x 有极值点，（i)求实数a 的取值范围；（ii)判断()f x 的零点个数．18．（17分)甲和乙两个箱子中各装有N 个大小、质地均相同的小球，并且各箱中35是红球，25是白球．（1)当5N =时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X ，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y ，求()E X ，()E Y ，()D X ，()D Y ；（2)当10N =时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设()1,2,3,4,5k A k =表示“第k 次取出的是红球”，比较()1234P A A A A 与()()()()1234P A P A P A P A 的大小；（3)由概率学知识可知，当总量N 足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布．现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作1P ；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作2P ．那么当N 至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即120.003P P -≤)的前提下认为超几17.03≈)19．（17分)已知函数()()ln 22f x x x b b =+->．（1)证明：()f x 恰有一个零点a ，且()1,a b ∈；（2)我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法"．任取()11,x a ∈，实施如下步骤：在点()()11,x f x 处作()f x 的切线，交x 轴于点()2,0x ；在点()()22,x f x 处作()f x 的切线，交x 轴于点()3,0x ；一直继续下去，可以得到一个数列{}n x ，它的各项是()f x 不同精确度的零点近似值．（i)设()1n n x g x +=，求()n g x 的解析式；（ii)证明：当()1,x a ∈，总有1n n x x a+<<福州一中2023-2024学年第二学期期末高二数学试题答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．题号12345678答案DCBABCBD二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案BDABCABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第13题第-空2分，第二空3分．12．0．13．16，1614．215四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共5大题，13分+15分+15分+17分+17分，共77分)15．（1)解法1；随机抽取1部手机，是甲品牌的概率0.5，∴抽取的两部手机至少有一部是甲品牌的概率210.50.75P =-=．解法2：随机抽取1部手机，是甲品牌的概率为0.60.50.3⨯=，0.60.50.3⨯=抽取的两部手机至少有一部是甲品牌的概率120.50.5C 0.50.50.75P =⨯+⨯⨯=．（2)解：从该地区所有品牌手机中随机抽取1部，记事件1A ，2A ，3A 分别为“抽取的手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌手机”记事件B 为“抽取的手机价位不超过4000元”则()10.5P A =，()20.3P A =，()30.2P A =，()10.4|P B A =，()20.3|P B A =，()30.5|P B A =，所以123112233()()()()()()()()()()P B P A B P A B P A B P A P B A P A P B A P A P B A =++=++．0.50.40.30.30.20.50.39=⨯+⨯+⨯=，该手机价位不超过4000元的概率为0.39．16．（1)优等品非优等品总计甲车间401050乙车间302050总计7030100设0H ：车间与优等品无关．()()()()()2220.05(40203010)100100 4.762 3.8417030505021n ad bc x a b c d a c b d χ-⨯-⨯⨯===>=++++⨯⨯⨯根据小概率值0.05α=的独立性检验，能在犯错误的概率不超过0.05的情况下，认为两车间的优等品有差异．（2)解：依题意得：1011210i i x x ===∑，1011710i i y y ===∑又因为101200i ii x y==∑，102188i i x ==∑，故1011022110200102760ˆ 1.258810224810i ii ii x y x ybxx ==-⋅-⨯⨯====-⨯⨯-∑∑，ˆˆ7 1.252 4.5ay bx =-=-⨯=所以经验回归方程为ˆ 1.25 4.45yx =+17．（1)解：函数()f x 的定义域为{}0|x x >2()a x af x x x x-+'∴=-=，①当0a ≤时，()0f x '<恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减②当0a >时，令()0f x '=，得1x =)2x =()f x ∴的单调递增区间为(，单调递减区间为)+∞综上所述：当0a ≤时()f x 在定义域(0,)+∞上单调递减；当0a >时()f x的单调递增区间为(，单调递减区间为)+∞．（2)解：（i)由（1)知0a >（ii)由（1)知()f x 的极大值为f111ln (ln 1)222f a a a a a a ==-=-当ln 10a -<即0a e <<时，0f<，则()f x 无零点；当ln 10a -=即a e =时，0f =，则()f x 有1个零点：当ln 10a ->即a e >时，0f >11(1)ln1022f a =-=-<Q ，211()ln (ln )22f a a a a a a a =-=-令1()ln 2g a a a =-，()a e >，11()02g a a '=-<，()g a ∴在(),e +∞上单调递减11()()ln 1022g a g e e e e ∴<=-=-<，()0f a ∴<()f x ∴有2个零点；（注：当a e >时的情况，没有给出函数值为负值的2个特殊点，直接得出2个零点，给1分)综上所述：当0a e <<时，()f x 无零点；，当a e =时，()f x 有1个零点；当a e >时，()f x 有2个零点18．（1)对于有放回摸球，每次摸到红球的概率为0.6，且每次试验之间的结果是独立的，则3393218~(3,()3,()35555525Y B E Y D Y =⨯==⨯⨯=X 服从超几何分布，X 的可能取值为1，2，3，则2112323233333555331(1),(2),(3)10510C C C C C P X P X P X C C C =========3319()123105105E X ∴=⨯+⨯+⨯=，2229393919()1235105551025D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭或【222233199()12310510525D X ⎛⎫=⨯+⨯+⨯-=⎪⎝⎭】（2)解：4951063()5k A P A A ⨯==Q ，即采用不放回摸球，每次取到红球的概率都为()35k P A =：41234381()()()()5625P A P A P A P A ⎛⎫∴==⎪⎝⎭又()14661234510A C 65436181A 10987635625P A A A A ⨯⨯⨯⨯===<⨯⨯⨯⨯，则()()()()()12341234P A A A A P A P A P A P A <．（3)因为()222332540.43255125P C =⨯=⎛⎫ ⎪⎝⎭=，()()213235133313255C C 11852512C 25(1)(2)6NNN N N N N P N N N N N ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-⋅ ⎪⎝⎭===⨯----，120.003P P -≤Q ，即311850.4320.00325(1)(2)N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯-≤--，即311850.43525(1)(2)N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯≤--，即31295(1)(2)48N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤--，由题意知()()120N N -->，从而()()348129125N N N N ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭--，化简得21952900N N -+≥，解法1：又0N >，290195N N ∴+≥，令()()2900f x x x x=+>，则()2222902901x f x x x-'=-=，所以当0x <<()0f x '<，当x >()0f x '>，所以()f x在(上单调递减，在)+∞上单调递增，【此处证单调性另解：()()2900f x x x x =+>为对勾函数，()29034.06f x x x=+≥≈，（当且仅当x =)．所以()f x在(上单调递减，在)+∞上单调递增】所以()f x在17.03x =≈处取得最小值，从而290y N N=+在18N ≥时单调递增，当20N ≤时，290147N N +<，又290193194.50195193+≈<，290194195.49195194+≈>，∴当194N ≥时，符合题意考虑到25N ，35N 都是整数，则N 一定是5的正整数倍，所以N 至少为195时，在误差不超过0.003（即120.003P P -≤)的前提下认为超几何分布近似为二项分布．解法2：化简得21952900N N -+≥，19519542902N -<或19519542902+，Q N 为整数，1N ∴≤或194N ≥25N Q ，35N 都是整数，则N 一定是5的正整数倍，所以N 至少为195时，在误差不超过0.003（即120.003P P -≤)的前提下认为超几何分布近似为二项分布．19．（1)()()ln 22f x x x b b =+->，定义城为(0,)+∞，所以，()120f x x'=+>在(0,)+∞上恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为()()1ln12202f b b b =+-=-<>，()()ln 26ln 02f b b b b b b b =+-=+>>，所以，存在唯一()1,a b ∈，使得()0f a =，即：()f x 有唯一零点a ，且()1,a b ∈；（2)（i)由（1)知()12f x x'=+，所以，曲线()f x 在()(),n n x f x 处的切线斜率为12n nk x =+，所以，曲线()f x 在()(),n n x f x 处的切线方程为()()()n n n y f x f x x x '-=-，即12,ln 1nn nx y x x b x +=+--，令0y =得ln (1)12n n nnx x b x x x -++=+，所以，切线与x 轴的交点ln (1),012n n n nx x b x x ⎛⎫-++⎪+⎝⎭，即1ln (1)12n n n n n x x b x x x +-++=+，所以，ln (1)()12n n nn nx x b x g x x -++=+；证明：（ii)对任意的()0,n x ∈+∞，由（i)知，曲线()f x 在()(),n n x f x 处的切线方程为：12ln 1n n n x y x x b x +=+--，故令12()ln 1nn nx h x y x x b x +==+--，令1()()()ln ln 1ne F xf x h x x x x x =-=--+，所以，()11n n n x xF x x x x x-'=-=，所以，当()0,n x x ∈时，()0F x '>，()F x 单调递增，当(),n x x ∈+∞时，()0F x '<，()F x 单调递减，所以，恒有()()0n F x F x ≤=，即()()f x h x ≤恒成立，当且仅当n x x =时等号成立，另一方面，由（i)知，1()()n n n n f x x x f x +=-'，且当n x a ≠时1n n x x +≠，（若n x a =，则()()0n f x f a ==，故任意11n n x x x a +====L ，显然矛盾)，因为1n x +是()h x 的零点，所以()()()110n n f x h x f a ++<==，因为()f x 为单调递增函数，所以，对任意的n x a ≠时，总有1n x a +<，又因为1x a <，所以，对于任意*n N ∈，均有n x a <，所以，()0n f x '>，()()0n f x f a <=，所以1()()n n n n n f x x x x f x +=->'，综上，当()11,x a ∈，总有1n n x x a +<<．。

东城区2023—2024学年度第二学期期末统一检测高二数学（答案在最后）2024.7本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}20,,M a a =，{}2,1,0,1,2N =--，若1M ∈，则M N ⋂=（）A.{}0,1 B.{}1,0,1- C.{}0,1,2 D.{}2,1,0,1,2--【答案】B 【解析】【分析】结合集合与元素的关系求出参数a 的值，结合交集的概念即可得解.【详解】由题意1a =或21a =，但是2a a ≠，所以1a =-，{}0,1,1M =-，因为{}2,1,0,1,2N =--，所以{}1,0,1M N ⋂=-.故选：B.2.某校学生科研兴趣小组为了解1~12岁儿童的体质健康情况，随机调查了20名儿童的相关数据，分别制作了肺活量、视力、肢体柔韧度、BMI 指数和身高之间的散点图，则与身高之间具有正相关关系的是（）A.肺活量B.视力C.肢体柔韧度D.BMI 指数【答案】A 【解析】【分析】根据给定的散点图，结合正相关的意义判断即得.【详解】对于A ，儿童的身高越高，其肺活量越大，肺活量与身高具有正相关关系，A 正确；对于B ，儿童的视力随身高的增大先增大，后减小，视力与身高不具有正相关关系，B 错误；对于C ，肢体柔韧度随身高增大而减小，肢体柔韧度与身高不具有正相关关系，C 错误；对于D ，BMI 指数与身高的相关性很弱，不具有正相关关系，D 错误.故选：A3.已知,R x y ∈，且x y >，则下列不等式中一定成立的是（）A.22x y >B.11x y> C.ln ln x y> D.22x y>【答案】D 【解析】【分析】举反例排除ABC ，由指数函数单调性即可说明D.【详解】取0x y =>，则22x y <，1,ln ,ln x y x无意义，故ABC 错误；对于D ，由指数函数2t y =在实数域上关于t 单调递增，且x y >，所以22x y >，故D 正确.故选：D.4.袋中有10个大小相同的小球，其中7个黄球，3个红球.每次从袋子中随机摸出一个球，摸出的球不再放回，则在第一次摸到黄球的前提下，第二次又摸到黄球的概率为（）A.23B.12C.13 D.310【答案】A 【解析】【分析】由条件概率、古典概型概率计算公式即可求解.【详解】在第一次摸到黄球的前提下，此时袋中有：6个黄球，3个红球，共9个球，所以所求概率为6293P ==.故选：A.5.已知23a =，4log 5b =，则22a b -的值为（）A.15B.53C.35D.2-【答案】C 【解析】【分析】利用指数式与对数式的互化，结合指数运算计算即得.【详解】由4log 5b =，得45b =，即225b =，而23a =，所以2223225a a bb --==.故选：C6.A ，B ，C 三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，每位学生只能报一所大学.某中学现有四位学生报名.若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方法共有（）A.30种B.36种C.72种D.81种【答案】B 【解析】【分析】将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2，1，1，然后分配到,,A B C 三所学校求解.【详解】设这四位同学分别为甲、乙、丙、丁，由题意将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2，1，1，然后分配到,,A B C 三所学校.则不同的报名方法共有2114213C C C =36种.故选：B.7.2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为4.2m 的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点F 处.若“金色大伞”的深度为0.49m ，则“金色大伞”的边缘A 点到焦点F 的距离为（）A.2.25mB.2.74mC.4.5mD.4.99m【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，再结合抛物线的定义求值即得.【详解】依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，点(0.49,2.1)A 设抛物线的方程为22(0)y px p =>，则22.120.49p =⨯，解得29p =，抛物线29y x =的焦点9(,0)4F ，准线方程为94x =-，||0.49 2.25 2.74AF =+=，所以“金色大伞”的边缘A 点到焦点F 的距离为2.74m .故选：B8.已知直线:250l mx y m --+=被圆()()22344x y -+-=截得的弦长为整数，则满足条件的直线l 共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】C 【解析】【分析】首先求得d =，又d ==4，所以分4,3,2,1n =进行讨论即可求解.【详解】圆()()22344x y -+-=的圆心、半径分别为()3,4,2r =，圆心()3,4到直线:250l mx y m --+=的距离为d ==，设直线:250l mx y m --+=被圆()()22344x y -+-=截得的弦长为n ，由于直线被圆所截得的弦长不超过直径长度24r =，故分以下情形讨论：当4n =时，0d ===，解得1m =-，当3n =时，2d ====，化简得23830m m -+=，解得43m ±=，当2n =时，d ====，化简得210m m -+=，该方程无解，当1n =时，152d ==，化简得2118110m m -+=，该方程无解，而直线:250l mx y m --+=是斜率为m 且过定点()2,5的直线，直线l 由m 唯一决定，综上所述，满足条件的直线l 共有3条.故选：C.9.已知函数()()()()2,f x a x a x b a b =--∈R ，则“0b a >>”是“b 为()f x 的极小值点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】在0b a >>的条件下利用导数证明b 为()f x 的极小值点，然后说明当1a =-，2b =-时，b 为()f x 的极小值点，但0b a >>并不成立，从而得到答案.【详解】由题设，()()()()()()][()()222322232f x a x b a x a x b a x a b x b a b a x a b x b ⎡⎤=-+--=-+++=-+-⎣⎦'，若0b a >>，则23a b a b +<<，故()2,,3a b x b +⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '>，2,3a b x b +⎛⎫∈⎪⎝⎭上()0f x '<，所以()f x 在()2,,,3a b b +⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上递增，2,3a b b +⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故b 为()f x 的极小值点，从而条件是充分的；当1a =-，2b =-时，有()()()212f x x x =--+，则()()()342f x x x '=-++，显然()4,2,3x ⎛⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '<，42,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上()0f x '>，所以()f x 在()4,2,,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭上递减，42,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递增，此时2b =-为()f x 的极小值点，但此时0b a >>并不成立，从而条件不是必要的.故选：A.10.《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果a 和b 被m 除得的余数相同，那么称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡.若()0122202420242024202420242024C C 3C 3C 3,mod5a a b =+⨯+⨯++⨯≡ ，则b 的值可以是（）A.2023B.2024C.2025D.2026【答案】D 【解析】【分析】利用二项式定理求出被5整除得的余数，再逐项验证即得.【详解】()202401222024202420242024202420242024C C 3C 3C 3451a =+⨯+⨯++⨯==- 20241202322022202312024202420245C ×5C ×5C ×51=-+-⋯-+()20231202222021202320242024202455C ×5C ×5C 1=-+-⋯-+则()20231202222021202320242024202455C ×5C ×5C -+-⋯-能被5整除，故()20231202222021202320242024202455C ×5C ×5C 1-+-⋯-+除以5余数为1，所以0122202420242024202420242024C C 3C 3C 3a =+⨯+⨯++⨯ 除以5余数为1，由()mod5a b ≡，所以202354043÷= ，202454044÷= ，20255405÷=，202654051÷= ，故选：D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()lnf x x =的定义域是_________.【答案】()1,+∞【解析】【分析】由表达式中的每个部分有意义得到不等式组，解之即可得到定义域为()1,+∞.【详解】为了让函数()ln f x x =的表达式有意义，需要1000x x -≥⎧≠>⎩.解得1x >，所以函数()f x 的定义域是()1,+∞.故答案为：()1,+∞.12.已知双曲线C 的焦点为()2,0-和()2,0，一条渐近线方程为y =，则C 的方程为_________.【答案】2213y x -=【解析】【分析】由焦点坐标以及渐近线方程列式求出,a b 即可得解.【详解】双曲线C 的焦点在x 轴上，设C 的方程为()22221,0,0x ya b a b-=>>，由题意2222,bc a b c a==+=，解得1,a b ==所以C 的方程为2213y x -=.故答案为：2213y x -=.13.已知二项式()111021...nn n n n x a x a x a x a --+=++++的所有项的系数和为243，则n =_____________；2a =_________.【答案】①.5②.40【解析】【分析】首先利用系数和条件，再原式中取1x =得到5n =；再对展开式两边求导两次并取0x =，得到240a =.【详解】由已知有()111021...nn n n n x a x a x a x a --+=++++，且110...243n n a a a a -++++=.再前一式中令1x =得1103...nn n a a a a -=++++，所以3243n =，得5n =.所以()5543254321021x a x a x a x a x a x a +=+++++.由二项式定理可知，353325C 21104140a -=⨯⨯=⨯⨯=.故答案为：5；40.14.某学校要求学生每周校园志愿服务时长不少于1小时.某周可选择的志愿服务项目如下表所示：岗位环保宣讲器材收纳校史讲解食堂清扫图书整理时长20分钟20分钟25分钟30分钟40分钟每位学生每天最多可选一个项目，且该周同一个项目只能选一次，则不同选择的组合方式共有________种.【答案】20【解析】【分析】分选择两个项目、三个项目、四个项目和五个项目四种情况考虑.【详解】由题意得选择两个项目有4种组合；选择三个项目有35C 10=种组合；选择四个项目有45C 5=种组合；选择五个项目有55C 1=种组合，所以共有4105120+++=种.故答案为：20.15.设R a ∈，函数()32,,ax x x af x x x a⎧->=⎨-≤⎩给出下列四个结论：①当0a =时，函数()f x 的最大值为0；②当7a =时，函数()f x 是增函数；③若函数()f x 存在两个零点，则01a <<；④若直线y ax =与曲线()y f x =恰有2个交点，则a<0.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】①③##③①【解析】【分析】把0a =和7a =代入解析式，分析单调性即可判断①②，令()0f x =，解出零点，判断零点是否在区间内，对含a 的零点分有无意义，是否在相应区间内进行讨论，即可判断③，把④转化为()32,,ax ax x x ag x x ax x a⎧-->=⎨--≤⎩恰有两个零点，解出零点，易得取2a =-时有3个零点，可判断④错误.【详解】①当0a =时，()2,0,0x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，()0f x ≤，当0x >时，()0f x <，故max ()0f x =，故①正确；②当7a =时，()327,7,7x x x f x x x ⎧->=⎨-≤⎩，当0x ≤时，2()f x x =-在(,0)-∞上单调递增，当07x <≤时，2()f x x =-在(0,7)上单调递减，故()f x 不是增函数，故②错误；③当0a =时，()2,0,0x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩只有一个零点，令函数30y ax x =-=，解得1230,x x x ===当a<0时，函数2y x =-在(,]a -∞上没有零点，23,x x 无意义，故函数3y ax x =-在(,)a +∞上有且只有一个零点为0，即()f x 有且只有一个零点，故不符合题意；当0a >时，函数2y x =-在(,]a -∞上有1个零点为0，10x =，3x =x a >范围内，当01a <<时，21x a =>>，故函数3y ax x =-在(,)a +∞上有一个零点，即()f x 有两个零点，符合题意，当1a >时，21x a =<<，故函数3y ax x =-在(,)a +∞上没有零点，即()f x 有且只有一个零点，故不符合题意；综上所述：当01a <<时，()f x 有两个零点.故③正确；④直线y ax =与曲线()y f x =恰有2个交点，可转化为()32,,ax ax x x ag x x ax x a⎧-->=⎨--≤⎩恰有两个零点.令函数30y ax ax x =--=，解得1230,x x x ===，当2a =-时，123,,x a x a x a >>>，函数3y ax ax x =--在(,)a +∞上有3个零点，令220y x x =-+=得340,2x x ==，故函数22y x x =-+在(,]a -∞上没有零点，即()g x 有3个零点，故④错误.故答案为：①③.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.某次乒乓球比赛单局采用11分制，每赢一球得一分.每局比赛开始时，由一方进行发球，随后每两球交换一次发球权，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10:10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.已知甲、乙两人要进行一场五局三胜制（当一方赢得三局比赛时，该方获胜，比赛结束）的比赛.（1）单局比赛中，若甲发球时甲得分的概率为45，乙发球时甲得分的概率为12，求甲4:0领先的概率；（2）若每局比赛乙获胜的概率为13，且每局比赛结果相互独立，求乙以3:1赢得比赛的概率.【答案】（1）425；（2）227.【解析】【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式列式计算即得.（2）确定乙以3:1赢得比赛的事件，再利用相互独立事件的概率公式计算即得.【小问1详解】设事件A ：单局比赛中甲4:0领先，则44114()552225P A =⨯⨯⨯=，所以单局比赛中甲4:0领先的概率为425.【小问2详解】设事件B ：乙以3:1赢得比赛，即前3局中乙输1局胜2局，第4局乙胜的事件，则3212()3()3327P B =⨯⨯=，所以乙以3:1赢得比赛的概率是227.17.设函数()e xf x a x =+，其中R a ∈.曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =-+.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）2a b ==-（2）递增区间为(,ln 2)-∞-，递减区间为(ln 2,)-+∞.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义列式计算即得.（2）利用（1）的结论，利用导数求出单调区间.【小问1详解】依题意，(0)f a b ==，又()e 1xf x a '=+，则(0)11f a '=+=-，解得2a =-，所以2a b ==-.【小问2详解】由（1）知，()2e xf x x =-+的定义域为R ，()2e 1x f x '=-+，当ln 2x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(,ln 2)-∞-上单调递增，当ln 2x >-时，()0f x '<，函数()f x 在(ln 2,)-+∞上单调递减，所以函数()f x 的递增区间为(,ln 2)-∞-，递减区间为(ln 2,)-+∞.18.近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 这6个国产新能源品牌或在1B ，2B ，3B ，4B 这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如下表：充电时间段充电价格（元/千瓦时）充电服务费（元/千瓦时）峰时10：00—15：00和18：00—21：00 1.00.8平时7：00—10：00，15：00—18：00和21：00—23：000.7谷当日23：00—次日7：000.4时（1）若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌1A 被选中的概率；（2）若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设X 为遥遥每次充电的费用，求X 的分布列和数学期望；（3）假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少.【答案】（1）13（2）分布列见解析，期望()48E X =（3）选择新能源汽车的总花费最少【解析】【分析】（1）由古典概型概率计算公式直接计算即可求解；（2）X 的所有可能取值为36,45,54，分别求出对应的概率即可得分布列以及数学期望；（3）分别求出各自的购车成本以及能源消耗支出的表达式，从而即可进行比较.【小问1详解】若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌，共有26C 15=种，若品牌1A 被选中，则有15C 5=种选择，从而所求概率为51153P ==；【小问2详解】在峰时充电，每次充电30千瓦时需要花费()10.83054+⨯=，在平时充电，每次充电30千瓦时需要花费()0.70.83045+⨯=，在谷时充电，每次充电30千瓦时需要花费()0.40.83036+⨯=，所以X 的所有可能取值为36,45,54，在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点中：峰时充电有：18：00，18：30，19：00，19：30，20：00，20：30，共六个时间点，平时充电有：21：00，21：30，22：00，22：30，共四个时间点，谷时充电有：23：00，23：30，共两个时间点，所以()65412P X ==，()4145123P X ===，()2136126P X ===，X 的分布列为：X k =364554()P X k =161312X 的数学期望为()11136455448632E X =⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】解法一：设燃油车购车成本为x 万元，则新能源汽车购车成本为()4x +万元，燃油车能源消耗支出为33814.45⨯⨯=万元，设Y 为在某个时间段充电1千瓦时的费用，在峰时充电，每次充电1千瓦时需要花费10.8 1.8+=，在平时充电，每次充电1千瓦时需要花费0.70.8 1.5+=，在谷时充电，每次充电1千瓦时需要花费0.40.8 1.2+=，则Y 的所有可能取值为1.8,1.5,1.2，且()()()5313321811.8, 1.5, 1.2243243243P Y P Y P Y +++=========，所以() 1.8 1.5 1.21.53E Y ++==，新能源汽车能源消耗支出为138 1.57.25⨯⨯⨯=万元，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，则燃油汽车的总花费为114.4y x =+，新能源汽车的总花费为2147.211.2y x x y =++=+<，综上所述，选择新能源汽车的总花费最少.解法二：按新车使用8年计算，燃油汽车使用的燃油费为30000831440005⨯⨯=(元)，新能源汽车使用电费最多为300008(1.00.8)864005⨯⨯+=(元)，因为购买新能源汽车比燃油车多花费40000元，所以144000400008640017600--=(元).新能源汽车至少比燃油汽车总花费少17600元，所以选择新能源汽车总花费更少.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过点，A ，B 分别是E 的左顶点和下顶点，F 是E 右焦点，π3AFB ∠=.（1）求E 的方程；（2）过点F 的直线与椭圆E 交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 分别与直线4x =交于不同的两点M ，N .设直线FM ，FN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出,,a b c 即可得E 的方程.（2）设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立，由直线,AP AQ 求出,M N 的坐标，利用韦达定理结合斜率的坐标表示计算即得.【小问1详解】由椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，得b =，由π3AFB ∠=，得椭圆半焦距1c =，则长半轴长2a ==，所以E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】显然直线PQ 不垂直于y 轴，设直线PQ 的方程为1x my =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，由2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得22(34)690m y my ++-=，显然0∆>，12122269,3434m y y y y m m --+==++，直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得点M 的纵坐标11116623M y y y x my ==++，同理点N 的纵坐标2263N y y my =+，因此12121221212124433(3)(3)3()9N M y y y y y y k k my my m y y m y y =⋅==+++++22229434196393434m m m m m m -⋅+==---⋅+⋅+++为定值，所以12k k为定值.20.已知函数()()2ln 1f x x a x a =--∈R .（1）当2a =时，求()f x 的极值；（2）若对任意()1,x ∈+∞，有()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：若()f x 在区间()1,+∞上存在唯一零点0x ，则20e a x -<（其中e 2.71828...=）.【答案】（1）极小值为0，无极大值（2）(],2-∞（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接通过求导判断单调性，从而求得极值；（2）对2a >和2a ≤分类讨论，当2a >时由0f <知条件不满足，当2a ≤时可通过求导得到单调性，推知条件满足，从而得到a 的取值范围是(],2-∞；（3）由条件可直接得到2a >，然后通过导数判断()f x在∞⎫+⎪⎪⎭上的单调性，再证明20e a x -≥>，即可通过反证法得到结论.【小问1详解】当2a =时，()22ln 1f x x x =--，从而()()()21122x x f x x x x-+=-='.故对01x <<有()()()2110x x f x x-'+=<，对1x >有()()()2110x x f x x-'+=>.所以()f x 在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增.从而()f x 有唯一的极值点1x =，且是极小值点，对应极小值为()10f =，无极大值.【小问2详解】由()2ln 1f x x a x =--，知()2222a a f x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭'.若2a >1>.而对1x <<()2202a f x x x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭'，所以()f x 在⎡⎢⎣上递减.故()10f f <=，从而()0f x >对x =若2a ≤，则对1x >有()2221022a a f x x x x ⎛⎫⎛⎫=->-≥ ⎪ ⎝'⎪⎝⎭⎭，所以()f x 在[)1,+∞上递增.从而对任意()1,x ∞∈+，有()()10f x f >=，满足条件.综上，a 的取值范围是(],2-∞.【小问3详解】据（2）的结果，当2a =时对()1,x ∞∈+有()0f x >，故对1x >有22ln 10x x -->.此即()22ln 1x x >+，所以对任意的1t >，在()22ln 1xx >+中取2t x =就有ln 1t t >+.回到原题.若()f x 在区间()1,∞+上存在唯一零点0x ，根据（2）的结果，首先有2a >.此时对1x <<()2202a f x x x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭'，对x >()2202a f x x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭'.所以，()f x 在⎡⎢⎣上递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上递增.而()10f =，故()1,∞+上的零点0x 满足0x >.由于2e 1a ->，而对任意的1t >，都有ln 1t t >+，取2e a t -=，就有2e 1a a ->-，从而()224e 1a a ->-.所以()()()()()222222424e e ln e 1e 21e 10a a a a a f a a a a -----=--=---=-->.假设20ea x -≥，由2a >及2e 1a a ->-有2e 1a a ->-=>，所以20e a x -≥>.由()f x 在∞⎫+⎪⎪⎭上递增，且()2e 0af ->，即可从20e a x -≥>，推知()()20e0a f x f -≥>.但这与0x 是()f x 的零点矛盾，所以20e a x -<.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在小问（3）中，适当使用小问（2）的结论，进行进一步的拓展或适当的利用，从而证得小问（3）所求的结论.21.已知n 项数列()12:,,...,3n n A a a a n ≥，满足对任意的i j ≠有i j a a ≠.变换T 满足对任意{}1,2,...,i n ∈，有(){}12,,...,i n T a a a a ∈，且对i j ≠有()()i j T a T a ≠，称数列()()()()12:,,...,n n T A T a T a T a 是数列nA 的一个排列.对任意{}1,2,...,i n ∈，记()()1i i T a Ta =，()()()()1*k k i i T a T T a k +=∈N ，如果k 是满足()()11,2,...,k i n i T a a i n +-==的最小正整数．．．．．，则称数列n A 存在k 阶逆序排列，称T 是n A 的k 阶逆序变换.（1）已知数列4:1,2,3,4A ，数列()4:3,1,4,2T A ，求()24T A ，()44T A ；（2）证明：对于4项数列4A ，不存在3阶逆序变换；（3）若n 项数列n A 存在3阶逆序变换，求n 的最小值.【答案】（1）()24:4,3,2,1TA ，()44:1,2,3,4T A （2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）直接根据定义求解对应的数列即可；（2）先证明若n 项数列n A 存在3阶逆序变换，则n 1-和n 中必有一个是6的倍数，再由4n =不满足该条件，即得结论；（3）由上面的结果可知6n ≥，然后对6n =构造符合条件的3阶逆序变换T 即可.【小问1详解】由于4:1,2,3,4A ，()4:3,1,4,2T A ，故()13T =，()21T =，()34T =，()42T =.所以()()()()()24:3,1,4,2T A T T T T ，即()24:4,3,2,1T A .所以()()()()()34:4,3,2,1T A T T T T ，即()34:2,4,1,3T A .所以()()()()()44:2,4,1,3T A T T T T ，即()44:1,2,3,4T A .故()24:4,3,2,1TA ，()44:1,2,3,4T A .【小问2详解】对3n ≥，设有n 个不同的点12,,...,n P P P ，若()i j T a a =，则在,ij P P 之间画一个箭头i j P P →.则每个点恰好发出一个箭头，也恰被一个箭头指向，这些箭头将形成若干互不相交的圈.若各项互不相同的数列n A 存在3阶逆序变换T ，则对12n i +≠，i a 经过三次变换T 后得到1n i a +-.这意味着i P 和n i P -必然位于一个长度为6的圈中.从而，如果n 是偶数，则必定有12n i +≠，故每个点12,,...,n P P P 都位于一个长度为6的圈中，所以n 是6的倍数；如果n 是奇数，则除12n P +以外的点都位于一个长度为6的圈中，若12n P +单独作为一个圈，则n 1-是6的倍数，若12n P +位于包含其它点的圈中，则n 是6的倍数.但n 是奇数，故只可能是：12n P +单独作为一个圈，n 1-是6的倍数.综上，若各项互不相同的数列n A 存在3阶逆序变换T ，则n 1-和n 中必有一个是6的倍数.由于4n =不满足该条件，故对于4项数列4A ，不存在3阶逆序变换；【小问3详解】若n 项数列n A 存在3阶逆序变换，根据（2）的结果，n 1-和n 中必有一个是6的倍数.而3n ≥，故6n ≥.而当6n =时，对各项互不相同的数列6123456:,,,,,A a a a a a a ，构造变换{}{}123456123456:,,,,,,,,,,T a a a a a a a a a a a a →，满足()12T a a =，()23T a a =，()36T a a =，()41T a a =，()54T a a =，()65T a a =.则()16236145:,,,,,TA a a a a a a ，()26365214:,,,,,T A a a a a a a ，()36654321:,,,,,T A a a a a a a .所以T是数列6A的3阶逆序变换.综上，n的最小值为6.和n中必有一个是6的倍数，进【点睛】关键点点睛：本题的关键在于从3阶逆序变换的存在性推出n1而可以迅速由条件确定n的大致范围，最后得到结果.。

2023—2024学年度第二学期教学质量检查高二数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.已知函数()sin cos f x x x=，则()f x 的导函数为（）A.()22sin cos f x x x=-' B.()22cos sin f x x x =-'C.()1f x '= D.()1f x '=-2.已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(3)4(1)P X P X <=<，则(23)P X <<=（）A.35B.23C.310D.133.两个相关变量,x y 满足如下关系：x23456y25●465865根据表格已得经验回归方程为10.2 5.2ˆyx =+.若表格中有一数据模糊不清，则推算该数据是（）A.35.5B.36C.36.5D.374.在区间(0,1)上，若()1f x '>，则下列四个图中，能表示函数()y f x =的图像的是（）A. B.C. D.5.某中学推出了篮球､足球､排球､羽毛球､乒乓球共5门球类体育选修课供同学们选择，其中羽毛球火爆，只剩下一个名额，其余4门球类课程名额充足.现有某宿舍的四位同学报名选课，每人只选择其中的1门课程，四位同学选完后，恰好选择了3门不同球类课程，则不同的选课情况总共有（）A.316种B.360种C.216种D.288种6.袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X 为取出球的总数，则4X =的概率为（）A.514B.57 C.542D.5217.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为（）A.34B.57C.1320D.13218.已知实数,,x y z 满足e ln e y x x y =且1e ln e zx z x=，若01y <<，则（）A.x y z >>B.x z y>>C.y z x>> D.y x z>>二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9.变量x 与y 的成对数据的散点图如下图所示，由最小二乘法计算得到经验回归直线1L 的方程为11ˆˆˆy b x a =+，相关系数为1r ，决定系数为21R ；经过残差分析确定第二个点B 为离群点（对应残差过大），把点B 对应的数据去掉后，用剩下的7组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为22ˆˆˆy b x a =+，相关系数为2r ，决定系数为22R ，则以下结论正确的是（）A.12r r <B.2212R R >C.12ˆˆb b < D.12ˆˆaa <10.已知函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠在1x =处取到极大值1，则以下结论正确的是（）A.320a b c ++=B.21d a b =++C.3b a<- D.3b a>-11.设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且712(),(),()1223P A P B P A B ==+=，则（）A.()14P AB =B.()512P AB =C.1(|)2P A B =D.4(|)7P B A =三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.12.521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是80，则=a ___________.13.若甲筐中有5个苹果，3个梨子，2个橙子，乙筐中有x 个苹果､1个梨子､2个橙子，现从甲筐中随机取出一个水果放入乙筐，再从乙筐中随机取出一个水果，记“从乙筐中取出的水果是苹果”为事件A ，若()12P A ≥，则整数x 的最小值为__________.14.若直线y kx m =+是曲线e 2x y =-的切线，也是曲线1e x y -=的切线，则m =__________.四､解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16､17题各15分，第18､19题各17分，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.15.已知函数()sin xf x ax=的图象在点()π,0处的切线方程是ππ0x y +-=.（1）求实数a 的值；（2）若0x >，求证：()1f x <.16.某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了体育锻炼的宣传和调查.调查数据如下：共100份有效问卷，50名男性中有5名不经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼.（1）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：根据小概率值0.05α=的独立性检验，分析性别因素是否会影响经常体育锻炼？性别经常体育锻炼与否合计经常体育锻炼不经常体育锻炼男女合计（2）从不经常体育锻炼的15份调查问卷中得到不经常锻炼的原因：有3份身体原因；有2份不想锻炼；有4份没有时间；有6份没有运动伙伴.求从这15份问卷中随机选出2份，在已知其中一份是“没有时间”的条件下，另一份是“没有运动伙伴”的概率.附：①()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.②临界值表α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82817.某企业生产一种热销产品，产品日产量为()1x x ≥吨，日销售额为y 万元（每日生产的产品当日可销售完毕），且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量()1,2,..,5i x i =（单位：吨）和日销售额()1,2,,5i y i =⋯（单位：万元）的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表：51ii x =∑51=∑ii y 51ii u =∑()521ii x x =-∑()521ii yy =-∑()521ii u u =-∑()()51iii x x y y =--∑()()51ii i uu y y =--∑15734.810161.2 1.63915.9其中，ln (1,2,,5),,,i i u x i x y u ==⋯分别为数据(),,1,2,,5i i i x y u i =⋯的平均数.（1）请从样本相关系数的角度，判断ˆˆˆy bx a =+与ˆˆˆln y d x c =+哪一个模型更适合刻画日销售额y 关于日产量x 的关系？（2）根据（1）的结果解决下列问题：（i ）建立y 关于x 的经验回归方程（斜率的结果四舍五入保留整数）；（ii ）如果日产量x （单位：吨）与日生产总成本()c x （单位：万元）满足关系()132c x x =+，根据（i ）中建立的经验回归方程估计日产量x 为何值时，日利润()r x 最大？附：①相关系数()()niix x y y r --=∑②经验回归方程ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x==--==--∑∑.16,25≈≈.18.已知函数()ln f x x =.（1）若()()()11a x g x f x x -=-+，讨论函数()g x 的单调性；（2）若01x <<，求证：()11ex f x x x +>-.19.设集合{}()*1,2,3,,,A n n B A =∈⊆N ，且B ≠∅，记集合B 中的最小元素和最大元素分别为随机变量,X Y .（1）若3X ≥的概率为731，求n ；（2）若20n =，求8X =且18Y =的概率；（3）记随机变量2X Y Z +=，证明：()12n E Z +=.2023—2024学年度第二学期教学质量检查高二数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.已知函数()sin cos f x x x=，则()f x 的导函数为（）A.()22sin cos f x x x =-' B.()22cos sin f x x x =-'C.()1f x '= D.()1f x '=-【答案】B 【解析】【分析】根据导数四则运算的乘法法则求导即可.【详解】由()sin cos f x x x =可得()()()22sin cos sin cos cos sin f x x x x x x x '''=+=-，即()22cos sin f x x x =-'.故选：B2.已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(3)4(1)PX P X <=<，则(23)P X <<=（）A.35B.23C.310D.13【答案】C 【解析】【分析】根据正态分布对称性得出概率.【详解】因为()()34,1P X P X <=<所以()()()()341,331P X P X P X P X <=<<+≥=,又因为正态分布的对称轴为2，所以()()31P X P X ≥=<,所以()()()14111,1,5P X P X P X <+<=<=所以()()()11132312122510P X P X P X <<=<<=-<=-=.故选：C.3.两个相关变量,x y 满足如下关系：x23456y25●465865根据表格已得经验回归方程为10.2 5.2ˆyx =+.若表格中有一数据模糊不清，则推算该数据是（）A.35.5B.36C.36.5D.37【答案】B 【解析】【分析】应用回归直线过样本中心点代入求参即可.【详解】因为2345645x ++++==，代入10.24 5.2ˆ46y=⨯+=,所以()4652546586536⨯-+++=.故选：B.4.在区间(0,1)上，若()1f x '>，则下列四个图中，能表示函数()y f x =的图像的是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据导数值与函数切线斜率的关系即可判断.【详解】根据导数值与切线斜率的关系可知，在区间(0,1)上时，函数图象在任意一点处的切线斜率恒大于1，则显然BCD 不合题意，对A 选项，函数在(0,0)处的切线斜率等于1，且在(0,1)上，切线斜率不断增大，则()1f x '>恒成立，故A 正确.故选：A.5.某中学推出了篮球､足球､排球､羽毛球､乒乓球共5门球类体育选修课供同学们选择，其中羽毛球火爆，只剩下一个名额，其余4门球类课程名额充足.现有某宿舍的四位同学报名选课，每人只选择其中的1门课程，四位同学选完后，恰好选择了3门不同球类课程，则不同的选课情况总共有（）A.316种B.360种C.216种D.288种【答案】D 【解析】【分析】分选不选羽毛球两种情况讨论，再分别利用分步乘法原理计算报名情况，利用分类加法原理求和即得结果.【详解】分两种情况讨论：不选羽毛球，其余4门球类课程选3门，有34C 种选法，四人中有2人选择同1门课程，其余2人各自选1门课程，有2343C A 种选法，故报名的情况有323443C C A 144=种；1人选羽毛球，则14C 种选法，再从其余4门球类课程选2门课程，则24C 种选法，其余3人中选1人选一门课程，其余2人同选另1门课程，则1232C A 种，故报名的情况有12124432C C C A 144=种.所以他们报名的情况总共有144144288+=种.故选：D6.袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X 为取出球的总数，则4X =的概率为（）A.514B.57 C.542D.521【答案】A 【解析】【分析】先明确4X =所代表的意义以及所包含的可能情况，再根据全概率公式即可计算所求概率.【详解】根据题意第一、二、三、四次取出的球的颜色符合的情况有以下六种：白白黑白、白黑白白、黑白白白、黑黑白黑、黑白黑黑、白黑黑黑，这六种情况的发生是相互互斥的，所以由全概率公式得：()54435443454343524532498769876987698769876p X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+54325555555987663636312612612614⨯⨯⨯=+++++=.故选：A.7.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为（）A.34B.57C.1320D.1321【答案】D 【解析】【分析】先明确杨辉三角第20行的数的个数，通过320C 2024<和420C 2024>结合组合数对称性质得出杨辉三角第20行中比2024大的数的个数即可得解.【详解】由题意可知杨辉三角第20行共有21个数，其中从左往右第4个数为()32020!C 114020243!!203==-<，从左往右第5个数为()42020!C 484520244!!204==->，所以根据组合数的对称性得杨辉三角第20行的21个数里有214213-⨯=个大于2024，故从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为1321.故选：D .8.已知实数,,x y z 满足e ln e y x x y =且1e lne zx z x=，若01y <<，则（）A.x y z >>B.x z y>>C.y z x >> D.y x z>>【答案】A 【解析】【分析】利用对数运算法则将等式变形，根据指数函数值域及对数不等式可得,x z 的范围【详解】由e ln e y x x y =得ln e ex y x y=，由1e ln e z xz x =得ln e e x z x z -=，因此e ey z y z -=，又01y <<，所以0e e z yz y =-<，又e 0z >，所以0z <，利用01y <<得ln 0e ex y x y=>，又e 0x >，所以ln 0x >，即1x >，所以10x y z >>>>，即x y z >>，故选：A二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9.变量x 与y 的成对数据的散点图如下图所示，由最小二乘法计算得到经验回归直线1L 的方程为11ˆˆˆy b x a =+，相关系数为1r ，决定系数为21R ；经过残差分析确定第二个点B 为离群点（对应残差过大），把点B 对应的数据去掉后，用剩下的7组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为22ˆˆˆy b x a =+，相关系数为2r ，决定系数为22R ，则以下结论正确的是（）A.12r r <B.2212R R >C.12ˆˆb b < D.12ˆˆaa <【答案】AC 【解析】【分析】根据点B 的特点判断选项C ，D ；由于去掉B ，其它点的线性关系更强，从而可判断A ，B 选项．【详解】因为共8个点且离群点B 的横坐标较小而纵坐标相对过大，去掉离群点后回归方程的斜率更大，而截距变小，所以C 正确，而D 错误；去掉离群点后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，所以221212r r R R <<，，故B 错误，A 正确.故选：AC ．10.已知函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠在1x =处取到极大值1，则以下结论正确的是（）A.320a b c ++=B.21d a b =++C.3b a <-D.3b a>-【答案】ABC 【解析】【分析】对函数进行求导，根据极值点导数意义，判断A ，B ；根据函数在1x =处取到极大值，则函数在1x =的附近单调性为“左增右减”，用导数正负来判断C ，D.【详解】因为()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.函数在1x =处取到极大值1.则()(1)11320f a b c d f a b c =+++=⎧⎨=++='⎩，则A 正确；两式子相减，得到21a b d ---=，即21d a b =++，则B 正确；由前面知道，32c a b =--，则()23232f x ax bx a b =-'+-，由于函数在1x =处取到极大值，则函数1x =的附近单调性为“左增右减”.则()23232f x ax bx a b =-'+-，对于1x +→时，()232320f x ax bx a b =+--<'，即23(1)2(1)0(1)a x b x x +-+-<→，即3(1)20(1)a x b x +++<→，即623(1)20(1)a b a x b x ++<++<→，即620(1)a b x ++<→，则3b a <-.则C 正确，D 错误.故选：ABC.11.设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且712(),(),()1223P A P B P A B ==+=，则（）A.()14P AB =B.()512P AB =C.1(|)2P A B =D.4(|)7P B A =【答案】ACD 【解析】【分析】()()()()P A B P A P B P AB +=+-,求出()P AB ，利用()()()P AB P AB P B +=可判断A ，由()1()P P B AB A =-+可判断B ，由条件概率公式可判断D.【详解】由2()()()()3P A B P A P B P AB +=+-=，因为7()12P A =，则7()112125P A =-=，所以1()4P AB =，因为()()()P AB P AB P B +=，所以()111244P AB =-=，故A 正确；则5()()()()6P A B P A P B P AB +=+-=，所以()61()1A PB P A B =-+=，故B 错误；由于()1(|)(2)P AB P A B P B ==，所以C 正确；由于()()()P AB P AB P A +=，则()()711()1243P AB P A P AB =-=-=，所以(4(|)()7P AB P B A P A ==，故D 正确；故选：ACD三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.12.521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是80，则=a ___________.【答案】2【解析】【分析】由二项式定理公式1C r n rr r n T ab -+=即可得到结果.【详解】依题意，521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为:2551031551()(r r r r r r r T C ax C a x x---+==，当1034r -=时，2r =，此时5235580r rC a C a -==，所以2a =.故答案为：2.13.若甲筐中有5个苹果，3个梨子，2个橙子，乙筐中有x 个苹果､1个梨子､2个橙子，现从甲筐中随机取出一个水果放入乙筐，再从乙筐中随机取出一个水果，记“从乙筐中取出的水果是苹果”为事件A ，若()12P A ≥，则整数x 的最小值为__________.【答案】3【解析】【分析】记1A 、2A 、3A 分别表示从甲筐中随机取出一个水果为苹果、梨子、橙子，则利用全概率公式()()()()()()()112233|||P A P A P A A P A P A A P A P A A =++即可得解.【详解】记1A 、2A 、3A 分别表示从甲筐中随机取出一个水果为苹果、梨子、橙子的事件，则1A 、2A 、3A 相互互斥，所以由全概率公式得：()()()()()()()112233|||P A P A P A A P A P A A P A P A A =++()5132211104104104242x x x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯=≥++++，3x ⇒≥，故整数x 的最小值为3.故答案为：3.14.若直线y kx m =+是曲线e 2x y =-的切线，也是曲线1e x y -=的切线，则m =__________.【答案】2ln 2-【解析】【分析】设直线y kx m =+与e 2x y =-和1e x y -=的切点分别为()11,e 2xx -，()212,ex x -，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到m 的值.【详解】e 2x y =-和1e x y -=分布求导，得到e x y '=和1e x y -'=.设直线y kx m =+与e 2x y =-和1e x y -=的切点分别为()11,e 2xx -，()212,e x x -，则切线方程分别为，()()111e 2exx y x x --=-，()22112e e x x y x x ---=-，化简得，1111e e e 2xxxy x x -+=-，2221112ee e x x x y x x ---+-=.依题意上述两直线与y kx m =+是同一条直线，所以，12112211112e e e e 2e e x x x x x x x x ---⎧=⎨-+-=-+⎩，解得1ln2x =，所以11ln 21n21e e 2ln 2e e 22ln 2xxm x =-+-=-+-=-故答案为：2ln 2-.四､解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16､17题各15分，第18､19题各17分，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.15.已知函数()sin xf x ax=的图象在点()π,0处的切线方程是ππ0x y +-=.（1）求实数a 的值；（2）若0x >，求证：()1f x <.【答案】（1）1a =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，再根据导数几何意义以及切线方程即可求解.（2）先由（1）得()f x 解析式，再由解析式结构特征结合导数工具分1x >和01x <≤两段研究()f x 的值的情况即可得证.【小问1详解】由题()()22sin cos sin cos sin x ax x a x x x xf x ax ax ax '--⎛⎫=== ⎪⎝⎭'，所以由导数几何意义以及切线方程得()2πcos πsin π11ππππf a a -==-=-'，1a ⇒=.【小问2详解】由（1）()sin xf x x=，因为[]sin 1,1x ∈-，故当1x >时()1f x <恒成立；令()sin ,01g x x x x =-≤≤，则()1cos 0g x x ='-≥在[]0,1上恒成立，且当且仅当0x =时()0g x '=，所以()g x 在[]0,1上单调递增，所以()()00sin 00g x g ≥=-=，所以当(]0,1x ∈时sin 0x x ->即sin x x <恒成立，所以当(]0,1x ∈时，()sin 1x xf x x x=<=，综上得：若0x >，()1f x <.16.某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了体育锻炼的宣传和调查.调查数据如下：共100份有效问卷，50名男性中有5名不经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼.（1）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：根据小概率值0.05α=的独立性检验，分析性别因素是否会影响经常体育锻炼？性别经常体育锻炼与否合计经常体育锻炼不经常体育锻炼男女合计（2）从不经常体育锻炼的15份调查问卷中得到不经常锻炼的原因：有3份身体原因；有2份不想锻炼；有4份没有时间；有6份没有运动伙伴.求从这15份问卷中随机选出2份，在已知其中一份是“没有时间”的条件下，另一份是“没有运动伙伴”的概率.附：①()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.②临界值表α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）根据小概率值0.05α=的独立性检验，没有充分证据推断性别因素会影响经常体育锻炼；（2）1225.【解析】【分析】（1）根据题意补全22⨯列联表，计算2χ的值，作出判断；（2）由条件概率公式求解即可.【小问1详解】由题可得50名男性中有5名不经常体育锻炼，45名经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼，40名经常体育锻炼；22⨯列联表如下：性别经常体育锻炼与否合计经常体育锻炼不经常体育锻炼男45550女401050合计8515100所以22100(4510540)1001.9615050851551χ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为1.961 3.841<，根据小概率值0.05α=的独立性检验，没有充分证据推断性别因素会影响经常体育锻炼.【小问2详解】设A 事件为其中一份是“没有时间”，B 事件为另一份是“没有运动伙伴”，2114411215C C C 64410()C 10521P A ++===，1146215C C 248()C 10535P AB ===，所以()()12(|)25P AB P B A P A ==17.某企业生产一种热销产品，产品日产量为()1x x ≥吨，日销售额为y 万元（每日生产的产品当日可销售完毕），且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量()1,2,..,5i x i =（单位：吨）和日销售额()1,2,,5i y i =⋯（单位：万元）的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表：51ii x =∑51=∑ii y 51ii u =∑()521ii x x =-∑()521ii yy =-∑()521ii u u =-∑()()51iii x x y y =--∑()()51ii i uu y y =--∑1573 4.810161.2 1.63915.9其中，ln (1,2,,5),,,i i u x i x y u ==⋯分别为数据(),,1,2,,5i i i x y u i =⋯的平均数.（1）请从样本相关系数的角度，判断ˆˆˆy bx a =+与ˆˆˆln y d x c =+哪一个模型更适合刻画日销售额y 关于日产量x 的关系？（2）根据（1）的结果解决下列问题：（i ）建立y 关于x 的经验回归方程（斜率的结果四舍五入保留整数）；（ii ）如果日产量x （单位：吨）与日生产总成本()c x （单位：万元）满足关系()132c x x =+，根据（i ）中建立的经验回归方程估计日产量x 为何值时，日利润()r x 最大？附：①相关系数()()niix x y y r --=∑②经验回归方程ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==--==--∑∑.16,25≈≈.【答案】（1）ˆˆˆln y d x c =+模型更适合刻画日销售额y 关于日产量x 的关系（2）（i ）10ln 5ˆy x =+；（ii ）20【解析】【分析】（1）利用相关系数的公式求解即可；（2）（i ）利用回归方程的定义计算求解即可；（ii ）求出()r x 的解析式，结合导数研究()r x 的单调性，即可求解.【小问1详解】设ˆˆˆy bx a =+模型的相关系数为1r ，设ˆˆˆln y d x c =+模型的相关系数为2r ，所以()()10.975niix x y y r --=∑，()()20.994nii y y r μμ--==≈∑，由于120r r <<，所以ˆˆˆln y d x c =+模型拟合更好，即ˆˆˆln y d x c =+模型更适合刻画日销售额y 关于日产量x 的关系【小问2详解】（i ）由(1)知y 关于x 的经验回归方程为ˆˆˆln y d x c =+，由题可得：()()()12115.99.9375101.ˆ6niii ni i y y dμμμμ==--===≈-∑∑，73 4.8ˆˆ10555cy d =-μ=-⨯=，所以10ln 5ˆyx =+（ii ）由题可得()1110ln 5310ln 222r x x x x x =+--=-+()1x ≥，所以()1012022x r x x x -'=-=，令()2002xr x x-'==解得：20x =当120x ≤<时，()0r x '>，当20x >时，()0r x '<则()r x 的单调增区间为()1,20，单调减区间为(20,)+∞，所以当20x =时，日利润()r x 最大18.已知函数()ln f x x =.（1）若()()()11a x g x f x x -=-+，讨论函数()g x 的单调性；（2）若01x <<，求证：()11e xf x x x +>-.【答案】（1）答案见详解（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意得()g x ，求导得()222(1)1(1)x a x g x x x +'-+=+，对a 分类谈论，判断函数单调性即可.（2）由（1）得，ln 2()11x x x <-+，因为(0,1)x ∈，整理得ln 211x x x >-+，只需证211ex x x +>-即可，即证()2()2e 10x h x x =-+>，对()h x 求导分析单调性，求出最小值即可证明.【小问1详解】由题可得()()1ln ,01a x g x x x x -=->+，则()()2222212122(1)1(1)(1)(1)x ax ax a x g x x x x x x x +-+-+=-==++'+，①当24(1)40a ∆=--≤，即02a ≤≤时，()0g x '≥恒成立，()g x ∴在(0,)+∞上单调递增；②当24(1)40a ∆=-->，即a<0或2a >时，（i ）当a<0时，()222(1)10(1)x a x g x x x +++'-=>恒成立，()g x ∴在(0,)+∞上单调递增；（ii ）当2a >时，由()222(1)10(1)x a x g x x x +++'-==得11x a =-，21x a =-+断得120x x <<，当()0g x '>时，10x x <<或2x x >，当()0g x '<时，12x x x <<，()g x ∴在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增；在12(,)x x 上单调递减.综上所述，当2a ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调递增；当2a >时，()g x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增；在12(,)x x 上单调递减.（其中11x a =-，21x a =-）.【小问2详解】由（1）得，当2a =，()1ln 2(1x g x x x -=-+在(0,1)上单调递增，()(1)0g x g ∴<=，∴ln 2()11x x x <-+，(0,1)x ∈ ，ln 211x x x ∴>-+，下面证211e x x x +>+，(0,1)x ∈，即证()2()2e 10x h x x =-+>在(0,1)x ∈上恒成立，()2e 22,(0,1)x h x x x '=--∈，令()x ϕ=()2e 22,(0,1)x h x x x '=--∈，()x ϕ'=2e 20x ->在(0,1)x ∈恒成立，()x ϕ∴在(0,1)上单调递增，()(0)220h x h ''∴>=-=恒成立，()h x ∴在(0,1)上单调递增，()(0)2110h x h ∴>=-=>恒成立，()22e 10x x -+>，即211ex x x +>-，(0,1)x ∈，ln 11e x x x x +∴>-，即()11ex f x x x +>-.【点睛】导数含参二次型讨论单调性的参数分类方法：求导后能通分则通分，通分后对分子因式分解，若不能因式分解，则讨论开口方向或是否为二次函数，接下来分为：①0∆≤时，()0f x '≥，则()f x 单调递增；②0∆>时，()0f x '=时，()f x 有两个根，然后需判断两根是否在定义域内.结合以上情况可以确定参数分类.19.设集合{}()*1,2,3,,,A n n B A =∈⊆N ，且B ≠∅，记集合B 中的最小元素和最大元素分别为随机变量,X Y .（1）若3X ≥的概率为731，求n ；（2）若20n =，求8X =且18Y =的概率；（3）记随机变量2X Y Z +=，证明：()12n E Z +=.【答案】（1）5n =（2）{}92028,1821P X Y ===-（3）答案见解析【解析】【分析】（1）运用非空集合子集个数的结论，得到非空集合B 的个数为21n -个.运用对立事件概率求法，221(3)1(1)(2)21n n P X P X P X --≥=-=-==-，解出即可.（2）当非空集合B 中的最小元素和最大元素分别为8,18时，分析出集合B 可能情况有92个，若20n =，非空集合B 的个数为2021-.古典概型相除求出概率即可.（3）与上面方法一样，求出当最小值X i =的概率()()21,2,,21n in P X i i n -===- .求出当最大值Y j =的概率()()121,2,,21j n P Y j j n -===- .则{}11()(),n ni j E X Y i j P X i Y j ==+=+==∑∑.运用求和规则，慢慢将式子展开，变形，得出结论即可.【小问1详解】非空集合B 的个数为1231C C C C 2n n n n n n ++++=- 个.所以1222221(3)1(1)(2)1212121n n n n n n P X P X P X ----≥=-=-==--=---因为2217(3)2131n n P X --≥==-，解得228n -=，则5n =.【小问2详解】当非空集合B 中最小元素和最大元素分别为8,18时，集合B 中元素一定有元素8,18，一定没有元素1,2,3,4.5,6,7,19,20,可有可无元素有9,10,11,12,13,14,15,16,17,则集合B 可能情况有92个.若20n =，非空集合B 的个数为2021-.所以{}92028,1821P X Y ===-.【小问3详解】非空集合B 的个数为21n -个，最小值X i =的集合B 的个数为2(1,2,,)n i i n -= 个，则()()21,2,,21n in P X i i n -===- .最大值Y j =的集合B 的个数为12(1,2,,)j j n -= 个，则()()121,2,,21j n P Y j j n -===- ，{}11()(),n ni j E X Y i j P X i Y j ==+=+==∑∑{}{}1111,,n n n n i j i j iP X i Y j jP X i Y j =======+==∑∑∑∑{}{}1111,,n n n ni j i j i P X i Y j P X i Y j j =======+==∑∑∑∑11{}{}n ni j iP X i jP Y j ====+=∑∑()()E X E Y =+111222121n i j nn n n i j i j --===+--∑∑1122(1)2121n k n knn n n k k k n k --===+-+--∑∑11221n n k n k n -=+=-∑11212112nn n n ⎛⎫+-==+ ⎪--⎝⎭所以()11222X Yn E E X Y ++⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.【点睛】知识方法点拨：新问题的求解策略：1、遇到新问题，应耐心读题，分析新问题的特点，弄清新问题的性质，按要求逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.2、若新问题与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.3、若新定义与集合的运算有关，首先分析题意，同时用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.。

蚌埠市2023—2024学年度第二学期期末学业水平监测高二数学（答案在最后）本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“n ∀∈Z ，n ∈Q ”的否定为（）A.n ∀∈Z ，n ∉QB.n ∀∈Q ，n ∈ZC.n ∃∈Z ，n ∈QD.n ∃∈Z ，n ∉Q2.若lg πa =，ln πb =，lg e c =，其中e 是自然对数的底数，则（）A.a b c>> B.b a c>> C.a c b>> D.c a b >>3.已知向量()1,2a =r ，()4,3b = ，则向量b 在a上的投影向量的坐标是（）A.()2,4B.(C.24,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,55⎛⎫⎪⎝⎭4.已知函数()1221,0,,0,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩若()3f m =，则m 的值为（）A.B.2C.9D.2或95.在()521x -的展开式中，3x 的系数是（）A.80- B.40- C.20 D.806.ABC 中，“A B >”是“cos2cos2A B <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数()tan sin 2f x x =，则函数()f x 的解析式为（）A.()22ππ,12x f x x k k x ⎛⎫=≠+∈ ⎪-⎝⎭Z B.()221xf x x =-C.()22ππ,12x f x x k k x ⎛⎫=≠+∈ ⎪+⎝⎭Z D.()221x f x x =+8.已知事件A ，B ，()13P B =，()34P B A =，()12P B A =，则()P A =（）A.14B.13C.23D.34二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知由样本数据点集合(){,|1,2,,}i i x y i n = ，求得的回归直线方程为 1.5.5ˆ0yx =+，且3x =，现发现两个数据点()1.3,2.1和()4.7,7.9误差较大，剔除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则（）A.变量x 与y 具有负相关关系B.剔除后y 不变C.剔除后的回归方程为 1.2.4ˆ1yx =+ D.剔除后相应于样本点()2,3.75的残差为0.0510.函数()()(]ππ0,2,,22f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+∈∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.()()πf x f x +=B.π4x =-是曲线()y f x =的一条对称轴C.函数3π8f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是奇函数D.若方程()1f x =在()0,m 上有且仅有6个解，则5π13π,24m ⎛⎤∈⎥⎝⎦11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ．若函数()23f x -的图象关于点(2,1)对称，()()3310f x f x ++-=且()02f =-，则（）A.()f x 的图象关于点(1,1)对称B.()()4f x f x +=）C.()()10262f f ''= D.()5012501i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){}2log 1M x x a =-<，若2M ∉，写出一个满足题意的实数a 的值：__________.13.安排甲、乙、丙、丁共4名志愿者完成6项服务工作，每人至少完成1项工作，每项工作由1人完成，甲不能完成其中的A 项工作，则不同的安排方式有______种（用数字作答）.14.函数()e xf x x =在0x =处的切线方程为_________；若()()ln 2g x f x x x a =--+-有两个零点，则实数a 的取值范围是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()32212f x x ax x b =-++在2x =处取得极小值5.（1）求实数a ，b 的值；（2）当[]0,3x ∈时，求函数()f x 的最大值.16.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），223.8σ=．（1）试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）；（2）若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y ，求随机变量Y 的分布列，数学期望与方差．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则(),0.6827P μσμσ-+≈，()2,20.9545P μσμσ-+≈，()3,30.9973P μσμσ-+≈．17.我国为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：国家财政补贴、地方财政补贴、免征车辆购置税、充电设施奖补、车船税减免、放宽汽车消费信贷等．为了了解群众对新能源车和传统燃油车的偏好是否与年龄有关，调查组对400名不同年龄段（19岁以上）的车主进行了问卷调查，其中有200名车主偏好新能源汽车，这200名车主中各年龄段所占百分比见下图：在所有被调查车主中随机抽取1人，抽到偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段的概率为316．（1）请将下列2×2列联表直接补充完整．偏好新能源汽车偏好燃油车合计19~35岁35岁以上合计并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关？（2）将上述调查中的频率视为概率，按照分层随机抽样方法，从偏好新能源汽车的车主中选取5人，再从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人在19-35岁年龄段的概率．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.1000.0500.0100.0050.001αχ2.7063.8416.6357.87910.82818.定义函数()sin cos f x m x n x =+的“伴随向量”为(),a m n = ，向量(),a m n =的“伴随函数”为()sin cos f x m x n x =+．（1）若向量(),a m n = 的“伴随函数”()f x 满足π7π9tan 11π918f f ⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，求n m的值；（2）已知2a b == ，设()0,0OP a b λμλμ=+>> ，且OP的“伴随函数”为()g x ，其最大值为t ，求()()2t λμ-+的最小值，并判断此时向量a ，b的关系．19.若非空集合A 与B ，存在对应关系f ，使A 中的每一个元素a ，B 中总有唯一的元素b 与它对应，则称这种对应为从A 到B 的映射，记作f ：A →B ．设集合{}5,3,1,1,3,5A =---，{}12,,,n B b b b = （*n ∈N ，6n ≤），且B A ⊆．设有序四元数集合()1234{,,,,i P X X x x x x x A ==∈且1,2,3,4}i =，(){}1234,,,Q Y Y y y y y ==．对于给定的集合B ，定义映射f ：P →Q ，记为()Y f X =，按映射f ，若i x B ∈（1,2,3,4i =），则1i i y x =+；若i x B ∉（1,2,3,4i =），则i i y x =．记()41B ii S Y y ==∑．（1）若{}5,1B =-，()1,3,3,5X =--，写出Y ，并求()B S Y ；（2）若{}123,,B b b b =，()1,3,3,5X =--，求所有()B S Y 的总和；（3）对于给定的()1234,,,X x x x x =，记41ii xm ==∑，求所有()B S Y 的总和（用含m 的式子表示）．蚌埠市2023—2024学年度第二学期期末学业水平监测高二数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“n ∀∈Z ，n ∈Q ”的否定为（）A.n ∀∈Z ，n ∉QB.n ∀∈Q ，n ∈ZC.n ∃∈Z ，n ∈QD.n ∃∈Z ，n ∉Q【答案】D 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定求解即可.【详解】命题“n ∀∈Z ，n ∈Q ”的否定为“n ∃∈Z ，n ∉Q ”.故选：D.2.若lg πa =，ln πb =，lg e c =，其中e 是自然对数的底数，则（）A.a b c >>B.b a c>> C.a c b>> D.c a b>>【答案】B 【解析】【分析】应用对数函数单调性判断大小即可.【详解】因为lg y x =单调递增，又πe >,所以lgπlge >,可得a c >;又因为πlog y x =单调递增，又10e >,所以ππlog 10log e>0>,所以ππ11,lgπlnπlog 10log e<<,可得a b <,所以b a c >>.故选：B.3.已知向量()1,2a =r ，()4,3b = ，则向量b 在a上的投影向量的坐标是（）A.()2,4B.(C.24,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,55⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据坐标计算,a a b ⋅，然后由投影向量公式可得.【详解】因为142310a a b ==⋅=⨯+⨯= ，所以向量b 在a上的投影向量为()()21021,22,45a b a a a⋅===.故选：A4.已知函数()1221,0,,0,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩若()3f m =，则m 的值为（）A.B.2C.9D.2或9【答案】C 【解析】【分析】由题可得2130mm ⎧-=⎨≤⎩或123m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，即求.【详解】∵函数()1221,0,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，()3f m =，∴2130mm ⎧-=⎨≤⎩或123m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，解得9m =.故选：C.5.在()521x -的展开式中，3x 的系数是（）A.80-B.40- C.20D.80【答案】D 【解析】【分析】先求出5(21)x -展开式中的通项，再求出k 值即可．【详解】5(21)x -展开式中的通项公式为：555155C (2)(1)C (1)2k k k kk k k k T x x ---+=-=-，令53k -=，则2k =，5(21)x ∴-展开式中3x 的系数为2235C (1)280-=，故选：D ．6.ABC 中，“A B >”是“cos2cos2A B <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】cos2cos2A B <等价于sin sin A B >，由正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可.【详解】在三角形中，因为cos2cos2A B <，所以2212sin 12sin A B -<-，即sin sin A B >若A B >，则a b >，即2sin 2sin R A R B >，sin sin A B >若sin sin A B >，由正弦定理sin sin a b A B=，得a b >，根据大边对大角，可知A B >所以“A B >”是“cos2cos2A B <”的充要条件故选：C7.已知函数()tan sin 2f x x =，则函数()f x 的解析式为（）A.()22ππ,12x f x x k k x ⎛⎫=≠+∈ ⎪-⎝⎭Z B.()221xf x x =-C.()22ππ,12x f x x k k x ⎛⎫=≠+∈ ⎪+⎝⎭Z D.()221x f x x =+【答案】D 【解析】【分析】由二倍角公式以及平方关系、商数关系即可得解.【详解】()()2222sin cos 2tan tan sin 2,tan R sin cos tan 1x x xf x x x x x x ===∈++，所以()221xf x x =+.故选：D.8.已知事件A ，B ，()13P B =，()34P B A =，()12P B A =，则()P A =（）A.14B.13C.23D.34【答案】C 【解析】【分析】应用条件概率公式及全概率公式计算即可.【详解】因为()()()()()()31,42P BA P B A P B A P B A P A P A====,所以()()11,42P B A P B A ==,所以()()()()()()()()1111423P B P A P B A P A P B A P A P A =+=⨯+-⨯=,所以()23P A =.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知由样本数据点集合(){,|1,2,,}i i x y i n = ，求得的回归直线方程为 1.5.5ˆ0yx =+，且3x =，现发现两个数据点()1.3,2.1和()4.7,7.9误差较大，剔除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则（）A.变量x 与y 具有负相关关系B.剔除后y 不变C.剔除后的回归方程为 1.2.4ˆ1yx =+ D.剔除后相应于样本点()2,3.75的残差为0.05【答案】BC 【解析】【分析】根据给定条件，利用回归直线方程的性质、残差的基本概念等进行解题.【详解】对于A ，由剔除前回归直线的斜率为1.5，剔除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，两者均大于0，则变量x 与y 具有正相关关系，A 错误；对于B ，剔除前 1.50.55y x =+=，而剔除的两个数据点1.3 4.732x +==，2.17.952y +==，因此剔除后y 不变，B 正确；对于C ，剔除后3x =，5y=，而回归直线l 的斜率为1.2，则回归直线方程为ˆ 1.2 1.4yx =+，C 正确；对于D ，剔除后的回归直线方程为ˆ 1.2 1.4yx =+，当2x =时，ˆ 3.8=y ，则残差为3.75 3.80.05-=-，D 错误.故选：BC10.函数()()(]ππ0,2,,22f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+∈∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.()()πf x f x +=B.π4x =-是曲线()y f x =的一条对称轴C.函数3π8f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是奇函数D.若方程()1f x =在()0,m 上有且仅有6个解，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】ACD 【解析】【分析】由(0)1f ϕ==-及π()08f =，可求得π())4f x x =-，从而判断A ，B ，C ；解出()1f x =的6个正根，再求出第7个正根，即可得m 的范围，从而判断D ．【详解】解：对于A ．(0)1f ϕ==-，即sin 2ϕ=-，又因为ππ[,]22ϕ∈-，所以4πϕ=-，所以π())4f x x ω=-，又因为π()08f =，ππsin()084ω-=，所以ππ84k ωπ-=，k ∈Z ，解得82k ω=+，k ∈Z ，又因为(0,2]ω∈，所以0k =，2ω=，所以π())4f x x =-，所以2ππ2T ==，所以(π)()f x f x +=，故A 正确；对于B ．因为π())4f x x =-，所以π3π()144f -=-=-≠所以π4x =-不是函数的对称轴，故B 错误；对于C ．因为3π(π)28f x x x -=-=，易知此时函数为奇函数，故C 正确；对于D．πππ()1)1sin(2)22π44244f x x x x k π=⇔-=⇔-=⇔-=+，k ∈Z或()π3π22π,44x k k -=+∈Z ，即π()1π4f x x k =⇔=+，k ∈Z 或()π,2x k k π=+∈Z ，若方程()1f x =在(0,)m 上有且只有6个根，则将它们从小到大排列为：π4，π2，5π4，3π2，9π4，5π2，由规律可知，大于5π2且离5π2最近的使得()1f x =的x 为13π4，所以5π13π(,24m ∈，故D 正确．故选：ACD ．11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ．若函数()23f x -的图象关于点(2,1)对称，()()3310f x f x ++-=且()02f =-，则（）A.()f x 的图象关于点(1,1)对称B.()()4f x f x +=）C.()()10262f f ''=D.()5012501i f i ==∑【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的图象变换及其对称性，可判断A ；结合()(2)2f x f x +-=和(3)(3)10f x f x ++-=，化简得到()(4)8f x f x =+-，可判断B ；对(3)(3)10f x f x ++-=和()(2)2f x f x +-=，两边同时求导，得()(4)f x f x ''=+，从而得()f x '是以4为周期的周期函数，即可判断C ；令()()2g x f x x =-，可得()g x 的周期为4，且令()()2f x g x x =+，用赋值法求得(1)1g =-，(2)0=g ，(3)1g =-，(4)2g =-，根据501()(1)(2)(50)(1)(2)(50)2(12350)i f i f f f g g g ==++=+++++++∑ 求解即可．【详解】解：A ．设函数()y f x =的图象关于(,)a b 对称，则(3)y f x =-关于(3,)a b +对称，可得(23)f y x =-关于3(,)2a b +对称，因为函数(23)f x -的图像关于点(2,1)对称，可得322a +=，1b =，解得1a =，1b =，所以函数()y f x =的图象关于(1,1)对称，所以A 正确；B ．由函数()y f x =的图象关于(1,1)对称，可得()(2)2f x f x +-=，因为(3)(3)10f x f x ++-=，可得(4)(2)10f x f x ++-=，两式相减得(4)()8f x f x +-=，即(4)()8f x f x +=+，所以B 不正确；C ．由(3)(3)10f x f x ++-=，可得(3)(3)0f x f x ''+--=，即(3)(3)f x f x ''+=-，所以(6)()f x f x ''+=-，在()(2)2f x f x +-=中，两边求导得：()(2)0f x f x ''--=，即()(2)f x f x '=-，(2)()f x f x ''+=-，所以(2)(6)f x f x ''+=+，即()(4)f x f x ''=+，所以()y f x '=的周期为4，所以(1026)(2)f f ''=，故C 正确；D ．令()()2g x f x x =-，可得(4)(4)2(4)(4)28g x f x x f x x +=+-+=+--，因为()(4)8f x f x =+-，所以(4)(4)28()2()g x f x x f x x g x +=+--=-=，所以()(4)g x g x =+，所以函数()g x 是以4为周期的周期函数，因为(0)2f =-，且函数()f x 关于(1,1)对称，可得f （1）1=，f （2）2(0)4f =-=，又因为(3)(3)10f x f x ++-=，令0x =，可得2(3)10f =，所以(3)5f =，再令1x =，可得(4)(2)10f f +=，所以(4)6f =，由()()2g x f x x =-，可得(1)1g =-，(2)0=g ，(3)1g =-，(4)2g =-，可得(1)(2)(3)(4)4g g g g +++=-，又由函数()()2g x f x x =-是以4为周期的周期函数，且()()2f x g x x =+，所以501()(1)(2)(50)(1)(2)(50)2(12350)i f i f f f g g g ==++=+++++++∑ 12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)2(1250)g g g g g g =++++++++ 50(150)12(4)10225012+=⨯--++⨯=，所以D 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是求出函数的周期以及一个周期内函数值的和，最后求和即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){}2log 1M x x a =-<，若2M ∉，写出一个满足题意的实数a 的值：__________.【答案】2（本题答案不唯一，只要所写数值满足(][),02,a ∈-∞⋃+∞即可）【解析】【分析】解对数不等式求出集合M ，然后根据2M ∉可得a 的范围，即可得答案.【详解】由()2log 1x a -<得02x a <-<，即2a x a <<+，所以(),2M a a =+，因为2M ∉，所以2a ≥或22a +≤，得(][),02,a ∞∞∈-⋃+.故答案为：2（答案不唯一）13.安排甲、乙、丙、丁共4名志愿者完成6项服务工作，每人至少完成1项工作，每项工作由1人完成，甲不能完成其中的A 项工作，则不同的安排方式有______种（用数字作答）.【答案】1170【解析】【分析】先分组，然后将不含工作A 的3组工作中选1组分配为甲，再分配其他3组工作即可.【详解】第一步，将6项工作分为1,1,1,3或1,1,2,2有3111221163216421322322C C C C C C C C 65A A A +=种情况；第二步，从不含工作A 的3组工作中选1组分配为甲，有13C 3=种情况；第三步，将剩下的3组工作分配给其余3人，有33A 6=种情况.由分布计数乘法计数原理可得不同的安排方式有65361170⨯⨯=种.故答案为：117014.函数()e xf x x =在0x =处的切线方程为_________；若()()ln 2g x f x x x a =--+-有两个零点，则实数a 的取值范围是_________．【答案】①.0x y -=②.(),1-∞【解析】【分析】第一个空，对()f x 求导，求出(0)f '和(0)f ，即可求解切线方程；第二个空，进行合理换元和同构，转化为()e t h t t =-的图象与直线2y a =-有两个交点，转化为交点问题，再利用导数研究函数的单调性、最值，最后得到参数的取值范围即可．【详解】()(1)e x f x x '=+，则(0)1f '=，又(0)0f =，所以函数()e x f x x =在0x =处的切线方程为y x =；令()()ln 2e ln 20x g x f x x x a x x x a =--+-=--+-=，所以ln e ln e (ln )2x x x x x x x x a +--=-+=-．令ln ()e (ln )x x F x x x +=-+，定义域为(0,)+∞，2y a =-，令ln t x x =+，易知ln t x x =+在(0,)+∞上单调递增，且R t ∈．所以()e t h t t =-，则函数()g x 有两个零点转化为函数()e t h t t =-的图象与直线2y a =-有两个交点．则()e 1t h t '=-，当0t <时，()0h t '<；当0t >时，()0h t '>，即()e t h t t =-在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以0()(0)e 01h t h ≥=-=，当t →-∞时，()h t →+∞；当t →+∞时，()h t →+∞，则21y a =->，解得1a <，即实数a 的取值范围是(,1)-∞．故答案为：y x =；(,1)-∞．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用同构思想，构造函数()e t h t t =-，转化为直线与函数交点问题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()32212f x x ax x b =-++在2x =处取得极小值5.（1）求实数a ，b 的值；（2）当[]0,3x ∈时，求函数()f x 的最大值.【答案】（1）9a =，1b =.（2）10【解析】【分析】（1）直接求导得()2244120f a =-+='，解出a 值，验证即可；（2）由（1）知()3229121f x x x x =-++，求导再列表即可得到其最大值.【小问1详解】()26212f x x ax =-+'，因为()f x 在2x =处取极小值5，所以()2244120f a =-+='，得9a =，此时()()()261812612f x x x x x =-+=--'，令()0f x '<，解得12x <<；令()0f x '>，解得1x <或2x >，所以()f x 在()1,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以()f x 在2x =时取极小值，符合题意.所以9a =，()322912f x x x x b =-++.又()245f b =+=，所以1b =.综上，9a =，1b =.【小问2详解】由（1）知()3229121f x x x x =-++，()()()612f x x x -'=-，列表如下：x()0,11()1,22()2,33()f x '+-+()f x 1极大值6极小值510由于610<，故[]0,3x ∈时，()()max 310f x f ==.16.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），223.8σ=．（1）试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）；（2）若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y ，求随机变量Y 的分布列，数学期望与方差．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则(),0.6827P μσμσ-+≈，()2,20.9545P μσμσ-+≈，()3,30.9973P μσμσ-+≈．【答案】（1）159人（2）分布列见解析，()52E Y =，()54D Y =．【解析】【分析】（1）利用正态分布相关知识即可求解；（2）因为2~(10.6,3.8)X N ，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为1(10.6)2P X >=，可得1~(5,2Y B ，然后求出对应的概率即可得解．【小问1详解】样本中100名学生每周阅读时间的均值为：20.160.2100.3140.25180.1510.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即10.6μ=，又 3.8σ=，所以()2~10.6,3.8X N ，所以()()()16.810.68270.158652P X P X μσ≤=≤-=⨯-=，所以全年级学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数大约为：0.158651000159⨯≈（人）【小问2详解】因为()2~10.6,3.8X N ，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为()110.62P X >=，可得1~5,2Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()505110C 232P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()515151C 232P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()525152C 216P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()535153C 216P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()545154C 3232P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()555115C 232P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，随机变量Y 的分布列为：Y012345P132532516516532132故()15522E Y =⨯=，()1155224D Y =⨯⨯=．17.我国为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：国家财政补贴、地方财政补贴、免征车辆购置税、充电设施奖补、车船税减免、放宽汽车消费信贷等．为了了解群众对新能源车和传统燃油车的偏好是否与年龄有关，调查组对400名不同年龄段（19岁以上）的车主进行了问卷调查，其中有200名车主偏好新能源汽车，这200名车主中各年龄段所占百分比见下图：在所有被调查车主中随机抽取1人，抽到偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段的概率为316．（1）请将下列2×2列联表直接补充完整．偏好新能源汽车偏好燃油车合计19~35岁35岁以上合计并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关？（2）将上述调查中的频率视为概率，按照分层随机抽样方法，从偏好新能源汽车的车主中选取5人，再从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人在19-35岁年龄段的概率．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.1000.0500.0100.0050.001αχ 2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）表格见解析，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关（2）35．【解析】【分析】（1）补全22⨯列联表，计算2χ的值，与临界值比较即可判断；（2）利用古典概型的概率公式求解．【小问1详解】在所有被调查车主中随机抽取1人，抽到偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段的概率为316，所以偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段得人数：34007516⨯=（人），故偏好传统燃油车且在35岁以上年龄段得人数：20075125-=（人），新能源汽车200名车主中在19~35岁年龄段的比例为38%22%60%+=，故人数为：20060%120⨯=（人）：新能源汽车35岁以上的人数为：20012080-=（人），填表如下：偏好新能源汽车偏好燃油车合计19~35岁1207524035岁以上80125180合计200200400()()()()()()222400120125758020.26310.828195205200200n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，则能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关．【小问2详解】按照分层随机抽样，从偏好新能源汽车的车主中选取5人，其中在1935-岁年龄段的人数为12053200⨯=人，35岁以上的人数为2，从5人中任意取2人，共有25C 10=种情况，其中恰有1人在19~35岁年龄段的有1132C C 6=种情况，故2人中恰有1人在19~35岁年龄段的概率为63105P ==．18.定义函数()sin cos f x m x n x =+的“伴随向量”为(),a m n = ，向量(),a m n =的“伴随函数”为()sin cos f x m x n x =+．（1）若向量(),a m n = 的“伴随函数”()f x 满足π7π9tan 11π918f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，求n m的值；（2）已知2a b == ，设()0,0OP a b λμλμ=+>>，且OP的“伴随函数”为()g x ，其最大值为t ，求()()2t λμ-+的最小值，并判断此时向量a ，b的关系．【答案】（1）（2）最小值为12-，此时a b = ．【解析】【分析】（1）根据题意得出(),a m n = 的“伴随函数”，然后表示出1π91π18f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，令tan n m θ=，利用换元的思想得到π7πtan tan 99θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用正切函数求解即可；（2）设()2cos ,2sin a αα= ，()2cos ,2sin b ββ= ，利用向量线性运算的坐标表示得出OP，进一步得到()g x 的解析式，根据0x 满足0102π2π,2π2π,2x k x k αβ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩则0x x =时，22t λμ=+，从而()()()()2211122222t t t t λμ---+==-≥-，即可判断a b = ．【小问1详解】由题意知，向量(),a m n =的“伴随函数”为()sin cos f x m x n x =+，所以πππππsin cos sin cos tan 99999911π11ππππ11πsin cos cos sin 1tan 181899918πn f m n m n m n m n m n f m ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭===⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭，令tan n m θ=，上式化为π7πtan tan 99θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π7ππ99k θ+=+，2ππ3k θ=+，k ∈Z ，即2πtan tan 3n m θ===．【小问2详解】设()2cos ,2sin a αα= ，()2cos ,2sin b ββ=，因为()()()2cos cos ,2sin sin OP a b λμλαμβλαμβ=+=++，所以()()()2cos cos sin 2sin sin cos g x x xλαμβλαμβ=+++()()2cos sin sin cos 2cos sin sin cos x x x x λααμββ=+++()()2sin 2sin x x λαμβ=+++，令()()()2sin 2sin 22h x x x λαμβλμ=+++≤+，若0x 满足0102π2π,2π2π,2x k x k αβ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩则0x x =时，22t λμ=+，其中12,k k ∈Z ，此时()122πk k αβ-=-，即2πk αβ=+，k ∈Z ，故a b = ．从而()()()()2211122222t t t t λμ---+==-≥-，等号当且仅当1t =时成立，所以()()2t λμ-+的最小值为12-，此时a b = ．19.若非空集合A 与B ，存在对应关系f ，使A 中的每一个元素a ，B 中总有唯一的元素b 与它对应，则称这种对应为从A 到B 的映射，记作f ：A →B ．设集合{}5,3,1,1,3,5A =---，{}12,,,n B b b b = （*n ∈N ，6n ≤），且B A ⊆．设有序四元数集合()1234{,,,,i P X X x x x x x A ==∈且1,2,3,4}i =，(){}1234,,,Q Y Y y y y y ==．对于给定的集合B ，定义映射f ：P →Q ，记为()Y f X =，按映射f ，若i x B ∈（1,2,3,4i =），则1i i y x =+；若i x B ∉（1,2,3,4i =），则i i y x =．记()41B i i S Y y ==∑．（1）若{}5,1B =-，()1,3,3,5X =--，写出Y ，并求()B S Y ；（2）若{}123,,B b b b =，()1,3,3,5X =--，求所有()B S Y 的总和；（3）对于给定的()1234,,,X x x x x =，记41i i xm ==∑，求所有()B S Y 的总和（用含m 的式子表示）．【答案】（1）()2,3,3,5Y =--，()1B S Y =（2）40（3）63128m +【解析】【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解；（2）对1，3-，5是否属于B 进行分类讨论，求出对应所有Y 中的总个数，进而求解；（3）由题意，先求出在映射f 下得到的所有1y 的和，同理求出在映射f 下得到的所有i y （2,3,4i =）的和，即可求解.【小问1详解】由题意知，()()()()()1,3,3,511,3,3,52,3,3,5Y f X f ==--=+--=--，所以()23351B S Y =--+=．【小问2详解】对1，3-，5是否属于B 进行讨论：①含1的B 的个数为25C 10=，此时在映射f 下，1112y =+=；不含1的B 的个数为35C 10=，此时在映射f 下，11y =；所以所有Y 中2的总个数和1的总个数均为10；②含5的B 的个数为25C 10=，此时在映射f 下，4516y =+=；不含5的B 的个数为35C 10=，此时在映射f 下，45y =；所以所有Y 中6的总个数和5的总个数均为10；②含3-的B 的个数为25C 10=，此时在映射f 下，2312y =-+=-，3312y =-+=-；不含3-的B 的个数为35C 10=，此时在映射f 下，23y =-，33y =-；所以所有y 中2-的总个数和3-的总个数均为20．综上，所有()B S Y 的总和为()()101256202314010040⨯++++⨯--=-=．【小问3详解】对于给定的()1234,,,X x x x x =，考虑1x 在映射f 下的变化．由于在A 的所有非空子集中，含有1x 的子集B 共52个，所以在映射f 下1x 变为111y x =+；不含1x 的子集B 共521-个，在映射f 下1x 变为11y x =；所以在映射f 下得到的所有1y 的和为()()5511121216332x x x ++-=+．同理，在映射f 下得到的所有i y （2,3,4i =）的和()()5521216332i i i x x x ++-=+．所以所有()B S Y 的总和为()12346332463128x x x x m ++++⨯=+．【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点.。